4to. 1ra. T. T. - MatemáticaProf. Flavia Terrizzano

Funciones cuadráticas

Definiciones

Se dice que f es una función de A en B y se denota f: A → B si a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota f(a) = b.

El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Se denota Dom f.

El conjunto imagen está formado por los valores que alcanza la función. Se denota Im f.

Ejemplo

f(x) = x2 y = x2

Para representar esta función construiremos una tabla de valores, mediante la cual obtenemos algunos de los pares ordenados correspondientes a su gráfica.

x y = x2

0 01 12 43 94 16-1 1-2 4-3 9-4 16

Para f(x) = x2 tenemos que Dom f: R.

Como todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo, el conjunto imagen serán los reales positivos incluido el cero. Im f: [0;+ ).

La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola.

Sus dos ramas son simétricas respecto a una recta. En la gráfica construida x=0 es eje de simetría.

Se llama vértice al único punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. En el ejemplo el vértice es el punto V = (0;0).

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Dado que la función pasa a ser decreciente a creciente en x=0, entonces en este punto hay un mínimo. No tiene máximo.

Funciones del tipo x 2 + b ó –x 2 + b

f(x)=x2 g(x) = x2 + 2 h(x) = x2 – 1 i (x) = x2 + 3 j (x) = -x2 k(x) = -x2 +1

Función Dominio Imagen Eje de simetría

Vértice Máximo Mínimo

f(x) = x2 R [0 ; + ) x = 0 (0 ; 0) - (0 ; 0)g(x) = x2 + 2 R [2 ; + ) x = 0 (0 ; 2) - (0 ; 2)h(x) = x2 – 1 R [-1 ; + ) x = 0 (0 ; -1) - (0 ; -1)i (x) = x2 + 3 R [3 ; + ) x = 0 (0 ; 3) - (0 ; 3)

J (x) = -x2 R (- ; 0] x = 0 (0 ; 0) (0 ; 0) -k(x) = -x2 +1 R (- ; -1] x = 0 (0 ; 1) (0 ; 1) -

Observamos

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g(x) = x2 + 2

i(x) =x2 + 3

f(x) = x2

h(x) = x2 - 1

j(x) = - x2

k(x) = - x2 + 1

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f(x) = x2 Vy, la parábola se desplaza sobre el eje y hacia abajo (-Vy) o hacia arriba (+Vy)

Cuando el coeficiente de x2 es positivo, la parábola “mira” hacia arriba, es cóncava hacia arriba. Si el coeficiente de x2 es negativo, la parábola “mira” hacia abajo, es cóncava hacia abajo.

Funciones del tipo f(x) = a x 2

Gráfico de las siguientes funciones

f(x) = x2 g(x) = 2 x2 h(x) = x2 i(x) = - 3 x2 j(x) = - 0,75 x2

Todas las parábolas de la representación gráfica tienen como eje de simetría x = 0 y

vértice en V = (0 ; 0).

Si a>0 las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba.

Si a<0 las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo.

A medida que el valor absoluto de a aumenta, la abertura de las ramas de la parábola

disminuye.

A medida que el valor absoluto de a disminuye, la abertura de las ramas de la parábola aumenta.

Conclusiones

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f(x) = x2

g(x) = 2 x2

h(x) = x2

i(x) = -3 x2

j(x) = - 0,75 x2

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Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba. Si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo.

La abertura de las ramas de la parábola y = a x2, depende del valor absoluto de a. Cuanto más grande es el valor absoluta de a, más cerca del eje de simetría se encuentran las ramas de la parábola.

El vértice y el eje de simetría no dependen del valor de a.

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