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Clculo 1 1

Profesor: Ms.C Jos G. Velzquez F.

FUNCIN

DEFINICIN: Dados dos conjuntos A y B, un funcin f de A en B es una regla que hace corresponder a

cada elemento de A un nico elemento de B. Al conjunto A le llamamos dominio y al conjunto B codominio.

Si f es una funcin de A en B escribiremos BA: f , junto con la regla de correspondencia que se

expresa mediante una relacin )(xfy entre dos variables x e y ; la variable x toma valores del

dominio y su correspondiente valor y pertenece al codominio. La variable x se denomina variable

independiente e y variable dependiente.

El conjunto de todos los elementos de B relacionados con algn elemento de A recibe el nombre de rango,

recorrido o conjunto imagen y a cada elemento del rango le llamamos imagen de algn elemento de A.

En trminos de las variables x e y , podemos afirmar que el dominio de una funcin es el conjunto de

todos los valores que puede tomar la variable independiente x, mientras que el rango es el conjunto de

todos los valores que toma la variable dependiente y. Simbolizamos el dominio de f por )( fD y el

rango por )( fR . Dada una funcin BA: f , el rango se suele simbolizar tambin por )(Af .

En este curso analizaremos las funciones reales de variables reales, esto es, funciones donde tanto el

dominio como el codominio son subconjuntos de R. Generalmente cuando se define una funcin se hace

solo a travs de la regla de correspondencia )(xfy , entendindose el dominio como el conjunto de

todos los valores que puede asumir la variable independiente x, en este caso se habla de un dominio

implcito. En caso contrario cuando se especifica un conjunto de valores que tomar x, se tiene un dominio

explcito.

FUNCIONES IGUALES: dos funciones ( )f x y ( )g x son iguales s y slo si:

a) Dominio de f es igual al dominio de g.

b) )()()()( xgxfgDyfDx

Ejemplo: 2

4)(2)(

2

x

xxgyxxf no son iguales, porque RfD )( y 2)( RgD por lo

tanto )()( gDfD , entonces ( )f x y ( )g x no son iguales.

DETERMINACIN DE FUNCIN: Una forma prctica de determinar si una ecuacin dada es o no una

funcin es representarla grficamente y trazar sucesivamente rectas paralelas al eje de ordenadas. Si cada

una de esas rectas cortase a la curva en un nico punto podemos asegurar que la grfica representada es

una funcin ya que para cada valor de x existe un nico valor de y. Si en cambio algunas o todas las rectas cortasen a la curva en dos o ms puntos, entonces la grfica no

representa una funcin. Ejemplo:

No cumple con la definicin de funcin, porque por ejemplo para el valor x = 1 hay dos valores para y.

x

y 422 yx (Circunferencia)

A B

f

Clculo 1 2


Pero si despejamos y tenemos:

22 4 xy 24)( xxf

24 xy 24)( xxg

donde 24)( xxf y 24)( xxg son dos funciones, cuyas grficas tenemos a continuacin:

Una relacin entre x e y, como 422 yx , donde la variable dependiente no est despejada con respecto

a la variable independiente, recibe el nombre de funcin implcita. Una funcin expresada por una relacin

)(xfy donde y est despejada, se denomina funcin explcita.

Ejercicio1: Determinar grficamente si las siguientes ecuaciones representan o no una funcin

a) 03 3 yx

b) 024 2 yx

OPERACIONES CON FUNCIONES

Definiciones: Si f y g son dos funciones con dominios D f y D g respectivamente, entonces:

a) La suma f g es la funcin con dominio D f D g definida por:

( ) ( ) ( )f g x f x g x

b) La diferencia f g es la funcin con dominio D f D g definida por:

( ) ( ) ( )f g x f x g x

c) El producto f g es la funcin con dominio D f D g definida por:

( ) ( ) ( )f g x f x g x

d) El cociente f

g es la funcin definida por:

( )( )

( )

f f xx

g g x

con dominio / ( ) 0D f D g x g x

e) La funcin compuesta definida como sigue: )()( xgfgf para todo )(gDx tal que )()( fDxg

x

y

g(x)

x

y

f(x)

x

A

B

)(xg

)(xgf

C f

g

gf

Esquema de la composicin de funciones

Clculo 1 3


Ejemplos:

1) Dadas las funciones 52 xxf )( y 22 xxg )( , determinar ))(( xgf y ))(( xfg .

5222 22

xxfxgfxgf )())(( .

25252 2 )()()())(( xxgxfgxfg .

Notemos que en general fggf

2) Dadas las funciones xxxf 3)( y 12 xxg )( . Encuentre el dominio de gf .

Entonces 1212312 xxxfxgfxgf )()()())(( ; para que la composicin de f sobre g est definida es necesario que 0)(xg , es decir, 012 x , 21/x . Por lo tanto el dominio de

gf est dado por [,/[ 21 .

TIPOS DE FUNCIONES (Elementales)

(1) FUNCION CONSTANTE: es aquella funcin que a todos los elementos del dominio hace

corresponder un nico elemento del codominio. cxf )( donde Rc .

(2) FUNCION IDENTIDAD: xxf )(

(3) FUNCIN LINEAL: baxxf )(

Ejemplo: 23)( xxf

Observaciones:

1. Una funcin contante y la funcin identidad son funciones lineales. 2. El dominio de una funcin lineal es siempre R. 3. La grfica de una funcin lineal es una recta con pendiente a y ordenada al origen b.

4. El rango de una funcin lineal baxxf )( es R si 0a y b si 0a .

y

x

23)( xxf 2

0

D(f) = R

R(f) = R

y

x

xy

D(f) = R

R(f) = R

y

x 0

2y

D(f) = R

R(f) = {2}

Clculo 1 4


(4) FUNCIN CUADRTICA: cbxaxxf 2)( , 0a

Ejemplo: 1)( 2 xxxf

Observaciones:

1. El dominio de una funcin cuadrtica es siempre R.

2. La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola con vrtice

a

bac

a

b

4

4,

2

2

.

3. Si 0a , es una parbola con ramas hacia arriba donde el rango de cbxaxxf 2)( es el

intervalo 24

,4

ac b

a

y,

4. Si 0a , es una parbola con ramas hacia abajo donde el rango de cbxaxxf 2)( es el

intervalo 24

,4

ac b

a

.

(5) FUNCIN POLINOMIAL O POLINMICA: nnxaxaxaxaaxf 3

32

210)( donde n

es un entero no negativo. Podemos escribir

n

k

kk xaxf

0

)(

Observaciones: 1. El dominio de una funcin polinmica es siempre R. 2. Una funcin lineal o una funcin cuadrtica son casos especiales de funciones polinmicas.

Ejemplo: A continuacin se ilustran dos funciones polinomiales:

a) 2)( 3 xxxf b) 13)( 24 xxxxg

,4

5)(

)(

fR

RfD

Clculo 1 5


(6) FUNCIN RACIONAL: )(

)()(

xQ

xPxf en donde P y Q son funciones polinomiales. El dominio de una

funcin racional consiste en el conjunto de todos los nmeros reales excepto aquellos para los que

0)( xQ .

Ejemplo: A continuacin se ilustran algunas funciones racionales:

a) x

xf1

)( b) 4

12)(

2

24

x

xxxg

(7) FUNCIN POTENCIA: nxkxf )( , donde k es constante y n un nmero real.

Si n es un entero no negativo, nxkxf )( es una funcin polinomial; si n es un entero negativo,

nxkxf )( es una funcin racional.

Ejemplo: A continuacin se ilustran algunas funciones potencia:

a) xxf )( b) 32

)( xxg

(8) FUNCIN ALGEBRAICA: Si una funcin puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicacin, divisin y sacar races) se le llama funcin algebraica. Todas las

funciones anteriores son casos especiales de funciones algebraicas, combinaciones de ellas siguen

siendo algebraicas, por ejemplo: 1)( 2 xxf , 5 34

6)2(12

2)(

xx

x

xxf

Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Clculo 1 6


TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES (1) DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES: Suponga 0c . Para obtener la grfica de:

cxfy )( , se desplaza la grfica de )(xfy a una distancia c hacia arriba.

cxfy )( , se desplaza la grfica de )(xfy a una distancia c hacia abajo.

)( cxfy , se desplaza la grfica de )(xfy a una distancia c hacia la derecha.

)( cxfy , se desplaza la grfica de )(xfy a una distancia c hacia la izquierda.

Ejemplo: Consideremos la funcin 2)( xxf , se graficarn 22)()( 21 xxfxf ,

22)()( 22 xxfxf , 2

3 )4()4()( xxfxf y 2

4 )4()4()( xxfxf .

(2) ALARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES: Suponga 1c . Para obtener la grfica de:

)(xfcy , alrguese la grfica de )(xfy verticalmente un factor de c .

)()/1( xfcy , comprmase la grfica de )(xfy verticalmente un factor de c .

)( xcfy , comprmase la grfica de )(xfy horizontalmente un factor de c .

c

xfy , alrguese la grfica de )(xfy horizontalmente un factor de c .

)(xfy , refljese la grfica de )(xfy respecto al eje x .

)( xfy , refljese la grfica de )(xfy respecto al eje y .

Ejemplo: Consideremos la funcin 2)( xxf , se graficarn 21 2)(2)( xxfxf y 2

)(2

1)(

2

2

xxfxf .

Clculo 1 7


FUNCIONES ESPECIALES

(1) FUNCIN VALOR ABSOLUTO:

0

0)(

xsix

xsixxxf

La grfica de la funcin valor absoluto es la siguiente, y est formada por las bisectrices del primer y

segundo cuadrante.

Ejercicio2: Estudiar grficamente el comportamiento de las siguientes funciones, realizando

conclusiones comparativas con la grfica de la funcin valor absoluto:

a) 2 xy b) 2 xy c) 2 xy d) 2 xy

e) xy 2 f) xy 2 g) 2

xy h) 23 xy i) 14 xy

(2) FUNCIN PARTE ENTERA: es una funcin tal que a cada real x le asigna el mayor entero

menor o igual a x. Es simbolizado por xxf )( y su grfica es la siguiente:

Observaciones: 1. Tiene por rango el conjunto Z de los nmeros enteros y su grfica est formada por segmentos de

longitud uno, paralelas al eje x, pero sin los extremos derechos, y cuyos extremos izquierdos son los puntos de coordenadas enteras iguales.

2. Es importante saber que: [ ]

[ ][ ] 1

x si x Zx

x en otro caso

. Por ejemplo: 3 3 3 y,

2,45 2,45 1 2 1 3 3. La funcin Parte Entera es un caso particular de las llamadas funciones escalonadas.

(3) FUNCIN SIGNO: La funcin signo se define como

01

00

01

)sgn()(

xsi

xsi

xsi

xxf

0)(

)(

RfR

RfD

ZfR

RfD

)(

)(

Clculo 1 8


La grfica de la funcin signo es la siguiente:

PARTICIONES Y FUNCIONES ESCALONADAS

Si consideramos un intervalo cerrado ba; y lo dividimos en n subintervalos, fijamos 1n puntos de subdivisin, con la nica condicin de que bxxxxa n 1321 ...... .

Si designamos al punto a por 0x y al punto b por nx , podemos escribir entonces

nn xxxxxx 13210 ...... y al conjunto de tales puntos nn xxxxxx ,.,....,.,,, 13210 le llamamos

particin del intervalo cerrado ba; . Usualmente se utiliza la letra P para indicar la particin de un intervalo dado, y en smbolos la particin de ba; ser:

nxxxxxP .,....,.,,, 3210

Cada particin de un intervalo cerrado dado determina n subintervalos cerrados 10 ; xx , 21; xx , 32 ; xx , . . . . . ., nn xx ;1 . El intervalo kk xx ;1 es uno de los intervalos cerrados de la particin P, y le llamamos k-simo subintervalo de P.

FUNCIN ESCALONADA: una funcin S cuyo dominio es ba; se dice que es una funcin escalonada si existe una particin P igual al conjunto formado por nxxxxxP .,....,.,,, 3210 del intervalo cerrado ba; tal que S es constante en cada uno de los intervalos abiertos de P. Esto significa que para cada

nk ,...,3,2,1 existe un nmero real kS tal que kSxS )( tal que kk xxx 1

Ejercicio3: Trazar las grficas de las siguientes funciones e indicar la particin:

a) 2;2)( enxxf c) 10;0)( enxxf

b) 2;22

1)(

enxxf d) 10;0)( enxxf

FUNCIONES PARES E IMPARES

a) Funcin par: sea f(x) una funcin tal que )( fDx entonces )( fDx . Si )()( xfxf , dicha

funcin es par, cuya grfica es simtrica respecto al eje y.

Ejemplo: 2)( 2 xxf donde )(22)()( 22 xfxxxf

b) Funcin impar: sea f(x) una funcin tal que )( fDx entonces )( fDx . Si )()( xfxf dicha

funcin es impar, cuya grfica es simtrica respecto al origen.

Ejemplo: 3)( xxf donde )()()( 33 xfxxxf

Observacin: Una grfica es simtrica al origen cuando toda recta que pasa por el origen la corta en puntos simtricos al

origen.

1,0,1)()(

fR

RfD

Clculo 1 9


FUNCIONES MONTONAS Y MONTONAS A TROZOS

DEFINICIN: Una funcin f se dice que es creciente si para cualesquiera )(, 21 fDxx con 21 xx se

tiene que )()( 21 xfxf .

Ejemplo: A continuacin se ilustran algunas funciones crecientes:

a) 3)( xxf b)

42

422

2

)(

xsix

xsi

xsix

xg

DEFINICIN: Una funcin f es estrictamente creciente si para cualesquiera )(, 21 fDxx con 21 xx se

tiene que )()( 21 xfxf .

Notemos que una funcin estrictamente creciente es creciente pero no vale la recproca. Un ejemplo de

funcin estrictamente creciente es 3)( xxf , ilustrada en el ejemplo anterior.

DEFINICIN: Una funcin f es decreciente si para cualesquiera )(, 21 fDxx con 21 xx se tiene que

)()( 21 xfxf .

Ejemplo: A continuacin se ilustran algunas funciones decrecientes:

a) xxf 1)( b)

0

011

11

)(

2 xsix

xsi

xsix

xg

DEFINICIN: Una funcin f es estrictamente decreciente si para cualesquiera )(, 21 fDxx con 21 xx se

tiene que )()( 21 xfxf . Toda funcin estrictamente decreciente es decreciente, pero no vale la recproca.

DEFINICIONES: Las funciones crecientes o decrecientes reciben tambin el nombre de montonas y

aquellas que son estrictamente creciente o decreciente se llaman montonas en sentido estricto.

Una funcin se llama montonas a trozos en un intervalo si su grfica est formada por un nmero finito

de trozos montonos. Ejemplo: grafica de la funcin seno.

Clculo 1 10


FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Para este curso, suponemos que el estudiante tiene algn conocimiento de las propiedades de las seis

funciones trigonomtricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas funciones se

discuten en los cursos de trigonometra en relacin con problemas diversos que relacionan los lados y los

ngulos de los tringulos.

Las funciones trigonomtricas son importantes en Clculo, no slo por su relacin con los lados y los

ngulos de un tringulo, sino ms bien por las propiedades que poseen como funciones. Las seis funciones

trigonomtricas tienen en comn una propiedad importante llamada periodicidad.

DEFINICIN: Se dice que una funcin f es peridica si existe un nmero real positivo T tal que siempre que

x est en el dominio de f , entonces x +T tambin estar en el dominio de f y

)()( xfTxf .

Al valor ms pequeo del nmero real positivo T se le llama periodo de f.

Muchos problemas en Fsica e Ingeniera tratan fenmenos peridicos tales como vibraciones,

movimiento planetario y de ondas y las funciones seno y coseno constituyen la base para el anlisis

matemtico de tales problemas.

Las funciones seno y coseno pueden introducirse de varias maneras, nosotros elegimos esta:

DEFINICIN: Suponga que x es un nmero real. Coloca un ngulo que mida x radianes en posicin

estndar y sea P la interseccin del lado terminal del ngulo y la circunferencia trigonomtrica. Si P es el

punto (a, b), entonces la funcin seno est definida por sen x =b y la funcin coseno est definida por

cos x = a

A partir de las funciones seno y coseno se definen las dems funciones trigonomtricas como sigue:

DEFINICIONES: Suponga que x es un nmero real. Las funciones tangente y secante estn definidas por

x

xsenxtg

cos)(

xx

cos

1)sec(

Para todos los reales x tales que 0)(cos x .

Las funciones cotangente y cosecante estn definidas por

xsen

xxg

cos)(cot

xsenxec

1)(cos

Para todos los reales x tales que 0)( xsen .

A continuacin nombramos algunas propiedades importantes:

a) Las funciones seno y coseno son peridicas de periodo 2 . b) El coseno es funcin par y el seno es funcin impar, porque senxxsenyxx )(cos)cos(

c) Para todo x, se tiene: senxxyxxsen

2coscos

2

d) En el intervalo 2/;0 , el seno es estrictamente creciente y el coseno estrictamente decreciente.

Clculo 1 11


GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

I. Grfica de la funcin seno (sinusoide)

II. Grfica de la funcin coseno (cosinusoide)

III. Grfica de la funcin tangente (tangentoide)

IV. Grfica de la funcin cotangente (cotangentoide)

Dominio: R

Rango: 11; Periodo: 2

La funcin seno

es una funcin

impar, es decir,

xsen)x(sen

Dominio: R

Rango: 11; Periodo: 2

La funcin

coseno es una

funcin par, es

decir,

xcos)xcos(

Dominio: x Zndonde2

1n2x/

Rango: R

Periodo: La funcin tangente es una funcion impar,

es decir, xtg)x(tg

Dominio: x R Zndondenx/ Rango: R

Periodo: La funcin cotangente es una funcion impar,

es decir, xgcot)x(gcot

Clculo 1 12


V. Grfica de la funcin secante (secantoide)

VI. Grfica de la funcin cosecante (cosecantoide)

ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

Relaciones fundamentales de la trigonometra

1. 1cos22 sen

2.

cos

sentg

3. 221 sectg

4. 22 coscot1 ecg

Frmulas para la suma y diferencia de ngulos

a) cossencossensen b) cossencossensen c) sensencoscoscos d) sensencoscoscos

e) t t

t1 t t

g gg

g g

f) t t

t1 t t

g gg

g g

Dominio: x Zndonde2

1n2x/

Rango: ;11; Periodo: 2 La funcin secante es una funcion par, es

decir, xsec)xsec(

Dominio: x R Zndondenx/ Rango: ;11; Periodo: 2 La funcin cosecante es una funcion impar,

es decir, ecxcos)x(eccos

Clculo 1 13


Frmulas para el ngulo doble.

Tomando en las frmulas anteriores (suma), se obtiene:

a) cos22 sensen d) 2

212 cos

sen

b) 22cos2 cos sen e) 2

212 cos

cos

c) 2

2 tt 2

1 t

gg

g

f) 2

1 cos 2t

1 cos 2g

Frmulas para el ngulo medio.

A partir de las frmulas anteriores demuestre que para 2

0

a) 2

1

2

cossen

b) 2

1

2

coscos

c) 1 cos

t2 1 cos

g

Conversin de productos en sumas y viceversa.

a)

222

cossensensen

b)

222

cossensensen

c)

222

coscoscoscos

d)

222

sensencoscos

e) sensencossen2

1

f) coscossensen2

1

g) coscoscoscos2

1

FUNCIONES ACOTADAS

DEFINICIONES: Una funcin f se dice acotada inferiormente si existe un nmero real m tal que )()( fDxxfm .

Una funcin f se dice acotada superiormente si existe un nmero real M tal que )()( fDxMxf .

Una funcin f se dice acotada si existe un nmero real positivo k tal que )()( fDxkxf .

Ejemplos:

a) xsenxf )( es una funcin acotada pues Rxxsen 1)( .

b) 2)( xxf est acotada inferiormente y una cota inferior es cero, pero no est acotada superiormente.

c) xxf cos1)( es una funcin acotada porque 2cos11 x .

Clculo 1 14


FUNCIONES INVERSAS PRIMERAS DEFINICIONES

Una funcin f es inyectiva si para cualesquiera )(, 21 fDxx con 21 xx se tiene que )()( 21 xfxf o

equivalentemente )()( 21 xfxf implica 21 xx . La grfica de una funcin inyectiva es cortada mximo

en un slo punto por cualquier recta horizontal.

Si f es una funcin de A en B, no necesariamente se tiene que la imagen de A es igual a B. En el caso en

que BAf )( , es decir, si cada elemento de B es imagen de un elemento de A, la funcin f se llama

sobreyectiva. Si f es una funcin sobreyectiva de A en B diremos simplemente que f es una funcin de A

sobre B.

Una funcin que es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se llama funcin biyectiva .

Ejemplo: La funcin 2xy no es inyectiva, por ejemplo 1 y -1 de su dominio tienen la misma imagen,

mientras que la funcin 3xy es una funcin inyectiva. Ambos hechos se pueden ver grficamente por

el mtodo de la recta horizontal.

Sea R(f)D(f): f (de modo que la funcin es sobreyectiva). Si f es inyectiva, entonces para cada y de

R(f) existe un nico x de D(f) tal que y = f (x). Entonces, podemos denir una funcin D(f)R(f): g

como x = g(y) siempre que y = f(x). Esta funcin g se denomina inversa de la funcin f y se denota por -1f , a continuacin se da la definicin en trminos de composicin de funciones.

DEFINICIN: Una funcin g es la funcin inversa de f si

)D()( gxxxgf y )D()( fxxxfg La denicin es bastante simtrica, por lo que si f es la inversa de g, g es la inversa de f. Adems se

observa que )()()()( fDgRyfRgD .

Estrategia para hallar la inversa de una funcin:

Una vez que se ha probado que una funcin )(xfy es biyectiva, en muchos casos podemos hallar la

ecuacin explcita correspondiente a su inversa siguiendo los siguientes pasos:

1. Despejar la x en funcin de y, obteniendo )(1 yfx .

2. Intercambiar x e y, para obtener )(1 xfy , y por ltimo

3. Denir el dominio de )(1 xfy como D( 1f ) = R(f ).

Observaciones: 1. Las funciones estrictamente montonas tienen inversa.

2. Las grficas de 1fyf son simtricas respecto de la recta de ecuacin xy , ya que en este caso, si

el punto )(; cfc es un punto de la grfica de la funcin f , entonces el punto ccf ;)( es un punto

de la grfica de la funcin 1f . Notemos esta propiedad en la siguiente grfica de una funcin y su

inversa:

Clculo 1 15


Ejercicio 4: En cada uno de los ejercicios siguientes, determinar si la funcin dada tiene inversa, y si la

tiene, hallar su inversa, el dominio de la inversa y graficar ambas funciones, suponiendo que el dominio de

la funcin inversa es tambin un subconjunto del eje x

a) 12)( xxf

b) 0,)( 2 xxxf

c) 3)( xxf

d) 2

1)(

xxf

e) x

xxf

12)(

f) xxxf 2)(

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

(1) FUNCION EXPONENCIAL: En general, una funcin exponencial es una funcin de la forma

10)( ayadondeaxf x .

Se denomina exponencial porque la variable x es el exponente.

Analicemos la funcin que acabamos de definir:

Si nx , un entero positivo, entonces:

factoresn

n aaaa

Si 0x , en tal caso 10 a , y si nx , donde n es un entero positivo, entonces: n

n

aa

1

Si x es un nmero racional, q

px , donde p y q son enteros y 0q , por lo tanto:

q pq

p

aa

Si mx es un nmero irracional, x

Qxmx

m aa

lim . Se puede probar que este lmite existe.

Clculo 1 16


A continuacin tenemos las grficas de algunas funciones exponenciales:

Ejercicio5: Trazar en un solo plano las grficas de las siguientes funciones:

a) xxk 3)( b) xxw 10)( c) x

xg

3

1)( d)

x

xh

10

1)(

Propiedades de las funciones exponenciales

Si 1a , la funcin exponencial xaxf )( tiene las siguientes propiedades:

a) El dominio de xaxf )( es R y su recorrido R+.

b) La funcin xaxf )( , es estrictamente creciente y cncava hacia arriba en todo su dominio.

c) El eje x es asntota horizontal por la izquierda de la grfica de xaxf )( .

Si 10 a , la funcin exponencial xaxf )( tiene las siguientes propiedades:

a) El dominio de xaxf )( es R y su recorrido R+.

b) La funcin xaxf )( , es estrictamente decreciente y cncava hacia arriba en todo su dominio.

c) El eje x es asntota horizontal por la derecha de la grfica de xaxf )( .

LEYES DE LOS EXPONENTES: Si Rba, y Ryx , ; se verifican:

1) yxyx aaa 3) yxyx aa

2) y

xyx

a

aa 4) yxx aaba

LA FUNCIN EXPONENCIAL NATURAL EL NMERO e :

Podemos definir el nmero e como el nmero real positivo tal que la pendiente de la recta tangente a la

curva xexf )( en el punto )1,0( sea igual a 1.(existen muchas otras formas de definir el nmero e )

El nmero e es considerado el nmero por excelencia del Clculo as como es de la Geometra. La importancia de este nmero se har evidente a medida que se avance en el estudio del Clculo. Por de

pronto nos conformaremos en saber que e es un nmero irracional cuyo valor con 7 cifras decimales es 7182818,2 . Es decir

7182818,2e

LA FUNCIN EXPONENCIAL NATURAL: Es la funcin cuya base es e . La grfica de esta funcin se da a continuacin:

Clculo 1 17


(2) FUNCIN LOGARTMICA:

La funcin exponencial xaxf )( bien es estrictamente creciente o estrictamente decreciente y por lo

tanto es inyectiva. Debido a eso tiene una funcin inversa 1f , a la cual se le da el nombre de funcin

logartmica de base a y se denota mediante alog . Es decir:

xaxy ya log

Las ecuaciones de cancelacin cuando se aplican las inversas son:

1. Rxxaxa log 2. Rxxa xalog

Propiedades de las funciones logartmicas

Si 1a , la funcin logartmica xxf alog)( tiene las siguientes propiedades:

a) El dominio de xxf alog)( es R+ y su recorrido R.

b) La funcin xxf alog)( , es estrictamente creciente y cncava hacia abajo en todo su dominio.

c) El eje y es asntota vertical de la grfica de xxf alog)( .

Si 10 a , la funcin logartmica xxf alog)( tiene las siguientes propiedades:

a) El dominio de xxf alog)( es R+ y su recorrido R.

b) La funcin xxf alog)( , es estrictamente decreciente y cncava hacia arriba en todo su dominio.

c) El eje y es asntota vertical de la grfica de xxf alog)( .

La grfica de una funcin logartmica xxf alog)( es el reflejo de la grfica de xaxf )( respecto a la

recta y = x. Veamos un caso particular:

Clculo 1 18


Observacin: Todas las funciones exponenciales pasan por el punto )1,0( , as como todas las logartmicas

pasan por )0,1( .

LA FUNCIN LORARITMO NATURAL: Es la funcin logartmica cuya base es e . La grfica de esta funcin se da a continuacin:

La funcin logaritmo natural xxf elog)( se denota sencillamente por xxf ln)( . Otra funcin

logartmica que merece una mencin especial es la funcin logaritmo decimal cuya base es 10. La funcin

logaritmo decimal xxf 10log)( se denota sencillamente por xxf log)( , aunque en algunos textos la

notacin xxf log)( se refiere al logaritmo natural.

CAMBIO DE BASE: Como en el cambio de base tenemos que si 01,0 xyaa

xa

xa lnln

1log

LEYES DE LOS LOGARITMOS: Si Ryx, , entonces se verifican:

1) yxyx aaa logloglog

2) yxy

xaaa logloglog

3) Rxxrx ara loglog

Clculo 1 19


Ejercicio5: Determinar dominio, rango y grfica de las siguientes funciones:

a) 1

2)(

x

xf b) xxg2

log)(

(3) FUNCIONES HIPERBLICAS

Las funciones hiperblicas se presentan como ciertas combinaciones de funciones exponenciales y reciben

el calificativo de hiperblicas porque pueden referirse a una hiprbola de la misma forma en que las

funciones trigonomtricas estn relacionadas con la circunferencia.

DEFINICIN: Para cualquier nmero real x, el seno hiperblico de x es: 2

xx eesenhx

y el coseno

hiperblico de x es: 2

coshxx ee

x

LAS DEMS FUNCIONES HIPERBLICAS: Para cualquier nmero real x

(a) La tangente hiperblica est definida por: xx

xx

ee

ee

x

senhxtghx

cosh

(b) La cotangente hiperblica est definida por: 0cosh

cot

xsiee

ee

senhx

xghx

xx

xx

(c) La secante hiperblica de est definida por: xx eex

hx

2

cosh

1sec

(d) La cosecante hiperblica est definida por: 021

cos

xsieesenhx

echxxx

GRFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS

I. Grfica de la funcin seno hiperblico II. Grfica de la funcin coseno hiperblico

x

y

x

y

III. Grfica de la funcin tangente hiperblico IV. Grfica de cotangente hiperblico

x

y

x

y

Dominio: R

Rango: R

Dominio: R

Rango: ;1

Dominio: R

Rango: 1,1

Dominio: 0R Rango:

; 1 1;

Clculo 1 20


V. Grfica de la funcin secante hiperblico VI. Grfica de la funcin cosecante hiperblico

x

y

x

y

NOTAS:

a) Identidad fundamental en las funciones hiperblicas: 1cosh 22 xsenhx

b) La grfica de cualquier funcin de la forma cxkeekxf cxcx cosh2

)( , en donde k y c son

constantes, se llama catenaria.

c) A diferencia de las funciones trigonomtricas, las funciones hiperblicas no son peridicas

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS Las funciones trigonomtricas son funciones peridicas, por lo tanto no tienen inversas. Ahora

analizaremos esas seis funciones para ver si es posible redefinir su dominio de manera tal que, en el

dominio restringido, tengas funciones inversas.

Bajo restricciones adecuadas, cada una de las seis funciones trigonomtricas es inyectiva y admite inversa,

como se muestra en las siguientes definiciones DEFINICIONES:

(a) 22

y11

yxdondeysenxsisloysxarcseny

(b) yxdondeyxsisloysxy 0y11cosarccos

(c) 22

y

yxdondeytgxsisloysxarctgy

(d) cot cot 0y arc gx s y slo si x gy donde x y y

(e) ;2/2/;0;1secsec ennmerounesyxdondeyxsisloysxarcy

(f) 2/;00;2/;1coscos ennmerounesyxdondeyecxsisloysxecarcy

NOTAS:

1) El trmino xarcsen se lee el arco seno de x o algunas veces el ngulo cuyo seno es x. La

funcin xarcseny suele llamarse funcin inversa de seno o arco seno.

2) En las definiciones podemos notar que los dominios restringidos de las funciones seno, coseno,

tangente, cotangente, secante y cosecante son respectivamente

2;

2

, ;0 ,

2;

2

, ;0 ,

;

22;0 ,

2;00;

2

. La mayora de los libros coinciden con estas restricciones.

Dominio: R

Rango: 1,0

Dominio: 0R Rango: 0R

Clculo 1 21


3) Aunque algunas calculadoras dan: 30)2/1( senarc esto es incorrecto cuando trabajamos en el

contexto de funciones reales de variables reales. El resultado de una funcin trigonomtrica inversa es

un ngulo medido en radianes. Son iguales los valores de 1cos y 1cos ? Si o no Por qu?

GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

I. Grfica de la funcin arco seno

II. Grfica de la funcin arco coseno

III. Grfica de la funcin arco tangente

IV. Grfica de la funcin arco cotangente

V. Grfica de la funcin arco secante

VI. Grfica de la funcin arco cosecante

( )f x arctgx

Dominio: R

Rango:

2;

2

( ) cotf x g x

Dominio: R

Rango: ;0

( )f x arcsen x

Dominio: 1;1

Rango:

2;

2

( ) arccosf x x

Dominio: 1;1 Rango: ;0

( ) secf x arc x

Dominio: ;11;

Rango:

;

22;0

( ) cosf x arc ecx

Dominio: ;11;

Rango:

2;00;

2

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