Tarea 3

Yasnuri Farrn - Valeria Valenzuela

Clculo Numrico

21 de octubre de 2014

Pregunta 1

Considere los sistemas lineales 3 3 que tienen la misma matriz de coecientes.(a) Resuelva los sistemas aplicando eliminacin Gaussiana a la matriz aumentada.

2 3 1 ... 2 6 0 11 1 1 ... 1 4 1 01 1 3 ... 0 5 3 0

Solucin:

Resolviendo los sistemas mediante eliminacin Gaussiana tenemos,2 3 1 ... 2 6 0 11 1 1 ... 1 4 1 01 1 3 ... 0 5 3 0

Hacemos las operaciones la 12f1 + f2 f2 y 12f1 + f3 f3, obteniendo

2 3 1 ... 2 6 0 10 52 32.

.

. 2 1 1 120 12 52.

.

. 1 8 3 12

Hacemos las operaciones la

15f2 + f3 f3, obteniendo

2 3 1 ... 2 6 0 10 52 32.

.

. 2 1 1 120 0 165.

.

.

35

415 145 25

1

Clculo Numrico 2

Usando sustitucin regresiva, se tiene que para el primer sistema la solucin es (18 ,1116 , 316)t,para el segundo (378 ,

3116 ,

4116)

t, para el tercero (14 ,18 ,78)t y, nalmente, para el cuarto lasolucin es (14 , 18 ,18)t.(b) Resuelva los sistemas lineales multiplicndolos por la inversa de 2 3 11 1 1

1 1 3

Se tiene que la inversa de la matriz dada es

1

7

1 4 12 52 321 12 52

Luego, se tiene que la solucin del primer sistema es

1

7

1 4 12 52 321 12 52

210

=181116

316

mientras la del segundo es

1

7

1 4 12 52 321 12 52

645

=37831

164116

la del tercer sistema es

1

7

1 4 12 52 321 12 52

013

= 141878

y la del cuarto sistema es

1

7

1 4 12 52 321 12 52

100

=141

818

(c) Cul mtodo requiere ms operaciones?

Solucin:

Al usar eliminacin de Gauss a la matriz ampliada se requieren 42 operaciones, y al realizarla sustitucin se requieren 9 4 = 36 operaciones extras. As, en total, para resolver loscuatros sistemas, se utilizaron 78 operaciones elementales.

Para calcular la inversa de la matriz se requieren 45 operaciones, mientras que hacer elproducto A1b, para los cuatro sistemas se requieren 15 4 = 60 operaciones extras. As,en total, para resolver los cuatros sistemas, se utilizaron 105 operaciones elementales.

Por lo tanto, el mtodo de la inversa requiere ms operaciones.

Clculo Numrico 3

Pregunta 3-d

Use el algoritmo de eliminacin Gaussiana para resolver el sistema lineal siguiente, de ser

posible, y determine si se requieren intercambios de las:

x1 + x2 + x4 = 2

2x1 + x2 x3 + x4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 x4 = 4

3x1 x2 x3 + 2x4 = 3

Solucin:

Trabajamos con la matriz aumentada1 1 0 1.

.

. 2

2 1 1 1 ... 11 2 3 1 ... 43 1 1 2 ... 3

Hacemos las operaciones la 2f1 + f2 f2, f1 + f3 f3 y 3f1 + f4 f4, obteniendo

1 1 0 1.

.

. 2

0 1 1 1 ... 30 3 3 0.

.

. 6

0 4 1 1 ... 9

Hacemos las operaciones la 3f2 + f3 f3 y 4f2 + f4 f4, obteniendo

1 1 0 1.

.

. 2

0 1 1 1 ... 30 0 0 3 ... 30 0 3 3.

.

. 3

Intercambiando las las 3 y 4, se obtiene

1 1 0 1.

.

. 2

0 1 1 1 ... 30 0 3 3.

.

. 3

0 0 0 3 ... 3

Ahora, usando sustitucin regresiva, se tiene que la solucin es (1, 2, 0, 1)t.

Clculo Numrico 4

Pregunta 6-d

Dena los intercambios de la que se requieren para resolver el siguiente sistema lineal con

el algoritmo de eliminacin Gaussiana.

x1 x2 + x3 = 57x1 + 5x2 x3 = 82x1 + x2 + x3 = 7

Solucin:

Para resolver el sistema lineal usando el algoritmo de eliminacin Gaussiana se requieren las

siguientes operaciones las:

7f1 + f2 f22f1 + f3 f314f2 + f3 f3

Pregunta 8-c

Use eliminacin Gaussiana y la aritmtica de truncamiento a tres dgitos para resolver el

siguiente sistema lineal. Despus, compare las aproximaciones con la solucin real.

3.03x1 12.1x2 + 14x3 = 1193.03x1 + 12.1x2 7x3 = 1206.11x1 14.2x2 + 21x3 = 139Solucin real:

(0, 10,

1

7

)Solucin:

Usando el mtodo de eliminacin Gaussiana, usamos la matriz aumentada

3.03 12.1 14 ... 1193.03 12.1 7 ... 1206.11 14.2 21 ... 139

Hacemos las operaciones la f1 + f2 f2 y 2.01f1 + f3 f3, obteniendo

Clculo Numrico 5

3.03 12.1 14 ... 119

0 0 7.

.

. 1

0 10.1 7.14 ... 100

Intecambiando las las 2 y 3,

3.03 12.1 14 ... 119

0 10.1 7.14 ... 1000 0 7.

.

. 1

Ahora, usando sustitucin regresiva, se tiene que la solucin es x = (0.142, 9.79,0.983)t.Las mediciones de x x estn dadas por

||x x|| = mx{|0 + 0.983|, |10 9.79|, |0.142 0.142|}= mx{|0.0983|, |0.21|, |0|} = 0.21

y por

||x x||2 = [(0 + 0.983)2 + (10 9.79)2 + (0.142 0.142)2] 12= [(0.966) + (0.0441) + (0)]

12 = 1.00

Aunque las componentes x2y x3

son buenas aproximaciones de x2 y x3, la componente x1

es una aproximacin deciente de x1, y |x1 x1| domina las normas.

Pregunta 10-b

Considere las siguientes matrices. Encuentre la matriz de permutacin P, tal que PA se

puede factorizar en el producto LU. 0 1 11 2 11 1 1

Solucin:

La matriz P de permutaciones que permite la factorizacin PA = LU es

P =

0 1 01 0 00 0 1

Clculo Numrico 6

Pregunta 12-a

Obtenga factorizaciones de la forma A = (PtL)U aplicando el algoritmo de factorizacin LUcon lii = 1 para toda i.

A =

0 2 31 1 10 1 1

Solucin:

Se tiene que

A =

0 1 01 0 00 0 1

1 1 10 2 30 1 1

donde

P =

0 1 01 0 00 0 1

y B =

1 1 10 2 30 1 1

Desarrollando B, con las operacin la 12f2 + f3 f3, se obtiene que

U =

1 1 10 2 30 0 52

y m21 = 0 = m31 y m32 = 12 , denindose

L =

1 0 00 1 00 12 0

que son las matrices pedidas.

Pregunta 14

Se requiere resolver el sistema Ax = b, donde

A =

2 1 14 0 52 2 2

y b =

119

(a) Factorice A como (PtL)U con estrategia de pivoteo parcial. Indique las matrices L, U y

P. Encuentre la solucin x mediante este mtodo.

Clculo Numrico 7

Solucin:

Usando pivoteo parcial, un primer paso es

2 1 14 0 52 2 2

=0 1 01 0 0

0 0 1

4 0 52 1 12 2 2

Haciendo las operaciones la

12f1 + f2 f2 y 12f1 + f3 f3, se obtiene

0 1 01 0 00 0 1

4 0 50 1 320 2 12

y m21 = 12 = m31.Ahora, aplicando la permutacin se obtiene0 1 01 0 0

0 0 1

1 0 00 0 10 1 0

4 0 50 2 120 1 32

Usando la operacin la

12f2 + f3 f3, se obtiene

0 1 01 0 00 0 1

1 0 00 0 10 1 0

4 0 50 2 120 0 74

y m32 = 12 .Luego, denimos las matrices

P =

0 1 00 0 11 0 0

, L = 1 0 012 1 012 12 1

y U =

4 0 50 2 120 0 74

Resolviendo en primer lugar Ly = Pb, se obtiene

y =

1192254

Clculo Numrico 8

Ahora, resolvemos Ux = y, para encontrar la solucin nal dada por

x =

5914277257

(b) Encuentre el vector solucin x por el mtodo de eliminacin de Gauss (sin pivoteo parcial).

Solucin:

Trabajamos con la matriz aumentada

2 1 1.

.

. 1

4 0 5 ... 12 2 2 ... 9

Hacemos las operaciones la 2f1 + f2 f2 y f1 + f3 f3, para obtener

2 1 1.

.

. 1

0 2 3 ... 30 3 1 ... 8

Hacemos la operacin la

32f2 + f3 f3, para obtener

2 1 1.

.

. 1

0 2 3 ... 30 0 72.

.

.

252

Ahora, usando sustitucin regresiva, se tiene que la solucin es x =

(5914 ,277 ,257

)t.

Pregunta 16-b

Decida si las matrices son simtricas y denida positivas. En caso armativo obtenga la

factorizacin A = LLt, con

A =

1 2 3 02 5 6 13 6 10 20 1 2 6

Clculo Numrico 9

Solucin:

Como

At =

1 2 3 02 5 6 13 6 10 20 1 2 6

= Ase tiene que la matriz dada es simtrica.

Para comprobar si es denida positiva, calculamos las subdeterminantes:

|1| > 0, 1 22 5

= 1 > 0,

1 2 32 5 63 6 10

= 1 > 0,

1 2 3 02 5 6 13 6 10 20 1 2 6

= 1 > 0de donde se concluye que la matriz es denida positiva.

Para hacer la descomposicin A = LLt, con L dada por

L =

l11 0 0 0l21 l22 0 0l31 l32 l33 0l41 l42 l43 l44

debe cumplirse que

l211 = 1 l11 = 1l11l21 = 2 l21 = 2l11l31 = 3 l31 = 3l11l41 = 0 l41 = 0l221 + l

222 = 5 l22 = 1

l31l21 + l32l22 = 6 l32 = 0l41l21 + l42l22 = 1 l42 = 1l231 + l

232 + l

233 = 10 l33 = 1

l31l41 + l32l42 + l33l43 = 2 l43 = 2l241 + l

242 + l

243 + l

244 = 6 l44 = 1As, se obtiene que

L =

1 0 0 02 1 0 03 0 1 00 1 2 1

Clculo Numrico 10

Pregunta 19-b

Resuelva el siguiente sistema utilizando la factorizacin de Cholesky A = LLt.

2x1 x2 = 6x1 + 2x2 x3 = 4

x2 + 2x3 = 5

Solucin:

La matriz asociada al sistema es

A =

2 1 01 2 10 1 2

Se debe hacer la descomposicin A = LLt, con L dada por

L =

l11 0 0l21 l22 0l31 l31 l33

As, se debe cumplir que

l211 = 2 l11 =

2

l11l21 = 1 l21 = 12l11l31 = 0 l31 = 0

l221 + l222 = 2 l22 =

32

l31l21 + l32l22 = 2 l32 =

23

l231 + l232 + l

233 = 2 l33 = 23Resolviendo en primer lugar Ly = b, se obtiene

y =

62

23

133

6

Ahora, resolvemos Ltx = y, para encontrar la solucin nal dada por

x =

15432134

Clculo Numrico 11

Pregunta 21-c

Calcule las normas matriciales || ||1, || ||2, || ||1 para la siguiente matriz 2 1 01 2 10 1 2

Solucin:

Para la norma 1, debemos calcular:

3i=1

|ai1| = 3

3i=1

|ai2| = 4

3i=1

|ai3| = 3

de donde se obtiene que ||A||1 = max {3, 4} = 4.Para la norma 2, primero calculamos

AtA =

5 4 14 6 41 4 5

Buscamos los valores propios de AtA, obteniendo = 4, = 6 42, = 6 + 42, as, elradio espectral es (AtA) = 6 + 4

2.

Finalmente, se obtiene ||A||2 =

6 + 4

2.Para la norma , debemos calcular:

3i=1

|a1i| = 3

3i=1

|a2i| = 4

3i=1

|a3i| = 3

de donde se obtiene que ||A|| = max {3, 4} = 4.

Clculo Numrico 12

Pregunta 22-c

Determine el radio espectral de la siguiente matriz.2 1 01 2 00 0 4

Solucin:

Primero buscamos los valores propios de la matriz, es decir, resolvemos2 1 0

1 2 00 0 4

= 0de donde se obtienen los valores = 1, = 3, = 4.Luego, el radio espectral es = max {1, 3, 4} = 4

Pregunta 24-c

Calcule los nmeros de condicin de las siguiente matriz en relacin con || ||1

A =

(1 2

1.0001 2

)Solucin:

Sabemos que cond(A) = ||A||1||A1||1.La matriz inversa necesaria es

A1 =(10000 10000

5000.5 5000)Luego, para obtener la norma de A, calculamos

2i=1

|ai1| = 2.0001

2i=1

|ai2| = 4

de donde se obtiene que ||A||1 = 4.Para obtener la norma de A1, calculamos

2i=1

|ai1| = 15000.5

Clculo Numrico 13

2i=1

|ai2| = 15000

de donde se obtiene que ||A1||1 = 15000.5.Finalmente, se concluye que el nmero de condicin pedido es cond(A) = 60002.

Pregunta 25-c

Los siguientes sistemas lineales Ax = b tienen a x como solucin real y a x como solucinaproximada. Con los resultados del item 14, calcule ||x x||1 y K1 ||bAx

||1||A||1 , donde K1 es elnmero de condicin de la matriz A.

x1 x2 x3 = 2pix2 x3 = 0x3 = pi

x = (0,pi,pi)tx = (0.1,3.15,3.14)t

Solucin:

En primer lugar, calculamos

x x = 0pipi

0.13.153.14

=0.10.1

0

,de donde se tiene que ||x x||1 = 0.2.Ahora, calculamos

Ax =

1 1 10 1 10 0 1

0.13.153.14

= 6.190.01

3.14

,y

bAx =2pi0pi

6.190.01

3.14

=0.090.01

0

,de donde se tiene que ||bAx||1 = 0.1.Como K1 = ||A1||1||A||1, slo debemos calcular ||A1||1.Luego, como

A1 =

1 1 20 1 10 0 1

se cumple que ||A1||1 = max {1, 2, 4} = 4. As, nalmente, se tiene que K1 ||bAx

||1||A||1 = 0.4

Clculo Numrico 14

Pregunta 26

El sistema lineal

Ax =

(1 2

1.0001 2

)(x1x2

)=

(3

3.0001

)tiene solucin (1, 1)t. Transforme A ligeramente y considere el nuevo sistema lineal(

1 20.9999 2

)(x1x2

)=

(3

3.0001

)Calcule la nueva solucin usando aritmtica de redondeo a cinco dgitos y compare despus el

error real con el error estimado en la norma . Es A una matriz mal condicionada?.

Solucin:

En un primer paso, calculamos la inversa de la matriz modicada A, es decir

A1 =(

10000 100004999.5 5000

)as obtenemos la solucin del nuevo sistema x = A1b = (1, 2)t.Denimos el error como e = x x y el residuo como r = Ax. Para estimar el error,

Ae = A(x x) = AxAx = r.

Luego,

e =(

00.4441 1015

),

donde e es una aproximacin de eFinalmente, el nmero de condicin de la matriz modicada es cond(A) = 60000