Fundamentos de Calculo

FUNDAMENTOS DE CÁLCULOAutor – Dr. Alessandro Ferreira Alves

Universidade Anhembi Morumbi

Janes Fidelis TomelinDiretor de EaD

Fabiano Prado MarquesDiretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Francisco Carlos DamanteRevisor Técnico

Universidade Potiguar

Barney VilelaCoordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância

Catarina de Sena PinheiroDiretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Raimundo Cícero Araújo MontenegroRevisor Técnico

Universidade Salvador

Adriano Lima Barbosa MirandaDiretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Rafael Gonçalves Bezerra de AraújoDiretor da Escola de Engenharia e TI

Alex Soares CaldasRevisor Técnico

Rede Laureate Internacional de Universidades

Daniella Loureiro KonczCoordenadora de Novos Negócios

André Torres GregórioDesigner Instrucional

FabriCO

Projeto educacionalProjeto gráficoAutoria do conteúdoRevisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO

CARTA AO ALUNO ............................................................................................................... 6

AULA 1 - CÁLCULOS ALGÉBRICOS ........................................................................................ 7Introdução .............................................................................................................. 7Objetivos ................................................................................................................ 8

1.1 Conjuntos numéricos ................................................................................... 81.2 Razão ........................................................................................................ 101.3 Proporção .................................................................................................. 111.4 Propriedades básicas da Álgebra .............................................................. 151.5 Potenciação com expoentes inteiros ........................................................ 171.6 Notação científica ..................................................................................... 191.7 Radiciação ................................................................................................. 201.8 Racionalização de denominadores ........................................................... 221.9 Potência de expoente racional ................................................................. 231.10 Técnicas de fatoração e polinômios ....................................................... 241.11 Fatoração ................................................................................................ 241.12 Simplificação de expressões fracionárias ............................................... 261.13 Regras operacionais ................................................................................ 271.14 Equações ................................................................................................. 291.15 Equações do segundo grau ..................................................................... 321.16.1 Inequação do primeiro grau, ou inequação linear em x ..................... 36

Conclusão ............................................................................................................. 37

AULA 2 - INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES ............................................................... 39INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 39Objetivos .............................................................................................................. 40

2.1 Noção intuitiva de função ......................................................................... 402.2 Teoria dos conjuntos ................................................................................. 412.3 Intervalos: subconjuntos especiais do conjunto dos números reais ........ 492.4 Funções ..................................................................................................... 492.4.1 Par ordenado ......................................................................................... 502.5 Domínio, contradomínio e conjunto imagem ........................................... 62

Conclusão ............................................................................................................. 72

AULA 3 - FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES ................................................... 73Introdução ............................................................................................................ 73OBJETIVOS ............................................................................................................. 74

3.1 Função polinomial ..................................................................................... 743.2 Função identidade .................................................................................... 753.3 Função linear ............................................................................................ 763.4 Função afim .............................................................................................. 763.5 Como resolver um sistema de duas equações lineares ........................... 803.6 Coeficientes da função afim e equação fundamental da reta ................. 853.7 Equação fundamental da reta ................................................................... 873.8 Crescimento e decrescimento ................................................................... 89

Conclusão ............................................................................................................. 93

AULA 4 - FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES ................................................... 95Introdução ............................................................................................................ 95OBJETIVOS ............................................................................................................. 96

4.1 História envolvendo a função quadrática ................................................. 964.2 Função quadrática ..................................................................................... 984.3 Função quadrática – aplicações ................................................................ 984.4 Discriminante da função quadrática – fórmula de Bhaskara .................... 994.5 Valor da função quadrática em um ponto .............................................. 1004.6 Zeros da função quadrática .................................................................... 1014.7 Forma canônica da função quadrática .................................................... 1044.8 Gráfico da função quadrática .................................................................. 1074.9 Propriedade relevante da parábola ........................................................ 1134.10 Outras aplicações envolvendo as funções quadráticas ........................ 1154.11 Inequação do segundo grau ................................................................. 117

Conclusão ........................................................................................................... 120

AULA 5 - COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR ......................... 121INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 121OBJETIVOS ........................................................................................................... 122

5.1 Paridade de funções ............................................................................... 1225.2 Álgebra das funções ............................................................................... 1265.3 Função composta .................................................................................... 1285.4 A função inversa de f(x) ......................................................................... 1335.5 Como reconhecer a tipologia de funções através de gráficos ............... 1415.6 A função modular ................................................................................... 1435.7 Propriedades envolvendo o valor absoluto ........................................... 1465.8 Equações modulares .............................................................................. 1465.9 Inequações modulares ........................................................................... 147

CONCLUSÃO ........................................................................................................ 149

AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA .. 151INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 151OBJETIVOS ........................................................................................................... 152

6.1 Equações exponenciais ........................................................................... 1526.2 A função exponencial ............................................................................. 1556.3 Inequações exponenciais ....................................................................... 1616.4 Definição formal de logaritmo e propriedades imediatas ..................... 1636.5 Função logarítmica ................................................................................. 1686.6. Equações logarítmicas............................................................................ 1736.7 Inequações logarítmicas ......................................................................... 174

CONCLUSÃO ........................................................................................................ 175

AULA 7 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E APLICAÇÕES .................................................... 177INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 177OBJETIVOS ........................................................................................................... 178

7.1 Aspectos introdutórios da trigonometria ................................................ 1787.2 O ciclo trigonométrico e o quadrante geométrico ................................. 1787.3 As funções trigonométricas seno, cosseno e tangente .......................... 1807.3.2 A função cosseno de x ........................................................................ 1817.3.3 A função tangente de x ....................................................................... 1837.4 Funções trigonométricas inversas .......................................................... 186

AULA 8 - ÁREAS E VOLUMES ........................................................................................... 197INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 197OBJETIVOS ........................................................................................................... 198

8.1 Noções, Proposições Primitivas e Conceitos Fundamentais ................... 1988.2 Triângulos ................................................................................................ 2008.3 Polígonos ................................................................................................ 2048.4 Quadriláteros Notáveis ........................................................................... 2078.5 Cálculo de Áreas – Polígonos Regulares ................................................. 2098.6 Poliedros e Volumes ............................................................................... 2158.6.3 Cilindros ............................................................................................... 2188.6.4 Cones.................................................................................................... 219

CONCLUSÃO ........................................................................................................ 221Atividades de fixação .................................................................................... 221Atividades de avaliação ................................................................................ 224

CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ............................................................................................ 225

REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 227

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FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

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CARTA AO ALUNOProf.ª Esp. Ana Karolina Rodrigues Aires

Seja bem-vindo!

A partir de agora, vamos estudar uma das disciplinas que compõem o seu curso de graduação em Engenharia: Fundamentos de Cálculo. Podemos pensá-la como um aparato teórico sobre pontos da Matemática Elementar, área do conhecimento indispensável para um futuro engenheiro. Algumas perguntas costumam surgir com relação ao aprendizado desta matéria, questionando, principalmente, a utilidade prática do conteúdo estudado (entre elas, as recorrentes “para que servem tantas fórmulas, regras e expressões complicadas? Tenho mesmo de aprender tudo isso?”)

Primeiro, podemos responder que a matemática é produto da cultura humana e faz parte do nosso cotidiano. É uma ciência exata, cuja produção envolve o pensar crítico e criativo. Atualmente, ela está presente em todas as áreas do conhecimento, participando de forma significativa no desenvolvimento de novas teorias e resolvendo diversas situações, principalmente no contexto da Engenharia. Em outras palavras, um engenheiro com sólida formação deve dominar os conceitos e as técnicas da Matemática. Como disse Platão, “os números governam o mundo”, e citando Laisant, “zero, esse nada que é tudo”.

Falando um pouco mais de forma específica sobre a disciplina, vamos trabalhar desde a parte relacionada aos conjuntos numéricos, às funções, às funções do primeiro e segundo graus até a Geometria Plana e Espacial.

Vale destacar, porém, que é de fundamental importância que você acesse, busque e pesquise os livros apresentados nas referências bibliográficas de cada aula, para complementar seus estudos.

A verdade é que ninguém aprende Matemática ouvindo e/ou assistindo ao professor em sala de aula (virtual ou presencial), por mais organizadas e claras que sejam as suas explicações teóricas, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso é muito importante, no entanto, é necessário estudar por conta própria, logo após as aulas, os conteúdos disponibilizados. Portanto, você, aluno, não vai aprender Matemática somente porque assiste às aulas e lê o material apresentado, mas porque estuda e resolve mais exercícios relacionados.

Mãos à obra e bom estudo!

AULA 1Cálculos algébricos

Dr. Alessandro Ferreira Alves

INTRODUÇÃOSabemos que a necessidade de apresentar modelos que permitam explicar e compreender o mundo físico tem sido uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática. Podemos dizer que números foram criados para contar e medir, ao passo que desigualdades foram introduzidas para comparar grandezas e as funções matemáticas foram inventadas para expressar dependência ou relação entre coisas.

É evidente que muitos problemas importantes e significativos da Engenharia, por mais complexos que sejam e formulados em termos matemáticos, exigem quase sempre procedimentos e cálculos que passam por operações e propriedades básicas. De outra forma, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Estes são apenas alguns


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exemplos de situações envolvendo um modelo matemático que, certamente, aparecerão na sua vida acadêmica e/ou profissional em Engenharia.

Nossa primeira aula tem como objetivo apresentar alguns conceitos, regras e resultados básicos da Matemática elementar, desde a explicação simples sobre razões e proporções até a resolução de equações e inequações do primeiro grau. Sem dúvida, estes aspectos teóricos contribuirão para a sua sólida formação como Engenheiro, podendo ser aplicados, por exemplo, nos problemas da Física.

OBJETIVOSOs objetivos de aprendizagem desta aula são:

» Conhecer os principais produtos notáveis.

» Entender problemas simulados envolvendo as equações do primeiro grau.

» Entender problemas simulados envolvendo as equações do segundo grau.

» Compreender os principais métodos para fatoração envolvendo polinômios.

» Compreender e aplicar os conceitos e as propriedades envolvendo razões e proporções.

» Interpretar e resolver sistemas de equações do primeiro grau.

» Entender problemas simulados envolvendo as inequações do primeiro grau.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOSOs conjuntos numéricos são muito importantes para os nossos propósitos e possuem uma denotação universalmente aceita. Qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado de número natural. Indicamos por IN o conjunto dos números naturais. Veja a seguir:

IN = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Como a operação da subtração nem sempre é possível em IN, foi criado o conjunto dos números inteiros. Neste conjunto, a diferença 3 - 5 é representada por -2. Além disso, denotamos por Z o conjunto dos números inteiros e por Z* o conjunto dos inteiros não nulos. Acompanhe:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}

Saiba que, de outro modo, a divisão nem sempre é possível em Z. Por exemplo, não existe número inteiro que represente o quociente -3 ÷ 2. Desta forma, nasceu o conjunto dos números racionais. Aqui o quociente é indicado 3

2− ou -1,5. Denota-se o conjunto dos números racionais por Q e por

Q* o conjunto dos racionais não nulos.

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

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1.1.1 Conjunto dos números racionaisChamamos de número racional todo número que pode ser escrito na forma

qp em que p e q são

números inteiros, com q ≠ 0, ou seja, Q = {x / x = qp ; p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠ 0} (PAIVA, 1999).

Segundo Paiva (1999), um número racional é aquele que você pode escrever na forma de fração. Nessa definição, encaixam-se todos os números naturais, inteiros, decimais e também as dízimas periódicas.

Exemplos de números racionais:

1) 0,7222222222...

2)

31 = 0,3333333...

3) 0,584444444...

1.1.2 Dízima periódicaPaiva (1999, p. 1) afirma que “dízimas periódicas são números racionais cuja representação decimal é infinita. São originadas da divisão entre 2 números inteiros, sendo que a fração que a caracteriza é a fração geratriz.” Entre os números decimais existem as dízimas não periódicas, que são números com infinitas casas decimais e não periódicos. Esses números são chamados de irracionais, e o conjunto formado por eles é representado por I. Os dois números irracionais mais importantes são π = 3,14... e e = 2,71... (constante de Euler). Por fim, qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Indica-se por ℜ o conjunto dos reais. Desta maneira, temos a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos citados. Veja na figura a seguir.

IN IRZ Q

Figura 1 - Relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos.

Fonte: PAIVA, 1999.

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Note que todo número natural é um número inteiro, que, por sua vez, é um número racional. Observe que não temos um número que seja racional e irracional ao mesmo tempo. Quando unimos o conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais encontramos o conjunto dos números reais.

1.2 RAZÃOPara que você entenda inicialmente o conceito de razão entre dois números, vamos considerar a seguinte situação: imagine que o preço de determinado produto tivesse um aumento de R$ 1,00. Esse aumento foi baixo ou elevado? Qual é a sua interpretação?

Para responder, precisamos de mais informações. Um dado importante é o preço do produto antes do referido aumento, mas como relacionar o aumento e o preço inicial? Uma forma possível é dividir um pelo outro. Vamos admitir, como exemplo, duas possibilidades.

1a possibilidade: o preço inicial era de R$ 20,00. Assim, temos:

1 120 20

aumento realpreço reais

= =

2a possibilidade: o preço inicial era de R$ 2,00. Assim, temos:

1 12 2

aumento realpreço reais

= =

Perceba que responder se o aumento foi baixo ou elevado é uma questão que envolve subjetividade, porém podemos afirmar que na 1a possibilidade houve um aumento relativo menor do que na 2a possibi-lidade, pois podemos escrever:

1 120 2

<

Essa forma de relacionar números é o que chamamos de razão.

Então, o que é razão?

Chamamos de razão de um número a para um número b, com b ≠ 0, ao quociente de a para b, ao qual indicamos por a

b.


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Veja alguns exemplos:

1) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, dos quais há 100 moças e 400 rapazes. Assim:

a) A razão do número de moças para o número de rapazes é 100 1400 4

= = 0,25.

b) A razão do número de rapazes para o número de moças é 400 4100 1

= = 0,25.

2) A razão do número 12

para o número 56

é:

11 5 1 6 32

5 2 6 2 5 56

= ÷ = × =

Observe que aqui usamos a regra básica que diz: na divisão entre duas frações conservamos a primeira (no caso 1

2) e multiplicamos pelo inverso da segunda (no caso 6

5).

1.2.1 Razão entre duas grandezasA razão de duas grandezas, dadas em certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda.

Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Contrariamente, se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplo:

Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso é:

160 1602 2

km kmh h

= = 80 km/h

1.3 PROPORÇÃOO conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas na matemática, como também no nosso cotidiano. Empregamos proporções no dia a dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos. Por exemplo, quando falamos que uma estátua tem a cabeça muito grande, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser muito grande mesmo que meça a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira. Ou seja, ela é muito grande proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.

Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é igual à razão entre os dois números (20 e 4), isto é:


12

15 53

= e 20 54

= ,

dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões:

15 203 4

=

Então, o que é proporção?

Em geral, dados em certa ordem quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, falamos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). Ou seja, uma proporção nada mais é que a igualdade entre duas razões.

Simbolicamente, representamos uma proporção por:

a cb d

=

Em que:

a, b, c e d: termos da proporção

a e c: antecedentes

b e d: consequentes

a e d: extremos

b e c: meios

Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Esta é uma propriedade fundamental das proporções.

1.3.1 Grandezas proporcionaisÉ interessante ressaltar que a maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia a dia ligam duas grandezas relacionadas de tal forma que quando uma delas varia, como consequência, varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados.

A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. Segundo esta lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais.


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DiretamenteProporcionais

IndiretamenteProporcionais

Grandezas

Figura 2 - Tipos de grandezas.

Fonte: FERREIRA, 2013.

1.3.2 Grandezas diretamente proporcionaisVeja o seguinte exemplo: uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g. Nas mesmas condições, uma barra de 200 cm3 pesará 450 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos então escrever o quadro 1 da seguinte forma:

VOLUME (CM3) 100 200 300 500

MASSA (G) 270 540 810 1.350

Quadro 1 - Grandezas diretamente proporcionais.


Ao examinar este quadro, podemos perceber claramente que a grandeza massa depende da grandeza volume, pois aumentando uma (volume) a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que:

270 540 810 1350100 200 300 500

= = = = 2,7


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Curiosidade! O valor 2,7 corresponde à massa específica do Alumínio, expressa em g/cm3.

Chamando de x a grandeza volume e y a grandeza massa, temos:

yx

= 2,7

Ou

y = 2,7 · x

Dizemos, neste caso, que as sequências de números 100, 200, 300, 500 e 270, 540, 810, 1350 são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente proporcionais e 2,7 é a razão ou o coeficiente de proporcionalidade.

1.3.3 Grandezas diretamente proporcionaisDuas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes x e y são expressos por uma lei do tipo y = k · x, em que k é um número real constante, diferente de zero.

Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspon-dentes da outra.

1.3.4 Grandezas inversamente proporcionaisVejamos este exemplo: uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos então escrever o quadro 2 da seguinte maneira:


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VELOCIDADE (KM/H) 100 200 300 400

TEMPO (H) 12 6 4 3

Quadro 2 - Grandezas inversamente proporcionais.


Perceba que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que, aumentando a velocidade, o tempo diminui. Porém, agora temos:

12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200

Ou:12 6 4 31 1 1 1

100 200 300 400

= = = = 1.200

Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:

y · x = 1.200

Ou

y = 1.200 · 1x

Dizemos, neste caso, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.

Então, o que são grandezas inversamente proporcionais?

Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais quando os valores correspondentes x e y são expressos por uma lei do tipo y = k · 1

x, em que k é um número real constante, diferente de zero.

Pergunta:

O comprimento de uma barra de ferro e seu preço são grandezas diretamente proporcionais? Por quê?

Resposta:

Sim, porque, se multiplicarmos o comprimento da barra por um número diferente de zero, o preço fica multiplicado por esse número.

1.4 PROPRIEDADES BÁSICAS DA ÁLGEBRASabemos que a Álgebra é a parte da matemática que envolve o uso de letras e outros símbolos para representar números reais. Segundo Demana e Kennedy (2009, p. 7), uma variável é uma letra ou um símbolo (por exemplo, x, y, z, t, φ, θ) que representa um número real não específico. Além disso, uma constante é uma letra ou um símbolo (por exemplo, -2, 0, 3 , π) que representa


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um número específico, e uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes.

Álgebra

Constante

VariávelExpressãoAlgébrica

Figura 3 - Tipos de grandezas.


Antes de trabalhar com potenciação e radiciação, vamos fazer uma breve revisão com relação a algumas das propriedades das operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão, representadas pelos símbolos +, -, × (ou ·) e (÷ ou /), respectivamente.

Adição Subtração

Multiplicação Divisão

Figura 4 - Operações aritméticas fundamentais.


Desta forma, definimos:

» a - b = a + (-b), em que (-b) é o inverso aditivo de b.

» ba = a ·

b1 , b ≠ 0,

b1 é o inverso multiplicativo de b.

Assim, temos as seguintes propriedades associadas:


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P1) Propriedade comutativa:

Adição: u + v = v + u (a ordem dos fatores não altera a soma)

Multiplicação: u · v = v · u (a ordem dos fatores não altera o produto)

P2) Propriedade associativa:

Adição: (u + v) + w = u + (v + w)

Multiplicação: (u · v) · w = u · (v · w)

P3) Propriedade do elemento neutro:

Adição: u + 0 = u

Multiplicação: u · 1 = u

P4) Propriedade do elemento inverso:

Adição: u + (-u) = 0

Multiplicação: u · u1 = 1, com u ≠ 0

P5) Propriedade distributiva:

Multiplicação com relação à adição:

+=++=+

wvwuwvuwuvuwvu..).(..).(

Multiplicação com relação à subtração:

−=−−=−

wvwuwvuwuvuwvu..).(..).(

Veja a seguir alguns exemplos que ilustram a aplicação destas propriedades:

a) 2 + 3 = 3 + 2 = 5

b) 4 · 5 = 5 · 4 = 20

c) (4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) = 9

d) (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24

e) 8 + 0 = 8 = 0 + 8

f) 3 · 1 = 1 · 3 = 3

g) 2 ·

21 = 1

1.5 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTES INTEIROSEm diversas situações envolvendo cálculos algébricos, percebemos a repetição de alguns fatores. Assim, a notação com expoentes é muito útil para diminuir a escrita destes. Por exemplo, se considerarmos:

(-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = (-4)6

e

(3 · x - 5) · (3 · x - 5) · (3 · x - 5) = (3 · x - 5)3


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1.5.1 Enésima potência de aConsidere a um número real, uma variável ou uma expressão algébrica e n um inteiro positivo. Então:

an = vezesn

aaaaaa .......

Em que n é o expoente, a é a base e an é a enésima potência de a (lemos: “a elevado a n”) (DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 9).

Veja estes exemplos.

1) (-5)4, a base é -5.

2) -74, a base é 7, já que -74 = (-1) · 74.

3) 32, a base é 3 e o expoente é 2.

1.5.2 Propriedades da potenciaçãoSendo a e b números reais, m e n inteiros, temos:

P1) am · an = am+n

P2) m

naa

= am-n

P3) a0 = 1

P4) a-n = 1na

P5) (a · b)m = am · bm

P6) (am)n = am · n

P7) m m

ma ab b

=

Exemplos

1) 83 · 84 = 83 + 4 = 87

2) 10

4xx

= x10 - 4 = x6

3) 50 = 1 (qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1)

4) y-3 = 3

1y

5) (2 · x)5 = 25 · x5 = 32 · x5

6) (x2)3 = x2 · 3 = x6

19

7) 7 7

7x xy y

=

.

8) 2 2

1 32 .32 .3

−

−

= 2 1

2 32 .23 .3

= 3

523

= 8243

1.6 NOTAÇÃO CIENTÍFICAEm diversas situações do cotidiano do engenheiro, aparecem números muito grandes ou demasiado pequenos. Desta maneira, a notação científica auxilia na escrita destes números por meio do uso de potências de 10. Saiba que todo número A, não nulo, pode ser representado em uma das seguintes formas:

A = c · 10m ou A = -c · 10m

com 1 ≤ c < 10 e m um inteiro, conforme A seja positivo ou negativo. Essa forma de escrever um número é chamada de notação científica.

Exemplo: a distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 149.597.870,691 quilômetros. Em notação científica, esta distância pode ser escrita como 149.597.870,691 km ≅ 1,5 · 108 km.

Para escrever um número em notação científica, devemos observar as seguintes regras:

R1) Multiplicar um número por 10p, p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p ”casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se para a esquerda.

0,00037 · 104 = 3,7

2.500 · 10-3 = 2,5

R2) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por 10p · 10-p.

Notaçãocientí�ca

Padronização deescrita denúmeros

Reescrevernúmeros muito

grandes

Potências de 10Reescrever

números muitopequenos

Figura 5 - A importância da notação científica.


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Exercício

Vamos simplificar a seguinte expressão:

.

Solução: Neste caso, temos:

= = =

9,25 × 1010 = 92.500.000.000

1.7 RADICIAÇÃOConsidere o seguinte problema: qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm2 de área? Para resolver, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x (x > 0).

x

x

Figura 6 - O quadrado de lado x e área 5 cm2.


Sabemos que a área deste quadrado é dada por x2, e pelo enunciado devemos ter:

x2 = 5

Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor positivo de x que torne verdadeira a sentença x2 = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por 2 5 , que devemos ler “raiz quadrada de cinco”. Portanto, o lado do quadrado mede x = 2 5 cm.

1.7.1 Raiz enésima de aVamos supor a sentença xn = a, em que n é um natural não nulo e a ≥ 0. O valor não negativo que satisfaz esta igualdade será indicado por n a , e devemos ler “raiz enésima de a”. As nomenclaturas utilizadas para esta simbologia são dadas por:

n a : radical

n: índice do radical


21

a: radicando

Veja no quadro a seguir algumas nomenclaturas da raiz enésima.

LEITURA RADICAL ÍNDICE RADICANDO

5 4 Raiz quinta de 4 5 4 5 4

3 8 Raiz cúbica de 8 3 8 3 8

2 9 Raiz quadrada de 9 2 9 2 9

Quadro 3 - Algumas nomenclaturas da raiz enésima.


Devido à raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, 2 a ser muito utilizada, padronizou-se escrever apenas a .

Exercício

Vamos calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm3, sendo x a medida da aresta do cubo, conforme figura a seguir:

Figura 7 - O cubo de aresta x.


Então, sabemos que o volume de um cubo de aresta x é dado por:

x3 = 64 e x > 0

Pela definição de raiz, temos que:

x = 3 64


22

x = 4, pois 43 = 64 e 4 ≥ 0.

Solução: a aresta do cubo mede 4 cm.

Existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x2 = 25: 5 ou -5. O valor positivo 5 é indicado por 25 , e o valor negativo -5 é indicado por - 25 . Assim:

x2 = 25 ⇒ x = ± 5

1.7.2 Propriedades dos radicaisSendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos, temos:

P1) . .n n na b a b=

P2) nn

n

a abb

=

P3) np mp n ma a=

P4) ( )m n mn a a=

P5) n m nma a=

Exemplos

1) 1

3 3 3 32. 5 2.5 10P= =

2) 2

555

5

8 8 244 P

= =

3) 3

27 9 27 9 9 9 35 5P

a÷ ÷= =

4) 4 3

3 3 312 12 12 3 43( 2) 2 2 2P P

÷ ÷= = =

5) 5

3 3.44 122 2 2P= =

1.8 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORESEm alguns casos, podemos evitar a divisão por números irracionais, minimizando os possíveis erros propagados pelos cálculos em questão. Segundo Demana e Kennedy (2009), racionalização é o processo de reescrever frações contendo radicais, de modo que o denominador fique sem esses radicais.

Exemplos:


23

1)

36

33.

32

32

32 ===

2) xx

x

x

x

xxx

4 3

4 4

4 3

4 3

4 3

44.11 === (| x | é o módulo de x que aprenderemos mais adiante).

3)

yyx

y

yx

y

y

y

x

y

xyx 5 22

5 5

5 22

5 2

5 2

5 3

5 2

5 3

5 2

53

2 ... ====

1.9 POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONALJá sabemos calcular potências do tipo 2 6 25 ,8 , 4− , isto é, potências que envolvem expoentes inteiros. Mas como podemos trabalhar com expoentes racionais (frações), ou seja, como interpretar, por exemplo, a potência

357 ?

Bem, vamos chamar a potência de x, logo:

x = 357

Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos que:3

5 55(7 )x =

Daí,5 37x =

E pela definição de raiz, segue que:

x = 5 37

Isso nos sugere a definição relacionada à potenciação envolvendo números racionais ou fracionários, como segue.

1.9.1 Expoentes racionaisConsidere um número real a > 0, m e n inteiros com n > 0. Neste caso, definimos

mn mna a= .

Note que para a = 0 deve ter m > 0.

Exemplos

1) 2

3 235 5=

2) 1

0,5 29 9 9= =

3) 1

0,1 10 1106 6 6−

− −= =


24

1.10 TÉCNICAS DE FATORAÇÃO E POLINÔMIOSQuando trabalhamos com cálculos algébricos, percebemos que o desenvolvimento de um produto requer apenas mão de obra e, portanto, não nos cria grandes dificuldades. O que pode causar problemas é a passagem no sentido contrário. Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada? Neste sentido, vamos trabalhar com algumas identidades fundamentais (produtos notáveis) que são ferramentas indispensáveis para as técnicas de fatoração associadas aos polinômios.

Polinômios

Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma:

an · xn + an-1 · x

n-1 + an-2 · xn-2 + ... + a1 · x + a0

em que n é um inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números an-1, ..., a1, a0 são todos reais conhecidos como coeficientes. De outro modo, o grau do polinômio é n e o coeficiente principal é o número an.

Veja que polinômios com um, dois e três termos são ditos monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão.

Além disso, para somarmos ou subtrairmos polinômios, nós somamos ou subtraímos termos semelhantes usando a propriedade da distributiva (DEMANA; KENNEDY, 2009).

1.10.1 Adição e subtração de polinômiosVeja alguns exemplos:

1) (3x + 4) + (7x - 10) = (3x + 7x) + (4 - 10) = 10x - 6

2) (2x + 5) - (3x - 1) = (2x - 3x) + (5 - (-1)) = -x + 6

3) (2x3 - 3) + (5x3 + x2 + x - 2) = (2x3 + 5x3) + x2 + x + (-3 - 2) = 7x3 + x2 + x - 5

1.10.2 Produtos notáveisSegundo Demana e Kennedy (2009), os polinômios que aparecem frequentemente e com certa regularidade nos cálculos algébricos são chamados de produtos notáveis.

1.11 FATORAÇÃOFatorar uma expressão algébrica é transformá-la numa outra equivalente que esteja na forma de produto.

Por exemplo:

2

2

6 8 2 .(3 4)

9 ( 3).( 3)fatorando

fatorando

x x x x

x x x

+ → +

− → + −

Primeiro caso de fatoração: fator comum em evidência


25

Quando existe um fator que é comum a todas as parcelas, então este fator comum deve ser colocado em evidência.

Exemplo:

1) 4 6 2.(2 3)x x+ = +

2) 28 4 4 .(2 1)x x x x− = −

Segundo caso de fatoração: agrupamento

É uma aplicação repetida do primeiro caso.

Exemplos:

1) 3 2 2 22 2 4 .( 2) 2.( 2) ( 2).( 2)x x x x x x x x+ + + = + + + = + +

2) 1 1 .( 1) 1.(1 ) .( 1) 1.( 1) ( 1).( 1)xy x y xy x y x y y x y y y x+ − − = − + − = − + − = − − − = − −

Terceiro caso de fatoração: diferença de dois quadrados2 2 ( ).( )a b a b a b− = − +

Exemplos:

1) 2 2 24. 9 (2 ) 3x x− = − (As bases são 2x e 3).

24. 9 (2 3).(2 3)x x x− = + −

2) 2 2 21 1x x− = − (As bases são x e 1).

2 1 ( 1)( 1)x x x− = − +

Quarto caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito2 2 22 ( )a ab b a b+ + = +

Exemplos:

1) 2 22 1 ( 1)x x x+ + = +

2) 2 26 9 ( 3)x x x− + = −

Quinto caso de fatoração: soma de cubos3 3 2 2( ).( )a b a b a ab b+ = + − +

Exemplos:

1) 3 3 38 2x x+ = + (as bases são x e 2).

3 28 ( 2).( 2 4)x x x x+ = + − +

2) 3 3 31 1x x+ = + (as bases são x e 1).

3 21 ( 1).( 1)x x x x+ = + − +

Sexto caso de fatoração: diferença de cubos3 3 2 2( ).( )a b a b a ab b− = − + +

Exemplos:

1) 3 3 364 4x x− = − (as bases são x e 4).


26

3 264 ( 4).( 4 16)x x x x− = − + +

2) 3 3 31 1x x− = − (as bases são x e 1).

3 21 ( 1).( 1)x x x x− = − + +

Sétimo caso de fatoração: cubo perfeito

3 2 2 3 3

3 2 2 3 3

3. . 3. . ( )3. . 3. . ( )

a a b a b b a ba a b a b b a b

+ + + = +− + − = −

Exemplos:

1) 3 2 38 36 54 27 (2 3)a a a a+ + + = +

2) 3 2 33. 3 1 ( 1)x x x x− + + = −

1.12 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES FRACIONÁRIASNeste ponto, vamos trabalhar com a simplificação envolvendo as expressões fracionárias e nos familiarizar com as expressões racionais.

1.12.1 Expressão fracionáriaDenominamos expressão fracionária um quociente envolvendo duas expressões algébricas (DEMANA; KENNEDY, 2009).

Exemplos:

1) x

x 1+

2) 1

122

2

+

++

x

xx

3)

xyx

+2. 2

4)

322

+−

xx

1.12.2 Expressão racionalDenominamos expressão racional um quociente envolvendo dois polinômios (DEMANA; KENNEDY, 2009).

Exemplos:

1) 3227

+−

xx

2)

4+xx


27

3)

3213

2 +−+xx

x

4) 4512

3

2

+−++

xxxx

5) 3512

2

23

−−+−

xxxx

Figura 8 - Expressão fracionária e expressão racional.

Fonte: FERREIRA, 2013

1.13 REGRAS OPERACIONAISA seguir, listamos as principais regras operacionais envolvendo frações. Para isso, considere u, v, w e z como números reais quaisquer, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores são considerados como não nulos, isto é, diferentes de zero. Veja a seguir:

R1) vw

vu +

= vwu +

R2) zw

vu + = zv

wvzu.

.. +

R3) zw

vu . = zv

wu..

R4) zw

vu ÷ =

zwvu

= wz

vu . (conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da

segunda)

R5) Para subtração, substituímos “+” por “-” em (1) e (2).


28

1.13.1 Multiplicação e divisão de expressões racionais1) =

)1()4(.

)4).(4()1).(1(

++

−+−+

xx

xxxx =

)1()4(.

)4).(4()1).(1(

++

−+−+

xx

xxxx =

41

−−

xx ,

sendo que devemos ter x ≠ -4, x ≠ -1 e x ≠ 4.

2) = )2(

)5).(5(.)5(

)2).(2(−

−++

−+x

xxx

xx = 52

−+x

x , sendo que

devemos ter x ≠ -5 e x ≠ 2 .

3) = )7).(2(

)42).(2(.)42.()7).(32( 2

2 +−++−

+++−

xxxxx

xxxxx =

xx 32 −

, sendo que devemos ter x ≠ 2, x ≠ -7 e x ≠ 0.

4) 2

21xx

÷ =

2

2

1

x

x =

2.1 2x

x =

2x , sendo que devemos ter x ≠ 0.

5) 4

3 2)1( x

xxx +÷+

=

4

3

21

xx

xx

++ = )2(

.)1(

43

xx

xx

++ = )2).(1(

7

xxx

++ , sendo que nesta situação

devemos ter x ≠ -1 e x ≠ -2.

1.13.2 Simplificação de frações compostasSegundo Demana e Kennedy (2009), uma fração composta ou fração complexa é uma fração na qual os numeradores e denominadores podem eles mesmos conter frações. Vamos simplificar as frações compostas a seguir?

a)

xx

x1

12

+

− =

xx

xx

1

12

+

+ =

xx 12 + ·

1+xx =

112

++

xx , com x ≠ -1.

b)

311

273

−−

+−

x

x =

31)3(

27)2.(3

−−−

+−+

xx

xx

=

34213

−−+−

xxxx

= , em que devemos ter x ≠ 3, x ≠ -2

e x ≠ 4.


29

c)

ba

ba11

1122

−

−

= baab

baab

.

. 22

22

−

−

= 22

22

.baab −

· )(.

abba

− = 2).(

)).((ba

abab +−

· )(.

abba

− = baab

.+

, em

que devemos ter a ≠ 0, b ≠ 0 e a ≠ b.

1.14 EQUAÇÕESAgora vamos estudar as equações de 1o grau e de 2o grau com uma variável e as equações que se reduzem a elas. Comumente chamamos as variáveis de incógnitas e os valores que satisfazem as equações de raízes. Além disso, resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Segundo Demana e Kennedy (2009), quando queremos encontrar uma solução de uma equação em x queremos encontrar todos os valores de x para os quais a equação é verdadeira ou, ainda, todas as soluções da equação. O nosso ambiente de estudo para a resolução das equações será o conjunto dos números reais. Cabe ressaltar que a resolução de equações é um aparato amplamente utilizado para a interpretação de modelagens dentro da Engenharia.

1.14.1 Equações do primeiro grau ou equação linear em xSegundo Demana e Kennedy (2009), uma equação linear em x pode ser escrita na forma:

ax + b = 0

com a e b números reais e a ≠ 0.

Exemplos:

1) x + 2 = 0

2) 3x - 4 = 0

3) 7x - 34

= 0

4) 2z - 6 = 0 (equação linear na variável z)

Uma equação linear em uma variável tem exatamente uma solução. Por exemplo, 2x - 8 = 0 tem como solução x = 4, ou seja, o seu con-junto solução é S = {4}.


30

1.14.1.1 Equações equivalentes

Duas ou mais equações são ditas equivalentes quando elas apresentam o mesmo conjunto solução, isto é, se têm as mesmas soluções.

Para obter equações equivalentes, devemos utilizar algumas operações que podem:

» combinar termos semelhantes;

» simplificar frações;

» remover símbolos por meio de agrupamento;

» aplicar a mesma operação em ambos os lados da equação.

Exercícios

1) Vamos resolver a equação:

3x - 2 = 4x + 9


3x - 2 = 4x + 9

3x - 4x = 9 + 2

-x = 11

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade anterior, vem:

x = -11

portanto, a solução da equação linear anterior é x = -11 ou o seu conjunto solução é S = {-11}.

2) Vamos resolver a equação:

2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3


2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3

6x - 6 + 3x - 3 = 5x + 3

9x - 9 = 5x + 3

9x - 5x = 3 + 9

4x = 12

x = 3

Portanto, a solução da equação linear anterior é x = 3 ou, ainda, o seu conjunto solução é S = {3}. Você pode averiguar se os cálculos estão corretos substituindo o valor x = 3 e encontrando uma identidade, como segue:

2 · (3(3) - 3) + 3 · ((3) - 1) = 5(3) + 3

2 · (9 - 3) + 3 · (3 - 1) = 15 + 3

2 · (6) + 3 · (2) = 18

12 + 6 = 18


31

18 = 18 (Verdadeiro)

Agora este:

5 2 28 4

x x− = + .

Solução: Quando estivermos diante de equações lineares com frações, devemos tomar um cuidado maior com os cálculos, já que são comuns alguns enganos, principalmente na caracterização do mínimo múltiplo comum envolvendo os denominadores. Inicialmente, note que os denominadores são 8, 1 e 4 e o mínimo múltiplo comum é 8.

5 2 28 4

x x− = +

Assim, vamos multiplicar os membros da igualdade anterior por 8, resultando em:

5 28. 8. 28 4

x x− = +

Ou seja,

5 28. 8.2 8.8 4

x x− = +

Ou

5x - 2 = 16 + 2x

5x - 2x = 16 + 2

3x = 18

x = 6

Portanto, x = 6 é a solução da equação linear do exemplo ou S = {6}.

Sejam a e b dois números reais, se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0.

4) Se uma empresa comercializa um produto em que a cada venda sobram R$ 2,50, quantos produtos deverá vender para juntar uma sobra de R$ 6.250,00?

Solução: Neste caso, podemos escrever:

2,5 · x = 6.250


32

Ou seja

x = 5,2

6250

x = 2500

A empresa deverá vender 2.500 unidades do referido produto.

5) Uma empresa é composta por três departamentos: o primeiro faturou R$ 80.000,00 e o segundo faturou três quintos do primeiro. Quanto deverá faturar o terceiro, se o faturamento total precisa ser o dobro dos dois primeiros departamentos?

Solução: Vamos denotar o faturamento do terceiro departamento de x, assim, de acordo com o enunciado, podemos escrever:

totalofaturament

x + .(80000)53 + 80000 = 2 · (80000 +

53 · 80000)

80.000 + 48.000 + x = 160.000 + 96.000

x = 256.000 - 12.8000

x = 128.000

Portanto, o investimento do terceiro departamento deve ser igual a 128.000.

1.15 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAUJá vimos as equações do primeiro grau, não é mesmo? Então podemos dar um passo mais adiante, trabalhando agora com as equações do segundo grau, ou equações quadráticas, nas quais aparece o quadrado da incógnita, como, por exemplo, 22. 5 2 0x x− + = . As raízes dessas equações nem sempre são obtidas de maneira tão cômoda quanto nas equações do 1o grau.

Chamamos de equação do segundo grau aquela que pode ser escrita na forma:2a . 0x bx c+ + =

Em que a, b e c são números reais com a ≠ 0. Os números a, b e c são os coeficientes.

Exercício

Qual a soma dos coeficientes da equação 25 2 5 0x x+ − = ?

Solução: Neste caso, temos a = 5, b = 2 e c = -5, logo a soma a + b + c é dada por 5 + 2 + (-5) = 2.

1.15.2 Raiz de uma equação do 2o grauUm número r será chamado de raiz, ou solução da equação 2a . 0x bx c+ + = , se, e somente se, a igualdade 2a .r 0br c+ + = for uma sentença verdadeira.

Exercício: Verifique se o número r = 2 é uma raiz da equação quadrática 22 5 2 0x x− + = ?

33

Solução: Substituindo x por 2, temos: 22.(2) 5.(2) 2 8 10 2 0− + = − + = .

1.15.3 Conjunto solução de uma equação do 2o grau Resolver a equação do 2o grau

2a . 0x bx c+ + = no conjunto universo dos números reais significa obter o conjunto de todas as raízes reais dessa equação. O conjunto das raízes é chamado de conjunto solução, ou conjunto verdade da equação quadrática em questão.

Exemplo: Considerando o conjunto universo como o conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação

2 4x = é S = {2, -2}.

O matemático indiano Bhaskara (séc. XII) foi um dos primeiros que estudou a equação do 2o grau de modo geral, isto é, incluindo casos em que as raízes são números irracionais. Já os gregos e babilônios, ao contrário, não consideravam a existência desse tipo de números.

Fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara): Tendo como universo o conjunto ℜ dos números reais, podemos provar que a equação 2a . 0x bx c+ + = (a ≠ 0) com 2 4. . 0b a c− ≥ possui duas raízes, que indicaremos por 1x e 2x . Estas podem ser obtidas pelas fórmulas:

1x = a

b.2

∆+− e 2x = 2.

ba

− − ∆

A expressão 2 4. .b a c− , normalmente indicada pela letra grega ∆ (delta maiúscula), é chamada de discriminante da equação. Importante: além disso, com relação ao discriminante ∆ podemos ter três situações distintas, que são:

1) Delta maior que zero ( ∆ > 0): duas raízes reais e distintas ( 1x ≠ 2x ).

2) Delta igual a zero ( ∆ = 0): duas raízes reais e iguais ( 1x = 2x ).

3) Delta menor que zero ( ∆ < 0): não existem raízes reais.


34

Figura 9 - Quadro-resumo para as situações envolvendo o discriminante de uma equação do segundo grau.


Tendo como universo o conjunto ℜ dos números reais, podemos pro-var que a equação 2a . 0x bx c+ + = (a ≠ 0) com 2 4. . 0b a c− ≥ possui duas raízes, que indicaremos por 1x e 2x .

Exercício (Fórmula de Bhaskara):Vamos resolver as seguintes equações do segundo grau, considerando o conjunto universo ℜ .

a) x2 + 3x + 2 = 0

b) -x2 + 6x - 9 = 0

c) x2 + 4x + 9 = 0


a) Aqui, a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c

∆ = 32 - 4 · (1) · (2)

∆ = 9 - 8

∆ = 1

Logo, as raízes são:

1x = a

b.2

∆+− = )1.(2

13 +− =

22− = -1

2x = a

b.2

∆−− = )1.(2

13−− =

24− = -2

35

Note que se substituirmos os valores de x encontrados, obviamente a equação nos levará a 0 = 0.

b) Aqui, temos a = -1, b = 6 e c = -9, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c

∆ = 62 - 4 · (-1) · (-9)

∆ = 36 - 36

∆ = 0


1x = a

b.2

∆+− = )1.(206

−+− =

26

−− = 3

2x = a

b.2

∆−− =

)1.(206

−+− =

26

−− = 3

c) Aqui, temos a = 1, b = 4 e c = 9, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c

∆ = 42 - 4 · (1) · (9)

∆ = 16 - 36 ∆ = -20

Logo, como não podemos extrair a raiz de -20, ou seja, não existem raízes reais, isso significa que não existe um único número real que substituindo x na equação a torne igual a zero.

Nas aulas subsequentes sobre funções, vamos discutir mais uma vez aspectos teóricos relacionados às equações de 1o e 2o graus.

1.16 INEQUAÇÕES

Bem, já trabalhamos com as equações, que, como vimos, tratam-se da igualdade entre expressões. Agora vamos estudar as inequações, que representam desigualdades entre expressões matemáticas. Elas também são do 1o grau e do 2o grau. Preste atenção aos sinais a seguir, pois eles separam dois membros de uma inequação:

> Maior

≥ Maior ou Igual

< Menor

36

≤ Menor ou Igual

Diferentemente do que ocorre com as equações, quando queremos resolver uma determinada inequação não estamos buscando um valor que a satisfaça, mas um conjunto de valores ou intervalo que a atenda.

1.16.1 INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU, OU INEQUAÇÃO LINEAR EM XÉ uma inequação que pode ser escrita na forma:

ax + b < 0 ou ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0

com a e b números reais e a ≠ 0.

Exercício:

Vamos resolver a inequação do 1o grau:

2x + 4 > 0.

Solução: Precisamos isolar x, como fizemos com as equações. Para tal:

2x + 4 > 0

2x > -4

x > 24−

Portanto, temos:

x > -2

Se tomarmos qualquer valor real maior que -2 e o colocarmos no lugar de x, encontraremos um resultado maior que 0.

Ao resolvemos inequações, é importante tomar cuidado quando o coeficiente que multiplica x for negativo. Neste caso, devemos multi-plicar os dois membros por -1, o que nos obriga a inverter o sinal de desigualdade.

Exemplo

-x ≥ 4

Multiplicando por (-1), segue que:

-x · (-1) ≥ 4 · (-1)


37

Ou seja,

x ≤ -4

Exercício

Numa indústria de tênis, cada funcionário produz em média 200 tênis por dia. Considerando que há 5.000 tênis prontos em estoque, quantos funcionários deverão trabalhar para que, ao final de 10 dias, possam ser entregues mais de 20.000 tênis?

Solução: Note que, de acordo com o enunciado, podemos escrever:

Produção média por funcionário/dia = 200

Estoque Atual = 5.000

Dias disponíveis = 10

Meta a ser atingida > 20.000

Ou, ainda, podemos visualizar a situação da seguinte forma:

Ou seja, em símbolos, temos:

10.200 · x + 5.000 > 20.000

2.000x + 5.000 > 20.000

2.000x > 20.000 - 5.000

x > 15.000 ÷ 2.000

x > 7,5

Portanto, é necessário pelo menos oito funcionários trabalhando para que ao final de 10 dias haja mais de 20.000 tênis em estoque.

CONCLUSÃONesta primeira aula trabalhamos com a descrição dos conjuntos numéricos e visualizamos como conjunto universo, para os nossos propósitos, o conjunto dos números reais. Na sequência, vimos os aspectos relacionados às proporções, grandezas proporcionais, potenciação e radiciação, fatoração, polinômios e produtos notáveis, assim como a parte relacionada às equações e inequações.

Na próxima aula vamos estudar toda a teoria acerca das funções, tais como domínio, contradomínio, conjunto imagem, crescimento e decrescimento.

AULA 2Introdução à teoria das funções


INTRODUÇÃOA noção de função surge quando procuramos entender fenômenos e fatos do nosso mundo nos mais diversos campos do conhecimento. Quantas vezes criamos ou procuramos relacionar as coisas entre si? Por exemplo, ao estudar a relação do lucro com a quantidade vendida de determinado produto, indiretamente estamos utilizando a noção de função de uma variável real, que será a base do nosso estudo nesta aula.

Segundo Demana e Kenneddy (2009), ao observarmos fenômenos da nossa realidade, podemos caracterizar dois conjuntos e alguma lei que associa os elementos de um dos conjuntos aos elementos do outro. Uma análise destas três coisas – os dois conjuntos e a lei – podem esclarecer detalhes sobre a interdependência dos elementos destes conjuntos e descrever o fenômeno em observação.


40

Neste sentido, nossa segunda aula tem como objetivos apresentar alguns conceitos, regras e resultados básicos da Teoria dos Conjuntos e definir e aplicar o conceito formal de função – além, é claro, de discutir as principais propriedades associadas. Saiba, ainda, que este conceito de função é um dos mais importantes da matemática aplicável no contexto da Engenharia. Por isso, antes de começar a estudar todo o aparato teórico sobre funções, vamos fazer uma breve revisão sobre conjuntos.

OBJETIVOSOs objetivos de aprendizagem desta aula são:

» Compreender as propriedades e operações básicas envolvendo os conjuntos imagem e numéricos.

» Compreender as principais formas de representação de conjuntos.

» Diferenciar relação de função.

» Entender e aplicar os conceitos básicos de funções em problemas simulados.

» Compreender a importância do estudo de funções no contexto da engenharia.

» Caracterizar algebricamente o domínio, contradomínio e conjunto imagem de funções.

» Caracterizar geometricamente o domínio, contradomínio e conjunto imagem de funções.

» Representar geometricamente funções elementares.

2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO

Conjuntos

Funções

Lei

Figura 10 - Teoria de conjuntos é a base para o estudo das funções.


AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

41

Vamos considerar a seguinte situação: seja T um conjunto de pessoas num dado instante e seja IN o conjunto dos números naturais. Ao associarmos a cada elemento de T a sua idade (que é um número natural), fica estabelecida uma função de T em IN. Repare que é possível, talvez até muito provável, que haja em T várias pessoas com a mesma idade, mas existem, pelo menos, dois aspectos matemáticos importantes, que são:

» a todo elemento de T corresponde um elemento de IN, já que toda pessoa tem uma idade;

» nenhuma pessoa tem duas ou mais idades.

Resumindo, para cada elemento x de T, corresponde um único elemento y de IN.

2.2 TEORIA DOS CONJUNTOSAgora vamos revisar as principais noções da teoria dos conjuntos, fundamentais para a criação de toda teoria envolvendo as funções.

“Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para a construção de estruturas mais complexas” (IEZZI; MURAKAMI, 1993, p. 18).

2.2.1 Conjuntos e elementos de um conjuntoSegundo Iezzi e Murakami (1993), o ponto de partida deste tópico é construído pelas seguintes noções não definidas, aceitas como conceitos primitivos: de igualdade, conjunto, elemento e a de elemento de um conjunto. De uma forma geral, para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x∈A, em que lemos “x pertence a A”. Contrariamente, se y não for elemento de A, escrevemos y∉B. Veja na figura a seguir.

A

yx

Figura 11 - Diagrama de Venn.


2.2.2 Representações de conjuntosUm conjunto pode ser representado por três formas distintas, como você pode ver a seguir.


42

1) Por representação gráfica, chamada de Diagrama de Venn (conforme figura anterior).

2) Por enumeração de seus elementos.

» {a, e, i, o, u} conjunto das vogais.

» {0, 1, 2, 3, 4, ..., 1989, ...} conjunto dos números naturais (IN).

» {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} conjunto dos inteiros (Z).

3) Ao descrever os elementos do conjunto por uma propriedade exclusiva: IN = {x | x é um número natural}.

Os Diagramas de Venn, criados pelo matemático inglês John Venn (1834–1923), são conhecidos no mundo inteiro e largamente usados nos estudos da Teoria dos Conjuntos. Eles usam figuras geométricas, em geral representadas no plano, para expressar as estruturas da Teoria dos Conjuntos.

2.2.3 Conjunto universoAo escrever, por exemplo, A = {x∈Z | x > -1}, consideramos Z como o conjunto universo, isto é, os elementos a considerar devem ser pertencentes a Z. Observamos, então, que 1

2 não é elemento

do conjunto A = {x∈Z | x > -1}, pois não é um número inteiro. Geralmente, representamos o conjunto universo por U.

U

B

A .3.4

.5.7

.9

Figura 12 - Representação geométrica do conjunto universo.

Fonte: Ferreira, 2013.


43

2.2.4 Conjunto vazioUma ferramenta teórica que se revelará muito útil no decorrer da disciplina é o conceito do conjunto sem elementos. Este conjunto é chamado de vazio e é representado por ∅ ou { }.

Exemplos:

1) {x∈Z | 2x - 1 = 6}, pois não existe x inteiro tal que 2x - 1 = 6.

2) {x∈ IN | x ≠ x}, pois não existe natural que seja diferente dele mesmo.

2.2.5 Igualdade de conjuntosDois conjuntos são ditos iguais se ambos tiverem os mesmos elementos ou forem conjuntos vazios.

Exemplo:

Os conjuntos {1, 2} = {2, 1} = {1, 2, 2, 2, 1, 1, 2} são iguais, já que possuem os mesmos elementos, que neste caso são os números 1 e 2.

2.2.6 Subconjuntos de um conjuntoConsidere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 3, 5, 7}. Observe que, se x é um elemento qualquer de B, então x é um elemento de A, isto é, todo elemento de B é também um elemento de A.

“Dizemos que B é um subconjunto de A e indicamos isso por B ⊂ A, somente se todo elemento de B for também elemento de A. Esta relação entre conjuntos é conhecida como relação de inclusão.” (IEZZI; MURAKAMI, 1993, p. 25).

Assim:

1) O conjunto A = {1, 2} é um subconjunto de B = {0, 1, 2, 3, 4}, já que todo elemento de A é um elemento de B.

2) O conjunto dos naturais IN é um subconjunto dos inteiros Z.

3) O conjunto dos inteiros Z é um subconjunto dos racionais Q.

O conjunto vazio é considerado um subconjunto de qualquer conjunto, já que não possui elementos.


44

Ao invés de falar que B é um subconjunto de A, é comum dizer que B está contido em A, o que não deve ser confundido com a expressão “pertence a A”.Podemos afirmar que B ⊄ A (B não está contido) se, e somente se, existir pelo menos um elemento de B que não seja elemento de A, em resumo: B ⊄ A ⇔ existe x, x∈B e x∉ . Quando tratamos da relação entre conjuntos, temos a Relação de Inclusão. De outra forma, quan-do falamos da relação entre elemento e conjunto, temos a Relação de Pertinência. Em outras palavras, é importante não confundirmos o uso dos símbolos ∈ ou ⊂ . O primeiro serve para indicar que um objeto é elemento de um conjunto. O segundo serve para indicar que um conjunto está contido em outro conjunto.

Figura 13 - Relação pertinência e inclusão.


2.2.7 Conjunto das partes de um conjuntoConsideremos um conjunto A. O conjunto das partes de A, ou conjunto potência de A, denotado por:

P(A) ou 2A

É definido da seguinte forma, segundo Iezzi e Murakami (1993, p. 26):

P(A) = {X | X ⊆ A}

Exemplo: sejam A = {a}, B = {a, b} e C = {a, b, c}. Então:

P(∅ ) = ∅P(A) = {∅ , {a}}

P(B) = {∅ , {a}, {b}, {c}, {a,b}}


45

P(C) = {∅ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

2.2.8 Operações com conjuntosSendo A e B conjuntos quaisquer, definimos as seguintes operações com A e B, que frequentemente retratam situações tanto na teoria quanto na prática:

» intersecção;

» união;

» diferença;

» complementar de um conjunto.

Dados os conjuntos A e B, chamamos de interseção de A e B ao conjunto A ∩ B formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Em símbolos, podemos escrever:

A ∩ B = {x | x∈A e x∈B}

A B

Figura 14 - Interseção entre conjuntos.

Fonte: IEZZI; MURAKAMI, 1993.

Exemplos

1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, neste caso temos que A ∩ B = {3, 4}.

2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, os elementos comuns a A e B são 2 e 4, ou seja, temos que o conjunto intersecção de A e B é dado por A ∩ B = {2, 4}.

3) Conjuntos disjuntos: suponha os conjuntos A = {x∈ IN | x > 2} e B = {x∈ IN | x2 = x}. Então, A ∩ B = ∅ . Desta maneira, falamos que os conjuntos A e B são conjuntos disjuntos quando a interseção entre eles resultar no conjunto vazio.

2.2.9 União de conjuntosDados os conjuntos A e B, chamamos de união de A e B ao conjunto A ∪ B formado pelos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Em símbolos, podemos escrever:

A ∪ B = {x | x∈A ou x∈B}


46

A B

Figura 15 - União entre conjuntos.


Exemplos:

1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, neste caso temos que A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.

2) Considerando A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, o conjunto união de A com B é dado por A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}.

3) Sejam A = {x∈ IN | x > 2} e B = {x∈ IN | x2 = x}. Então, A ∪ B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, ...}.

2.2.10 Diferença de conjuntosDados os conjuntos A e B, chamamos de diferença A - B ao conjunto dos elementos que pertencem a A (ao primeiro) e não pertencem a B (ao segundo) (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Em símbolos, podemos escrever:

A - B = {x | x∈A e x∉B}

Exemplos:

1) Consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 5}, então A - B = {1, 3, 4}.

2) Consideremos agora os conjuntos A = {x∈ IN | x > 2} e B = {x∈ IN | x2 = x}. Então:

A - B = {3, 4, 5, 6, ...} e B - A = {0, 1}.

3) Consideremos os conjuntos ℜ (reais), Q (racionais) e I (irracionais). Então:

ℜ - Q = I

ℜ - I = Q

Q - I = Q

2.2.11 Complemento de um conjuntoConsideremos o conjunto universo U. O complemento de um conjunto A ⊆ U, denotado por A’ ou ~A é o conjunto dos elementos que estão em U e não pertencem a A (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Ou seja, em símbolos escrevemos:

~A = {x∈U | x∉A}


47

Exemplos:

1) Suponhamos o conjunto universo IN. Seja A = {0, 1, 2}. Então:

~A = {x∈ IN | x > 2}

2) Para qualquer conjunto universo U, são válidas as seguintes relações:

~ ∅ = U

~U = ∅3) Suponhamos o conjunto ℜ (reais) como conjunto universo. Então:

~Q = I

~I = Q

4) Complemento, união e intersecção: suponhamos que U seja o conjunto universo. Então, para qualquer conjunto A ⊆ U, são válidas:

A ∪ ~A = U

A ∩ ~A = ∅Exercícios

1) De uma prova constituída por dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Vamos resolver o exercício utilizando o Diagrama de Venn. Então, considere os conjuntos:

A = {alunos que acertaram o primeiro problema}

B = {alunos que acertaram o segundo problema}

Sempre devemos começar pela interseção entre os conjuntos envolvi-dos na questão.


48

Figura 16 - Diagrama de Venn do exemplo.


Desta forma, temos:

Primeiro passo: colocar o valor 100 (A ∩ B).

Segundo passo: colocar o valor 160 (260 - 100).

Terceiro passo: colocar o valor 210 (210 = número de alunos que erraram o primeiro problema).

Quarto passo: colocar o valor 140 (140 = 300 - 160).

Portanto, o total de alunos que fizeram a prova é:

140 + 100 + 160 + 50 = 450 alunos

2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmações:

a)

94 ∈Q (Verdadeiro)

b)

32 ∈ I (Falso)

c)

72 ∉Q (Falso)

d)

32 ∈ ℜ (Verdadeiro)

e)

72 ∉ ℜ (Falso)

f) e∈ ℜ (Verdadeiro)

g) π∈ ℜ (Verdadeiro)

49

h)

72 ∉ ℜ (Falso)

i)

72 ∉ ℜ (Falso)

j) 0∉ ℜ (Falso)

k) 0∉ I (Verdadeiro)

l) 1∉ I (Verdadeiro)

2.3 INTERVALOS: SUBCONJUNTOS ESPECIAIS DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISAcabamos de ver que o conjunto dos números irracionais é, portanto, o complementar do conjunto Q (dos números racionais) em relação ao conjunto ℜ dos números reais. Desta maneira, definimos alguns subconjuntos dos números reais que são muito importantes, entre eles os intervalos. Todavia, antes de definir os intervalos, definimos:

−ℜ = {x ℜ∈ | x ≤ 0}*−ℜ = {x ℜ∈ | x < 0}

+ℜ = {x ℜ∈ | x ≥ 0}*+ℜ = {x ℜ∈ | x > 0}

Similarmente, podemos definir os associados a IN, Z e Q. Além disso, se considerarmos a e b dois números reais, com a < b, consideraremos, na nossa disciplina e ao longo do curso, os seguintes subconjuntos de ℜ chamados de intervalos, definidos como segue:

[a, b] = {x ℜ∈ | a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado com extremos a e b)

]a, b[ = {x ℜ∈ | a < x < b} (intervalo aberto com extremos a e b)

[a, b[ = {x ℜ∈ | a ≤ x < b}

]a, b] = {x ℜ∈ | a < x ≤ b}

[a, ∞ [ = {x ℜ∈ | x ≥ a}

]a, ∞ [ = {x ℜ∈ | x > a}

]- ∞ , a] = {x ℜ∈ | x ≤ a}

]- ∞ , a[ = {x ℜ∈ | x < a}

2.4 FUNÇÕESAgora você conhecerá os conceitos referentes às funções, mas para isso terá de aprender alguns conceitos preliminares, tais como: par ordenado, produto cartesiano e relação entre conjuntos.


50

2.4.1 PAR ORDENADOVimos que dois conjuntos não vazios são iguais se somente tiverem os mesmos elementos. Desta forma, temos em particular, que:

{x, y} = {y, x}

Porém, muitas vezes teremos de considerar também a ordem de disposição dos elementos. Surge, assim, o conceito de par ordenado.

Segundo Iezzi e Murakami (1993), a cada par de elementos x e y podemos associar o par ordenado (x; y), de tal modo que:

(x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.

Abscissa (primeira coordenada do par)

Ordenada (segunda coordenada do par)

Par Ordenado

Figura 17 - Interpretação das coordenadas do par ordenado.


Se x ℜ∈ e y ℜ∈ , representamos o par ordenado (x; y) pelo ponto P do plano cartesiano que possui abscissa x e a ordenada y. Além disso, o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado de eixo das ordenadas.


51

Figura 18 - Plano cartesiano xOy.


Exercício

Localize os pontos a seguir no plano cartesiano xOy.

a) (2, 0)

b) (0, -3)

c) (2, 5)

d) (-3, 4)

e) (-7, -3)

f) (4, -5)

g) (25 ,

29− )

h) (25− ,

29− )

Solução: A seguir, veja a representação de cada um destes pontos no plano cartesiano. Note que cada “pequeno quadrado” da figura a seguir representa uma unidade de comprimento.


52

Figura 19 - Representação dos pares ordenados do exemplo em questão.


2.4.2 Produto cartesianoSejam A e B dois conjuntos não vazios, denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A × B cujos elementos são todos pares ordenados (x; y), em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

A × B = {(x; y) | x∈A e y∈B}

1) Em geral, A × B é diferente de B × A.2) A × B = ∅ se e somente se A = ∅ ou B = ∅ .

Exercício

Sendo A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}, determine A × B e B × A.

Solução

Neste caso, de acordo com a definição de produto cartesiano, temos:

A × B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

e

53

B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}

Claramente percebemos que A × B é diferente de B × A, já que não possuem os mesmos elementos ou pares ordenados.

Exemplo:

Vamos considerar os seguintes conjuntos:

A = {1, 2, 3}

e

B = {1, 2}

Temos:

A × B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

e

B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

Cujas representações no plano cartesiano são mostradas na figura a seguir.

Figura 20 - Representações no plano cartesiano de A × B e B × A.


Exemplo:

Considere agora A = {x ℜ∈ | 1 ≤ x < 3} e B = {2}, então temos:

A × B = {(x, 2) | x∈A}

A representação gráfica de A × B dá como resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da figura a seguir.

54

Figura 21 - Representação de A × B.


Note que neste caso A × B é o conjunto dos pares ordenados (x, 2), pois x pertence ao conjunto A, ou seja, está no intervalo {x ℜ∈ | 1 ≤ x < 3}.

O produto cartesiano não possui a propriedade comutativa, isto é, nem sempre os produtos A × B e B × A são iguais.

2.4.3 Relação de A em BDados os conjuntos A e B, chamamos de relação de A em B a qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B. Em outras palavras, uma relação de A em B é qualquer conjunto de pares ordenados (x; y), com x∈A e y∈B ou o conjunto vazio. Às vezes a relação de A em B é também denominada de relação binária de A em B (IEZZI; MURAKAMI, 1993).


55

Produto Cartesiano

Relação

Figura 22 - Relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano.


Exemplo:

Considere os conjuntos A = ℜ e B = ℜ . Temos que o conjunto {(x; y) ∈ A × B | y = x2} é uma relação de A em B, como podemos visualizar na figura a seguir.

Figura 23 - Representação gráfica da relação R do exemplo.


Exercício

Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em A definida da seguinte forma?

x R y ⇔ y = x + 2


56

Solução: Perceba que fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y), tais que x∈A, y∈B e y = x + 2. Veja a representação gráfica da relação R do exemplo na figura a seguir.



Exercício:

Considere o conjunto A = {-1, 0, 1, 2}. Quais são os elementos da relação R = {(x, y)∈A × A | x2 = y2}?

Solução: Notamos, neste caso, que:

R = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1), (2, 2)}

A representação gráfica da relação R do exemplo está na figura a seguir.



2.4.4 Função de A em BSendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função somente se, nesta relação, para cada x, x∈A, tivermos um único y, y∈B. Genericamente, esta definição pode ser vista na figura a seguir.


57

A B

Figura 26 - Representação gráfica da definição de função.


Note que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Na função, um elemento x do conjunto partida só pode se associar a um único elemento y do conjunto chegada.

Função

Relação

Figura 27 - Toda função é uma relação.


Exemplos:

1) Sejam A o conjunto dos alunos de um colégio e Z o conjunto dos números inteiros: se associarmos a cada aluno a sua idade, estabeleceremos uma função de A em Z, pois desta maneira relacionamos a cada elemento de A um único elemento de Z.


58

2) Considere os conjuntos A = { / 1 2x Z x∈ − ≤ ≤ } e B = { / 0 4y Z y∈ ≤ ≤ }. Associando a cada elemento de A o seu quadrado em B, estabelecemos uma função de A em B. Indicando genericamente um elemento de A por x e o seu quadrado em B por y, temos então y = x2 é uma função de A em B.

1

0

1

0

4

3

Figura 28 - Exemplo da função y = x2.


2.4.5 Outra notação de funçãoConsideremos a função f definida de ℜ em ℜ , tal que y = 2 · x +3. Assim temos, por exemplo, x = 2 ⇒ y = 7. Dizemos que 7 é a imagem de 2 pela função f e escrevemos f(2) = 7.

Analogamente, temos f(0) = 3, f(-1) = 1, e assim por diante. Inicialmente, em vez de escrevermos y = 2 · x + 3, podemos escrever f(x) = 2 · x + 3; e, para indicar que a função foi definida de ℜ em ℜ ,escrevemos f: ℜ→ℜ .

Função

y = f(x)

Também chamadade aplicação

f(x) = 2.x + 3

f(2) = 7

Figura 29 - Diretrizes diversas sobre função.



59

2.4.6 Gráfico de uma funçãoAgora vamos conhecer a definição formal de gráfico de uma função e interpretar geometricamente funções através deste gráfico. Muitas vezes, ao longo da Engenharia, encontraremos funções que envolvem apenas números reais, e na maioria destes casos será vantajoso usarmos uma representação gráfica da uma função em estudo.

Gráfico de uma função

Sejam A e B dois subconjuntos não vazios de ℜ , e considerando f uma função definida de A em B, isto é, f: A → B, chamamos de gráfico da função f ao conjunto de todos os pontos P(x; y) do plano cartesiano, tal que x∈A, y∈B e y = f(x) (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Exemplo:

1) Considere a função f: ℜ → ℜ | f(x) = x. O gráfico desta função é apresentado na figura a seguir. Vale destacar que o gráfico característico da função f(x) = x, que é uma reta, recebe o nome de bissetriz dos quadrantes ímpares.

Figura 30 - Representação da função f: ℜ → ℜ | f(x) = x.


2) Considere a função f: ℜ → ℜ | f(x) = x2 + 1. Veja o gráfico desta função na figura a seguir. Note que o seu gráfico característico é uma parábola, como veremos com mais detalhes ao estudarmos as funções quadráticas.

Figura 31 - Representação da função f: ℜ → ℜ | f(x) = x2 + 1.



60

Exercícios

1) Sendo f(x) =

11.2

2 +−

xx , pede-se:

a) f(7)

b) f(2) + f(5)

Solução: Neste caso, devemos encontrar a imagem de cada um dos valores solicitados, via lei de formação da função f(x) =

11.2

2 +−

xx ou, ainda, substituindo o valor de x por cada valor pedido.

Logo:

a) f(7) = = =

b) Aqui, devemos encontrar f(2) e f(5) e depois efetuar a soma entre esses dois valores, logo:

f(2) = =

1414

+− =

53

f(5) = = =

E, portanto,

f(2) + f(5) =

53 + =

130123

2) Obtenha o valor de m, sabendo que f(x) = x2 + x + m e f(-3) = 0.

Solução: Neste caso, na lei de formação da função f(x), vamos substituir x por (-3) e f(x) por 0 (zero), ou seja:

f(-3) = 0

(-3)2 + (-3) + m = 0

9 - 3 + m = 0

Ou seja,

m = -6

3) Considere a função f: ℜ→ℜ , f(x) = 2 · x + 3, cujo gráfico é representado a seguir.


61

Figura 32 - Gráfico da função f(x) = 2 · x + 3.


Agora, obtenha:

a) f(0) + f(1) + f(2)

b) f(0 + 1 + 2)

c) x tal que f(x) = 0

Solução: Neste caso:

a) Devemos encontrar os valores de f(0), f(1) e f(2) e depois somá-los. Daí:

f(0) = 2 · (0) + 3 = 0 + 3 = 3

f(1) = 2 · (1) + 3 = 2 + 3 = 5

f(2) = 2 · (2) + 3 = 7

Logo,

f(0) + f(1) + f(2) = 3 + 5 + 7 = 12

b) Note que 0 + 1 + 2 = 3 e, portanto, f(0 + 1 + 2) = f(3), daí:

f(3) = 2 · (3) + 3 = 9

Logo,

f(0 + 1 + 2) = f(3) = 9

c) Aqui, perceba que:

f(x) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0

2x + 3 = 0 ⇔ x = 23−

Logo,


62

f(x) = 0 ⇔ x = 23−

2.5 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEMAo considerar uma função definida de A em B, chamamos A e B respectivamente de domínio e contradomínio da função. Ao conjunto de todas as imagens, chamamos de conjunto imagem.

DomínioÉ o conjuto partida.São os elementos para os quais a funçãoestá definida.

ContradomínioÉ o conjuto chegada.O contradomínio contém o conjuntoimagem.

ConjuntoImagem

São os pontos do contradomínio que sãoimagem de algum elemento do domínioÉ um subconjunto do contradomínio.

Figura 33 - Interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem.


Exemplos:

1) Considere a função y = 2 · x. Neste caso, com 2 · x ℜ∈ para todo x, temos que o domínio da função em questão é o conjunto dos números reais, isto é, D = ℜ . Além disso, o conjunto imagem é igual ao contradomínio, ou seja, neste caso temos que ambos são iguais ao conjunto dos números reais (ℜ ), como podemos visualizar na figura a seguir.


63

Figura 34 - Interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo.


2) Considere os conjuntos A = { / 1 2x Z x∈ − ≤ ≤ } e B = { / 0 4y Z y∈ ≤ ≤ } e a função y = x2. Neste caso, temos:

Domínio de f: A = {-1, 0, 1, 2}

Contradomínio de f: B = {0, 1, 2, 3, 4}

Imagem de f: Im f = {0, 1, 4}

1

0

1

0

4

3

Figura 35 - Domínio, contradomínio e conjunto imagem da função y = x2.


3) Considerando a função representada pela figura a seguir, temos:

D = Df = {x ℜ∈ | -2 ≤ x ≤ 1}

Contradomínio: ℜIm = Im

f = {y ℜ∈ | -2 ≤ y ≤ 1}

64

Figura 36 - Interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo.



D = Df = {x ℜ∈ | -2 ≤ x ≤ 3}


f = {y ℜ∈ | -1 ≤ y ≤ 4}

Figura 37 - A interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo.



D = Df = {x ℜ∈ | x ≠ 0}


f = {y ℜ∈ | -2 < y < 0 ou 1 < y < 2}


65

Figura 38 - A interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo.


Exemplo

Considerando a função f(x) =

x1 , notamos que

x1 ℜ∈ se, e somente se, x é real e diferente de

zero. Assim, neste caso, temos que seu domínio é o conjunto D = ℜ - {0}, como podemos verificar no gráfico da função a seguir, implementado no programa Winplot. A curva característica desta função é denominada de hipérbole equilátera. Veja esta curva na figura a seguir.

Figura 39 - O gráfico da função f(x) =

x1 .



66

1) A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das abscissas é das abscissas dos pontos, tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.2) A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das ordenadas é a sua imagem, i.e., o conjunto imagem. Em outras palavras, o conjunto imagem de uma função (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos, tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.3) Repare que o conjunto imagem de uma função é sempre um sub-conjunto do seu contradomínio.

Exercícios

Determine o domínio das funções:

a) f(x) = 5−x

b) g(x) =

512

−+

xx

Solução: Neste caso, temos que:

a) Para que 5−x seja definida em ℜ , devemos ter x - 5 ≥ 0, isto é, x ≥ 5. Portanto, o domínio de f é o conjunto D = {x ℜ∈ | x ≥ 5}.

b) Para que

512

−+

xx seja definida em ℜ , devemos ter x - 5 > 0, isto é, x > 5. Portanto, o

domínio de f é o conjunto D = {x ℜ∈ | x > 5}.

2)Qual o conjunto imagem da função f(x) = x2 + 3 definida em ℜ ?

Solução: Neste caso, temos que:

x ℜ∈ ⇒ x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 3 ≥ 0 + 3

Resumindo,

x ℜ∈ ⇒ x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 3 ≥ 3

Em que concluímos que a imagem de f é o conjunto:

Im f = {y ℜ∈ | y ≥ 3}.

3) Qual o domínio e qual o conjunto imagem da função f(x) = 3 + 12 +− x ?

Solução: Neste caso, para caracterizar o domínio de f, devemos ter:

-2x + 1 ≥ 0

Ou seja,


67

-2x ≥ -1

Ou, ainda,

x ≤ 21

−−

x ≤

21

Em que concluímos que o domínio de f é dado por:

D = {x ℜ∈ | x ≤ 21 }

Por outro lado, para caracterizar a imagem da função f, repare que para x ≤

21 temos que

12 +− x ≥ 0 e, por consequência, temos que f(x) ≥ 3, em que concluímos que o conjunto imagem de f é:

Im f = {y ℜ∈ | y ≥ 3}

4) Sejam A = {-1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Obter o conjunto imagem da função f: A → B, g(x) = x2.

Solução: Neste caso, temos que o conjunto imagem da função g(x) é o conjunto formado pelos y∈B, que são imagem de algum x em A, ou seja, como:

g(-1) = 1, g(0) = 0 e g(2) = 4

Concluímos que o conjunto imagem de G, é o conjunto Im(g) = {0, 1, 4}.

2.5.1 Continuidade de funçõesSegundo Demana e Kennedy (2003), uma das mais importantes propriedades das funções que modelam o comportamento de situações da Engenharia é o fato de elas serem consideradas funções contínuas. Num linguajar bem simples, falar geometricamente que uma função é contínua num ponto significa dizer que o seu gráfico não sofre nenhum tipo de “furo” (“falha” ou “salto” ou “quebra”) naquele ponto. Contrariamente, se a função sofre um salto num determinado ponto, dizemos que ela é descontínua naquele ponto.

Exemplos:

1) A função f: ℜ → ℜ | f(x) = x é contínua em qualquer ponto x real, já que o seu gráfico não sofre nenhum tipo de salto, como podemos ver na figura seguinte.


68

Figura 40 - A função f: ℜ → ℜ | f(x) = x é contínua em qualquer ponto x real.


2) A função f: ℜ → ℜ | f(x) = x2 é contínua em qualquer ponto x real. Veja a seguir.

Figura 41 - =Representação da função f: ℜ → ℜ | f(x) = x.


3) A função f(x) = | x | (função modular), que estudaremos mais adiante, também é uma função contínua para qualquer número real x. Seu gráfico é apresentado na figura a seguir.


69

Figura 42 - Representação da função f: ℜ → ℜ | f(x) = | x |.


Exemplo de função descontínua:

A função f(x) =

x1 é descontínua no ponto x = 0, já que seu gráfico sofre um furo em x = 0, como

você pode ver na figura a seguir.

Figura 43 - Figura 33. Gráfico da função f(x) =

x1 .


70

2.5.2 Crescimento de uma funçãoOutro conceito simples para visualizar geometricamente, e importante para a análise de funções numéricas mais complexas, é a propriedade de uma função ser crescente, decrescente ou constante sobre um intervalo.

Função crescente

Uma função f é crescente sobre um intervalo I se, para quaisquer dois valores x no intervalo, uma variação positiva em x resultar em uma variação positiva em f(x). Em outras palavras, se x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), ou, ainda, quando x aumenta f(x) aumenta (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Exemplo: A função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = x + 3 é uma função crescente, como podemos averiguar na figura 34. Note que para quaisquer valores de x em ℜ , se x aumenta a imagem, f(x) também aumenta.

Figura 44 - Gráfico da função f(x) = x + 3.


2.5.3 Função decrescenteUma função f é decrescente sobre um intervalo I, se, para quaisquer dois valores x no intervalo, uma variação positiva em x resulta em uma variação negativa em f(x). Em outras palavras, se x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), ou, ainda, quando x aumenta f(x) diminui. (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

71

Exemplo:

A função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = -2x + 4 é uma função decrescente, como podemos averiguar na figura seguinte. Note que, para quaisquer valores de x em ℜ , se x aumenta, a imagem f(x) diminui.

Figura 45 - Gráfico da função f(x) = -2x + 4.


2.5.4 Função constanteUma função f é constante sobre um intervalo I, se para quaisquer dois valores x no intervalo uma variação positiva em x resultar em uma variação nula em f(x). Em outras palavras, isso quer dizer que se x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2) (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Exemplo

A função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = 3 é uma função constante, como podemos ver na próxima figura. Note que para quaisquer valores de x em ℜ os valores de f(x) são sempre iguais a 3. Lembre-se: o gráfico de uma função constante sempre será uma reta paralela ao eixo x das abscissas.


72

Figura 46 - Gráfico da função f(x) = 3.


CONCLUSÃONesta aula, vimos alguns aspectos básicos dos conjuntos e a teoria de funções, ferramenta muito importante para as modelagens no contexto da Engenharia. Especificamente falando, caracterizamos o domínio, o contradomínio, o conjunto imagem, e descrevemos geometricamente funções elementares no plano euclidiano. É interessante ressaltar que visualizamos no plano funções contínuas, crescentes e decrescentes, propriedades relevantes para a interpretação de funções.

Na próxima aula vamos estudar a função do primeiro grau ou função afim, além de trabalhar com algumas situações práticas envolvendo esta função elementar da Matemática. Por exemplo, descobriremos que uma função afim do tipo f(x) = ax + b é crescente quando a > 0 e, no caso, sua representação gráfica é uma reta. Até lá!

AULA 3Funções do primeiro grau e aplicações


INTRODUÇÃOVamos agora estudar a descrição formal dos principais tipos de funções e explorar aplicações que as envolvem. Prepare-se para conhecer as propriedades fundamentais da função do primeiro grau, também chamada de função afim, desde as informações algébricas até as geométricas associadas.

A função afim encontra-se presente em vários ramos da ciência, como as engenharias, a medicina, geologia, música, economia, matemática financeira, física etc. Vale lembrar que o gráfico característico da função afim é uma reta. Quando se fala na função afim, percebe-se, por exemplo, que em sistemas produtivos (custo total de produção e quantidade produzida) a determinação dos custos fixos é um elemento-chave. Ele pode ser visualizado através do ponto de interseção do gráfico da função afim com o eixo das ordenadas


74

(intercepto). Ou seja, aqui temos uma função y = f(x), com y representando o custo total de produção e x a quantidade em unidades produzidas.

Além disso, outro conhecimento importante para o engenheiro é saber interpretar se uma função afim é crescente ou decrescente, já que isso pode auxiliar na caracterização do comportamento entre grandezas. Boa aula!

OBJETIVOS » Entender e aplicar os conceitos básicos de funções do primeiro grau em problemas simulados.

» Compreender a importância do estudo de funções do primeiro grau no contexto da engenharia.

» Caracterizar a raiz de uma função do primeiro grau.

» Representar geometricamente funções do primeiro grau.

» Entender o crescimento e o decrescimento das funções do primeiro grau.

» Compreender a variação de sinais envolvendo funções do primeiro grau.

» Resolver sistemas envolvendo duas equações lineares.

3.1 FUNÇÃO POLINOMIALNa aula 1, definimos o conceito de polinômio. Agora vamos associá-lo à noção de função, ou seja, definir o que é uma função polinomial. Na verdade, as funções polinomiais estão entre as mais familiares, já que incluem também as de primeiro e segundo graus.

Seja n um número inteiro não negativo e sejam a0, a1, ..., an - 1, an números reais com an ≠ 0, a função dada por:

f(x) = an · xn + an - 1 · x

n - 1 + an - 2 · xn - 2 + ... + a1 · x + a0

é uma função polinomial de grau n. O coeficiente principal é an. A função zero dada por f(x) = 0 é uma função polinomial, e não possui nem grau nem coeficiente principal (DEMANA; KENNEDY, 2009).

Veja estes exemplos.

1) f(x) = x + 2 é uma função polinomial de grau 1;

2) f(x) = x2 - 3x + 7 é uma função polinomial de grau 2;

3) f(x) = 2x3 + 5x2 + 4x - 2 é uma função polinomial de grau 3;

4) f(x) = x4 + 8x3 + 3x2 + 2x + 1 é uma função polinomial de grau 4;

5) A função zero (f(x) = 0) e todas as funções constantes (f(x) = k, k real) são funções polinomiais.

Exercício

Quais das funções a seguir são polinomiais?

1) f(x) = 7x3 - 5x - 2

2) f(x) = 3 · x-5 + 4

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

75

3) f(x) = 2x −

4) f(x) = 13x - 2x4

Solução

Neste caso, temos:

1) f(x) = 7x3 - 5x - 2 é uma função polinomial de grau 3, com coeficiente principal 7.

2) f(x) = 3x-5 + 4 não é uma função polinomial por causa do expoente -5.

3) f(x) = 2x − não é uma função polinomial, pois não pode ser simplificada na forma polinomial.

4) f(x) = 13x - 2x4 é uma função polinomial de grau 4, com coeficiente principal -2.

3.2 FUNÇÃO IDENTIDADEUma função f: ℜ→ℜ definida por f(x) = x é denominada de função identidade, já que a cada elemento x ∈ℜ se associa o próprio x. Note que o domínio e o conjunto imagem desta função são o próprio ℜ (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Figura 47 - Representação da função identidade f(x) = x


Lembre-se que o gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1o e do 3o quadrantes.


76

3.3 FUNÇÃO LINEARUma função f: ℜ→ℜ é denominada de função linear quando a cada elemento x ∈ℜ associamos o elemento a . x ∈ℜ com a ≠ 0, isto é, f(x) = a . x. O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem, e o seu conjunto imagem é ℜ (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Exemplos

1) A função f(x) = 3x é um exemplo de função linear, com a = 3. Seu gráfico é apresentado na figura a seguir.

Figura 48 - Representação da função linear f(x) = 3x


3.4 FUNÇÃO AFIMUma função f: ℜ→ℜ é denominada de função afim quando a cada elemento x ∈ℜ associa o elemento (a . x + b) ∈ℜ, em que a ≠ 0 e b são números reais dados (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Escrevemos:

f(x) = a . x + b, com a, b ∈ℜ e a ≠ 0.

Exemplos

1) f(x) = 5x + 2 com a = 5 e b = 2

2) f(x) = x - 3 com a = 1 e b = -3

3) f(x) = 2x com a = 2 e b = 0. Assim, para b = 0, a função afim y = ax + b se transforma na função linear y = ax. Portanto, concluímos que toda função linear é uma função afim com b = 0.


77

3.4.1 Gráfico da função afimO gráfico característico da função afim é uma reta. Para desenhar uma reta, precisamos de dois pontos distintos. Por exemplo, se uma reta s representa geometricamente uma função f(x) = ax + b, então, considerando dois valores de x distintos no domínio de f, x1 e x2, calculamos os respectivos valores de f(x1) e f(x2) e traçamos no plano cartesiano a reta s, unindo os pontos (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)).

Dois pontosdistintos

Caracterizamuma reta

Grá�co dafunção a�m

Figura 49 - Dois pontos distintos caracterizam uma reta


Exemplo

A função f(x) = 3x definida em ℜ tem como gráfico a reta apresentada na figura a seguir.

Figura 50 - Gráfico da função f(x) = 3 · x



78

Para desenhar a reta no plano, a partir da descrição dos dois pontos distintos, podemos tomar dois valores quaisquer para x. Em seguida, calculamos os y correspondentes e identificamos os dois pontos distintos. Por exemplo:

x1 = 0 ⇒ f(x1) = 0

x2 = 1 ⇒ f(x2) = 3

Em outras palavras, a reta que representa o gráfico da função f(x) = 3x passa pelos pontos P(0; 0) e Q(1; 3). Daí, basta unirmos os dois pontos pelo segmento de reta. Observe que podemos tomar quaisquer outros valores para x1 e x2.

Veja que a função f(x) = -x definida em ℜ tem como gráfico a reta apresentada na próxima figura.

Figura 51 - Gráfico da função f(x) = -x


Geometricamente falando, repare que em todos os casos a reta que representa a função f(x) = ax + b (a ≠ 0) intercepta o eixo y das ordenadas no ponto (0; b), o qual denominamos de intercepto.

f(x) = a.x + b Interseção(eixo y)

Intercepto(0 ; b)

Figura 52 - Interpretação do intercepto


Exercício

O custo C de produção de x litros de uma substância da indústria AFA Ltda. é dado por uma função linear de x, com x ≥ 0, cujo gráfico você pode ver na figura a seguir.


79

Figura 53 - Gráfico do custo C de produção de x litros da substância do exemplo


Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?

Solução: neste caso,

C(x) = a . x + b

Para obter a resposta, devemos inicialmente encontrar a lei de formação da função custo em questão. Analisando o gráfico, temos que a função custo passa pelos pontos (0; 400) e (8; 520), logo:

» para o ponto (0; 400): a·(0) + b = 400, em que b = 400 (intercepto).

» para o ponto (8; 520): a·(8) + b = 520 e, como b = 400, obtemos:

8a + b = 520

8a + 400 = 520

8a = 520 - 400 = 120

a = 8

120 = 15

Então,

C(x) = a·x + b

C(x) = 15·x + 400

Agora, para encontrar a produção correspondente ao custo de R$ 700,00, basta substituir a expressão característica do custo C(x) por 700 e encontrar o respectivo valor de x, ou seja:

C(x) = 15·x + 400

700 = 15·x + 400

15·x = 700 - 400

15·x = 300

x = 15300

Portanto, concluímos que o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de 20 litros de tal substância da indústria AFA Ltda.


80

3.5 COMO RESOLVER UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES LINEARESExistem diversos métodos analíticos pelos quais podemos resolver um sistema de equações, como o método da substituição, da adição etc. Além disso, como estamos trabalhando sobre o gráfico de funções do primeiro grau, podemos também resolver um sistema com duas equações lineares através da análise gráfica das funções que compõem as equações em questão (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Acompanhe.

Vamos resolver analiticamente e geometricamente este sistema de equações.

32 3 4x y

x y− = −+ =

Para isso, devemos usar duas formas distintas, ou seja, a forma analítica e a geométrica.

3.5.1 Resolução analítica1o – Processo da substituição: consiste em substituir o valor de uma das incógnitas, obtido a partir de uma das equações, pela outra.

Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, obtemos:

x - y = -3 ⇔ x = y - 3

Então, substituímos x por esse valor na segunda equação:

2 · (y - 3) + 3y = 4 ⇔ 2y - 6 + 3y = 4 ⇔ y = 2

Agora, basta levarmos o valor y = 2 à primeira equação, encontrando:

x - 2 = -3 ⇔ x = 2 - 3 ⇔ x = -1

Portanto, a solução do sistema do exemplo é dada por x = -1 e y = 2, ou seja, pelo par ordenado (-1; 2).

2o – Processo da adição: note que este método se baseia nas seguintes propriedades:

I. Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equação por um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior. Dois sistemas são ditos equivalentes quando apresentam as mesmas soluções.

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

( 0)a x b y c ka x kb y kc ka x b y c a x b y c

+ = + = ≠ ⇔ + = + =

II. Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações pela sua soma com outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior.

1 1 1 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( )a x b y c a a x b b y c ca x b y c a x b y c

+ = + + + = + ⇔ + = + =

A base do processo da adição consiste em aplicarmos a primeira propriedade, multiplicando cada equação por números convenientes, de modo que os coeficientes de determinada incógnita sejam


81

opostos e, aplicando a segunda propriedade, substituindo uma das equações pela soma das duas equações.

Desta forma, no sistema do exemplo, multiplicamos a primeira equação por 3, obtendo o sistema:

3 3 92 3 4x yx y− = −

+ =

Substituindo a primeira equação pela soma das duas equações, temos o resultado:

5 52 3 4

xx y= −

+ =

Que é equivalente ao sistema:

12 3 4x

x y= −

+ =

E, então, substituindo x = -1 em 2x + 3y = 4, encontramos:

2 · (-1) + 3y = 4 ⇒ y = 2

Ou seja, a solução do sistema é o par ordenado (-1; 2).

3.5.2 Resolução geométricaAinda trabalhando sobre o sistema proposto no exemplo, que é:

32 3 4x y

x y− = −

+ =

Percebemos que ele equivale a:

32 4

3

y xxy

= −

− +=

Assim, construímos os gráficos das funções:

y = x - 3 e y = 3

A solução do sistema são as coordenadas do ponto de interseção das retas, portanto (-1; 2). Observe, na figura a seguir, a interpretação geométrica da interseção entre as duas funções.


82

y = x – 3

2 43xy − +

=

Figura 54 - Interseção dos gráficos das funções y = x - 3 e y = 3Fonte: FERREIRA, 2013.

Exercícios

1) Dadas as retas r e s com equações (r): 2x - 3y = 12 e (s): 4x + 3y = 6, vamos fazer um esboço e caracterizar as coordenadas do seu ponto de interseção.

Solução

Para traçar o gráfico da reta r, encontramos os valores de a e b com relação à interseção com os eixos coordenados. Na equação de r, substituímos x por 0 e obtemos b = -4. Depois, substituindo y por 0, obtemos a = 6. Ou seja, a equação da reta (r): 2x - 3y = 12 passa pelos pontos (0; -4) e (6; 0). Similarmente, realizamos o mesmo procedimento para a reta (s): 4x + 3y = 6, isto é, fazendo x = 0 segue que y = 2, enquanto tomando y = 0 vem que x = 3

2. Então, a reta s passa

pelos pontos de coordenadas (0; 2) e (32

; 0). A representação geométrica dos gráficos das duas equações está na figura a seguir.


83

s

r

Figura 55 - Representação geométrica das retas r e s.


Para encontrar as coordenadas do ponto de interseção entre r e s, resolvemos as duas equações simultaneamente. Como o ponto precisa estar em ambas as retas, ele deve satisfazer as duas equações. Passando as equações na forma inclinação-intercepto vem:

(r): y = 23

x - 4

(s): y = -43

x + 2

Eliminando y, obtemos:

23

x - 4 = -43

x + 2

2x - 12 = -4x + 6 (multiplicamos a igualdade acima por 3)

2x + 4x = 6 + 12

6x = 18

x = 3

Então,

y = 23

x - 4

y = 23

(3) - 4

y = -2

Portanto, o ponto de interseção entre as retas r e s é o ponto de abscissa 3 e ordenada -2, isto é, (3; -2).


84

2) O gráfico da figura a seguir pode representar qual das expressões?

Figura 56 - Gráfico da função do exemplo.


a) y = 2x - 3

b) y = -2x + 3

c) y = 1,5x + 3

d) y = -1,5x + 3

e) 3y = -2x

Solução:

Observe inicialmente que a reta em questão passa pelos pontos P(-2; 0) e Q(0; 3). Além disso, como se trata de uma função afim, sua lei de formação é dada por f(x) = ax + b. Daí:

» para o ponto P(-2; 0): f(-2) = 0, ou seja, a · (-2) + b = 0, então -2a + b = 0;

» para o ponto Q(0; 3): f(0) = 3, ou seja, a · (0) + b = 3, então b = 3.

Substituindo b = 3 na igualdade -2a + b = 0, vem:

-2a + 3 = 0

2a = -3

a = 32

Portanto, o gráfico representa a expressão y = 1,5x + 3 e a alternativa correta é a letra (c).

A função afim f: ℜ→ℜ, definida por f(x) = a · x + b, com a, b e a ≠ 0, possui as seguintes propriedades:

85

» Domínio: ℜ

» Contradomínio: ℜ

» Conjunto imagem: ℜ

» Raiz da função afim: vimos que a raiz de uma função é todo número x cuja imagem é nula, assim, para encontrar a raiz da função afim, basta resolver a equação do primeiro grau f(x) = ax + b = 0, a qual resulta que x = -b

a é a raiz de f(x) = ax +b. Logo, a reta intercepta o eixo das

abscissas x no ponto (-ba

; 0).

3.6 COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM E EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETACom relação à função afim f: ℜ→ℜ, definida por f(x) = a · x + b, com a, b∈ℜ e a ≠ 0, os dois números reais a e b recebem nomenclaturas especiais, descritas a seguir.

Coeficiente angular ou declive ou declividade

O coeficiente a da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente angular, ou declividade da reta representada no plano cartesiano (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Ou seja, o coeficiente angular é o número que especifica a direção da reta que descreve a função do primeiro grau e, em alguns casos, teremos de calculá-lo. Uma das maneiras de fazer este cálculo é por meio da fórmula a seguir, em que devemos conhecer dois pontos quaisquer que pertençam à reta considerada, definidos pelos pares ordenados genéricos de pontos P(x1; y1,) e Q(x2; y2):

a = 12

12

xxyy

−−

Coeficiente linear

O coeficiente b da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear da reta representada no plano cartesiano (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Exercício: qual é o coeficiente angular da reta cuja equação é y = 9x + 73

?

Solução: Nesse caso, note que a equação da reta pode ser visualizada como:

y = 9x +3

73

Ou seja, o coeficiente da reta é dado por a = 93

= 3.

Veja este exemplo.

Pode ser provado que a tangente do ângulo α é igual ao coeficiente angular da reta, ou seja, a = tgα, como você pode ver nas figuras 1 a seguir. Note que no primeiro caso a > 0 e no segundo caso a < 0.


86

Figura 57 - Igualdade a = tgα (a > 0).


Vamos praticar um pouco mais?

Exercícios

1) Identifique a função dada pelo gráfico da figura a seguir.

Figura 58 - Gráfico da função da questão.


Solução: O gráfico é uma reta, então f(x) = a · x + b e, como podemos observar na figura 12, a =

tg 45° =

22

22

= 1. Além disso, para x = 0, temos que: y = 2 ⇒ f(0) = 2 ⇒ a · (0) + b = 2 ⇒

b = 2. Então concluímos que a função é dada por f(x) = x + 2.

2) Se f(x) = ax + b, simplifique a expressão:


87

0 0( ) ( )f x h f xh

+ − , onde 0x ∈ℜ e h > 0.

Solução: Nesse caso, temos:

f(x) = ax + b ⇒ 0 0

0 0

( ) .( h) .( )

f x a x bf x a x h b

= + + = + +

Daí:

0 0 0 0 0 0( ) ( ) .( ) b (a . ) a . a .f x h f x a x h x b x ah b x bh h h

+ − + + − + + + − −= = = ahh

= a.

Em um curso introdutório de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real, podemos associar a noção de derivada com a inclinação da reta tangente num ponto de abscissa x do gráfico de uma função y = f(x). Na verdade, esta inclinação da reta nada mais é do que o coeficiente angular que acabamos de discutir. Através da derivada podemos resolver problemas envolvendo taxas de variação, como acontece na física, em que caracterizamos que a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração. A interpretação da derivada é muito importante para a engenharia, já que vários outros problemas demandam da resolução de equações que envolvem deri-vadas ordinárias de uma dada função.

O conceito de derivada foi introduzido em meados dos séculos XVIII e XVIII em estudos de problemas da física ligados aos movimentos. Entre os gênios que se dedicaram à questão, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642–1727), o filósofo e matemá-tico Gottfried Leibniz (1646–1716) e o matemático francês Joseph--Louis Lagrange (1736–1813). Lagrange nasceu em Turim, na Itália, mas passou praticamente toda a sua vida na França.

3.7 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETAOutro foco importante na caracterização da reta associada a uma função afim é conhecer um ponto qualquer que pertença à reta e o seu coeficiente angular (a), que é a chamada equação fundamental. Desta maneira, conhecendo um ponto qualquer desta reta definido pelo par ordenado (x0; y0) e seu coeficiente angular m, sua expressão será dada por:

y - y0 = a . (x - x0)


88

Exercícios

1) Qual é a equação da reta que passa pelos pontos (1; 3) e (2; 7)?

Solução: Primeiramente devemos encontrar o coeficiente angular da reta. Depois disso, usamos a equação fundamental de uma reta, ou seja, a equação aplicada quando conhecemos um ponto qualquer da reta e o seu coeficiente angular. Desta maneira, temos:

Coeficiente Angular = a = 12

12

xxyy

−−

= 1237

−−

= 14

= 4

Logo, utilizando o ponto (x0; y0) = (1; 3), temos que a equação fundamental da reta é dada por:

y - y0 = a · (x - x0)

y - 3 = 4 · (x - 1)

y - 3 = 4 · x - 4

y = 4 · x - 4 + 3

y = 4 . x - 1

Portanto, a equação da reta que passa pelos pontos (1, 3) e (2, 7) é dada por y = 4 · x -

2) A forma de escrever a lei de formação da função afim, ou seja, a equação y = ax + b, com a ≠ 0, é chamada de inclinação-intercepto da equação da reta. Neste sentido, encontre a forma inclinação-intercepto de uma equação da reta que passa por (-4; -1) e (-7; -3) e esboce geometricamente a reta.

Solução: Se a é a inclinação reta, então:

a = 3 ( 1) 2 27 ( 4) 3 3

− − − −= =− − − −

Logo, utilizando a equação fundamental da reta e considerando o ponto (x0; y0) = (-4; -1), temos:

y - y0 = a · (x - x0)

y - (-1) = 23

· [x - (-4)]

y + 1 = 23

· x + 83

y = 23

· x + 83

- 1

Ou seja,

y = 23

· x + 53

Veja a representação geométrica desta equação na figura a seguir.

89

Figura 59 - Gráfico da equação y = 23

· x + 53

.


3.8 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTOConhecemos na aula 2 as definições formais das funções crescente e decrescente. Assim, temos dois resultados que associam essas definições ao contexto das funções afins.

Teorema 1 – a função afim f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente angular a for positivo (a > 0) (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Teorema 2 – a função afim f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular a for negativo (a < 0) (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Exercícios

1) Especifique se cada uma das funções a seguir é crescente ou decrescente no conjunto dos números reais.

a) f(x) = 4x - 2

b) f(x) = -3x + 7

c) f(x) = -x

d) f(x) = 3

Solução: Nesse caso, temos:

a) f(x) = 4x - 2 é uma função crescente, pois o seu coeficiente angular é positivo, ou seja, a = 4 > 0.

b) f(x) = -3x + 7 é uma função decrescente, pois o seu coeficiente angular é negativo, ou seja, a = -3 < 0.

c) f(x) = -x é uma função decrescente, pois o seu coeficiente angular é negativo, ou seja, a = -1 < 0.

d) f(x) = 3 é uma função constante.

90

2) Examinando o gráfico da função f mostrado na figura a seguir, que é uma reta, o que concluímos?

Figura 60 - Gráfico da função do exercício.


a) Se f(x) < 0, então x > 3.

b) Se x > 2, então f(x) > f(2).

c) Se x < 0, então f(x) < 0.

d) Se f(x) < 0, então x < 0.

e) Se x > 0, então f(x) > 0.

Solução: Nesse caso, percebemos que a resposta correta é a alternativa A. Observe que para valores de x > 3 a função f do gráfico toma valores negativos, ou seja, f(x) < 0.

3) Uma empresa investe R$ 1.800,00 em equipamentos. O contador da empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos, que é a estimativa de vida do equipamento – isto é, o valor contábil do equipamento decresce a uma taxa constante, de tal forma que ao fim dos 10 anos, aquele valor contábil será zero. Qual a função que caracteriza a relação entre o valor contábil do equipamento em relação ao tempo em anos?

Solução: Suponha que o valor contábil do equipamento seja y ao fim de x anos. De acordo com o enunciado, temos que x = 0 implica em y = 1.800, enquanto que para x = 10 segue que y = 0. Logo, o gráfico que dá a relação entre x e y é o segmento de reta no primeiro quadrante que une os pontos (0; 1.800) e (10; 0), sendo a o coeficiente angular da reta. Então:

a = 0 180010 0−

− = -180

Assim, tomando a forma inclinação-intercepto da equação da reta em questão com a = -180 e b = 1.800, podemos escrever:

y = -180 . x + 1.800, com 0 ≤ x ≤ 10.

Note que a inclinação da reta é -180, e que esse número determina a quantia segundo a qual o valor contábil muda a cada ano, isto é, decresce R$ 180,00 por ano.

91

3.8.1 Sinal da função afimConsidere uma função f: A → B definida por y = f(x). Quando queremos saber “para quais valores de x temos f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0?”. Bem, isso acontece ao estudarmos o sinal da função y = f(x) para cada x pertencente ao seu domínio. Assim, se você quiser descobrir o sinal de uma função representada geometricamente no plano cartesiano, basta examinar se a ordenada de cada ponto da curva é positiva, nula ou negativa. Especificamente falando, no caso da função afim f(x) = ax + b, temos:

» Para x = b

a− ⇒ f(x) = ax + b = 0 (x =

ba

− é a raiz de f), ou seja, ax + b se anula em x =

ba

−.

» Para x > : 0 ( ) 00 ( ) 0

se a f x ax bse a f x ax b

> ⇒ = + > < ⇒ = + <

.

» Para x ⇒ = + < < ⇒ = + >

.

Exercícios

1) Estude os sinais da função f(x) = 2x - 1.

Solução: Então,

f(x) = 0 ⇒ 2x - 1 = 0 ⇒ x = 12

a = 2 ⇒ a > 0 e -a < 0

Logo,

» Para x > 12

⇒ f(x) > 0 (sinal de a)

» Para x < 12

⇒ f(x) < 0 (sinal de -a)

92

Figura 61 - Gráfico da função f(x) = 2x - 1.


2) Considere a função de ℜ em ℜ definida por f(x) = 4x - 5. Agora, determine os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que 2.

Solução: Os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que w são os valores de x ∈ℜ , tais que:

4x - 5 > 2

E, portanto,

x > 74

3.8.2 Inequações simultâneas e função afimSegundo Iezzi e Murakami (1993), a dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequações simultâneas, isto é, equivale a um sistema de duas equações em x, separadas pelo conectivo e:

f(x) < g(x) < h(x) ⇔

( ) ( )e

( ) ( )

f x g x

g x h x

< <

Desta forma, quando f(x), g(x) e h(x) são funções afins, temos então as inequações simultâneas com funções do primeiro grau.

Exercício:

Resolva a inequação simultânea:

93

3x + 2 < -x + 3 ≤ x + 4.

Solução: Antes temos que resolver duas inequações:

I. 3x + 2 < -x + 3 ⇒ 4x < 1 ⇒ x < 14

II. -x + 3 ≤ x + 4 ⇒ -2x ≤ 1 ⇒ x ≥ 1

2−

Logo, a interseção entre esses dois conjuntos é: S = {x ∈ℜ | 1

2−

≤ x < 14

}.

CONCLUSÃONeste capítulo, estudamos a função do primeiro grau, ou função afim – denotada por f(x) = ax + b. Além disso, interpretamos geometricamente que o gráfico dessa função é uma reta, e que a função é crescente desde que a > 0 e decrescente se a < 0. Além disso, identificamos a nomenclatura dos coeficientes associados à função afim em coeficiente angular e linear. Também resolvemos equações e inequações lineares e discutimos dois contextos para a resolução de sistemas lineares com duas incógnitas. Para completar, resolvemos algumas aplicações envolvendo a função do primeiro grau que podem surgir na vida cotidiana do engenheiro e, ainda, interpretamos geométrica e algebricamente uma função do primeiro grau.

Na próxima aula, vamos conhecer as principais propriedades algébricas e geométricas da função do segundo grau, desde a parte relacionada à concavidade da parábola que a representa geometricamente até problemas envolvendo máximos e mínimos. Até lá!

AULA 4Funções do segundo grau e aplicações


INTRODUÇÃOVocê já conheceu os principais aspectos teóricos relacionados à função do primeiro grau, não é mesmo? Agora, vamos discutir as principais propriedades da função do segundo grau, cuja representação gráfica é dada por uma parábola. Para visualizar as aplicabilidades da função quadrática, vamos pensar em uma situação bem comum do nosso dia a dia. Imagine um garoto sentado em um ônibus, indo para a escola, jogando um lápis para cima e pegan¬do de volta. Aparentemente, para o garoto, a caneta só vai para cima e para baixo, mas quem está de fora do ônibus consegue ver a caneta fazer um movimento de parábola, com concavi¬dade para baixo. Assim, temos dois movimentos distintos: além de a caneta ir para cima, o ônibus movimenta-se para frente.


96

As funções quadráticas possuem diversas aplicações, principalmente em situações relacionadas à Física e à Engenharia, como lançamento oblíquo, movimento uniforme-mente variado, cálculos envolvendo áreas máximas e mínimas etc. – até na Biologia, ao estudar o processo de fotossíntese das plan¬tas. Nesta aula, vamos estudar conceitos de zeros, ou raízes, e máximo e mínimo de uma função do segundo grau. Construiremos seus gráficos e analisaremos suas aplicações. Bom estudo!

OBJETIVOS » Entender e aplicar os conceitos básicos de funções do segundo grau em problemas simulados.

» Compreender a importância do estudo de funções do segundo grau no contexto da Engenharia.

» Caracterizar as raízes de uma função do segundo grau.

» Representar geometricamente funções do segundo grau.

» Estar plenamente familiarizado com o estudo sobre crescimento e decrescimento de funções do segundo grau.

» Compreender a variação de sinais envolvendo funções do segundo grau.

»

» Interpretar e resolver problemas práticos envolvendo máximos e mínimos no contexto de funções quadráticas.

4.1 HISTÓRIA ENVOLVENDO A FUNÇÃO QUADRÁTICAHá relatos de um passatempo muito popular entre os matemáticos da Índia antiga: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor apresentava problemas para o outro resolver. Escritos por sacerdotes brâmanes, os grandes clássicos matemáticos misturavam ciência e religião. Cada assunto consistia de um texto básico chamado sutra, que o professor lia em voz alta e os alunos repetiam centenas de vezes até decorar. Na verdade, os sutras eram integrados por ditados populares, em forma de versos. Veja o exemplo (GUELLI, 1992, p. 7):

Alegravam-se os macacos

divididos em dois bandos:

sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava.

Com alegres gritos, doze

gritando no campo estão.

Sabes quantos macacos há na manada total?

Que relação isso tem com a função quadrática, que é o tema da nossa aula? Bem, hoje podemos traduzir esse quebra-cabeça para o idioma da Álgebra, como a equação descrita a seguir:

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

97

Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: x

sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava.

2

8x

Com alegres gritos, doze gritando no campo estão: 12

Sabes quantos macacos há na manada total? x = 2

8x

+ 12

Desenvolvendo a equação, temos:

x = 2

8x

+ 12

x = 2

64x

+ 12

64x = 2x +12.(64)

2x – 64x + 768 = 0

Note que obtivemos uma equação contendo o termo . Ela é chamada de equação do segundo grau.

Levou muito tempo para que os matemáticos descobrissem uma fórmula resolutiva desse tipo de equação. Porém, mesmo sem conhecer a fórmula, os bravos matemáticos da Antiguidade, que escreviam as equações totalmente em palavras – inclusive os números –, conseguiam resolver a maioria delas. Daí, podemos indagar: mas como isso era possível?

Quando falamos em equação do segundo grau, ou quadrática, vem em mente o nome do matemático indiano Bhaskara Akaria (1114-1185). Foi ele que, no século XII, se dispôs a resolver essa equação e a divulgar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para a equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. De maneira sábia, Bhaskara aplicou princípios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras se derivaram, como as de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos vértices de uma função quadrática.

Resumindo, as equações de segundo grau são resolvidas através de uma expressão matemática atribuída ao matemático indiano Bhaskara, conhecida popularmente por fórmula de Bhaskara, ou delta. Mas, analisando a linha cronológica dos fatos, identificamos diversos povos ligados ao desenvolvimento da Matemática e que contribuíram de forma significativa na elaboração de uma forma prática para o desenvolvimento de tais equações. Incrível, não? Babilônios, egípcios e gregos


98

utilizavam técnicas capazes de resolver esse tipo de equação anos antes de Cristo. Babilônios e egípcios utilizavam-se de textos e símbolos como ferramentas para ajudar na resolução. Os gregos conseguiam concluir suas resoluções por meio de associações com a geometria, pois possuíam uma forma geométrica para solucionar problemas ligados às equações quadráticas. Cabe ressaltar, também, que foi com o francês Viéte que o método resolutivo das equações de segundo grau ganhou símbolos e letras. Viéte é o responsável pela modernização da Álgebra. Seus trabalhos foram desenvolvidos por outro francês, denominado René Descartes.

4.2 FUNÇÃO QUADRÁTICAChamamos de função polinomial do segundo grau, ou simplesmente de função quadrática, aquela redutível à forma:

f(x) = ax2 + b.x + c

Em que a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.

Vejamos alguns exemplos.

1) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = x2, com a = 1, b = 0 e c = 0.

2) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = x2 + 2x – 1, com a = 1, b = 2 e c = – 1.

3) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = – x2, com a = – 1, b = 0 e c = 0.

4) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = – 3.x2 + 5x – 2, com a = – 3, b = 5 e c = – 2.

5) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = x2 – 3x – 4, com a = 1, b = 0 e c = 0.

4.3 FUNÇÃO QUADRÁTICA – APLICAÇÕESEm diversas situações, podemos aplicar as funções quadráticas. Acompanhe os exemplos:

Na geometria

O número de diagonais (d) de um polígono convexo de n lados é dado por uma função quadrática, ou seja, dado um polígono de n lados. Temos que d é função de n, isto é, d = f(n) ou, ainda,

escrevemos d(n) = 2

23 1 32 2 2

n n n n− = − , que é uma função do segundo grau.

Nos fenômenos físicos

Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é dado em função do tempo (t) por uma função

quadrática s(t) = 4,9. 2t , em que a constante 4,9 é a metade da aceleração da gravidade, que é 9,8 m/s².

No esporte

Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em função do número n de clubes participantes, conforme você pode ver no quadro a seguir.


99

NÚMERO DE CLUBES NÚMERO DE PARTIDAS

2 2.(2 – 1) = 2

3 3.(3 – 1) = 6

4 4.(4 – 1) = 12

5 5.(5 – 1) = 20

... ...

n n.(n – 1)

Quadro 4 - Disposição das informações.


Ao analisar o quadro, podemos perceber que o número p de partidas é dado por p(n) = n.(n – 1) = n² – n. Note que n² – n é o número de pares ordenados (pois existe o mando de campo) menos os jogos de cada time com ele próprio, que não existem.

Assim como visualizamos no estudo das funções do primeiro grau, as funções quadráticas são uma ferramenta importante para o engenhei-ro.

4.4 DISCRIMINANTE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA – FÓRMULA DE BHASKARA

Considerando a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, temos a conhecida fórmula de Bhaskara, ou delta, ou discriminante

associada a f(x), que é dada por ∆ = 4. .b a c . Além disso, para encontrar as raízes da equação associada, basta utilizar a expressão x

=2

ba

− ± ∆. Ou seja, se denotarmos por x’ e x’’ as raízes de f(x), no

caso de ≥ 0, então '2

bxa

− + ∆= e ''2

bxa

− − ∆= .


100

Vamos discutir com mais detalhes as raízes ou os zeros da função quadrática um pouco mais adiante.

Dica! A representação geométrica das raízes de uma equação do se-gundo grau é que estas correspondem aos valores das abscissas onde a parábola corta o eixo dos x.

4.5 VALOR DA FUNÇÃO QUADRÁTICA EM UM PONTOSe f: ℜ → ℜ é dada por f(x) = ax + bx + c, dois problemas são importantes.

Dado 0x ∈ℜ , calcular f( 0x ).

Dada f( 0x ), calcular 0x .

Vamos resolver os seguintes exercícios:

1) Se f: ℜ → ℜ é dada por f(x) = 3x2 + 2x + 1, qual é o valor de f(1)?

Solução: basta substituirmos o valor de x por 1 para calcular f(1), ou seja:

f(1) = 3(1)2 + 2.(1) + 1

f(1) = 3 + 2 + 1

f(1) = 6

2) Sobre uma circunferência, são marcados pontos distintos e traçados todos os segmentos possíveis, com extremidades nesses pontos. O número de segmento (s) é dado em função do número x de pontos marcados. Por exemplo:

Com base nesses dados, faça o seguinte:

a) caracterize a lei dessa função quadrática: quais são os coeficientes a, b e c?


101

b) quantos são os segmentos quando marcados cinco pontos?

c) quantos pontos precisam ser marcados para que o número de segmentos seja igual a 21?

Solução: neste caso, temos:

a) a lei de formação dessa função é dada por:

22.( 1) 1 1( )

2 2 2x x x xs x x x

x− −= = = −

Os coeficientes são a = 12

, b = 12

− e c = 0.

b) Aqui, basta pegarmos a expressão da letra (a) e substituir x por 5, como segue:

5.(5 1) 5.4( 5) 45 5

s x −= = = =

c) Aqui, devemos resolver a equação 2

2x x−

= 21, ou seja:

2

2x x−

= 21

2x – x – 42 = 0

∆ = 1 + 168 = 169

Daí:

1 132

x ±=

Logo:

x’ = 7 e x’’ = – 6 (não convém)

Portanto, precisam ser marcados 7 pontos.

4.6 ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICASaiba que o estudo da função quadrática foi iniciado com relação à equação quadrática. Um problema antigo que recai em uma equação do segundo grau é este: “determinar dois números conhecendo a sua soma s e seu produto p.” Se chamarmos de x um dos números, o outro será dado por s – x. Assim, p = x.(s – x), ou p = sx – x2 , ou ainda x2 – sx + p = 0. Para encontrar x (e, portanto, s – x), basta resolver a equação de segundo grau x2 – sx + p = 0, ou seja, basta determinar os valores x para os quais a função quadrática f(x) = x2 – sx + p = 0 se anula. Esses valores são chamados zeros da função quadrática ou raízes da equação de segundo grau correspondente a f(x) = 0.


102

Note que esta definição é semelhante ao que vimos na Aula 3 sobre funções do primeiro grau. Por exemplo, os dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 12 são 3 e 4, que são as raízes da equação x2 – 7x + 12 = 0, ou zeros da função quadrática f(x) = x2 – 7x + 12 = 0.

4.6.1 Determinação dos zeros por fatoraçãoAgora, queremos determinar os zeros de algumas funções quadráticas usando o procedimento da fatoração.

Para entender melhor, vamos resolver alguns exercícios.

1) Determine os zeros das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) = 2x – 16

b) f(x) = 2x + 2x

c) f(x) = 2x – 6x + 9


a) A equação de segundo grau correspondente é 2x – 16 = 0. Fatorando o primeiro membro da

equação, temos 2x – 16 = 0 ↔ (x – 4).(x + 4) = 0. Para que um produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero. Logo, (x – 4) = 0 ou (x + 4) = 0, ou seja, x = 4 ou x = – 4. Assim,

as raízes da equação 2x – 16 = 0 são 4 e – 4, ou os zeros da função quadrática f(x) = 2x – 16 = 0 são 4 e – 4.

b) A equação de segundo grau associada é 2x + 2x = 0. Fatorando o primeiro membro da equação,

temos: 2x + 2x = 0 ↔ x.(x + 2) = 0. Logo, x = 0 ou (x + 2) = 0, ou seja, x = 0 ou x = – 2. Assim,

os zeros da função 2x + 2x = 0 são 0 e – 2.

c) A equação de segundo grau associada é 2x – 6x + 9 = 0. Fatorando o primeiro membro da

equação, temos: 2x – 6x + 9 = 0 ↔ (x – 3)2 = 0. Logo, (x – 3) = 0 ou (x – 3) = 0, ou seja, x = 3

ou x = 3. Assim, dizemos que x = 3 é um zero “duplo” da função quadrática f(x) = 2x – 6x + 9.

4.6.2 Determinação dos zeros por completamento do quadradoO completamento de quadrado é um procedimento muito utilizado no estudo da função quadrática. Veja alguns exemplos:

2

2 2 2 2 2

( 3)

6 2.3. 3 3 ( 3) 9x

x x x x x+

+ = + + − = + − logo 2 6x x+ = 2( 3) 9x + − .

2

2 2 2 2 2

( 5)

10 2.5. 5 5 ( 5) 25x

x x x x x−

− = − + − = − − logo 2 10x x− = 2( 5) 25x − − .


103

2

2 22 2 2

5( )2

5 5 5 5 5 252. . ( )2 4 4 4 4 16

x

x x x x x

−

− = − + − = − − logo 2 5

2x x− = 25 25( )

4 16x − − .

Em geral, podemos escrever 2

2 2( )2 4p px px x+ = + − .

Vamos aos exercícios.

1) Determine os zeros das funções quadráticas:

a) f(x) = 2x + 6x + 5

b) f(x) = 2 2x – 5x + 3

Solução:

a) A equação de segundo grau correspondente é 2x + 6x + 5 = 0, ou seja, 2x + 6x = – 5.

Completando o quadrado, vem que 2x + 6x + 9 = – 5 + 9 → 2( 3)x + . Extraindo a raiz quadrada de ambos, segue:

3 2 1`( 3) 2

3 2 5x x

xx x

+ = ⇒ = −+ = ± ⇒ + = − ⇒ = −

Portanto, os zeros da função são – 1 e – 5.

b) a equação do segundo grau correspondente é 2 – 5x + 3 = 0. Essa equação é equivalente a outra em que dividimos todos os termos por 2:

2 25 3 5 302 2 2 2

x x x x− + = ⇒ − = −

Completando o quadrado, temos:

22 5 25 3 25 5 1 5 1

2 16 2 16 4 16 4 4x x x x − + = − + ⇒ − = ⇒ − = ±

Daí,

5 1 6 35 1 4 4 4 2

5 1 44 4 14 4 4

x xx

x x

− = + ⇒ = =− = ± ⇒ − = − ⇒ = =


104

Portanto, os zeros da função são 32

e 1.

4.7 FORMA CANÔNICA DA FUNÇÃO QUADRÁTICASegundo Dante (2011, p. 92), dada a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, podemos escrever:

2 2( ) . b cf x ax bx c a x xa a

= + + = + +

As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento do quadrado:

2 2 22 2

2 22. .2 2 4 4b b b b bx x x x xa a a a a

+ = + + = + + Dessa maneira, completando o quadrado, vem:

2 22 2

2 2( ) . 2.2 4 4b b b cf x ax bx c a x xa a a a

= + + = + + − +

Ou seja,

2 22

24. .( ) .

2 4forma canônica

b a c bf x ax bx c a xa a

− = + + = + +

Ou ainda:

2 2

24. .( ) .

2 4b a c bf x a xa a

− = + +

Agora, tomando m = 2

ba

− e k =

2

24. .

4a c b

a−

, concluímos que f(m) = k.

Portanto, para todo x ∈ ℜ e a ≠ 0 podemos escrever qualquer função quadrática f(x) = = ax + bx + c da seguinte maneira:

f(x) = a.(x – m)2 + k, em que m = 2

ba

− e k = f(m).

105

Essa expressão é chamada forma canônica de f(x) = ax2 + bx + c, sendo teoricamente muito importante.

Vejamos agora algumas consequências diretas com relação à forma canônica da função de segundo grau.

1) Valor mínimo e valor máximo da função f(x) = ax2 + bx + c

Seja a função quadrática f(x) = = 3x2 – 5x + 2. Nesse caso, temos que

m = 56

e k = f(56

) = 3.(56

) – 5.(56

) + 2 = 1

12−

e a forma canônica é dada por:

f(x) = 3.(x – 56

)2 – 1

12Dessa maneira, olhando para a expressão anterior, podemos concluir que o menor valor de f(x)

para x ∈ℜ é 1

12−

. Isso ocorre quando x = 56 .

Em geral, da forma canônica f(x) = a.(x – m)2 + k, conclui-se que para qualquer x ∈ℜ :

» a > 0, o menor valor de f(x) é k = f(m).

» a < 0, o maior valor de f(x) é k = f(m).

2) Zeros da função quadrática e raízes da equação f(x) = ax2 + bx + c = 0

Considerando a função quadrática f(x) = = 3x2 – 5x + 2, então sua forma canônica é: f(x) = 3.(x – 56

)2 – 1

12 .

Daí,

2 2 25 1 1

5 1 5 1 5 1 5 1 6 63. 0 3.5 1 26 12 6 12 6 36 6 66 6 3

x xx x x x

x x

− = + ⇒ = − − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ± ⇒ − = − ⇒ =

Logo, os zeros de f(x) = = 3x2 – 5x + 2 são 1 e 23

, que são também as raízes da equação 3x2 – 5x + 2 = 0. Geralmente, da forma canônica de f(x) = = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, que é a.(x – m)2 + k, em

que m = 2

ba

− e k = f(m), podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função, como já vimos

nesta aula pela fórmula de Bhaskara. Vale lembrar, também, que com relação ao discriminante da função quadrática f(x) = = ax2 +bx + c, temos:

106

» ∆ > 0: a função f(x) = ax2 +bx + c admite duas raízes reais e distintas.

» ∆ < 0: a função f(x) = ax2 +bx + c não admite raízes reais.

» ∆ = 0: a função f(x) = ax2 +bx + c admite duas raízes reais e iguais.

Exercício: a partir de agora, você já pode escolher a maneira pela qual determinará os zeros da função quadrática. Para tal, determine, se existirem, os zeros da função f(x) = x – 2x – 3.

Solução: podemos verificar a existência e, em caso afirmativo, calcular as raízes de f(x) = x – 2x – 3 de dois modos diferentes, como segue:

» Primeiro modo: usando a forma canônica:

x2 – 2x – 3 = 0, então m = ( 2) 12(1)

− − = e k = f(m) = f(1) = (1)2 – 2.(1) – 3 = – 4 , logo:

2 2 2 1 2 32 3 0 1.( 1) 4 0 ( 1) 4 1 2

1 2 1x x

x x x x xx x

− = ⇒ =− − = = − − = ⇔ − = ⇔ − = ± − = − ⇒ = −

Portanto, os zeros da função são 3 e – 1.

» Segundo modo: usando a Fórmula de Bhaskara:

x2 – 2x – 3 = 0, então a = 1, b = – 2 e c = – 3, daí:

∆ = b2 – 4ac = (– 2) – 4.(1). (– 3)

∆ = 16 > 0

Logo, a função admite duas raízes reais e diferentes, que são dadas por:

2 4 6' 32 2 2

bxa

− + ∆ += = = = e

2 4 2'' 12 2 2

bxa

− − ∆ − −= = = = −

Portanto, os zeros da função são 3 e – 1 ou, ainda, as raízes da equação são 3 e – 1.

3) Relação entre os coeficientes da função quadrática e zeros da equação correspondente

Se existirem os zeros reais da função quadrática f(x) = ax2 +bx + c, então:

'2

bxa

− + ∆= e

''2

bxa

− − ∆=

Logo, podemos calcular a soma x’ + x’’ e o produto x’.x’’, obtendo:

(x’ + x’’) = 2

2 2 2b b b b

a a a a− + ∆ − − ∆ − + ∆ − ∆ −+ = =

e


107

(x’ . x’’) = 2 2 2 2

2 2 2( ) 4ac 4ac( ).( )

2 2 4 4 4b b b b b c

a a a a a a− + ∆ − − ∆ − ∆ − += = = =

Ou seja,

x’ + x’’ = b

a−

e

x’ . x’’ = ca

4) Forma fatorada do trinômio ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0

Quando temos ∆ ≥ 0, ou seja, quando a equação ax2 + bx + c = 0 admite duas raízes reais e distintas x’ e x’’, podemos escrever:

2 2 2 2. .[ ( ' ''). '. ''] .[ '. ''. '. ''] .( ').( '')b cax bx c a x x a x x x x x x a x x x x x x x a x x x xa a

+ + = + + = − + + = − − + = − −

Portanto,

ax2 + bx + c = .( ').( '')a x x x x− − (forma fatorada)

4.8 GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICAO gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva característica que recebe o nome de parábola. Vejamos alguns exemplos de parábolas representando gráficos de funções de segundo grau.

1) A parábola que representa a função f: ℜ → ℜ ,tal que f(x) = x2 é mostrada na figura a seguir.

Figura 62 - Gráfico da função f(x) = x2.

Fonte: Ferreira (2013).

2) Veja agora o gráfico que representa a função f: ℜ → ℜ, tal que f(x) = – x2 .

108

Figura 63 - Gráfico da função f(x) = -x2.


3) A representação geométrica da função f: ℜ → ℜ, tal que f(x) = x2 – 1, é mostrada na figura a seguir.

Figura 64 - O gráfico da função f(x) = x2 – 1.


4) A parábola que representa a função f: ℜ → ℜ, tal que f(x) = 2x2 – 2x + 2, é apresentada na figura a seguir.

Figura 65 - O gráfico da função f(x) = 2x2 – 2x + 2.


Vejamos algumas considerações relacionadas às funções polinomiais do segundo grau (funções quadráticas), que são importantes para a resolução e interpretação de problemas simulados envolvendo essas funções.

1) A parábola que representa a função f(x) = ax2 + bx + c tem a concavidade para cima caso a > 0, e a concavidade para baixo caso a < 0.


109

Figura 66 - A parábola tem concavidade voltada para cima quando a > 0


Contrariamente:

Figura 67 - A parábola tem concavidade voltada para cima quando a > 0


Resumindo:

Figura 68 - Interpretação da concavidade de uma parábola.



110

2) Em todos os casos, o vértice da parábola é o ponto V (ab

2−

; a4∆−

), em que ∆ = b2 - 4ac. Ou

seja, a abscissa do vértice da parábola tem ab

2−

, enquanto a ordenada do vértice da parábola

tem coordenada a4∆−

.

Figura 69 - Interpretação geométrica do vértice de uma parábola.


3o) Quando o discriminante ∆ = b2 – 4ac for positivo, a parábola intercepta o eixo x das abscissas

em dois pontos distintos: (x’; 0) e (x’’; 0), em que x’ e x’’ são dados pela fórmula a

b2

∆±−. Em

outras palavras, x’ e x’’ são as duas raízes reais distintas da equação do segundo grau em questão.

Figura 70 - Interpretação geométrica das raízes quando ∆ > 0.


4o) Quando o discriminante ∆ = b2 – 4ac for igual a zero, então a parábola é tangente ao eixo x

das abscissas no ponto xv = ab

2−

. Ou, ainda, nesse caso a função quadrática possui duas raízes reais e iguais.

111

Figura 71 - Interpretação geométrica das raízes quando ∆ = 0.


5) Quando o discriminante ∆ = b2 – 4ac for negativo, significa que a função quadrática do segundo grau não admite raízes reais. Geometricamente, isso quer dizer que a parábola não toca o eixo x das abscissas.

Figura 72 - Interpretação geométrica das raízes quando ∆ < 0.


6) O trinômio do 2o grau ax2 + bx + c é positivo para todo x real se, e somente se, a > 0 e ∆ < 0.

7) O trinômio do 2o grau ax2 + bx + c é negativo para todo x real se, e somente se, a < 0 e ∆ < 0.

8) A determinação do vértice da parábola ajuda, e muito, a) na caracterização geométrica da função quadrática associada; b) na interpretação do seu conjunto imagem; c) nos seus valores de Máximo e de Mínimo.

Vejamos então uma série de exercícios resolvidos que ilustram a aplicabilidade de toda teoria já discutida sobre as equações quadráticas, principalmente com relação às últimas observações apontadas.

1) Entre todos os números reais de soma igual a oito, determine aqueles cujo produto é Máximo.

Solução: vamos denotar esses números por x e z, e por y o produto que os envolve. Dessa maneira,

x + z = 8 e y = x . z

Como precisamos ficar com uma só das variáveis, x ou z, fazemos:

x + z = 8 ↔ z = 8 – x

E, portanto,

y = x . z → y = x.(8 – x) = – x2 + 8.x

112

Como a = – 1 < 0, y é Máximo quando:

x = xv = ab

2−

= )1.(2

8−

− → x = 4.

Substituindo em z = 8 – x, vem que z = 4. Portanto, os números procurados são 4 e 4.

A partir do momento em que a parábola apresentar a concavidade voltada para baixo (a < 0), significa que ela estará admitindo um ponto de Máximo no vértice.>

2) Esboce, no mesmo plano, os gráficos das funções quadráticas f(x) = x2 e g(x) = –2.

Solução: a figura a seguir mostra a disposição geométrica da resolução da questão, ou seja, apresenta os gráficos das duas funções no mesmo plano cartesiano.

Figura 73 - Representação geométrica da situação da questão.


3) Faça um esboço do gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3.

Solução: inicialmente, note que como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Com relação à função quadrática f(x) = x2 – 4x + 3, temos que x = 1 e x = 3 são as suas

raízes. O vértice da parábola que representa f(x) = x2 – 4x + 3 é o ponto V (ab

2−

; a4∆−

), em que

acb 42 −=∆ , logo V(2; -1). Veja na figura a seguir o gráfico da função quadrática f(x) = x2 – 4x + 3.


113

Figura 74 - Gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3.


4) Obtenha o valor de k, sabendo que f(x) = x2 + x + 4.k e f(-2) = 0.

Solução: na lei de formação da função f(x), vamos substituir x por (– 2) e f(x) por 0, ou seja:

f(–2) = 0

(– 2)2 + (– 2) + 4.k = 0

4 – 2 + 4.k = 0

4.k = – 2

Então,

k = – ½

Lembre-se de que, a partir do momento em que a parábola apresen-tar a concavidade voltada para cima (a > 0), significa que ela estará admitindo um ponto de Mínimo no vértice.

4.9 PROPRIEDADE RELEVANTE DA PARÁBOLASe girarmos uma parábola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfície chamada paraboloide de revolução, também conhecida como superfície parabólica. Essa superfície possui inúmeras aplicações interessantes; todas elas decorrentes de uma propriedade geométrica da parábola.


114

Figura 75 - Paraboloide de revolução.


Segundo Elon (1997, p. 134), a fama das superfícies parabólicas remonta à Antiguidade. Há uma lenda segundo a qual o extraordinário matemático grego Arquimedes, que viveu em Siracusa, em torno do ano 250 a.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de sol refletidos em espelhos parabólicos. Embora isso seja teoricamente possível, há sérias dúvidas sobre a capacidade tecnológica da época para fabricar esses espelhos. Mas a história se perpetuou, e com ela a ideia de que ondas (de luz, de calor, de rádio ou de qualquer outra natureza), quando refletidas numa superfície parabólica, concentram-se sobre o foco, ampliando a intensidade do sinal recebido. Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acendedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignição fazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superfície parabólica polida.

Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando na direção paralela ao eixo os raios de luz que emanam do foco. Podemos citar os holofotes, os faróis de automóveis e as simples lanternas de mão, que têm fontes luminosas à frente de uma superfície parabólica refletora.

Além disso, também segundo Elon, (1997, p. 134), um importante uso recente dessas superfícies é dado pelas antenas parabólicas, empregadas na radioastronomia e na transmissão das redes de televisão. Essas antenas refletem os débeis sinais provenientes de um satélite sobre sua superfície, fazendo-os convergir para um único ponto – o foco – e desse modo amplificando consideravelmente sua intensidade.


115

As antenas parabólicas geralmente têm um grande diâmetro (parábola mais aberta, coeficiente a pequeno) para captar uma quantidade maior de sinais do satélite. Portanto, a distância focal é em geral grande (c grande).

4.10 OUTRAS APLICAÇÕES ENVOLVENDO AS FUNÇÕES QUADRÁTICASVejamos mais algumas situações em que utilizamos diretamente as funções do segundo grau.

Exercícios

1) Um engenheiro precisa cortar um pedaço de arame, com 98 cm de comprimento, em duas partes. Com uma das partes, ele quer construir um quadrado, e com a outra um retângulo, com base e altura na razão de 3 para 2. Além disso, a soma das áreas do quadrado e do retângulo deve ser mínimas. Assim, determine o comprimento da parte destinada à construção do quadrado.

Solução: interpretando os dizeres da aplicação em questão, temos a seguinte disposição gráfica:

Dessa maneira, obtemos:

De (I), segue que v = . Substituindo (I) em (II), temos:

Soma das áreas = S = A1 + A2 = u2 + 6.

Ou seja,

S = → S é mínima para u = 12

Então, concluímos que a área é mínima para u = 12. Além disso, o comprimento da parte destinada à construção do quadrado é dado por:

4u = 48 (cm)

2) Um engenheiro recém-formado, chegando à fazenda de seu tio, se deparou com a seguinte situação: o tio queria construir um novo galinheiro, no qual um muro seria usado como um dos lados, que, no caso, teria um formato retangular. Para erguer os outros lados do galinheiro, ele


116

usaria um rolo de 25 metros de tela de arame. Dessa maneira, o homem perguntou ao sobrinho: quais devem ser as dimensões do galinheiro para que eu obtenha a área máxima? E, então, como o engenheiro resolveu a questão?

Solução: observe a disposição gráfica da situação descrita na figura a seguir.

Figura 76 - Disposição gráfica da aplicação.


Sendo u e v as dimensões do galinheiro, temos:

u + 2.v = 25

Ou seja,

v = 25 – 2.u

A área do galinheiro será igual a

A = u.v

Ou, ainda,

A = v.(25 – 2.v)

Então,

A = – 2.v2 + 25.v

Veja na figura a seguir o gráfico da área A em função de v. É fácil concluir que a área será máxima para:

v = = 6,25

Nessas condições, temos u = 25 – 2.v = 12,5.

117

Figura 77 - Gráfico de A em função de v.


4.11 INEQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAUSegundo Demana e Kennedy (2009, p. 53), uma inequação quadrática em x ou uma inequação do segundo grau em x pode ser escrita na forma:

a.x² + bx + c > 0 ou a.x² + bx + c < 0 ou a.x² + bx + c < 0 ou a.x² + bx + c ≤ 0

com a, b e c números reais e a ≠ 0.

Método de resolução

Para resolver uma inequação quadrática em x, siga os passos a seguir.

» Iguale a inequação a zero, transformando-a em uma inequação.

» Calcule o discriminante da equação (delta).

» No caso de delta maior ou igual a zero, calcule as raízes e .

» Faça a análise de sinais, conforme apresentamos a seguir

Delta > 0 e a > 0

Observe que entre as raízes o sinal é o contrário de a (ca), o que significa que qualquer valor entre x1 e x2 nos dará um resultado negativo, enquanto que à esquerda e à direita das raízes x1 e x2 o resultado será o mesmo sinal de a (ma), portanto, positivo.

118

Delta > 0 e a < 0

Note que entre as raízes o sinal continua contrário de a (ca), o que significa que qualquer valor entre x’ e x’’ nos dará um resultado positivo, pois a é maior que zero. Já à esquerda e à direita das raízes x’ e x’’, o resultado terá o mesmo sinal de a (ma), portanto, negativo.

Delta = 0

Nesse caso, as duas raízes x’ e x’’ são iguais, portanto não existe o intervalo entre as raízes, fazendo com que o sinal seja sempre o mesmo de a. Isso fará com que a inequação só tenha solução se o sinal da desigualdade for igual ao sinal de a.

Delta < 0

Aqui, não existem raízes reais. Isso também fará com que a inequação só tenha solução se o sinal da desigualdade for igual ao sinal de a.

Vamos aos exercícios?

1 – Resolva a seguinte inequação do segundo grau: x2 + 3x + 2 > 0.

Solução: observe que a = 1, b = 3 e c = 2, dessa forma:

∆ = b2 – 4.a.c

∆ = 32 – 4.(1).(2)

∆ = 9 – 8

∆ = 1


x1 =

ab

.2∆+−

= )1.(2

13 +−

= 2

2−

= -1


119

x2 = a

b.2

∆−−

= )1.(2

13−−

= 2

4−

= -2

Assim, como a = 1 > 0 e ∆ = 1 >, temos a seguinte disposição geométrica:

Note que, se substituirmos qualquer valor menor do que (–2), ou maior do que (–1), encontraremos um resultado positivo, pois a é positivo.

Substituindo –3 no lugar de x

x2 + 3x + 2 > 0

(-3)2 + 3.(-3) + 2 > 0

9 – 9 + 2 > 0

2 > 0

Substituindo +2 no lugar de x

x2 + 3x + 2 > 0

(2)2 + 3.(2) + 2 > 0

4 + 6 + 2 > 0

12 > 0

Agora, vamos substituir um valor que fica entre as raízes. Por exemplo, –1,5.

Substituindo – 1,5 no lugar de x

x2 + 3x + 2 > 0

(–1,5)2 + 3.(–1,5) + 2 > 0

– 2,25 – 4,5 + 2 > 0

– 8,75 > 0 (falso)

Portanto, os valores de x que satisfazem a inequação quadrática em x do exemplo são todos os valores de x menores que –2, ou todos os valores de x maiores que –2.


120

CONCLUSÃONesta aula, você conheceu algumas aplicações práticas envolvendo a equação de segundo grau. Na sequência, aplicamos a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da função quadrática. Vimos que o valor do delta caracteriza o número de raízes associadas à função, e para delta > 0 temos duas raízes reais e diferentes. É importante lembrar que o gráfico que representa uma função do segundo grau é uma parábola, e que suas raízes são os pontos pelos quais o gráfico toca o eixo das abscissas. Na próxima aula, estudaremos as propriedades adicionais da teoria das funções, como paridade, composição e inversão. Além disso, discutiremos os principais aspectos teóricos relacionados à função modular. Até lá!

AULA 5Composição, Inversão de Funções e Função Modular

INTRODUÇÃONesta aula, vamos discutir mais alguns aspectos teóricos relacionados às funções do primeiro e do segundo grau. Você vai conhecer algumas propriedades adicionais da teoria de funções, como paridade, criação de novas funções a partir de operações entre elas e composição e inversão de funções. Além disso, se familiarizará com as principais propriedades acerca da função modular. Diversas aplicações práticas envolvem, por exemplo, as funções trigonométricas seno e cosseno, principalmente quando falamos de desenho técnico. Vale destacar, também, que uma das ferramentas básicas da engenharia é o cálculo diferencial e integral. Nesse sentido, uma propriedade interessante das funções reais e muito usada no cálculo e em séries de Fourier é a paridade, isto é, saber se uma função é par ou ímpar reduz muito os cálculos de integrais definidas e a dedução de algumas fórmulas trigonométricas. De outro modo, quando falamos em distância, lembramos diretamente da função modular ou do módulo de x, que representa a distância de qualquer ponto até a origem do sistema em uma dimensão. Bom estudo!


122

OBJETIVOS » Caracterizar algebricamente e geometricamente a paridade de funções.Interpretar e aplicar

o conceito de composição de funções na resolução de problemas simulados.Estar plenamente familiarizado com a álgebra das funções.Interpretar e aplicar o conceito de função inversa na resolução de problemas simulados.Compreender as principais propriedades acerca das funções compostas.Interpretar geometricamente funções compostas e funções inversas.Interpretar e aplicar a noção de valor absoluto de um número real como distância da origem da reta real.Compreender as principais propriedades acerca das funções modulares.

5.1 PARIDADE DE FUNÇÕESQuando falamos em paridade de funções, na verdade estamos caracterizando a função como sendo par ou ímpar, já que nesse contexto temos algumas simetrias importantes na representação geométrica. Esta análise gráfica é uma poderosa ferramenta para o engenheiro interpretar situações que exigem funções mais complexas. Para saber se determinada função é par ou ímpar, é necessário definir conjunto simétrico, como segue:

Isto é:

A é um conjunto simétrico ⇔ x ∈A implica que – x ∈A

Podemos perceber claramente que os conjuntos a seguir são simétricos:

A = {– 3, 3}

B = [–3, 3]

C = Z (conjunto dos números inteiros)

Q = conjunto dos números racionais

ℜ = conjunto dos números reais

De outro modo, não são conjuntos simétricos:

A = [–3, 4]

IN = conjunto dos números naturais

5.1.1 Função parConsidere f uma função cujo domínio é um conjunto simétrico. Diremos que f é uma função par se, e somente se, f(– x) = f(x), para todo x pertencente ao domínio de f.

Exemplos:

1) A função f(x) = x²(função quadrática) é uma função par, já que:

f(x) = x²= f(– x) = (–x)² = x²

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

123

Figura 78 - A função f(x) = x² é uma função par.


2) A função f(x) = | x | (função modular: módulo de x) que será estudada também nesta aula é uma função par, pois:

f(x) = | x | = x = f(– x) = | – x | = x

Figura 79 - A função f(x) = | x | é uma função par.


A função trigonométrica f(x) = cosx (função co-seno) que será apresentada mais a frente é uma função par, já que:

f(x) = cos x = f(– x) = cos (– x) = cos x


124

Figura 80 - A função f(x) = cosx é uma função par.


Perceba que o gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das ordenadas.

5.1.2 Função ímpar.Considere f uma função cujo domínio é um conjunto simétrico. Diremos que f é uma função ímpar se, e somente se, f(– x) = – f(x), para todo x pertencente ao domínio de f.

Exemplos:

1) A função f(x) = x³(polinomial) é uma função ímpar, pois:

f(– x) = (– x)³ = – x³ = – f(x)

Figura 81 - A função polinomial f(x) = x³ é uma função ímpar.


A função f(x) = senx (função seno) é uma função ímpar, já que:

f(– x) = sen (– x) = – senx = – f(x)


125

Figura 82 - A função f(x) = senx é uma função par.


Contrariamente às funções pares, as funções ímpares possuem o gráfico simétrico à origem do plano cartesiano. Além disso, uma função que não se classifica em nenhum desses casos, isto é, que não seja par nem ímpar, é chamada de função sem paridade.

Figura 83 - Interpretação de funções pares e ímpares.


Exercícios

1) Verifique a paridade entre os seguintes tipos de funções:

a) f(x) = 3

b) f(x) = x

c) f(x) = x²+ 7

d) f(x) = 2.x + 7

e) f(x) = g(x) + g(– x), em que g é uma função de ℜ em ℜ.


126

Solução: nesse caso, temos:

a) f(– x) = 3 = f(x), portanto f é uma função par.

a) f(– x) = – x = – f(x), logo f é uma função ímpar.

a) f(– x) = (– x)² + 7 = x² + 7 = f(x), logo f é uma função par.

a) f(– x) = – 2x + 7. Aqui, note que f(– x) = f(x) e f(– x) = – f(x). Portanto, concluímos que f não possui paridade.

a) f(– x) = g(– x) + g(x) = f(x), logo f é uma função par.

2) Mostre que g(x) = ( ) ( )2

f x f x+ − é uma função par.

Solução: para provar que a função g(x) é uma função par, devemos mostrar que g(x) = g( – x), daí:

g(– x) = ( ) ( ( )) ( ) ( )2 2

f x f x f x f x− + − − + −= = g( x)

Portanto, g é uma função par.

5.2 ÁLGEBRA DAS FUNÇÕESUma maneira de construir novas funções é aplicar as operações usuais soma, diferença, produto e quociente (DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 163).

Para isso, vamos considerar as funções f e g reais e de variável real. O quadro a seguir define quatro novas funções, obtidas de maneira natural das funções f e g, que são: soma, diferença, produto e quociente.

NOME DA FUNÇÃO

NOTAÇÃO DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO SENTENÇA ABERTA QUE A DEFINE

Soma f + g Df ∩ Dg ℜ (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Diferença f – g Df ∩ Dg ℜ (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Produto f.g Df ∩ Dg ℜ (f . g)(x) = f(x) . g(x)

Quociente fg

Df ∩ Dg, g(x) ≠ 0 ℜ(

fg

) (x) = ( )( )

f xg x

Quadro 5 - Álgebra das funções.


Exemplo: sejam as funções f e g definidas pelas sentenças abertas:

f(x) = x² g(x) = x

Dessa forma, temos:

Df = ℜ

Dg = ℜ+

Df ∩ Dg = ℜ+


127

Logo, as funções (f + g), (f – g) e (f.g) têm domínio ℜ+ e são definidas, respectivamente, por:

(f + g)(x) = x² + x

(f – g)(x) = x² – x

(f.g)(x) = x² . x

Por outro lado, a função quociente fg

possui domínio:

{ / ( ) 0}f gfg

D x x D D g x

= ∈ ∩ ∧ ≠

Ou seja, *

fg

D +

= ℜ

Exercícios

1 – Considere a função f: ℜ→ℜ, tal que f(x1). f(x2) = f(x1 + x2) para todo x1 e x2 reais e f(1) = 3. Nessas condições, calcule:

a) f(0)

b) f(2)

c) f(3)

d) f(-1)

Solução

a) Para x1 = 0 e x2= 1, temos f(0).f(1) = f(0 + 1) = f(1) ⇒ f(0).f(0) = f(1) e, como f(1) = 3, concluímos que f(0) = 1.

b) Para x1 = 1 e x2 = 1, temos f(1).f(1) = f(1 + 1) = f(2) ⇒ 3.3 = f(2), ou seja, f(2) = 9.c) Para x1 = 1 e x2 = 2, temos f(1).f(2) = f(1 + 2) = f(3) ⇒ 3.9 = f(3), ou seja, f(3) = 27.

d) Para x1 = -1 e x2 = 1, temos f(-1).f(1) = f(-1 + 1) = f(0) ⇒ f(-1).3 = f(0) e, portanto, f(-1).3 = 1, ou eja, f(-1) =

31 .

2 – Mostre que se f e g são funções ímpares em ℜ, então h(x) = [f(x)].[g(x)] é uma função par.


h(x) = [f(x)].[g(x)] ⇒ h(– x) = [f(–x)].[g(–x)]

Como f e g são funções ímpares, escrevemos f( – x) = – f(x) e g( – x) = – g(x). Assim,

h(– x) = [f(–x)].[g(–x)] = [f(x)].[g(x)]

Portanto, h( – x) = h(x), e concluímos que h é uma função par.

3 – Mostre que g(x) = ( ) ( )2

f x f x− − com domínio em ℜ é uma função ímpar.


128

Solução: para provar que a função g(x) é uma função ímpar, devemos mostrar que g(– x) = – g(x). Daí,

g(– x) = ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2f x f x f x f x f x f x− − − − − − − − = = −

= – g( x)

Portanto, g é uma função ímpar.

4 – A função f: ℜ→ℜ possui a propriedade: f(m.x) = m.f(x) para m e x reais. Qual é o valor de f(0)?

Solução: nesse caso, a relação f(m.x) = m.f(x) é válida para m e x reais, em particular para m =0. Assim,

f(0.x) = 0.f(x)

Ou seja,

f(0) = 0

Portanto, o valor de f(0) é zero.

5 – A função f de ℜ em ℜ é tal que, para todo x real, f(3x) = 3.f(x). Se f(9) = 45. Dessa forma, pede-se para determinar o valor de f(1).

Solução: Inicialmente, fazemos 3x = 9 ⇒ x = 3. Daí:

f(9) = f(3.3) = 3.f(3) = 45 = 3.15 ⇒ f(3) = 15

Analogamente, vamos fazer agora 3x = 3 ⇒ x = 1. Logo:

f(3) = f(3.1) = 3.f(1) = 15 = 3. 5 ⇒ f(1) = 5

Portanto, f(1) = 5.

5.3 FUNÇÃO COMPOSTAPodemos dizer que a ideia básica da composição de funções é a de uma “reação em cadeia”, em que as funções “atuam” uma após a outra em sequência. Na verdade, criamos uma função composta quando substituímos a variável independente x de uma função por outra função.

Figura 84 - Como surge a função composta.


Assim, antes de definir formalmente o conceito de função composta, vejamos dois exemplos.


129

1) É comum, em nosso dia a dia, raciocínios como o seguinte: “o Imposto de Renda (IR) pago por um cidadão é ‘função’ do seu salário, enquanto o seu salário é ‘função’ do número de horas que ele trabalha. Dizemos então que o IR pago pelo cidadão é ‘função’ do número de horas que ele trabalha”.

Vamos raciocinar de uma forma mais específica com relação a este exemplo: imagine que o cidadão A receba R$50,00 por hora trabalhada. Logo, podemos considerar a função:

s(t) = 50.t (I)

que determina, em reais, o salário S do cidadão A quando ele trabalha certo número t de horas. De outra forma, vamos imaginar que a Receita Federal adote a seguinte “fórmula” para obter o IR a pagar, a partir do salário s:

IR(s) = 16 (s – 300) (II)

Então, se o cidadão A trabalha 60 horas, qual é o IR devido? De início, vamos calcular o seu salário pela expressão (I), como segue:

s(60) = 50.(60) = R$3.000,00

A seguir, a partir do salário de R$ 3.000,00, vamos determinar o imposto de renda a pagar através da expressão (II), ou seja:

IR(3000) = 16 (3000 – 300) = R$450,00

Note que o IR a pagar é função das horas que o cidadão A trabalhou. Para calculá-lo, determinamos s para o número 60 e, em seguida, ao resultado obtido (3000), aplicamos a função IR, obtendo então o imposto devido. Assim, podemos sintetizar o cálculo determinando uma única função (fórmula ou lei de formação) que dá o imposto devido pelo cidadão. Conhecendo-se o número de horas que ele trabalhou, temos:

IR(s) = 16 (s – 300)

IR[s(t)] = 16

[s(t) – 300]

IR[s(t)] = 16

[50t – 300]

Então, o IR é função das horas de trabalho, dada pela fórmula:

IR(t) = 16

[50t – 300] (III)

Portanto, para as 60 horas que o cidadão A trabalhou, o IR devido pode ser calculado fazendo t = 60 na expressão (III), como segue:

IR(60) = 16

[50.(60) – 300] = R$450,00

2) Agora, vamos exemplificar por meio da simbologia matemática. Para tal, considere as funções f e g, definidas respectivamente pelas sentenças abertas:


130

f(x) = 9x

g(x) = x

Observe:

Df = ℜ

Dg = {x ∈ ℜ /x ≥ 0}

Se x ≥ 0, então f(x) = 9x é não negativo, isto é, f(x) ≥ 0, logo f(x) pertence ao domínio da função g. Dessa maneira, temos:

g[f(x)] = ( )f x = 9x = 3 x

Veja que se define uma nova função, denominada composta de g com f, representada por g f (leia “g bola f”). Note que o domínio de f é ℜ, e elementos desse domínio são excluídos para obtermos o domínio da composta, ou seja, o domínio de g f é: se x é negativo, então f(x) é negativo e não existiria g[f(x)] = ( )f x . Resumindo, o domínio de g f é constituído por todo x

do domínio de f, tal que f(x) está no domínio de g. No nosso exemplo, Dgf = {x ∈ ℜ /x ≥ 0} .

5.3.1 Função composta de g com f Considere f uma função definida de A em B, e seja g uma função definida de B em C. Denominamos de função composta de g com f a função h, definida de A em C, tal que h(x) = g(f(x)) para todo x pertencente a A, a qual é denotada por g f(x). (DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 164).

Figura 85 - Interpretação geométrica da função composta.


Vamos aos exercícios.

1) Sejam as funções:

f: ℜ→ℜ / f(x) = – 2x + 3

e

g: ℜ→ℜ/ g(x) = 3x – 4.Solução: dessa forma, temos:

g f(x) = g(f(x)) = 3.f(x) – 4 = 3.(-2x + 3) – 4

Portanto,


131

g f(x) = – 6x + 5.

2) Considere as funções:

f: ℜ→ℜ/ f(x) = – 2x + 3

e

g: ℜ→ℜ / g(x) = 3x – 4.

Vamos encontrar g f(x).

Solução: temos:

f(2) = – 2.2 + 3 = – 1

E, assim:

g f(2) = g(f(2)) = g(– 1) = 3. (– 1) – 4 = – 7

3) Considerando f(x) = x² e g(x) = x³, vamos encontrar o valor de f(g(2)).

Solução: temos:

g(2) = 2³= 8

Logo,

f g(2) = f(g(2)) = f(8) = 8²= 64

4) Considerando f(x) = a.xn, n ∈Ν* e (f f)(x) = 3.x4, determine a e n


f(x) = a.xn, n∈ IΝ

Logo,

(f f)(x) = f(f(x)) = a.(f(x))n

Daí,

(f f)(x) = f(f(x)) = a.( a.xn)n = a. an.xn2

(f f)(x) = an+1 .xn2 = 3.x4

(f f)(x) = 3.x4

Dessa maneira, concluímos que:

n² = 4 e n ∈Ν* ⇒ n = 2

an+1 = 3 ⇒ a³ = 3 ⇒ a = 3 3

5) Considere as funções f: ℜ→ℜ e g: ℜ→ℜ dadas por:

f: ℜ→ℜ/ f(x) = 2x + b

e

g: ℜ→ℜ/ g(x) = x²

Em que b é uma constante. Conhecendo-se a composta g f: ℜ→ℜ x → g(f(x)) =

4x² – 12x + 9, podemos afirmar que b é elemento de qual conjunto?


132

a) A = (-4; 0)

b) B = (0; 2)

c) C = (2; 4)d) D = (4; - ∞) e) E = { }

Solução: temos

f(x) = 2x + b e g(x) = x²

Daí,

g(f(x)) = ((f(x))² = g(f(x)) = (2x + b)²

Por outro lado,

g(f(x)) = 4x² – 12x + 9

Portanto, temos a igualdade:

(2x + b)² = 4x²– 12x + 9

Ou seja, da identidade entre polinômios, segue:

b = – 3

Dessa forma, b é um elemento do conjunto A = (-4; 0) e, portanto, a resposta

correta é a letra A.

6) Se f(2x+1) = x com x ∈ ℜ, encontre f(x).

Solução: nesse caso, vamos pensar da seguinte forma:

2x + 1 = t

Temos

x = 21−t

Daí,

f(2x + 1) = x

Segue que:

f(t) = 21−x

i) Não podemos confundir a notação g f com a notação g.f. Observe também que a grafia g f está “às avessas”, ou seja, a primeira função que se aplica é f e a segunda é g.

ii) Quando tomamos duas funções f e g, podemos pensar em duas funções compostas, g f e f g, para as quais se têm respectivamente:

(g f)(x) = g(f(x))e

(f g)(x) = f(g(x))iii) Note que a composição de funções não é comutativa, ou seja, (g f)

(x) em geral é diferente de (f g).


133

7) Sejam f e g funções definidas por f(x) = 5x – 3 e g(x) = 2x + k, determine o valor de k para que tenhamos (g f) = (f g).

Solução: observe que f g e g f são funções de ℜ em ℜ, pois f e g são funções definidas em ℜ. Então, para que ocorra a igualdade f g = g f, deve-se ter (f g)(x) = (g f) (x) = ou seja:

(f g)(x) = f[g(x)] = 5.g(x) – 3 = 5.(2x + k) – 3 = 10x + 5k – 3

(g f) (x) = g[f(x)] = 2.f(x) + k = 2.(5x – 3) + k

Logo, devemos ter:

5k – 3 = – 6 + k

4k = – 3

k = 34

−

5.4 A FUNÇÃO INVERSA DE F(X)Agora vamos trabalhar com outro conceito importante, relacionado à inversão de funções ou o conhecimento da função inversa de uma dada função y = f(x). Nesse contexto, de forma bastante simples, percebemos que a variável dependente se torna a variável independente e vice-versa.

Figura 86 - A inversão de papéis das variáveis dependente e independente.


Porém, para definir formalmente o conceito de função inversa, necessitamos de alguns conceitos auxiliares – já que não é toda função que admite função inversa. São eles: função injetora, função sobrejetora e função bijetora.


134

Figura 87 - Conceitos necessários para a definição de função inversa.


5.4.1 Função injetoraDizemos que uma função f: A → B é uma função injetora se, e somente se, para cada par de valores distintos em A tivermos imagens distintas em B, isto é:

x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

Ou, equivalentemente:

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

Figura 88 - A interpretação da definição de função injetora.



135

5.4.2 Função sobrejetoraDizemos que uma função f: A → B é uma função sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao seu próprio contradomínio B.

Figura 89 - Interpretação da definição de função sobrejetora.


5.4.3 Função bijetoraDizemos que uma função f: A → B é uma função bijetora se, e somente se, ela for injetora e também sobrejetora.

Figura 90 - Interpretação da definição de função bijetora.


Resumindo:

Figura 91 - Caracterização da função bijetora.



136

Vejamos alguns exercícios.

1) A função f, de ℜ em ℜ, definida por f(x) = x³, é bijetora?

Solução: Sim, pois para qualquer ponto y do seu contradomínio existe um único x em seu domínio, 3x y= , tal que f(x) = y. Note que f é sobrejetora e injetora.

2) Considerando as funções a seguir, classifique-as da seguinte forma:

I – se ela for injetora e não sobrejetora;

II – se ela for sobrejetora e não injetora;

III – se ela for bijetora;

IV – se ela não for nem injetora nem sobrejetora.

a) f: ℜ→ℜ / f(x) = x² f: ℜ→ℜ+ / f(x) = x²

b) f: ℜ+→ℜ / f(x) = x²

c) f: ℜ+→ℜ+ / f(x) = x²

d) f: ℜ-→ℜ+ / f(x) = x²


a) em f: ℜ→ℜ / f(x) = x², o domínio da função é o conjunto dos números reais e o contradomínio.

Figura 92 - Interpretação da letra (a).


Além disso, temos f(x) = x², x ∈R ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (a) é Imf = ℜ+. Por outro lado, note que não podemos afirmar que x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), já que, por exemplo, – 4 ≠ 4 e f(– 4) = f(4) = 16. Portanto, concluímos que a função f:ℜ→ℜ / f(x) = x² não é injetora nem sobrejetora, ou, ainda, seria classificada como tipo IV.

b) Em f:ℜ→ℜ+/ f(x) = x², o domínio da função é o conjunto dos números reais e o contradomínio é o conjunto ℜ+.

Figura 93 - Interpretação da letra (b).



137

Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (b) é Imf = ℜ+. Assim, concluímos que a função é sobrejetora. Por outro lado, não podemos afirmar que x¹ ≠ x² ⇒ f(x¹) ≠ f(x²), já que, por exemplo, – 4 ≠ 4 e f(– 4) = f(4) = 16. Portanto, concluímos que a função f: ℜ→ℜ+/ f(x) = x² é sobrejetora e não injetora, ou, ainda, seria classificada como tipo II.

c) Em f: ℜ→ℜ+/ f(x) = x², o domínio é o conjunto ℜ+e o contradomínio é o conjunto ℜ.

Figura 94 - Interpretação da letra (c).


Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ+ ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (c) é Imf = ℜ+. Concluímos que a função não é sobrejetora. Além disso, observe que x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x²), pois não existem dois números positivos distintos cujos quadrados não sejam distintos, ou seja, a função é injetora. Portanto, concluímos que a função f:ℜ+→ℜ/ f(x) = x² não é sobrejetora, porém é injetora, ou, ainda, seria classificada como tipo I.

d) Em f: ℜ+→ℜ+/ f(x) = x², o domínio é o conjunto ℜ+, e o contradomínio é o conjunto ℜ+.

Figura 95 - Interpretação da letra (d).


Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (d) é Imf = ℜ+, daí concluímos que a função é sobrejetora. Além disso, temos x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), pois mais uma vez, claramente, não existem dois números positivos distintos cujos quadrados não sejam distintos, portanto, a função é injetora. Então, concluímos que a função f: ℜ+→ℜ+ / f(x) = x² é sobrejetora e injetora, ou seja, a função é bijetora, classificada como tipo III.


138

e) Em f: ℜ-→ℜ+ / f(x) = x², o domínio é o conjunto ℜ-, e o contradomínio é o conjunto ℜ+.

Figura 96 - Interpretação da letra (e).


Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ- ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (d) é Imf = ℜ+, e concluímos que a função é sobrejetora. Além disso, temos que x1 ≠ x2⇒ f(x1) ≠ f(x2), já que dois números negativos distintos possuem quadrados distintos, ou seja, a função é injetora. Portanto, concluímos que a função f: ℜ-→ℜ+ / f(x) = x² é sobrejetora e injetora, ou seja, a função é bijetora, classificada como tipo III.

Vamos aos exercícios:

1) Considere f uma função bijetora tal que f(0) = 0, f(1) = – 2, f(5) =31

. Encontre f-1(0), f-1(– 2) e

f-1(5), em que f-1 é a inversa da função f.

Solução: nessas condições, (u; v) ∈ f, então (v; u) ∈ f-1, temos:

f(0) = 0 ⇒ f-1(0) = 0

f(1) = – 2 ⇒ f-1(– 2) = 1

f(5) =31 ⇒ f-1(

31 ) = 5

f-1 (5) = ? (faltam dados para encontrar a inversa de 5).

2) Sendo f: ℜ→ℜ tal que f(x) = 2x – 1, encontre f-1.

Solução: na função f, segue que y = 2x – 1. Como (u; v) ∈ f implica (v; u) ∈ f-1, temos na função inversa f-1 que x = 2y – 1.

x = 2y – 1 ⇒ x + 1 = 2y ⇒ y = 21+x

3) Sendo f uma função bijetora, tal que f(x) = 2512

+−

xx , encontre f-1.

Solução: na função f, y = 2512

+−

xx , e, consequentemente, em f-1, temos:

x = 2512

+−

yy

⇒ 5xy + 2x = 2y – 1 ⇒ 2x + 1 = 2y – 5xy ⇒ 2x + 1 = y.(2 – 5x) ⇒

y = xx

5212

−+


139

4) Sendo f:ℜ-→ℜ+ / f(x) = x², encontre f-1.

Solução: na função f, v = x², logo em f-1 temos que x = y², isto é, y = x ou y = – x . Como f foi definida de ℜ- em ℜ+, a sua inversa f-1, conforme a definição, é determinada de ℜ+ em ℜ -.

Figura 97 - Interpretação da função f do exemplo.


Logo, para a função f-1, temos:

Figura 98 - A interpretação da função f do exemplo.


Portanto, afirmamos que f-1 = – x .

1) Se f é uma função bijetora de A em B, então o domínio e o contra-domínio de f são respectivamente o contradomínio e o domínio da sua inversa f .

2) Considerando f uma função bijetora e f a sua inversa, então f(f (x)) = f (f(x)) = x para todo x no domínio.

3) Se f é uma função bijetora e (u; v) f, então (v; u) f e, por con-sequência, os gráficos de f e f são curvas simétricas com relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.


140

Figura 99 - Simetria entre os gráficos de f e f-1.


1) Assinale a alternativa verdadeira: se duas funções são inversas, como são seus gráficos?

a) Simétricos em relação ao eixo x.

b) Simétricos em relação ao eixo y.

c) Simétricos em relação à origem.

d) Simétricos em relação à bissetriz do segundo e quarto quadrantes.

e) Simétricos em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Solução:

A resposta correta é a letra (e), já que os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares que, na verdade, são o primeiro e terceiro quadrantes.

2) Das figuras a seguir, qual representa o gráfico de uma função f e sua inversa f-1?

Figura 100 - Gráficos de f e f-1 das alternativas que aparecem no exemplo.



141

Solução: a resposta correta é a letra c, já que os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

3) Entre os gráficos a seguir, qual o melhor que se adapta a uma função bijetora (injetora e sobrejetora) com domínio IR e IR+?

Figura 101 - Gráficos de f das alternativas que aparecem no exemplo.


Solução: de acordo com os aspectos teóricos discutidos, concluímos que a alternativa correta é a letra B.

5.5 COMO RECONHECER A TIPOLOGIA DE FUNÇÕES ATRAVÉS DE GRÁFICOSSeja f uma função de ℜ em ℜ, podemos verificar graficamente se f é sobrejetora, injetora ou bijetora, a partir do momento em que traçamos retas paralelas ao eixo das abscissas x pelos pontos (0; y). Dessa maneira, temos:


142

se essas retas encontram o gráfico de f em “pelo menos um” ponto, f é sobrejetora;

Figura 102 - Visualizando geometricamente uma função sobrejetora.


2) se essas retas encontram o gráfico de f “no máximo” em um ponto (há retas que não o encontram, mas aquelas que encontram o fazem em um único ponto), a função é injetora.

Figura 103 - Visualizando geometricamente uma função injetora.


143

3) Se essas retas encontram o gráfico de f “no máximo” em um e só um ponto, a função é bijetora.

Figura 104 - Visualizando geometricamente uma função bijetora.


5.6 A FUNÇÃO MODULARA função modular é definida a partir do que já conhecemos como sendo o valor absoluto ou o módulo de x, que, como vimos, é definido pela função de dupla sentença:

| x | =

<−≥

0,0,

xsexxsex

Assim, temos:

| 0 | = 0

| 1 | = 1

| – 2| = – (– 2 ) = 2

| 4 | = 4

| 8 | = 8

| – 9| = – (– 9) = 9

| – 0,8| = – (– 0,8) = 0,8

| – 1,3| = – (– 1,3) = 1,3

| – 90| = – (– 90) = 9

144

Dessa maneira, surge naturalmente a função módulo de x e as funções que levam em sua lei de formação o valor absoluto, denominadas de funções modulares. Vejamos alguns exercícios que exemplificam essas funções.

1) Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a qual denotamos por f(x) = | x |.

Solução: fazendo a plotagem de f(x) = x para x ≥ 0 e de f(x) = – x para x < 0, construimos o gráfico da função f(x) = | x |, como você pode ver na figura a seguir.

Figura 105 - O gráfico da função f(x) = | x |.


Conhecendo o gráfico de uma função f(x), podemos obter de maneira muito simples o da função y = | f(x) |, da seguinte maneira:• mantemos a curva y = f(x) nos intervalos em que f(x) ≥ 0;• tomamos o simétrico da curva y = f(x) com relação ao eixo das

abscissas nos intervalos em que f(x) < 0.

2) Vamos representar geometricamente a função f definida por f(x) = | x + 2 |.

Solução: inicialmente, devemos perceber que f(x) = 2, 2

( 2), 2x se x

x se x+ ≥ −

− + < − , logo, de acordo com

a observação anterior, representamos seu gráfico como segue.

145

Figura 106 - O gráfico da função f(x) = | x + 2 |.


3) Vamos representar geometricamente a função f definida por f(x) = | x – 2 |.

Solução: note que f(x) = 2, 2

( 2), 2x se x

x se x− ≥

− − <, ou seja, podemos escrever f(x) = x – 2 para x ≥ 2

e f(x) = – x + 2 para x < 2.

Figura 107 - O gráfico da função f(x) = | x – 2 |.

146

5.7 PROPRIEDADES ENVOLVENDO O VALOR ABSOLUTO Vamos enumerar algumas propriedades importantes envolvendo o valor absoluto.

1) Para todo número real x, temos | x | = | – x |.

| 7 | = | – 7 | = 7

| 4 | = | – 4 | = 4

2) Para todo número real x, temos |x²| = |x|².

x = 6 ⇒ x² = 36, |x²| = |36| = 36 e |x|² = |6|² = 6² = 36

x = 0 ⇒ x² = 0, |x²| = |0| = 0 e |x|² = |0|² = 0² = 0

x = -5 ⇒ x² = 25, |x²| = |25| = 25 e |x|² = |-5|² = 5² = 25

Note que não é correto considerar 2x x= igual a x, pois isso é

verdadeiro para x ≥ 0, mas é falso para x < 0. Vejamos:

• 2 23 3 9 3x x x= ⇒ = = = =

• 2 24 ( 4) 16 4x x x= − ⇒ = − = = ≠

Dessa maneira, o correto é afirmar que, para todo x ∈ℜ, temos 2 | |x x= .

3) Para todo x, y ∈ℜ, temos |x.y| = |x| . |y|.

x = 2, y = 3 ⇒ |2.3| = |6| = 6 e |2| . |3| = 2.3 = 6

x = 1, y =-2 ⇒ |1.(-2) |-2| = 2 e |1| . |-2| = 1.2 = 2

4) (primeira desigualdade triangular) Para todo x, y ∈ℜ, temos |x.y| ≤ |x| . |y|.

5) (segunda desigualdade triangular) Para todo x, y ∈ℜ, temos ||x.y|| ≤ |x - y|.

5.8 EQUAÇÕES MODULARES Chamamos de equações modulares aquelas em que a variável aparece dentro do valor absoluto. Para resolver essas equações é necessário ter em mente as propriedades que acabamos de listar com relação ao valor absoluto de x.

Vejamos alguns exercícios envolvendo equações modulares.

1) Resolva:

a) | x | = 0

b) | x | = – 3

c) | x | = 6

d) |x – 5| = 3


147

e) |3x – 1|= – 5

f) |x|² + 2|x| – 15 = 0

g) |3x – 5| = |x + 3|

Solução: nesses casos, temos:

a) | x | = 0 então x = 0, ou seja, 0 é o único número real cujo módulo é igual a zero. Então S = {0}.

b) | x | = – 3. Note que não existe valor real de x, pois o valor de um módulo nunca é negativo. Logo S = { }.

c) | x | = 6 ⇒ x = 6 ou x = – 6, pois | 6 | = 6 e | – 6 | = 6. Daí S = {6, – 6}.d) |x – 5| = 3 ⇔ x – 5 = 3 ou x – 5 = – 3, logo, resolvendo as equações, obteremos x = 8 ou x = 2.

Portanto, S = {2, 8}.

e) |3x – 1|= – 5. Aqui, mais uma vez, note que não existe módulo com valor negativo, logo não existe valor real para x que satisfaça a igualdade e, portanto, S = { }.

f) |x|²+ 2.|x| – 15 = 0, aqui vamos fazer a substituição y = | x |, e y necessariamente tem de ser maior ou igual a zero, logo:

+ 2y – 15 = 0

∆ = 64

y’ = 3 e y’’ = – 5 (valor não convém, pois y ≥ 0 )

Como |x| = y e y = 3, segue que:

|x| = 3 ⇔ x = 3 ou x = – 3

S = {– 3, 3}

g) |2x - 1|= x + 3

Condição: x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 3 (o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo), daí:

|2x – 1| = x + 3 ⇔ 2x – 1 = x + 3 ou 2x – 1 = – (x + 3) (definição de módulo)

Resolvendo as equações obtidas, segue:

» 3x – 5 = x + 3 ⇒ 3x – x = 3 + 5 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4

» 3x – 5 = – (x + 3) ⇒ 3x + x = – 3 + 5 ⇒ 4x = 2 ⇒ x = 12

Portanto, S = {12 , 4}.

5.9 INEQUAÇÕES MODULARES

São as que envolvem uma variável dentro do valor absoluto.Vamos analisar algumas desigualdades que podem ser resolvidas usando apenas a definição de valor absoluto.

I) |x| ≥ – 4 ⇒ S = ℜ (todo número real tem módulo ≥ 0 e, portanto, ≥ – 4).

II) |x| ≤ – 4 ⇒ S = { } (não existe número real com módulo negativo).

148

III) |x| ≥ – 4 ⇒S = ℜ.

IV) |x| > 0 ⇒ S = ℜ.

V) |x| < 0 ⇒ S = { }.

VI ) |x| ≤ 0 ⇒ S = {0}.

VII) |x| < 4 ⇒ S = {x ∈ℜ / – 4 < x < 4}.

VIII) |x| > 4 ⇒ S = {x ∈ℜ / x < – 4 ou x > 4}.

A partir das desigualdades descritas anteriormente, podemos visualizar duas importantes propriedades direcionadas à resolução de inequações modulares:

i) | x | < a ⇒ – a < x < a;

ii) | x | > a ⇒ x < – a ou x > a.

Preste atenção nos exercícios a seguir.

1) Vamos resolver as seguintes inequações modulares:

a) | x – 3 | < 7

b) | x – 1 | ≥ – 5

c) | 5x – 3 | ≤ – 2

d) 2 < | x – 1 | < 4

Solução:

a) |x – 3| < 7

|x – 3| < 7 ⇔ – 7 < x – 3 < 7 ⇔ – 7 < x – 3 < 7 ⇔ – 7 + 3 < x < 7 + 3 ⇔ – 4 < x < 10. Ou seja, S = {x ∈ℜ / – 4 < x << 10}.

b) |x – 1| ≥ 5

|x – 1|≥ 5 ⇔ x – 1 ≤ – 5

x – 1 ≥ 5 ⇒ x ≥ 6 (I)

x – 1 ≤ – 5 ⇒ x ≤ – 4 (II)

Fazendo a união, vamos obter S = {x ∈ℜ / x ≤ – 4 ou x ≥ 6}.

c) |5x – 3|≤ ≤ – 2

Todo módulo é maior ou igual a zero, portanto nunca pode ser menor ou igual a – 2. Logo, S = { }.

d) 2 < |x – 1| < 4

2 < |x–1| < 4 equivale ao sistema | 1| 4| 1| 2xx

− < − <

Daí,

1) | x – 1 | < 4 ⇔ – 4 < x – 1 < 4 ⇔ – 4 + 1 < x – 1 + 1 < 4 + 1 ⇔ – 3 < x < 5

2) | x – 1 | > 2 ⇔ x – 1 > 2 ou x – 1 < – 2 ⇔ x > 3 ou x < – 1

Portanto, S = {x ∈ℜ / – 3 < x < 1 ou 3 < x < 5}.


149

CONCLUSÃONesta aula, apresentamos as propriedades adicionais sobre a teoria de funções, especificamente a paridade, composição e inversão de funções, e trabalhamos com a função modular. É interessante ressaltar que essas propriedades são muito importantes para visualizar o comportamento de funções mais complexas. Trabalharemos na sequência com a função exponencial e logarítmica, e muitas informações acerca das duas serão interpretadas a partir do momento em que uma é a função inversa da outra. Também estudaremos com mais detalhes as funções trigonométricas principais, como seno e cosseno, e a paridade entre elas será muito importante para a interpretação geométrica.

AULA 6Função Exponencial e Aplicações, Logaritmo e Função

Logarítmica

INTRODUÇÃONesta aula, vamos estudar as principais propriedades acerca das funções exponenciais, utilizadas especialmente em problemas relacionados à meia-vida, uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. Em outras palavras, é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. A função exponencial também é aplicada em problemas relacionados ao crescimento de populações diversas.

Vamos começar resolvendo equações exponenciais, e logo na sequência veremos os principais aspectos relacionados à função exponencial. Nesta aula, você também estudará o conceito de logaritmo e propriedades relacionadas. A partir disso, poderemos definir a função logarítmica e interpretá-la geometricamente. Boa aula!

152

OBJETIVOS » Estar plenamente familiarizado com as equações exponenciais.

» Compreender a definição formal da função exponencial.

» Caracterizar algébrica e geometricamente o domínio e conjunto imagem de funções exponenciais.

» Identificar e representar geometricamente funções exponenciais.

» Estar plenamente familiarizado com as principais propriedades operatórias envolvendo a potenciação.

» Compreender as principais propriedades sobre as funções exponenciais.

» Caracterizar funções exponenciais crescentes e decrescentes.

» Interpretar e resolver problemas simulados envolvendo as funções exponenciais.

» Compreender e aplicar a definição formal de logaritmo na resolução de problemas simulados.

» Estar plenamente familiarizado com as propriedades operatórias dos logaritmos.

» Interpretar a utilização dos logaritmos dentro do contexto da Engenharia Econômica.

» Compreender a definição formal da função logarítmica.

» Caracterizar algébrica e geometricamente o domínio e conjunto imagem de funções logarítmicas.

» Identificar e representar geometricamente funções logarítmicas.

» Compreender as principais propriedades acerca das funções logarítmicas.

» Caracterizar funções logarítmicas crescentes e decrescentes.

» Interpretar e resolver problemas simulados envolvendo as funções logarítmicas.

6.1 EQUAÇÕES EXPONENCIAISQuando o assunto são as equações exponenciais, falamos sobre equações em que a incógnita ou variável aparece como expoente. Observe: quando escrevemos f(x) = x², por exemplo, temos a função potência. Já a função exponencial aparece como f(x) = 2x. Perceba que na função potência a base é a variável independente, enquanto na exponencial, o expoente é a variável.

Desta forma, para resolver uma equação exponencial, vamos considerar b ∈ℜ tal que 0 < b ≠ 1. Então:

bf(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x)

Ou seja, este resultado permite reduzir uma equação exponencial a uma equação equivalente que não apresenta incógnita como expoente.

Exemplos

1) Se 2x = 27, podemos garantir que x = 7.

2) Se tivermos 5x = 510, então x = 10.

3) Note que, se 1x = 15, não podemos garantir que x = 5.

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

153

4) Se (-1)x = (-1)³, não podemos garantir que x = 3.

Veja alguns exercícios envolvendo equações exponenciais diversas, ou seja, vamos caracterizar o conjunto solução de equações exponenciais.

1) Resolva a equação 23x+1 = 128.


23x+1 = 128 ⇔ 23x+1 = 27 ⇔ 3x + 1 = ⇔ x = 2

Logo, o conjunto solução desta equação é dado por S = {2}, ou seja, o único valor de x que faz com que a igualdade anterior se torne uma identidade é x = 2.

2) Caracterize o conjunto solução da equação 5 x -5x+6 = 1.

Solução:

5 x -5x+6 = 1 ⇔ 5 x -5x+6 = 50 ⇔ x² - 5x + 1 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 2


3) Resolva a equação (5x)² - 4.5x = 5.

Solução: aqui, inicialmente vamos tomar 5x = t, daí:

t² - 4t = 5 ⇒ t² - 4t - 5 = 0 ⇒ t = 5 ou t = -1

Então,

» 5x = 5 ⇒ x = 1

» Não existe x real tal que 5x = -1

Portanto, S = {1}.

4) Caracterize o conjunto solução da equação 4 (2 2).2 2. 2 0x x− + + = .Solução: fazendo 2x = t, vem que:

2 (2 2). 2. 2 0 2 2t t t ou t− + + = ⇒ = =

Daí,

» 2 2 1x x= ⇒ = .

»12 12 2 2 2

2x x x= ⇒ = ⇒ = .

Portanto, S = {12

,1}.

5) Caracterize o conjunto solução da equação 1 1 163 2.3 3

27x x x− ++ − = .

Solução: inicialmente, note que podemos reescrever esta equação da seguinte forma:

2

22


154

11

3 162.3 .3 33 27

xx x+ − =

Agora, fazendo 3x = t, vem que:

16 16 16 16 16 53 27 3 27 3 27 9t t tt t t t+ − = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

Logo,

213 3 3 29

x x x−= ⇒ = ⇒ = −

Portanto, S = {– 2}.

6) Resolva a equação 1 1

xx

x x = .

Solução: neste caso, observe que temos a condição x > 0, já que há uma raiz quadrada envolvida no problema. Daí:

21

0 4 12

xx

x

xx x x x ou x ou x−

−

≠

−= ⇒− = ⇒ = = =

Observe que x = 0 (não convém) por conta da condição inicial x > 0.


7) Caracterize o conjunto solução da equação 7x + 5x + 1 = 0.

Solução: observe primeiramente que:

7x > 0

5x > 0

1 > 0

Desta maneira, percebemos que o primeiro membro da equação do problema nunca se anula. Em outras palavras, isso significa que não existe x real, de tal forma que a igualdade anterior se torne uma identidade. Portanto, S = { }.

8) Resolva a equação 4x - 2.6x + 9x = 0.

Solução: esta equação pode ser reescrita como:

(2²)x - 2.(2.3)x + (3²)x = 0

Ou seja,

2²x - 2.2x.3x + 3²x = 0


155

Agora, divida ambos os membros por 3²x, obtendo:

2 2

2 2 22 2 .3 32. 03 3 3

x x x x

x x x− + =22 22. 1 0

3 3

x x − + =

Fazendo 23

x

t = , vem que:

t² - 2t + 1 = 0 ⇒ (t - 1)² = 0 ⇒ t = 1

Logo,

02 2 21 03 3 3

x x

x = ⇒ = ⇒ =

Portanto, S = {0}.

Perceba que a resolução de equações exponenciais, ou a descrição do seu conjunto solução, possui procedimentos algébricos que visam principalmente à simplificação delas em potências com bases iguais na variável incógnita.

9) Determine o valor de m, de modo que a equação 4x - m.2x + m - 1 = 0 admita raízes reais e distintas.

Solução: vamos fazer 2x = y, logo:

y² - my + (m - 1) = 0

Observe que, se esta equação admitir 2 raízes reais e negativas (y’ e y’’), ela não admitirá raízes reais, pois (2x > 0, ∀x∈ℜ). No entanto, se esta equação admitir 2 raízes de sinais contrários, ela terá uma raiz. Desta forma, para que a equação proposta admita duas raízes reais e distintas, é necessário que a equação y² - my + (m - 1) = 0 admita duas raízes reais e positivas. Para tal, de acordo com os aspectos teóricos discutidos sobre as funções do segundo grau, devemos ter ∆ > 0, m > 0 e (m – 1) > 0. Daí:

» ∆ = m² - 4. (m-1) = m² - 4m + 4 = (m-2)², ou seja, ∆ > 0 para todo m real com m ≠ 2. » Para (m – 1) ser maior do que zero, é preciso ter m > 1.

» E, por fim, devemos ter também m > 0.

Assim, concluímos que a equação 4x - m.2x + m - 1 = 0 admitirá raízes reais e distintas para m > 1 e m ≠ 2.

6.2 A FUNÇÃO EXPONENCIALSendo b um número real positivo e diferente da unidade (b ≠ 1), chamamos de função exponencial a função definida por:


156

f: ℜ →ℜ*+

x f(x) = bx

Veja alguns exemplos.

1) A função f: ℜ →ℜ*+ definida por f(x) = 2x.

Figura 108 - Gráfico da função exponencial f(x) = 2x.

Fonte: FERREIRA (2013).

Exemplo: a função f: ℜ → ℜ*+ definida por f(x) =

x

21

.

Figura 109 - O gráfico da função exponencial f(x) =

x

21

.



157

2) A função f:ℜ → ℜ*+ definida por f(x) = 3x.



3) A função f: ℜ → ℜ*+ definida por f(x) = 5x.



158

4) A função f: ℜ → ℜ*+ definida por f(x) =

x

31

.

Figura 112 - Gráfico da função exponencial f(x) =

x

31

.


1) De acordo com os exemplos anteriores envolvendo a função exponencial, temos que o seu conjunto imagem é ℜ*

+,já que para todo x real, 2x> 0 e x

21 > 0. Portanto, concluímos que o

conjunto imagem da função exponencial f(x) = bx, com b > 0 e b ≠ 1, é ℜ*+, ou seja, qualquer

que seja o número real x, teremos bx> 0.

2) Se x1> x2, então 21 22 xx > , isto é, a função f(x) = 2x é crescente. Generalizando, concluímos que, se b > 1, x1> x2, então 21 xx bb > , isto é, a função exponencial f(x) = bx é crescente.

3) Se x1> x2, então 1

21 x

< 2

21 x

, isto é, a função f(x) =

x

21

é decrescente. Generalizando,

concluímos que, sendo 0 x2, então 21 xx bb < , isto é, a função exponencial f(x) =

bx é decrescente.

159

Figura 113 - Propriedades fundamentais da função exponencial.


Em símbolos, podemos resumir as principais propriedades da função exponencial de base b, conforme o quadro a seguir.

PROPRIEDADE DESCRIÇÃO

I O conjunto imagem da função exponencial f(x) = bx, com 0 0.

II Sendo b > 1, então se x1> x2 ⇒ 21 xx bb > , isto é, a função exponencial f(x) = bx é

crescente.

IIISendo 0 x2 ⇒ 21 xx bb < , isto é, a função exponencial f(x) = bx é

decrescente.

Quadro 7 - Propriedades da função exponencial bx.

Geometricamente, como mostra a figura a seguir, temos a seguinte disposição:

160

y = 12

x

y = 2x

Figura 114 - Gráficos da função exponencial mostrando seu crescimento e decrescimento.


A fim de se comparar as potências ax e aα, devemos estabelecer qual das três sentenças seguintes é verdadeira:ax > aα, ax = aα, ax < aα

Ou seja, para isso, devemos examinar o comportamento da função exponencial f(x) = ax. Note que aqui temos de observar os casos para a > 1 e 0 < a < 1.>

Veja mais alguns exercícios resolvidos envolvendo a função exponencial.

1) Qual o conjunto imagem da função f: ℜ→ℜ*+ definida por f(x) = 2x+ 1?


x ∈ ℜ ⇒ 2x > 0 ⇒ 2x + 1 > 0 + 1 = 1 ⇒ f(x) > 1

Logo, o conjunto imagem de f(x) = 2x + 1 é o conjunto:

Imf = {y ∈ ℜ / y > 1}

2) Considere os números reais (0,01)2

e (0,01)π. Qual dos dois é maior?

Solução: neste caso, vamos desenhar no programa Winplot o gráfico da função y = (0,01)x. Veja a figura a seguir.

161

Figura 115 - Gráfico da função y = (0,01)x.


Desta forma, como o número π é maior que 2 , concluímos que (0,01)π é menor que (0,01)2

.

3) Qual o conjunto imagem da função f(x) = 2xx 22 −?

Solução: vamos fazer a mudança de variável t = x² – 2 x. Logo, o valor mínimo que t pode assumir é – 1. Isto é, para todo x real, temos que t ≥ – 1, portanto 2t ≥ 2-1, ou, ainda, 2

xx 22 − ≥

12

.

Figura 116 - Gráfico de t = x2 – 2 x.


6.3 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS De acordo com a análise geométrica dos gráficos da função exponencial, conforme feito anteriormente, temos duas afirmações a fazer:

Afirmação 1: se b ∈ℜ e b>1, então ( ) ( ) ( ) ( )f x g xb b f x g x> ⇔ > .

Afirmação 2: se b ∈ℜ e 0 ⇔ < .

162

Note que as duas afirmações permitem reduzir uma inequação exponencial a uma inequação equivalente que não apresenta incógnita como expoente.

Exercícios1) Resolva a seguinte inequação: 7x + 5x+ 1 > 0.

Solução: vimos que a interpretação geométrica do gráfico de y = 7x mostra que 7x > 0, para todo x real, como apresentado na figura a seguir.

Figura 117 - O gráfico da função y = 7x.


Analogamente, para y = 5x, temos que 5x > 0 para todo x real. Como 1 > 0, concluímos que 7x+ 5x+ 1 > 0 para todo x real. Ou, ainda, o conjunto solução de tal inequação é S = ℜ.

2) Caracterize o conjunto solução da inequação 2 1 32 2x − < .

Solução: como a base é menor do que 1, vamos usar a Afirmação 1. Então:

2 1 3 2 2 22 2 1 3 4 0 4 2 2x x x x x− < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ < ⇒ − < <

Portanto, S = {x∈ℜ/ – 2 < x < 2}.

3) Resolva (0,375)2x-1 < (0,375)x-7.

Solução: como a base está entre 0 e 1, usaremos a Afirmação 2. Logo:

(0,375)2x-1 < (0,375)x-7 ⇒ 2x - 1 > x - 7 ⇒ x > -6

Então, S = {x ∈ℜ / x > – 6}.

163

4) Para que valores de x existe 2

(0,5) 1x x− − ?

Solução: devemos impor que 2

(0,5) 1x x− − ≥ 0, daí:

2 2 2 0 2(0,5) 1 0 (0,5) 1 (0,5) (0,5) 0 0 1x x x x x x x x x− − −− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≤ ⇒ ≤ ≤

Logo, S = {x∈ℜ/ 0 ≤ x ≤ 1}.

5) Caracterize o conjunto solução da inequação 2 22

2

xx

x+<

.

Solução: fazendo 2x = t, temos:

22 2 0 1 2tt t t tt+< ⇒ − − < ⇒ − < <

Daí,

-1 < 2x < 2 ⇒ x < 1

Portanto, S = {x∈ℜ/x < 1}.

A Matemática Financeira é a parte da Matemática Aplicada que trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários flu-xos de entrada e saída de dinheiro de caixa, verificados em diferentes momentos. Desta maneira, chamamos de valor futuro (FV) a quantia que um indivíduo deve receber após aplicar um capital inicial (PV), com juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O valor futuro pode ser calculado pela fórmula FV = PV . (1 + i)n. Ou seja, aqui temos o comportamento exponencial aplicado mais uma vez. É interessante ressaltar que o esquema segundo o qual será cobrado juro por um capital aplicado é denominado de regime de capitalização, e juro é o valor que se paga pelo aluguel do dinheiro ao longo do tempo.

6.4 DEFINIÇÃO FORMAL DE LOGARITMO E PROPRIEDADES IMEDIATASPara definir logaritmo, pense na seguinte pergunta: para quais valores de a e b a equação exponencial bx=a apresenta sempre uma única solução? A resposta nos leva ao conhecimento ou definição de logaritmo. Veja algumas situações numéricas:

» 2x = 8 apresenta uma única solução, que é x = 3, já que 2x = 8 = 2³.


164

»

=

161

21 x

apresenta uma única solução, que é x = 4, já que 4

21

161

21

=

=

x

.

» 3x = 9 apresenta uma única solução: x = 2.

» 1x = 4 não apresenta solução.

» 0x = 4 não apresenta solução.

» (-1)x = 2 não apresenta solução.

» 5x = -1 não apresenta solução.

Desta maneira, observe que a equação bx = a admite sempre uma única solução se b > 0, b ≠ 1 e a > 0. Logo, temos naturalmente a seguinte definição de logaritmo: dados dois números reais a e b, ambos positivos com b ≠ 1, existe sempre um único número real x, tal que bx = a. Este expoente x, que deve ser colocado na base b para que o resultado seja a, recebe o nome de logaritmo de a na base b. Em símbolos:

x = logb a ⇔ bx= a

O número a é chamado de logaritmando e b é a base. Alguns logaritmos são fáceis de serem encontrados. Outros são achados em tabelas específicas.

Vamos aos exercícios?

1) Encontre os seguintes logaritmos:

a) 16log4

b) 5log25

c) 1log3

d) 27log9

e) 21log8

f) 1,0log10

g) 32 2log

h)

3125 25log

Solução:

a) 16log4 = x, então 4x = 16 = 4², então concluímos que x = 2. Ou seja, 16log4 = 2.

b) 5log25 = x, então 25x = 5, ou seja, (5²)x = 5. Então, concluímos que 2x = 1, ou seja, x = ½ e, portanto, concluímos que

5log25 = ½.

c) 1log3 = x, então 3x= 1 = 30, então concluímos que x = 0, ou seja, 1log3 = 0.


165

De forma geral, para um número b qualquer, positivo e diferente de 1, temos que 1logb = 0.

a) 27log9 = x, então 27x = 9, ou seja, (3³)x = 3². Logo, concluímos que 3x = 2, ou seja, x = 2/3 e, portanto, 27log9 = 2/3.

b) 21log8 = x, então 8x = 2

1, ou seja, (2³)x = 2

1= 2-1. Concluímos que 3x = – 1, ou seja, x =

31−

e, portanto, 21log8 = 3

1−.

c) 1,0log10 = x, então 10x = 0,1, ou seja, (10)x = 10-1. Concluímos que x = – 1, isto é, 1,0log10

= – 1.

d) 3

2 2log = x, então 2x = 3 2 , ou seja, 2x =

3 2 = 2 31

. Dessa forma, concluímos que x = 31

, ou seja, 3

2 2log = 31

.

e) 3125 25log = x, então 125x =

3 25 , ou seja, (5³)x = 3 25 = 5 3

2

. Logo, 3x = 32

, ou ainda, x

= 92

e, portanto, temos 3

125 25log = 92

.

2) Encontre um número x, tal que 36log x = 2.

Solução:

De 36log x = 2,

Segue que

x² = 36,

Ou seja,

x = ± 36

Ou, ainda,

x = ± 6

Como não existe sentido em falarmos 36log 6− , já que a base deve ser um número positivo, ficaremos somente com x = 6 e, portanto, x = 6.

166

Assim, a partir dos exemplos discutidos anteriormente, enumeramos no quadro a seguir algumas consequências imediatas da definição de logaritmo. Isto é, se b

∗+ℜ∈ – {1} e a

∗+ℜ∈ , surgem

naturalmente tais considerações.

CONSEQUÊNCIA DESCRIÇÃO

I1logb = x ⇔ b x = 1 ⇔ b x = b 0 ⇔ x = 0 ⇔ 1logb = 0

IIbblog = x ⇔ b x = b ⇔ b x = b1 ⇔ x = 1 ⇔ bblog = 1

III kb blog = x ⇔ b

x= b

k ⇔ x = k ⇔

kb blog = k

IV ablog = c ⇔ bc

= a ⇔ bablog

= a

Quadro 8 - Consequências imediatas da definição de logaritmo.

Vimos que, na expressão ablog , a é o logaritmando e b é a base do

logaritmo. Se x > 0, então x10log chama-se logaritmo decimal de x

(convencionaremos omitir o número 10 na notação do logaritmo decimal). Se x > 0, então xelog chama-se logaritmo neperiano de

x, ou logaritmo natural de x.

Quatro propriedades são de fundamental importância nos cálculos envolvendo os logaritmos, a fim de simplificá-los e entendê-los melhor. Desta forma, considerando b ∈ℜ*

+ – {1} e a ∈ℜ*+,

temos as seguintes propriedades operatórias dos logaritmos enumeradas:

PROPRIEDADE DESCRIÇÃO

P1 ).(log 21 aab = 1log ab + 2log ab (logaritmo do produto)

P2

2

1logaa

b

= 1log ab – 2log ab (logaritmo do quociente)

P3 αablog = α . ablog (logaritmo da potência)

P4ablog = b

a

c

c

loglog

, com 0 < b ≠ 1 (mudança de base)

Quadro 9 - Propriedades dos Logaritmos.


167

Veja alguns exercícios envolvendo o conceito formal e as propriedades relacionadas aos logaritmos.

1) Qual é o conjunto dos valores reais de x para os quais existe 2log (x 5)x− + ?

Solução: pela definição de logaritmo, devemos ter como condição de existência que:

» x + 5 > 0 ⇒ x > – 5 (I)

» x – 2 > 0 ⇒ x > 2 (II)

» x – 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3 (III)

Como x deve satisfazer simultaneamente as três condições, segue que o conjunto dos valores reais de x, para os quais existe o logaritmo em questão, é {x∈ℜ/ x > 2 e x ≠ 3}.

2) Dados loga m = 11e loga n = 6, qual é o valor de 3 2log ( )a m n ?

Solução: neste caso, temos:3 2 3 2log ( ) log log 3.log 2.log 3.11 2.6 45a a a a am n m n m n= + = + = + =

3) Escreva as expressões a seguir por meio de um único logaritmo:

a) 3. 4log 7

b) 3log x – 3log 2

c) 5log 4 + 5log x – 5log 3

Solução: a partir das propriedades operatórias sobre os logaritmos, podemos escrever:

a) 3. 4log 7 = 3

4 4log 7 log 243=

b) 3log x – 3log 2 = 3log2x

c) 5log 4 + 5log x – 5log 3 = 5 5 54log 4 log 3 log3xx − =

4) Em quantos anos 500 g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100 g? Use Q = 0. rtQ e− , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t

é o tempo em anos.

Solução: sabemos que:

Q = 0. rtQ e−

Então:

100 = 500.0,03.te−

Que é equivalente a:

15 =

0,03.te− ⇒ ln(15

) = ln(0,03.te−

) ⇒ ln1 – ln5 = – 0,03.t.(lne) ⇒ – ln5 = – 0,03.t

168

Logo,

t = ln 5 1,6094 53,60,03 0,03

= ≅ anos

5) Resolva a equação 27 0xe − = , dados log 0,43e = e log3 0,48= .Solução: neste caso, temos:

27 0xe − =

27xe =log log 27xe =

3log log3xe =

.log 3.log3x e =

x = 3.log3 1,44 3,34log 0,43e

= ≅

6.5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Considerando b um número real positivo e diferente da unidade (0 < b ≠ 1), chamamos de função logarítmica:

g: ℜ*+ → ℜ

x g(x) = xblog

Note que, de acordo com a definição formal de logaritmo, ele só é definido para números positivos, por isso o domínio da função logarítmica é o conjunto ℜ*

+. Se a base for um número entre 0 e 1,

e o logaritmando for maior que 1, o logaritmo será um número negativo. Caso o logaritmando seja menor que 1, o logaritmo será um número positivo.

Veja exemplos:

Na figura a seguir, apresentamos geometricamente a função logarítmica g: ℜ*+→ℜ dada por g(x)

= x3log .


169

Figura 118 - O gráfico da função x3log

.Fonte: FERREIRA (2013).

Agora, veja a representação geométrica da função logarítmica g: ℜ*+ →ℜ dada por g(x) = x

21log

Figura 119 - O gráfico da função x

21log

.


O gráfico da função logarítmica g: ℜ*+ →ℜ dada por g(x) =

x31log

é apresentado na figura a

seguir.

170

Figura 120 - O gráfico da função x31log

.


Note que, da definição de logaritmo, se 11log yxb = e 22log yxb = , então 1

1ybx = e

22

ybx = , em que {x1, x2}∗+ℜ⊂ . Considerando x1 > x2, temos:

<<<<>>>

10,loglog,,1,loglog,,

2121

2121

bsexxéistoyybsexxéistoyy

bb

bb

Ou seja, de modo resumido, segue:

b > 1 ⇔ a função g(x) = xblog é crescente.

171

Figura 121 - O gráfico da função f(x) = x2log – função crescente.


De outra forma,

0 < b < 1 ⇔ a função g(x) = xblog é decrescente.

Figura 122 - O gráfico da função f(x) = x21log – função decrescente.


172

Repare que f: ℜ→ℜ*+, f(x) = bx e g: ℜ*

+ → ℜ, g(x) = xblog são funções bijetoras (b > 0 e b≠1), ou seja, são sobrejetoras e injetoras. Desta forma, podemos pensar nas inversas de cada uma delas. Na verdade, uma é a função inversa da outra. Para tal, observe que:

f(g(x)) = b)( xg = b

xblog = x, para todo x, x ∈ℜ*

+,e

g(f(x)) = log b bx

= x, para todo x real. Portanto, com base nesta constatação, podemos afirmar

que g(x) = xblog

é a função inversa de f(x) = bx e vice-versa. Geometricamente, isso significa que os gráficos de g e f são curvas simétricas com relação à reta y = x, i.e., bissetriz dos quadrantes ímpares, como discutimos na parte de inversão de funções.

Geometricamente, esta simetria é apresentada na figura a seguir.

x2 x2log

Figura 123 - Figura 6 – A simetria entre os gráficos das funções f(x) = 2x(vermelho) e a função g(x) = x2log (azul).


Em linhas gerais, para os valores de b, temos a representação da simetria entre os gráficos mostrados na figura a seguir.


173

Figura 124 - A simetria entre os gráficos das funções logarítmica e exponencial.


6.6. EQUAÇÕES LOGARÍTMICASVamos verificar agora como resolver as equações nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo.

Exercícios

Caracterize o conjunto solução da equação 2 2log ( 3) log 2x x− + = .

Solução: inicialmente, você deve analisar a condição de existência dos logaritmos que aparecem na equação, ou seja:

x – 3 > 0 e x > 0, então x > 3 e x > 0. Isto é, x > 3.

Temos dois modos diferentes de resolução.

Primeiro modo: definição de logaritmo

2 2log ( 3) log 2x x− + = ⇒ 2log [( 3). ] 2x x− =

Usando a definição de logaritmo:

(x – 3).x = 2² ⇒ x² – 3x – 4 = 0

∆ = 9 + 16 = 25

x’ = 4 e x’’ = – 1

Segundo modo: injetividade da função logarítmica

2 2 2 2 2log ( 3) log log 2² log [( 3). ] log 4x x x x− + = ⇒ − =

Usando o fato que a função logarítmica é injetiva, temos:

(x – 3).x = 4 ⇒ x² – 3x – 4 = 0

∆= 25

x’ = 4 e x’’ = – 1

174

Note que, como a condição de existência é x > 3, então 4 ∈S e – 1 ∉S. Portanto, concluímos que S = {4}.

Para quais valores de x temos a igualdade 2

3 3log ( 3 1) 1 log ( 2)x x x− − = + − ?

Solução: aqui, a condição de existência é dada por: x² – 3x – 1 > 0 e x – 2 > 0, logo:

2 23 3 3 3 3log ( 3 1) 1 log ( 2) log ( 3 1) log 3 log ( 2)x x x x x x− − = + − ⇒ − − = + −

Ou seja,2 2 2

3 3log ( 3 1) log 3.( 2) 3 1 3 6 6 5 0x x x x x x x x− − = − ⇒ − − = − ⇒ − + =

Logo,

∆ = 16

x’ = 5 e x’’ = 1

Verificação:

» ² 3 1 25 15 1 9 05

2 5 2 3 0x x

xx

− − = − − = >• = − = − = >

E

» ² 3 1 1 3 1 3 01

1 2 1 0x x

x− − = − − = − <

• = − = − <

Daí concluímos que 5∈S e 1∉S e, portanto, S = {5}.

6.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICASComo o nome já diz, são inequações que envolvem as funções logarítmicas. Desta forma:

2 2log ( 1) log 6x + ≥

12

log 1x ≥

3 3log log ( 8) 3x x+ − <

Estes são exemplos típicos de inequações logarítmicas. Para resolver uma inequação deste tipo, é necessário usar as informações já discutidas sobre os logaritmos e a função logarítmica.

175

A função logarítmica f(x) = loga x

é crescente quando a > 1. Neste caso, conservamos o sentido da desigualdade. Por exemplo, para x > 0, temos 7 7

4 4

log log 3 3x x> ⇔ > .

A função logarítmica f(x) = loga x é decrescente quando 0 < a < 1. Neste caso, trocamos o sentido da desigualdade. Por exemplo, para x > 0, temos 3 3

5 5

log log 3 3x x> ⇔ < .

Exercícios

Resolva a inequação 2 2log ( 1) log 6x + > .


a) condição de existência: x + 1 > 0 ⇒ x > – 1 (I) b) base a = 2 ( a > 1) → mantém-se o sentido da desigualdade:

2 2log ( 1) log 6 1 6 5x x x+ > ⇒ + > ⇒ > (II)

Como as condições (I) e (II) devem ser satisfeitas simultaneamente, concluímos que o conjunto solução da inequação é S = {x ∈ ℜ / x > 5}.Caracterize o conjunto solução da inequação 1

2

log 1x ≥ .

Solução: desse modo, temos:

» condição de existência: x > 0 (I)

Como 1 = 12

1log2 , a inequação pode ser escrita como 1 1

2 2

1log log2

x ≥ .

» base a = 12 (0 < a < 1 ) < a < 1) → troca-se o sentido da desigualdade: 1 1

2 2

1 1log log2 2

x x≥ ⇒ ≤

(II)

2 2log ( 1) log 6 1 6 5x x x+ > ⇒ + > ⇒ > (III)

Portanto, S = {x ∈ℜ/ 0 < x 12

≤ }.

CONCLUSÃONesta aula, apresentamos as principais propriedades da função exponencial e trabalhamos com a resolução de equações que as envolvem. Você também aprendeu sobre a função logarítmica, inversa à exponencial. Lembre-se: quanto mais você resolver equações e se aprofundar no assunto, mais você aprenderá sobre este importante capítulo da Matemática. Até a próxima aula!

AULA 7Funções trigonométricas e aplicações

INTRODUÇÃONesta aula, você aprenderá sobre as principais funções trigonométricas, como seno, cosseno e tangente e suas funções inversas, além de resolver equações e inequações trigonométricas. Assim como a função logarítmica, que você estudou na aula anterior, as funções trigonométricas e suas inversas são muito importantes como ferramentas para o engenheiro. Principalmente na resolução de situações envolvendo problemas de crescimento e decrescimento, na lei do resfriamento de Newton (queda de temperatura), na mensuração que abrange objetos situados em lugares inatingíveis e envolvendo triângulos retângulos e muitas outras. Vamos adiante?


178

OBJETIVOS » Estar plenamente familiarizado com as funções trigonométricas principais.

» Compreender as principais propriedades acerca das funções trigonométricas principais.

» Aplicar as principais relações trigonométricas na resolução de problemas simulados.

» Resolver equações e inequações envolvendo as funções trigonométricas.

» Estar plenamente familiarizado com as funções trigonométricas inversas principais.

» Compreender as principais propriedades acerca das funções trigonométricas inversas principais.

7.1 ASPECTOS INTRODUTÓRIOS DA TRIGONOMETRIASegundo Bezerra (2001), a trigonometria moderna começou com alguns trabalhos de matemáticos no Ocidente a partir do século XV. A invenção dos logaritmos por John Napier e o desenvolvimento teórico do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton contribuíram de forma significativa para o entendimento dos cálculos trigonométricos.

A trigonometria recebe uma nomenclatura especial de acordo com o seu foco. Dante (2011) define trigonometria como o ramo da Matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano e a trigonometria esférica tratam dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera. As razões trigonométricas, aplicadas a arcos de uma circunferência, mantêm as mesmas propriedades que demonstramos serem válidas quando utilizadas com ângulos agudos.

7.2 O CICLO TRIGONOMÉTRICO E O QUADRANTE GEOMÉTRICOVocê verá muito o termo “ciclo trigonométrico” ao longo desta aula. Mas o que é isso? O ciclo trigonométrico é uma circunferência com uma direção predefinida, isto é, orientada. Pode-se trabalhar no sentido anti-horário (sentido positivo) ou no sentido horário (sentido negativo). Assim, o ciclo trigonométrico é um ciclo no sentido anti-horário cujo raio é uma (1) unidade de comprimento. A circunferência é orientada porque os arcos são considerados com medidas positivas, negativas ou nulas.

Dois pontos de uma circunferência dividem-na em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de arco de circunferência. De outra for-ma, grau é um arco unitário que corresponde a de circunferência, enquanto radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.

AULA 7 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E APLICAÇÕES

179

Ao ciclo trigonométrico de centro O, vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A como origem dos arcos, conforme figura a seguir.

Figura 78 - O ciclo trigonométrico com o sistema de coordenadas ortogonais.


Os eixos x e y dividem o ciclo trigonométrico em quatro partes congruentes, chamadas quadrantes, numerados de I a IV e contados a partir de OA, no sentido positivo.

Figura 79 - O ciclo trigonométrico dividido em quatro partes congruentes.


Pela figura anterior, podemos observar que os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

2o quadrante

abscissa: negativa

ordenada: positiva

90º < ângulo < 180º

1o quadrante

abscissa: positiva

ordenada: positiva


3o quadrante abscissa: negativa

ordenada: negativa


4o quadrante

abscissa: positiva

ordenada: negativa


Figura 80 - A descrição dos quadrantes no ciclo trigonométrico.


180

7.3 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO, COSSENO E TANGENTEAgora, vamos apresentar as principais funções trigonométricas – seno, cosseno e tangente – e as suas principais propriedades algébricas e geométricas.

7.3.1. A função seno de xConsidere um arco trigonométrico AP

e seja N a projeção ortogonal de P sobre o eixo (n) dos

senos. Por definição, chamamos seno do arco AP

a medida algébrica do segmento ON . Representamos por sen AP

= ON . Observe.

Figura 81 - Interpretação geométrica da definição do seno.


Note que a um arco AP

qualquer de determinação x corresponde um único segmento ON , de medida algébrica y. Concluímos que existe uma correspondência unívoca entre os números reais x, que medem os arcos, e os números reais y, senos desses arcos. Desta maneira, podemos definir uma função de � em � , tal que a cada x associa um y = senx = ON.

Em símbolos, temos que:f: →� �

y = senx

Figura 82 - Representação geométrica da função seno.



181

De acordo com a definição sobre seno, podemos enumerar de forma direta algumas consequências naturais, como segue:

1) Domínio = � e Imagem: I = { y∈� / – 1 ≤ y ≤ 1}.

2) Gráfico: para obter o gráfico da função y = senx, calculamos o valor da função para alguns reais

entre 0 e p2

somente, pois as propriedades de simetria permitem a construção do gráfico para os

demais quadrantes. A curva característica de seu gráfico é chamada de senóide.

3) Sinal e tonicidade: a partir da interpretação do gráfico da função y = senx, temos:

QUADRANTE I Q II Q III Q IV Q

Sinal Positiva Positiva Negativa Negativa

Tonicidade Crescente Decrescente Decrescente Crescente

O estudo da tonicidade de uma função diz respeito à variação de seu crescimento.

4) Paridade: o seno é uma função ímpar, pois para todo x real, sen(– x) = – senx.

5) Período: os reais x e x + 2p estão associados a um mesmo ponto do ciclo trigonométrico, ou seja, senx = sen(x + 2p) para todo x real.

7.3.2 A FUNÇÃO COSSENO DE X

Sejam um arco trigonométrico AP

e M a projeção ortogonal de P sobre o eixo (m) dos cosenos.

Por definição, chamamos coseno do arco AP

a medida algébrica do segmento OM .

Representamos por cos AP

= OM . Observe.


182

Figura 83 - Interpretação geométrica da definição do coseno.


Analogamente, se um arco AP

qualquer de determinação x corresponde um único segmento OM , de medida algébrica y, podemos concluir que existe uma correspondência unívoca entre os números reais x, que medem os arcos, e os números reais y, cosenos desses arcos. Desta maneira, podemos definir uma função de � em � , tal que a cada x associa um y = cos x = OM.

Em símbolos, temos que:f: →� �

y = cosx

Figura 84 - Representação geométrica da função coseno.


Como consequências diretas da definição da função cosseno, temos:

1) Domínio = � e Imagem: I = {y∈� / – 1 ≤ y ≤ 1}.

2) Gráfico: para obter o gráfico da função y = cosx, calculamos o valor da função para alguns reais do primeiro quadrante e, pelas propriedades de simetria, construímos o gráfico para os demais quadrantes. A curva característica de seu gráfico é chamada de cossenoide.


183

3) Sinal e tonicidade: a partir da interpretação do gráfico da função y = cosx, temos:


Sinal Positiva Negativa Negativa Positiva

Tonicidade Decrescente Decrescente Decrescente Crescente

4) Paridade: o cosseno é uma função par, pois para todo x real, cos(– x) = cosx.

5) Período: a função cosseno é uma função periódica de período 2p.

7.3.3 A FUNÇÃO TANGENTE DE XConsidere um arco trigonométrico AP

, com P ≠ B e P ≠ B’ e seja T a intersecção da reta OP

com o eixo (t) das tangentes conforme nos mostra a figura a seguir. Por definição, temos que tg

AP

= AT.

Figura 85 - Interpretação geométrica da definição de tangente.


Além disso, definimos a razão entre o seno e o cosseno de um número real como a tangente desse real. Assim,

tgx = cossenx

x, cosx ≠ 0

Se x∈� e x ≠ p2

.2

hπ π+ (h∈� ), então cosx ≠ 0. Logo, para todo número real que satisfaça a

condição anterior, a tangente existe e é única. Podemos, portanto, definir a função tangente do seguinte modo:

f: {x∈� / x ≠ p2

.2

hπ π+ , h∈� } → �

y = tg x = AT


184

Figura 86 - Representação geométrica da função tangente.


Deve ficar claro, que a partir da figura anterior, notamos que a ordenada do ponto T é a tangente do número real relacionado. Similarmente, temos como consequências diretas da definição da função tangente:

1) Domínio = {x∈� / x ≠ p2

.2

hπ π+ , h∈� } e Imagem: I = � .

2) Gráfico: para obter o gráfico da função y = tgx, calculamos o valor da função para alguns reais do primeiro quadrante e, pelas propriedades de simetria, construímos o gráfico para os demais quadrantes.

3) Sinal e tonicidade: a partir da interpretação do gráfico da função y = senx, temos:


Sinal Positiva Negativa Positiva Negativa

Tonicidade Crescente Crescente Crescente Crescente

4) Paridade: o tangente é uma função ímpar, pois para todo x real, tg(– x) = – tgx.

5) Período: a função tangente é uma função periódica de período p.

Exercícios

1) Determine m, de modo que se tenha senx = 2m – 1.

Solução: para todo x real, temos: – 1 ≤ senx ≤ 1

Logo,– 1 ≤ 2m – 1 ≤ 1

Ou seja,

0 ≤ 2m ≤ 2


185

E, portanto,

0 ≤ m ≤ 1

2) A figura a seguir mostra um esboço do gráfico de uma função trigonométrica y = f(x), definida para todo x real.

Figura 87 - A disposição geométrica do exemplo.


Com base nessas informações, considere as seguintes afirmações:

» (I) O esboço mostrado na figura representa o gráfico da função f(x) = 2 . senx . cosx.

» (II ) O período da função f é p.

» (III) Os valores de x, tais que f(x) = 0, são da forma kpx = 2. ,2

kx kπ= ∈�

Desta forma, podemos afirmar que os valores lógicos das afirmações anteriores são, respectivamente:

a) F, F, V.

b) F, F, F.

c) V, V, V.

d) V, F, F.

e) V, F, V.

3) Sabendo que sen x = -3/5 e cos x= 4/5, responda:

a) Qual o quadrante de x?

b) Qual será o valor da tangente de x?

Solução:

a) Se o seno é negativo e o cosseno é positivo, x pertence ao 4o quadrante.

b) Como a tangente é o quociente entre o seno e o cosseno, temos:

3 4 3 5: .cos 5 5 5 4senxtgx tgx tgx

x= ⇒ = − ⇒ = −


186

Portanto,34

tgx = −

6) Determine o valor , quando existir, e diga a qual quadrante ele pertence:

a) 3ptg 4

b) 0300tg

c) 11ptg 2

d) 00tg

Solução: Neste caso, vamos considerar que x é o valor desconhecido a ser caracterizado. Assim:

a) 3ptg = tg 135⁰ = -14 x pertence ao 2o quadrante.

b) tg 300⁰ = -tg 0⁰= 360300) 00 −=−= tgtgb x pertence ao 4o quadrante.

c) 1ptg 2 = Deu 2 voltas completas e parou em 3p/2, mas tg 3p/2 não existe.

d) tg 00 = Pertence ao eixo e é igual a 0.

7.4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASNeste momento, vamos apresentar as funções trigonométricas inversas do seno, cosseno e tangente. Lembre-se de que já discutimos exemplos que trabalham com funções que são inversas entre si, como o caso da função exponencial e a função logarítmica.

7.4.1 A função arco seno (arcsenx): função inversa do senoVimos que a função seno é definida do seguinte modo:

f: ]1,1[−→ℜ

x y = senx

Note que, no gráfico de y = senx, existem infinitos valores x 1 , x 2 , x 3 ,..., tais que y 1 = y 2 = y 3 ,

Então, concluímos que a função seno, assim definida, não é uma função bijetora (injetora e sobrejetora). Logo, sua relação inversa não é função. No gráfico de y = senx, note ainda que a função y = senx é bijetora nos intervalos em que é crescente ou decrescente. Desta forma, para que a função seno admita inversa, restringimos seu domínio a um desses intervalos.


187

Figura 88 - Intervalos em que a função seno é crescente ou decrescente.


Adotando o intervalo -p p2 2

, para domínio, a definição da função seno será dada por:

f: -p p2 2

, ]1,1[−→

x y = senx

E o gráfico da função assim definida está representado na figura a seguir.

Figura 89 - Gráfico da função y = senx com domínio -p p2 2

, .


Temos, então, que a função seno definida no intervalo -p p2 2

, é bijetora. Portanto, podemos

definir sua inversa, que chamaremos de função arco seno, do seguinte modo:

f1−: [-1, 1] → -p p

2 2,

nx ⇒ seny = x


188

Assim, podemos pontuar as seguintes consideraçôes relevantes:

Da definição da função arco seno, temos:

Domínio: D = {x ℜ∈ / 11 ≤≤− x }

Imagem: I = {y ℜ∈ / -p2

22ππ ≤≤− y p2

}

Gráfico

Para a construção do gráfico da função arco seno, lembramos que o gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função direta em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Desta maneira:

Figura 90 - Gráfico da função y = arcsenx – função inversa de senx.


Exercícios

1) Determine o valor das seguintes expressões:

a) y = arcsen 1

b) y = arcsen (-1)

c) y = arcsen(1/2)

Solução:

a) y = arcsen1 membrososambosasenofunçãoaüüüü

⇒ seny = 1 e y ∈ -p p

2 2, ⇒ y = p

2.

b) y = arcsen(-1) membrososambosasenofunçãoaaplicando

⇒ seny = -1 e y ∈ -p p

2 2, ⇒ y = - p

2.

c) y = arcsen(1/2) aplicando a funçãoseno a ambos os membros

⇒ seny = ½ e y ∈ -p p

2 2, ⇒ y = p

2.


189

Caracterize o domínio da função y = arcsen2x.

Solução: y = arcsen(2x) aplicando a funçãoseno a ambos os membros

⇒ seny = 2.x. Agora, sabemos que -1 ≤ seny ≤ 1, logo:

-1 ≤ 2.x ≤ 1 ⇒ -½ ≤ x ≤ ½

Ou seja, temos:

D = {x ℜ∈ / 2/12/1 ≤≤− x }

7.4.2. A função arco cosseno (arccosx): função inversa do cossenoVimos que a função cosseno definida como:

f: ]1,1[−→ℜ

x y = cosx

é uma função periódica, portanto sua relação inversa não é função. Porém, observando o gráfico de y = cosx, notamos que a função é bijetora nos intervalos em que é crescente ou decrescente. Assim, para que a função cosseno admita inversa, restringimos seu domínio a um desses intervalos.

Figura 91 - Gráfico da função cosseno com os intervalos em que a função é crescente e decrescente.


Adotando o intervalo [0, p] para domínio, a definição da função cosseno será:

f: [0, p] ]1,1[−→

x y = cosx


190

O gráfico da função assim definida está representado na figura a seguir.

Figura 92 - Gráfico da função y = cosx com domínio [0, p].


Temos, então, que a função cosseno definida no intervalo [0, p] é bijetora. Portanto, podemos definir sua inversa, que chamaremos função arco cosseno, do seguinte modo:

f1−: [-1, 1] → [0, p]

y = arccosx ⇒ cosy = x

Desta forma, podemos concluir, com relação à função arccosx:

a) Da definição da função arco cosseno, temos:

Domínio: D = {x ℜ∈ / 11 ≤≤− x }

Imagem: I = {y ℜ∈ / π≤≤ y0 p}

b) Gráfico

Lembrando que o gráfico da função inversa é simétrico ao da função direta em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares), temos:

Figura 93 - Gráfico da função inversa arccosx – função inversa de cosx.



191

Em cálculos envolvendo a caracterização do ângulo formado por dois vetores, bem como a inclinação da reta tangente, você utilizará tanto as funções trigonométricas como as suas inversas. Na verdade, vetor é um elemento de um conjunto que possui a estrutura de espaço vetorial.

Exercícios


a) y = arccos1

b) y = arccos (0)

c) y = arccos(-1/2)

Solução:

a) y = arccos1 membrososambosaenofunçãoaaplicando

cos

⇒cosy = 1 e y∈[0, p] ⇒ y = 0.

b) y = arccos(0) membrososambosaenofunçãoaaplicando

cos

⇒cosy = 0 e y∈[0, p] ⇒ y =

p2

.

c) y = arcsen(-1/2) membrososambosaenofunçãoaaplicando

cos

⇒cosy = -½ e y∈[0, p] ⇒ y = 2p

3.

2) Calcule y = sen

− )

31arccos(.2 .

Solução: seja y = sen

− )

31arccos(.2 ,vamos chamar a = arccos(-1/3).

Logo, cosa = -1/3 e obviamente a pertence ao segundo quadrante do ciclo trigonométrico.

Assim, y = sen(2a)= 2. sena. cosa (fórmula do seno do arco duplo). Então, vamos obter o valor de sena:

sena= α2cos1− a = 3

22911 =−

Portanto, y = 2 . sena. cosa = 2.3

22 .(-1/3) = 9

24− .


192

7.4.3 A função arco tangente (arctgx): função inversa da tangente Vimos que a função tangente definida por:

f:

∈+≠ℜ∈ Zhhxx ,.

2/ ππ

p2

∈+≠ℜ∈ Zhhxx ,.

2/ ππ

→ ℜ

x y = tgx

é uma função periódica, portanto sua relação inversa não é função. Porém, observando o gráfico de y = tgx, notamos que a função é bijetora nos intervalos em que é crescente. Assim, para que a função tangente admita inversa, restringimos seu domínio a um desses intervalos.

Figura 94 - Gráfico da função y = tgx.


Adotando o intervalo -p p2 2

, para domínio, a definição da função tangente será:

f: -p p2 2

, → ℜ

x y = tgx

E o gráfico da função assim definida está representado na figura a seguir.


193

Figura 95 - Gráfico da função y = tgx com domínio -p p2 2

,Fonte: FERREIRA, 2013.

Temos, então, que a função tangente definida no intervalo -p p2 2

, é bijetora. Portanto,

podemos definir sua inversa, que chamaremos função arco tangente, do seguinte modo:

f1−: ℜ →

-p p2 2

,

y = arctgx ⇒ tgy = x

Desta forma, observe:

a) Da definição da função arco tangente, temos:

Domínio: D = ℜ

Imagem: I = {y ℜ∈ / -p2

22ππ ≤≤− y p2

}

b) iGráfico

Lembrando que o gráfico da função inversa é simétrico ao da função direta em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares), temos:


194

Figura 96 - Gráfico da função inversa arctgx.

FERREIRA, 2013.

Exercícios


a) y = arctgx(1)

b) y = arctg(0)

c) y = arctg(- 3 )

Solução:

a) y = arctg(1) membrososambosagentefunçãoaaplicando

tan

⇒tgy = 1 e y ∈ -p p

2 2, ⇒ y = p

4.

b) y = arctg(0) membrososambosagente

funçãoaaplicandotan

⇒tgy = 0 e y ∈

-p p2 2

, ⇒ y = 0.

c) y = arctg(- 3 ) membrososambosagentefunçãoaaplicando

tan

⇒tgy = - 3 e y ∈ -p p

2 2, ⇒ y = - p

3.


195

2) Determine y = tg [2.arctg(3)].

Solução: seja y = tg[2.arctg(3)],vamos chamar a = arctg(3), logo, tga = 3 e obviamente a pertence ao primeiro quadrante da ciclo trigonométrico.

Assim, devemos calcular y = tg(2a) duplo

arcodotangente=

αα21

.2tgtg

−. Substituindo, obtemos:

y = 231

3.2−

= 8

6−

= 43−

Portanto, y = 43− .

CONCLUSÃONesta aula, trabalhamos as principais informações acerca das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, bem como de suas respectivas funções inversas. Esses conhecimentos irão complementar o que você viu até agora sobre as funções exponencial e logarítmica, o que o ajudará a resolver problemas envolvendo crescimento e decrescimento. Até a próxima aula!

AULA 8Áreas e volumes

INTRODUÇÃONesta aula, você estudará os conceitos formais de áreas e volumes e as principais técnicas para o cálculo das áreas de figuras planas e dos volumes de sólidos geométricos. Você também conhecerá os principais tipos de polígonos, tais como triângulos e quadriláteros, e os principais sólidos, como prismas, pirâmides, esferas, cones e cilindros. Este aparato é de fundamental importância para o contexto da Engenharia, já que ela trabalha diretamente com a resolução de problemas geométricos envolvendo esses elementos.


198

OBJETIVOS » Conceituar e classificar triângulos geométricos.

» Conceituar e classificar polígonos.

» Compreender a definição formal de área de uma superfície plana.

» Interpretar e aplicar os entes primitivos da geometria no cálculo de áreas de figuras planas.

» Classificar quanto ao número de lados os polígonos geométricos existentes.

» Estar plenamente familiarizado com as expressões envolvendo o cálculo da área de um triângulo.

» Caracterizar a área de um círculo e de suas partes.

» Compreender a razão entre áreas de figuras planas.

» Conceituar região poligonal convexa.

» Compreender e classificar os poliedros.

» Conceituar e classificar prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas.

» Compreender e caracterizar o volume de prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas.

8.1 NOÇÕES, PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS E CONCEITOS FUNDAMENTAISPara construirmos o alicerce para a discussão sobre as ferramentas da Geometria, tanto a Plana quanto a Espacial, é necessário relembrarmos alguns entes primitivos e conceitos introdutórios. Por exemplo, adotaremos sem definir as noções de Ponto, Reta e Plano. Segundo Dante (2011), temos um conhecimento intuitivo de cada um desses entes, que vem da experiência e observação. Para representá-los, usaremos:

» Ponto: letras maiúsculas latinas: A, B, C etc.;

» Reta: letras minúsculas latinas: a, b, c etc.;

» Plano: letras gregas minúsculas: α, ß, γ etc.

Além disso, segundo Dolce e Pompeu (1993), as proposições primitivas (ou postulados, ou axiomas) são aceitos como verdadeiros sem demonstração formal.

Desta maneira, temos alguns postulados relacionados a ponto, reta e plano.

a) Em uma reta, e fora dela, existem infinitos pontos.

b) Em um plano, temos infinitos pontos.

c) Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e só uma) reta que passa por eles.

d) Três pontos não colineares determinam um único plano. Os pontos A, B e C não colineares caracterizam um plano α que indicamos por (A, B, C).

AULA 8 – ÁREAS E VOLUMES

199

Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. Pon-tos coplanares são aqueles que pertencem a um mesmo plano. Figura é qualquer conjunto de pontos. Figura plana é uma figura que tem todos seus pontos num mesmo plano.

Outros conceitos introdutórios importantes são:

» Segmento de reta: a parte de uma reta contida entre dois pontos ou limitada por dois pontos;

» Vértice: é o encontro de dois segmentos de reta, determinando um ponto. Na figura, o ponto A é o vértice;

B

A

C

Figura 97 - Interpretação geométrica do vértice.


» Região angular: considere duas semirretas com mesma origem (vértice). O conjunto de todos os pontos que estão nas semirretas e entre elas forma a região angular. Sua representação pode ser BOA ˆ , em que o ponto A pertence a uma das semirretas; o ponto B, a outra semirreta; e a letra do meio deve ser o vértice.

B

A

O

Figura 98 - Interpretação geométrica da região angular.


As principais unidades do ângulo são o grau, o grado e o radiano, em que 180 graus = 200 grados = π radianos.


200

Existe uma nomenclatura relacionada aos ângulos que tem grande importância no estudo das figuras planas. São os conceitos de ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso, descritos a seguir.

» Ângulo reto: é um ângulo que tem medida igual a 90°.

» Ângulo agudo: tem medida menor do que a de um ângulo reto.

» Ângulo obtuso: tem medida maior do que a de um ângulo reto.

Dois ângulos cuja soma das medidas é 90° são ditos ângulos comple-mentares, enquanto dois ângulos cuja soma das medidas é 180° são chamados ângulos suplementares.

8.2 TRIÂNGULOSConsiderando três pontos não colineares A, B e C, existem três segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos. A união dos três segmentos é chamada de triângulo.

B

A

C

Figura 99 - A figura geométrica do triângulo.


Indicamos o triângulo citado por ∆ ABC com elementos descritos como:

» vértices: são os pontos A, B e C;

» lados: são os segmentos AB , AC e BC ;

» ângulos: são os ângulos CAB ˆ , CBA ˆ e BCA ˆ ;

» perímetro: é a soma das medidas dos lados.

É interessante observar algumas outras definições associadas ao conceito de triângulos.

» Interior do triângulo: é o conjunto dos pontos comuns aos interiores dos ângulos de um triângulo.

» Ponto interno ao triângulo: é um ponto que pertence ao interior de um triângulo.


201

B

A

P

C

Figura 100 - Ponto interno a um triângulo.


» Região triangular: é a reunião de um triângulo com o seu interior.

» Ângulo interno: cada ângulo interno de um triângulo.

» Exterior do triângulo: é o conjunto dos pontos do plano de um triângulo que não pertence à região triangular.

» Ângulo externo: é um ângulo suplementar adjacente a um ângulo do triângulo.

A

B

C D

Figura 101 - Ângulo externo de um triângulo.


Dois ângulos que têm um lado comum entre os outros dois lados são chamados adjacentes. Consequentemente, se a sua soma é 180°, eles também são suplementares.


202

8.2.1 ClassificaçãoPode-se classificar os triângulos de duas formas distintas: com relação ao número de lados e de acordo com os seus ângulos.

1) Quanto aos lados

» Triângulo escaleno: é o que tem os três lados com medidas desiguais.

A

B C

Figura 102 - Triângulo escaleno.


Note que:

AB ≠ AC ≠ BC

» Triângulo isósceles: é o que tem pelo menos dois lados com medidas iguais.

B

A

C

Figura 103 - Triângulo isósceles.


Observe que:

AB = AC


203

» Triângulo equilátero: é o que tem os três lados iguais.

A

B C

Figura 104 - Triângulo equilátero.


Note que:

AB = AC = BC

Em um triângulo que tem dois lados de medidas iguais (isósceles), o terceiro lado é chamado base, e o ângulo oposto à base é dito ângulo vértice. Em um triângulo retângulo, os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos, e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.

2) Quanto aos ângulos

» Triângulo acutângulo: todos os ângulos internos são agudos, ou seja, menores que 90°.

A

B C

Figura 105 - Triângulo acutângulo.



204

» Triângulo obtusângulo: um dos ângulos internos é obtuso, ou seja, tem sua medida maior que 90°.

A

B C

Figura 106 - Triângulo obtusângulo.


» Triângulo retângulo: um dos ângulos internos é reto, ou seja, tem sua medida igual a 90°.

A

B C

Figura 107 - Triângulo retângulo.


A partir das classificações apresentadas, temos as seguintes propriedades dos triângulos:

» qualquer medida de um lado é sempre menor que a soma das medidas dos outros lados;

» qualquer medida de um lado é sempre maior que o módulo da diferença das medidas dos outros lados;

» a soma das medidas dos três ângulos é igual a 180 graus;

» o ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes;

» Teorema de Pitágoras: a² = b² + c², ou seja, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.

8.3 POLÍGONOSA partir de agora, você estudará outros conhecidos polígonos que aparecem comumente nos cálculos geométricos da Engenharia. Na verdade, eles podem ser encarados como uma generalização natural do triângulo, ou seja, uma união de segmentos. Agora, além dos triângulos, temos o quadrilátero, pentágono, hexágono etc.


205

8.3.1. ElementosVeja o polígono ABCDE, conforme a figura a seguir.

A

E

DC

B

Figura 108 - O polígono ABCDE.

Fonte: Ferreira , 2013.

Temos os seguintes elementos:

» vértices: são os pontos A, B, C, D e E;

» ângulos: são os ângulos ˆBAE , CBA ˆ ,... e ˆBCD ;

» lados: são os segmentos AB , AE , BC , CD e DE ;

» perímetro: é a soma das medidas dos lados.

Em um polígono, o número de lados é igual ao número de vértices.

De outra forma, um polígono é denominado convexo se, e somente se, sua região poligonal é um conjunto convexo de pontos. Em outras palavras, é quando cada um dos segmentos que ligam dois pontos do conjunto está contido nele. Um polígono que não é convexo é chamado côncavo. O triângulo e o quadrilátero são exemplos típicos de polígonos convexos.

A

E

DC

B

Figura 109 - Um polígono ABCDE convexo.



206

8.3.2 NomenclaturaOs polígonos são classificados de acordo com o número de lados.

TABELA 1 – NOMENCLATURA DOS POLÍGONOS DE ACORDO COM O NÚMERO DE LADOS

NÚMERO DE LADOS (N) NOMENCLATURA

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Undecágono

12 Dodecágono

13 Tridecágono

.

.

.

.

.

.

20 Icoságono


Um polígono que possui n (n ≥ 3) lados pode ser também chamado de n-látero ou n-gono. Assim, por exemplo, um eneágono pode ser chamado 9-látero ou 9-gono.

8.3.3 Polígono RegularUm polígono que possui os lados congruentes entre si é dito equilátero. Se ele possuir os ângulos congruentes entre si, será chamado de equiângulo.


207

A

B D

C

Figura 110 - Um polígono regular equilátero.


Um polígono convexo é polígono regular se, e somente se, ele é equilá-tero e equiângulo

8.4 QUADRILÁTEROS NOTÁVEISOs quadriláteros notáveis são de cinco tipos: trapézio, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado. Veja a descrição específica de cada um deles.

» Trapézio: é um quadrilátero convexo que tem um par de lados opostos paralelos.

C

A base maior

base menor

D

B

Figura 111 - Trapézio.


» Paralelogramo: é um quadrilátero convexo que tem os pares de lados opostos paralelos.

B

M C

DA

Figura 112 - Paralelogramo.



208

» Retângulo: é um quadrilátero convexo que é equiângulo.

A B

CD

Figura 113 - Retângulo.


» Losango: é um quadrilátero convexo que é equilátero.

B

C

D

A

Figura 114 - Losango.


» Quadrado: é um quadrilátero convexo que é, simultaneamente, equiângulo e equilátero.

B

D

A

C

Figura 115 - Quadrado.


Podemos enumerar algumas propriedades (relações) importantes com relação aos quadriláteros notáveis.

1) Cada um dos ângulos de um retângulo é um ângulo reto.

2) Todo retângulo é um paralelogramo.

3) Todo losango é um paralelogramo.

4) Todo quadrado é um retângulo e um losango.


209

8.5 CÁLCULO DE ÁREAS – POLÍGONOS REGULARESA área de uma figura plana é o número que exprime a relação entre a superfície dessa figura e a respectiva unidade (quadrado de lados unitários). Isto é, toda região poligonal está associada a um único número real positivo que representa determinada unidade. Aqui não estaremos preocupados com as respectivas justificativas dos cálculos, mas sim em apresentar a expressão característica que nos dá a área relacionada e aplicá-la em alguns exemplos.

» Área de um retângulo: é o produto de sua base pela sua altura. Se tivermos um retângulo de dimensões b e h, então A = b.h.

» Área de um quadrado: é o lado ao quadrado, ou seja, se temos um quadrado de lado a, então A = a².

» Área de um paralelogramo: é o produto de uma base, ou seja, um lado, pela altura relativa. Aqui, se temos um paralelogramo de base b e altura h, então A = b.h.

» Área de um triângulo: é a metade do produto de uma base pela altura relativa.

A

B

b

h

H C

A

B

b

h

H C

D

Figura 116 - Área de um triângulo.


Assim, escrevemos:

A = .2

b h

A razão das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. O mesmo vale para os polígonos convexos.


210

» Área de um trapézio: é o produto da semissoma das bases pela altura.

BB C

Db

h

A

Figura 117 - Área de um trapézio.


Em símbolos, temos:

A = (B b) .

2h+

» Área de um losango: é igual ao semiproduto das diagonais.

A C d

BD

O

Figura 118 - Área de um losango.


Ou seja:

A = .d2

D

211

» Área de um círculo: é o produto de seu semiperímetro pelo raio, ou seja, A = π.R², em que R é o raio do círculo.

R

λ

O

Figura 119 - Círculo.


O círculo nada mais é do é a união de uma circunferência com a sua região interna, ou seja, a circunferência é apenas o contorno. Note que a circunferência é côncava, enquanto o círculo é convexo.

» Área de uma coroa circular: dadas duas circunferências concêntricas de raios r e R, com r < R, chama-se coroa circular o conjunto dos pontos pertencentes ao círculo de raio R e não internos ao círculo de raio r. Sua área é dada por A = 2 2.( )R rπ − conforme a figura a seguir.

Rr

O

Figura 120 - Setor Circular.


212

Vejamos alguns exemplos ilustrativos com relação à determinação de áreas envolvendo as figuras planas.

Exemplo: A área de um retângulo, em cm², é 756. Calcular as dimensões desse retângulo, admitindo-se que essas dimensões estão na razão de 7 para 3.

Solução: Sejam x e y as dimensões desse retângulo. Devemos ter:

x.y = 756 (I)

E73

xy

= (II)

Substituindo a igualdade (II) na relação (I), vem que:

3. . 7567

x x =

x² = 1764

x = 42

Da relação (II), resulta que:

3 .42 187

y = =

Logo, as dimensões são 42 cm e 18 cm.

Exemplo: O retângulo da figura a seguir tem área, em cm², 120. Calcular a área do triângulo BEC, sabendo-se que E é um ponto do lado AD .

A DE

B C

Figura 121 - A descrição geométrica do exemplo.



213

Solução: A altura do BEC∆ relativa ao lado BC mede AB. Desta forma,

1 .BC.AB21 .120260

A

A

A

∆

∆

∆

=

=

=

Logo, a área do BEC∆ é 60 cm².

s ter:

x.y = 756 (I)

E73

xy

= (II)

Substituindo a igualdade (II) na relação (I), vem que:

Exemplo: Um comício político lotou uma praça trapezoidal com base média de 125 m e altura 56 m. Supondo uma ocupação média de 4 pessoas por m², qual é a estimativa do número de pessoas?

Solução: Para calcularmos a área da praça trapezoidal, sendo 2

B b+ = 125 a base média e h = 56, temos que:

.2

B bA h+=

A = 125.56

Em que

A = 7.000 m²

Como a ocupação média dessa praça é de 4 pessoas por m², vem que o número N de pessoas presentes é:

N = 4.7000

N = 28.000

Logo, a estimativa do número de pessoas presentes ao comício é de 28.000 pessoas.


214

Exemplo: Calcular a área de uma coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um quadrado de lado de 2 cm. A representação geométrica desta situação é mostrada na figura a seguir.

R

Rr

r

2



Solução: Neste caso, inicialmente vamos determinar o raio r da circunferência inscrita e o raio R da circunferência circunscrita:

2r = 2 ⇒ r = 1

E

R² + R² = 2² ⇒ R = 2

Daí, a área da coroa circular é dada por:

A = π 2 2.( )R rπ −

A = π 2 2.(( 2) 1 )π −

A = 2π - π 2π π−

A = π cm²

Exemplo: Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado a, e o arco de circunferência BD tem centro no vértice A. Calcular a área da região sombreada em função de a.

A

a

B C

D




215

Solução: Seja A a área desejada. Devemos ter:

A = quadrado setorA A−

A = a² – πa2

4

A = a². (1- π4

)

A = a2

4(4 - π)

Logo, a área da região sombreada a2

4(4 - π).

8.6 POLIEDROS E VOLUMESAgora, iniciaremos o estudo dos principais sólidos geométricos a fim de caracterizar os seus volumes e as áreas associadas. Entre eles estão os prismas, os cubos, os cilindros, as pirâmides e os cones. Esses sólidos geométricos são exemplos do que chamamos de poliedros. Os poliedros são sólidos limitados por polígonos quaisquer, caracterizados por três números: o número de faces (F), o número de arestas (A) e o número de vértices (V).

8.6.1 PrismasSegundo Machado (1988), prisma é um poliedro convexo que satisfaz as condições descritas a seguir.

1) Existem duas faces (chamadas bases) que são polígonos congruentes contidos em planos paralelos distintos.

2) As demais faces (chamadas faces laterais) são paralelogramos determinados por pares de lados correspondentes nas duas bases.

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

d

α

β

Figura 124 - Exemplo de um Prisma.



216

A altura de um prisma é a distância entre os planos das duas bases

Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos da base. Assim, se a base tiver formato de triângulo, o prisma é chamado de triangular. De outro modo, se a base for um quadrilátero, o prisma é classificado como quadrangular.

O cubo é um caso particular de um prisma, no qual todas as faces são quadrados. Ou seja, trata-se de um prisma quadrangular regular em que a altura é igual à medida da aresta da base.

E F

H

D

G

C

BA

Figura 125 - Cubo.


Outro prisma bastante conhecido é o paralelepípedo no qual as bases são paralelogramos. Um prisma reto cujas bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto retângulo.

GH

E

A B

CF

D

Figura 126 - Paralelepípedo reto retângulo.



217

Veja a descrição das expressões algébricas que caracterizam os volumes dos prismas.

» Cubo: considerando um cubo de aresta igual a l, temos que:

(Superfície do Cubo) Área: A = 6.l²

Volume: V = l³

» Paralelepípedo: sendo um paralelepípedo reto retângulo com dimensões a, b e c, quando sua base é um retângulo de lados a e b e a altura é c, temos que:

Área: A = 2ab + 2bc + 2ac

Volume: V = a.b.c

» Prisma

Área lateral: é a soma das áreas das suas faces laterais = ( lA ).

Área da base: as bases do prisma são congruentes, logo elas possuem áreas iguais, que vamos denotar por ( bA ).

(Área do prisma) área total: A = lA + 2. bA .

(Volume = área da base x altura) volume: V = bA .h.

8.6.2 PirâmidesPirâmide é todo poliedro convexo em que existe uma face (dita base) em um dado plano e apenas um vértice (chamado vértice da pirâmide) fora desse plano.

E

D

V

C

BAα

Figura 127 - Exemplo de uma pirâmide.



218

Os principais elementos de uma pirâmide são:

» arestas: podem ser de dois tipos, as arestas da base (lados do polígono que, na verdade, é a base da pirâmide) e as arestas laterais (as que possuem uma extremidade no vértice da pirâmide e a outra em um vértice da base);

» altura: é a distância entre o vértice e o plano da base;

» apótema: em uma pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Desta forma, a altura de qualquer desses triângulos relativamente ao lado da base é chamada de apótema da pirâmide.

A pirâmide recebe o nome de acordo com o polígono de sua base. Assim, por exemplo, se a base é um triângulo, a pirâmide é triangular. Se se sua base for um quadrilátero, ela é dita quadrangular.

Com relação ao cálculo da área e do volume de uma pirâmide, temos as seguintes expressões algébricas:

» área lateral de uma pirâmide: é a soma das áreas das suas faces laterais = ( lA );

» área da pirâmide: é a soma envolvendo a área lateral e a área da base;

» área total: A = lA + bA ;

» (volume = área da base x altura) volume: V = 1 .3 bA h .

8.6.3 CILINDROSCilindro de revolução (ou cilindro circular reto) é o sólido obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus lados.

g = h

eixo

O`

O

Figura 128 - Cilindro circular reto.



219

Com relação ao cálculo da área e do volume de um cilindro, temos as expressões características descritas a seguir.

» Área lateral de um cilindro circular reto: é a área de sua superfície lateral ( lA ), e essa superfície

é equivalente a um retângulo cujas dimensões são o comprimento da circunferência da base e a altura do cilindro. Logo: lA = 2.π.r.h, em que r é o raio da base e h é a altura do cilindro.

» Área da base: cada base do cilindro é um círculo de raio r, então bA = π.r².

» Área total = área do cilindro: é a soma das áreas das duas bases com a área lateral. Assim, A = lA + 2. bA = 2.π.r.h + 2.π.r².

» Volume: V = .bA h , ou seja, V = π.r².h.

8.6.4 CONESCone de revolução (ou cone circular reto) é todo sólido obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos.

h

r

g

S L 2πr

Figura 129 - Cone circular reto.



220

Com relação ao cálculo da área e do volume de um cone, temos as seguintes expressões características descritas.

» Área lateral de um cone: é a área de sua superfície lateral ( lA ), e essa superfície é equivalente

a um setor circular de raio igual à medida g da geratriz e arco de comprimento igual ao perímetro da base do cone (2.π.r). Logo: lA = π.r.g.

» Área da base: a base de um cone é um círculo de raio r, então bA = π.r².

» Área total = área do cone: é a soma da área lateral com a área da base. Desta forma, podemos escrever: A = lA + bA = π.r.g + π.r².

» Volume: V = 1 .3 bA h . Ou seja, V = π.r².h.

8.6.5 EsferasEsfera é o sólido obtido pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

R

Figura 130 - Esfera.


Aqui, temos que:

Volume da esfera: V = 34 .3

rπ

Área da esfera: A = 4. π .r²


221

CONCLUSÃONesta aula, você conheceu os entes primitivos para a descrição da geometria plana e espacial, e as propriedades fundamentais dos polígonos e sólidos geométricos. Trabalhamos o cálculo das áreas das principais figuras planas, as áreas associadas e os volumes dos sólidos geométricos, tais como prismas, esferas, cones e cilindros.

ATIVIDADES DE FIXAÇÃO1) Qual é o valor do raio de uma circunferência com superfície igual a 36.πcm²?

a) 3 cm.

b) 4 cm.

c) 5 cm.

d) 6 cm.

Resposta: A

Feedback de acerto: Parabéns! Você aprendeu a interpretar os parâmetros que envolvem o cálculo da área de uma esfera.

Feedback de erro: Você tem certeza? Lembre-se da expressão característica para o cálculo da área ou superfície de uma esfera. Vamos tentar mais uma vez?

2) A área da região hachurada a seguir é igual a 54 m². Desta forma, podemos afirmar que o valor do comprimento do segmento de reta EC, em metros, é igual a:

A

x

x x

B

E D C


a) 22 m.

b) 12 m.

c) 6 m.

d) 8 m.

Resposta: B

Feedback de acerto: Parabéns! Você está interpretando muito bem os procedimentos algébricos do cálculo de áreas de figuras planas.

Feedback de erro: Vamos tentar mais uma vez? Relembre nos aspectos teóricos da aula como proceder para calcular a área de um quadrado e de um triângulo. Vamos lá?


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3) Considere as seguintes proposições:

» I. Duplicando-se a base de um retângulo, a área torna-se o dobro da área do retângulo original.

» II. Duplicando-se a altura de um triângulo, a área torna-se o dobro da área do triângulo original.

» III. Duplicando-se o raio de um círculo, a área torna-se o dobro da área do círculo original.

É correto afirmar que:

a) somente I e II são verdadeiras.

b) somente I e III são verdadeiras.

c) somente II e III são verdadeiras.

d) somente uma das proposições é verdadeira.

Resposta: A

Feedback de acerto: Continue assim! Você está interpretando muito bem a teoria sobre a área de figuras planas.

Feedback de erro: Vamos tentar mais uma vez? Leia com calma as afirmações colocadas no problema e tente visualizar o que acontece com valores particulares.

4) (UFR-RJ) Sendo 1S e 10 10

I.

12

10 10

II.

16 as áreas das figuras I e II, respectivamente:

Podemos afirmar que:

a) 1S = 2S .

b) 1S = ¾. 2S .

c) 1S = 2. 2S

d) 1S = 3. 2S

Resposta: A

Feedback de acerto: Parabéns pela resolução! Você se lembrou da soma do cálculo da área de um triângulo.

Feedback de erro: Vamos tentar novamente? Olhe mais uma vez para a teoria envolvendo a determinação da área de um triângulo.


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5) Serrando um cubo de madeira, obtemos um sólido em forma de um H, representado na figura a seguir. Assim, seu volume é igual a:

a

a

a

a a a

3a


a) 37 a³

b) 47 a³

c) 57 a³

d) 27 a³

Resposta: D

Feedback de acerto: Continue assim! Você está interpretando muito bem como determinar o volume de um sólido geométrico.

Feedback de erro: Vamos tentar mais uma vez? Observe novamente a representação geométrica do exemplo e tente relacionar com o estudo dos sólidos geométricos.

6) Em um triângulo retângulo, um dos ângulos agudos é o dobro do outro. Quanto mede cada um deles?

a) 30°, 60° e 90°.

b) 60°, 60° e 90°.

c) 45°, 45° e 90°.

d) 70°, 60° e 80°

Resposta: A

Feedback de acerto: Parabéns pela resolução! Você se lembrou bem da soma dos ângulos internos de um triângulo.

Feedback de erro: Vamos tentar novamente? Não se esqueça de quanto vale a soma dos ângulos internos de um triangulo.


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ATIVIDADES DE AVALIAÇÃO1) (F.I. – Vitória-ES) Em um retângulo cuja medida da base é o dobro da medida da altura, foram

diminuídos 5 cm da altura e 10 cm de base, obtendo-se assim uma redução de 350 cm² na sua área inicial. A área do retângulo original era de:

a) 800 cm².

b) 750 cm².

c) 700 cm².

d) 650 cm².

Resposta: A

2) Um reservatório em forma de cone circular reto, de eixo vertical, com altura igual a 4 cm e raio da base igual a 3 cm, está completamente cheio de água. Uma esfera é colocada no cone até se apoiar na sua parede, de modo que os centros da esfera e da base do cone coincidam. O volume de água, em cm³, que transborda do cone é:

a) menor que 24.

b) maior que 24 e menor que 26.

c) maior que 26 e menor que 28.

d) maior que 30.

Resposta: D

CONCLUSÃO DA DISCIPLINA

A Matemática é uma ciência exata que faz parte da vida teórica e prática do engenheiro. É uma ferramenta-chave para o contexto da Engenharia, na interpretação e resolução de problemas diversos ou em situações mais complexas relacionadas a modelagens, a partir da utilização de conceitos e métodos desde os mais simples até os mais sofisticados. Isso significa que, para uma sólida formação na área da Engenharia, é necessário o domínio de conteúdos matemáticos.

Operações e propriedades básicas aparecem comumente como alicerce para a resposta de problemas diversos, tais como os relacionados à Física e à Química. A partir dos nossos tópicos teóricos apresentados, você terá um embasamento maior para discutir, interpretar e resolver problemas em diversas áreas do conhecimento. Lembre-se: é necessário que você continue buscando novas situações, a fim de desvendar o maravilhoso mundo da Matemática, aprimorando novas teorias para resolução de problemas na sua área de atuação.

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REFERÊNCIAS

BEZERRA, M. J. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001.

BOULOS, P. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 4. ed. São Paulo: Ática, 2011.

DEMANA, W.; KENNEDY, F. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009.

IEZZI, G. MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.

LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. Volume 1.

MACHADO, A. dos S. Matemática temas e metas: conjuntos numéricos e funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988. Volume 1.

PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2001.

YOUSSEF, A. N.; FERNANDEZ, V. P.; SOARES, E. Matemática. São Paulo: Scipione, 2000. Volume 1.

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