TEMA 2: FUNCIONES REALES DE UNA Y VARIAS VARIABLES

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones Polinómicas

Funciones Polinómicas

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100y=x2

OX

OY

y = x2

)(... 011

1 xfaxaxaxa nn

nn =++++ −

−

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000y=x3

OX

OY

Funciones Polinómicas

y = x3

)(... 011

1 xfaxaxaxa nn

nn =++++ −

−

Funciones Racionales

)()()(

xQxPxf =

Función Potencia de exponente racional

−2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5y=x1/2

OX

OY

Función Potencia

qpxxf /)( =

y = x1/2

Funciones exponenciales

Funciones Exponenciales

y = 2x

xaxf =)(

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

25

30

35y=2x

OX

OY

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

25

30

35y=(1/2)x

OX

OY

y = (1/2)x

Funciones Logarítmicas

Funciones Logarítmicas

y = 2x

xxf alog)( =

y = log2x

Funciones circulares o trigonométricas

y = sen x y = cosec x

y = cos x y =sec x

y = tg x y =cotg x

y = arc cos x ⇔ x = cos y

y = arc sen x ⇔ x = sen y

y = arc tg x ⇔ x = tg y

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Límite finito

Idea intuitiva del concepto de límite de una función

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100y=x2

OX

OY

y = x2

4 f(x)→?… 4.004 4.04 4.4 941 3.6 3.96 3.996…f(x)→?

x→2+… 2.001 2.01 2.1 321 1.9 1.99 1.999…x→2-

Idea intuitiva del concepto de límite de una funcióny = Ent(x)

2 f(x)→?… 2 2 2 311 1 1 1 …f(x)→?

x→2+… 2.001 2.01 2.1 321 1.9 1.99 1.999…x→2-

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−6

−4

−2

0

2

4

6

Definición de límite de una función en un punto

δ<−< ax0

Lxfax

=→

)(lim , L ∈ R si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀ x ∈ Α,

⇒ ε<−< Lxf )(0

a a + δa - δ

L

L + ε

L - ε

Interpretación gráfica de la definición de limite

Idea intuitiva del concepto de límite de una funcióny = 1/x

-∞

0 f(x)→?…-10000 -100 -10 -2 -101 2 10 100 10000…f(x)→?

x→0-…-0.0001 -0.01 -0.1 -0.5 -1+∞1 0.5 0.1 0.01 0.0001 …x→0+

Interpretación gráfica de la definición de limite

Y

aa-δ a+δ X

f(x) > K f(x)

K

+∞=→

)(lim xfax

Límite infinito

Definición de límites infinitos

δ<−< ax0

+∞=→

)(lim xfax

, si ∀ K > 0 ∃ δ > 0 / ∀ x ∈ Α,

⇒ Kxf >)(

δ<−< ax0

−∞=→

)(lim xfax

, si ∀ K > 0 ∃ δ > 0 / ∀ x ∈ Α,

⇒ Kxf −<)(

Idea intuitiva del concepto de límite de una funcióny = 1/x

-∞

0 f(x)→?… -1 -0.1 -0.01 -0.00101 0.1 0.01 0.001…f(x)→?

x→-∞… -1 -10 -100 -1000+∞1 10 100 1000 …x→+∞

Interpretación gráfica de la definición de límite

Y

H x Xx > H

f(x)L

L + ε

L - ε

Lxfx

=+∞→

)(lim

Definición de límite de una función en un punto

Hx >

Lxfx

=+∞→

)(lim , L ∈ R si ∀ ε > 0 ∃ H > 0 / ∀ x ∈ Α,

⇒ ε<−< Lxf )(0

Hx −<

Lxfx

=−∞→

)(lim , L ∈ R si ∀ ε > 0 ∃ H > 0 / ∀ x ∈ Α,

⇒ ε<−< Lxf )(0

Límites laterales

Límites laterales

x → a+ ⇒ f(x) → L

x → a- ⇒ f(x) → +∞

a

L

Teorema (Relación entre límite y límites laterales)

Existe si, y sólo si, existen los limites laterales,

y y ambos coinciden. Además,

Limites laterales

)(lim xfax→

)(lim xfax +→

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax +→−→→

==

)(lim xfax −→

Teorema (Unicidad del límite)

Si una función tiene límite o límite lateral en un punto, entonces dicho límite es único.

Infinitésimos

Sean f y infinitésimos en a, tales que .

Entonces se dice que f y g son infinitésimos equivalentes en a.

Una función f es un infinitésimo en el punto a si

Definición de infinitésimo

0)(lim =→

xfax

1)()(lim =

→ xgxf

ax

Definición de infinitésimos equivalentes

Si en una expresión se sustituye un infinitésimo en a, que intervenga como factor o divisor, por otro equivalente, el límite en a de la expresión no varía. Es decir, si f y g son infinitésimos equivalentes,

Si f es una función acotada en un intervalo reducido del punto a y g es un inifinitésimo en a, entonces el producto f.g es un infinitésimo en a.

Proposición

)()(lim

)()(lim

xgxh

xfxh

axax →→=

Proposición

( ) ( ))().(lim)().(lim xgxhxfxhaxax →→

=

Tabla de infinitésimos

x-1x-1

Lxsen (x-1)

x → 1

xxxxx2/2xLaxx1/n(x-1)

sen xtg xarcsen xarctg x1 – cos xax-1ex-1L(1+x)x1/n-1

x → 0

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto si existe límite en el punto y coincide con el valor que toma la función en dicho punto. Es decir, f es continua en a si, y sólo si,

)()(lim afxfax

=→

Diferentes tipos de discontinuidad

Sea una función f discontinua en el punto a. Se dice que:

1) f tiene una discontinuidad evitable en a si existe y es finito el .

2) f tiene una discontinuidad no evitable en a en caso contrario.

3) Si f tiene una discontinuidad no evitable y existen los límites laterales de f en a, y son finitos aunque distintos, se llama salto en a a la distancia:

)(lim)(lim xfxfaxax −→→

−+

)(lim xfax→

Diferentes tipos de discontinuidad

Y

aX

f(a)Y

aX

Y

aX

f(a) f(a)

f es continua en x = a f tiene una discontinuidad evitable en x = a f tiene salto en x = a

Algunas notas sobre continuidad

Definición de continuidad en un conjuntoLa función f: A → R es continua en el conjunto A si es continua en todos los puntos de A.

Teorema de Bolzano: Sea [a,b] ⊂ R y f: [a,b] → R una función continua tal que en los extremos del intervalo toma valores de signo contrario (signo de f(a) ≠ signo de f(b)). En este caso existe un punto x0 ∈ (a,b) tal que f(x0) = 0.

Y

f(a) X

f(b)

Algunas notas sobre continuidad

Teorema de Darboux o de los valores intermedios: Sea f: [a,b] → R una función continua entonces f toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Y

f(a)

X

f(b)f(x)

Teorema : Sea f: [a,b] → R una función continua entonces f está acotada en [a,b].

Algunas notas sobre continuidad

Teorema de Weiertrass: Sea f: [a,b] → R una

función continua, entonces f alcanza el máximo y

el mínimo en el intervalo [a,b], es decir, existen x1

y x2 ∈ [a,b] tales que f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para todo x

∈ [a,b].