Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia, Dpto. de Matemtica y C.C.

Clculo 1, Mdulo Bsico Ingeniera

Guillermo Acua H. - Cristin Burgos G.

Taller 3: Funciones Algebraicas.

Estimados: mediante el presente documento, se muestran ejercicios de dicultad creciente, el objetivo de esta

gua en el fondo es orientar al estudiante el cmo debe ir avanzado con los problemas que debe resolver para

establecer una estrategia y metodologa de estudio clara, de manera de llegar lo ms rpido y acertivamente

posible a niveles de aprendizaje altos y con el trasfondo terico que corresponde aplicado a diversas situaciones

aqu planteadas. De ninguna manera se quiere decir que esto reemplaza el estudio de conceptos, es justamente

necesario para poder resolver problemas.

1. Determine el dominio de denicin de f(x) =3x 1 1

x

Solucin: para que f est bien denida deben cumplirse las condiciones:

3x 1 0x 6= 0

Con ello, resolviendo la primera condicin se tiene que x 13, de manera que

Dom(f) =

[1

3,+

[

2. En base a la grca de f(x) = 2 +3x 5. Determine Rec(f)

Solucin: El grco se realiza de acuerdo a las condiciones de traslacin grca, en la siguiente gu-

ra se muestra el efecto de las variaciones de traslacin grca en la funcin g(x) =x

1

Con ello se concluye que

Rec(f) = [2,+[

3. Considere la funcin f(x) =x 1x+ 2. Determine los conjuntos:

a) A = {x Dom(f) , f(x) = 0}

Solucin: Basta con resolver la ecuacin con x 6= 2x 1x+ 2

= 0 x 1 = 0 x = 1

Entonces

A = {1}

b) B = {x Dom(f) , f(x) < 0}

Solucin: Debemos resolver

x 1x+ 2

< 0

Por el mtodo reducido de la recta real, considerando que x 6= 2 , se tiene como solucin que

B =] 2, 1[

c) C = {x Dom(f) , f(x) > 0}

2

Solucin: Se debe resolver la inecuacin

x 1x+ 2

> 0

En virtud del mtodo reducido de la recta real, considerando que x 6= 2 , se tiene como solucin que

C =],2[]1,+[

Con esto podemos concluir lo siguiente, en x = 1, la funcin toca el eje X , en el intervalo denido

por el conjunto B , la grca de f pasa por debajo del eje X y en el conjunto C , la grca pasa por

arriba del eje X . Importante es destacar que conociendo la grca de f es posible entender de mejor

manera estos datos, dividiendo polinomios en la funcin f se tiene

f(x) =x 1x+ 2

=x 1 + 2 2

x+ 2

=(x+ 2) 3

x+ 2

= 1 3x+ 2

De manera que se puede observar una asntota horizontal en y = 1 y una asntota vertical en x = 2, luego el grco es

4. Escriba la funcin f(x) = |x 4|+ |x+ 1| de modo que no contenga valores absolutos y graque:

3

Solucin: Separando por casos se tiene lo siguiente, si x ],1[:

f(x) = (x 4) (x+ 1)= x+ 4 x 1

f(x) = 3 2x

Si x [1, 4[

f(x) = (x 4) + (x+ 1)= x+ 4 + x+ 1

f(x) = 5

Si x [4,+[

f(x) = x 4 + x+ 1= 2x 3

De modo que

f(x) =

3 2x , x < 15 , 1 x < 42x 3 , x 4

El grco de esta funcin es

5. Sea f(x) =|x| 1|x|+ 1 . Analice si f es par o impar.

Solucin: Basta con entender que una funcin es par si f(x) = f(x) e impar si f(x) = f(x),que una funcin sea par signica que la grca de sta es simtrica respecto al eje Y , que una funcin sea

4

impar signica que sta presenta simetra respecto al origen, luego:

f(x) = | x| 1| x|+ 1

Puesto que existe la propiedad |ab| = |a| |b| , se tiene que | x| = | 1| |x| = |x| , reemplazando

f(x) = |x| 1|x|+ 1= f(x)

Luego , como f(x) = f(x) , la funcin es par.

6. Sea f : A B, defoinida por f(x) = x 1x+ 2. Determine los conjuntos A y B para que f sea una biyec-

cin (es decir si f es inyectiva y sobreyectiva) , de ser as, determine f1(x) y muestre que (f f1)(x) = x.

Solucin: Considere que A = Dom(f) , luego como Dom(f) = {x R , x+ 2 6= 0} = R {2}, portanto A = R {2}.Para analizar inyectividad debe cumplirse que

f(y) = f(z) x = z

Reemplazando en la funcin

y 1y + 2

=z 1z + 2

(y 1)(z + 2) = (z 1)(y + 2) yz + 2y z 2 = yz + 2z y 2 3y 2 = 3z 2 3y = 3z y = z

Luego para todo x Dom(f) , la funcin es inyectiva. Para la sobreyectividad se debe cumplir que

Rec(f) = B

Por lo que B debe ser igual al recorrido de f . Despejando x de la ecuacin

y =x 1x+ 2

y(x+ 2) = x 1xy + 2y = x 1xy x = 1 2y

x(y 1) = 1 2yx =

1 2yy 1

5

De manera que

Rec(f) = B = {y R , y 1 6= 0}Rec(f) = R {1} = B

Finalmente se concluye que si B = R {1} , es sobreyectiva, por tanto la funcin

f : R {2} R {1}x 7 f(x) = x 1

x+ 2

Es una funcin biyectiva. Con esto concluimos que la inversa de f es

f1(x) =1 2xx 1

Adicionalmente debemos vericar que (f f1)(x) = x, en efecto:

(f f1)(x) = f (f1(x))= f

(1 2xx 1

)

=

(12xx1

) 1(

12xx1

)+ 2

=

12x(x1)x1

12x+2(x1)x1

=1 2x x+ 11 2x+ 2x 2

=3x3

= x

7. Sea f(x) =

6 |2x+ 1||x+ 3| 4 . Determine su dominio.Solucin: Se tiene que

Dom(f) = {x R ; 6 |2x+ 1| 0 |x+ 3| 4 0}

De manera que el problema se reduce a resolver el sistema6 |2x+ 1| 0|x+ 3| 4 0

6

Resolviendo la primera inecuacin, tenemos que

6 |2x+ 1| 0 |2x+ 1| 6 6 2x+ 1 6 7 2x 5 7

2 x 5

2

x [72,5

2

]De la segunda inecuacin

|x+ 3| 4 0 |x+ 3| 4 x+ 3 4 x+ 3 4 x 1 x 7 x ],7] [1,+[

Intersectando ambas condiciones se obtiene el dominio

Dom(f) =

([72,5

2

]) (],7] [1,+[)

=

[1,5

2

]

8. Dada la funcin f , denida como:

f : [0,+[ Bx 7 f(x) = 1x+ 1

Determine B de modo que f sea una funcin sobreyectiva

Solucin: La condicin de sobreyectividad es que

Rec(f) = B

Luego

y = 1x+ 1x+ 1 = 1 y

Para que esta igualdad sea vlida en R , debe cumplirse que 1y 0 , es decir, y 1, bajo esta condicin,

7

elevando al cuadrado

x+ 1 = (1 y)2

x = (1 y)2 1

Sabemos del enunciado que x 0 , luego

(1 y)2 1 0(1 y)2 1|1 y| 1

De donde

1 y 1 1 y 1y 0 y 2

De manera que

y ], 0] [2,+[

Imponiendo la condicin que y 1 e intersectando, nalmente se obtiene que

B =], 0] = R0

9. Se dene la funcinf : [0,+[ R segn f(x) = xx2 + 1

a) Encuentre sus ceros y analice su signo

b) Determine su recorrido

c) Analice la paridad

Solucin:

a) f(x) = 0 si

x

x2 + 1= 0

x = 0

Para el signo de f , notemos que xomo x 0 y x2 + 1 > 0 , x R (su discriminante es negativo yadems a = 1 > 0), la expresin

x

x2 + 1 0 , x Dom(f)

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b) En el caso del recorrido, despejando x

y =x

x2 + 1

y(x2 + 1) = x

x2y + y = x

x2y x+ y = 0

Resolviendo la ecuacin para x

x =1

1 4y22y

Esta expresin tiene las restricciones que y 6= 0 y 14y2 0 , notemos en primer lugar que f(0) = 0,esto en virtud del tem (a) , de modo que y = 0 Rec(f) , adems

1 4y2 0y2 1

4

|y| 12

12 y 1

2

De modo que y [12 , 12] , pero, en virtud del tem anterior, y 0 x Dom(f), de modo que siintersectamos tenemos nalmente que

Rec(f) =

[0,1

2

]

c) Evaluando f(x)

f(x) = x(x)2 + 1

= xx2 + 1

= f(x)

De modo que f es impar y simtrica respecto al origen.

10. Sea f(x) = x [x] para x [1, 2[ , extienda esta funcin de modo que se escriba sin contener la parteentera.

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Solucin: La parte entera se dene como el menor valor del entero ms prximo , entoncesx [1, 0[ [x] = 1x [0, 1[ [x] = 0x [1, 2[ [x] = 1

Reescribiendo la funcin

f(x) = x [x] =

x+ 1 , 1 x < 0x , 0 x < 1x 1 , 1 x < 2

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