1

FUNCIONES

Y GRÁFICAS

0 1 2 3 4 5 X

Y

800

600

400

200

Para representar números hemos utilizado un recta

numérica. Fijado un origen, el 0, y una unidad:

REPRESENTACIÓN EN

LA RECTA

A su derecha y a la distancia marcada por la unidad elegida se

marcan los números positivos: +1, +2, +3, +4,…

A su izquierda y a la misma distancia se marcan los números

negativos: -1, -2, -3, -4,…

0 +5 +6 +7 +2 +3 +1 +4 -3 -2 -1 -6 -5 -7 -4

De la misma manera que hemos hecho en horizontal,

podemos representar los número en una recta vertical, los

positivos ahcia arriba del 0, los negativos hacia abajo

0

+5

+6

+7

+2

+3

+1

+4

-3

-2

-1

-6

-5

-7

-4

2

Combinando las dos

rectas, obtenemos una

forma de representar

puntos en el plano

Se llama

sistema de coordenadas

cartesianas

Está formado por dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical,

que se llaman

ejes de coordenadas.

El punto donde se cortan los ejes se

llama

origen de coordenadas.

0

Coordenadas cartesianas El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX.

El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY.

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes.

Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(x,y).

La coordenada x (abscisa), indica el desplazamiento en horizontal

La coordenada y (ordenada), indica el despalzamiento en vertical

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

Eje de abscisas

Eje

de

ord

en

ad

as

Y

X

Primer cuadrante: I Segundo cuadrante: II

Tercer cuadrante: III Cuarto cuadrante: IV

P(x,y)

3

A(4, 3)

B(- 4, 1)

C(- 2, - 2) D(3, -1)

Elemplos

E(9, 5)

F(0.5, 7) G(- 9, 6)

H(- 3, 5)

J(- 6, -6.5)

K(- 9, -1)

L(1, -7)

M(7.5, -3)

Primer cuadrante (I)

Abscisa y ordenada positivas

Segundo cuadrante (II)

Abscisa negativa y ordenada positiva

Tercer cuadrante (III)

Abscisa y ordenada negativas

Cuarto cuadrante (IV)

Abscisa positiva y ordenada negativa

Y

X

A(1, 0) B(- 3, 0) C(-9, 0) D(8, 0)

Elemplos

E(0, 3)

F(0, 7)

G(0, -3)

H(0, -8)

Y

X

Todos los puntos del eje de abscisas (X)

tienen la segunda coordenada, la y, igual

a cero.

Son de la forma P(x, 0)

Todos los puntos del eje de ordenadas

(Y) tienen la primera coordenada, la x,

igual a cero.

Son de la forma Q(0, y)

4

A(2, 0)

B(- 3, -4) C(-9, -4) D(8, -4)

Elemplos

E(2, 3)

F(2, 7)

G(2, -3)

H(2, -8)

Y

X

Todos los puntos que tienen el mismo

valor de x, y cualquier valor de y están en

una recta paralela al eje Y

En el ejemplo x=2

Todos los puntos que tienen el mismo

valor de y, y cualquier valor de x están en

una recta paralela al eje X

En el ejemplo y=-4

D(6, -4)

A(6, 0)

B(4, 3)

C(1, 2)

D(0, 4)

E(-3, 5)

F(-7, 3)

G(- 4, 1)

H(- 1, 0)

I(-7, - 4)

J(- 2, - 2) K(0, -2) L(3, -1)

M(8, -3)

P(Abscisa , Ordenada)

Responde

5

Concepto de Función Una función es una relación etre dos magnitudes de modo que acada valor de

la primera magnitud le corresponde un único valor de la otra magnitud

A los valores de la primera magnitud se les llama conjunto inicial y a los de la

segunda magnitud, conjunto final.

A las magnitudes que intervienen en dicha correspondencia se las llama

variables.

La primera magnitud se llama Variable independiente (x), y la segunda

magnitud se llama variable dependiente (y)

Por ejemplo, en la compra de naranjas en una tienda consideramos dos magnitudes:

Magnitud 1: Kilos de naranjas que queremos comprar.

Magnitud 2: Dinero que nos cuesta lo adquirido.

Está claro que para cada diferente valor de Kilos que compremos nos corresponderá

pagar diferente cantidad de Dinero, y que dicha cantidad es única.

En este ejemplo la magnitud Kilos es la variable independiente. La magnitud Dinero es

la variable dependiente, porque el valor de esta magnitud depende del valor de la otra,

depende de los kilos que compremos

Depender de algo equivale a decir estar en función de algo. De ahí la

palabra FUNCIÓN. La ordenada, la y, está en función de la abscisa, la x.

Al conjunto de valores de la variable independiente (x) que están

relacionados con alguno de la variable dependiente se llama DOMINIO de la

función.

Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) que están relacionados

con algún valor de la variable independiente se le llama IMAGEN o

RECORRIDO de la función.

Concepto de Función

Conjunto inicial:

Conjunto final: 4,5,6,7,8 3, 2, 1,

Dominio:

7 5, 4, 3,Recorrido:

6

Las funciones pueden representarse mediante unos diagramas llamados de Ven

Representación de las funciones

No es función,

porque el segundo

elemento de T

está relacionado

con dos

elementos de P

Conjunto inicial:

Conjunto final:

Dominio:

Recorrido: Sí es función, aunque haya

un elemento de P y otro de C

que no estén relacionados

Sí

es

función

2

- 2

3

- 1

1

6

9

- 9

3

f (x)=3·x

-3

- 3

- 6

0 0

Representación de las funciones Ejemplo: Asocia a cada número entero entre -3 y 3 su triple

Diagramas de Ven

Tabla de valores

x y

3 9

2 6

1 3

0 0

-1 -3

-2 - 6

-3 -9

Con

conjuntos

Conjunto inicial: -3,-2,-1,0,1,2,3

Conjunto final: -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9

Expresión

algebraica

y=3·x

7

Representación de las funciones Ejemplo: Asocia a cada número entero entre -3 y 3 su triple

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -9 -6 -3 0 3 6 9

Puntos (-3,-9) (-2,-6) (-1,-3) (0,0) (1,3) (2,6) (3,9)

Tabla

de

valores

Gráfica

2

- 0,5

3

- 3

4

9

0,25

0

f (x)=x2

Representación de las funciones Ejemplo: Determina la función que a cada número real le asocia su cuadrado

0

…

-2

…

x y

3 9

2 4

1 1

0 0

-0,5 0,25

-2 4

-3

…

9

…

Tabla

de

valores

¿Hay que unir los puntos?

Sí, porque los valores de x se eligen entre

todos los números reales

8

y=x-5

Expresión de la función mediante una ecuación Considerando la función y=x-5, halla los valores para x=0, x=-2 y x=3

Si x=0y=0-5=-5

Si x=-2y=-2-5=-7

Si x=3y=3-5=-2

Indica si el punto (-2, 5) pertenece a algunas de estas funciones

a) f(x)=x2-5

b) g(x)=x+7

c) h(x)=x2+1

pertenece No5-15-45-2-5xy22

pertenece Sí57-27xy

pertenece Sí51412-1xy22

Determina la ecuación de la función que asocia a cada número su tripe más 2.

¿pertenece el punto (2, 6) a dicha función? ¿Y el punto (-1, -1)?

f(x)=3x+2

pertenece No682623·2(2,6) Punto23xy

pertenece Sí-12-321-3·(-1,-1) Punto23xy

Expresión de la función mediante una ecuación

Dada la función f(x)= 2x-3, escribe una tabla con seis valores y haz la gráfica

c) h(x)=x2+1

x y

3 3

2 1

1 -1

0 -3

-1 -5

-2,5 -8

¿Hay que unir los puntos?

Sí, porque x puede tomar cualquier valor

9

Expresión de la función mediante una ecuación

Dada la función que asocia a cada número su cauadrado más uno. Escribe su

ecuáción, una tabla de valores y su gráfica.

x y

3 10

2 5

1 2

0 1

-2 5

-3 10

1xy 2

¿Hay que unir los puntos?

Sí, porque los valores de x se eligen entre

todos los números reales

Construcción de Gráficas En muchas ocasiones la información es mucho más comprensible si se organiza en una tabla y se representa mediante una gráfica. Para ello hay que seguir los siguientes pasos

1.-Identificar y distinguir claramente las variables independientes y dependientes.

2.-Tener una Tabla de Valores con suficientes datos.

3.-Estudiar la escala de los ejes de abscisas y de ordenadas.

4.-Construir la gráfica al tamaño adecuado.

5.-Identificar el tipo de variable independiente para unir o no los

diferentes puntos.

Ejemplo: Compra de fruta en una frutería

El número de kilos es la variable independiente y se coloca sobre el eje de abscisas (eje X).

El dinero que nos cueste, en €, es la variable dependiente y se situa sobre el eje de ordenadas (eje Y).

El dinero depende, está en función, del número de kilos que compremos, y no al revés.

10

X kilos

Y Coste en €

0 1 2 3 4 5

5,00

3,75

1,25

¿Hay que unir los puntos?

Peso (Kg) Coste (€)

x y

0 0

1 1,25

2 2,5

3 3,75

4 5

Ejemplo: Compra de fruta en una frutería

Un kilo de naranjas cuesta 1,25 €. Escribe una tabla con distintos valores para la

cantidad de fruta y representa los datos en una gráfica

2,50

En los ejes

utilizamos

distintas

escalas, para

que la gráfica

quede

comprensible

Sí, porque la cantidad de fruta puede

ser cualquier cantidad mayor que 0

f (x)=1,25·x y=1,25·x

La cantidad de agua está en función del tiempo transcurrido.

x = tiempo, variable independiente.

y = cantidad de agua arrojada, variable dependiente.

Construcción de Gráficas Para llenar una piscina se utiliza una bomba de agua, que arroja 200

litros cada hora que está funcionando.

Construimos la tabla de valores:

Eje x (Tiempo en horas) 1 2 3 4

Eje y (Cantidad en litros) 200 400 600 800 y=200·x

Los puntos (1, 200), B(2, 400), C(3, 600), D(4, 800) forman la gráfica.

En este caso tiene sentido unir los puntos, pues x puede tomar valores

intermedios

X horas

Y Litros

0 1 2 3 4 5

800

600

400

200

11

X Hijos por familia

Y Número de familias

0 1 2 3 4 5

1000

800

600

400

200

En este caso

NO tiene

sentido unir

los puntos.

No puede

haber

familias con

un número

de hijos

decimal

Construcción de Gráficas Ejemplo: Se ha analizado el número de hijos que tienen 3600 familias, y los resultados

figuran en la siguiente tabla:

Hijos por familia (x) 0 1 2 3 4 5

Número de familias (y) 600 1000 800 600 400 200

En un examen de Ortografía el profesor pone a cada alumno el resultado de dividir 10 entre el número de faltas de ortografía cometidas. Permite una falta sin bajar nota. Y si tiene cero fallos la nota es 10

Construcción de Gráficas

Sea x la cantidad de faltas en el examen

e y la calificación correspondiente f (x)=10/x

y=10/x

x y

1 10

2 5

3 3,33

4 2,5

5 2

6

…

1,66

…

10 1

12

X hora del día

Y Litros de bebida

6 8 10 12 14 16 18

100

80

60

40

20

¿Cuántos litros tenía la máquina al

comenzar la jornada? La siguiente gráfica muestra las botellas de litro de agua que hay a lo largo de una jornada de trabajo

Interpretación de gráficas

¿Cuánto se ha consumido

en el día?

80

¿En qué periodo o periodos no se

consumió nada?

De 8 a 10 y de 12 a 14

¿Cuál es la máxima capacidad de la

máquina? 100 litros

¿Qué paso a las 14 horas?

Vino la persona encargada a

reponer la máquina

¿En qué periodo se ha consumido más

deprisa? De 14 a 16 horas

¿Cuánto queda al final?

40 litros

40+20+50+10=120 litros

X horas

Y Litros

0 1 2 3 4 5 6

1000

800

600

400

200

Interpretación de gráficas Para llenar una piscina se utiliza una bomba de agua,

que arroja 200 litros cada hora que está funcionando.

Pero en un momento determinado la máquina se

estropea. La situación la describe la siguiente gráfica:

¿Tenía agua la piscina al comenzar a

funcionar la bomba?

¿Cuánto tiempo había transcurrido cuando la piscina alcanzó los 800 litros?

Sí

¿Cuánta agua? 200 litros

¿En qué momento se estropeó la bomba?

A las 2 horas de empezar

¿Cuánto tiempo estuvo estropeada?

Una hora y media ¿Bombeó igual de deprisa antes que

después de estropearse?

Iba más deprisa al principio. En 2

horas 400 litros, después 400 litros

en 2 horas y media

¿Cuántos litros de agua tenía la piscina a la hora y media de empezar? 500 litros

4 horas y 45 minutos

13

La noria gira y gira, pero no siempre va a la misma velocidad. La velocidad que alcanza en cada momento se refleja en la siguiente gráfica

¿Cuánto tiempo está parada para recoger a la gente?

Interpretación de gráficas

¿Cuándo alcanza su máxima velocidad?.

¿Cuánto tiempo mantiene la máxima velocidad?.

¿Crece la velocidad igual de deprisa que decrece?.

¿Cuánto tiempo dura realmente la atracción de feria?.

5 minutos

A los 3 minutos de empezar el movimiento

2 minutos

Decrece más rápidamente

7 minutos

¿Qué ocurre a partir del minuto 12?

La gráfica vuelve a repetirse

Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La gráfica del paseo viene aquí representada:

¿Qué distancia hay entre la casa de Alicia y la de Rafa?

¿Cuánto tiempo esperó Rafa a que bajara Alicia?

¿Cuánto tiempo estuvieron paseando?

¿A qué distancia está la cafetería de la casa de Alicia?

500 metros

15 minutos

1 hora

1500 metros

¿Qué distancia recorrió Rafa en total? 4000 m

¿Y de la casa de sus amigos? 1000 metros

Interpretación de gráficas

14

La familia Pérez: ¿Quién está representado por cada punto en el diagrama?

1

2

7

4

5

6

7= la persona

más bajita y más joven 3

Interpretación de gráficas