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Fred Tavares NÚMEROS COMPLEXOS
X2 + 4 = 0
números
COMPLEXOSx2 + 5 = 0
x2 + 5x +8 = 0
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NÚMEROS COMPLEXOS
Fred Tavares
Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente.
N: conjunto dos números Naturais Z: conjunto dos números Inteiros Q: conjunto dos números Racionais I: conjunto dos números Irracionais R: conjunto dos números Reais C: conjunto dos números Complexos
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NÚMEROS COMPLEXOS
Fred Tavares
Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente.
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Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma:
a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de
a é a parte real do número complexo e que o valor de
bi é a parte imaginária do número complexo.
Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).
Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e
multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte
imaginária.
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OBSERVAÇÕES
NÚMEROS COMPLEXOS
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i2 = -1i = imaginárioRe = realIm = imaginário
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IDENTIFICANDO
Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo:
z = - 3 + 5i z = -5 + 10i
z = 1/2 + (1/3)i
Re(z) = -3 Re(z) = -5 Re(z) = 1/2
Im(z) = 5 Im(z) = 10 Im(z) = 1/3
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As coordenadas a e b podem assumir qualquervalor real, dependendo do valor que eles assumirem o número
complexo
irá receber um nome diferente:
Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número
complexo é imaginário:
Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo
é imaginário puro:
Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo
será real.
z = 3 + 8i z = 0 + 9i z = 9i
z = 7 – 0i z = 7
É comum vir em provas de vestibular.
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Exemplos:
Determine o valor de m para que z =(m-2) + 5i, seja:
Número Real Para que o complexo seja um número real devemos fazer b = 0 e a ≠ 0. m – 2 ≠ 0 então: m ≠ 2
Imaginário puroPara que um número complexo seja imaginário puro
a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que: m – 2 = 0 então: m = 2
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Adição
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos
teremos:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.
RESUMINDO:
REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO
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Adição
Exemplo: Dado dois números complexos
z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:
z1 + z2 = (6 + 5i) + (2 – i) = 6 + 2 + 5i – i = 8 + (5 – 1)i =
8 + 4i
Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.
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Subtração
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos
teremos:
z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.
RESUMINDO:
REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO
NÚMEROS COMPLEXOS
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Subtração
Exemplo: Dado dois números complexos
z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:
z1 - z2 = (6 + 5i) - (2 – i) = 6 - 2 + 5i + i =
4 + (5 + 1)i =4 + 6i
Portanto, z1 - z2 = 4 + 6i .
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Multiplicação
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos
teremos:
z1 . z2 = (a + bi) . (c + di) (regra do chuveirinho)
ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd = ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i (agrupar termos semelhantes)
Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)i.
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Exemplo: SEMPRE PRESTAR ATENÇÃO NO i2
Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua
multiplicação:
(5 + i) . (2 - i) 5 . 2 – 5i + 2i – i2
10 – 5i + 2i – (-1) 10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i
Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.
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NÚMEROS COMPLEXOS
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A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.
Potência i
i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é
um.
i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é
ele mesmo.
i 5 = i4 . i = 1 . i = i
i 2 = -1 i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.
i 3 = i2 . i = -1 . i = - i i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i.
E assim por diante.
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NÚMEROS COMPLEXOS
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RESUMINDO:
AS POTÊNCIAS SEMPRE SE
REPETEM DE 4 EM 4.
Qualquer potência maior que 4,basta dividir por 4 e pegar o resto.
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NÚMEROS COMPLEXOS
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Para descobrir, por exemplo, qual era o valor
da potência i243, basta dividirmos 243 por 4,
o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3,
portanto i243 = i3 = - i.
Potência i
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NÚMEROS COMPLEXOS
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Forma algébrica
Os números complexos são formados por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária.
y
x
P
Z = a + bi
a
b
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Oposto, conjugado
Oposto ( Basta multiplicar por -1)O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.
Por exemplo: Dado o número complexo
z = 8 – 6i, o seu oposto será: - z = - 8 + 6i.
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Oposto, conjugado
Conjugado
( Basta mudar o sinal da parte imaginária)
Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária.
O conjugado de z = a + bi será z = a - bi
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Eu Sei Que Vou ESTUDAR
by Fred e Tavares
Eu sei que vou ESTUDARPor toda a minha vida eu vou ESTUDAREm cada NOTA BAIXA eu vou APANHARDesesperadamente, eu sei que vou CHORARE cada ERRO meu seráPrá ME LEMBRAR que eu sei que DEVO ESTUDARPor toda minha vidaEu sei que vou MELHORARA cada NOTA BOA eu vou GRITARMas cada NOTA BAIXA há de LEMBRARO que esta CHINELADA me causouEu sei que vou sofrer a eterna desventura de viverA espera de ESTUDAR ao lado teuPROFESSOR da minha vida