Funcion Compuesta
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Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires Análisis Matemático II (284-4) - Ing. Carlos Hernández y Lic. Guido Ianni Función Compuesta 1. Funciones de una variable: Función compuesta y regla de la cadena Recordemos que la regla de la cadena para funciones de una sola variable nos da una expresión para derivar una función compuesta. Si y , donde son funciones diferenciables, entonces es indirectamente una función diferenciable de . Si intervienen funciones de más de una variable independiente la regla de la cadena tiene varias versiones que nos dan una regla de derivación de la composición de funciones para diferentes casos. 2. Primer Caso. Derivada de una función de dos variables compuesta con otra de una variable independiente. Supongamos una función de dos variables donde a su vez cada una de estas variables dependen de una variable . Esto significa que es también una función que depende indirectamente de . Formalmente: Sea con resulta la función compuesta: Demostraremos ahora un teorema que nos aportará una expresión para encontrar la derivada de respecto de . 2.1 Hipótesis: 1) Si es diferenciable en el punto 2) son derivables en tal que 3) 2.2 Enunciado: es derivable en donde
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Facultad de Ciencias Econmicas - Universidad de Buenos Aires Anlisis Matemtico II (284-4) - Ing. Carlos Hernndez y Lic. Guido Ianni
Funcin Compuesta
1. Funciones de una variable: Funcin compuesta y regla de la cadena
Recordemos que la regla de la cadena para funciones de una sola variable nos da una
expresin para derivar una funcin compuesta. Si y , donde son
funciones diferenciables, entonces es indirectamente una funcin diferenciable de .
Si intervienen funciones de ms de una variable independiente la regla de la cadena tiene
varias versiones que nos dan una regla de derivacin de la composicin de funciones para
diferentes casos.
2. Primer Caso. Derivada de una funcin de dos variables compuesta con otra de una
variable independiente.
Supongamos una funcin de dos variables donde a su vez cada una de estas
variables dependen de una variable . Esto significa que es tambin una funcin que
depende indirectamente de . Formalmente:
Sea con resulta la funcin compuesta:
Demostraremos ahora un teorema que nos aportar una expresin para encontrar la
derivada de respecto de .
2.1 Hiptesis:
1) Si es diferenciable en el punto
2) son derivables en tal que
3)
2.2 Enunciado: es derivable en donde
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2.3 Demostracin:
Por un lado recordemos que
Por otro lado verificamos tambin que:
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2.4 Un ejemplo.
Para encontrar en si con .
Hallaremos primero y .
Calculamos ahora las derivadas
Entonces
3. Segundo caso: Funciones compuestas de ms de una variable independiente.
El teorema que acabamos de demostrar aporta una expresin que nos permite encontrar
la derivada de una funcin compuesta de una sola variable independiente. Una
demostracin anloga podra hacerse para el caso de funciones compuestas de 2 o ms
variables independientes.
Consideremos ahora el caso en el que ; e son todas
funciones diferenciables. Resulta entonces la funcin compuesta
A medida que intervienen ms variables, suele resultar til elaborar un diagrama que
sintetice las relaciones que existen entre ellas.
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La regla a seguir para encontrar las derivadas de z indica que siempre que nos
desplacemos por nodos continuos multipliquemos las derivadas y sumemos todos los
caminos que unen a con la variable respecto de la cual la queremos derivar. De modo
tal que las derivadas de pueden calcularse como:
3.1 Un ejemplo
Sea con interesa encontrar las derivadas de la
funcin compuesta en
Hallamos entonces: y
Si calculamos las derivadas parciales:
Entonces:
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4. Tercer Caso: Variables comunes.
Supongamos que y que e , siendo todas funciones
diferenciables. Resulta entonces la funcin compuesta
Este ejercicio que aqu se propone tiene por objeto ejemplificar un caso que muchas veces
marea un poco a los alumnos que recin se inician en el estudio de las funciones
compuestas de varias variables. La particularidad del mismo es que una de las variables
en este caso - aparece tanto en como en e .
El siguiente diagrama ejemplifica esta posibilidad.
Antes de proponer una especificacin puntual para las tres funciones vale la pena recordar
la interpretacin de las derivadas parciales de y de . En particular indica la variacin
que se produce en z al variar dejando constantes las dems variables en este caso e
- es decir que contemplamos nicamente el efecto directo de sobre . Cuando hacemos
la composicin de funciones y obtenemos . La derivada tambin nos indica la
variacin que se produce en z al variar t dejando constantes las dems variables. La
diferencia con la derivada anterior es que las dems variables refieren ahora solamente
a la variable s, es decir que estamos computando no slo el efecto directo de t sobre z sino
tambin los efectos indirectos que se producen a travs de x e y.
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4.1 Un ejemplo.
Si queremos encontrar las derivadas parciales de con
en
Hallamos entonces e
Y las derivadas:
De modo tal que
