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Funciones de Varias Variables
Juan Manuel Rodríguez Prieto
Funciones de varias variables
Consideremos el volumen de un cilindro circular recto
El volumen del cilindro depende de:
• radio
• Altura
• Matemáticamente, se puede escribir como sigue:
Decimos entonces que el volumen, es un función que depende de el radio y la altura
2( , )V r h r h
Funciones de varias variables
2( , )V r h r h
02
46
810
0
5
100
500
1000
1500
2000
2500
3000
x
x2 y
y
Funciones de varias variables
2( , )V r h r h
• A los valores que pueden tomar r y h, lo llamaremos dominio de la función. • Qué valores pueden tomar r y h en la función de volumen del cilindro?
• A los valores que puede tomar V(r,h) los llamaremos rango de la función. • Qué valores pueden tomar V?
Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
• Qué valores pueden tomar x y y? Cual es el dominio de w?
• Debido a que la raíz cuadrado, puede tener como dominio solo valores positivos, se tiene que
• O que
Considere la siguiente función:
2 0y x
2y x
Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
Recordemos la gráfica de
Considere la siguiente función:
2y x
Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
Qué valores de la grafica satisfacen la desigualdad?
Considere la siguiente función:
2y x
Cualquier pareja de puntos que se encuentra sobre la parábola, de donde, podemos decir que el dominio es cualquier pareja de puntos que se encuentran sobre la parábola.
Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
Considere la siguiente función:
El rango de la función w va a estar dado por: 0, )
Funciones de varias variables
1
( , )w x yxy
Considere la siguiente función:
El dominio de la función w va a estar dado por: 0xy
El rango de la función w va a estar dado por: ,0) (0, )
Funciones de varias variables
( , ) sin( )w x y xy
Considere la siguiente función:
El dominio de la función w va a estar dado por: todo el plano x y y
El rango de la función w va a estar dado por: 1,1 -1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(x y)
y
Funciones de varias variables
2 2( , )
1
yw x y
x y
Considere la siguiente función:
-5
0
5
-5
0
5
-0.5
0
0.5
x
y/(x2 + y2 + 1)
y
Funciones de varias variables
2 2( , )w x y x y
Considere la siguiente función:
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
x
x2 + y2
y
Funciones de varias variables
2 2( , ) sin( )w x y x y
Considere la siguiente función:
-1
0
1
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(x2 + y2)
y
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(x2 + y2)
y
z
Funciones de varias variables
2 2( , ) cos( )w x y x y
Considere la siguiente función:
-1
0
1
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
cos(x2 + y2)
y
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-1
-0.5
0
0.5
1
x
cos(x2 + y2)
y
z
Funciones de varias variables
( , ) sin( )cos( )w x y x y
Considere la siguiente función:
-2
0
2
-2
0
2
-1
-0.5
0
0.5
1
x
cos(y) sin(x)
y
Funciones de varias variables
2 2 2( , )w x y x y z
Considere la siguiente función:
El dominio de la función w va a estar dado por: todo el espacio (cualquier valor de x y y z)
El rango de la función w va a estar dado por: 0, )
Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función Trace las curvas de nivel
2 2( , ) 100f x y x y
( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y
2 2 100x y 2 2 49x y
2 2 25x y
Circulo de radio 10 y centro en el origen
Circulo de radio 7 y centro en el origen
Circulo de radio 5 y centro en el origen
Las tres ecuaciones se reconocen como la ecuación de un circulo
Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función Trace las curvas de nivel SI f representa la temperatura y x y y dos puntos en el espacio, f(x,y)=0 representa todo el conjunto de puntos donde la temperatura es 0. De la misma manera f(x,y)=51, representa todos los puntos donde la temperatura es 51, sobre el circulo de radio 7 y centro en el origen la temperatura es 51.
2 2( , ) 100f x y x y
( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y
Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
2 2( , ) 100f x y x y
-74.7
-49.7
-24.8
0.2
25.1
50.1
75
radio
altura
Curvas de nivel
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
2( , )f r h r h
392
783
1.17e+03
1.57e+03
1.96e+03
2.35e+03
2.74e+03
radio
altura
Curvas de nivel
2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
-0.75
-0.75
-0.75
-0.75
-0.75
-0.75
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
2.11e-10
2.11e-10
2.11e-10
2.11e-10
2.11e-10
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.750.75
0.75
0.75
0.75
eje x
eje
y
Curvas de nivel
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 2( , ) sin( )w x y x y
Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
2 2( , ) cos( )w x y x y
-0.75
-0.75
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-093.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
eje x
eje
y
Curvas de nivel
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Funciones de varias variables Ejercicios
Funciones de varias variables Ejercicios
Funciones de varias variables Ejercicios
Funciones de varias variables Ejercicios
567
567
567
567
572
572
572
572
577
577
577
577
581
581
581
581
586
591
595
eje x
eje
y
Curvas de nivel
-6 -4 -2 0 2 4 6-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Funciones de varias variables Ejercicios
Funciones de varias variables Ejercicios
0.588
1.18
1.76
2.35
2.94
3.53
4.11
4.7
5.29
5.88
peso
esta
tura
Curvas de nivel
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Funciones de varias variables Ejercicios
Funciones de varias variables Ejercicios
-5
0
5
-5
0
5-10
-5
0
5
10
x
(2 x + 3 y)/(5 x - 2 y)
y
Funciones de varias variables Ejercicios
-20
-10
0
10
20
-20
-10
0
10
200
2
4
6
8
10
x
(x2 + y2 - 64)1/2
y
z
Funciones de varias variables Ejercicios
-5
0
5
-5
0
5
-40
-20
0
20
40
x
x y
y
Funciones de varias variables Ejercicios
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10-1
-0.5
0
0.5
1
x
(2 x)/(x2 + y2 + 3)
y
Funciones de varias variables Ejercicios
0
5
10
-10
-5
0
5
10-2
-1
0
1
2
3
4
x
log(2 x + y - 1)
y
Funciones de varias variables Ejercicios
Funciones de varias variables Geogebra
Solución sistema lineal de 2 por 2
A:={{1, 4}, {-1, 2}}
B:={{0}, {-1}}
Inversa[ A ]*B
{x+3y=4,2x-y=2}
b:=x^2+2x+10
Derivada[ b ]
Integral[ b, 0, 2 ]
Integral[ b ]
Funciones de varias variables Ejercicios
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