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Carrera: INGENIERIA AGRONOMICA

LICENCIATURA EN ENOLOGIA

Cátedra: MATEMATICA I

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Unidad Nº 5: Funciones

Contenidos:

Conjuntos numéricos, representación en la recta. Valor absoluto, relaciones entre valores absolutos. Intervalos,

entorno, entorno reducido. Funciones, definición, dominio e imagen. Clasificación de las funciones. de

funciones. Grafico de funciones .Función inversa. Función de función.

Génesis de los números y clasificación del campo numérico

En la antigüedad, al necesitar contar sus pertenencias, el hombre primitivo creó los números

naturales : 1, 2, 3, 4, 5, ...

Con ellos podía sumar y multiplicar, pero al querer efectuar una resta en que el minuendo era

igual o menor que el sustrayendo, dicha operación no era posible dentro de ese conjunto de números

naturales (N). Por ello se crearon el cero y los números negativos:...-3, -2, -1, 0 que permitieron esta

operación. Al conjunto de números negativos, al cero y los números naturales se le denomina: Conjunto

de números enteros (Z).

Ahora bien, cuando se quiso efectuar un cociente entre dos números enteros tal que el dividendo

no era múltiplo del divisor , se vio imposibilitado de ello con los conocimientos adquiridos hasta el

momento. Para interpretar las divisiones de este tipo fueron creados los números fraccionarios. Al

conjunto de números fraccionarios y enteros se los denominó: Conjunto de números racionales (Q). Al

aparecer la operación inversa de la potencia de expresiones fraccionarias, o sea la radicación, aparecieron

números como 2 que no tiene solución dentro de los racionales.

Esta circunstancia llevó a la creación de los números Irracionales o inconmensurables, que junto

con los racionales formaron en conjunto de los números reales (R).

Por último , al querer resolver radicales de índice par y radicando negativo ( -9 ) , se encontró

que era imposible dentro de los números reales por lo que debieron crearse los números imaginarios, que

juntamente con los reales forman el conjunto más general de números que es el conjunto de los números

Complejos (C).

Naturales (N)

Cero

Negativos

Enteros (Z)

Fraccionarios

Racionales (Q)

Irracionales

Reales (R)

Imaginarios

Complejos (C)

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La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son

mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es

usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números

negativos.

La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la

recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica

mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

VALOR ABSOLUTO

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:2

Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero,

pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia

entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una

generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

Propiedades fundamentales

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

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Otras propiedades

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de la división (equivalente a la propiedad

multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

INTERVALOS

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b

que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores

que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a

y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

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Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales

mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales

mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos,

se utiliza el signo (unión) entre ellos.

ENTORNO

El entorno de un punto a de semiamplitud es el conjunto de puntos x determinados por x-a o sea

que verifica las desigualdades:

a- x a+

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Se llama valor numérico de una expresión algebraica al resultado de sustituir las letras de la expresión por

números y efectuar las operaciones indicadas en la expresión, teniendo en cuenta que el orden de las

operaciones siempre es el siguiente:

1º Los paréntesis.

2º Las potencias y raíces cuadradas.

3º Los productos y las divisiones.

4º Las sumas y las restas de izquierda a derecha.

Ejemplo : Calcular el valor numérico de x2 – 6 para x = - 2

(-2)2 – 6 = 4 – 6 = - 2

Ejemplo : Calcular el valor numérico de 2(x + 1) + x3 para x = - 3

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2(- 3 + 1) + (- 3)3 = 2·(- 2) – 27 = - 4 – 27 = - 31

Ejemplo : Calcular el valor numérico de 3x + 2y para x = 2 y y = - 5

3·2 + 2·(- 5) = 6 – 10 = -4

Funciones

Una función consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del

dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos

un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay

exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.

Ejemplo:

y = 7x + 1

y = 7(2) + 1 = 15

y = 7(4) + 1 = 29

y = 7(6) + 1 = 43

El dominio D es {2, 4, 6} y el rango R es {15, 29, 43}.

Recordemos la definición :

Dados los conjuntos A y B, llamamos “función de A en B” a toda correspondencia que

asigna a cada elemento “x” de A uno y sólo un elemento “y” de B.

En símbolos :

único es función es y f(x)=y : By A x BA de f

A se denomina “dominio de la función” A=Dom(f)

B se denomina “codominio de la función” B=Codom(f)

x es la “variable independiente”

y es la “variable dependiente”

En general, trabajaremos con funciones numéricas considerando como dominio y codominio al conjunto

de los números reales.

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REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES:

Sea “ f ” una función real de variable real, la “gráfica de f ” es el conjunto de puntos de coordenadas (x,y)

tales que y=f(x).

Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de

una ecuación y = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la recta

numérica y se conectan.

Por ejemplo:

f(x) = x + 2

Utilizando una Gráfica para Definir una Función

Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números reales correspondientes a

las coordenadas de los puntos en la gráfica. Este conjunto de pares ordenados, determinados por

la gráfica, puede o no puede definir una función. Es importante recordar que para definir una

función, el conjunto de pares ordenados debe obedecer la regla que establece que dos pares

ordenados no deben tener el mismo primer elemento. Por lo tanto, una línea vertical no puede

intersectar la gráfica de una función en más de un punto.

Figuras:

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La figura 1 define una función, mientras que la figura 2 no define una función.

ANALISIS DE FUNCIONES

Para todas las funciones que estudiaremos, vamos a realizar un análisis de sus características más

importantes que son :

1) Determinación de Dominio y Conjunto Imagen: es decir que debemos encontrar el subconjunto de

números reales para el cual la función está definida y aquel al que pertenecen las imágenes.

Son los valores de x que dan un valor real para y. Veamos distintos casos que se nos pueden presentar:

xpy siendo xp un polinomio RD

xpy siendo xp un polinomio 0/ xpRxD

xq

xpy siendo xp y xq polinomios 0/ xqRxD

xpLy siendo xp un polinomio 0/ xpRxD

2) Cálculo de ceros de la función: hallar los valores de la indeterminada “x” que anulan la función, es

decir : x f(x)=0

Un cero de una función es la solución de una ecuación f(x) = 0. Los ceros de una función

corresponde a los puntos en los cuales la gráfica de la función atraviesa el eje de x. Estos puntos

son llamados interceptos en x.

Por ejemplo:

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En la figura 1 los interceptos en x son X1, X2 y X3. La figura 2 no tiene ningún intercepto en x.

3) Análisis de crecimiento y decrecimiento : indicar los intervalos del Dominio en los cuales la función

es creciente o decreciente, sabiendo que :

f es creciente x1 x2 f(x1) f(x2)

f es decreciente x1 x2 f(x1) f(x2)

4) Biyectividad : estudio de inyectividad y sobreyectividad , recordar las definiciones.

iva sobreyectes f inyectiva es f biyectiva es BAf

BIm(f) iva sobreyectes BAf

xfxfxx Dom(f)xxinyectiva es BAf 11

:

:

)()(,: 2122

5) Intersecciones con los ejes cartesianos : indicar en que puntos el gráfico de la función corta a los ejes,

sabiendo que la intersección con el eje “x” es en los puntos donde la “y = 0”, y la intersección con el

eje “y” es en los puntos donde la “x = 0”.

OY cuando x=0

xf corta al eje

OX cuando y=0

6) Paridad : damos las siguientes definiciones :

Decimos que una función es par cuando es simétrica respecto al eje vertical, es decir, cuando

xfxf .

Decimos que una función es impar cuando es simétrica respecto del origen de coordenadas, es

decir, cuando xfxf .

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Las funciones que no son pares ni impares no tienen simetrías con respecto a los ejes

7) Asíntotas : las asíntotas son rectas a las cuales el gráfico de la función se acerca indefinidamente sin

tocarlas ni cruzarlas nunca. Algunas funciones pueden tener una o varias asíntotas ( algunas pueden

tener infinitas ).

Variación

Existen dos tipos de variación: variación directa y variación inversa. Veamos cada una de ellas:

Variación Directa = es una función que se define por una ecuación

que está en la forma y = kx , donde k es una constante no igual a cero. La variable y varía directamente de x. La constante k es llamada la

constante de variación. La variación directa establece un único valor

de y para cada valor de x. En la variación directa las dos variables

aumentan (o disminuyen) juntas. Cuando el dominio es un conjunto de números reales, la gráfica de la variación directa es una línea recta

con pendiente k que pasa por el origen.

Variación Inversa = es una función que se define por una

ecuación que está en la forma y = k/x, donde x no es igual a

cero. La variable y varía a la inversa de x. En la variación invesa

el aumento de una de las variables significa la disminución de la

otra variable. La gráfica de esta variación es una hipérbola.

DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

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A- FUNCIONES ALGEBRAICAS

1 FUNCIONES RACIONALES ENTERAS:

Es de la forma P(x)=anxn + an-1x

n-1 +……+a1x +x0

Dm = R . Las raíces se obtienen haciendo P(x)=0

1.1) FUNCION LINEAL o de 1er. GRADO :

Forma general : y= ax+b a y b son números reales, a0

“b” : ordenada al origen ( distancia entre el origen de coordenadas y el punto donde la recta corta al eje

de ordenadas ).

“a” : pendiente ( tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas ).

Dm = R e Im=R

Las raíz es x=-b/a

Casos especiales : si b=0 y= ax , ejemplos :

xyIdentidadxyxy )3 5

3)2 2)1

b) si a=0 b0 y=b Función constante , ejemplos :

0)3 4)2 3)1 yyy

1.2) FUNCION CUADRATICA :

Sabemos que la representación gráfica de las funciones cuadráticas o de 2do. Grado es una parábola y la

fórmula es : y=ax2+bx+c , con a≠0.

Para representarla gráficamente es necesario saber las coordenadas del vértice , las cuales son:

2a

bX : que entonces ,

a

acb

2a

bV v

4

4,

2

El Dm = R

Si a>0, entonces Im= [yv; +∞) y si a<0, entonces IM= (-∞, yv] .

Las raíces se obtiene mediante la aplicación de la fórmula

puede ser tres tipos según sea

:

si Δ>0, las raíces son reales y distintas Si Δ=0, las raíces son reales e iguales Si Δ<0, las raíces son complejas conjugadas.

2 FUNCION RACIONAL FRACCIONARIAS :

El cociente entre dos funciones polinómicas se llama “función racional”, es de la forma

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y

por ejemplo: 1

2

3

12)(

3

xf(x)

x

xxxf

Forman parte del dominio todos los valores de x tal que Q(x)≠0.

Sus raíces se obtienen calculando los x tal que P(x)=0.

Función racional de grado 2:

Función racional de grado 3:

2.1 FUNCION HOMOGRAFICA

Una Función Homográfica es una función de la forma y= (ax+b)/(cx+d),con c distinto de 0. ¿Por qué?,

porque si c=0, la función queda de la forma siguiente: y=(ax+b)/(0x+d), quedando una función lineal.

Para graficar un función homográfica, proseguimos de igual forma que con las funciones racionales. Por

lo tanto, AV:x=-d/c, y, AH: y=a/c, siempre y cuando el grado de los polinomios es el mismo. De no ser

así, realizamos la división de polinomios. El resto de la división es la AH.

Es de la forma

con c 0

Dm= R -

Raíz : x =

3- FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONAL

Una función es irracional si la variable independiente está bajo el signo del radical.

Las características generales de estas funciones son:

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a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que

cero.

b) Si el índice del radical es impar, el dominio es .

c) El recorrido es

d) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.

Para representarla, hay que estudiar su dominio y dar valores. Ejemplo : f(x)=

B- FUNCIONES TRASCENDENTES

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes

sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha

ecuación.1 En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el

sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de

suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un

sentido algebraico de dicha variable

1- FUNCION EXPONENCIAL :

Se llama función exponencial a aquellas en que la variable independiente figura en el exponente, son de la

forma : y= ax a

+

Dm = R , Im= R>0. No tiene raíces.

Ejemplos :

12)

2) 1

x

x

yb

ya

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2 - FUNCION LOGARITMICA :

Definición. Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,

denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama

logaritmo de x en la base a.

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base

dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Se llama función logarítmica a aquellas en que la variable independiente se encuentra en los

logaritmandos, son de la forma:

y = loga x a + ,

a>0 y a ≠1.

Dm= R>0 . Im=R .

Ejemplos :

)1(log)

1log)

3

3

xyb

xya

Gráfica de La Función Logarítmica

En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones e , en concordancia con las

propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior.

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fig 3

fig 4

En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas e . Puede notarse, además, que las

curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

fig.5

3- FUNCION POTENCIAL

Es de la forma y=xa con aϵR.

Si aϵN, es una función algebraica racional entera.

Si aϵZ, a<0, es una función algebraica racional fraccionaria.

Si aϵQ-Z, es una función algebraica irracional.

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4 - FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la

definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo

rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son

extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una

circunferencia unitaria (de radio unidad).

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos

primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del

ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo

rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El

nombre de los lados de este triángulo rectángulo

que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al

ángulo recto, o lado de mayor longitud

del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al

ángulo .

El cateto adyacente (b) es el lado

adyacente al ángulo .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus

ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los

ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes.

Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para

ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la

longitud del cateto opuesto y la longitud de la

hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño

del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que

tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de

triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la

longitud del cateto adyacente y la longitud de la

4) ) La cosecante de un ángulo es la relación entre

la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto

opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la

longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto

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hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la

longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

adyacente:

6) La cotangente de un ángulo es la relación entre

la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

Funciones trigonométricas de ángulos notables

0° 30° 45° 60° 90°

sen 0

1

cos 1

0

tan 0

1

* FUNCION SENO

Análisis del Grafico

a) Es creciente en los intervalos y es decreciente en

el intervalo .

b) Dominio: {R} ; Recorrido: [-1 , 1]

c) Intersección con el eje X en el origen, en π

(180º) y en 2π (360º) (son periódicas).

Intersección con el eje Y en el origen.

*FUNCION COSENO

Análisis del Grafico

a) Es creciente en el intervalo y decreciente en el

intervalo.

b) Dominio: {R}. Recorrido: [-1 , 1]

c) Intersección con el eje X en el punto ½ π (90º)

y en el 1.5π (270º).

Intersección con en el eje Y en el punto (0,1).

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*FUNCION TANGENTE

Análisis del Grafico

a) Es creciente en todos los intervalos.

b) Dominio y Recorrido: {R}.

c) Intersección con el eje X en el origen, en π

(180º) y en 2π (360º)

Intersección con el eje Y en el origen.

FUNCION VALOR ABSOLUTO :

Está definida por:

0 x six

0x six xxf )(

Ejemplos:

1)

1)

xyb

xya

FUNCION POR PARTES :

A veces se presentan funciones que no tienen una expresión simple, sino que tienen fórmulas por partes o

trozos, por ejemplo:

2 x six

2 x 1 si 4

1x six

xf

2

2

)(

FUNCION INVERSA

)(:

:

xfg(x) : que diremos y ,f(x)xg(y) : por definida ABg

:función la a f de inversa" función" llamamos biyectiva función una es BAf Dada

1

Para calcular la fórmula de la inversa podemos hacer dos pasos :

1ro. Despejamos la “x” en función de “y”.

2do. Intercambiamos la “x” y la “y”.

Por ejemplo, hallar las inversas de las siguientes funciones:

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2

5)(

2

5

2

5

25

5252)()

3)(33

33)()

1

1

xxg

xyx

y

xy

xyxxgb

xxfxyxy

xyxxfa

COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como

valores de entrada para la otra., creando una nueva función.

La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x

transformándolo según f, y después transformando

f(x) mediante g.

Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).

Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la

imagen que se obtenga:

Componer dos funciones “ f ” y “ g ” significa aplicarlas sucesivamente, es decir, a los elementos del

Dom(f) le aplicamos la función f y a las imágenes obtenidas se les aplica la función g, para ello es

necesario que el conjunto Im(f) esté incluido en el Dom(g). La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente

que este segundo paso se pueda llevar a cabo.

Se indica:

Dom(f)Im(g) si" f" despuésy " g" aplica se1ro. que fica signixgfxgf

Dom(g)Im(f) sig"" despuésy " f" aplica se1ro. que fica signixfgxfg

)()(

)()(

Ejemplos:

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Hallar las compuestas en ambos sentidos de las funciones:

,2

1

1212)()(

,0)(12)()(

)(

,0)(12)()

)(23)()(

)(2323)()(

)(23)()

22

2

gfDom2

1x012x

nesrestriccio hacer snecesitamoDom(f)Im(g):pero xxfxgfxgf

fDomfgDomDom(g)Im(f):además xxgxfgxfg

Im(g) gDom

0,Im(f) fDomxg(x)y xxfb

gDomgfDomDom(f)Im(g):además xxfxgfxgf

fDomfgDomDom(g)Im(f):además xxgxfgxfg

0,Im(g) Dom(g)

Im(f) fDomxg(x)y xxfa 2