FUNCIONES (1º Bachillerato) Mª Jesús Arruego Bagüés.
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FUNCIONESFUNCIONES
(1º Bachillerato)(1º Bachillerato)
Mª Jesús Arruego Bagüés
2
• FUNCIONES DADAS POR UNA GRÁFICA
• FUNCIONES DEFINIDAS POR TABLAS
• EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN
• DEFINICIÓN Y OPERACIONES CON FUNCIONES
• COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN
INVERSA
• FUNCIONES LINEALES, AFINES, CUADRÁTICAS.
• ESTUDIO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
FUNCIONESFUNCIONESPara que funcione el enlace a WINFUN27 pon la carpeta en el disco C.
Instala las fuentes Arial Unicode MS y Symbol
Para que funcione el enlace a WINFUN27 pon la carpeta en el disco C.
Instala las fuentes Arial Unicode MS y Symbol
3
Ejes cartesianos y coordenadas Ejes cartesianos y coordenadas de un puntode un punto
Ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares que dividen al plano en cuatro cuadrantes
X
Y
O
El eje horizontal de llama eje OX o eje de abscisas
y el eje vertical se llama eje OY o eje de ordenadas
El punto O donde se cortan los dos ejes es el origen de coordenadas
I CuadranteII Cuadrante
III Cte IV Cte
P(x,y)
x
y
Cada punto P del plano tiene un par de coordenadas (x,y) que lo definen
GEOGEBRA
4
Definiciones básicasDefiniciones básicas
Una función liga dos variables a las que, habitualmente, de las llama x e y
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
La función se denota por y=f(x)
A cada valor de x le corresponde un único valor de y
Esta grafica no representa una función. A determinadas x les
corresponde más de una y
X
Y
O
(x,y)
x
y
X
Y
Ox
y
5
Definiciones básicasDefiniciones básicas
Una función liga dos variables a las que, habitualmente, se las llama x e y
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
La función se denota por y=f(x)
A cada valor de x le corresponde un único valor de y
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D, uno y sólo un número real y que pertenece a IR y que indicaremos y = f (x).
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D, uno y sólo un número real y que pertenece a IR y que indicaremos y = f (x).
f : D IR
x y
Diremos que D es el dominio de definición de la función f(x)Diremos que D es el dominio de definición de la función f(x)
6
Definiciones Definiciones básicasbásicas
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D uno y sólo un número real y que pertenece a IR que indicaremos y = f (x).
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D uno y sólo un número real y que pertenece a IR que indicaremos y = f (x).
f : D IR
x y
1 3-2½-3…
1 94
1/4…
D IR
Si f(x)=x2x es antiimagen de y
y es la imagen de x
x es antiimagen de y
y es la imagen de x
La imagen del 1 es 1: f(1)=1
La imagen del 3 es 9: f(3)=9
….
-2 es una antiimagen de 4: f -1(4)={2, -2}
3 es una antiimagen de 9: f -1(9) = {3,-3}
…
7
OPERACIONES CON OPERACIONES CON FUNCIONESFUNCIONES
Ejemplo: Si f(x)=2x-3 y g(x)=x2-1
• (f + g)(x) = f(x)+g(x) = 2x – 3 + x2 – 1 = x2 + 2x - 4• (f - g)(x) = f(x) - g(x) = 2x – 3 - x2 + 1 = - x2 - 2x - 2• (f . g)(x) = f(x) . g(x) = (2x – 3)(x2 – 1) = 2x3 - 3x2 - 2x + 3
• 1x
3x2
)x(g
)x(fx
g
f2
Con las funciones también podemos operar:
• Función suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
• Función resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x)
• Función producto: (f.g)(x) = f(x) . g(x)
• Función cociente: ( g(x) ≠ 0 ) xg
xfx
g
f
8
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON FUNCIONESCON FUNCIONES
También podemos tener una función de otra función:
Llamaremos función compuesta de dos funciones f(x) y g(x), y la indicaremos (fog)(x), a la función f(g(x)).
Se lee: “g compuesto con f”
Asimismo, f compuesto con g: (gof)(x)=g(f(x))
También podemos tener una función de otra función:
Llamaremos función compuesta de dos funciones f(x) y g(x), y la indicaremos (fog)(x), a la función f(g(x)).
Se lee: “g compuesto con f”
Asimismo, f compuesto con g: (gof)(x)=g(f(x))
Ejemplo:
Si f(x) = 2x-1 y g(x) = (x-3)2
(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = (2x-1-3)2 = (2x-4)2 = 4x2 - 16x +16
(fog)(x) = f(g(x)) = f((x -3)2) = 2 (x-3)2 – 1 = 2(x2-6x+9)-1 = 2x2-12x+17
En general, la composición de funciones no es conmutativa (gof)(x) ≠ (fog)(x)
9
FUNCIÓN INVERSA DE OTRA FUNCIÓN INVERSA DE OTRA FUNCIÓNFUNCIÓN
Si dadas dos funciones f(x) y g(x):
(fog)(x)=x y además
(gof)(x)=x
Diremos que ambas funciones son inversas y lo indicaremos:
f-1(x) = g(x) y g-1(x) = f(x)
Si dadas dos funciones f(x) y g(x):
(fog)(x)=x y además
(gof)(x)=x
Diremos que ambas funciones son inversas y lo indicaremos:
f-1(x) = g(x) y g-1(x) = f(x)
f-1(x) =
g-1(x) = x2
x
Ejemplo:
Si f(x) = x2 y g(x) =
(gof)(x)=g(f(x))=g(x2)=
(fog)(x)=f(g(x)) = f( )=x
xx2
xx2
x
10
Ejemplo:
Si
CÁLCULOCÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA DE OTRA FUNCIÓNINVERSA DE OTRA FUNCIÓN
1º Despejaremos x en función de y
2º Intercambiaremos las x con las y
1º Despejaremos x en función de y
2º Intercambiaremos las x con las y
2x
1xxf
2x
1xy
1xy2xy
y21xxy
y211yx 1y
y21x
1x
x21xf 1
1x
x21y
1x
x21xf 1
ESTUDIO Y GRÁFICA DE ESTUDIO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNUNA FUNCIÓN
Características de la gráfica de Características de la gráfica de una funciónuna función
• Dominio de definiciónDominio de definición
• Puntos de corte con losPuntos de corte con los
ejesejes
• SimetríasSimetrías
• Regiones (Signo)Regiones (Signo)
• Monotonía (Crecimiento /Monotonía (Crecimiento /
Decrecimiento)Decrecimiento)
• Máximos y mínimosMáximos y mínimos
• Dominio de definiciónDominio de definición
• Puntos de corte con losPuntos de corte con los
ejesejes
• SimetríasSimetrías
• Regiones (Signo)Regiones (Signo)
• Monotonía (Crecimiento /Monotonía (Crecimiento /
Decrecimiento)Decrecimiento)
• Máximos y mínimosMáximos y mínimos
• TendenciasTendencias
• ContinuidadContinuidad
• AsíntotasAsíntotas
• Concavidad/ Concavidad/
ConvexidadConvexidad
• Puntos de inflexiónPuntos de inflexión
• PeriodicidadPeriodicidad
• RecorridoRecorrido
• TendenciasTendencias
• ContinuidadContinuidad
• AsíntotasAsíntotas
• Concavidad/ Concavidad/
ConvexidadConvexidad
• Puntos de inflexiónPuntos de inflexión
• PeriodicidadPeriodicidad
• RecorridoRecorrido
13
DominioDominio de una función de una función
Se llama dominio de definición de una función f(x), y se indica con Dom f(x), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales existe f(x)
Se llama recorrido de una función f(x), al conjunto de valores que toma f(x)
IR (a,b)
IR
Dom f(x)=
Recorrido=
,0
,0 ,c
X
Y
O X
Y
O X
Y
O
14
Cómo calcular elCómo calcular el dominio dominio de una de una funciónfunción
WINFUN
Si la función es:
• Polinómica:
Su dominio es:
xPy IR
• Racional xQ
xPy 0xQIRx
• Irracional par xPy 0xPIRx
Ejemplo
Ejemplo
impar xPy xPIRx
Ejemplo
15
• Logarítmica
• Exponencial
• Trigonométrica
Cómo calcular el Cómo calcular el dominiodominio de una de una funciónfunción
Si la función es:
xglogxf a
xgaxf
xsenxf
xarcsenxf
xarctgxf
Su dominio es:
xgIRx
IR
1,1
IR
IR-{k/2, k }∊ℤ
0xgIRx
Recuerda que sólo tienen logaritmo los números positivos
xtg)x(f
WINFUN
16
dominiodominio de una de una función del tipofunción del tipo
0xQIRx
Buscaremos las x para las cuales Q(x)=0
Sean las funciones:
4x3
3x2)x(f
3x+4=03
4x
3
4IRxfD om
04x2 4x
3x2)x(f
2
4x2 2x 2,2IRxfD om
3xx3x
3x2)x(f
23
03xx3x 23
Buscamos las raíces del polinomio (en este caso, con la regla de Ruffini:
01
33
031
311
0321
3211
3131
3,1,1IRxfD om
El dominio de la función serán todos los números reales excepto esos valores de x para las cuales Q(x)=0
WINFUN
Ver gráfica
)x(Q
)x(Py
17
dominiodominio de una de una función del tipofunción del tipo
Buscaremos las x para las cuales P(x) sea positivo
Sean las funciones:
El dominio de la función lo forman todos los números reales que hacen que el radicando sea positivo
par xPy 0xPIRx
6x2)x(f 06x2 3x ,3xfD om
6x5x)x(f 2 06x5x2
2
3
2
15
2
24255x
Descomponemos en factores (para ello hallamos las raíces del polinomio por el procedimiento correspondiente)
2 3
x-2 - 0 + + +
x-3 - - - 0 +
(x-2)(x-3) + 0 - 0 +
03x2x Estudiamos donde toma valores positivos
,32,xfD om
WINFUN
Ver gráfica
18
dominiodominio de una de una función del tipofunción del tipo im par xPy xPIRx
Sean las funciones:
im par )x(Py donde P(x) es un polinomio IRxfD om
El dominio de la función lo forman todos los números reales
im par )x(gy donde g(x) es una función cualquiera
xgIRxxfDom
El dominio de la función lo forman todos los números reales donde exista g(x). Coincidirá, pues, con el Dom g(x)
19
Puntos de cortePuntos de corte de una función de una función con los ejes de coordenadascon los ejes de coordenadas
WINFUN
Si una función y=f(x) corta al eje OY, en ese punto x=0
Corte eje OY: x=0 y=f(0) y=a A(0,a)
Si una función y=f(x) corta al eje OX, en ese punto y=0
Corte eje OX: y=0 0=f(x) Resolviendo esta ecuación
x=b
x=c
x=d
x=e...
B(b,0)C(c,0)
D(d,0)E(e,0)
Ejemplo
X
Y
O
a
b c d e
20
Vamos a hallarVamos a hallar los puntos de corte los puntos de corte de la de la siguiente función con los ejes de coordenadassiguiente función con los ejes de coordenadas
x10x4x7x)x(f 324
Corte eje OY: x=0 y= f(0) = 04-7.02+4.03-10.0 = 0 A(0,0)
Corte eje OX: y=0 0=f(x) Resolviendo esta ecuación
0x10x4x7x 324
010x4x7xx 23
01
55
051
1022
01031
10311
10741
x = 0
x = -1
x = 2
x = -5
B(0,0)
C(-1,0)
D(2,0)
E(-5,0)Ver gráfica
WINFUN
21
Vamos a hallarVamos a hallar los puntos de corte los puntos de corte de la de la siguiente función con los ejes de coordenadassiguiente función con los ejes de coordenadas
3xx3x
9x)x(f
23
4
Corte eje OY: x=0 A(0,3)
Corte eje OX: y=0 0=f(x)
Esta ecuación no tiene solución real
03xx3x
9x23
4
33
9
30030
90)0(f
23
4
x4+9=0
Esta función no corta al eje de abscisas (OX)
Ver gráfica
WINFUN
22
Vamos a hallarVamos a hallar los puntos de corte los puntos de corte de la de la siguiente función con los ejes de coordenadassiguiente función con los ejes de coordenadas
3x
3x2logxf
Corte eje OY: x=0
Corte eje OX: y=0 0=f(x)
Esta función no corta al eje de ordenadas (OY)
1log30
302log0f
03x
3x2log
13x
3x2
l
No existe el logaritmo de un número negativo. Por lo tanto
2x-3=x+3 x = 6 B(6,0)
WINFUN
Ver gráfica
23
SimetríasSimetrías de una función de una funciónUna función y=f(x) es simétrica respecto al eje OY si f(-x)=f(x)
Una función y=f(x) es simétrica respecto al origen si f(-x)=-f(x)
f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) f(-x) ≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)
Simétrica respecto a OY
Simétrica respecto a O
No es simétrica ni respecto a OY ni
respecto a O
X
Y
O X
Y
O
Y
OX
y
x-x -x xx
y
-x
-y
24
Vamos a estudiarVamos a estudiar las simetrías las simetrías de una función de una funciónUna función y=f(x) es simétrica respecto al eje OY si f(-x)=f(x)
Una función y=f(x) es simétrica respecto al origen si f(-x)=-f(x)
f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)
f(-x) ≠ f(x)
f(-x) ≠ - f(x)
y=f(x) es simétrica respecto al eje OY
y=f(x) No es simétrica ni respecto a eje OY ni respecto al origen
24 xx3xf 24 xx3xf xfxx3 24
4x
x3x2)x(f
2
3
4x
x3x2)x(f
2
3
4x
x3x22
3
4x
x3x22
3
)x(f4x
x3x22
3
y=f(x) es simétrica respecto al origen
4x3
3x2)x(f
4x3
3x2)x(f
4x3
3x2
4x3
3x2
xf
xf
Ver gráficas
WINFUN
25
MonotoníaMonotonía de una función: de una función: Crecimiento y decrecimientoCrecimiento y decrecimiento
X
Y
O x2
f(x1)
x1
f(x2)
x2x1x2x1x2x1
x1 < x2
f(x1) < f(x2)
x1 < x2
f(x1) > f(x2)
Función creciente
Función creciente
Función decreciente
Función decreciente
26
MáximosMáximos y y mínimosmínimos de una función de una función
X
Y
Oa b c d e
La función tiene dos máximos en x=b y en x=d
La función tiene tres mínimos en x=a, en x=c y en x=e
mínimo (absoluto)
mínimo (relativo)
mínimo (relativo)
Máximo (absoluto)
Máximo (relativo) Mínimos:
A(a,f(a))
C(c,f(c))
E(e,f(e))
Máximos:
B(b,f(b))
D(d,f(d))
27
TendenciasTendencias de una funciónde una función¿Qué valores toma la función al acercarnos a x=a? ¿Son los mismos si nos acercamos por la izquierda o por la derecha?
Cuando x → a-
Cuando x → a+
Cuando x →+∞
Cuando x →-∞
bxflim
ax
dxflim
ax
0xflim
x
xflimx
La notación matemática será:
Se lee:
” El límite cuando x tiende a a por valores más pequeños que a, es b”
y → 0+
y → -∞
y →b-
y →d-
b
d
X
Y
aO
28
Límites laterales.Límites laterales.Unicidad del límiteUnicidad del límite de una función en un de una función en un
puntopunto
Como los límites laterales coínciden, y es un número real, diremos que existe el límite:
bxflimax
bxflimax
bxflimax
bxflimcx
dxflimcx
Como los límites laterales no coínciden, diremos que no existe el límite:
xflimcx
X
Y
a
b
d
O c
El límite de una función en un punto, si existe, es único
29
f(x) no es contínua en x=g
DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA
f(x) no es contínua en x=h
DISCONTINUIDAD NO EVITABLE
f(x) no es contínua en x=e
DISCONTINUIDAD EVITABLE
f(x) no es contínua en x=a
DISCONTINUIDAD EVITABLE
Estudio de la continuidadEstudio de la continuidad de una de una función en un puntofunción en un punto
bxflimax
X
Y
a
b
d
O e h g
c
bxflimex
xflimgx
c)e(f d)h(f
xflimhx
)a(f )g(f
30
ContinuidadContinuidad de una función de una función
Diremos que una función y=f(x) es contínua en x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes:Diremos que una función y=f(x) es contínua en x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1º
2º
3º
1º
2º
3º
xflimax
)a(f
)a(fxflimax
X
Y
aO
b
31
AsíntotasAsíntotas de una función de una función
Asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
Asíntotas oblícuas
X
xflimax
Si
diremos que la función tiene una asíntota vertical: x=a
Si
diremos que la función tiene una asíntota horizontal: y=d
IRdxflimx
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x ó y) tienden al infinito.
Y
Oa
d
32
SignoSigno de una función de una función Estudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos
Si la función es:
xPy • Polinómica:
• Racional
• Irracional
xQ
xPy
par xPy
impar xPy
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
En general, estudiaremos donde la función es positiva. En el resto de su dominio será negativa.
Ejemplo
33
SignoSigno de una función polinómica de una función polinómicaEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos
xPy Función Polinómica:
Estudiaremos donde el polinomio toma valores positivos. En el resto serán negativos.
Donde P(x) es un polinomio
Si y= -3x+4 04x3 4x3 4x3 3
4x
3
4
Signo de y + -0
Si y= -x2+49
0y 049x2 049x2
07x7x
-7 7
x+7 - 0 + + +
x-7 - - - 0 +
(x+7)(x-7) + 0 - 0 +y + -0 0-
-7 7
WINFUN
34
SignoSigno de una función polinómica de una función polinómicaEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos
xPy Función Polinómica:
Estudiaremos donde el polinomio toma valores positivos. En el resto serán negativos.
Donde P(x) es un polinomio
Si y= x4-13x2+36
Descomponemos en factores el polinomio (para ello hallamos las raíces del polinomio por el procedimiento correspondiente). En este caso resolvemos la ecuación bicuadrada
Estudiamos donde toma valores positivos
036x13x 24 9
4
2
513
2
14416913x2
036x13x 24
3x9x
2x4x2
2
03x2x2x3x -3 -2 2 3
x+3 - 0 + + + + x+2 - - 0 + + + x -2 - - - 0 + +
x -3 - - - - 0 +
y + 0 - 0 + 0 - 0 +
y +- 0 0-00 ++-3 -2 2 3
WINFUN
35
ElEl Signo Signo de una función polinómica nos de una función polinómica nos puede ayudar a dibujar la funciónpuede ayudar a dibujar la función
xPy Función Polinómica:
Si y= x4-13x2+36
Si y= -3x+43
4
y + -0
Si y= -x2+49y + -0 0-
-7 7
y +- 0 0-00 ++-3 -2 2 3
X
Y
O
NO
NO
X
Y
O
NO
NO
NO
X
Y
O
NO
NO
NO
NONO
WINFUN
36
SignoSigno de una función racional de una función racionalEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos
Función Racional:
Estudiaremos donde la fracción toma valores positivos. En el resto serán negativos.
Donde P(x) y Q(x) son polinomios
Si
Resolvemos la inecuacion correspondiente. Para ello descomponemos en factores el numerador y el denominador
Estudiamos donde toma valores positivos
-3 0 4
x+3 - 0 + + + x - - 0 + + x -4 - - - 0 +
y - ∄ + ∄ - 0 +
X
Y
O
NO
NO
NO
NO
WINFUN
xQ
xPy
x3x
4xy
2
0x3x
4x2
0x3x
4x
+ - 0--3 0 4
∄ + ∄y
37
NO
NO
SignoSigno de una función irracional de una función irracionalEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos
Función Irracional:
Estudiaremos el signo de los valores que toma la raíz.
NOX
Y
O
WINFUN
0
2 3
- ∄y
par xgy
6x2)x(f ,3xfD om
6x5x)x(f 2 ,32,xfD om
-3
y +0 ∄
0-NO
X
Y
O
NO
Ejemplos
38NO
SignoSigno de una función irracional de una función irracionalEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos
Función Irracional:
Estudiaremos el signo de los valores que toma la raíz. Dependerá en este caso del signo del radicando. El signo es el mismo que el de la función g(x).
NOX
Y
ONO
WINFUN
0
2 3
+ -y
im par xgy
3 6x2)x(f IRxfD om
5 2 6x5x)x(f
-3
y +0 -
0+
NO
X
Y
ONOEjemplos
IRxfD om
39
Convexidad/ConcavidadConvexidad/Concavidad de una de una función función
No hay unanimidad en esta nomenclatura
X
Y
O
Función cóncava
Función cóncava
Función convexa
Función convexa
40
Convexidad/Convexidad/ConcavidadConcavidad de una de una función función
X
Y
Oa b c d X
a b c dcóncava cóncava cóncavaconvexa convexa
cóncava ,dc,ba,
d,cb,a convexa
Los puntos de la función en que ésta pasa a ser de cóncava a convexa y viceversa se llaman puntos de inflexión
Los puntos de la función en que ésta pasa a ser de cóncava a convexa y viceversa se llaman puntos de inflexión
41
En la recta
Asíntotas oblícuasAsíntotas oblícuas y=mx+n ¿m, n?Asíntotas oblícuasAsíntotas oblícuas y=mx+n ¿m, n?
Cuando x tiende a infinito el valor de y en la recta y el valor de y en la función son prácticamente iguales.
x
n
x
ym
X
Y
O
Sea la función y=f(x)
x
xflim0
x
xflim
x
n
x
xflimm
xxx
x
n
x
ylimmx
x
xflimmx
m xyn
m xxflimnx
42
Para representar graficamente una función
estudiaremos primero:
• Dominio de definiciónDominio de definición
• Puntos de corte con losPuntos de corte con los
ejesejes
• SimetríasSimetrías
• Regiones (Signo)Regiones (Signo)
• TendenciasTendencias
• ContinuidadContinuidad
• AsíntotasAsíntotas
• Monotonía (Crecimiento Monotonía (Crecimiento
/Decrecimiento)/Decrecimiento)
• Máximos y mínimosMáximos y mínimos
• Concavidad/ Concavidad/
• ConvexidadConvexidad
• Puntos de inflexiónPuntos de inflexión
• PeriodicidadPeriodicidad
• RecorridoRecorrido
Y despues de hacer la gráfica estudiaremos:
Conocida la derivación, se hace primero todo el estudio y después la gráfica
Conocida la derivación, se hace primero todo el estudio y después la gráfica
43
4x3
3x2)x(f
3
4IRxfD om
4x
3x2)x(f
2
2,2IRxfD om
3xx3x
3x2)x(f
23
3,1,1IRxfD om
44
6x2)x(f
,3xfD om
6x5x)x(f 2
,32,xfD om
SignoSigno de una función irracional de una función irracional
-3
y +0 ∄
0
2 3
- ∄y 0-
45
3 6x2)x(f
IRxfD om
5 2 6x5x)x(f
IRxfD om
-3
y +0 -
0
2 3
+ -y 0+
SignoSigno de una función irracional de una función irracional
46
y=f(x) es simétrica respecto al eje OY
y=f(x) No es simétrica ni respecto a eje OY ni respecto al
origen
24 xx3xf
4x
x3x2)x(f
2
3
y=f(x) es simétrica respecto al origen
4x3
3x2)x(f
47
3x
3x2logxf
B(6,0)
x10x4x7x)x(f 324
3xx3x
9x)x(f
23
4
A(0,3)
C(-1,0)
D(2,0)
E(-5,0)
B(0,0)
Estudio y gráfica de Estudio y gráfica de algunas funcionesalgunas funciones
Son gráficas aproximadas. En 2º se estudiarán sus máximos
y mínimos , crecimiento, puntos de inflexión,...
con más rigor
49
ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNf(x)=xf(x)=x33 -3x-3x22+2x+2x
• Dom f(x)=IR
• Simetrías: f(-x)= (-x)3-3(-x)2+2(-x) = -x3-3x2-2x ≠ ±f(x) ⇒ simetrías∄
• Corte OY: x=0 y=0 ⇒ ⇒ (0,0)
corte OX : y=0 ⇒ x3-3x2+2x=0 .. x=0, x=1, x=2 ⇒ ⇒ ⇒(0,0), (1,0), (2,0)
• Contínua (Todas las funciones polinómicas lo son)
• Asíntotas horizontales:
x2x3xlim 23
x
x2x3xlim 23
x
.H.A
• Asíntotas verticales: ∄
• Regiones: y>0 x(x-1)(x-2)>0
0 1 2- 0 + 0 - 0 +Signo de y
50
ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNf(x)=xf(x)=x33 -3x-3x22+2x+2x
NO
NO NO
NO
51
52
ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNf(x)=xf(x)=x33 -3x-3x22+2x+2x
• Creciente (- ∞,a), (c, + ∞)
Decreciente (a,c)
• Máximo (a,b), mínimo (c,d)
• Cóncava (1,+∞), convexa (-∞,1)
• Punto de inflexión (1,0)
• Recorrido IRa c
b
d
WINFUN
53
ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN
• Dom f(x)=IR - {-3}
• Simetrías:
43x
12x4lim
x
3x:.V.A
• Regiones: y>0
-3 3 + ∄ - 0 +Signo de y
3x
12x4)x(f
xf3x
12x4
3x
12x4xf
0
24
3x
12x4lim
3x
0
24
3x
12x4lim
3x
4y:.H.A
03x
12x4
03x
3x4
0
3x
3x
⇒ ∄simetrías
• Corte OY: x=0 y= -4 ⇒ ⇒ (0, - 4)
corte OX : y=0 4⇒ x - 12=0 x=3 ⇒ ⇒(3,0)
• Discontínua: Pto de discontinuidad x=-3 (Discontinuidad asintótica)
• Asíntotas horizontales:
43x
12x4lim
x
54
NO
NO
NO
ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN
3x
12x4)x(f
55
• Creciente
• ∄Máximos ni mínimos
• Cóncava (-∞,-3), convexa (-3,+∞)
• ∄ Punto de inflexión
• Recorrido IR-{4}
ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNFUNCIÓN 3x
12x4)x(f
WINFUN
56
57
⇒ simétrica respecto a O
• Corte OY: x=0 y= 0 ⇒ ⇒ (0, 0)
corte OX : y=0 ⇒ x =0 ⇒(0,0)
• Discontínua: Ptos de discontinuidad x=±1
Discontinuidad asintótica en x=1 y en x=-1
ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN
• Dom f(x)=IR - {-1,1} ( x2-1=0 x=1 )
• Simetrías:
1x:.V.A
3 2 1x
x)x(f
xf1x
x
1x
xxf
3 23 2
0
1
1x
xlim
3 21x
• Asíntotas horizontales:
0
1
1x
xlim
3 21x
1x:.V.A
0
1
1x
xlim
3 21x
0
1
1x
xlim
3 21x
3 2x 1x
xlim
3 2x 1x
xlim
.H.A
58
ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
• Regiones: y>0 01x
x3 2
3 2 1x
x)x(f
0
1x1x
x3
0
1x1x
x
-1 0 1
x+1 - 0 + + 0 + x - - 0 + + x -1 - - - 0 +
y - ∄ + 0 - ∄ +
NO
-1 0 1 - ∄ + 0 - ∄ +Signo de y
NO
NO
NO
Esta es una gráfica aproximada.
En 2º se estudiaránsus máximos y mínimos ,...
59
• Creciente (-∞,a)(b,+∞)
• Máximo (a,c) y mínimo (b,d)
• ¿Cóncava (-∞,-1) (-1,0),
convexa (1,+∞) (0,1)?
• Punto de inflexión : al menos (0,0)
(Podría haber más)
• Recorrido IR
ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNFUNCIÓN 3 2 1x
x)x(f
WINFUN
60
⇒ simétrica respecto a O
• Corte OY: x=0 y= 0 ⇒ ⇒ (0, 0)
corte OX : y=0 ⇒ x =0 ⇒(0,0)
• Contínua
• Asíntotas verticales no tiene (El dominio es IR y es racional)
ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN
• Dom f(x)=IR
• Simetrías:
1x
xlim
2
3
x
• Signo: y>0 0- 0 +y
1x
x)x(f
2
3
xf1x
x
1x
xxf
2
3
2
3
01x
x2
3
• Asíntotas horizontales:
1x
xlim
2
3
x .H.A
0x3 0x
• Asíntotas oblícuas:
y=mx+n
1
1x
xlim
x1x
xlim
x
ylimm
2
2
x2
3
xx
01x
xlim
1x
xxxlimx
1x
xlimm xylimn
2x2
33
x2
3
xx
y=x
61
NO
NO
ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN
1x
x)x(f
2
3
WINFUN
62
63
⇒ ∄simetrías
• Corte OY: x=0 Dom f(x)∉
corte OX : y=0 ⇒ x =1,x=-1, x=-3 ⇒(-3,0), (-1,0), (1,0)
• Contínua
• Asíntotas verticales no tiene
ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN
• Dominio. (x+3)(x+1)(x-1)0
• Signo: y>0 Siempre (Es positiva en todo su dominio)
1x3x)x(f 2
• Asíntotas horizontales: no tiene
Dom f(x)=[-3,-1][1,+)
• Simetrías:
-3 -1 1
x+3 - 0 + + + x +1 - - 0 + + x -1 - - - 0 +
- 0 + 0 - 0 +
xf1x3x)x(f 2
1x3xlim 2
x
64
NO NO
NO
ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN
1x3x)x(f 2
65
66
http://www.educa.rcanaria.es/matematicas/recursos_varios/index.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/
PÁGINAS DEPÁGINAS DE RECURSOSRECURSOS:
67
http://www.sectormatematica.cl/media/ecrecta.htm
http://www.sectormatematica.cl/media/cuadratica.htm
http://www.sectormatematica.cl/media/logaritmos.htm
ASÍNTOTAS:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html
http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/index.htm (funciones)
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id401.htm (repaso de ecuaciones, inecuaciones, trigonometría, funciones …con ejercicios)
http://descartes.cnice.mecd.es/matematicas_aplicadas/Funciones_en_la_Ciencia/index.htm
http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Identificacion_funciones_d3/fun3.htm
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