MATERIA: METODOS NUMERICOS

TEMA: RESOLUCION DE MATRICES DE n x n MEDIANTE GAUSS-JORDAN

REALIZADO POR: JUAN PLAZA

PROFESOR: ING. PAUL TORRES

2015-2015

I. RESUMENEn el presente trabajo de investigacin trata acerca de la resolucin de sistemas de n ecuaciones por n incgnitas mediante el mtodo GAUSS-JORDAN, para la cual desarrollaremos un programa para determinar dichos valores de forma rpida y eficaz, este programa ser realizado en Matlab donde el mismo garantizara una resolucin de n ecuaciones con n incognitas.

II. INTRODUCCIONEl mtodo de Gauss-Jordn es una variacin de la eliminacin gaussiana. La principal diferencia consiste en que mtodo de Gauss-Jordn cuando se elimina una incgnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminacin genera una matriz identidad en vez de una matriz triangular. Por consiguiente, no es necesario emplear la sustitucin hacia atrs para obtener la solucin.

III. MODELO MATEMATICOPara la resolucion del sistema de n ecuaciones con n incognitas nos basamos basicamente en la siguiente matriz

Algoritmo de eliminacin de Gauss-Jordn.1. Ir a la columna no cero extrema izquierda2. Si el primer rengln tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga.3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando mltiplos adecuados del rengln superior a los renglones debajo de l.4. Cubrir el rengln superior y repetir el proceso anterior con la sub matriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).Comenzando con el ltimo rengln no cero, avanzar hacia arriba: para cada rengln obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de ste sumando mltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

A continuacion se muestra la programacion en Matlab utilizada para la resolucion del sistema de n ecuaciones con n incognitas.clc, clearn=input('De cuantas ecuaciones se compone el sistema?:'); %Reservamos espacio anticipadamente para optimizar.M=zeros(n, n); Y = zeros(n,1); X = Y; % Lectura de la matriz de coeficientes.disp('Lectura de la matriz de coeficentes.')for i=1:n for j=1:n fprintf('Ingrese un valor para M(%d, %d): ',i,j) M(i, j)=input(''); endenddisp('Lectura del vector column Y')for i=1:n fprintf('Ingrese un valor para Y(%d): ',i) Y(i) = input('');end% Formamos la matriz ampliadaA=[M,Y]; %Elimanacion hacia adelantefor j=1:n-1 %seleccionando al mayor pivote posible. indiceF =j; %indice fila del mayor. for i=j+1:n if(abs(A(i, j)) > abs(A(indiceF, j)) ) indiceF=i; end end %intercambiamos si es necesario. if(j ~=indiceF) vectorTemporal=A(j, :); A(j, :) =A(indiceF, :); A(indiceF, :) =vectorTemporal; end for i=j+1:n A(i,:)= A(i,:)+A(j,:)*(-A(i,j)/A(j,j)); endend % Sustitucion hacia atras.for i=n: -1:1 X(i)=A(i,n+1); for j=i+1:n X(i)= X(i) - X(j)*A(i,j); end X(i) = X(i)/A(i,i);end disp('Se ha encontrado el valor de las incognitas: ')Xformat long

RESOLUCION ANALITICAA continuacin resolveremos tres ejercicios mediante los mtodos de GAUSS SIMPLE y GAUSS-JORDAN con las siguientes cifras significativas 2, 4 y 15.

EJERCICIO 1

LA SIGUIENTE RESOLUCIN ES CON GAUSS-JORDAN

LA SIGUIENTE RESOLUCIN ES CON GAUSS SIMPLE CON 4 DGITOS

X= -14.90 -29.50 19.80

RESOLUCION MEDIANTE CALCULADORA CX CAS

EJERCICIO 2

LA SIGUIENTE RESOLUCIN ES CON GAUSS-JORDAN

LA SIGUIENTE RESOLUCIN ES CON GAUSS SIMPLE

X= 1.943 0.621 1.745 3.031 0.352

RESOLUCION MEDIANTE CALCULADORA CX CAS

Donde: v= X4, x= X2,z=X1,b=X5,c=X3v=3.0278407693942 and x=0.61707093535653 and z=1.938800033486 and b=0.35209391783046 and c=1.7417266358555

EJERCICIO 3 Resuelva el siguiente Sistema de 10 ecuaciones con 10 incognitas

LA SIGUIENTE RESOLUCIN ES CON GAUSS SIMPLE

Ingrese Matriz A =[0.7 -6.2 -4.6 0.7 -2.9 20.6 -7.2 -14.1 -13.7 2;4 7.3 -9.3 15.2 1.1 16.7 0.6 -18.6 7.7 1;-0.1 -1.2 -0.2 -13 -6.12 11 7.1 11.3 -11.3 -3;2.3 -9.3 -9.1 12.1 -14.7 3.3 -9.6 -1.2 23.6 -0.5;-1.5 -0.2 0.1 -3.6 12 9.2 -8.19 9.9 -9.8 1;-6.2 6 -3.2 16 -11.7 7.6 -7.15 -6.1 6.18 0.8;-3 -0.6 7 -14.2 -3.2 15.2 -18.2 15 -29.3 2.1;-2.2 4.1 -2.2 -0.1 -6.1 17.6 9.6 -1.1 -0.6 3.4;-0.9 -7 -0.4 -0.3 5 1.3 -17.1 0.1 4 0.2;1.2 -0.3 -2 2.4 -8 0.2 20.1 -19.2 -3.1 0.12]

A =

0.7000 -6.2000 -4.6000 0.7000 -2.9000 20.6000 -7.2000 -14.1000 -13.7000 2.0000 4.0000 7.3000 -9.3000 15.2000 1.1000 16.7000 0.6000 -18.6000 7.7000 1.0000 -0.1000 -1.2000 -0.2000 -13.0000 -6.1200 11.0000 7.1000 11.3000 -11.3000 -3.0000 2.3000 -9.3000 -9.1000 12.1000 -14.7000 3.3000 -9.6000 -1.2000 23.6000 -0.5000 -1.5000 -0.2000 0.1000 -3.6000 12.0000 9.2000 -8.1900 9.9000 -9.8000 1.0000 -6.2000 6.0000 -3.2000 16.0000 -11.7000 7.6000 -7.1500 -6.1000 6.1800 0.8000 -3.0000 -0.6000 7.0000 -14.2000 -3.2000 15.2000 -18.2000 15.0000 -29.3000 2.1000 -2.2000 4.1000 -2.2000 -0.1000 -6.1000 17.6000 9.6000 -1.1000 -0.6000 3.4000 -0.9000 -7.0000 -0.4000 -0.3000 5.0000 1.3000 -17.1000 0.1000 4.0000 0.2000 1.2000 -0.3000 -2.0000 2.4000 -8.0000 0.2000 20.1000 -19.2000 -3.1000 0.1200

Ingrese Matriz B =[0;-3;5;1;-0.3;-3;2;5;-1;1]

B =

0 -3.0000 5.0000 1.0000 -0.3000 -3.0000 2.0000 5.0000 -1.0000 1.0000

X= 0.2187 -0.3526 0.9162 0.0606 -0.0424 0.4039 0.2380 0.1137 0.2212 -0.1311

LA SIGUIENTE RESOLUCIN ES CON GAUSS-JORDAN CON 4 DGITOS

RESOLUCION MEDIANTE CALCULADORA CX CAS

a=0.20518520852376 and b=0.33438972937841 and c=0.85277254053993 and d=0.039918138208169 and e=0.046451750859351 and f=0.3831526962387 and g=0.22856223027776 and h=0.11110185318285 and i=0.21270724066468 and j=0.11170860670003

IV. ANALISIS DE RESULTADOS

EJERCICIO 1

Como podemos observar los errores en estos tres casos no varan debido a que los resultados son los mismos debido a que no cuentan con ms cifras significativas.

EJERCICIO 2

Los errores calculados se han realizado en relacin entre las respuestas del clculo mediante Gauss Simple con las Gauss Jordan, Gauss Jordan con la calculadora CAS y finalmente el valor obtenido de la calculadora CAS con el de Gauss Simple, y se observa una variacin en los errores debido a las respuestas las cuales por ejemplo en la calculadora consideran ms decimales que en los otros clculos.EJERCICIO 3

Los errores calculados se han realizado en relacin entre las respuestas del clculo mediante Gauss Simple con las Gauss Jordn, Gauss Jordn con la calculadora CAS y finalmente el valor obtenido de la calculadora CAS con el de Gauss Simple, y se observa una variacin en los errores debido a las respuestas las cuales por ejemplo en la calculadora consideran ms decimales que en los otros clculos.

V. CONCLUSIONES Los errores calculados que se muestran en las tablas anteriores se puede observar que existen en parte una gran variacin entre los mismo esto se da debido a que los programas calculan de diferente manera y la calculadora CAS considera mayor cifras decimales. De tal manera tenemos dicha desviacin entre respuestas.

VI. BIBLIOGRAFIA http://grupos.unican.es/electromagnetismo/OLD_WEB/paginas/docencia/4481/web-propag-guiada/pdf/tutoriales/apuntes_matlab.pdf https://www.youtube.com/watch?v=vTil-ey8uZc Mtodos numricos para ingenieros de Steven C. Chapra, Raymound P. Canale.