1

1 Prctica Calificada

Grupo N 1

Integrante:

Alvarez Luque, Diego Roberth

Cuneo Torres, Aldo Martin Emilio

Nacarino Villegas Jeison

Alvarez Chauca Harold Steep

Cuaresma Urbano John

Benzaquen Salazar Benjamn

Mamami Aquino Joel Edson

Clavo Carreazo Roosbel Antony

2

Problema 1

Calcular el valor de la integral

*( )( ) +

* + ( )

( ) ( )

* +

( ) ( )

( )

{( )( )

}

{

} ( )

( ) ( )

{

}

( ) ( )

( )

3

Problema 7

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

( ) ( )

4

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Problema 10

Sabemos que:

( )( )

( )

( )

Entonces:

( )( )

( )

( ) ( )

5

Luego damos al numerador:

( )

Hacemos la primera derivada para dar forma:

( )

( )

De (1) despejamos:

( )

( ) ( )( ) ( )

Reemplazamos (2) en (3)

( )

( )

Reemplazamos datos iniciales:

( )

6

Problema 13

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

7

PROBLEMA 15

Dada la curva ( ) , , -. Calcular la integral:

Donde ( )

Sea ( ) es analtica para todo

, -

(

)

( )

Problema 18

Al girarlo al vector - /2 se convierte en el vector - .

Problema 21

Calcular la integral

siendo el camino de la figura:

Para el primer camino

( ) , -

( )

8

Para el segundo camino

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

24.- Represente graficamente.

Sea z=x+yi ; para todos lo casos:

a) x+y=x2+y2

0=(x2-x)+ (y2-y)

9

R=(1/2)

b) 1x2+y2

x2+y2 1

e) y2 -2>0

10

f) x2+y2=1

25) Determinar los puntos singulares de las siguientes funciones

) ( )

( )

( )

) ( )

) ( )

( )( )

( )( )

11

Problema 27

Dada la funcin derivable en el abierto D, se define la aplicacin ( ) ( )

comprobar que se verifica la igualdad:

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) ( )- , ( )

( )- ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ( ) ( )- , ( )

( )] ( )

( ) ( )

, ( ) ( )- [ ( )*

( ) ( )+]

, ( ) ( )- ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

[ ( ) ( ) ( )

( )] ( ), ( ) ( )-

( )

( ) ( )

12

PROBLEMA 28

Sea ( ) , , -. Calcular en funcin del parmetro el valor de las siguientes integrales:

)

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

)

( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

13

29.- Sea la siguiente funcin ( ) ( ) se pide calcular:

a) Los puntos de C para los cuales f es derivable.

b) El valor de la integral de f a lo largo de la siguiente curva.

a) Los puntos de C para los cuales f es derivable.

Para que la funcin sea derivable debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy Riemann.

f(z)=sen( )

z=x+yi ; =x-yi

f(z)=

(ei(x-iy)-e-i(x-yi)) =

(eix+y-e-y-xi)

f(z)=

(ey(cosx+isenx)-e-y(cosx-isenx))

f(z)=

(cosx(ey-e-y)+isenx(ey+e-y))

f(z)=

senx(ey+e-y)-

cosx(ey-e-y)

por lo tanto:

u(x,y)=

senx(ey+e-y)

v(x,y)=

cosx(ey-e-y)

Procedemos a calcular las derivadas parciales:

( )

=

cosx(ey+e-y)

( )

=

cosx(ey-e-y)

14

( )

=

senx(ey-e-y)

( )

=

senx(ey-e-y)

Para este caso, no cumple con las ecuaciones de Cauchy para el plano complejo C,

por lo que procederemos hallar los puntos en los cuales si cumple:

( )

=

( )

cosx(ey+e-y)=

cosx(ey-e-y)

cosx(ey+e-y)= 0; ey-e-y 0

cosx=0

entonces se tiene los puntos para x:

x=( )

;n Z, por lo tanto y R

( )

( )

senx(ey-e-y)=

senx(ey-e-y)

senx(ey-e-y)= 0; ey-e-y 0

ey =e-y ; por lo tanto y=0;

x=n ; n Z

Como se tiene que cumplir ambas ecuaciones entonces tenemos los puntos donde

existe la derivada de ( ).

Z= (n

; 0); n

b) El valor de la integral de f a lo largo de la curva.

= 1U 2U 3

1 y=x,0 x 1

1 z(t)=t+it

15

( )=t-it

z`=derivada de

z`=1+i;

( ) ( ( )) ( )

=

(ei(t-it)-e-i(t-it))(1+i)dt

( )

( ( )

et+it dt + ( )

e-t-it dt)

( )

(e1+i +e-1-i-2)

Para el segundo caso:

2 y=1,-1 x 1

2 ( )= -t+i; ,-1 t 1

( )=-t-i

z`=derivada de

z`=-1+0i;

( ) ( ( )) ( )

=

(ei(-t-i)-e-i(-t-i))(-1)dt

( )

( ( )

e1-it dt - ( )

e-1+it dt)

( )

(e1-i -e-1+i-e-1+i e-1-i)

Para el tercer caso:

3 y=-x,-1 x 0

3 ( )= t-it; ,-1 t 0

( )=t+it

z`=derivada de

z`=-1+0i;

16

( ) ( ( )) ( )

=

(ei(t+it)-e-i(t+it))(1-i)dt

( )

( ( )

e-t+it dt - ( )

et-it dt)

( )

(2-e1-i-e-1+i )

De los tres casos al unirlos tenemos la integral total sobre cada lnea:

( )

( )

( )

=

(e1-i-e-1+i +e-1+i+e-1-i) +

(4-e1-i-e1+i- e-1+i+e-1-i)

31) Demostrar ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) (

) (

( )

)

( )

(

)