Funciones Trigonometricas-Moro Monica

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TrigonometraFunciones Trigonomtricas

ContenidosArtculos

Trigonometra 1

Funciones Trigonomtricas 24Seno (trigonometra) 24Coseno 29Tangente (trigonometra) 33

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo 36Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 37

Licencias de artculosLicencia 38

Trigonometra 1

TrigonometraLa trigonometra es una rama de la matemtica, cuyosignificado etimolgico es "la medicin de lostringulos". Se deriva del vocablo griego "tringulo" + "medida".[1]

En trminos generales, la trigonometra es el estudio delas funciones seno, coseno; tangente, cotangente;secante y cosecante. Interviene directa o indirectamenteen las dems ramas de la matemtica y se aplica entodos aquellos mbitos donde se requieren medidas deprecisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de lageometra, como es el caso del estudio de las esferas enla geometra del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, son usadas en astronoma para medirdistancias a estrellas prximas, en la medicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacinpor satlites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robtico gigantesco de la Estacin EspacialInternacional. Este manipulador es operado controlando los ngulos de sus

articulaciones. Calcular la posicin final del astronauta en el extremo del brazorequiere un uso repetido de las funciones trigonmetricas de esos ngulos que se

forman por los varios movimientos que se realizan.

Unidades angulares

En la medida de ngulos, y por tanto entrigonometra, se emplean tres unidades, sibien la ms utilizada en la vida cotidiana esel Grado sexagesimal, en matemticas es elRadin la ms utilizada, y se define como launidad natural para medir ngulos, el Gradocentesimal se desarroll como la unidad msprxima al sistema decimal, se usa entopografa, arquitectura o en construccin.

Radin: unidad angular natural entrigonometra, ser la que aquutilicemos. En una circunferenciacompleta hay 2 radianes.

Grado sexagesimal: unidad angular quedivide una circunferencia en 360 grados.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Transportador en radianes. Transportador en grados sexagesimales. Transportador en grados centesimales

Trigonometra 2

Las funciones trigonomtricasLa trigonometra como rama de las matemticas realiza su estudio en la relacin entre los lados y ngulos de untringulo rectngulo, con una aplicacin inmediata en geometra y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin sedefinieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtindose en elementos matemticosestudiados en s mismos y con aplicaciones en los campos ms diversos.

Razones trigonomtricas

El tringulo ABC es un tringulo rectngulo enC; lo usaremos para definir las razones seno,coseno y tangente, del ngulo ,correspondiente al vrtice A, situado en el centrode la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin porllamarse "senos" en latn) es la razn entre elcateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razn entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razn entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Trigonometra 3

Razones trigonomtricas recprocas

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec)es la razn recproca de seno, o tambin suinverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

La Secante: (abreviado como sec) es la razn recproca de coseno, o tambin su inverso multiplicativo:


La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razn recproca de la tangente, o tambin su inversomultiplicativo:


Normalmente se emplean las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un intersespecfico en hablar de ellos o las expresiones matemticas se simplifiquen mucho, los trminos cosecante, secante ycotangente no suelen utilizarse.

Trigonometra 4

Otras funciones trigonomtricasAdems de las funciones anteriores existen otras funciones trigonomtricas, matemticamente se pueden definirempleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geomtrico, veamos:El seno cardinal o funcin sinc (x) definida:

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, tambin se denomina sagita oflecha, se define:

El semiverseno, se utiliza en navegacin al intervenir en el clculo esfrico:

El coverseno,

El semicoverseno

El exsecante:

Funciones trigonomtricas inversasEn trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes (dado que un radin es el arco de circunferencia delongitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funcionesinversas se denominan con el prefijo arco,

y es igual al seno de x, la funcin inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o tambin x es el arcoseno de y.si:

y es igual al coseno de x, la funcin inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.si:

y es igual al tangente de x, la funcin inversa:

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

Trigonometra 5

Valor de las funciones trigonomtricasA continuacin algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Circunferencia en radianes. Circunferencia en grados sexagesimales.

Radianes Grados sexag. seno coseno tangente cosecante secante cotangente

Para el clculo del valor de las funciones trigonomtricas se confeccionaron tablas trigonomtricas. La primera deestas tablas fue desarrollada por Johann Mller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ngulo,calcular los valores de sus funciones trigonomtricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informtica, enprcticamente todos los lenguajes de programacin existen libreras de funciones que realizan estos clculos,incorporadas incluso en calculadoras electrnicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resultaobsoleto.

Trigonometra 6

Sentido de las funciones trigonomtricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, decentro O, y una circunferencia goniomtrica(circunferencia de radio la unidad) con centro enO; el punto de corte de la circunferencia con ellado positivo de las x, lo sealamos como puntoE.

Ntese que el punto A es el vrtice del tringulo,y O es el centro de coordenada del sistema dereferencia:

a todos los efectos.La recta r, que pasa por O y forma un ngulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia enel punto B, la vertical que pasa por B, corta aleje x en C, la vertical que pasa por E corta a larecta r en el punto D.

Por semejanza de tringulos:

Los puntos E y B estn en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de lacircunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funcionestrigonomtricas:

tenemos:

La tangente es la relacin del seno entre el coseno, segn la definicin ya expuesta.

Primer cuadrante

Para ver la evolucin de las funciones trigonomtricas segn aumentael ngulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, vindolopor cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada funcintrigonomtrica variaran de longitud, siendo esta variacin funcin delngulo, partiendo en el primer cuadrante de un ngulo cero.Partiendo de esta representacin geomtrica de las funcionestrigonomtricas, podemos ver las variaciones de las funciones amedida que aumenta el ngulo .

Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

Trigonometra 7

Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentarn progresivamente, mientrasque disminuir.Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ngulo aumenta se desplaza sobre ella.El punto E es la interseccin de la circunferencia con el eje x y no varia de posicin.

Trigonometra 8

Los segmentos: y estn limitados por la circunferencia y por tanto su mximo valor absoluto ser 1, perono est limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en

el momento en el que el ngulo rad, la recta r ser la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales nose cortan, o lo que es lo mismo la distancia ser infinita.El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto ms alto de la circunferenciay el seno toma su mayor valor: uno.Para un ngulo recto las funciones toman los valores:

Segundo cuadrante

Cuando el ngulo supera el ngulo recto, el valor del seno empiezaa disminuir segn el segmento , el coseno aumenta segn elsegmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor delcoseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumentacuando el ngulo sigue creciendo.La tangente para un ngulo inferior a rad se hace infinita enel sentido positivo de las y, para el ngulo recto la recta vertical r quepasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto latangente no toma ningn valor real, cuando el ngulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongacin de r corta a la verticalque pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, latangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, ysu valor absoluto disminuye a medida que el ngulo aumentaprogresivamente hasta los rad.

Trigonometra 9

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que tomapara rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor variadesde 0 para rad, hasta 1, para rad.La tangente conserva la relacin:

incluyendo el signo de estos valores.Para un ngulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E,con lo que tenemos:

Tercer cuadrante

Trigonometra 10

Cuando el ngulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, elcoseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo haciaen el primer cuadrante.A medida que el ngulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace ms pequeo en ellado negativo de las x.El punto B, interseccin de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentidonegativo de las y, el seno, .Y el punto D, interseccin de la prolongacin de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en elsentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ngulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdr cero, el segmento serigual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdr 1, la recta r del ngulo y la verticalque pasa por E sern paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relacin:

que se cumple tanto en valor como en signo, ntese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

Trigonometra 11

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ngulo entre rad y rad, las variables trigonomtricas varan desde los

valores que toman para rad:

hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotacin:

Trigonometra 12

como puede verse a medida que el ngulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el senodisminuye en el lado negativo de las y, y la tangente tambin disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando , vale al completar una rotacin completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que elseno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.Dado el carcter rotativo de las funciones trigonomtricas, se puede afirmar en todos los casos:

Que cualquier funcin trigonomtrica toma el mismo valor si se incrementa el ngulo un nmero entero derotaciones completas.

Representacin grfica

Representacin de las funciones trigonomtricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

Trigonometra 13

Clculo de algunos casos

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatrocuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se cortan en elcentro de la circunferencia O, estas rectas cortan a lacircunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta horizonte ACtambin la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dadauna recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma unngulo con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemosque la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical quepasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, comoya se vio anteriormente, las funciones trigonomtricas:

para el seno:

dado que:

Para el coseno:

dado que:

Para la tangente:

dado que:

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

Trigonometra 14

Para 90-

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ngulo enel sentido horario, la recta r forma con el eje x un ngulo 90-, elvalor de las funciones trigonomtricas de este ngulo conocidas lasde sern:

El tringulo OEF rectngulo en E, siendo el ngulo en F , por lotanto:

en el mismo tringulo OEF, tenemos que:

viendo el tringulo OAG, rectngulo en A, siendo el ngulo en G igual a , podemos ver:

Para 90+

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ngulo ,medido en sentido trigonomtrico, el ngulo formado por el ejehorizontal OA y la recta r ser 90+. La prolongacin de la rectar corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G.

El tringulo OEF es rectngulo en E y su ngulo en F es , por lotanto tenemos que:

Trigonometra 15

En el mismo tringulo OEF podemos ver:

En el tringulos OAG rectngulo A y siendo el ngulo en G, tenemos:

Para 180-

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ngulo , elngulo entre el eje OA y la recta r es de 180-, dado el tringuloOEF rectngulo en E y cuyo ngulo en O es , tenemos:

en el mismo tringulo OEF:

En el tringulo OAG, rectngulo en A y con ngulo en O igual a , tenemos:

Trigonometra 16

Para 180+

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con unngulo trazados la recta r, el ngulo del eje OA y la recta r es de180+, como se ve en la figura. En el tringulo OEF rectnguloen E se puede deducir:

en el mismo tringulo OEF tenemos:

en el tringulo OAG, rectngulo en A, vemos que:

Para 270-

Sobre el eje OD y con un ngulo medido en sentido horariotrazamos la recta r. El ngulo entre el eje OA y la recta r es de270-. En el tringulo OEF, rectngulo en E, tenemos:

Trigonometra 17

por otra parte en el mismo tringulo OEF, tenemos:

en el tringulo OAG rectngulo en A, y siendo el ngulo en G, tenemos;

Para 270+

Sobre el eje OD y con un ngulo medido en sentidotrigonomtrico, trazamos la recta r. El ngulo entre el eje OA y larecta r es de 270+. En el tringulo OEF, rectngulo en E,tenemos:

por otra parte en el mismo tringulo OEF, tenemos:

en el tringulo OAG rectngulo en A, y siendo el ngulo en G, tenemos;

Trigonometra 18

Para -

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con unngulo medido en sentido horario trazados la recta r, el ngulodel eje OA y la recta r es de -, o lo que es lo mismo 360- comose ve en la figura. En el tringulo OEF rectngulo en E se puedededucir:

en el mismo tringulo OEF tenemos:

en el tringulo OAG, rectngulo en A, vemos que:

Identidades trigonomtricasUna identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometraexisten seis identidades fundamentales:

Recprocas

Trigonometra 19

De divisin

Por el teorema de PitgorasComo en el tringulo rectngulo cumple la funcin que:

de la figura anterior se tiene que:

por tanto:

entonces para todo ngulo , se cumple la identidad Pitagrica:

que tambin puede expresarse:

Trigonometra 20

Suma y diferencia de dos ngulos

Suma y diferencia del seno y coseno de dos ngulos

Trigonometra 21

Producto del seno y coseno de dos ngulos

ngulo doble

ngulo mitad

Otras identidades trigonomtricas

Vase tambin: Sinusoide

Trigonometra 22

Seno y coseno, funciones complejasEl seno y coseno se definen en matemtica compleja, gracias a la frmula de Euler como:

Por lo tanto, la tangente quedar definida como:

Siendo (tambin puede representarse como j).Es preciso destacar, que todas las formulas trigonometricas anteriores, son derivadas del Teorema de Pitgoras.

Vase tambin Historia de la trigonometra Funcin trigonomtrica Identidad trigonomtrica Funciones hiperblicas Lista de integrales de funciones trigonomtricas Frmula de Euler y Nmero complejo, para funciones trigonomtricas complejas Trigonometra esfrica

Referencias[1] Etimologa de la palabra "trigonometra" (http:/ / www. etymonline. com/ index. php?search=trigonometry). Diccionario web de

etimologa (ingls).

Bibliografa Corts Espinosa de los Monteros, Nuria. Ediciones Didcticas y Pedaggicas S. L.. ed. Actividades para unidad

didctica sobre trigonometra [Recurso electrnico] (2008). ISBN 978-84-936336-3-9. Domnguez Muro, Mariano. Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca. ed. Trigonometra

activa: 2 BUP (1985). ISBN 978-84-7800-056-2.

Enlaces externosWikilibros Wikilibros alberga un libro o manual sobre Tabla trigonomtrica. Ejercicios de Trigonometra (http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/ trigonometria/ indice. htm)

(Proyecto Descartes para Educacin Secundaria del Ministerio de Educacin de Espaa). lgebra y Trigonometra. Universidad de Chile (http:/ / mazinger. sisib. uchile. cl/ repositorio/ lb/

ciencias_agronomicas/ fernandezc01/ index. html) Trigonometra (http:/ / recursos. pnte. cfnavarra. es/ ~msadaall/ geogebra/ trigono. htm) (Applets con Geogebra de

Manuel Sada). Orgenes de la trigonometra (http:/ / www. educar. org/ enlared/ miswq/ webquest_2. htm) (Webquest). Matemtica - Trigonometra (http:/ / www. fisicanet. com. ar/ matematica/ m1_trigonometria. php) (Apuntes y

ejercicios de Trigonometra en Fisicanet). La trigonometra, para qu sirve? (http:/ / www. phy6. org/ stargaze/ Mtrig1. htm)

Trigonometra 23

Funciones trigonomtricas (http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/ Funciones_trigonometricas/Las_funciones_trigonometricas. htm) (Proyecto Descartes para Educacin Secundaria del Ministerio deEducacin de Espaa).

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Funciones Trigonomtricas

Seno (trigonometra)En trigonometra el seno de un ngulo en untringulo rectngulo se define como la raznentre el cateto opuesto y la hipotenusa:

O tambin como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en elorigen (c=1):

En matemticas el seno es la funcin obtenida al hacer variar la razn mencionada, siendo una de las funcionestrascendentes. La abreviatura proviene del latn snus.

EtimologaEl astrnomo y matemtico hind Aria Bhatta (476550d.C.) estudi el concepto de seno con el nombre deardh shia (en ingls ardha-jya),[1] siendo ardh: mitad, medio, y shi: cuerda). Por simplicidad; el trmino setermin apocopando como shi. Cuando los escritores rabes tradujeron estas obras cientficas al rabe, se referan aeste trmino snscrito como jiba (pronunciado shiba, lo ms parecido al snscrito). Sin embargo, en el rabe escritose omiten las vocales, por lo que el trmino qued abreviado jb. Escritores posteriores que no saban el origenextranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir baha). A finales del siglo XII, eltraductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del rabe al latn reemplaz el insensatojiab por su contraparte latina sinus (hueco, cavidad, baha). Luego, ese sinus se convirti en el espaol seno.[2]

Segn otra explicacin,[citarequerida] la cuerda de un crculo, se denomina en latn inscripta corda o simplementeinscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscrptae. Su abreviatura era s.ins., que termin simplificadacomo sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latn se la denomin sinus.

Seno (trigonometra) 25

Con nmeros complejosTambin se puede definir de la forma:

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los nmeros imaginarios.

Como serie de TaylorEl seno como Serie de Taylor en torno a x = 0 es:



Seno de una suma o una resta de ngulos

Seno de la suma de dos ngulosEsta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de la diferencia de dos ngulos

Se sabe que las funciones trigonomtricas de un ngulo son iguales a las cofunciones del ngulo complementario,es decir

Distribuyo el menos y asocio de una manera distinta

Aplico la identidad trigonomtrica del coseno de la diferencia de dos ngulos, entonces

Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonomtrica del ngulo completario, queda


Seno de la diferencia de dos ngulos

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

Forma resumida

Seno de un ngulo dobleTenemos que

Hagamos entonces

Derivada del seno Segn la definicin de derivada:

lo que es

Entonces, usando la frmula del seno de la suma de dos ngulos, se tiene que

Factorizando

Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene

Como:

esto es as ya que

reemplazando para y Se tiene que:

y utilizando el lmite conocido:

Se obtiene que el primer trmino es 0, entonces

Como:


Por ello puede simplificarse, y se tiene que

Relacin entre el seno y el cosenoLa curva del coseno es la curva del seno desplazada un cuadrante a la izquierda, por lo que puede deducirse elcoseno con la siguiente expresin:

cos(x)= Sin(x + 90)

El seno en programacinNormalmente todos los lenguajes de programacin proveen una funcin seno. Y tambin es lo normal en todos loslenguajes, que el ngulo que recibe la funcin debe pasarse en radianes.Esto es importante tenerlo en cuenta ya que si no podran derivarse errores por este concepto. Del mismo modo lascalculadoras suelen aceptar el valor en grados o radianes, siendo necesario para ello (realizar dicho clculocorrectamente) activar un botn selector del tipo de grados (sexagesimales, centesimales o radianes) que se deseausar.

ejemplos:

seno de 45 grados = 0,7071

seno de 45 radianes = 0,8509

Obsrvese como la escasa diferencia entre ambos valores resultantes podra pasar desapercibida. Es necesario, portanto, cuando sea conveniente pasar los grados a radianes o viceversa. Ntese que el smbolo es el nmero

Rad = Deg * /180

Deg = Rad * 180/

Notas[1] En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es (http:/ / centros5. pntic. mec. es/ ies. de. bullas/ dp/ matema/ conocer/ etimologia. htm) se refieren

errneamente a jya como 'jiva, que no significa cuerda sino ser vivo.[2] Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York.

Vase tambin Teorema del seno Arcoseno Coseno Tangente Sinusoide Trigonometra Funcin matemtica Funcin par Funcin impar Perodo de oscilacin Angle inscrit


Enlaces externos Seno en MathWorld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Sine. html)

CosenoEn trigonometra el coseno (abreviado cos) deun ngulo agudo en un tringulo rectngulo sedefine como la razn entre el cateto adyacente aese ngulo y la hipotenusa:

En virtud del Teorema de Tales, este nmero no depende del tringulo rectngulo escogido y, por lo tanto, est bienconstruido y define una funcin del ngulo Otro modo de obtener el coseno de un ngulo consiste en representar ste sobre la circunferencia goniomtrica, esdecir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa delpunto de interseccin del ngulo con la circunferencia. Esta construccin es la que permite obtener el valor delcoseno para ngulos no agudos.En anlisis matemtico el coseno es la funcin que asocia un nmero real con el valor del coseno del ngulo deamplitud, expresada en radianes, . Es una funcin trascendente y analtica, cuya expresin en serie de potencias es

La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensin de la funcin coseno al plano complejo del siguientemodo:

Donde i es la unidad imaginaria.

Coseno 30

Representacin grfica en la recta real

Coseno de una suma o resta de ngulos

Coseno de la diferencia de dos ngulos

Esta identidad trigonomtrica se muestra a partir delproducto escalar de dos vectores.

Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:

Coseno 31

Por igualacin se define que

Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyeccin de su mdulo sobre los ejes, es decir

Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda

Extrayendo como factor comn los mdulos de los vectores en el segundo miembro

Simplificando nos queda la identidad trigonomtrica

Coseno de la suma de dos ngulos Si hacemos

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale

Forma resumida

Coseno de un ngulo dobleTenemos que

Hagamos Entonces

Coseno del ngulo medioNtese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la frmula del coseno del ngulo medio. Sea

Como la podemos escribir como Sea

Entonces obtenemos y analizando los signos de la expresin para cada

cuadrante, concluimos que:

Transformacin de una suma de cosenos en producto

Demostracin Sabiendo que Entonces

Hagamos y Entonces, resolviendo el

sistema se tiene que Reemplazando se obtiene

Coseno 32

Anlogamente se demuestra para

Derivada del CosenoSegn la definicin de derivada:

lo que es Entonces, usando las frmulas

anteriormente sealadas, se tiene que

Sabiendo que y que el primer lmite queda determinado,

entonces

Generalizaciones del coseno coseno hiperblico cosh(x) funcin elptica cn(x)

Vase tambin Arcocoseno Seno Tangente Sinusoide Trigonometra Funcin matemtica Funcin par Funcin impar

Tangente (trigonometra) 33

Tangente (trigonometra)En trigonometra la tangente de un ngulo en untringulo rectngulo se define como la raznentre el cateto opuesto y el adyacente:

O tambin como la relacin entre el seno y el coseno:



Tangente de una suma o de una resta de ngulos

Tangente de la suma de dos ngulosEsta identidad trigonomtrica parte de la identidad de la suma de dos ngulos ya conocidas para el seno y el coseno Sabiendo que

Se sabe que la tangente es el cociente entre el seno y el coseno, entonces

Reemplazando por las identidades antes mencionadas tenemos que

Divido al numerador y al denomidador por obteniendo

Separando la suma y la resta queda


Simplificamos cada fraccin, entonces

Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente obtenemos

Tangente de la diferencia de dos ngulos Si hacemos

obtenemos la resta. Como la tangente es impar, el signo sale

Forma resumida

Tangente de un ngulo dobleTenemos que

Hagamos entonces

Vase tambin Trigonometra Arcocoseno Sinusoide Tangente Funcin matemtica Funcin par Funcin impar

Fuentes y contribuyentes del artculo 36

Fuentes y contribuyentes del artculoTrigonometra Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44720813 Contribuyentes: 194.158.88.xxx, 3damplified, Ale flashero, Alexav8, AlfonsoERomero, Almendro, Amads,Andreasmperu, Angus, Antur, Antn Francho, Aparejador, Armin76, Ascnder, Atlante, Azuladoconella, Balderai, Belb, Belgrano, Beto29, BlackBeast, Blithfeorthelife, Bucephala, Bucho,Cameri, Camilo, Camr, Chanchicto, Charly genio, Chtristian, Cinabrium, Cobalttempest, Comae, Cookie, Dadidu 74, Daniel Carracelas, David0811, Deivi1753, DerHexer, Dermot, Dianai,Diegusjaimes, Diosa, Dnu72, Dodo, Dominguillo, Dominican, Draxtreme, Dreitmen, Drini2, Eduardosalg, Elalumnocabron, Elisardojm, Ellinik, Emiduronte, Eocampos, Er Komandante, FAR,Farisori, Fernando Estel, Fiquei, Fmariluis, Foundling, FrancoGG, Fsd141, Galio, Gengiskanhg, Greek, Gsrdzl, Gngora, HiTe, House, Huhsunqu, Humbefa, Humberto, Interwiki, Isha, JMCC1,Jarisleif, Jhoropopo, Jjafjjaf, Jkbw, Joelperez, JohnManuel, Johns, Jorge Ianis, JorgeGG, Joselarrucea, Josell2, Jsanchezes, Julian Mendez, Kakashi the best, Kiroh, Klystrode, Komputisto,Kristobal, Kved, LMLM, Larocka, Limbo@MX, Linkedark, Lucien leGrey, Lukillas, Mafores, Magister Mathematicae, Magnanimo, Mahadeva, Maldoror, Manuel Gonzlvez, Manuelt15,Manw, Mar del Sur, Matdrodes, Math Master, Maveric149, Miguel Roldan, Milu, Moriel, Mparri, Muro de Aguas, Mushii, Mysthique, Netito, Netito777, Nicop, No s qu nick poner, Otravolta,PACO, Paintman, Palica, Peejayem, Pinzo, PoLuX124, Prietoquilmes, Prometheus, Qwertymith, Qwertyytrewqqwerty, Reignerok, Rick.bass, Rimac, RitX, Rodriguillo, RoyFocker, Sabbut,Sauron, Seth66, Sigmanexus6, Super braulio, Taichi, Tano4595, Tartaglia, Technopat, Tegustamiculo, Thingg, Tirithel, Tuncket, Txuspe, UDCONGO, Ugly, Urko1982, Veon, Vic Fede,Vitamine, Wesisnay, Wilfredor, Xexito, Xsm34, Y0rx, YoaR, Youssefsan, conversion script, 906 ediciones annimas

Seno (trigonometra) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44691383 Contribuyentes: 3coma14, Camilo, Cobalttempest, Crescent Moon, Davius, Derki, Diegusjaimes, Dnu72,Eduardosalg, Estevoaei, Farisori, Filipo, Futbolero, Gudichenko, Guevonaso, Gtz, Hprmedina, Isha, JMCC1, Javichu el jefe, Josemontero9, Matdrodes, Mauricio Maluff, Mcapdevila, MissManzana, Navarroaxel, Nicko Rebo, Oblongo, PoLuX124, Quantanew, Rbonvall, Rondador, Rosarino, Rge, Tano4595, Tirithel, Tuncket, Txus.aparicio, Yrithinnd, 74 ediciones annimas

Coseno Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=44085568 Contribuyentes: Cansado, Carteaux, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Eduardosalg, Farisori, Felper, Francisco Albani,Galandil, Ggenellina, Gtz, HUB, HiTe, Humberto, Jarke, Johny65, KnightRider, Kved, Linkedark, Manw, Matdrodes, Metalfan, Navarroaxel, Netito777, Pino, PoLuX124, Randion, Retama, Rfchoqueiro, Samu92, Stagiraswarrior, Tano4595, Uroboros, Vidur, Yrithinnd, 113 ediciones annimas

Tangente (trigonometra) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41010646 Contribuyentes: Dnu72, Farisori, Gtz, Javierito92, Ldsluis, Navarroaxel, Tano4595, 5 edicionesannimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 37

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Trigonometria 02.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Trigonometria_02.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: HiTeArchivo:STS-114 Steve Robinson on Canadarm2.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:STS-114_Steve_Robinson_on_Canadarm2.jpg Licencia: Public DomainContribuyentes: NASAArchivo:TransportadorR.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TransportadorR.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:TransportadorG.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TransportadorG.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:TransportadorC.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TransportadorC.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:Trigono b00.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Trigono_b00.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:Trigono d00.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Trigono_d00.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:RadinCircunferencia.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:RadinCircunferencia.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:SexaCircunferencia.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SexaCircunferencia.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:Angulo000.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Angulo000.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:Angulo030.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Angulo030.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:Angulo045.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Angulo045.svg Licencia: GNU Free 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NavarroArchivo:FunTriR001.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunTriR001.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Dnu72

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