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MATEMÁTICA BÁSICA – INGENIERÍA INDUSTRIAL

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE

Regla de Correspondencia: c)x(f =

Y

X

Ran f = {c}

Dom f = R cc > 0

f

Ejemplo: 1. Graficar: f(x) = 3 ; x ∈ R ⇓ y = 3

x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...

y ... 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ...

3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X

Yf

Domf = R

Ranf = {3}

2

2. Graficar: f(x) = –2, x ∈ á–5; 2]

Y

X-5 2

y = -2-2

Ranf = {-2}

3. Graficar: g(x) = 3; x ∈ á2: 5ñ

Y

X52

y = 3

3

Rang ={3}

FUNCIÓN IDENTIDAD

Regla de Correspondencia: x)x(f)x(I ==

Y

X

y= x

45°

3

Ejemplo: 1. Graficar: I(x) = x; x∈ á2: 5]

2 5

5

2

Y

X

2. Graficar:

x; x 3 ;1]f(x) =

x; x [4; 6]

∈ −

∈

1

-3

-3

4 6

6

4

1

Y

X

Dom f = á- 3; 1] ∪ [4; 6] Ran f = á- 3; 1] ∪ [4; 6]

4

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Regla de Correspondencia: x)x(f =

Dom f = R ; Ran f = [0; ∞ñ Sea y = x, tabulando:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 3 2 1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 1 2 3 4 X

y = x

45°

Y

FUNCIÓN LINEAL O AFÍN

Regla de Correspondencia: 0m;bmx)x(f ≠+=

X

L1

bm- α

b

tgα =m

y= mx + b

Y

Donde “m” es pendiente de la recta L1

5

���� NOTA: Para determinar las intersecciones de la gráfica de una función con el

eje “X” se hace y = 0 y se determina los valores de x. En forma similar para determinar las intersecciones con el eje “Y” se hace x = 0.

Ejemplo: Graficar: y = (x – 2) (x + 3) (x – 5) Hacemos y = 0 y determinamos los valore de x

0 = (x - 2)(x +3)(x - 5)

De donde: x = 2 ∨ x = - 3 ∨ x = 5 Los puntos de corte con el eje X serán:

(2; 0), (- 3; 0), (5; 0)

Ahora para determinar los puntos de corte con ele eje “Y” hacemos x = 0 de donde:

y = (– 2) (3) (– 5) = 30

Entonces el intercepto con el eje “Y” es el punto (0; 30). Un esbozo gráfico de la función será:

Y30

y

-3 2 5 X

Ejemplo: 1. Graficar f(x) = 2x - 4 Sea: y = 2x - 4 Si: x = 0; y = - 4; (0; - 4) punto de corte con el eje Y Si: y = 0; x = 2; (2; 0) punto de corte con el eje X

6

2

-4

Y y = 2x - 4

X

m = 2

Observe que si la pendiente es positiva la recta siempre se inclina hacia

la derecha. 2. Graficar: H(x) = - 3x + 6 Sea: y = - 3x +6 Si: x = 0; y = 6; (0; 6) punto de corte con el eje Y Si: y = 0; x = 2; (2; 0) punto de corte con el eje X

2

Y

y= - 3x + 6

X

6

m = -3

Observe que si la pendiente es negativa la recta se inclina hacia la

izquierda.

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

Regla de Correspondencia: cbxax)x(f 2 ++= ; a ≠ 0

Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:

k)hx(a)x(f 2 +−= ; a ≠ 0

Donde: V = (h; k) es el vértice de la parábola.

- Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba - Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo

Analicemos la gráfica de esta función, teniendo como referencia a su discriminante ∆.

2∆ = b - 4ac

A. Primer Caso. Si ∆ > 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:

1.

a > 0

x1

h

Xx2

K V

Y

f

x1, x2 son las raíces reales y diferentes de f(x)

Ran f = [k; ∞ñ observar que el mínimo valor de la función es k Dom f = R

8

2.

a < 0

x1 h Xx2

KV

Y

f

> 0x ,1 x2 son lasraíces reales ydiferentes

Ran f = á- ∞; K], observar que el máximo valor de la función es K Dom f = R B. Segundo Caso. Si ∆ = 0, la gráfica podría tener cualquiera de las

siguientes formas: 1.

a > 0

X

Y

f

x 1 x 2=

Ran f = [0; >

Dom f = R

∞

2.

a < 0

X

Y

f

x1 x2=

donde son las x1 ; x2raíces reales e iguales

Dom f = RRan f = <- , 0]∞

9

C. Tercer Caso. Si ∆ < 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera

de las siguientes formas: 1.

a > 0

X

Y

f

Ran f = [K; >

Observe que la parábola

h

< 0

KV

no intersecta al eje real "x"

por lo tanto no existe raíces

reales.

∞

2.

a < 0

X

Y

Ran f = ; K]< -

h

< 0K V

∞

���� NOTA: Para completar cuadrados al siguiente polinomio se hace:

222

2

a

2

axaxx

−

+=+

10

Ejemplos:

•••• 4)2x(2)2x(x4x 2222 −+=−+=+

••••

222

2

3

2

3xx3x

−

+=+

••••

−

+=

+=+22

224

5

4

5x2x

2

5x2x5x2

Ejemplos: 1. f(x) = x2 - 6x + 8 Resolución: f(x) = (x - 3)2 - (3)2 + 8 = (x - 3)2 - 1 V = (3; - 1) Si: x = 0, y = 8; (0; 8) punto de corte en el eje “y” Si: y = 0, x = 2 ∨ x = 4 entonces (2; 0), (4; 0) son los puntos de corte

con el eje “X” y como el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Y

X-12 4

3

>0

8

V

f

Ran f. = [-1; >

El mínimo valor dela función es - 1

Observar que para determinar el mínimo valor de la función cuando el

coeficiente principal sea positivo, basta calcular el vértice ya que la segunda componente indicará el mínimo valor de la función.

11

2. Calcular el mínimo valor de la función “g”, si: g(x) = 3x2 - 2x+1

Resolución: Completando cuadrados:

13

1

3

1x31x

3

2x3)x(g

222 +

−

−=+

−=

3

2

3

1x3)x(g

2+

−=

=3

2;

3

1V (Vértice)

Entonces el mínimo valor de la función es: 3

2

3. Graficar: f(x) = - x2 + 8x – 15 Resolución: Completando cuadrados:

15)x8x(y 2 −−−=

15]16)4x[(y 2 −−−−=

)1;4(V;1)4x(y 2 =+−−= Si: x = 0, y = - 15, entonces (0; - 15) punto de corte con el eje “Y” Si: y = 0, x = 5 ∨ x = 3, entonces (5; 0), (3; 0) puntos de corte con el

eje “X”

Y

X

-15

4

3

>0

5

fRan f. = ;1] <

El máximo valor dela función es 1 y estoocurre cuando x = 4

∞

12

Observar que para determinar el máximo valor de la función cuando el

coeficiente principal es negativo basta calcular el vértice ya que la segunda componente indicará el máximo valor de la función.

4. Calcular el máximo valor de la función: f(x) = - 3x2 + 5x + 1 Resolución: Completando cuadrados:

132

25

6

5x31x

3

5x3)x(f

22 +

−

−−=+

−=

12

37

6

5x3)x(f

2+

−−=

=12

37;

6

5V

El máximo valor que toma la función es 12

37

5. Para qué valor de “x” la función adopta su máximo valor:

f(x) = - x2 - 8x + 1

Resolución: Completando cuadrados:

f(x) = [x2 + 8x] + 1 = –[x2 + 8x + 16] + 16 + 1

17)4x()x(f 2 ++−= ; V = (- 4; 17) El máximo valor de la función es 17 y esto ocurre cuando x = - 4.

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FUNCIÓN POTENCIAL O EXPONENCIAL

Regla de Correspondencia: nx)x(f = ; n ∈ N , n > 1, x ∈ R

Primer Caso: Si “n” es par:

6

1

-1 1 X

Yy = x

y = xy = x

4

2

Segundo Caso: Si “n” es impar:

Y

X

Ran f. = R

Dom f. = R

y = x 5

y = x 3

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FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Regla de Correspondencia: x)x(f = ; x ≥ 0

Su gráfica es la siguiente y se obtiene tabulando:

y = xY

X

Ejemplos:

1. Obtener la gráfica de f(x) = 2x − Resolución: La gráfica de esta función la vamos a obtener por desplazamiento

horizontal, a partir de la gráfica original y =x

x

yy = x

x

yy = x - 2

2

Observemos que f(x) = 2x − se ha obtenido desplazando la curva

y = x , 2 unidades hacia la derecha.

15

2. Graficar: f(x) = 2x + Resolución:

x

y

y = x

x

yy = x + 2

- 2

Observemos que f(x) se ha obtenido desplazando la curva y = x , 2 unidades hacia la izquierda.

3. Graficar: f(x) = x2 + 2 Resolución: Esta grafica también vamos a obtener por un desplazamiento vertical de

la función original y = x2.

x

y

y = x 2

2

desplacemos estacurva 2 unidadeshacia arriba

x

y

y = x + 22

2

16

4. Graficar: f(x) = |x| - 3

x

y

- 3

30

y = |x|

y = |x|- 3

Observar que esta grafica lo hemos obtenido a partir de la curva y = |x|

desplazándose 3 unidades hacia abajo. ���� NOTA: Estos desplazamientos tanto horizontales como verticales lo podemos

aplicar a cualquier función que acabamos de estudiar.

5. Graficar: f(x) = x - 5 + 2

x

y

y = x

x

y

y = x - 5

5

x

y

y = x - 5 + 2

5

2

Ranf = [2; ∞ñ ; Domf = [5; ∞ñ

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Grafique: f(x) = 3, halle su dominio y su rango. 2. Sea f una función tal que: f: {3; 4; 5; 9} → B x → f(x) = 2x – 3 Halle el rango de f. 3. Señale la suma de los elementos del rango de la función: F(x) = 2x – 1.

Siendo: x = {1; 2; 3; 4} 4. Grafique, dé el dominio y rango de: y = 2x + 4 5. Los puntos (-2; -8) y (0; 2) Pertenece a la gráfica de una función lineal.

Determine la pendiente. 6. La pendiente que pasa por el origen de coordenadas es 2. Si el punto

(m; n) pertenece a dicha recta. Calcule (m/n) 7. La función: y = ax + b, tiene pendiente igual que la función identidad y

pasa por el punto (3; 7). Calcule: a + b 8. ¿Cuánto mide el ángulo que forma la gráfica de la función y = x – 3

con el eje "x"? 9. Grafique, dé el dominio y rango de: f(x) = |x + 1| 10. Grafique, dé el dominio y rango de: y = |x – 3| + 3 11. Grafique, dé el dominio y rango de: f(x) = |2x – 10| - 1 12. Grafique, dé el dominio y rango de: y = 3|x + 2|; x > 5 13. ¿En cuántos puntos intersecta la gráfica de la función y = - |x| + 2, al

eje x? 14. ¿Cuánto es la distancia entre los puntos de intersección del eje con la

gráfica de la función y + 2 = - |x + 2|? 15. ¿En qué punto intersecta la gráfica de la función: y = |x + 1|; al eje y?

18

16. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tener el rango de la función y = |x + 2| + 3?

17. Sea f(x) = b + |x – a| una función cuya gráfica se da a continuación:

Y

X2

f(x)

a+3

c

d

Halle la relación entre c y d. 18. Determinar las coordenadas del vértice de cada una de las siguientes

funciones cuadráticas:

a) f(x) = x2 + 3x + 2 b) f(x) = 4x2 + 13x + 3 c) f(x) = x2 – 7x +12 19. Grafique la siguiente función: f(x) = x2 - 6x + 5 20. Grafique, dé el dominio y rango de: y = (x – 3)2 – 1 21. Grafique, halle el dominio y el rango de: f(x) = x2 + 4x + 4 22. Grafique, dé el dominio y el rango de: y = x2 + 6x + 20; x > 1 23. Halle el rango de la siguiente función: f(x) = x2 - 4x + 9; x ∈ R 24. Determine el rango de la función: f(x) = 9 - x2 25. Determine el rango de la función: f(x) = x2 + 2 26. Sea f(x) = x2 + 4x, una función cuyo mínimo valor es a; calcule “a”. 27. Sea la función f(x) = ax2 – bx + c. Además se cumple que:

f(1) = 0 ∧ f(1) = 6 ∧ f(0) = 1 Calcule: f(4)

19

28. Si (2; 5) es un punto que pertenece a la gráfica de la función f(x) = x2 – k; calcule m + 3 si (5; m) también pertenece a la gráfica de la función f.

29. Sea: f(x) = 2x2 − . Donde Dom f = [a + b + c]. Calcule: abc

cba 333 ++

30. Halle el rango de la siguiente función:

−∈<

+= ]5;6x1x;x)x(f 2

31. Sea: f: [3; 27] → B

x → f(x) = 52x +− . Determine el rango de f. 32. Sea f(x) = |x2 + 3| + 5. Donde x ∈ ⟨3; 4⟩. Halle el rango de f(x). 33. Halle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones:

f(x) = 4 ∧ g(x) = |x| - 1 34. Grafique: f(x) = |x2 + 1| – 5; x ∈ ⟨–2; 2⟩ 35. Sea f una función cuya regla de correspondencia es:

−≤−<≤−

≥+

=2x|;3x|

2x2;14x

2x;2x3

)x(f 2

Calcule: )f()f( )1()4(ff +

36. Sean: f(x) = – |x - 2| + 5 ; g(x) = 4 cuyas gráficas se dan a continuación:

m nd

X

Y

g(x)

f(x)

Calcule: d