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ESTUDIOS
GENERALES
DEPARTAMENTO
DE MATEMATICA 2015 I
MATEMATICA
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email: [email protected]
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FUNCIONES REALES DE
VARIABLE REAL
I. NOCIONES PRELIMINARES PAR
ORDENADO: Es un ente geométrico que
consta de dos elementos “𝑎” 𝑦 “𝑏” a los
cuales se les denomina 1er y 2do
componente respectivamente. Se le denota
por: (𝑎; 𝑏) y se utiliza para indicar la
posición de un punto 𝑃 = (𝑎; 𝑏) respecto al origen “o” del plano cartesiano.
b
o a
P(a; b) Recuerda que:(a; b) (b; a)
Importante: (a; b) = a ; a, b
Notación en conjuntos|
Propiedades
1. De la igualdad:
nbma)n;m()b;a(
2. De la oposición: xbya)y;x(conopuestoes)b;a(
|
PRODUCTO CARTESIANO.
Dados dos conjuntos no vacíos “A y “B”
se define el producto cartesiano de A por
B, así: BbAa/)b;a(BxA
Propiedades 1. El producto cartesiano no es
conmutativo
AxBBxA
2. Con respecto al número de elementos
de un producto.
)B(nx)A(n)xBA(n
RELACION BINARIA
Dados dos conjuntos no vacíos “𝐴” 𝑦 “𝐵”
se denomina relación de “𝐴” en “𝐵” a todo
subconjunto del producto cartesiano de
“𝐴” 𝑝𝑜𝑟 “𝐵” es decir:
BxAlaciónRe
Y según la definición:
bRaBbAa/)b;a(R
Notación: Son equivalentes las
notaciones:
a R b (a; b) R
Se lee: "a está en relación con b
mediante R"
Se lee: "el par ordenado(a; b) pertenece a la
relación R"
Propiedades
1. De las relaciones notables ∅ es la
relación vacía de 𝐴𝑥𝐵 y de todo producto
cartesiano 𝐴𝑥𝐵 es la relación total de 𝐴𝑥𝐵
TEMA ESCUELA PROFESIONAL
Funciones Reales de
variable real
INGENIERÍA ELECTRÓNICA
FECHA 16/02/16 TURNO MAÑANA AULA 405A SEMANA 05
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2. Con respecto al número máximo de relaciones binarias de A en B:
n° max. Relac. 𝐴 → 𝐵 = 2𝑚.𝑛
Donde:
𝑀 = # 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑁 = # 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵
II. FUNCIONES
Empleamos funciones
para analizar
numéricamente las
relaciones de causa y
efecto, es decir la
correspondencia entre
un valor de entrada y
otro de salida. Observa
el esquema siguiente:
x
y = f(x)
Dominio de f
Rango de f(Imagen)
Máquina f
Luego:
Una función es una regla o
correspondencia entre dos conjuntos de
números reales, que asigna a cada
elemento del primer conjunto, llamado el
dominio de la función, exactamente un
elemento del segundo conjunto. Al
conjunto de valores asignados se le llama
el rango de la función.
1. DEFINICIÓN
Dados dos conjuntos no 𝑣𝑎𝑐í𝑜𝑠 “𝐴” 𝑦 “𝐵“ y una relación, se define: “f es una función
de A en B sí y solamente si para cada
𝑥𝜖 𝐴 existe a lo más un elemento 𝑦 𝜖 𝐵, tal que dos pares ordenados distintos no
pueden tener la misma primera
componente.
:
( ; ) ( , )
Si f es una función tal que
x y f x z f y z
F
x y = f(x)
A B
2. NOTACION DE UNA FUNCION
Una función puede denotar de diferentes
formas, pero la más adecuada es la
siguiente: f : / ( )A B y f x
Dónde: 𝑦 = 𝑓(𝑥) se denomina Regla de
Correspondencia entre x e y; además:
A: Conjunto de partida
B: Conjunto de llegada
x: Pre – imagen de y o variable
independiente
y: Imagen de x o variable dependiente
3. EVALUACION DE UNA FUNCION
Dada la función f : / ( )A B y f x .
Evaluar la función 𝑓 significa obtener el valor de “y” mediante su regla de
correspondencia, luego de asignarle un
cierto valor de “𝑥”. Por ejemplo, para 𝑥 = 𝑎, el valor de la función, llamado también
Imagen, que le corresponde será 𝑓(𝑎), con
lo cual que el par (𝑎; 𝑓(𝑎)) 𝑓.
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4. RECONOCIMIENTO GRAFICO
DE UNA FUNCION
En el plano cartesiano, una cierta gráfica
es la representación de una función si y
sólo si cualquier recta vertical (paralela al
eje y) intersecta a dicha gráfica a lo más en
un punto.
Observa los siguientes gráficos:
5. APLICACIÓN La función f se denomina Aplicación de
A en B si y solamente si todo elemento x
A sin excepción, tiene asignado un
elemento y B y solamente uno, en tal
caso se denota así:
f :f
A B ó A B
Ó
El dominio de toda aplicación f : A B
siempre coincide con el conjunto de
partida A, es decir:
𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝐴 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛: 𝑅𝑎𝑛 (𝑓) 𝐵
6. DOMINIO Y RANGO DE UNA
FUNCIÓN
Dominio: 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = {𝒙𝝐ℝ/𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒇(𝒙)} Son todo los valores que se pueden entrar a una función.
Cuando se ingresan valores del dominio en
una función se obtienen valores del rango.
Rango: 𝑹𝒂𝒏(𝒇) = {𝒚 𝝐 ℝ / 𝒆𝒙𝒊𝒙𝒕𝒆 𝒙 𝝐 𝑫𝒐𝒎(𝒇) 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝒚}
Son todo los valores que pueden salir de
una función. El rango es también conocido
como el recorrido, alcance o campo de
valores de una función.
Gráfica: 𝐺𝑟(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = 𝑓(𝑥),∀ 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓)}. Se define la gráfica de la función como el conjunto de pares
(𝑥, 𝑦) tales que 𝑦 = 𝑓(𝑥), siendo x un elemento del dominio de la función.
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7. DADA LA REGLA DE
CORRESPONDENCIA DE UNA
FUNCION
Dominio: Para hallar el dominio en estos
casos, se despeja la variable “y” o f(x) y
luego se analiza en el segundo miembro
los valores que puede adaptar “x” tal que
la función existe en los reales.
Rango: Para hallar el rango se despeja la
variable “x” y se hace el análisis a la
variable “y” de tal forma que exista la
función en los reales.
FUNCIONES USUALES:
Importante
Una función “𝑓” queda bien determinada (también se dice: bien definida), si se
conocen:
a) Su regla de correspondencia 𝑓(𝑥) (o sea la ecuación de la función)
b) Su dominio: 𝐷𝑓.
Ejemplo. Se quiere construir un pozo de forma cilíndrica de 2 m de diámetro.
Definir una función que exprese el
volumen que cabe en el pozo en función de
la profundidad. Solución
Se trata de expresar el volumen de un
cilindro en función de su altura x. como el
volumen del cilindro es:
𝑉 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎)(𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎), y dado
que el área de la base es el área del círculo
su diametro igual a 2 m (es decir, de radio
1 m). Se verifica que el valor del volumen
en función de la altura x es 𝑉 = 𝜋𝑟2. 𝑥
⇒ 𝑉 = 𝜋𝑥. por tanto, la función buscada
es 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥.
EJERCICIOS
01. Sabiendo que:
𝑓 = {(5; 7𝑎 + 2𝑏), (2; 5), (2; 𝑎 + 2), (5; 5𝑏 – 2𝑎)} Describe una función. Calcular:
𝑓(2) + 𝑓(𝑓(2))
𝑎) 6 𝑏) 7 𝑐) 34 𝑑) 44 𝑒) 54
02. Dada la función:
𝑓 = {(1; 2), (2; 𝑎 + 𝑏), (3; 9), (2; 7), (3; 𝑎 + 2𝑏)}
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑎𝑏
𝑎) 2 𝑏) 4 𝑐) 6 𝑑) 8 𝑒) 10
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03. ¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn – Euler representen a funciones:
A BI.- f
A BII.- f
A BIII.- f
A BIV.- f
A BV.- f
Son ciertas:
𝑎) 𝑇𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑏) 𝐼, 𝐼𝑉 𝑦 𝑉 𝑐) 𝐼, 𝐼𝐼𝐼 𝑦 𝐼𝑉
𝑑) 𝐼 𝑦 𝐼𝑉 𝑒) 𝑠ó𝑙𝑜 𝐼
04. ¿Qué conjunto de pares ordenados: R1 = {(3; 2), (4; 6), (5; -1)}
R2 = {(1; 2), (1; 3), (1; -2)}
R3 = {(1; 4), (3; 4), (7; 3)}
R4 = {(3; 6), (3; 7), (4; 7)}
Son funciones:
𝑎) 𝑅1 𝑅3 𝑏) 𝑅1 𝑅2 𝑐) 𝑅2 𝑅4
𝑑) 𝑅3 𝑅4 𝑒) 𝑁. 𝐴
05. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
Toda función es una relación ( )
Toda relación es una función ( )
Toda recta es una función ( )
Toda parábola es una función ( )
a) FVFF b) VFFF c) VFVV
d) VFVF e) VFFV
06. Dados los conjuntos: M = {1, 2, 3} y N = {0, 1, 2} y las funciones: f1 = {(1; 0), (2; 0)}
f2 = {(1; 0), (2; 2), (3; 0)}
f3 = {(1; 0), (2; 1), (3; 1)}
f4 = {(2; 2), (3; 0)}
Son aplicaciones de M en N:
a) todas b) f2 y f3 c) f1 y f4
d) f1 y f2 e) f3 y f4
07. Indique cuáles de los siguientes
gráficos representan a funciones:
(x)
(y)I.-
(x)
(y)II.-
(x)
(y)III.-
(x)
(y)IV.-
(x)
(y)V.-
(x)
(y)VI.-
Son ciertas:
a) Todas b) II, IV y V c) II, IV, VI
d) I, III, V e) Todas menos I
08. La siguiente tabla, muestra los valores
hallados para la función:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏
Entonces al producto de las constantes
𝑎 𝑦 𝑏 es:
a) 12 b) 16 c) 20 d) 15 e) 24
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09. Señalar cuál de los siguientes diagramas de Veen – Euler establece una
Aplicación:
A B1) f
m
a
b
c
A B2) f
ma
b
c
n
p
A B3) f
pa
bc
q
rd
A B4) f
pa
bc
q
rd s
a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 4
d) 2 y 3 e) 3 y 4
10. Dado el conjunto: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se grafica una
función de A en A, así: 𝑓: 𝐴 𝐴
12 3
64
5
Indicar la suma de elementos de su rango.
a) 21 b) 17 c) 16 d) 15 e) 12
11. De la figura mostrada, halle el valor
de:
)3(f)2(f
)1(f)5(fE
(x)
(y)
f(x)6
3
2
1
1 2 3 4 5 a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/3 e) 3
12. Sea 2(x) 1f x , una función cuyo
dominio es:
Dom (F) = [-4; -2] [-1; 1]; determinar
su rango.
a) [-1; 0] [3; 15] b) [0; 1] [3; 15]
c) IR d) [-1; 3] [5; 15]
e) N.A.
13. Sea f la función cuya gráfica presentamos.
(x)
(y)
ca
b
d
(e; h)
f
Podemos afirmar que:
I.- Dom (f) = [0; e > - {a}
II.- Ran (f) = <h; d] – {b}
III.- x1; x2 elementos del dominio de
dicha función tales que se cumpla:
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) Son verdaderas:
a) I y III b) I y II c) II y III
d) todas e) N.a
14. Las funciones 𝐹, 𝐺 𝑦 𝐻 tienen las
reglas de correspondientes siguientes:
𝑓(𝑥) = − 𝑥2; 𝐺(𝑥) = −𝑥 ; ℎ(𝑥) = 1
𝑥
Las gráficas de 𝐹 𝐺 se cortan en los
puntos “𝑃” “𝑄” y las gráficas de 𝐹 𝐻, en el punto “𝑅”. Luego los puntos;
𝑃, 𝑄 𝑦 𝑅 son respectivamente: a) (0; 0), (1; -1) y (-1; -1)
b) (1; 1), (0; 0) y (-2; 1)
c) (-1; -1), (1; 1) y (-1; 1)
d) (-1; 1), (1; -1) y (0; 0)
e) N.A
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15. Siendo: 𝑓 = {(1; 0), (2; 3), (3; 8), (4; 15), (5; 24)} Una función definida en Z+. Halle su regla de correspondencia
o ley de formación:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 1 ; 𝑥 [1; 5] b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2 ; 𝑥 [1; 5] c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 – 3 ; 𝑥 < 0; 6 >
d) 𝑓(𝑥) = − (1 – 𝑥2) ; 𝑥 [0; 6 >
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 1 ; 𝑥 [1; 5]
16. Del diagrama que se muestra. Calcular el valor de:
))3(f(g)3(f
))2(f(g)2(fE
f
21
2
3
g
5
3
5
2
3
a) 5/8 b) 7/3 c) 8/5
d) 3/5 e) 8/7
17. Sea la función 𝑓: 𝑅 𝑅, definida por:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, donde a y b son
constantes. Si 𝑓(1
3) = 4 y 𝑓(2) = −1.
Hallar a2 + b2
a) 32 b) 34 c) 36 d) 41 e) 25
18. Hallar el dominio de la función:
2f( ) | | 2 4 | |x x x
a) 𝑥 [−4 ; −2] [2 ; 4] b) 𝑥 [−3 ; −2] [1 ; 2] c) 𝑥 [−3 ; −1] [1 ; 2]
d) 𝑥 [−2 ; 0] [1 ; 2] e) N.A.
19. Encontrar el dominio de la función F,
definida por: 𝑓(𝑥) =1
𝑥3−𝑥
a) R – {0} b) R – {0; 1}
c) R – {-1; 0; 1} d) R
e) R – {-1; 0; 1; 2}
20. Dada la función: 2
4(x)
2f
x
Proporcionar:
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) 𝑅𝑎𝑛 𝑓(𝑥) a) <0; 2] b) <0; 2> c) <0; 1/2>
d) <0; ½] e) <-2; 2]
21. Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que:
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 + 1
𝑔(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 1
Indicar la intersección de sus rangos
a) [2; -5] b) [2; 4] c) [3; 5]
d) [1; 4] e) [0; 5]
22. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos
describen a una función de 𝑀 × 𝑀, si
𝑀 = {2, 3, 4, 5, 6}
𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀2 / 𝑥 = 3}
𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀2 / 𝑦 = 3}
𝑅3 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀2 / 𝑥 + 𝑦 = 7}
𝑅4 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀 2/ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25}
𝑅5 = {(𝑥, 𝑦) 𝑀 2/ 𝑥 > 𝑦} a) Todas
b) 𝑅1, 𝑅2 𝑦 𝑅3
c) 𝑅2, 𝑅3 𝑦 𝑅4
d) 𝑅2, 𝑅4 𝑦 𝑅5
e) 𝑅3, 𝑅4 𝑦 𝑅5
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23. Hallar el rango de la función cuya regla de correspondencia es:
2
2
3f( )
2
xx
x
a) <0; 2] b) <1; 3> c) <0; 2>
d) <1; 3] 3
) 1;2
e
24. Halle el dominio de la siguiente
función:
34 1(x) 1 4 2
2 6f x x
x
a) 𝐷𝑓 = [1; 3 > 𝑈 < 3; 4] b) 𝐷𝑓 = [1; 4] c) 𝐷𝑓 = < 1; 3 > 𝑈 < 3; 4 >
d) 𝐷𝑓 = < 10; 4 >
e) 𝐷𝑓 = [−1; 3] 𝑈 < 4; 5]
25. Si 𝑓 = {(8; 2), (2; 𝑎), (𝑎2 − 1; 𝑏), (2; 2𝑎 − 3), (3; 5)}
Indicar la suma de las del mínimo y
máximo valor de la función.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
26. Cierta función F viene representada por la siguiente gráfica. ¿Qué valores de
la variable independiente x hacen que la
función se anule?
x-2
y
F
-1 2 31
4
a) {-2; 2} b) {4} c) {-2; 2; 3}
d) {-2; -1; 1; 2; 3} e) {-2; -1; 0; 1; 2}
27. Considere la función F con máximo
dominio posible: x2x2)x(F Luego
el rango de F es:
a) [1; 2] b) <-2; 2> c) <-2; 2 >
d) [2; 22 ] e) <2; 2 2 >
28. Si el rango de: 2
2f( ) ,
1
xx
x
es:
[𝑎; 𝑏 > Luego el valor de “a + b” es:
a) 0 b) 1 c) 2 d)1
2 e)
3
4
29. ¿Cuál de las siguientes gráficas no
presenta una función?
ya)
3
yb)
yc) yd)
e) Ninguna
30. Sabiendo que f es una función tal que:
𝑓(𝑥 + 2) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(2), 𝑥 𝐼𝑅. Decir cuales de las siguientes
proposiciones son verdaderas:
𝐼. 𝑓(()) = 0
𝐼𝐼. 𝑓(8) = 4 𝑓 (2)
𝐼𝐼𝐼. 𝑓(−2) = − 𝑓 (2) a) Sólo I b) sólo II c) Sólo III
d) todas e) I y II