Funciones Especiales y Trascendentes

Institución Educativa Departamental Integrada

Alfonso López Pumarejo

Nemocón

Cálculo; Undécimo

Docente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal

2011

Funciones trascendentes y especiales 2º Bimestre

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FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función de la forma ( ) , recibe el nombre de

función exponencial. Las funciones

exponenciales cumplen las siguientes

características:

El Dominio es el conjuntos de los

números Reales;

El Rango es el conjunto de los números

reales positivos: ( )

Si el valor de a >1 la función es creciente

Si el valor de 0 < a <1 la función es

decreciente

Para elaborar la gráfica de una función exponencial es necesario primero hallar el corte con el eje y para lo

cual se evalúa la función cuando x = 0; luego se realiza una tabla de valores para poder encontrar diferentes

puntos y de esta manera obtener un resultado más aproximado.

Ejemplo. Graficar la función ( )

Primero se halla el corte con el eje y cuando x=o; entonces ( )

Luego se realiza una tabla de valores

X -1 -2 2 3

Y 1 0,5 8 16

( )

( )

( )

( )



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ECUACIONES CON FUNCIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las cuáles la incógnita está en el exponente. Para resolverlas

se aplica la propiedad de la potenciación .

Ejemplo 1. Solucionar la ecuación

Primero se escribe el número 64 como potencia

; este valor se reemplaza en la ecuación

original

Como las bases son iguales entonces se

igualan los exponentes

La solución de la ecuación es

Ejemplo 2 solucionar la ecuación Primero se escribe el número 125 como potencia


original

( )

Como las bases son iguales

entonces se igualan los exponentes

Se resuelve como una ecuación

lineal

Se multiplica por -1 para que la

incógnita no quede negativa

Ejemplo 3 solucionar la ecuación Primero se escribe el número 32 como potencia


original

Como las bases son iguales se

igualan los exponentes

Para poder resolver esta

ecuación aplicamos la fórmula cuadrática

√

Dado que a=1; b=-3 y c=-5 la solución dela

fórmula cuadrática es √

al despejar los

valores obtenemos que √

y el

valor de √

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una Función de la forma ( ) , reciben el nombre de funciones logarítmicas.

Las características de las funciones logarítmicas son:

El dominio es el conjunto de los números

reales positivos; ( )

El rango es el conjunto de los números

reales;

Si a > 1 la función es creciente

Si 0 < a < 1la función es decreciente



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Propiedades de los logaritmos

1.

2.

3. ( ) m + n

4. ( ) m - n

5. m

Ejemplo. Escribir la siguiente expresión como un solo logaritmo

Primero encontramos un factor común

( )

En cada uno de los logaritmos se aplica la propiedad 5; entonces ;

Al reemplazar se obtiene

( ) como en hay una suma se aplica

la propiedad 3 entonces nos queda y se reemplaza

( ( ) ) Como en ( ( ) ) hay una resta se aplica la propiedad 4

entonces nos queda

al remplazarlo obtenemos

(

) Se aplica la propiedad 5 y se obtiene (

)

= √

los valores que puedan salir

del radial se saca obteniendo como resultado √

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Características



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FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN A TROZOS

Una función formada por la unión de dos o mas funciones, para la cual cada una de ellas esta definida en

intervalos disyuntos, recibe el nombre de función segmentada o función a trozos. En general una función a

trozos se define como: ( ) ( ) {

( ) ( )

( )

Donde I simboliza cada uno de los intervalos

Ejemplo 1. Trazar la gráfica y determinar el dominio y rango de la siguiente función

( ) {

[ )

[ )

(

la función esta compuesta por tres trozos para los cuáles cada uno tiene su propio intervalo, para graficar

se realiza una tabla de valores para cada trozo de la siguiente manera.

Para el trozo 1 se tiene en cuenta el intervalo y se dan los valores los cuáles se reemplaza el trozo de la

función y se dan valores para 4x+11. Ejemplo 4(-4)+11=-16+11= -5

X -4 -3 -2

Y -5 -1 3

Para el trozo dos se realiza el mismo procedimiento del trozo 1 pero cambiando de función y de intervalo

se utiliza la función .ejemplo ( )

X -2 -1 0 1 2

Y 4 1 0 1 2

En el trozo 3 se puede observar que es una recta cuando y=3 en el intervalo (2,5]

Es importante qué en la gráfica se pueda observar cuando es

un intervalo cerrado o un intervalo abierto mediante sus

símbolos.

De la gráfica se observa que:

[ ) [ ( [ Ran = [-5,4]



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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es un caso particular de las funciones a trozos. Está función asigna a cada elemento del dominio su valor

absoluto y esta definida por: ( ) | | {

Ejemplo.Representar gráficamente la función ( ) | |y luego determinar el dominio y

rango.

Primero se escribe la función según la definicón del valor absoluto.

( ) { ( )

Se resuelven los intervalos obteniendo

y

( )

{

Luego se realiza tablas de valores para cada uno de los trozos y se realiza la gráfica.

En la gráfica se puede observar que:

[ )



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TALLER

1. Realiza la gráfica y luego halla el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones.

a. ( )

b. ( ) (

)

c. ( )

d. ( )

e. ( ) {

[ )

[

(

f. ( ) | |

g. ( ) {

h. ( ) | |

i. ( ) {

j. ( ) | |

2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

a.

b.

c.

d.

e.

3. Escribir las siguientes expresiones como un solo logaritmo.

a.

b.

c.

4. Observa las gráficas de las funciones trigonométricas, luego indica cuáles son las

asíntotas de las graficas de las funciones: tangente, secante, cotangente y cosecante

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