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CARL FRIEDRICH GAUSS

ESTUDIO DE SU OBRA “DISQUISITIONES ARITHMETICAE” Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES CON REGLA Y COMPÁS

Pablo García Hernández, diciembre de 2006.

Universidad Autónoma de Madrid

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Índice…………………………………. 1. Introducción……………………………………………………Pag. 2 2. Disquisitiones Arithmeticae………………………………………. 3 3. Introducción a la construcción de polígonos regulares con regla y compás……………….……………………………………………. 6 4. Estudio de la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae…….. 8 5. Construcción de un heptadecágono regular con regla y compás………………………………………………………………… 9 6. Wantzel……………………………………………………………..12 7. Gauss: Biografía……………………………………………………14 8. Referencias…………………………………………………………19

Anexos

� Disquisitiones Arithmeticae, Carl Friedrich Gauss (1801) � Journal de Mathématiques. Recherches sur le moyens

reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, M. L. Wantzel (1836)

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1.INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene como finalidad hacer un estudio de la obra de Gauss centrándose en su primera época y su primer libro, “Disquisitiones Arithmeticae”. Dicho libro pasa por ser una de las obra maestras de las matemáticas y contiene algunos de los resultados más famosos de Gauss. No se pretende entrar en analizar todos los resultados de “Disquisitiones Arithmeticae“ pero sí hacer una descripción de los temas más relevantes que en él se tratan y profundizar en el resultado que le llevó a concluir qué polígonos regulares podían ser construidos con regla y compás. El teorema que da respuesta a esta pregunta fue publicado por Gauss en este libro en 1801 pero su demostración quedó incompleta, siendo el matemático francés Pierre Wantzel el responsable de concluirla en 1837. Por eso este resultado es también conocido como Teorema de Gauss-Wantzel y es por ello también que analizaremos ligeramente la obra en la que Wantzel publicó su demostración del resultado anteriormente citado. Para completar el estudio mostraremos la construcción del polígono regular de 17 lados, el heptadecágono, que fue el que catapultó a Gauss a la fama y la punta de lanza de la teoría de números que posteriormente describió en “Disquisitiones Arithmeticae”, y también se ofrece una biografía detallada de Carl Friedrich Gauss así como las referencias utilizadas para la elaboración de este trabajo. Es éste por tanto un documento de valor consultivo que debe servir como una primera aproximación a algunos de los resultados más fascinantes de Gauss.

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2.DISQUISITIONES ARITHMETICAE

Este libro es sin duda el primer gran libro de Gauss y una de las obras fundamentales de la historia de las matemáticas. Fue escrito en latín cuando Gauss tenía tan solo 24 años. Gauss acomete la elaboración de sus “disquisiciones aritméticas” durante su estancia en la universidad de Göttingen entre los años 1795 y 1798. En él recoge dos de sus resultados más brillantes hasta ese momento: la descomposición de todo número entero en tres triangulares y la construcción del heptadecágono regular. Sin embargo el libro no se editará hasta el verano de 1801. Con este libro Gauss dota a la Teoría de Números de una entidad similar a la del análisis o la geometría y se convierte definitivamente en una rama de las matemáticas. Las “disquisiciones” tratan sobre números enteros y excluye a menudo a los fraccionarios y siempre a los irracionales. El libro se organiza en siete secciones:

1. Números congruentes en general

2. Congruencias de primer grado

3. Residuos de potencias

4. Congruencias de segundo grado

5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado

6. Aplicaciones de las nociones anteriores

7. Ecuaciones de las secciones de un círculo.

Secciones I y II

Gauss introduce por primera vez en esta sección la notación aritmética en congruencias. Así, dos números enteros a y b cuya diferencia a-b sea divisible por el número m pasan a denominarse congruentes respecto al módulo m, y la notación será aºb (mod m). Por ejemplo, 100º2 (mod 7) o 35º2 (mod 11).

Esta notación tiene la ventaja de permitir sumar, restar, multiplicar, … congruencias con tal de que el módulo sea el mismo en todas y

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por tanto trabajar con ecuaciones con congruencias: ax+b = c (mod m).

Gauss aplica estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la cantidad de números primos con A y menores que él.

Secciones III y IV

En estas secciones aborda los residuos cuadráticos y de potencias superiores.

Demuestra entre otras cosas el Pequeño Teorema de Fermat: “Si p es un número primo que no divide a a, a p -1

– 1 es siempre divisible por p”. Y el de Wilson: “El producto de todos los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible por dicho número”

En la sección cuarta Gauss enuncia su Teorema Aureum que es la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática. Algo que Euler y Legendre habían intentado antes sin éxito y que Gauss consiguió con sólo 19 años.

Secciones V, VI y VII

En ellas trata de las formas cuadráticas y sus aplicaciones y ocupan más de la mitad de las “Disquisitiones Arithmeticae”.

Un número entero M puede representarse mediante la expresión ax2 + 2bxy + cy2 = M, donde a, b, c, x e y son número enteros. A esta expresión Euler la denominó forma cuadrática. Gauss utilizó estas formas para demostrar teoremas de teoría de números. En esta sección proporciona resultados de inmenso valor como el que descubrió en 1796 y que resolvía uno de los retos de Fermat. Un reto que ni Euler había logrado resolver. Gauss demuestra por primera vez en la Historia el siguiente postulado de Fermat: “Todo número entero positivo puede escribirse como la suma de tres números triangulares”. (Nota: Un número triangular es un número que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero)

En la sección séptima habla de las ecuaciones que definen las secciones del círculo y que vienen a resolver el problema tantas

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veces planteado desde la antigüedad, ¿qué polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás? En el último artículo, el 366, Gauss escribe:

(Para poder seccionar geométricamente el círculo en N partes iguales)... se requiere que N no contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez. De esta forma, se encuentran los 38 valores de N menores que 300:

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.

En esta sección Gauss incluye el que fue su primer resultado estrella, la construcción del polígono regular de 17 lados.

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3.INTRODUCCIÓN A LA CONSTRUCCIÓN

DE POLÍGONOS REGULARES CON REGLA Y

COMPÁS

En 1796 Gauss se hizo definitivamente con un nombre en la escena científica mundial cuando demostró que un polígono regular con un número p de lados, siendo p un número primo de Fermat puede ser construido con regla y compás. Un primo Fermat es un número entero positivo de la forma donde n es un entero no negativo. Este fue un descubrimiento de gran importancia en el campo de las matemáticas ya que este tipo de problemas de construcción de polígonos habían ocupado a los matemáticos desde los días de la antigua Grecia. El propio Gauss estaba tan orgulloso de este resultado que pidió que un heptadecágono como el que le sirvió de ejemplo para ilustrar este resultado fuera inscrito en su tumba. Sin embargo el encargado de hacer la lápida se negó a hacerlo porque mantenía que la difícil construcción de este polígono haría que pareciera casi un círculo. En 1796 Gauss demostró que se puede construir un polígono de 17 lados para 5 años después, en 1801, desarrollar la teoría de períodos Gaussianos en su libro “Disquisiciones Aritméticas”. Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para demostrar qué polígonos regulares se pueden construir con regla y compás y cuales no. Dice Gauss: Es condición suficiente que los factores primos impares de n sean primos de Fermat diferentes entre sí (un número de Fermat tiene la forma Fk = 22k +1). En 1837, Wantzel probó que también la anterior condición es necesaria, cosa que Gauss creyó también pero de la que no dio demostración alguna. Periodos Gaussianos. En el área de la teoría de números, un periodo gaussiano es un tipo de suma de las raíces primitivas de la unidad. Estos periodos permiten hacer cálculos explícitos en áreas ciclotómicas en relación con la teoría de grupos de Galois. Fueron introducidos por Gauss como base de su teoría de construcciones con regla y compás. En la construcción del famoso heptadecágono regular, Gauss basó su argumento en el álgebra de

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dichos periodos por los que 2 cos(2!/17) pasa a escribirse como "+"16 donde " = exp (2 ! i /17). En general, dado un entero n>1, los periodos gaussianos son la suma de varias raíces n-ésimas de 1, o lo que es lo mismo de varias sumas de términos "a donde " = exp(2!i/n) y a es un número entero coprimo con n.

Para cada subgrupo H del grupo existe un periodo gaussiano P, y podemos definir para cada órbita O de H que actúa sobre las raíces n-ésimas P=P(O) como la suma de los "a en la órbita O. La situación más sencilla se dará cuando n es primo y p>2. En ese caso G es un grupo cíclico de orden p – 1, y tiene un subgrupo H de orden d para cada factor d que divide a p – 1. Por ejemplo, podemos tomar H de índice 2. En ese caso H está formado por los restos cuadráticos módulo p. Así es que un ejemplo de periodo gaussiano sería P= " + "4 + "9 + … De este modo, como Gauss supo, P satisface la ecuación cuadrática con coeficientes enteros. En el siguiente apartado se da una muestra más clara y explícita de cómo Gauss utilizó esta teoría en la sección séptima de sus “Disquisitiones Arithmeticae”.

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4.ESTUDIO DE LA SECCIÓN VII DE “DISQUISITIONES ARITHMETICAE” La sección séptima de las disquisiciones aritméticas de Gauss se concentra en el estudio de la ecuación xn = 1 donde n es un número primo. Gauss teoriza acerca de la posibilidad de resolver esta ecuación mediante una cadena de ecuaciones auxiliares de grados cada vez menores. Esta condición de grado era completamente nueva en la teoría de ecuaciones. Gauss primero demostró que el polinomio #n (x) = (x

n – 1) (x – 1)-1 = xn-1 + xn-2 + … + x + 1 no podía descomponerse en factores con coeficientes racionales, o lo que es lo mismo, que era irreducible sobre Q. De hecho demostró por primera vez en la historia que los polinomios de una familia infinita son irreducibles. La ecuación #n (x) = 0, tiene la propiedad que sus soluciones, las llamadas raíces primitivas de la unidad, consisten precisamente en las potencias ", "2 , …, "n-2 , "n-1 de una solución arbitraria ". Esto ya era conocido antes de la época de Gauss, la novedad de su razonamiento consistía en ordenar las n-ésimas primeras raíces primitivas de la unidad de una forma razonable: "e(i) (0 < i <n – 2) con e(i) = gi, siendo g una raíz primitiva módulo n. Para cualquier factorización n – 1 = ef, se pueden construir un número e de nuevas cantidades $0, $1, …, $e-1, los llamados periodos de f términos. Estos periodos satisfacen una ecuación auxiliar de grado e con coeficientes racionales, mientras que cada raíz primitiva n-ésima "k satisface una ecuación de grado f cuyos coeficientes dependen racionalmente de los periodos. Factorizando f más adelante se pueden obtener nuevas ecuaciones auxiliares, y así sucesivamente hasta terminar el proceso. Las soluciones de xn = 1 están representadas por los vértices de polígono regular de n lados en el plano complejo. Un resultado geométricamente interesante se da cuando n es un primo de Fermat, como por ejemplo n=17=24+1. En ese caso todas las ecuaciones auxiliares anteriormente mencionadas tiene grado 2, y su solución corresponde a una construcción que se puede hacer con regla y compás.

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5. CONSTRUCCIÓN DE UN HEPTADECÁGONO REGULAR CON REGLA Y COMPÁS.

Los antiguos griegos daban mucha importancia al problema de saber qué polígonos regulares podían ser construidos con regla y compás. Sabían construir un triángulo regular, un cuadrado y un pentágono, y como consecuencia de esto sabía doblar el número de lados de un polígono mediante la bisección del ángulo. También conocían la forma de construir un polígono regular de 15 lados combinando un triángulo y un pentágono. Durante 2000 años no se hallaron otros polígonos regulares de n lados que pudieran ser construidos con regla y compás. Sin embargo, el 30 de Marzo de 1796, Gauss cuando tenía sólo 19 años descubrió la forma de construir un polígono de 17 lados, el heptadecágono. Se dice que pudo haber sido este descubrimiento el que le llevó a hacer una carrera en el campo de las matemáticas en vez de en el de la filología. El resultado fue publicado en una columna del periódico "Intellegenzblatt der allgemeinen Litteraturzeitung" el 1 de Junio de 1976 por A.W. Zimmermann, un profesor del “Collegium Carolinum” y uno de los primeros mentores de Gauss. Posteriormente Gauss incluyó este resultado al final de su libro Disquisitiones Arithmeticae en el que prueba que es posible la construcción de cualquier polígono regular de n lados cuando n es un primo de la forma que son los primos de Fermat. En sus disquisiciones aritméticas Gauss da sólo la expresión algebraica para el coseno de 2PI/17 en términos de raíces cuadradas consecutivas: cos(2pi/17) = -1/16 + 1/16 (%17) + 1/16 %[34 - 2%(17)] + 1/8 %[17 + 3%(17) - %(34-2%(17)) - 2%(34+2%(17)] que resolvería la división de la circunferencia en 17 partes iguales. Esta condición de constructibilidad basada en los primos de Fermat es necesaria y suficiente pero nunca publicó la demostración de la parte necesaria.

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El área de un heptadecágono regular es . Para ilustrar la construcción del polígono regular de 17 lados una de las mejores demostraciones la dio Richmond en 1893. Esta demostración fue recogida por Stewart en su libro “La teoría de Galois”. Esta demostración dice: Dibuja un círculo centrado en O y elige un vértice V en el círculo. Localiza después el punto A del círculo tal que OA es perpendicular a OV y dibuja el punto B en el segmento OA tal que OB es & de OA. Después encuentra el punto C en OV que hace que el ángulo OBC sea & del ángulo OBV. Encuentra el punto D en el segmento OV extendido tal que DBC es la mitad de un ángulo recto. Sea E el punto que denota donde el círculo en DV corta a OA. Ahora dibuja un círculo centrado en C que pase por el punto E, y deja que F y G denoten los dos puntos donde el círculo se encuentra con OV. Entonces, si se dibujan las rectas perpendiculares a OV por F y G, éstas cortarán al círculo primitivo (el centrado en O que pasa por V) en los puntos V3 y V5, como se muestra en la figura más abajo:

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Los puntos V, V3, y V5 son los vértices 0, tercero y quinto de un heptadecágono regular. Los siguientes vértices son fáciles de encontrar (por ejemplo, bisecando el ángulo V3 O V5 para encontrar el vértice V4). Otra construcción: Henri Lebesgue publicó en 1937 la siguiente construcción del heptadecágono regular que atribuyó a Andre-Marie Ampere. Sea (0) un círculo de centro 0.

Y

A_6 | A_4

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K

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X--F*----D*-H--E*-C--O-F-D-----G-E----A

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B

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Z

1. Dibuja los diámetros XA perpendiculares a YZ 2. Cuadriseca el radio 0Z por B. 3. Dibuja CB perpendicular a BA (C descansa sobre OX) 4. Dibuja el semicírculo (C, CB) intersecando XA en D, D* 5. Dibuja el semicírculo (D, DB) intersecando XA en E, E* 6. Dibuja el semicírculo (D*, D*B) intersecando XA en F, F* 7. Dibuja el semicírculo de diámetro AE*, intersecando OY en K 8. Dibuja el semicírculo (F, FK) intersecando XA en G, H. 9. Dibuja las perpendiculares desde G, H, intersecando el (0) en A_4, A_6.

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Ahora A = A_1, A_4, A_6 son vértices del heptadecágono. Tenemos arc(A_4A_6) = 4 Pi / 17. Lo bisecamos para encontrar A_5, y con ello el lado del polígono regular de 17 lados. Esta es una construcción fácilmente recordable: 5 semicírculos y 4 perpendiculares.

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6.Wantzel

Pierre Laurent Wantzel (1814 – 1848) fue un matemático francés nacido en París que en 1837 publicó su obra “Recherches sur le moyens de reconnaître si un Problème Géométrie peut sé résoudre avec la règle et le compas” en el prestigioso Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. En esta obra Wantzel da respuesta a los problemas de la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la construcción de polígonos regulares con regla y compás. Para ello lo que hace es abordar estos problemas de geometría a través del álgebra. Supone que un problema de geometría puede ser resuelto por la intersección de líneas rectas y circunferencias de círculos. Al combinar los puntos así obtenidos con los centros de los círculos y con los puntos que determinan las rectas, el resultado es un conjunto de triángulos cuyos elementos pueden ser calculados mediante fórmulas trigonométricas. Además estas fórmulas serán ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado. Así el problema se reduce a resolver series de ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes son funciones racionales de las raíces de las ecuaciones precedentes. Además para que la construcción sea posible con regla y compás las raíces de las ecuaciones de las que partimos deberán ser algebraicas. Partiendo de este argumento Wantzel elabora una teoría por la cual concluye que aquellos problemas de geometría que conducen a la resolución de una ecuación cuyo grado no es una potencia de 2 no pueden resueltos con regla y compás, o lo que es lo mismo, como intersección de líneas y círculos. De esta forma la duplicación del cubo que depende de la ecuación x3 – 2a3 = 0 sería imposible de realizar con regla y compás ya que ésta ecuación es irreducible. Así mismo la trisección del ángulo sería también inviable ya que depende de la ecuación x3 – ' x + & a = 0 que es irreducible si no hay raíz que sea una función racional de a, y esto no puede ser ya que imponemos que a sea algebraico. De esta forma Wantzel demostró que ninguno de estos dos problemas podía ser resuelto por regla y compás. El problema de la construcción de polígonos regulares con regla y compás se puede abordar como intentar resolver el problema de la división del círculo en partes iguales. Y esto no es más que resolver la ecuación xm – 1 = 0 para m primo o una potencia de un primo. Si m es primo la ecuación (xm – 1) / (x – 1 ) = 0 de grado m – 1 es

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irreducible como adelantó Gauss en sus disquisiciones aritméticas sección VII por lo que la división no puede hacerse por construcciones geométricas si m – 1 = 2n. Si por el contrario m fuese de la forma a( Wantzel demuestra que para este caso la única raíz de a que resolvería el problema sería a = 2. Por tanto, Wantzel deduce que, “la división del círculo en N partes iguales se puede hacer por regla y compás sólo si los factores primos de N que son distintos de 2 son de la forma 2n + 1 y si además sólo incluyen la primera potencia de este número”. Este mismo resultado fue escrito por Gauss al final de su libro “Disquisitiones Arithmeticae” pero no dio demostración alguna.

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7.Gauss: Biografía Johan Carl Friedrich Gauss nació el 30 de Abril de 1777 en Brunswick (Ducado de Brunswick), que actualmente pertenece a Alemania. A la edad de 7 años Gauss empezó la escuela elemental donde casi inmediatamente se empezó a descubrir su gran potencial. Su profesor, Büttner, y su asistente, Martin Bartels, se quedaron impresionados cuando Gauss sumó todos los números enteros desde el 1 hasta el 100 en un instante al descubrir que dicha suma consistía en 50 parejas de números en la que cada par suma 101. En 1788 Gauss empezó su educación en el “Gymnasium” con la ayuda de Büttner y Bartels donde aprendió Alemán Avanzado y Latín. Tras recibir una beca del Duque de Brunswick, Gauss entró en el Collegium Carolinum de Brunswick en 1792. En 1795 Gauss dejó Brunswick para ir a estudiar a la Universidad de Göttingen. El profesor de Gauss en la universidad fue Kästner, a quien Gauss a menudo ridiculizaba. En 1798 dejó Göttingen con un diploma, pero para entonces ya había hecho uno de sus más importantes descubrimientos, la construcción con regla y compás de un polígono regular de 17 lados. Este fue el mayor avance en este campo desde la época de la antigua Grecia y fue publicado en la sección VII del famoso libro de Gauss, “Disquisitiones Arithmeticae”. Gauss volvió a Brunswick donde se licenció en 1799. Después de que el Duque de Brunswick aceptara continuar pagando su beca, éste pidió a Gauss que mandara una disertación doctoral a la Universidad de Helmstedt. Dicha disertación fue un discurso sobre el Teorema Fundamental del Álgebra. Gracias a la beca de la que disfrutaba Gauss no necesitaba trabajar para mantenerse por lo que podía dedicarse enteramente a la investigación. Publicó su libro “Disquisitiones Arithmeticae” en el verano de 1801. El libro contenía 7 secciones de las cuales las 6 primeras versaban sobre teoría de números. En junio de 1801, un astrónomo de nombre Zach publicó las posiciones orbitales de Ceres, un pequeño planeta que había sido recientemente descubierto por Piazzi, un astrónomo italiano. Piazzi sólo fue capaz de observar 9 grados de la órbita de Ceres antes que éste se ocultara tras el Sol. Zach publicó varias predicciones sobre la posición del planeta, incluyendo una de Gauss que difería bastante de las demás teorías. Cuando Ceres fue redescubierto por

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Zach en diciembre de 1801 se encontraba exactamente donde Gauss había predicho. En Junio de 1802 otro eminente astrónomo, Olbers, propuso que se nombrara a Gauss director del observatorio de Göttingen cosa que finalmente no ocurrió. Gauss se casó con Johanna Ostoff en Octubre de 1805. Es en esa época cuando su benefactor el Duque de Brunswick es asesinado en la guerra luchando en el ejército prusiano. En 1807 finalmente Gauss dejó Brunswick para convertirse en director del observatorio de Göttingen. En 1808 su padre muere y un año después su esposa también fallece tras dar a luz a su segundo hijo, quien murió momentos después que su madre. Gauss se casó por segunda vez al año siguiente con Minna, la mejor amiga de Johanna. El trabajo de Gauss nunca pareció verse afectado por su tragedia personal. Publicó su libro sobre teoría de cuerpos celestes en 1809. En el primer volumen trataba de ecuaciones diferenciales, secciones cónicas y órbitas elípticas, mientras que en el segundo se mostraba cómo estimar la órbita de un planeta y posteriormente refinarla. Hasta el año 1817 aparte de teorías astronómicas publicó también trabajos sobre tratamientos de series y una aproximación a la función hipergeométrica, un ensayo sobre integración aproximada, discusiones sobre estimadores estadísticos y un último trabajo inspirado en problemas geodésicos. Desde principios de siglo Gauss estaba muy interesado en la posible existencia de una geometría no euclídea. De hecho en 1816 confesó a un amigo que creía en la existencia de una geometría no euclídea pero que no se atrevía a decirlo en público por miedo a que su reputación se viera afectada. De hecho, posteriormente afirmó haber tenido dicha convicción desde que tenía 15 años. Gauss tenía un interés especial por la geometría diferencial, y llegó a publicar bastante acerca de este tema. Su libro más importante en este campo fue “Disquisiciones generales sobre superficies curvas” en 1828. En este libro se incluían por primera vez ideas geométricas como la curvatura de Gauss, y también su famoso Teorema Egregio. Por esta época Gauss recibió una oferta para trabajar en la universidad de Berlín pero él prefirió siempre permanecer en Göttingen. A partir de 1830 Gauss se centra en el campo de la física en el que trabaja colaborando con Weber. Profundiza en las teorías existentes sobre magnetismo terrestre y llega a enunciar en estos trabajos el que posteriormente se conocerá como Principio de Dirichlet aunque

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sin dar prueba alguna. Weber abandona Göttingen en 1837 y a partir de entonces la intensidad en el trabajo de Gauss empieza a decrecer. En esta época también se muestra bastante interesado en los trabajos de otros matemáticos como Eisenstein y Lobachevsky. Gauss pasó los años que van desde 1845 a 1851 dedicado a organizar la fundación de la universidad de Göttingen, ocupación que le permitió obtener experiencia en el campo de la matemática financiera que le llevaría posteriormente a hacer una gran fortuna. Gauss presentó su lectura de jubilación en 1849. A partir de 1850 el trabajo de Gauss fue meramente práctico aunque en ese tiempo dio su aprobación la tesis doctoral de Riemann. Su última experiencia científica fue una discusión sobre el péndulo de Fouccalt modificado en 1854. Gauss murió el 23 de Febrero de 1855.

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8.Referencias.

• School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, MacTutor Reference.

• Wikipedia, English version.

• Göttinger Digitalisierungs-Zentrum

• Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801)

• Journal de mathématiques pures et appliqués (1836)

• American Scientist Online

• Wolfram MathWorld

• Carl Friedrich Gauss, by O. Neumann