Históricamente, el problema de la herencia de los camellos está en un documento egipcio antiguo, el papyrus de Ahmes.El problema fue generalizado por el matemático italiano, Leonardo de Pisa (1175?-1250?), también conocido como Fibonacci. Vamos a adaptar el texto a nuestro Valle.

En el Valle de Valverde ocurrió una historia digna de ser contada, para la cual debes intentar hallar solución.Encontramos a tres hermanos

(Vistrebundo, Sisebuto y Eufrasia) que discutían acaloradamente al lado de un grupo de 17 vacas.Furiosos se gritaban improperios

y se deseaban desgracias:

¡No puede ser! ¡Esto es un robo!

¡No acepto!

-Somos hermanos –dijo Vistremundo- y recibimos, como herencia, esas 17 vacas. Según la expresa la voluntad de Donaciano, nuestro padre, a mi me corresponde la mitad ya que soy el mayor, mi hermano Sisebuto una tercera parte, y Eufrasia, la más joven, una novena parte.

Sepamos de qué se trataba:

No sabemos cómo dividir de esa manera las 17 vacas.

Busca y razona el motivo por el que no se puede hacer el reparto sin sacrificar ningún animal. ¿Se te ocurre alguna idea para solucionar el caso? En caso de no llegar a una solución individualmente, puedes hacerlo en grupo con tus compañeros.

A lo largo de la unidad os iré dando pistas si es necesario.

Comprender y utilizar los distintos conceptos de fracción.Reconocer y calcular fracciones equivalentes

Aplicar la equivalencia de fracciones para facilitar los distintos procesos matemáticos

Operar con fracciones.

Resolver problemas con números fraccionarios.

Identificar, clasificar y relacionar los números racionales y los decimales.

Calcular potencias de exponente entero.

Utilizar las potencias de base diez para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Reducir expresiones numéricas o algebraicas con potencias.

Una fracción es una división indicada

Consta de dos partes:

Numerador: son las partes que tomamos de la unidad

Denominador: son las partes en las que dividimos la unidad.

Partes en que hemos dividido a la unidad… 8

Partes que tomamos… 5

Denominador

Numerador

Raya de la fracción

Fracción propia: La que tiene el numerador menor que el denominador.

Representación en la recta racional

0 1-1 2/4

1/4 3/4

-

Fracción propia: La que tiene el numerador menor que el denominador.

Representación en la recta racional

0 1-1

1/3 2/3

-

Fracción propia: La que tiene el numerador menor que el denominador.

Representación en la recta racional

0 1-1

-

-1/5

-2/5

-3/5

-4/5

Fracción impropia: es la que tiene el numerador mayor que el denominador

¿Cómo?No es posible,

necesitamos otra unidadDividimos la

unidad en tres partes…

Y cogemos cinco

Por tanto una fracción impropia la podríamos descomponer en dos partes, una entera y una fraccionaria.En este caso una unidad más 2/3

= +

Representa en tu cuaderno las

siguientes fracciones:

2/5, 6/5, 9/4, 2/4 y 8/3

Una Fracción es una división indicada.

La mayor parte de las veces puedes deducir mentalmente lo que vale la fracción. (Si es menor o mayor que uno, mayor que dos o tres o…)

Vamos a decir mentalmente el valor que tienen las siguientes fracciones:

2/3 , 7/5 , 1/4 , 6/2 , 8/3 , 25/4 , 3/2

Entre 0 y 1

Entre 1 y 2

Entre 0 y 1

3 Entre 2 y 3

Entre 6 y 7

Entre 1 y 2

Fracción impropia: es la que tiene el numerador mayor que el denominador

¿Cómo?No es posible,

necesitamos otra unidadDividimos la

unidad en tres partes…

Y cogemos cinco

Por tanto una fracción impropia la podríamos descomponer en dos partes, una entera y una fraccionaria.En este caso una unidad más 2/3

= +

Representa en tu cuaderno las

siguientes fracciones:

2/5, 6/5, 9/4, 2/4 y 8/3

Calcula los 2/3 de 180Supongamos que esta es la unidad

180606060

Dividimos la unidad en tres partes.Cada parte tendrá 60

Como son dos partes: 120NOTA: Para hacer la fracción de un número, se divide el número por el denominador y al resultado lo multiplicamos por el numerador

120

Ejercicio: Calcula en tu cuaderno el valor de los 3/7 de 63, 2/5 de 70 y 6/3 de 24

Dos fracciones son equivalentes cuando su representación gráfica coincide. (tienen el mismo valor)

También decimos que dos fracciones son equivalentes cuando es igual su producto cruzado.

6 x 4 = 24

8 x 3 = 24

De siempre se ha llamado a esta particularidad PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS

PROPORCIONESY se define como el producto de medios es igual al producto de

extremos

EXTREMOS

MEDIOS

Hemos dicho que dos fracciones son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos. Pero vamos a utilizar una estrategia para encontrar rápidamente fracciones equivalentes a una dada: FÍJATE

Para hacer fracciones equivalentes, basta con multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número.

La mayor parte de las veces es preferible trabajar con números pequeños, sobre todo si tenemos en cuenta que las fracciones tienen el mismo valor.

Para simplificar fracciones se dividen el numerador y el denominador por el mismo número tantas veces como sea posible hasta que ambos sean primos entre si.

La forma más sencilla de hacerlo es buscar el m.c. d. de ambos y dividir por él.

Veamos cómo se hace

Descomposición

Factorial

DefiniciónFactorización

24 212 26 23 31

60 3

20 54 22 21

24 =23.3

60=22.3.5

m.c.d.=22.3 = 12

24 =2.2.2.360=2.2.3.5

XX XX X X

Para comparar fracciones, la mayor parte de las veces, necesitamos que las partes sean iguales…

El procedimiento más rápido para hacer que las partes sean iguales es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Veamos en la diapositiva siguiente cómo lo hacemos.

M.C.M

FACTORES M.C.MFAC2 2 3 3

1 Deno 2 2 X X 9

2Deno X X 3 3 4

3 Deno 2 2 3 X 3

Por 9

Por 4

1

4

4

9

5

124 = 22

9 = 32

12 = 22. 3} m.c.m. = 22.32

m.c.m. = 36

Ayúdate de esta tabla para encontrar los numeradores

Descomponemos factorialmente los denominadores:

Fracciones equivalentesColocamos el m.c.m. como denominador

36 36 36

¿Por cuánto he multiplicado al 4 para que de 36?

¿Por cuánto he multiplicado al 9 para que de 36?

¿Por cuánto he multiplicado al 12 para que de 36?

Por 3

AlNumerador

También Por

9

9

AlNumerador

También Por

4

16

AlNumerador

También Por

3

15

Compara ahora las fracciones:¿Fácil, no?

< <

Para sumar o restar fracciones es condición indispensable que tengan igual

denominador (las partes han de ser iguales)Reducimos a común denominador por el

m.c.m. y hacemos las fracciones equivalentes utilizando el procedimiento de

la diapositiva anterior1

15

7

18

3

12

4

9+ +-

9 = 32

12 = 22 .318 = 22 . 32

18 = 3 . 5

m.c.m = 22 . 32. 5

= 180

denominadores180180180180

+ +-Denom 1

22 3 3 533 2080

Denom 2 1545Denom 3 10

70

Denom 4 12

12 =80 + 45 – 70 + 12

180

137 – 70

180=

67

180=

Una fracción de otra es el producto de ambas3

12

4

9de

3

12

4

9.=

Se multiplican los numeradores y los denominadores

=12

108

ReducimosPor 12

1

9=

Fracción de un número3

4de 72 =

3 . 72

4= 48

Esto es una fracción que tiene

denominador 1

7216

1616

16

Fracción inversa

3

12

4

9:

3

12Es la que se obtiene si volteamos sus

términosPara dividir fracciones multiplicamos al

dividendo por la inversa del divisor

3

12

4

9. =

48

27

ReducimosPor 3

16

9=

3

12

4

9:

Para ahorrar tiempo puedes dividir

multiplicando en cruz

48

27

ReducimosPor 3

16

9

A la hora de “atacar” un problema, debes tener en cuenta el siguiente esquema:

Lee detenidamente el enunciado y trata

de ponerte e la “situación” que

se plantea

Si puedes, juega con objetos que te

simulen la situación del problema,

dibuja, experimenta,…

Cuando ya lo tengas todo

claro, puedes contestar a estas dos preguntas:

A veces un dibujo

soluciona el problema,

como suele suceder en

estos ejercicios de fracciones…

¿Qué me pide?

¿Qué se yo?

En tal caso, felicidades, te voy

a valorar el hallazgo, pero no te conformes con

ello. Intenta resolverlo

matemáticamente

Incógnitas

ecuaciones

Igual número de ecuaciones que de incógnitas y cuantas menos mejor.

PLANTEO

RESOLUCIÓNSOLUCIONES

COMPROBACIÓN(EN EL ENUNCIADO)

He gastado 2/5 de mi dinero en un bocadillo y aún me quedan 3,6 euros. ¿Cuánto dinero tenía al

principio?¿Lo has leído bien?

¿Podemos comenzar?

Vamos a representar…Las cinco partesEl dinero que tenía

El bocadillo (2/5)Luego estas tres partes son 3,6 euros…O sea que cada una son 1,2 € y las cinco juntas 6 €

TENIA 6 € AL PRINCIPIO

1,2 1,2 1,2 1,2 1,2

He gastado 2/5 de mi dinero en un bocadillo y aún me quedan 3,6 euros. ¿Cuánto dinero tenía al

principio?El bocadillo eran los

2/5La unidad tiene 5/5Luego nos quedan los

3/5Los 3/5 son 3,6 euros

Pasemos esto a una ecuación

3/5 de x son 3,6 euros

3

5x = 3,6

3x

5= 3,6 ; = 3,6 . 5 ;

= 18 =18/3;x

3x

3x = 6x;Debemos comprobar¿Dónde?

En

el enu

nciad

o

Este crucero tiene 1/3 de su altura por debajo de la línea de flotación.1/5 hasta la línea roja

Y el resto, hasta el extremo de su antena, son diez metros y medio. Calcula la altura total del crucero.

1

3

1

31

5

1

5

+ =5

153

15=+

8

15

10,5

m

.

Reducimos a común denominadorRepresentamosLa unidad son 15/15La parte conocida son 7/15La parte desconocida son 8/15Esos 7/15 miden 10,5 metros

Por tanto 1/15 mide 1,5 metrosY los 15/15 medirán 22,5 metros

22,5 m.

SOLUCIÓN:El crucero mide 22,5

metros de alto

Este crucero tiene 1/3 de su altura por debajo de la línea de flotación.1/5 hasta la línea roja

Y el resto, hasta el extremo de su antena, son diez metros y medio. Calcula la altura total del crucero.

1x

3

1x

5

10,5

m

.

1x

3

1x

5+ =

5x

15

3x

15=+

8x

15

x

Llamamos x a la altura total del crucero

8x

15+ 10,5 = x ;

Multiplicamos por el denominador 15

CADA SUMANDO

8x + 157,5 = 15x;

TRANSPOSICIÓNde términos

8x-157,5 = 15x ;

157,5 = 7x ; 157,5/7 = x ; =22,5 x

SOLUCIÓN:El crucero mide 22,5

metros de altoDebemos comprobar

¿Dónde?

En

el enu

nciad

o

Mi dinero

He gastado1/5 de mi dinero en comida.3/4 de lo que me quedaba en un libro.Aún me sobran 2 €.¿Cuánto dinero tenía al principio?

22222TOTAL

10 Euros

Veamos con una ecuación

Mi dinero

He gastado1/5 de mi dinero en comida.3/4 de lo que me quedaba en un libro.Aún me sobran 2 €.¿Cuánto dinero tenía al principio? x1x

5 1x

5

3

4 3

4

2 euros

+ + 2 = x 4x

5

4x

5Multiplicamos por el

m.c.m. 20 CADA SUMANDO

;

Realizamos el producto indicado

1x

5

12x

20+ + 2 = x ;

4x + 12x + 40 = 20x ; 16x + 40 = 20x; 40 = 20x - 16x40 = 4x; 40/4 = x; 10 = x;

SOLUCIÓN:El dinero que

tenía al principio eran

10 €Debemos comprobar

¿Dónde?

En

el enu

nciad

o

El número decimal es el resultado de realizar la división indicada en una fracción

Al realizar una división podemos obtener tantos restos diferentes como indique el divisor (como máximo)

Si no obtenemos ningún resto cero entonces han de repetirse tanto el resto como el cociente.Veamos esto con ejemplos:

Número entero6/3 6:3=

2

Número decimal

Decimal exacto6/4 6:4=1,5

Decimal

periódico

puro8/3 8:3=2,66…

La parte periódica comienza con la primera cifra decimalmixto

43/30 43:30=1,4333…La parte decimal tiene una parte no periódica y otra periódica

2,6

1,43

134/99 =f;

2,35 = f;

2,35

235 = 100f; 235/100 = f; Reduce

1,35

1,35 = f

135,35 = 100f

Restamos 134 =

99f;112 = 99f;

Reduce

Se pone la parte entera seguida de la parte periódica, se le resta la parte entera y se divide por tantos nueves como tenga el periodo

112350/99900 = f;

1,12362

1,12362 = f;

112,362 = 100f;

112362,362 = 100000fColocamos para

restar

restamos

112350 = 99900f;

Reduce

Se pone la parte entera seguida de la parte no periódica y la periódica se le resta la parte entera seguida de la periódica y se divide por tantos nueves como tenga el periodo seguidos de tantos ceros como tenga el no periodo.

Ejercicios básicos de fracciones con hotpotatoes

Decimales, fracciones y porcentajes

Para aprender, trabajar y ejercitarse

Ejercicios para trabajar con la PDILa fracción de un númeroFraccionadorFraciones como decimal y porcentaje

Teoría: unidades, ejercicios para realizar en tu cuaderno.

http://descartes.cnice.mecd.es

/1y2_eso/fracciones/index.htm

DESCARTES

Se evaluarán los siguientes aspectos: La actitud y trabajo en el aula: Atiendes, participas, intervienes individualmente o en equipo, … 10%

El trabajo personal en casa: realizas los deberes, haces tus trabajos, … 10%

Las anotaciones de aula a lo largo del tema: por hacer bien los ejercicios en la pizarra o el ordenador, contestar bien a la teoría, ayudar a un compañero, ... 10%

El cuaderno de trabajo: contiene los ejercicios propuestos tanto en clase como en casa, está bien presentado,… 10%

Los ejercicios enviados al profesor en formato informático por correo electrónico o si están en tu carpeta de trabajo. 10%

La prueba de evaluación específica de la unidad (puede ser en formato informático y/o papel) 50%

Pasaba por allí Ángel, el padre de Leticia.Y llegó Toño, el herrero de Friera

Los dos comentaron lo siguiente:

-Ángel: Llevo en el camión una vaca, ayúdame a bajarla y se la doy para que hagan el reparto.

-Toño:¿vas a regalarle una vaca?

-Ángel:Tú no te preocupes. Cuando repartan todos los animales, subiremos mi vaca en el camión y habremos solucionado su problema.

¿Podrán hacer de este modo el reparto? ¿Cumplirán los hermanos los deseos de su padre?

Razona la nueva situación.