La forma ideal de las cúpulas: el ensayo de Bouguer

DATOS BIOGRÁFICOS

Pierre Bouguer fue un brillante científico trancés dela primera mitad del siglo XVIII, miembro de la RealAcademia de Ciencias de París y de la Royal Societyde Londres (figura 1).] Nació en la ciudad de LeCroisic en 1698 y murió en París en 1758. Pierre es-tudió en el colegio de los jesuitas de Vannes, perofue su padre, lean Bouguer, durante más de veinteaños profesor real de hidrografía en Le Croisic y au-tor de un tratado de navegación, quien se ocupó de su

formación matemática y científica.2 Sin embargo,Pierre superaría muy pronto a su padre ya que a sumuerte, en 1714, ocupó su plaza de profesor, con tansólo dieciséis años, y rápidamente se convirtió en laprimera autoridad teórica sobre problemas naúticos.

En los años 1727, 1729 Y 1731 tres ensayos deBouguer fueron premiados por la Real Academia de

Ciencias de París, el primero sobre los mástiles delos barcos y el segundo y el tercero sobre los méto-dos de observación de la altitud de las estrellas y ladeclinación magnética en el mar. Estos premios le hi-cieron merecedor de su nombramiento en 1731 comogeómetra asociado de la Real Academia. Mientras

tanto Bouguer seguía dedicado a la docencia, habien-do sido nombrado en 1730 profesor de hidrografía enHavre, y comenzó a interesarse por otros problemas

científcos. Así, durante esos años estudió el proble-ma de la transmisión de la luz a través de sustanciastransparentes e inició la llamada fotometría astronó-

mica comparando el brillo aparente de las estrellas

Gema López Manzanares

Figura 1Retrato de Pierre Bouguer. Lamontagne (1964)

con el de la llama de una vela, investigaciones quepublicaría en su Essai d' aptique de 1729.

El año 1735 va a ser un año clave en la carreracientífica de Bouguer ya que va a ser nombrado

miembro de pleno derecho de la Real Academia de

Actas del Tercer Congreso Nacional de Historia de la Construcción, Sevilla, 26-28 octubre 2000, eds. A. Graciani, S. Huerta, E. Rabasa, M. Tabales, Madrid: I. Juan de Herrera, SEdHC, U. Sevilla, Junta Andalucía, COAAT Granada, CEHOPU, 2000.

604

Ciencias de París por su prestigio como hidrógrafo yfísico. Además, a ]a muerte del astrónomo Lieutaudva a ser nombrado pensionnaire astrónomo de laAcademia que le va a escoger para formar parte dela expedición enviada al Perú para medir un arco demeridiano en la zona del Ecuador. Por aquella época

uno de los grandes problemas que se planteaba laciencia era el de conocer la verdadera figura de laTierra y el mejor modo de averiguar si ésta era per-fectamente esférica o no era medir un arco de meri-diano en el Ecuador y en el polo Norte y compararambas mediciones. Así pues, Bouguer, junto a Char-les Marie de La Condamine, Louis Godin y Josephde Jussieu partieron de La Rochelle en 1735 y unaño después llegaron a Quito, lugar de comienzo dela expedición, que finalizaría en 1744. No sólo semidió el arco de meridiano sino que Bouguer apro-vechó el viaje para estudiar diversas cuestiones deastronomía, física, geografía, historia natural, etc.,por ejemplo, midió ]a dilatación de varios sólidos

valiéndose de la gran variación de temperaturas enla cordillera andina, investigó la refracción atmosfé-rica y la medición de la altitud con el barómetro ymidió la fuerza de la gravedad a diferentes latitUdes.Toda esa información aparece recogida en De la fi-gure de la terre, libro publicado en 1749 y que cons-titUye un verdadero modelo por la precisión y minu-ciosidad con que Bouguer aplica el métodocientífico.

Después de su largo viaje, Bouguer se verá en-

vuelto en una agria polémica con su compañero LaCondamine que duraría hasta 1754. Bouguer, quehabía sido el alma de la expedición, pensó que LaCondamine quería atribuirse todo el éxito y decidió

denunciarlo por escrito, ]0 que suscitó la respuestade su compañero de viaje. Al margen de esta polé-mica, de la que hablaba a su amigo Daniel Bernoulliy que afectó a su salud, Bouguer publicó varios tra-

tados más sobre construcción de barcos y navega-ción donde resolvía el problema de determinar elcentro de gravedad de un navío cargado, la coloca-ción de los mástiles o el empuje del viento sobre lasvelas. De 1752 a 1755 fue uno de los principales re-

dactores del Journal des Savants y en 1757 participóen la verificación del arco de meridiano comprendi-do entre París y Amiens con Pingré, Camus y Cassi-ni. También inventó el heliómetro, aparato que sirvepara medir los diámetros aparentes del sol y los pla-

netas.

G. LÓpez

El incansable Bouguer siguió trabajando hasta elfinal de su vida. En agosto de 1758 pocos días antesde morir y después de haber publicado numerosos li-bros y más de treinta ensayos en las Mémoires de laReal Academia de Ciencias de París y en el Journal

de Savants, Bouguer entregaba en una librería su úl-timo manuscrito, el de la segunda edición de su obrasobre la intensidad de ]a luz, que no pudo ya revisary que su amigo Lacaille publicaría como obra póstu-

ma.'

LA FORMA IDEAL DE LAS C(:PLLAS

Entre los numerosos ensayos publicados por Bou-guer en las Mémoires de /' Académie Royale des

Sciences de Paris aparece uno con fecha de 19 demayo de 1734, justo un año antes de partir haciaPerú, que lleva por título «Sur les lignes courbes qui

sont propres a former les voutes en dome» (figura2).4 Este ensayo, que no se menciona en ninguna de

las biografías de Bouguer\ y que sólo ha analizadoparcialmente Benvenuto constitUye un hito en e] de-sarrollo de la teoría de cúpulas, ya que, según el pro-

l!:J- .1

;;,; )

Figura 2

La forma ideal de las cúpulas. Bouguer (1734)

La forma ideal de las cúpulas: el ensayo de Bouguer 605

pio Bouguer señala, sobre el tema de las bóvedas ya

se habían ocupado muchos autores como Couplet,pero nadie había estudiado las cúpulas, tan frecuen-

tes en la mayoría de los edificios.El nuevo método científico se aplicaba a multitud

de problemas y entre ellos estaba el de la estabilidadde las bóvedas. Ya a finales del siglo XVII Hookeplantea los dos problemas básicos a resolver, el dc laforma ideal, que según él era la catenaria invertida yel del dimensionado del contrarresto, que era el querealmente interesaba a los constructores. Después ha-bían ido apareciendo ensayos como los de La Hire,Couplet, Danyzy, Parent o Pitot, en Francia o Gre-gory y Stirling, en Inglaterra, pero siempre en rela-

ción con arcos o bóvedas de cañón. Bouguer dirigepues su atención a un tema del mayor interés en ese

momento y resuelve el problema de encontrar la for-ma ideal, es decir, la ecuación matemática exacta delas curvas que por revolución pueden generar una cú-pula estable gracias a su gran capacidad como mate-

mático y su dominio del reciente cálculo integral ydiferencia].

Estructura del ensayo

El objetivo de Bouguer, expresado por é] mismo alcomienzo de su ensayo es averiguar qué formas decúpula son válidas desde un punto de vista estructu-ral, es decir, en equilibrio. Para ello considera la hi-pótesis de ausencia de rozamiento entre las dovelas,que para Bouguer no es real pero otorga un margen

de seguridad a los cálculos.La estructura del artículo es muy clara. En primer

lugar, establece las condiciones de equilibrio y hace

un recorrido para analizar ]a validez de los tres tiposbásicos de superficies de revolución: cóncavas, cóni-cas y convexas. Después obtiene la ecuación generaldel equilibrio relacionando la geometría con las car-gas de una cúpula cualquiera y resuelve tres prob]e-

mas fundamentales. E] primero consiste en calcularlos espesores que ha de tener una cúpula de una for-ma dada cualquiera para ser estable. En el segundorealiza un estudio de la validez de ciertas formas ha-bituales de cúpula de espesor conocido generadas porcurvas como la elipse, el semicírculo y la parábola.Por último, obtiene la ecuación de la forma límite, esdecir, aqueJla en la que los esfuerzos anulares son

nulos.

El equilibrio en las cúpulas

Bouguer comienza considerando una cúpula cua]-quiera obtenida por la revolución de la curva BbA en

torno a] eje AD (figura 3). Esta curva es la que pasapor el punto medio de los lechos de las dovelas que,

de acuerdo con la práctica, se consideran perpendicu-lares a la curva. El espesor es relativamente pequeñoen relación a las dimensiones de la cúpula.

Supongamos que sobre uno de estos lechos, HI,

actúa el empuje bC y que éste es perpendicular a élpor ]a ausencia de rozamiento, es decir, coincidente

con la curva de revolución, BbA, en el tramo Cb. Elempuje ]0 produce el peso de la parte de cúpula si-

tuada por encima, MN, y su magnitud MO se deducedel polígono de fuerzas. Ahora bien, la dirección delempuje varía infinitesima]mente desde la clave hasta

el arranque con el peso de las sucesivas hiladas anu-lares, es decir, para el Jecho KL (que delimita con HI

una dovela infinitesimal) habría que componer bCcon bF, y obtendríamos un nuevo empuje bG. Esteno tiene por qué ser perpendicular al lecho corres-pondiente, es decir, la curva que forma la «dirección

de la presión»6 puede o no coincidir con ]a superficiemedia de la cúpula aunque hayamos partido de un hi-potético empuje perpendicular al lecho.

Figura 3

El equilibrio en las cúpulas cóncavas. Bouguer (1734)

606

Se pueden dar tres casos en la posición relativa dela línea media bB, del empuje bC y del empuje bGque actúa sobre un Jecho situado inmediatamente pordebajo del anterior:

J. Cúpulas cóncavas

En este tipo de cúpulas si sumamos al empuje bC,que se supone perpendicular a un lecho dado HI, el

peso de una dovela infinitesimal, obtenemos un nue-

vo empuje bG que no es perpendicular al lecho conti-guo, pues presenta una componente dirigida hacia el

interior de la cúpula. Esta situación es estable siem-pre y cuando la curva AbB no sea horizontaJ en nin-gún punto, es decir, no existan problemas de desliza-

miento vertical de las dovelas. La explicación de laestabilidad se halla en el hecho de que en una cúpu]aes posible contar con el esfuerzo ejercido por las do-velas situadas a ambos lados de las juntas verticales,]0 cual no puede suceder en una bóveda de cañón. La

componente horizontal del empuje podría hacer vol-

car o desplazar la dovela hacia e] interior, pero es ab-sorbida por las juntas verticales adyacentes con unafuerza de compresión de igual magnitud.

Así pues, las formas engendradas por una curvacóncava, es decir, con el centro de curvatura en el ex-terior de] volumen engendrado serán siempre estables.

2. Cúpulas cónicas

Se trata de un caso límite del tipo anterior, como sonlas flechas y agujas, que siempre serán estables inde-pendientemente del ángulo de abertura en el vértice.Partiendo de un empuje perpedicular a un cierto le-cho, los incrementos infinitesimales de peso dan lu-gar a empujes con una componente horizontal dirigi-

da hacia el eje de revolución.

3. Cúpulas convexas

En este tipo de cúpulas el empuje bC es exterior altramo de curva media bB situado inmediatamentepor debajo del lecho HI correspondiente, aun siendoperpendicular a él (figuras 4 y 5). La situación es ad-misible mientras bG, que es el empuje que resulta alsumar al empuje bC eJ peso bF de la dovela HIKL

G. López

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Figura 4El equj]ibrio en las cúpulas convexas. Bouguer (1734)

Figura 5El equilibrio de fuerzas en un lecho. Bougucr (J 734)

La fonna ideal de las cúpulas: el ensayo de Bougucr 607

sea interior a la línea media bB. Pero esta situaciónpodría cambiar si, por ejemplo, la forma cambiara

bruscamente su curvatura. Habría una componentehorizontal del empuje hacia fuera que haría volcar odesplazaría la dovela, sin que en este caso nada pu-

diera colaborar a contrarrestar el esfuerzo, pues lasfábricas no resisten tracción (figura 6).

Es decir, no todas las formas convexas serán váli-das, sólo aquellas en las que la línea media bB se ha-

lle comprendida entre bC y bG. La límite será aque-lla en la que bB coincida con bG, en la que por tantolas juntas verticales no tendrán que soportar ningúntipo de esfuerzo de compresión ni de tracción.

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E

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Figura6Descomposición del empuje en una componente nonnal al

lI:cho y otra horilOntal que produce esfuerzos anulares N8

de compresión o tracción

Por lo tanto, las formas cóncavas y las cónicas sonsiempre estables gracias a la capacidad de las cúpu-

las para desarrollar esfuerzos anulares de compre-sión. Las formas convexas deberán cumplir ciertascondiciones, que se pueden resumir en que CG2:CB, condición geométrica de la que va a obtener la

ecuación general de equilibrio.

Ecuación de las curvas convexas idóneas

Bouguer traduce la condición CG 2: CB en una ecua-

ción diferencial que relaciona cargas y geometría dela cúpula.

En primer lugar, el valor del empuje bC en el le-cho HI se calcula en el polígono de fuerzas MNOPQ.Prolongando la tangente a la curva en b, obtiene elpunto M de intersección con el eje. MN es el peso to-

tal de la cúpula por encima del lecho HI. MO es elvalor del empuje bC y, por tanto, he será proporcio-nal al peso MQ de la mitad de cúpula situada por en-cima de HI, o sea, la parte AH. El empuje bC pasa aser el bG en el lecho inferior KL, que se obtendríacomponiendo el bC con el peso del anillo inferior,CG.7

Por otro lado, Bouguer analiza la geometría de lacurva de revolución tomando el eje AD como eje deabscisas x y el perpendicular BD como eje de orde-nadas y.s El segmento be = od ó el bE = oD será portanto un dx. Del mismo modo, BE será un dy. Portanto, si tomamos be = bE = dx Y BE = dy, entonces

bB, que representa la curva en el anillo HIKL será

bB = V(di + dx2).9 El área del trapecio HIKL será

entonces eV(di + dx2) , donde e es el espesor de lacúpula, HI ó KL. Como se trata de una superficie de

revolución, la relación entre el peso de las diversashiladas vendrá dada en función de la ordenada y o ra-dio horizontal y así, el peso de cada dovela infinitesi-mal de cúpula será e yV(di + dX2). El peso total de

la p¡[rte HA será la integral de esa expresión, J eyV(di + dx2).!O

De lo anterior se deduce que el peso total de la se-micúpula o parte de cúpula situada a un lado del eje

de revolución hasta una flecha HI cualquiera y pro-porcional a J e yV (di + dx2), será a he =bE = dx,!!comoel peso de una «dovela»infinitesimalde peso eyy/(df + (il2) a bF = CG, o sea CG = e ydxY (di + (b?)/

J e yV (di + dX2).De la condición CG 2:CB, dondeCB = dD = ddx, resultará que e ydxV (di + dx2)/

608

J e yY (di + dx') 2': ddx. Todas las curvas donde secumpla esa relación entre la x y la y serán válidas, yla límite será aquella en la que e ydxY (di + dx2)/ Je yY (di + dx2)=ddx. que Bouguer llama la Última.

Una vez determinada la ecuación diferencial quese ha de cumplir en las cúpulas convexas, Bouguerva a sacar diversas conclusiones prácticas: no sonadecuadas las curvas en las cuales la curvatura au-menta rápidamente, es decir, las que se aproximan

mucho al eje de revolución, ya que ddx se hace ma-yor que el otro término de la desigualdad. Hay un lí-mite, pues si la cúpula es muy convexa también pesa

más en la zona superior y el empuje que produce no

varía prácticamente su inclinación al componersecon el peso del anilJo inferior, esto es, podría resultarun empuje exterior a la curva. Expresando laecuación de otra manera, es decir, intercambiandoddx por la integral, e ydxV (dj + dx')/ ddx 2': J eyY (dj + dx') , se ve que efectivamente no se puede

sobrecargar mucho la zona superior de la cúpula yque, sin embargo, la desigualdad se cumpliría si el

peso se redujera e incluso fuera nulo.'2 La cúpula es

un tipo de bóveda peculiar y su comportamiento de-pende claramente de su hiladas anulares. En palabras

de Bouguer, «le Dome est, pour ansi dire. plus Vouteque les autres Voutes».1.1

Aplicaciones de la ecuación de equilibrio

El resto del ensayo lo dedica Bouguer a resolver tresproblemas que se pueden plantear al analizara unacúpula y para ello parte de la ecuación general deequilibrio obtenida.

IQ Problema

Espesor ideal de las cÚpulas para una dada

Como antes, Bouguer hace pasar la curva ideal por elpunto medio del espesor y establece que p sea el co-

ciente entre e ydxY (dj + dx1)/ ddx J e yV((¡j + dt2)

= p, que ha de ser 2': ] para que la cúpula esté en

equilibrio. Tomando p =1 que corresponde a un casolímite se obtiene la ecuación del espesor mínimo en

función de la geometría de la cúpula: e = pa dx 1'-/

ddx/ydyl'V (dj + dx2).14

G. López

2Q Problema

Estabilidad de una cÚpula de forma y espesor

Según Bouguer este problema resulta más difícil de

resolver que el primero puesto que pertenecería ala Geometría trascendente. Habría que ser capaces

de resolver la integral J e yV (dy2 + dx2) de la fór-

mula e ydxY (dj + dx2)/ ddx 2': J e yY (dy' + dx2).Comienza con el caso general del elipsoide o cú-

pula elíptica, Fig. 3 de la figura 2. Aunque él no es-

pecifica todos los pasos, se deduce de sus resulta-dos que ha tomado como sistema de coordenadas elde origen A y, por tanto, las coordenadas de lospuntos de una sección deberían responder a la ecua-ción de una elipse, donde a es AS y b, RT. Así: (a-

x!'la' + j/b2 = l, de donde x= a[l- (\I(b2- j))/bj.

Si diferenciamos esta expresión obtenemos como

Bouguer," dx = ay dy/bV(b2-j). Y, volviendo a di-

ferenciar esta expresión tendríamos: ddr = abdy2/(!/- 16

El siguiente paso sería sustituir esas expresionesen la fórmula ya conocida, e ydxV (di + dx')/ ddx

2': J e yV (di + dx2). El resultado vendría dado por:[el a dy'~~]/ b(Vy2) ddx 2': JreydyV(W +(a2-b')l)/(bl-y')]/b, donde podríamos sim-plificar la b. 17

Para resolver un ejemplo más sencillo de integrar,toma el caso particular de una cúpula esférica, en laque a =b = radio, y para la que el espesor será cons-tante. Sustituyendo en la expresión anterior obtiene:y'V(a2_y')2:- J (a2 ydy/V(a2-y'), e integrando resulta:y'V(a2_y2)2:- a'-a2~. Despejando en la ecua-ción, aV(-J/2 +Y5/4) 2:-y. Esta es la condición de

estabilidad para una cúpula esférica de espesor cons-tante, esto es, aquellas zonas de la cúpula cuya y seasuperior a ese valor presentarán empujes con unacomponente horizontal hacia el exterior y, por tanto,

serán inadmisibles. Toma un valor para el radio de1000 y de ahí deduce y = 382, YBB = 1572. O sea,un poco menos de 52" desde la clave hasta el bordede la cúpula será la apertura límite para construir unacúpula esférica segura.'H

Por último, termina este segundo apartado aplican-do el mismo procedimiento al estudio de las cúpulasde perfil parabólico.

HAUTEURS IHAUTEURSLARGEURS dcrmis le fornmct LA RG EU RS dc:puisle (ommct

du Dome.ju(qu'a julqu'a

dJJquc point du Dome. ch.aquc.pointde \':txc. de !'a:x:e.

100 01. ,,6o It9,,200 1 t 1600 172.1

3°0 5 j- '6to '986tOO 13 t '67° .2216

,°° .26 + 17°0 2t76600 t, j- 1720 ;>668

7°° 73 j- '7tO ;>878800 1 J 1 t 1760 31°79°0 J 63 t ,'}go 3357

1000 .232.:} 1800 36¡0

loBo3°5 f IB20 3928

114-0 372 ,8tO t2¡¡

1200 tp ,86o t613J260 ,5° ,gSo ,0°5'320 668 19°0 5+361360 76, 1920 \9°914-°0 869 '9tO 6+29

'+t° 992 '96o 7°°3't80

"35 '98o 7635

1520 13°1 .2000 833°

La fonna ideal de las cúpulas: el ensayo de Bouguer 609

]" ProblemaLa curva límite de las cúpulas

E] tercer problema resuelto por Bouguer es e] de ha-

llar una expresión manejable de ]a curvas admisiblesen las cúpulas ya que las ecuaciones iniciales erandemasiado generales. Primero desarrolla ]a ecuaciónpara un espesor variable y después toma un espesor

constante. Integrando por series para este segundocaso y fijando e] valor de p = ], que corresponde a

las curvas límite, despeja la x de ]a curva en funciónde potencias de y y de una constante de integración a:

x = i/6a + i/336 a3 + y"/42240 aS + yl5/9676800a7 + y'Y/3530096640 aY + 13/1880240947200 alJ +...

Para demostrar que las posibles curvas, infinitas,son fáciles de obtener a partir de esa ecuación, tomaun valor cualquiera de a = 100000 y elabora la tablade ordenadas y abscisas correspondiente, que no lle-ga a representar gráficamente (figuras 7 y 8).'Y

TABLEDa Dimmjiolls de la den/iire dt lOU{Ules Ligllu courbes,

'lui tjl propre a firma du DomeJ'.

Figura 7Tabla de abscisas y ordenanzas de una posible curva límite

Bouguer (1734)

Esta curva, mecánica según Bouguer, y que aun-que en ningún momento lo dice corresponde a una

catenaria de peso variable, estará en equilibrio per-fecto, es decir, no podría soportar cargas exterioresque alterasen mínimamente ese equilibrio. Sin em-bargo, Bouguer observa que en la realidad los lechos

de las dove]as sí tienen rozamiento, ]0 cual suponeuna mayor seguridad en la práctica. Además, en estecaso, a] ser la curva límite de todas las posibles ]a

más próxima a] eje, su empuje horizontal será el mí-nimo y, aunque no es de su competencia, dice haber-se asegurado de que sería agradable a ]a vista si lle-gara a construirse.

Por último, Bouguer termina su ensayo sugirien-

do una regla práctica para el caso en e] que ]a cú-pula trazada según esa curva soportase una linterna

o una pequeña cúpula, es decir, si estuviese perfo-rada en ]a clave: e] peso de la linterna debe ser me-nor o igual a] de ]a parte de cúpula que se ha supri-mido.20

y~X

Figura X

Representación gráfica de la curva obtenida por Bouguer.

A la izquierda, detalle de la zona de la clave

610

CONCLUSIONES

El ensayo de Bouguer es el primero en el que desdeun punto de vista científico, es decir, basado en lasleyes del equilibrio de fuerzas y el conocimiento de

la resistencia de materiales se estudian las condicio-nes para el equilibrio de las cúpulas, intrínsecamenterelacionado con su forma geométrica y teniendo encuenta su carácter tridimensional mediante un análi-sis de membrana y la nula capacidad de las fábricaspara resistir la tracción."1

Constituye un jalón más en el camino emprendidopor Hooke al enunciar el principio de la catenaria

como la forma ideal de los arcos y las bóvedas. Pare-ce ser que Hooke afirmó que las cúpulas, un tipo par-ticular de bóveda, deberían tener la forma de una pa-rábola cúbica, forma muy aproximada a la catenaria

de peso variable.'" Pero el caso es que Hooke no te-nía la formación adecuada y no supo expresar mate-máticamente la ecuación de la catenaria, ni la de losarcos ni la de las cúpulas.

Más tarde, Bernoulli, Leibniz y Huygens encontra-

rían la ecuación de la catenaria homogénea. Ahorabien, el objetivo de Bouguer, con una base matemáti-

ca muy importante, no era sólo ampliar a las cúpulasla solución al problema geométrico de obtener laecuación de la catenaria, de la que, como hemos di-cho, no habla en ningún momento como tal. Aunque

el carácter teórico del ensayo es evidente, Bouguerenlaza con la teoría de arcos y bóvedas de fábricaque desde Hooke había venido desarrollándose a fi-

nales del siglo XVII y principios del XVIII y así re-conoce que ya se habían estudiado los arcos y bóve-das en general en las memorias de Couplet, pero quenadie se había ocupado de las cúpulas. Es decir, Bou-guer hace consideraciones relativas a la nula capaci-

dad de resistencia a tracción de las fábricas, al roza-miento como factor de seguridad y, sobre todo, a laescasa importancia de la resistencia frente a la estabi-lidad y la geometría. No se trataba simplemente deun ensayo matemático, ya que además sirvió parajustificar prácticas constructivas habituales como laconstrucción sin cimbras de las cúpulas o propuso re-gIas como la del peso máximo de la linterna.

Por otro lado, el problema resuelto por Bouguerconstituye sólo una parte del problema de la mecánica

de las estructuras abovedadas, y si se quiere el más teó-rico. Lo que en la práctica interesaba a los constructo-res era dimensionar el estribo que contrarresta el em-

G. López

puje, problema para el cual La Hire había encontrado

una solución teórica bastante satisfactoria, formaliza-da definitivamente Bélidor. Bouguer ni siquiera men-ciona en su ensayo este problema, aunque en su favorhay que recordar que los constructores sabían que el

problema del contrarresto en las cúpulas no era tangrave como en los arcos y las bóvedas, e incluso se

creía que no producían empujes."'

Influencia en la teoría y en la prácticaconstructiva del siglo XVIII

Es evidente la potencia del ensayo de Bouguer a lahora de proponer infinitas formas equilibradas posi-bles para las cúpulas. Todas las cúpulas cóncavas ycónicas eran seguras y de las convexas había una in-finidad de curvas posibles. Curiosamente acaba suensayo haciendo una alabanza estética, y no sólo es-tática, de la curva obtenida por él como ejemplo. Sinembargo, Bouguer encuentra defectos en la cúpula

semiesférica de espesor constante, tan alabada siem-pre hasta entonces tanto desde el punto de vista esté-

tico como estructural. Es decir, el ensayo de Bouguerpudiera haber tenido alguna influencia en la cons-trucción de cúpulas durante el siglo XVIII y reflejaun cambio de valores estéticos en consonancia conlos avances de la ciencia. De hecho, el principio de lacatenaria de Hooke había sido aplicado por Wren afinales del siglo XVII en la cúpula de San Pablo deLondres, y ésta fue seguramente el modelo que inspi-

ró los primeros proyectos de Souftlot para la cúpulade Santa Genoveva en París, construida en el últimocuarto de siglo. En cuanto a Bouguer no podemosafirmar que su ensayo tuviera trascendencia en lapráctica. Sin embargo, en la Frauenkirche de Dresde,cuya cúpula comenzó a construirse a partir de 1735

según el proyecto de Bahr, encontramos un perfil

cóncavo en la base, perfectamente seguro segúnBouguer y nada habitual (figura 9). La parte supe-rior, convexa, también parece responder a una forma

como la de la tabla de Bouguer. Es posible que el ensa-yo de Bouguer, prestigioso científico, llegara a manos

de Bahr, o incluso que el problema de la construc-ción de esa cúpula sugiriera a Bouguer la publicaciónde un ensayo puntual sobre ese problema.

Por otra parte, sí encontramos menciones al ensa-yo de Bouguer en varios tratados e informes de la se-

gunda mitad del siglo XVIII. Así lo hace Poleni en

La forma ideal de las cúpulas: el ensayo de Bouguer 611

Figura 9Alzado de la Frauenkirche de Dresde, construida por Biihr

sus Memorie sobre la cúpula de San Pedro dentro de]apartado que dedica al estado de la teoría de arcos ybóvedas.24 Sin embargo, Poleni introduce una modi-

ficación sustancial respecto al análisis de Bouguer yque él mismo afirma considerar por primera vez, y esque las cúpulas se pueden dividir en sectores infinite-

simales por planos convergentes en el eje, es decir,según Bouguer, Poleni estaría analizando formas lí-

mites. De este modo Poleni prescinde del comporta-miento de membrana analizado por Bouguer, es decirlas Ne, que Bouguer sabía que no podían ser de trac-ción pero que tampoco considera Poleni aunque seande compresión. Lo que hará Poleni, aplicando elprincipio de Gregory-Stirling será comparar ]a cate-naria correspondiente a los pesos variables de la cú-

pula dividida en cincuenta sectores (y forma última

para Bouguer) con ]a línea media de la sección de la

cúpula. Además, Poleni prefirió construir la catenariaa plantear la ecuación matemática exacta para esaforma de cúpula peculiar.

Más adelante, ya en ]a segunda mitad de] sigloXVIII, e] matemático Bossut vuelve a mencionar a

Bouguer en sus dos memorias sobre e] dimensionado

del estribo y ]a forma ideal de bóvedas y cúpulas. Bos-sut destaca e] hecho de que Bouguer no se hubieraocupado del problema de dimensionar e] estribo de lascúpulas, que é] resuelve aplicando el método de la

Hire a una cúpula dividida en gajos. Después en ]a se-gunda memoria se ocupa del problema de la forma

ideal de las cúpulas y también de las bóvedas en gene-ral, pero ]a influencia de Poleni a quien no menciona,

aparece a la hora de prescindir de las Ne, es decir, ana-liza la forma ideal de un sector de cúpula sin esfuerzosanulares, es decir, la curva última de Bouguer.

En Italia, en 1785, Mascheroni retoma e] ensayode Bouguer dentro de su tratado. E] enfoque de Mas-cheroni, como e] de Bossut, es aún más teórico queel de Bouguer. En realidad, pasa revista punto a pun-to a los problemas resueltos por Bouguer, el de en-contrar el espesor correcto para una figura dada y elde encontrar una figura idea] para espesor constante.Considera incorrecto que Bouguer tome los pesos ylas fuerzas actuando en la mitad del espesor y no ene] centro de gravedad. Por otro lado, Mascheroni ese] primero en dar nombre a ]a superficie que resu]ta-

ría a] suspender un velo o tela de un anillo circular,e] ve/ario, que es e] equivalente a la catenaria en los

arcos, pero sigue en la línea de Bossut, y también

analiza la forma ideal de un sector de cúpula, no de]a cúpula como superficie tridimensional, y por tanto

su forma límite. Lo que sí añade Mascheroni es laconsideración de otros tipos de carga, que Bouguerhabía omitido o tratado de pasada, como las cargaspuntuales, anulares, etc., y por primera vez analiza la

forma de las cúpulas poligonales u ovales.Más adelante, las menciones a Bouguer desapare-

cen. En e] siglo XIX se recuperará la idea de los es-fuerzos anulares de compresión para obtener líneas

de empujes dentro de] tercio centra] del espesor delas cúpulas, como había propuesto Navier, y asegurarasí que no aparecieran tracciones. Pero será a finalesde siglo y principios del XX, cuando se desarrolleplenamente ]a llamada teoría de cáscaras a partir de]análisis de membrana estudiado por primera vez en

el ensayo de Bouguer.

612

NOTAS

l. Coulston Gillispie, Charles: Dietionary of' SeientitleBiography. New York: Charles Scribner's Sons, 1973,

vol. n, pp. 343-344; Lamontagne, Roland.: La vie et r 0-

euvre de Pierre Bouguer. Montreal: Presses de I'Uni-

versité de Montreal, 1964,97 pp.; Michaud, J. Fr.: Bio-graphie universelle. aneienne e moderne. Graz:

Akademische Druck y Verlagsanstalt, 1966, vol. 5, pp.

207-209; Prevost, M. y D' Amat, Roman: Dietionnaire

de biographie fran('aise. París: Librairie Letourey etané, 1954, pp. 1298-1299.

Otras fuentes contemporáneas son: TriolljÓ della grazia

e della fedde. Letlere ehe contengo no le eonf'erenze di

un dotlore de Sorbona col signor Bouguer. Pesaro,1780, 109 pp.

Laberthonie, Pierre- Thomas: Relation de la eonversion

et de la mort de M. Bouguer, membre de r Académie ro-yale des seienees. París: Chez Mequignon le .Ieune,

1785, 163 pp.

2. Bouguer, Jean. Traité eomplet de la navigation, eOl1le-

nant les propositions & pratiques de géometrie, de la

sphere & d' astronomie, les tables du mouvemelll du .10-

leil...& plusieurs al<lres, lIouvellement ealeulées, & re-formées pour le siecle proehain. París, Nantes, Croisic:

Chez P. De Heuqueville et chez l'auteur,1698, 224 pp,

Este libro tuvo una segunda edición en 1706.

3. He aquí una lista ordenada cronológicamente dc las pu-

blicaciones más importantes de Bouguer. De la lIulture

des vaisseaux: pieee qui a remporté le prix de r Aeade-

mie royale des seienees, proposé pour r année 1727, se-

Ion lafÓndationfaite parfeu M. Rouillé de Meslay. Pa-

rís: Chez C. Jombert, 1727, 164 pp.; De la methode

d' observer exaetement sur mer la hauteur des astres:piea qui a remporté le prix proposé par f' AeademieRoyale des Seienees pour f' année 1729. París: ChezC1aude Jombert, 1729, 72 pp.; Essai d' optique: sur la

gradatioll de la lumiére. París: C. Jombert, 1729, 164pp.; Remarques sur le Memoire de MI'. Meynier. Tou-

ehal1lla meilleure méthode d' observer sur mer la dée/i-

naison de r aiguille aimantée (1731 '1). París: 1732,7 pp.

El1Iretiens sur la cause de r inclina iso n des orbites des

planets. O f' on répolld a la question proposée par f' A-cademie royale des seienees. París: Chez Ch. Ant. Jom-bert, 1734, 63 pp.; «Relation abrégée du voyagc fait au

Pérou par messieurs dc ]' Académie Royale des Scien-

ces, pour mesurer les degrés du méridien aux environs

de l'Équateur, & en conclure la figure de la terre,» Mé-

moires de l' Aeadémie Royale des Seienees de Paris,1744, pp. 249-300. Trailé du navire: de .la eonslruClion,

el de ses mouvements. París: Chez Ch. Ant. Jombert,

1746, 682 pp.; «Suite de la relation abrégée, donnée en

1744, du voyage fait au Pérou pour la mesure de la te-

G. López

rre,» Mémoires de r Aeadémie Royale des Sciences de

Paris, 1746, pp. 569-606; Entretiens sur la cause de

f' inclinaison des orbites des planets. O f' on répolld ó laquestion proposée par r Aeademie royale des seiences,

pour le sujet du prix des années 1732. & 1734. 2" ed.París: Chez Ch. Ant. Jombert, 1748, 140 pp.; Latigure

de la terre, déterminée par les observatiolls de Mes-

sieurs Bouguer, & de la Condamine...envoyés par ordre

du roy au Pérou, pour observer aux environs de r equa-

teur. París: c.A. Jombert, 1749, 394 pp.; «Remarques

sur le Memoire de Mr. Meynier. Touchant la meilleure

méthode d'observer sur mer la déclinaison de l'aiguille

aimantée (1731'1),» Reeueil des pieee,l' of' the Académie

des seienees, vol. 2, ca. 1750, 7 pp.; lustification des

mémoires de f'Académie Royale des Seienees de 1744:

et du /ivre de La figure de la terre: déterminée par les

observations faites au Pérou, sur plusieurs faits qui

cOllcernent les opérations des académiciens. París:

Chez Ch. Ant. Jombert, 1752, 54 pp.; Nouveau traité de¡¡aj'igation, contenant la théorie et la pratique du pilota-

ge. París: H.L. Guerin, 1753,442 pp.; Letlre á Monsieur

M* dans laquelle on discute divers poiras d' astronol1liepralique, et o f' on jáit quelques remarques sur le sup-

plément au .Iournal hislorique du voyage á f' Équateur

de M. De la Condamine. París: H.L. Guerin & L.F. De-latour, 1754, 51 pp.; De la manoeuvre des vaisseaux, ou

Traité de méchanique et de dynamique danl' lequel on

réduit á des solutions trés simples les problémes de ma-

rine les plus difficiles, qui ont pour objet le mouvement

du navire. París: Chez H.L. Guerin & L.F. Delatour,1757, 520 pp.; Traité d' optique sur la gradatioll de la

lumiere. París: De I'imprimerie de H.L. Guerin & L.F.

Delatour, 1760, 368 pp.

4. P. Bouguer, «Sur les lignes courbes propres a former les

voútes en dome», Mémoires de f'Académie Royale des

Scienees de Paris, 1734, pp. 149-66, 1 lám.

5. Benvenuto, Edoardo: «Bouguer's first sta!ic theory ofdomes,» An il1troductiol1 10 the History of'structural me-

ehallics. New York, Berlín: Springer Verlag, 1991, pp.

344-348.

6. Bouguer: op. cit., p. 150.

7. Bouguer representa el equilibrio en un elemento infini-

tesimal de cÚpula, pero lo representa como si fuera fini-to, ver figuras.

8. El origen de coordenadas será el punto A.

9. La x y la y son las coordenadas de los puntos de la curva

AbB que engendra la cÚpula; be no es igual a bE, en

todo caso si toma be = dx sería bE = be + ddx = dx',pero parece despreciar ese término ddx. En realidad, se-

ría bB = Vd).' + (dx-t-ddxj2 Por otro lado, si tomamos

be = dx, en realidad deberíamos considerar el triángulo

ME proporcional al bCe, y que nos indicaría la situación

geométrica previa a la rebanada HIKL. Así donde be =dx, deberíamos decir, OE= dx y al ser be = OE, o pro por-

La forma ideal de las cúpulas: el ensayo de Bouguer 613

eional, es por eso que al final toma be = dx. Sería más

correcto sustituir bB por b6, be por 6E =dx Y bE por bE

=dy. b6 es la curva en el tramo inmediatamente anterior

al HIKL.

10. Bouguer no deja muy claro si está hablando del peso to-

tal de la mitad de la cúpula, pues en ese caso habría quemultiplicar por 1t. En definitiva, los resultados totales no

varían, pero no sabemos si está considerando una reba-

nada finísima, diferencial o se trata de eliminar un fac-

tor que desaparece en los cálculos.

11. Bouguer: op. cit., p. 153. Realmente be =d.x - ddx.

12. Así, al final del ensayo recomienda que la linterna no

exceda del peso del óculo al que sustituye. De lo que no

habla Bouguer, por ejemplo, es de que las cúpulas sepueden construir por anillos autoestables, a los que le

falta precisamente carga en la zona superior.

13. Bouguer: op. cit., p. 155.

14. Bouguer: op. cit., pp. 155-6.

15. Bouguer: op. cit., p. 157. Hay errores en los pasos inter-

medios, pero los resultados que ofrece Bouguer son co-

rrectos.

16. /iJidem. Bouguer se equivoca y pone dy en lugar de dy2

17. /iJidem. Error de Bouguer en la primera expresión.

18. /iJidem. Bouguer no relaciona su importante hallazgo

con la aparición de grietas meridionales en las cúpulas,aunque se deduce de su planteamiento. Tampoco habla

de la conveniencia de colocar zunchos precisamente en

la base traceionada de las cúpulas.

19. Bouguer: op. cit., pp. 164-5. El resultado es correcto.

Así lo ha demostrado Benvenuto, op. cit. También po-

demos comparar la ecuación con la obtenida por Hey-

man en «Hooke's cubico-parabolieal conoid,» Notes

Rec. Royal Society of London, 1998, 52 (1), pp. 39-50,quc resulta equivalente.

20. Bouguer: op. cit., p. 166.

21. Para entender el comportamiento de las cúpulas de fá-

brica en el marco del análisis límite ver: Heyman, Jac-ques: Teoría, historia y restauraciÓn de estructuras de

fáiJrica. Madrid: Instituto Juan de Herrera, 1995.

22. Heyman: op.cit.

23. Rondelet afirma que las cúpulas no producen empujes

en la segunda mitad del siglo. Realmente lo que se esta-

ba diciendo era que no había que regruesar el tamborrespecto al espesor de la cúpula en el arranque.

24. López Manzanares, Gema: «Estabilidad y construcción

de cúpulas de fábrica: el nacimiento de la teoría y su re-

lación con la práctica,» Tesis doctoral, Escuela TécnicaSuperior de Arquitectura de Madrid, 1998.