2.- ( y ' ' ' )43+[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]

74= y y (5 )

y y (5 )=( y ' ' ')43+[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]

74

y y (5 )={[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]74 }4

[ y y (5 )−( y ' ' ' )43 ]4

={[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]74 }4

[ y y (5 ) ]4−4 [ y y (5) ]3 ( y ' ' ' )43+6 [ y y (5 ) ]2 ( y ' ' ' )

83−4 y y (5 ) ( y ' ' ' )4+( y ' ' ' )

163=[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]7

es deorden5 y de grado4

9.- x3 ( y (5) )53− [ x2 sec (x2 y ' ' ) ]

23+x2 y ' ' '+x=0

[x3 ( y (5 ) )53 ]3

={[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y' ' '−x}

3

x9 ( y (5 ))5={[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y ' ' '−x}

3

( y (5) )5=x−9{[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y ' ' '−x }

3

( y (5) )5−x−9{[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y ' ' '−x }

3

=0

es deorden5 y de grado5

2.- x−2 y2− y3 x2=c ; ydx+( x−3 y )dy=0

Derivando implícitamente

[x−2 ( y2 )'+ y2 (x−2 )' ]−[ y3 (x2) '+(x2 ) ( y3 )' ]=02 y x−2 y '−2 y2 x−3− (2 y3 x+3 y2 x2 y ' )=0

2 y x−2 y '−2 y2 x−3−2 y3 x−3 y2 x2 y '=0

2 y y '

x2−2 y

2

x3−22 y3 x−3 y2 x2 y '=0

2 x y '−2 y−2 x4 y2−3 x5 y y '=0

y '=2 y−2x4 y2

2 x−3 x5 y

Reemplazando en la ecuación

ydx+( x−3 y )dy=0

y+( x−3 y ) dydx

=0

y+( x−3 y ) y '=0

y+( x−3 y )( 2 y−2 x4 y22 x−3 x5 y )=0

4 xy+ x5 y2−6 y2−6 x4 y3=0

Por lo tanto no es la solución de la EDO

9.- y=c−sen (x)cos (x )

; y ' ' sen ( x )−x y2 y ' (cos ( x )+ ysen ( x ) )=0

Derivando

y '=(cosx ) (−cosx )−(c−senx ) (−senx )

y '= csenx−1cos2 x

y ' '=cos2 ( x ) (ccos ( x ) )−(csenx−1 ) (2cosx ) (−senx )

cos4 x

y ' '=ccos2 x+2(csenx−1)(senx )

cos3 x

y ' '= ccos2 x+2c sen2 x−2 senxcos3 x

y ' '= c+c sen2 x−2 senxcos3 x

Reemplazando en la EDO

y ' ' sen ( x )−x y2 y ' (cos ( x )+ ysen ( x ) )=0

( c+c sen2 x−2 senxcos3 x )sen ( x )−x ( c−sen ( x )cos ( x ) )

2

( csenx−1cos2 x )[cos ( x )+( c−sen ( x )cos ( x ) )sen ( x )]=0

Por lo tanto no es la solución de la EDO

2.- x=Ae−t+Be−t+csen (t ); A , B ,C ϵ R

Derivando

x '=−Ae−t−Be−t+ccos ( t )……….(1)

x ' '=A e−t+B e−t−csen (t )……….(2)

x ' ' '=−Ae−t−Be−t−ccos (t )……….(3)

Sumando (1), (2) y (3)

x '+x ' '+ x' ' '=−A e−t−Be−t+ccos (t )+A e−t+Be−t−csen (t )±Ae−t−B e−t−ccos (t )

x '+x ' '+ x' ' '=A e−t+Be−t+csen (t )

x '+x ' '+ x' ' '=x

x '+x ' '+ x' ' '−x=0

2.- Todas las rectas con pendiente igual a -m

Ecuación de la recta y=mx+b

como la pendiente es igual a -m

entonces la ecuación seria: y=−mx+b

derivando implícitamente

y '=−m

Reemplazando en la ecuación

y= y ' x+b

y '=x y ' '+ y '

x y' '=0

12.- hipérbolas equiláteras con centros en Q(M,N)

Ecuación de una hipérbola equilátera es:

x2− y2=a2

( x−M )2−( y−N )2=a2

Derivando implícitamente

2 ( x−M )−2 ( y−N ) y '=0

( x−M )− ( y−N ) y '=0→ ( x−M )=( y−N ) y '

1−[ ( y−N ) y ' '+ y ' y ' ]=0

1−[ ( y−N ) y ' '+( y ' )2 ]=0

( y−N )=1−( y ' )2

y ' '

Reemplazando en la ecuación

[( 1−( y' )2

y ' ' ) y ' ]2

−(1−( y ' )2

y ' ' )2

=a2

( 1−( y ' )2

y ' ' )2

(( y' )2−1)=a2

2.- x y2 (x y '+ y )=4

(x y3+4 )dx+ (x2 y2 )dy=0

y (x y2+ 4y )dx+x (x y2 )dy=0….(1)

yf ( x , y )dx+xg ( x , y )dy=0caso III

xy=z→ y= zx

dy= xdz+zdxx2

Reemplazando en (1)

zx ( z2x −4 x

z )dx+z2( xdz+zdxx2 )=0

Resolviendo nos queda

−4 xdx+ z2dz=0

Integrando

−4∫ xdx+∫ z2dz=∫0

−2 x2+ z3

3=c

−2 x2+( xy )3

3=c

−6 x2+( xy )3=3c

2.- [ ytan (xy )− ysec ( xy ) ] dx+ [xtan ( xy )−xsec ( xy ) ] dy=0

∂M∂ y

=xy sec2 ( xy )+ tan (xy )−xysec ( xy ) tan ( xy )−sec (xy )

∂N∂ x

=xy sec2 ( xy )+ tan ( xy )−xysec ( xy ) tan ( xy )−sec (xy )

∂M∂ y

=∂ N∂ x

→si es exacta

∂ f ( x , y )∂ x

= ytan ( xy )− ysec ( xy )

f ( x , y )=∫ [ ytan (xy )− ysec ( xy ) ] dx

f ( x , y )=∫ ytan (xy )dx−∫ ysec (xy )dx

f ( x , y )=∫ tan ( xy )d ( xy )−∫ sec ( xy )d (xy )

f ( x , y )=ln|sec ( xy )|−ln|sec ( xy )+tan ( xy )|+g ( y )…….(1)

∂ f ( x , y )∂ y

=∂ [ln|sec (xy )|−ln|sec ( xy )+ tan ( xy )|+g ( y ) ]

∂ y

∂ f ( x , y )∂ y

=xsec (xy ) tan (xy )

sec ( xy )−

xsec ( xy ) tan ( xy )+x sec2(xy )sec ( xy )+tan ( xy )

+g' ( y )

∂ f ( x , y )∂ y

=xtan (xy )−xsec ( xy )+g '( y)

xtan ( xy )−xsec (xy )=xtan ( xy )−xsec ( xy )+g' ( y )

g' ( y )=0

g ( y )=k

Reemplazando g ( y ) en (1)

f ( x , y )=ln|sec ( xy )|−ln|sec ( xy )+tan ( xy )|+g ( y )

f ( x , y )=ln|sec ( xy )|−ln|sec ( xy )+tan ( xy )|+k