Funciones de Varias Variables · Funciones de Varias Variables Indice de Quetelet o Indice de Masa...
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Funciones de Varias Variables ´ Indice de Quetelet o ´ Indice de Masa Corporal “El sobrepeso y la obesidad se definen como una acumulaci´on anormal o excesiva de grasa que puede ser perjudicial para la salud. El ´ ındice de masa corporal (IMC)-peso en kilogramos dividido por el cuadrado de la talla (estatura) en metros (kg/m2)- es un ´ ındice utilizado frecuentemente para clasificar el sobrepeso y la obesidad en adultos. La OMS (organizaci´ on mundial de la salud) define el sobrepeso como un IMC igual o superior a 25, y la obesidad como un IMC igual o superior a 30.” Tomado de http://www.who.int/features/factfiles/obesity/facts/es/ Clasificaci´ on del IMC Insuficiencia < 18.5 Intervalo normal 18.5-24.5 Sobrepeso ≥ 25 Preobesidad 25-29.9 Obesidad ≥ 30 Este ´ ındice es un ejemplo de una funci´ on de varias variables que estudiaremos en el presente curso. Una funci´on de varias variables (campo escalar) es una regla que asigna a cada vector en un subconjunto de R n un ´ unico n´ umero real. Para el ejemplo del IMC: el espacio es R 2 (por lo que se trata de una funci´ on de dos variables), las variables (independientes) son estatura y peso, la regla es P E 2 y el IMC corresponde a la variable dependiente. Para hallar el IMC, se debe especificar tanto el peso de la persona como la talla, el conjunto de todas las posibles combinaciones (parejas, vectores) de peso y talla (que son las variables independientes), en las cuales se podr´ ıa calcular el IMC se conocen como el dominio de la funci´ on y los valores que puedan obtenerse del IMC (variable dependiente) se conocen como el rango de la funci´ on. El dominio(considerado de forma general) ser´ ıa Domf = {(E,P ) ∈ R 2 : E> 0,P> 0}. Este corresponde al primer cuadrante en el plano cuya gr´afica se presenta a continuaci´on. 1
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Funciones de Varias Variables
Indice de Quetelet o Indice de Masa Corporal
“El sobrepeso y la obesidad se definen como una acumulacion anormal o excesiva de grasa que puede ser perjudicial para lasalud. El ındice de masa corporal (IMC)-peso en kilogramos dividido por el cuadrado de la talla (estatura) en metros (kg/m2)-es un ındice utilizado frecuentemente para clasificar el sobrepeso y la obesidad en adultos. La OMS (organizacion mundial de lasalud) define el sobrepeso como un IMC igual o superior a 25, y la obesidad como un IMC igual o superior a 30.”Tomado de http://www.who.int/features/factfiles/obesity/facts/es/
Clasificacion del IMCInsuficiencia < 18.5
Intervalo normal 18.5-24.5Sobrepeso ≥ 25
Preobesidad 25-29.9Obesidad ≥ 30
Este ındice es un ejemplo de una funcion de varias variables que estudiaremos en el presente curso. Una funcion de variasvariables (campo escalar) es una regla que asigna a cada vector en un subconjunto de Rn un unico numero real. Para el ejemplodel IMC: el espacio es R2 (por lo que se trata de una funcion de dos variables), las variables (independientes) son estatura ypeso, la regla es P
E2 y el IMC corresponde a la variable dependiente. Para hallar el IMC, se debe especificar tanto el peso de lapersona como la talla, el conjunto de todas las posibles combinaciones (parejas, vectores) de peso y talla (que son las variablesindependientes), en las cuales se podrıa calcular el IMC se conocen como el dominio de la funcion y los valores que puedanobtenerse del IMC (variable dependiente) se conocen como el rango de la funcion. El dominio(considerado de forma general)serıa Domf = {(E,P ) ∈ R2 : E > 0, P > 0}. Este corresponde al primer cuadrante en el plano cuya grafica se presenta acontinuacion.
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Grafica de una funcion de dos variablesLa grafica de una funcion es util para conocer el comportamiento de la misma. La grafica de una funcion de dos variables serealiza en el espacio R3 y la superficie que se genera es el conjunto de todos los puntos del dominio junto con su correspondientevalor asignado del rango.
2 Este material ha sido recopilado, disenado y oeditado por Bibiana Patino y John Alex Alvarez E.
Curvas de nivelOtra forma de visualizar el comportamiento de una funcion de dos variables es por medio de las curvas de nivel. Una curva denivel graficada en R2, reune en una curva, todas las parejas que generan un mismo valor (constante y predeterminado) para lafuncion. Para el ejemplo del IMC es muy probable que varias personas tengan el mismo valor del IMC aunque difieran en sus
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pesos y tallas. Los valores (peso y estatura) de esas personas aparecerıan en la misma curva de nivel.
Las curvas de nivel del ındice de masa corporal se muestran en la siguiente grafica.
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Ahora se trabajara la funcion f(x, y) =√
64− x2 − y2
El dominio de esta funcion es Dom = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 64}. La grafica de este dominio es
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La zona sombreada representa todos las parejas en las cuales sı se puede reemplazar la funcion, como por ejemplo el puntoA. Sin embargo en aquellas parejas que no pertenezan a esta zona si se reemplaza se genera una raız negativa, como es el casodel punto B. Por lo tanto al dibujar curvas de nivel, estas solo pueden estar dentro de este cırculo. Si se grafica la curva de nivel4,79, esta debe pasar por el punto A.
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La curva de nivel 8 solo consta de la pareja (0, 0). La curva de nivel 0 corresponde al borde del dominio, x2 + y2 = 64.
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Ejercicios
1. La cafeterıa de la universidad vende el tinto a $1200, el cafe corriente a $1800, el cafe gourmet a $2200 y el capuchino a$2000. Escribir la funcion de ingreso que obtiene la cafeterıa por la venta de estos productos.
2. Para una caja rectangular sin tapa, construir la base cuesta $1400 por centımetro cuadrado y construir los lados cuesta$850 por centımetro cuadrado. Expresar el costo de construccion de la caja en funcion de las medidas de los lados.
3. En la remodelacion de la sala de una casa se va a cambiar el piso de ceramica a porcelanato. Si el costo del metro cuadradode porcelanato esta en $43500 y el piso tiene forma rectangular, exprese el costo de remodelacion en terminos del largo yel ancho de la sala. Si las dimensiones son 5,15 metros por 4,22 metros, calcule el costo (mınimo) del piso.
4. Modelo de filas. La cantidad de tiempo promedio que un cliente espera en una fila para recibir un servicio es W (x, y) = 10x−y
con x > y, donde y es el ritmo o tasa media de llegadas, expresada como numero de clientes por unidad de tiempo, y x esel ritmo o tasa media de servicio, expresada en las mismas unidades.
A. ¿Que sentido le da a la condicion x > y?
B. Determinar el dominio y graficarlo.
C. Dibujar algunas curvas de nivel.
D. Graficar la funcion.
5. La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular de acero de 7 metros de radio esT (x, y) = 60− 0,75x2− 0,75y2 , donde x y y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas. ¿Cual es la zonamas caliente de la placa? ¿Y la mas frıa?
6. El coeficiente de inteligencia de una persona se mide con la funcion I(m, e) = 100me
donde e es la edad real de la personay m es su edad mental.
A. Trazar la grafica de varias curvas de nivel.
B. ¿Que describen estas curvas?
C. Trazar la grafica de la funcion.
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7. Algunos medicos usan la formula empırica
A(P,E) = 0,0072P 0,425E0,725
que relaciona el area de la superficie corporal de una persona A medida en m2 , con su peso P en kg con la estatura E encm.
A. Encontrar la curva de nivel que pasa por (70, 160).
B. Si una persona pesa 18.37 kg y tiene un area superficial de 0.648 m2 , ¿que estatura se espera que tenga?
8. Para las siguientes funciones hallar su dominio, graficarlo y graficar la funcion:
A. f(x, y) = 2x+3y5x−2y
B. f(x, y) =√
x2 + y2 − 64
C. f(x, y) = xy
D. f(x, y) = 2xx2+y2+3
E. f(x, y) = ln(2x + y − 1)
F. f(x, y) = x+yln(2x−y+4)
G. f(x, y) =√x2 − y2 + 4y
9. Un empresa de telefonıa celular ofrece un plan a sus usuarios por un valor de $45000 que incluye 300 minutos y 200mensajes de texto, a todo destino. El minuto adicional a cualquier destino tiene un valor de $250 y el mensaje de textoadicional a cualquier destino $250. Si un usuario toma este plan, determinar la funcion de costo del plan. Graficar la curvade nivel para los valores c = 30000, 45000, 50000, 60000.
10. Verdadero o Falso. Justifique su respuesta.
A. Dada la funcion f(x, y) = 2x + 3y las parejas (2, 3) y (3, 2) estan sobre la misma curva de nivel.
B. La pareja (7, 2) hace parte del dominio de la funcion f(x, y) = ln(2x− 3y + 1).
C. Dada la funcion f(x, y) =√
4− x + 3y no es posible graficar curva de nivel que pase por (6, 0).
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D. Dos curvas de nivel no se pueden cortar.
E. Una curva de nivel puede constar de una sola pareja.
F. Las funciones f(x, y) =√
x2 + y2 y g(x, y) = x + y son iguales.
11. A continuacion se presenta las curvas de nivel de una funcion f . Estimelos valores de f(3, 4), f(1, 1) y f(0, 3) donde seaposible.
A.
Curvas de Nivel
-4
-2-2
0
02
2
24
4
4
46
6
6
68
8
8
810
10
10
10
12
12
12
12
14
14
14
14
16
16
16
16
18
18
18
18
20
20
20
20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
11 Este material ha sido recopilado, disenado y oeditado por Bibiana Patino y John Alex Alvarez E.
B.
Curvas de Nivel
-10
-10
-8
-8
-6
-6
-4
-4
-2
-2
00
0
2
2
2
44
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
10
10
1012
12
12
12
14
14
14
14
16
16
16
16
18
18
18
18
20
20
20
20
22
22
22
24
24
26
26
28
28
30
30
32
32
34
34
36
36
38
40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
12 Este material ha sido recopilado, disenado y oeditado por Bibiana Patino y John Alex Alvarez E.
C.
Curvas de Nivel
-4-4
-4-4
-3.5-3.5
-3.5-3.5
-3
-3
-3
-3
-2.5-2
.5
-2.5-2
.5
-2 -2
-2
-2-2
-2
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1
1
1
1.5
1.5 1
.5
1.5
1.5
1.5
2
2
2
2
2
2
2.5
2.5
2.5
2.5
3
3
3
3
3.5
3.5
3.5
3.5
44
44
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
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