ESCUELA DE FIacuteSICA UNAH

Funciones Asociadas de Legendre

Asignatura Mecaacutenica Cuacuteantica

II

Autores Leslie Martinez

Juan Calderoacuten

Karol Castro

Jonnathan Loacutepez

Fecha 08 de marzo

de 2011

POLINOMIOS DE LEGENDRE Ecuacioacuten diferencial ordinaria de Legendre

Esta ecuacioacuten tiene soluciones en forma deseries de potencias de la forma

Ahora sustituimos la funcioacuten (2) en (1) (y sus derivadas) y hacemos

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

0

(2)m

m

m

y a x

( 1)k n n

2 2 1

2 1 0

(1 ) ( 1) 2 0m m m

m m m

m m m

x m m a x x ma x k a x

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Escribamos el primer teacutermino como la suma de

dos series para obtener

Hagamos ahora para obtener la misma

potencia

Para y obtenemos

2

2 2 1 0

( 1) ( 1) 2 0m m m m

m m m m

m m m m

m m a x m m a x x ma x k a x

sx

2 02 ( 1) 0a n n a3 16 2 ( 1) 0a n n a

2s m

2

0 2 1 0

( 2)( 1) ( 1) - 2 0s s s s

s s s s

s s s s

s s a x s s a x sa x k a x

0s 1s

POLINOMIOS DE LEGENDRE

y en general cuando

De aquiacute se obtiene

Al insertar estos valores en (2) obtenemos dos

soluciones independientes una par y una impar

23s

2

1

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0s s

n s n s

s s a s s s n n a

2

( )( 1)

( 2)( 1)s s

n s n sa a

s sFoacutermula

de

Recurrenci

a

0 1 1 2( ) ( ) ( )y x a y x a y x

2 4

1

3 5

2

( 1) ( 2) ( 1)( 3)( ) 1

2 4

( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)( )

3 5

n n n n n ny x x x

n n n n n ny x x x x

0

(2)m

m

m

y a x

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Recordemos que si el parametro es un entero

no negativo entonces esto es ciertoi Si es par se reduce a un polinomio de grado

ii Si es impar se cumple lo mismo para

Estos polinomios multiplicados por una constante

se les llama Polinomios de Legendre

n

n 1( )Y x n

n2 ( )Y x

2

( 2)( 1)

( )( 1)s s

s sa a

n s n s

2

(2 )

2 ( )n n

na

n

2

(2 2)

2 ( 1)( 2)n n

na

n n

Por comodidad se

elige como referencia

el coeficiente que

acompantildea al teacutermino

de mayor exponente

Se le da este valor

especiacutefico por

razones de

normalizacioacuten

POLINOMIOS DE LEGENDRE

hellipy asiacute sucesivamente En general cuando

A esta solucioacuten resultante de la ecuacioacuten (1) se le

llama Polinomio de Legendre de grado y se

denota por

Por ejemplo las primeras cuatro funciones son

2 0n m

2

(2 2 )( 1)

2 ( )( 2 )

m

n m n

n ma

m n m n m

( )nP x

2

0

(2 2 )( ) ( 1)

2 ( )( 2 )

Mm n m

n nm

n mP x x

m n m n m

n

0 ( ) 1P x 1( )P x x 2

2

1( ) (3 1)

2P x x

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

3

3

1( ) (5 3 )

2P x x x

Dada la ecuacioacuten de Shroumldinger y la gran

variedad de problemas que requieren el uso de

coordenadas esfeacutericas

Es necesario resolver la ecuacioacuten de Shroumldinger

independiente del tiempo Siguiendo con la

separacioacuten de variables

Al hacer la separacioacuten de variables

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

h2

2

2V i h

m t

h2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

POLINOMIOS DE LEGENDRE Ecuacioacuten diferencial ordinaria de Legendre

Esta ecuacioacuten tiene soluciones en forma deseries de potencias de la forma

Ahora sustituimos la funcioacuten (2) en (1) (y sus derivadas) y hacemos

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

0

(2)m

m

m

y a x

( 1)k n n

2 2 1

2 1 0

(1 ) ( 1) 2 0m m m

m m m

m m m

x m m a x x ma x k a x

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Escribamos el primer teacutermino como la suma de

dos series para obtener

Hagamos ahora para obtener la misma

potencia

Para y obtenemos

2

2 2 1 0

( 1) ( 1) 2 0m m m m

m m m m

m m m m

m m a x m m a x x ma x k a x

sx

2 02 ( 1) 0a n n a3 16 2 ( 1) 0a n n a

2s m

2

0 2 1 0

( 2)( 1) ( 1) - 2 0s s s s

s s s s

s s s s

s s a x s s a x sa x k a x

0s 1s

POLINOMIOS DE LEGENDRE

y en general cuando

De aquiacute se obtiene

Al insertar estos valores en (2) obtenemos dos

soluciones independientes una par y una impar

23s

2

1

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0s s

n s n s

s s a s s s n n a

2

( )( 1)

( 2)( 1)s s

n s n sa a

s sFoacutermula

de

Recurrenci

a

0 1 1 2( ) ( ) ( )y x a y x a y x

2 4

1

3 5

2

( 1) ( 2) ( 1)( 3)( ) 1

2 4

( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)( )

3 5

n n n n n ny x x x

n n n n n ny x x x x

0

(2)m

m

m

y a x

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Recordemos que si el parametro es un entero

no negativo entonces esto es ciertoi Si es par se reduce a un polinomio de grado

ii Si es impar se cumple lo mismo para

Estos polinomios multiplicados por una constante

se les llama Polinomios de Legendre

n

n 1( )Y x n

n2 ( )Y x

2

( 2)( 1)

( )( 1)s s

s sa a

n s n s

2

(2 )

2 ( )n n

na

n

2

(2 2)

2 ( 1)( 2)n n

na

n n

Por comodidad se

elige como referencia

el coeficiente que

acompantildea al teacutermino

de mayor exponente

Se le da este valor

especiacutefico por

razones de

normalizacioacuten

POLINOMIOS DE LEGENDRE

hellipy asiacute sucesivamente En general cuando

A esta solucioacuten resultante de la ecuacioacuten (1) se le

llama Polinomio de Legendre de grado y se

denota por

Por ejemplo las primeras cuatro funciones son

2 0n m

2

(2 2 )( 1)

2 ( )( 2 )

m

n m n

n ma

m n m n m

( )nP x

2

0

(2 2 )( ) ( 1)

2 ( )( 2 )

Mm n m

n nm

n mP x x

m n m n m

n

0 ( ) 1P x 1( )P x x 2

2

1( ) (3 1)

2P x x

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

3

3

1( ) (5 3 )

2P x x x

Dada la ecuacioacuten de Shroumldinger y la gran

variedad de problemas que requieren el uso de

coordenadas esfeacutericas

Es necesario resolver la ecuacioacuten de Shroumldinger

independiente del tiempo Siguiendo con la

separacioacuten de variables

Al hacer la separacioacuten de variables

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

h2

2

2V i h

m t

h2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Escribamos el primer teacutermino como la suma de

dos series para obtener

Hagamos ahora para obtener la misma

potencia

Para y obtenemos

2

2 2 1 0

( 1) ( 1) 2 0m m m m

m m m m

m m m m

m m a x m m a x x ma x k a x

sx

2 02 ( 1) 0a n n a3 16 2 ( 1) 0a n n a

2s m

2

0 2 1 0

( 2)( 1) ( 1) - 2 0s s s s

s s s s

s s s s

s s a x s s a x sa x k a x

0s 1s

POLINOMIOS DE LEGENDRE

y en general cuando

De aquiacute se obtiene

Al insertar estos valores en (2) obtenemos dos

soluciones independientes una par y una impar

23s

2

1

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0s s

n s n s

s s a s s s n n a

2

( )( 1)

( 2)( 1)s s

n s n sa a

s sFoacutermula

de

Recurrenci

a

0 1 1 2( ) ( ) ( )y x a y x a y x

2 4

1

3 5

2

( 1) ( 2) ( 1)( 3)( ) 1

2 4

( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)( )

3 5

n n n n n ny x x x

n n n n n ny x x x x

0

(2)m

m

m

y a x

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Recordemos que si el parametro es un entero

no negativo entonces esto es ciertoi Si es par se reduce a un polinomio de grado

ii Si es impar se cumple lo mismo para

Estos polinomios multiplicados por una constante

se les llama Polinomios de Legendre

n

n 1( )Y x n

n2 ( )Y x

2

( 2)( 1)

( )( 1)s s

s sa a

n s n s

2

(2 )

2 ( )n n

na

n

2

(2 2)

2 ( 1)( 2)n n

na

n n

Por comodidad se

elige como referencia

el coeficiente que

acompantildea al teacutermino

de mayor exponente

Se le da este valor

especiacutefico por

razones de

normalizacioacuten

POLINOMIOS DE LEGENDRE

hellipy asiacute sucesivamente En general cuando

A esta solucioacuten resultante de la ecuacioacuten (1) se le

llama Polinomio de Legendre de grado y se

denota por

Por ejemplo las primeras cuatro funciones son

2 0n m

2

(2 2 )( 1)

2 ( )( 2 )

m

n m n

n ma

m n m n m

( )nP x

2

0

(2 2 )( ) ( 1)

2 ( )( 2 )

Mm n m

n nm

n mP x x

m n m n m

n

0 ( ) 1P x 1( )P x x 2

2

1( ) (3 1)

2P x x

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

3

3

1( ) (5 3 )

2P x x x

Dada la ecuacioacuten de Shroumldinger y la gran

variedad de problemas que requieren el uso de

coordenadas esfeacutericas

Es necesario resolver la ecuacioacuten de Shroumldinger

independiente del tiempo Siguiendo con la

separacioacuten de variables

Al hacer la separacioacuten de variables

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

h2

2

2V i h

m t

h2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

POLINOMIOS DE LEGENDRE

y en general cuando

De aquiacute se obtiene

Al insertar estos valores en (2) obtenemos dos

soluciones independientes una par y una impar

23s

2

1

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0s s

n s n s

s s a s s s n n a

2

( )( 1)

( 2)( 1)s s

n s n sa a

s sFoacutermula

de

Recurrenci

a

0 1 1 2( ) ( ) ( )y x a y x a y x

2 4

1

3 5

2

( 1) ( 2) ( 1)( 3)( ) 1

2 4

( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)( )

3 5

n n n n n ny x x x

n n n n n ny x x x x

0

(2)m

m

m

y a x

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Recordemos que si el parametro es un entero

no negativo entonces esto es ciertoi Si es par se reduce a un polinomio de grado

ii Si es impar se cumple lo mismo para

Estos polinomios multiplicados por una constante

se les llama Polinomios de Legendre

n

n 1( )Y x n

n2 ( )Y x

2

( 2)( 1)

( )( 1)s s

s sa a

n s n s

2

(2 )

2 ( )n n

na

n

2

(2 2)

2 ( 1)( 2)n n

na

n n

Por comodidad se

elige como referencia

el coeficiente que

acompantildea al teacutermino

de mayor exponente

Se le da este valor

especiacutefico por

razones de

normalizacioacuten

POLINOMIOS DE LEGENDRE

hellipy asiacute sucesivamente En general cuando

A esta solucioacuten resultante de la ecuacioacuten (1) se le

llama Polinomio de Legendre de grado y se

denota por

Por ejemplo las primeras cuatro funciones son

2 0n m

2

(2 2 )( 1)

2 ( )( 2 )

m

n m n

n ma

m n m n m

( )nP x

2

0

(2 2 )( ) ( 1)

2 ( )( 2 )

Mm n m

n nm

n mP x x

m n m n m

n

0 ( ) 1P x 1( )P x x 2

2

1( ) (3 1)

2P x x

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

3

3

1( ) (5 3 )

2P x x x

Dada la ecuacioacuten de Shroumldinger y la gran

variedad de problemas que requieren el uso de

coordenadas esfeacutericas

Es necesario resolver la ecuacioacuten de Shroumldinger

independiente del tiempo Siguiendo con la

separacioacuten de variables

Al hacer la separacioacuten de variables

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

h2

2

2V i h

m t

h2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Recordemos que si el parametro es un entero

no negativo entonces esto es ciertoi Si es par se reduce a un polinomio de grado

ii Si es impar se cumple lo mismo para

Estos polinomios multiplicados por una constante

se les llama Polinomios de Legendre

n

n 1( )Y x n

n2 ( )Y x

2

( 2)( 1)

( )( 1)s s

s sa a

n s n s

2

(2 )

2 ( )n n

na

n

2

(2 2)

2 ( 1)( 2)n n

na

n n

Por comodidad se

elige como referencia

el coeficiente que

acompantildea al teacutermino

de mayor exponente

Se le da este valor

especiacutefico por

razones de

normalizacioacuten

POLINOMIOS DE LEGENDRE

hellipy asiacute sucesivamente En general cuando

A esta solucioacuten resultante de la ecuacioacuten (1) se le

llama Polinomio de Legendre de grado y se

denota por

Por ejemplo las primeras cuatro funciones son

2 0n m

2

(2 2 )( 1)

2 ( )( 2 )

m

n m n

n ma

m n m n m

( )nP x

2

0

(2 2 )( ) ( 1)

2 ( )( 2 )

Mm n m

n nm

n mP x x

m n m n m

n

0 ( ) 1P x 1( )P x x 2

2

1( ) (3 1)

2P x x

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

3

3

1( ) (5 3 )

2P x x x

Dada la ecuacioacuten de Shroumldinger y la gran

variedad de problemas que requieren el uso de

coordenadas esfeacutericas

Es necesario resolver la ecuacioacuten de Shroumldinger

independiente del tiempo Siguiendo con la

separacioacuten de variables

Al hacer la separacioacuten de variables

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

h2

2

2V i h

m t

h2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

POLINOMIOS DE LEGENDRE

hellipy asiacute sucesivamente En general cuando

A esta solucioacuten resultante de la ecuacioacuten (1) se le

llama Polinomio de Legendre de grado y se

denota por

Por ejemplo las primeras cuatro funciones son

2 0n m

2

(2 2 )( 1)

2 ( )( 2 )

m

n m n

n ma

m n m n m

( )nP x

2

0

(2 2 )( ) ( 1)

2 ( )( 2 )

Mm n m

n nm

n mP x x

m n m n m

n

0 ( ) 1P x 1( )P x x 2

2

1( ) (3 1)

2P x x

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

3

3

1( ) (5 3 )

2P x x x

Dada la ecuacioacuten de Shroumldinger y la gran

variedad de problemas que requieren el uso de

coordenadas esfeacutericas

Es necesario resolver la ecuacioacuten de Shroumldinger

independiente del tiempo Siguiendo con la

separacioacuten de variables

Al hacer la separacioacuten de variables

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

h2

2

2V i h

m t

h2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

Dada la ecuacioacuten de Shroumldinger y la gran

variedad de problemas que requieren el uso de

coordenadas esfeacutericas

Es necesario resolver la ecuacioacuten de Shroumldinger

independiente del tiempo Siguiendo con la

separacioacuten de variables

Al hacer la separacioacuten de variables

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

h2

2

2V i h

m t

h2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1[ ( ) (sin ) ( )]

2 sin sinr V E

m r r r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r Y R r

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado asiacute que su solucioacuten debe ser particular para cada uno

En general el teacutermino al cual estamos obligados a resolver es el teacutermino angular principal theta cuya ecuacioacuten diferencial queda

Esta ecuacioacuten no es maacutes que una expresioacuten angular de la ecuacioacuten (diferencial) asociada de Legendre

Relacioacuten con la mecaacutenica

cuaacutentica

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Graacuteficos de los primeros cinco polinomios de

Legendre en Wolfram Alpha

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La ecuacioacuten asociada de Legendre expresada en

coordenadas esfeacutericas

2 2sin sin ( 1)sin 0d d

l l md d

2 2

2 2

cos( 1) 0

sin sin

d d ml l

d d

22 2 2

2sin sin cos ( 1)sin 0

d dl l m

d d

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

El objetivo es resolver esta

ecuacioacuten comencemos haciendo

de modo que

cosx

d d d d dx d

dx d dx d d dx

2sin 1d d d

xd dx dx

22 2

21 1

d d dx x

d dx dx

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

hellip

22 2 12 2 12

2(1 ) (1 ) (1 )x

d dx x D x

dx dx

2 12

2

2(1 )

2 1x

xD x

x

2 22

2 2(1 )

d d dx x

d dx dx

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La ecuacion resulta

Simplificando un poco

Finalmente hagamos

2 22 2

2 22(1 ) 1 ( 1) 0

(1 )1

d d x d mx x x l l

dx dx dx xx

2 22

2 21 2 ( 1) 0

1

d d mx x l l

dx dx x

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

y

Y finalmente

hemos obtenido

la famosa

ecuacioacuten

diferencial

asociada de

Legendre

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Cuando esta se reduce a la conocida la

EDO de Legendre (1) la cual acabamos de

resolver

Ahora intentaremos resolver esta ecuacioacuten maacutes

general basaacutendonos en la anterior relativamente

maacutes sencilla

Tratando de simplificar un poco las cosas

hacemos el cambio de variable

hellipde aquiacute

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

0m

( 2)2 22 2(1 ) ( 2 ) ( ) (1 )

2

m mdy m dux x u x x

dx dx

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

O bien podemos expresarlo de la siguiente

manera( ) 1

2 22 2(1 ) (1 )mmdy du

x mx x udx dx

( )2 2

2(1 )

1

mdy du mxx u

dx dx x

2 2( ) 1 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

( 2)(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )

2

m m m mmd y d u du du mx mx x m x U mx x mx x

dx dx dx dx

12

2 ( ) 1 12 2 2 2 22 2

2(1 ) 2 (1 ) 2 1 1

mmmd y

x mx x m x x m x udx

22 2 2

2

2 2 2 2

2 ( 1) 11

1 1

m

d y d u mx du m xx mu

dx dx x dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacioacuten (3) y

eliminando los teacuterminos comunes obtenemos

Simplificando un poco

222 2 2

2

2 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 22

2 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 22

2 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u u

dx dx x

22

21 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)

d u dux m x l l m m u

dx dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

El objetivo es resolver esta

ecuacioacuten comencemos haciendo

de modo que

cosx

d d d d dx d

dx d dx d d dx

2sin 1d d d

xd dx dx

22 2

21 1

d d dx x

d dx dx

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

hellip

22 2 12 2 12

2(1 ) (1 ) (1 )x

d dx x D x

dx dx

2 12

2

2(1 )

2 1x

xD x

x

2 22

2 2(1 )

d d dx x

d dx dx

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La ecuacion resulta

Simplificando un poco

Finalmente hagamos

2 22 2

2 22(1 ) 1 ( 1) 0

(1 )1

d d x d mx x x l l

dx dx dx xx

2 22

2 21 2 ( 1) 0

1

d d mx x l l

dx dx x

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

y

Y finalmente

hemos obtenido

la famosa

ecuacioacuten

diferencial

asociada de

Legendre

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Cuando esta se reduce a la conocida la

EDO de Legendre (1) la cual acabamos de

resolver

Ahora intentaremos resolver esta ecuacioacuten maacutes

general basaacutendonos en la anterior relativamente

maacutes sencilla

Tratando de simplificar un poco las cosas

hacemos el cambio de variable

hellipde aquiacute

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

0m

( 2)2 22 2(1 ) ( 2 ) ( ) (1 )

2

m mdy m dux x u x x

dx dx

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

O bien podemos expresarlo de la siguiente

manera( ) 1

2 22 2(1 ) (1 )mmdy du

x mx x udx dx

( )2 2

2(1 )

1

mdy du mxx u

dx dx x

2 2( ) 1 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

( 2)(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )

2

m m m mmd y d u du du mx mx x m x U mx x mx x

dx dx dx dx

12

2 ( ) 1 12 2 2 2 22 2

2(1 ) 2 (1 ) 2 1 1

mmmd y

x mx x m x x m x udx

22 2 2

2

2 2 2 2

2 ( 1) 11

1 1

m

d y d u mx du m xx mu

dx dx x dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacioacuten (3) y

eliminando los teacuterminos comunes obtenemos

Simplificando un poco

222 2 2

2

2 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 22

2 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 22

2 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u u

dx dx x

22

21 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)

d u dux m x l l m m u

dx dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

hellip

22 2 12 2 12

2(1 ) (1 ) (1 )x

d dx x D x

dx dx

2 12

2

2(1 )

2 1x

xD x

x

2 22

2 2(1 )

d d dx x

d dx dx

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La ecuacion resulta

Simplificando un poco

Finalmente hagamos

2 22 2

2 22(1 ) 1 ( 1) 0

(1 )1

d d x d mx x x l l

dx dx dx xx

2 22

2 21 2 ( 1) 0

1

d d mx x l l

dx dx x

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

y

Y finalmente

hemos obtenido

la famosa

ecuacioacuten

diferencial

asociada de

Legendre

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Cuando esta se reduce a la conocida la

EDO de Legendre (1) la cual acabamos de

resolver

Ahora intentaremos resolver esta ecuacioacuten maacutes

general basaacutendonos en la anterior relativamente

maacutes sencilla

Tratando de simplificar un poco las cosas

hacemos el cambio de variable

hellipde aquiacute

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

0m

( 2)2 22 2(1 ) ( 2 ) ( ) (1 )

2

m mdy m dux x u x x

dx dx

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

O bien podemos expresarlo de la siguiente

manera( ) 1

2 22 2(1 ) (1 )mmdy du

x mx x udx dx

( )2 2

2(1 )

1

mdy du mxx u

dx dx x

2 2( ) 1 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

( 2)(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )

2

m m m mmd y d u du du mx mx x m x U mx x mx x

dx dx dx dx

12

2 ( ) 1 12 2 2 2 22 2

2(1 ) 2 (1 ) 2 1 1

mmmd y

x mx x m x x m x udx

22 2 2

2

2 2 2 2

2 ( 1) 11

1 1

m

d y d u mx du m xx mu

dx dx x dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacioacuten (3) y

eliminando los teacuterminos comunes obtenemos

Simplificando un poco

222 2 2

2

2 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 22

2 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 22

2 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u u

dx dx x

22

21 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)

d u dux m x l l m m u

dx dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La ecuacion resulta

Simplificando un poco

Finalmente hagamos

2 22 2

2 22(1 ) 1 ( 1) 0

(1 )1

d d x d mx x x l l

dx dx dx xx

2 22

2 21 2 ( 1) 0

1

d d mx x l l

dx dx x

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

y

Y finalmente

hemos obtenido

la famosa

ecuacioacuten

diferencial

asociada de

Legendre

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Cuando esta se reduce a la conocida la

EDO de Legendre (1) la cual acabamos de

resolver

Ahora intentaremos resolver esta ecuacioacuten maacutes

general basaacutendonos en la anterior relativamente

maacutes sencilla

Tratando de simplificar un poco las cosas

hacemos el cambio de variable

hellipde aquiacute

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

0m

( 2)2 22 2(1 ) ( 2 ) ( ) (1 )

2

m mdy m dux x u x x

dx dx

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

O bien podemos expresarlo de la siguiente

manera( ) 1

2 22 2(1 ) (1 )mmdy du

x mx x udx dx

( )2 2

2(1 )

1

mdy du mxx u

dx dx x

2 2( ) 1 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

( 2)(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )

2

m m m mmd y d u du du mx mx x m x U mx x mx x

dx dx dx dx

12

2 ( ) 1 12 2 2 2 22 2

2(1 ) 2 (1 ) 2 1 1

mmmd y

x mx x m x x m x udx

22 2 2

2

2 2 2 2

2 ( 1) 11

1 1

m

d y d u mx du m xx mu

dx dx x dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacioacuten (3) y

eliminando los teacuterminos comunes obtenemos

Simplificando un poco

222 2 2

2

2 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 22

2 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 22

2 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u u

dx dx x

22

21 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)

d u dux m x l l m m u

dx dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Cuando esta se reduce a la conocida la

EDO de Legendre (1) la cual acabamos de

resolver

Ahora intentaremos resolver esta ecuacioacuten maacutes

general basaacutendonos en la anterior relativamente

maacutes sencilla

Tratando de simplificar un poco las cosas

hacemos el cambio de variable

hellipde aquiacute

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

0m

( 2)2 22 2(1 ) ( 2 ) ( ) (1 )

2

m mdy m dux x u x x

dx dx

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

O bien podemos expresarlo de la siguiente

manera( ) 1

2 22 2(1 ) (1 )mmdy du

x mx x udx dx

( )2 2

2(1 )

1

mdy du mxx u

dx dx x

2 2( ) 1 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

( 2)(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )

2

m m m mmd y d u du du mx mx x m x U mx x mx x

dx dx dx dx

12

2 ( ) 1 12 2 2 2 22 2

2(1 ) 2 (1 ) 2 1 1

mmmd y

x mx x m x x m x udx

22 2 2

2

2 2 2 2

2 ( 1) 11

1 1

m

d y d u mx du m xx mu

dx dx x dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacioacuten (3) y

eliminando los teacuterminos comunes obtenemos

Simplificando un poco

222 2 2

2

2 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 22

2 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 22

2 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u u

dx dx x

22

21 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)

d u dux m x l l m m u

dx dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

O bien podemos expresarlo de la siguiente

manera( ) 1

2 22 2(1 ) (1 )mmdy du

x mx x udx dx

( )2 2

2(1 )

1

mdy du mxx u

dx dx x

2 2( ) 1 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

( 2)(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )

2

m m m mmd y d u du du mx mx x m x U mx x mx x

dx dx dx dx

12

2 ( ) 1 12 2 2 2 22 2

2(1 ) 2 (1 ) 2 1 1

mmmd y

x mx x m x x m x udx

22 2 2

2

2 2 2 2

2 ( 1) 11

1 1

m

d y d u mx du m xx mu

dx dx x dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacioacuten (3) y

eliminando los teacuterminos comunes obtenemos

Simplificando un poco

222 2 2

2

2 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 22

2 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 22

2 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u u

dx dx x

22

21 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)

d u dux m x l l m m u

dx dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacioacuten (3) y

eliminando los teacuterminos comunes obtenemos

Simplificando un poco

222 2 2

2

2 22 2

( 1) 21 2 2 ( 1) 0

11 1

m

m m x m ud u du dy mx mx mx x u l l u

dx dx dx xx x

2 2 2 2 2 22

2 2

2 ( 1)1 2( 1) 0

(1 )

d U du m x mx m mx m l lx m x u

dx dx x

2 2 2 22

2 2

( )1 2( 1) ( 1) 0

(1 )

d u du m m x m mx m x l l u u

dx dx x

22

21 2( 1) ( 1) ( 1) 0 (4)

d u dux m x l l m m u

dx dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

La expresioacuten anterior (4) se veacute mucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relacioacuten directa entre ellas

Buscamos una relacioacuten entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces quizaacute y haciendo expliacutecito el hecho de que la solucioacutende (1) son los polinomios de Legendre

Con la ayuda de la foacutermula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones

2(1 ) acute 2 acute ( 1) 0 (1)x y xy n n y2 2

2

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2(1 ) acute ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0 (1) n n nx P x xP x n n P x

m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Si hellip

Pero ya que hellip que

hace de esta un caso especial de (4)

Lo mismo sucede para m=2 3 4hellip

Para geneacutericohellip

22

2

( ) ( ) ( )1 2( 1) [ 1 ( 1)] 0

m m m

n n n

m m m

d P x d P x d P xd dx m x l l m m

dx dx dx dx dx

22

2

( ) ( ) ( )1 4 1 2 0n n ndP x dP x dP xd d

x x l ldx dx dx dx dx

1 1 2m m m

2m

1m

1m

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

La ecuacioacuten anterior es una prueba de que

Es solucioacuten de (4) Ahora recordamos que

inicialmente queriacuteamos la solucioacuten de (3) para la cual

hicimos el cambio de variable

Entonces la solucioacuten general es realmente

Para la cual ha valido la pena introducir una nueva

notacioacuten

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

( )( )

m

n

m

d P xu x

dx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 22

2 21 2 ( 1) 0 (3)

1

d y dy mx x l l y

dx dx x

2 2( ) (1 ) ( )m

y x x u x

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Tambieacuten podemos escribir esta ecuacioacuten en

coordenadas esfeacutericas sustituyendo (o

bien cualquier otro argumento por supuesto)

Asiacute la ecuacioacuten anterior queda

hellipy ya que notamos que

siempre un polinomio en multiplicado por

si es impar

cosx

2 2( )

( ) ( ) (1 )m

mm n

n m

d P xy x P x x

dx

2 2(cos )

(cos ) (1 cos )m

mm n

n m

d PP

dx

12 2(1 cos ) sin (cos )m

nP

cos sin m

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Regresando a la Mecanica Cuaacutentica obtenemos

asiacute las soluciones para la parte angular de

la ecuacioacuten de Schrodingeren forma general

hellipdonde es la constante de normalizacioacuten

Veamos ahora estos polinomios y funciones en

de forma graacuteficahellip

( )

( ) (cos )m

lAP

A

cos

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Por ejemplo al calcular obtenemos0

2 (cos )P

0 2

2

13cos 1

2P

FUNCIONES ASOCIADAS DE

LEGENDRE

Al realizar las graacuteficas para los polinomios de

Legendre pero ahora con argumento

obtenemos

cosx

BIBLIOGRAFIacuteA Arfken G B amp Weber H J (2001) Mathematical

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