-1-

Geometría y Trigonometría

2008 – II 1. .Para el gráfico adjunto AD = 18,

hallar el valor de “y” sabiendo que “x” es un número entero.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

2. En la figura si: L1 // L2 y a+b=310º.

Hallar : x

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º 3. En la figura L1// L2 y a + b = 224 .

Hallar el valor de X .

a)6º b)4 c)26º d)23º e)18º

4. Hallar “x” en:

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100 5. AB ≌ BC y el ∆DEC es equilátero.

Si ∢ACD = 5º, el ∢ BDE mide:

E

B

D

A C

a) 12 b) 15 c) 10 d) 9 e) 11 6. En un triángulo ABC recto en “B” la

bisectriz exterior del ángulo A y la prolongación de altura BH se intersectan en “F” tal que: AB + AH = 4; HF = 3. Hallar BH

a) 2 b) 2,5 c) 1,5 d) 0,5 e) 1

7. Sobre una avenida están ubicadas cuatro estaciones gasolineras A, B, C y D. Un carro parte del punto medio de AB para encontrar a otro carro que se encuentra detenido en el punto medio de CD . ¿Cuánto recorre el primer carro si AC = 14 Km y BD = 18 Km?

a) 35 b) 30 c) 15 d) 40 e) 16

80

2 x

20+ X

16+X

a

b

L1

L2

a b

x

L1

L2

A B C D

y - x y + x x 2x - y

-2-

8. Dos ángulos complementarios son entre sí como 2 es a 3. La diferencia de estos ángulos es:

a) 15° b) 18° c) 24° d) 36° e) 40° 9. Sobre un plano se toma los puntos A,

B, C y D ( en zigzag ) Por A y D se trazan 2 rectas paralelas entre si de manera que A = 26o y C = 112o Al trazar las bisectrices de B y D , están formados por un ángulo agudo x . Hallar “x”

a) 37o b) 40o c) 42o d) 43o e) 51o 10. En una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C de modo que AC = 30. Determinar la distancia entre los puntos medios de AB y BC.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16 11. Un segmento AB que mide 6 m es

dividido armónicamente por los puntos M y N, si AM= 4m, hallar MN

a) 8 m b) 10 m c) 12m d) 14 m e) 16 m 12. Sobre una línea recta se tienen los

puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: x-yAB ; y-2xBC ;

yxCD ; AD = 18. Hallar el valor de “AB”, sabiendo que “x” es un número entero.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 3 e) 9 13. Sobre una recta se tienen los puntos

consecutivos Y, R, M, A, Si: 36RMYAMA-YR . y 8RA . Hallar YM.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

14. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E de modo que:

47

BCCE

; 43

DEAB

y

21BDAC . Hallar CDBC .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Sobre una recta se tienen los puntos

consecutivos A, B, C, D y E de modo que: 28CEAB ; 22CD-BE y

20DE-AE . Hallar AE.

a) 32 b) 35 c) 38 d) 26 e) 42 16. En un recta se considera los puntos

consecutivos A, B,P y C de modo que P es el punto medio de BC . Si AB2 + AC2 = 40,. hallar AP2 + BP2

a) 20 b) 30 c) 60 d) 70 e) 46 17. La diferencia de dos ángulos es 38º y

el suplemento del mayor es igual al doble del complemento del menor. Hallar la suma de las medidas de dichos ángulos.

a) 118º b) 112º c) 122º d) 114º e)128º 18. Sobre una recta se considera los

puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que AD = 100; AC = 84 y BD = 53. Calcular BC

a) 35 b) 37 c) 39 d) 41 e) 50 19. Calcular:

)o

S(91)o

S(92........)o

S(177)o

S(178)o

S(179

)o

C(90)o

C(89..........)o

C(3)o

C(2)o

C(1

C = Complemento, S = Suplemento a) 1 b) 0 c) 88 d) 89 e) 90

20. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que: AC+AB = 12, Si “M” es punto medio de BC. Calcular AM.

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 21. La suma de las medidas de dos

ángulos es 80o y el complemento de la medida del primero es el doble de la medida del segundo. Hallar el valor de la razón aritmética de las medidas de dichos ángulos.

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

22. En una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F donde

BE= AF8

5; AC+ BD+CE+DF=52.

Hallar AF a) 32 b) 12 c) 14 d) 18 e) 16 23. Sea y las medidas de dos ángulos

complementarios, si el doble del complemento de , menos el suplemento de equivale a 60o Hallar “”

a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 85º

24. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: m <AOD = 160º y m < BOC = 100º. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOD.

a) 20º b) 30º c) 36º d) 45º e) 60º 25. Se tienen los ángulos consecutivos

AOB, BOC y COD; tal que mBOD-3mAOB = 60º y mCOD = 3 mAOC. Hallar la mBOC.

a) 12º b) 13º c) 14º d) 15º e) 16º 26. Si a un ángulo “x” se le añade la

mitad de su complemento, se obtendría otro ángulo que es igual al doble de su complemento aumentado en 13º30’. Determinar “x”

a) 39º b) 37º c) 40º d) 30º e) 45º 27. Sobre una línea recta se considera

los puntos consecutivos A , B , C y D . Si M es punto medio de AD ; si AB+CD=10 y BM–MC=2., hallar CD:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 4 28. El suplemento de la diferencia entre

el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al complemento de la diferencia entre el complemento del complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcular: el suplemento del doble del ángulo

a)56 b)45 c)55 d)60 e)0° 29. Si x+y+z=100. Hallar: a+b+c+d+e+f

a)300 b)320 c)360 d)280 e)720

30. Un segmento ___AB = 7, el cual se

divide en 3 partes. La razón de la

primera y la segunda es 32

y de la

segunda y la tercera es 54 ; hallar el

mayor segmento. a)4 b)3 c)5 d)6 e)8

a

c b d e y x z

f

-3-

31. Los puntos A, B, C, D y E colineales

y consecutivos. Si ___AD = 17;

___CD = 6

y ___BD = 13. Hallar DE si BE = 2

___CE .

a)1 b)3 c)4 d)5 e)6 32. De las siguientes proposiciones son

verdaderas I. Los ángulos conjugados externos se

forman al trazar una recta secante a otras dos rectas; son siempre suplementarias.

II. Las bisectrices de dos ángulos suplementarios forman siempre un ángulo recto

III. Si tres ángulos suman 180º entonces son suplementarios

IV. Dos ángulos son adyacentes si contienen un lado común y un vértice común.

a)I, II, III b)I, II c)II, III d)I, II e)Ninguna 33. A, B, C, D son puntos colineales y

consecutivos. Si ___AC es media

proporcional entre ___AD y

___BD .

Calcular el valor de: U = 2

1 - CDAB

ACAD

a)0,5 b)1 c) 2 d) 3 e)2 34. Se tiene los puntos colineales A, B,

C, luego los puntos medios de ___AB ;

___MC son M y N. Si AB+NC–

AM=24. Hallar ___AN

a)20 b)26 c)24 d)30 e)40 35. Sobre una recta se ubican los puntos

talque U; E son conjugados

armónicos de P y R además PU1

+

PE1

= 154

. Hallar ___PR .

a)7 b)8;5 c)7;5 d)10 e)6 36. El segmento AB mide 20cm, el

segmento AM = 15 cm ; cuánto mide el segmento AN, siendo N el conjunto armónico de M con relación a AB.

a) 30 b) 55 c) 35 d) 25 e) 20 37. A partir de la figura adjunta se pide

calcular el valor de x, sabiendo que la recta L1 y L2 son paralelas:

a) 70 b) 50 c) 60 d) 30 e) 40 38. El complemento de la diferencia que

existe entre el suplemento y el complemento de , es igual al duplo del complemento de . Calcular el complemento de .

a) 0° b) 90° c) 45° d) 20° e) 60°

39. En la figura L1 // L2; 23OP . Calcular la distancia entre L1 y L2.

a) 3 2 b) 4 2 c) 5 2 d) 6 2 e) 7 2 40. En la figura L1//L2 hallar el valor de

“y”: a) 72° b) 85° c) 92° d) 80° e) 73° 41. Si en un semiplano se consideran tres

ángulos adyacentes tal que el segundo mide 20°. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices del primero y tercer ángulo:

a) 60° b) 80° c) 100° d) 120° e)140° 42. Se tiene los ángulos consecutivos

BOA

y COB

, luego se traza

OM bisectriz del ángulo COB

, calcular m ∡ AOM; si m ∡ AOB + m AOC = 30.

a)10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 30 43. Si la medida de un ángulo interior y

exterior, de un polígono regular están en relación de 7 a 2. Hallar el número de lados.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

44. Encontrar la medida de un ángulo si

es igual a ocho veces su suplemento. a) 160º b) 145º c) 20º d) 170º e) 60º 45. La suma de las medidas de los

ángulos internos excede a la suma de los ángulos externos en 900°. Cuántos lados tiene el polígono regular.

a) 9 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 46. La suma del complemento de un

ángulo mas 30° es igual al doble del ángulo. Determinar la medida del ángulo.

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 47. Si: S = Suplemento. Calcular “n” en:

SS2α + SSSS4α + SSSSSS6α + ... + SSS...S2nα = 72α

a) 5 b) 7 c) 9 d) 6 e) 8 48. Sobre una línea recta se dan los

puntos consecutivos A, B, C y D.

Calcular CD, si 23

CDAB

;CDAD

BCAB

; BC = 6m. a) 6m b) 12m c) 18m d) 30m e) 36m 49. En una recta se tiene los puntos

colineales A, B, C, D tal que se cumple: AB . AD = 3 BC. CD.

Hallar: a + b + c si a c bCD AC AB

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 50. La media geométrica de la medida de

dos ángulos es 4 grados y la media armónica 32/17 grados. ¿Cuánto mide el mayor de dichos ángulos?

a) 1º b) 4º c) 8º d) 12º e) 16º

-4-

51. En el trapecio ABCD;

A = 2

D , se traza la altura BH ; si BC = 2, AH = 1; HD = 8. Hallar AB.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 52. En un triángulo ABC; desde B se

trazan las bisectrices BP y BQ interior y exterior respectivamente. Si BP = 3 y BQ = 4. Calcular PQ.

a) 7 b) 3,5 c) 5 d) 2 e) 4

53. Los lados LSy LD de un triángulo LSD mide 0,6 m y 7,6m respectivamente. Calcular la longitud

de la mediana relativa al lado LD , sabiendo que es un número entero en metros.

a) 3 m b) 2 m c) 4 m d) 1 m e) 6 m 54. La hipotenusa AC de un triángulo

rectángulo ABC mide 14 cm y el ∡ A = 50°. Calcular el valor de una ceviana BR ; trazada de tal forma que el ∡ ABR mide 30°.

a)1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

55. La mediatriz del catetoOC de un triángulo rectángulo AOC corta a la prolongación de la altura OH en P, siendo mA = 58o Hallar el ángulo ACP

a) 50° b) 32° c) 26° d) 15° e) 18° 56. En un triángulo ABC, el ∡ A mide

58° ¿Cuánto mide el ∡ BDC donde D es el punto de intersección de las bisectrices de los ∡s B y C?

a) 125 b) 119 c) 110 d) 95 e) 102 57. La mediatriz de un triángulo es: a) la recta que divide a un lado en

partes iguales b) la recta perpendicular c) divide a un lado en partes iguales y

es perpendicular d) es una recta cualquiera e) es una recta oblicua 58. En un ABC, la medida del ángulo

exterior en el vértice B es el triple de la medida del ángulo C, la mediatriz BC corta a AC en “F”. Si FC=12 cm. Hallar AB .

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 59. Sobre el lado AC del triángulo ABC.

Se toma un punto “O”, luego se trazan mediatrices de AO y OC, los cuales cortan a AB y BC en E y D respectivamente. Calcular EOD, si ∡ B = 80°.

a) 40° b) 60° c) 80° d) 90° e)100° 60. En el triángulo ABC los lados

AB=3,5 m y BC = 11,5 m P es un punto interior del triángulo. Si PA=2 y PC=8. Calcular el máximo valor entero de AC .

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14 61. Los lados de un triángulo isósceles

son 24 y 10 metros su perímetro es: a) 44 b) 52 c) 58 d) 66 e) 72

62. En un triángulo ABC se traza la

bisectriz interior AQ. Si:

AB=AQ=QC. Encuentre m ACB

a) 18° b) 30° c) 36° d) 37° e) 45 63. En un triángulo ABC, el ángulo

formado por las bisectrices interior de A y exterior de

C al cortarse mide

10°. Encuentre la medida del ángulo formado al intersectarse las

bisectrices exteriores de A y

C .

a) 40° b) 60° c) 80° d) 50° e) 70° 64. Se tiene los ángulos suplementarios

KOV, VOC, cuyas medidas se diferencian en 10º. Calcular la medida del ángulo obtuso.

a) 100o b) 95o c) 65o d) 85o e)70o 65. En el triángulo ABC, la mediatriz del

lado AC se corta al lado BC en el punto F. Encuentran el mayor valor entero del lado AB , si BC=12 y FC=7

a) 11 b) 15 c) 17 d) 13 e) 19 66. En un triangulo ABC sea “P” un

punto de AC y “Q” un punto exterior relativo al lado AC de modo que los triángulos ABP y BQC son equiláteros Calcular m ∡ CAQ

a) 40° b) 45° c) 30° d) 60° e) 75°

67. En el gráfico hallar

x .

a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 40

68. El ángulo A de un triángulo ABC

mide 57o y la bisectriz interior del

ángulo B y la mediatriz del lado BC se cortan en un mismo punto del lado

AC ; Calcular la medida del ángulo B a) 57° b) 82° c) 114°d) 100° e) 60° 69. En un triángulo rectángulo ABC recto

en B; m ∡ A = 37°; AC = 10. Encontrar la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 1,5 70. En el lado BC de un triángulo ABC,

se traza la mediatriz ME (M BC y E AC) tal que EC mide 20. Hallar la medida AB , si m BAC = 2 m BCA

a) 5o b) 10o c) 15o d) 20o e) 30o

71. En un triángulo ABC, se traza el

segmento MB BC tal que MC = 2 AB, mC = 25o. Hallar mABM

a) 15o b) 30o c) 37o d) 45o e) 53o

72. En un ABC recto en B se traza la

altura BH y la bisectriz interior AD; las cuáles se intersectan en P; PB=8, DC=12. Hallar BC

a)16 b)20 c)12 d)24 e)30 73. En un ABC se traza la ceviana BF;

m<A=2m<C=40; BC=AB + AF. Hallar m<FBC

a)60 b)50 c)40 d)37 e)45 74. El perímetro de un triangulo

rectángulo es 36. Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.

-5-

a)12 b)13 c)14 d)15 e)16 75. En un ABC se traza la ceviana

BM, tal que m < MBC es recto, MC=2(AB); m< C = 20º. Hallar m < ABM

a)20 b)30 c)12 d)15 e)60 76. En un ABC, escaleno se traza la

mediana CM; n el MBC se traza la mediana BN; BN = 9, sobre AC se toma el punto “F”; de modo que MF//BN. Hallar MF

a)6 b)4 c)8 d)9 e)10 77. En un ABC se traza la altura BH y

la mediatriz PQ de BC, P pertenece a HC; AH=HP, m<HBC=55. Hallar m<ABH

a)30 b)10 c)15 d)60 e)20 78. En un cuadrilátero convexo ABCD;

AB = BC = AD; m<B = 90, m<A = 60. Hallar el ángulo C.

a)20 b)60 c)45 d)53 e)75 79. Dos columnas congruentes y

perpendiculares a un plano contiene una barra metálica, la distancia entre ellas es 8 y cada una mide 5, suponiendo que después de un temblor las columnas caen talque en un momento sus extremos superiores coinciden. Hallar el ángulo que forman dichas columnas en ese momento, si sus bases se mantienen en su misma posición.

a)90 b)106 c)120 d)180 e)150 80. La distancia del centroide al

ortocentro de un triángulo rectángulo mide 18m calcular el diámetro del círculo circunscrito.

a)18 b)27 c)36 d)54 e)72 81. Calcular el ángulo formado por la

altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC. Sabiendo que º1002 CA

a)30º b)40º c)50º d)60º e)70º 82. En el lado BC de un triángulo ABC

se toma un punto P de modo que la medida del ángulo APC es igual a la semisuma de las medidas de los ángulos BAC y ABC; calcular la longitud de AC. Si además BC y BP miden 16 y 4 m respectivamente.

a)6 b)8 c)19 d)12 e)16 83. En un triángulo ABC, si BC = 7AB y

AC = 48.Hallar el valor entero de AB.

a)5 b)6 c)9 d)8 e)7 84. En un triángulo ABC recto en B se

traza la ceviana interior BM y la perpendicular MN a la hipotenusa (N en BC) si BM = 4 cm y mBMN = A-C, Hallar AC.

a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10 85. En un triángulo ABC , obtuso en A ,

los lados miden AB = 4 y AC = 6 . Hallar la longitud de BC, siendo BC el mayor número entero.

a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 86. En un triángulo ABC recto en B se

traza la ceviana interior BM, si m A = 50º, mABM = 30º y AC = 18 hallar BM.

a)1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

87. La distancia del baricentro al ortocentro de un triángulo rectángulo es de 4m. Hallar la distancia del circuncentro al ortocentro:

a) 5 b) 5,5 c) 6 d) 6,5 e) 7 88. En un triángulo ABC se traza la

ceviana BM, tal que AM= MB; mMBC es recto y AB = MC/2, hallar mC.

a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 89. En un cuadrilátero convexo ABPQ,

tal que mAQP = 90º, se toma un punto C de AQ, luego se une C con B y P tal que BCP = BAC = 37º, BC = PC y AC = 10, hallar PQ.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 90. Un cateto de un triángulo rectángulo

mide 15 m. Hallar la longitud del otro cateto, si la distancia del baricentro al ortocentro es 25 / 3 m:

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 18 91. Dado un triangulo ABC, rectángulo

en B, desde C se traza CD perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo A. Calcular BD si DC=8m.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 92. En un triángulo isósceles, la suma de

dos ángulos distintos es igual a 120°. Entonces la suma de los ángulos de la base es:

a) 150° b) 146° c) 136° d) 160° e)120° 93. En la figura AB=BC; AE=CD y

BED BDE Hallar el valor de “x”

a) 15º b) 18º c) 20º d) 22º e) 25º 94. Si: aº + bº + cº = 130º. Hallar

“X”

a) 10º b) 20º c) 30º d)40º e)22º30´ 95. Hallar “x” :

a) 100º b) 60º c) 80º d) 120º e) 150º 96. En la figura siguiente:

C CD DE Hallar “X” .

a) 30º b) 16º c) 15º d) 25º e) 20º

B C

80º x E D A

x

60º 80º

b

a xº

2x

c

E

3x 4x C

D A

B

-6-

M

A

N 30º 30º C B

97. Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 5 cm. Hallar el mínimo valor entero que pueda asumir el perímetro en cms.

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

98. En la figura. Halle el valor de AB

si MA 5 3

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 99. En la figura AB = 6 y BC = 10.

Hallar AD.

a) 2 b) 4 c) 7 d) 8 e) 10 100. En la figura mostrada, si ΟΑΒΟ y

ΟCΑΒ . Calcular m x.

a) 30º b) 45º c) 36º d) 50º e) 60º

101. Calcular “x” , Si AB = CD y BC AD

a) 5O b) 8O c) 9O d) 2O e) 1O

102. En la figura: CM = MB y AB = 8 Hallar CD

a) 4 b) 8 c) 4 3

d) 8 2 e) 4 2 103. Del gráfico, hallar “x”.

Si AB=BC=CD

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º 104. se tiene un triangulo equilátero ABC

, R es un punto de AC exteriormente se dibuja el triangulo equilátero RFC si <ABR =23 ,

Hallar m< FAR a) 45º b) 15 c) 30º d) 37º e) 23º

105. Las medidas de dos ángulos internos de un triángulo son proporcionales a 7 y 4, además la medida del ángulo exterior en el tercer vértice es 132 ¿De qué clase de triángulo se trata?

a) Escaleno b) rectángulo c) Isósceles d) Obtusángulo e) Acutángulo isósceles 106. En un trapecio Isósceles se considera

que la altura mide 7 y la suma de las bases es 48. Encuentre la medida de la diagonal del trapecio.

a) 7 b) 8 c) 15 d) 12 e) 25 107. La diferencia entre el número de

diagonales de cierto polígono regular y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos es 19 . Hallar su número de diagonales medias.

a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 108. En un cuadrado ABCD, cuyo lado

mide 24 cm, M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente AN y CM, se cortan en el punto Q. Hallar QB.

a) 6 2 b) 8 2 c) 9 2 d) 12 2 e) 15 2

109. Las medidas de un ángulo central y un ángulo interior, de un polígono regular, son entre si, como 1 a 19. hallar el número de diagonales que se pueden trazar de un sólo vértice.

a) 6 b) 17 c) 37 d) 40 e) 43

110. Hallar el número de lados de un polígono regular, sabiendo que la longitud de cada lado es 3cm, y el

número de diagonales es 2 veces el perímetro en cms.

a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 111. En un trapecio ABCD , BC//AD ,

A=82o, BC=4, CD=14 y D=16o, Hallar la longitud de la mediana

a) 11 b) 10 c) 9 d) 14 e) 16 112. En un trapezoide ABCD A = 53o;

C = 98°; D = 45o , AB = 10 y CD = 11 2 , Hallar AD

a) 21 b) 20 c) 29 d) 24 e) 26 113. En la figura mostrada. Si ABCD es

un cuadrado. Calcular la longitud de su lado

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

114. Al aumentar en 3 el número de lados

de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono.

a) 1260o b) 1120o c) 1416o d) 1024o e) 1825o

115. En un romboide ABCD se traza la

bisectriz AE (E en BC). Si CD = 6m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y ED.

a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) 6m

D

3 4

C

A

B

C 60º

B x D A

160

M D A

C

45º 30º

B

A D

C

B

3x

45O 2x

B

x

C A

2

B

C A D

-7-

116. En un trapecio rectángulo ABCD donde 90oA B ; 45oD CD = a. Hallar el segmento que une los puntos medios de AC y BD.

a) 2 22

a b) 3 a c) 4 2 a

d) 24

a e) a/2

117. En el interior de un cuadrado se

construye el triángulo equilátero AFD. Calcular la medida del ángulo AFC.

a) 100º b) 125º c) 135º d) 130º e) 105º 118. En un hexágono equiángulo

ABCDEF, BC = 4, DE = 2, CD = 8 y AF = 6. Hallar el perímetro.

a) 30 b) 32 c) 34 d) 28 e) 22 119. Las medidas de un ángulo exterior e

interior de un polígono equiángulo son entre sí como 2 a 11. Hallar el número de diagonales.

a) 14 b) 44 c) 65 d) 119 e) 189 120. Calcular el número de diagonales de

un polígono regular, si se sabe que las mediatrices de los lados consecutivos forman un ángulo cuya medida es 18º.

a) 27º b) 135º c) 104º d) 170º e) 175º 121. Cada lado de un polígono mide 3cm

y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales en cm. Hallar la medida del ángulo central.

a) 25° b) 22° c) 24° d) 40° e) 45°

122. En un trapecio rectangular ABCD, mB = 90o , mD = 45o , y CD = 4

2 . Encontrar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 123. Calcular el perímetro del

paralelogramo ABCD, si BC = 3x + y2, CD = x + y, AD = x + 2 y2, AB = 2x – y

a) 78 b) 56 c) 98 d)100 e) 104 124. Quince veces el ángulo interior de un

polígono regular equivale al cuadrado de su ángulo exterior ¿Cuál es ese polígono?

a) Hexágono b) Decágono c) Icoságono d) Pentágono e) Octógono 125. Calcular el número de lados de aquel

polígono donde su número de vértices más su número de lados es igual a 18.

a) 4 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 126. En la figura: calcular “x”

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

127. En la figura calcular “x” si ABCD es un cuadrado y ADE es un triángulo equilátero.

x

A D

ECB

a) 75º b) 80º c) 100º d) 105º e) 110º 128. los ángulos adyacentes a la base

mayor de un trapecio miden 30º y 75º si la base mayor excede la base menor en 10m calcular uno de los lados no paralelos

a) 9.99 b)6 c)8 d)4 e)5 4 129. El polígono ABCDEF es un

hexágono equiángulo, en el cual la longitud de 3 de sus lados no consecutivos es 12, la longitud de cada uno de los otros 3 lados es la mitad de sus opuestos, y sus prolongaciones, determinan un triángulo. Hallar el lado de dicho triángulo.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 35 e) 40 130. En la figura: AB = BC, AD = 20.

Calcular: BP.

a) 10 b) 15 c) 7,5 d) 8 e) 20

131. Se tiene un trapezoide ABCD En el rectángulo ABCD de la figura:

AC EO y OEOCAO . El valor del ángulo x es:

a)60 b) 65 c)69 d)67 e)66

132. En la figura JE = 5, JL = 3; LV = 9. Hallar OL.

a) 6,5 b) 7 c) 6 d) 5,5 e)4

2 133. ¿Cuál es el polígono convexo cuyo

número de diagonales es mayor en 133 que su número de lados?

a) 19 lados b) 23 lados c) 16 lados d) 24 lados e) 25 lados 134. Calcular “DE”, si AC = 5.

a) 6 b) 4 c) 5 d) 12 e) 13

E O P

V L J

13º

13º

E x

B

A

C

D O

69º

2x

12

5x 53o

-8-

135. En la figura mostrada se tiene que ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. Hallar la medida del ángulo BEC.

a) 60 b) 65 c) 75 d) 80 e) 70 136. En la figura ABCD es un cuadrado

y CDE un triangulo equilátero.¿ Cual es la medida en grados del ángulo AED?

a) 15 b) 10 c) 12.5 d) 20 e) 25

137. ¿Cuál es el polígono en el que se

puede trazar 17 diagonales desde 4 vértices consecutivos?

a) Pentágono b) Octógono c) Hexágono d) Nonágono e) Endecágono 138. ABCD es un trapecio tal que m

∡A+m ∡ D = 90° ( AD//BC ) BC < AD; si M y N son puntos medios de BC y AD respectivamente y m ∡ D = 40° halle m ∡ MNA.

a) 60° b) 66° c) 70° d) 76° e) 80°

139. Señale las proposiciones verdaderas: I. El rombo es el cuadrilátero convexo y

equiángulo II. El trapezoide es un paralelogramo

cualquiera III. El cuadrado es también un rombo a) I y II b) I y III c) II y III c) III d) I 140. Hallar el # de diagonales de un

polígono cuyo ángulo exterior mide 40°.

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 141. En un trapecio, la diferencia de las

longitudes de la mediana y del segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio es 12 u, halle la longitud de la base menor.

a) 16 u b) 8 u c) 10 u d) 12 u e) 14 u 142. Calcular la sustracción entre el

número de diagonales medias y el número de diagonales de un polígono en el cuál el número de diagonales es igual a su número de lados.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 143. Determinar el polígono convexo, tal

que al duplicar el número de lados, la suma de sus ángulos internos se cuadruplica:

a) Triángulo b) Cuadrilátero c) Pentágono d) Hexágono e) Nonágono 144. Las diagonales de un rombo ABCD

(AC < BD) se cortan en E. Responda lo incorrecto:

a) AB = BC = CD = DA b) AE = EC c) BE = ED

d) m BAE = m ADB e) BD AC 145. En un cuadrilátero LUCI, m ∡ U +

m ∡ C = 220°. Calcular el ángulo formado por la bisectriz interior de ∡ L y la exterior de ∡ I.

a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 146. Calcular la base menor de un

trapecio, si la suma de las bases es 60 cm y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 8 cm.

a) 18cm b) 10 c) 22 d) 28 e) 20 147. La altura de un trapecio rectángulo

mide 10 cm., su base mayor es el triple de su altura. Si el ángulo de la base es 45º, la mediana mide:

a) 15 cm. b) 20 cm. c) 25 cm.

d) 10 2 cm. e) 30 cm. 148. ¿Cuántos lados tiene un polígono

regular cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7200º?

a) 36 b) 24 c) 40 d) 50 e) 45 149. En qué polígono regular se cumple

que si le disminuimos cinco lados la medida del ángulo interior disminuye en 6.

a) Triángulo b) Pentágono c) Octágono d) Cuadrado e) Icoságono 150. Las bases de un trapecio miden 4m y

12 m los lados no paralelos miden 10 m y 8 m aproximadamente y las diagonales son ortogonales. Hallar el perímetro del triángulo que se forma

al unir el punto de intersección de las diagonales con los extremos de la mediana del trapecio.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 17 e) 19 151. Calcular la medida de un ángulo

sabiendo que la suma entre el doble de su complemento y el triple de su suplemento es igual a 420º.

a) 70º b) 45º c) 40º d) 50º e) 60º 152. Se tiene un cuadrado ABCD y él

triangula equilátero ECF tal que E esta en la región interna y F en la región externa del cuadrado, sí: AD=21, EF= 10 y m<FCD = 23 hallar BE.

a) 15 b) 12 c) 13 d) 14 e)17 153. En un trapecio ABCD, M es el punto

medio de AB y N punto medio de la base mayor AD . Si CN biseca a

DM en R, hallar RN si RC = 6 a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 154. En un romboide PINO se trazan las

bisectrices exteriores de los ángulos O y N, que se interceptan en el punto E. Calcular IE sí PI = 6; IN = 2.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 155. Si el número de lados de un polígono

se duplica, su número de diagonales aumenta en 234. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 156. En un rectángulo ABCD se traza la

bisectriz del ángulo B que corta al

lado AD en el punto "E". Hallar el

D A

E

B C

x B A

E

D C

-9-

segmento que une los puntos medios

de EC y BD si AB = 9 a) 4 b) 4,5 c) 3 d) 5 e) 2,5 157. Se tiene una circunferencia inscrita a

un triángulo ABC. Si AB = 7, BC = 12 y AC = 15. Calcular AT , si “T” es tangente a AB

a) 5 b) 4 c) 2,4 d) 3,4 e) 2,8 158. Desde “C” punto exterior a una

circunferencia se traza las secantes CBR y CDA de modo que el triángulo ABC es Isósceles (AB =BC) y la medida del ángulo BCD es igual a 20o. Encuentre la medida del arco RB más la medida del arco AD.

a) 200o b) 240o c) 230o d) 210o e) 220o

159. Se tiene una semicircunferencia de

diámetro AB centro “O”, luego se traza la tangente TP, si ∡ CAB = 20,

TP //___AC , hallar ∡ TPC; C

PB

a)30 b)40 c)20 d)35 e)45 160. Los lados de un triángulo ABC son

AB = 6m,BC= 7m y AC = 9m calcular la distancia del vértice A al punto de tangencia de la circunferencia inscrita al lado AC.

a)12 b)4 c)6 d)8 e)10 161. En una circunferencia se ubican los

puntos consecutivos U, N, P, R, G si ∡ PUG = 60, ∡ NGP = 50º, hallar el ángulo NRG

a)70 b)50 c)80 d)60 e)75

162. El perímetro de un triángulo ABC es

42; BC = 18, la circunferencia inscrita en el triangulo es tangente al

lado AC en F, hallar AF a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 163. En una circunferencia se prolonga el

diámetro AB hasta “C” luego se trazan la tangente CD y la cuerda DA si el

52 DABmyBCDm Calcular ""

a) 7º b) 7.5º c) 12º d) 12.5º e) 15º 164. En una circunferencia se trazan las

cuerdas AD y BC las cuales se interceptan en “E”. Hallar el ADC

si el BCD = 60º,

AB = 80o,

CD = 120o además “C” al arco menor AD .

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º 165. Si los lados de un triangulo

rectángulo se hallan en progresión aritmética de razón tres. Calcular el inradio.

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 166. En un triángulo ABC se inscribe una

circunferencia. Hallar la mDEF, si la medida del ángulo externo de B es 70o ( D ,E y F son puntos de tangencia y E está en AC).

a) 15o b) 25o c) 35o d) 45o e) 55o 167. En un rombo ABCD, M es punto

medio de BC . La diagonal BD , corta a AM en el punto R. Si RM = 10 y el ángulo BRM mide 53°; hallar BD.

a) 60 b) 70 c) 80 d) 36 e) 72 168. En la figura AE es diámetro y N

punto de tangencia. Hallar el valor de x.

a) 10 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

169. Desde un punto P, exterior a una

circunferencia, se trazan la tangente PA y la secante PBC , siendo 32° la medida del ángulo APC. Hallar la medida del ángulo ABM. Si M es punto medio del arco BC.

a) 122° b) 106° c) 102° d) 128° e)118°

170. En la figura: PB y PC son tangentes, ∡ E mide 26° y ∡ F mide 25°. Hallar el valor “x”

a) 51° b) 102° c) 94° d) 47 ° e) 68°

2008 – III 171. Se tienen los puntos colineales y

consecutivos A, B, C tales que :

12ACYAC

BCAB2AB

22

Hallar AB .

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 172. Sobre una recta se dan los puntos

K,A,R,E,N de tal manera que los cuatro primeros constituyen una cuaterna armónica, calcular EN ; si KA = 6m, RE = 4m y

AR2EN . a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 173. Sobre una línea recta se consideran

los puntos A, B, C y D tal que: AD = 2AC, BC = 4AB y CD = 9dm. Hallar BD.

a) 3m b) 6cm c) 9dm d) 81dm e) 162cm 174. 175. Si el suplemento del complemento de

3α es igual m veces el complemento del suplemento de 5α. Hallar m cuando α tome su mínimo valor entero (α; medida de un ángulo geométrico).

a) 29,4 b) 12,8 c) 7,5 d) 9 e) 8 176. Sobre una línea recta se consideran

los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, de manera que: AB = BC = CD; CF = 2BE = 4AD; Si, EF = 14. Hallar CE.

a) 5m b) 10m c) 12m d) 14m e) 15m 177. A, B y C, son puntos colineales y

consecutivos. M y N, bisecan a AB y BC, respectivamente. Hallar AC si: 3MN = 2MC y AB – BN = 2.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 178. En una recta se toman los puntos

consecutivos: M, P, Q, R y S donde: MP = PQ y QR=2RS. Entonces e cierto que:

A

B

C

F

E

P x

-10-

L1

L2

x

105º2

3

a) MR = 2/3(MP + MS) b) MR = 3/2 (QR + PS)

c) MR = 3MS – PR2

d) MR = 4(MS - PQ) e) MR = 2/3 (MS - MP) 179. Sobre una línea recta se consideran

los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB.CD = BC.AD . Hallar AD si BC = 8m y 2 AB = 3CD

a) 3m b) 6m c) 12m d) 24m e) 48m 180. Del gráfico adjunto calcular “x” si

a//b

a) 30º b) 40º c) 50º d) 55º e) 60º 181. En la figura m//n. Hallar “x”

a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 140º 182. Si m//n calcular “x”

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 45º 183. Si m//n. Calcular aº + bº + cº

a) 90º b) 120º c) 136º d) 106º e) 180º 184. Un ángulo AOB mide 24º. En la

región exterior a dicho ángulo se

traza el rayo OC

. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.

a) 6º b) 10º c) 12º d) 18º e) 20º 185. A, B y C son tres puntos colineales y

consecutivos tales que: AB 2BC 3

y

2AB + 3BC = AC + 96. Hallar AB. a) 12 b) 24 c) 36 d) 38 e) 48

186. Dados cinco rayos coplanares OA

,

OB

, OC

, OD

y OE

, que forman cinco ángulos consecutivos cuyas medidas son entre sí como: 1, 2, 3, 4, y 5. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 48º b) 56º c) 68º d) 72º e) 96º

187. P, Q, R, S y T son puntos consecutivos de una recta. Q, biseca a PT; PR = 3RS; QS = 12 y PT=40. Hallar QR.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 188. Dados los ángulos adyacentes AOB,

BOC y COD, tal que OA

y OC

son rayos opuestos, el ángulo BOD es recto. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 90º b) 105º c) 120º d) 135º e) 145º 189. Siendo: L1//L2 , calcular “x” a) 62º b) 69º c) 120º d) 121º e) 136º 190. Si : 2 1 // LL hallar el ángulo “ x ”.

a) 22,5° b) 27,5° c) 30° d) 32,5° e) 40° 191. Se tienen los ángulos consecutivos

AOB y BOC se trazan OF y OG bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente. Calcular la medida del ángulo AOC sabiendo

que : 60 42 COFyAOG

a) 40° b) 48° c) 54° d) 62° e) 68° 192. Sean los puntos consecutivos P, Q, R

y S tales que : 5

RS4

QR3

PQ y

132RS8QR5PQ2 .

Hallar PQ . a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 4 193. La suma de las medidas de 2 ángulos

es 80° y el complemento de la medida del primero es el doble de la medida del segundo. Hallar el valor de la razón aritmética de la medida de dichos ángulos.

a) 10 b) 70 c) 60 d) 30 e) 50 194. Si C : complemento, calcular "" en :

C + CC2 + CCC3 = 160° a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25° 195. Los puntos M y N dividen

armónicamente al segmento AB . Calcular AB si :

3ANAMAN.AM

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 196. Sobre una línea recta se consideran

los puntos U, N, P, R y G con la condición NRUP y NP3RG

, hallar la longitud del segmento UG . Si : 3UN + 2 RG = 72 .

a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60

1 L

2 L

x

x4

x7

10 20

30

40

150 100

x

a

b

-11-

197. En una recta se toman consecutivamente, A, B, C y D de manera que: AB, BC y CD se encuentran en progresión aritmética, si:

CD – AB = 6 y AD = 21; calcular AC a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 17 198. Sobre una recta se dan los puntos

consecutivos A, B, C y D tal que AC = 17; BD =25. Calcular PQ siendo P y Q puntos medios de AB y CD respectivamente.

a) 17 b) 20 c) 21 d) 12 e) 7 199. Sobre una línea recta se ubican

ordenadamente los puntos , P,E,R,U, siendo PE media aritmética de PR y RU y además se cumple que:

1EU2EU2

, calcular la

longitud de PU en mts. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 200. J, O, P son puntos colineales y

consecutivos, tales que : 281OP3JO2

Hallar OP, si 36JP a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 201. Se dan los puntos colineales U, N, P,

R, G, siendo P punto medio de UG,

además PRUN . Calcular la

longitud de NR ; si : UG = 18 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0

202. Los puntos consecutivos : P.E.R.U. pertenecen a la misma recta, E es el punto medio de PU . Hallar ER ; si :

64RUPR . a) 16 b) 29 c) 32 d) 36 e) 40 203. Los puntos E y P dividen

armónicamente al segmento JO .

Calcular JO si se tiene que :

6JPJEJP.JE

a) 1 b) 3 c) 9 d) 12 e) 15 204. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A,B,C,D,E,F, sabiendo que se cumple que:

91 DFCEBDAC y AFBE85

.

Hallar AF . a) 52 b) 48 c) 54 d) 64 e) 56 205. Sobre una recta se tienen los puntos

consecutivos A, B, C y D de tal

manera que 4

CDAC ; hallar BC

si : 20AB4BD a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 8 206. En la figura adjunta, el complemento

del suplemento de es :

a) 15° b) 10° c) 20° d) 30° e) 35° 207. En un triángulo ABC, se tiene que: m

<A = 53º, m < C = 30º, BC = 8, hallar AB

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3 208. En el Triángulo ABC se traza la

mediana AM, luego se traza la Cerviana BF (F en AC) que interseca a AM en D tal que AD = DM. Calcular AF, si AC = 12

a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e) 4,5 209. En un triángulo ABC el ángulo

C = 88° y el ángulo B = 22°. Hallar la medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo exterior B con la prolongación del lado AC .

a) 7 b) 9 c) 20 d) 70 e) 79 210. En la figura siguiente:

DECDACAB . Hallar "X".

a) 30° b) 10° c) 15° d) 25° e) 20° 211. En un triángulo ABC, M, N y P son

puntos medios de los lados BCyAC,AB , respectivamente,

si NP = 10m y AH es la altura del triángulo relativa a BC , hallar MH .

a) 10 m b) 5 m c) 12 m d) 15 m e) 20 m 212. Hallar "X" en la siguiente figura, si

AC//EF .

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 213. Calcular "" si AB=BC=CD=DE=EF

a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 30 214. En la figura AB = BC = CD = DE,

calcular "X".

a) 16° b) 18° c) 20° d) 24° e) 26° 215. Si AG = 12, FG = 3 y GE // AC ,

calcular "FC".

B

X A C E

D 96

B D

A C E F

B

F X E 6

A D C 8

80° x

C B

A D E

C

A B

40

-12-

a) 6 b) 9 c) 4,5 d) 12 e) 4 216. La mediatriz del cateto BC de un

triángulo rectángulo ABC, recto en B, corta a la prolongación de la altura BH en P; A = 58. Hallar el PCA .

a) 13 b) 26 c) 32 d) 48 e) 50 217. En un triángulo ABC, B = 90° y

C = 18°, hallar el ángulo formado por la bisectriz de B y la mediatriz de AC.

a) 21° b) 23° c) 25° d) 27° e) 29° 218. De la figura, hallar "x" si AB=

BC= BD.

a) b) /2 c) 2 d) /3 e) 3

219. En un triángulo ABC. C - A = 48°. BE es bisectriz exterior. Hallar la medida del ángulo CEB. (E en la prolongación de AC).

a) 21° b) 22° c) 23° d) 24° e) 25°

220. En la figura. Halle el valor de AB si 35MA

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 221. Dado el triángulo ABC donde su

incentro es I y < AIC = 140. Calcular la medida del ángulo B.

a) 80° b) 90° c) 100° d) 110° e)120°

222. La suma de las distancias del baricentro de un triángulo a sus vértices es 36. Calcular la suma de medianas del triángulo.

a) 48 b) 52 c) 54 d) 58 e) 62

223. En la figura, hallar el valor de "x".

a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°

224. En un PQR, se trazan las

medianas PM y QN cortándose en el punto G calcular PG + QG; si GM=2 y GN=3

a)10 b)15 c)18 d)20 e)30

225. Según la figura AB = BD y CD = CE, calcular “x”

a) 10° b) 20° c) 30° d) 15° e) 45°

226. ABC es equilátero y PQ = QR,

calcular “x”

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 18° 227. El perímetro de un triángulo

rectángulo es 36.calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 228. En un ABC recto en B se traza la

ceviana AD y luego el segmento DE, E en AC, tal que AD = AE y DE = EC, si 2m <BAD = < C, calcular: < BAD

a) 18º b) 20º c) 15º d) 25º e) 30º 229. En un triángulo ABD, se traza la

ceviana BC, luego AB = BC = CD calcular el valor del <ABC, si <D = 28º

a) 32º b) 68° c) 44º d) 70º e) 72º

230. Según la figura, calcular “x”.

a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°

231. Según la figura a-b=12°, calcular x–y

a) 10° b) 6 c) 12° d) 24° e) 36° 232. En un ABC se sabe que el ángulo

externo de A es triple del ángulo interior de C, la mediatriz del lado AC corta al lado BC en P hallar BP si AB = 7 y BC = 10.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 233. Calcular el mayor valor entero del

lado AB en el obtusángulo ABC, obtuso en B, si CB = 3 y AC = 15

a) 10 b) 13 c) 14 d) 13 y 14 e)15 234. En un triángulo ABC, AB = BC y m

< B = 108º, calcular la medida del ángulo exterior en el vértice C.

a) 89º b) 124º c) 136º d) 144º e) 132º 235. En un triángulo rectángulo ABC,

recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AD, las cuales se intersectan en P. Si BP = 8 y DC = 15. Calcular BC

a) 13 b) 20 c) 23 d) 31 e) 27

40°

20°C

EB

D A

x

80°40°

100° 20°

x

a

b

y x

30°

A R C P

x2

Q

B

M

A

N

C B

30° 30°

A

C

B D

X

B

G F E

A C

4x+20

2x+10 x

-13-

236. En un triángulo ABC, las bisectrices exteriores de B y C se intersectan en un punto E, tal que BE = BC. Si la m<ABC = 80º. Calcular la m<A

a) 20º b) 40º c) 25º d) 50º e) 80º 237. En un triángulo rectángulo ABC se

traza la ceviana BD Tal que: m<BDC = 4m<BAC. Si AD = 11 y DC = 3. Calcular: BD

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 238. En un pentágono convexo ABCDE,

m<B = m<D = m<E = 90º, se traza BN perpendicular a ED. Si AB = BC, AE = 2cm, CD = 5 cm y BN = 8 cm. Hallar ED.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10 239. En un triángulo ABC, m<C = 27º, Se

traza la cerviana BF tal que: m<ABF = 9º, m<FBC = 90º y FC = 18. Calcular AB.

a) 6 b) 9 c) 11 d) 12 e) 18 240. Se tiene un triángulo acutángulo ABC,

se traza la altura BH y la mediana CM. Calcular la m<MCA, si BH = CM

a) 10º b) 20º c) 30º d) 15º e)45º 241. Dado un triángulo ABC y P un punto

de su interior, tal que, PC = AB y AC = 16. Calcular: AP si m<BAP =

m<ACP = 2ABPm =

5APCm

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 12 242. La medida del mayor ángulo de un

triángulo es el triple del menor y la medida del ángulo intermedio excede a la del menor en 40º. Hallar la medida del ángulo formado por las

bisectrices del menor y mayor ángulo de dicho triángulo.

a) 120º b) 106º c) 124º d) 116º e) 110º 243. En un triángulo ABC, m<A = 26º y

m<C = 27º. Exteriormente y relativo a AC, se toma el punto D, siendo: m<DAC = 26º y m < DCA = 19º, si BC = 10. Hallar DC

a) 8 b) 12 c) 9

d) 8 2 e) 6 2 244. En un triángulo ABC cuyos lados son

AB = 9, BC = 12, y m<BAC + m<BCA < 90º. Calcular la sumatoria de los valores enteros que puede tomar AC.

a) 96 b) 111 c) 90 d) 85 e) 76 245. En un triángulo ABC se trazan las

bisectrices interior de A y exterior de C que se interceptan en E. Si la m<AEC = 36º y m<A - M<C = 32º, Calcular la m<BAC

a) 68º b) 39º c) 70º d) 35º e) 56º 246. En un trapecio isósceles se conoce

que la altura mide 8m y que la suma de las bases mide 30m. Hallar la diagonal del trapecio.

a) 10 m b) 13 m c) 15 m d) 17 m e) 20 m 247. Las diagonales de un trapezoide

miden 12 y 15 cm. Calcular el perímetro del cuadrilátero que resulta de unir los puntos medios de los lados del trapezoide.

a) 27 b) 38 c) 42 d) 21 e) 28

248. En la figura mostrada ABCD es un rombo, calcúlese el valor de “x”.

a) 74° b) 76° c) 86° d) 26° e) 52° 249. En un trapezoide ABCD se sabe que:

248CmBm , calcular el mayor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos A y D.

a) 126 b) 125 c) 124 d) 130 e) 134 250. En un polígono regular la sustracción

entre las medidas de su ángulo interior y exterior es igual a 100º. Calcular la suma entre el número de diagonales y el número de diagonales medias.

a) 60 b) 65 c) 63 d) 61 e) 70 251. Calcular el número de lados de un

polígono regular cuyo lado mide 4 cm; si el número total de diagonales es numéricamente igual a cuatro veces su perímetro.

a) 35 b) 30 c) 42 d) 45 e) 36 252. Calcular la suma de las inversas de

los números de lados de 2 polígonos regulares; si sus ángulos exteriores son suplementarios.

a) 7/3 b) 7/4 c) 7/5 d) 1/6 e) 1/2 253. En un romboide ABCD, la mediatriz

de BC intercepta a AD en el punto

E, tal que AE = AB. Hallar m < A, si m < ECD = 24º.

a) 68 b) 66 c) 70 d) 76 e) 78 254. En un cuadrado ABCD se prolonga

AD hasta un punto E de modo que < ACE = 98°; si CE = 20m. Calcular el perímetro del cuadrado.

a) 40 b) 42 c) 48 d) 50 e) 60 255. Hallar la medida del ángulo x.

a) 160° b) 150° c) 135° d) 120° e)140° 256. Hallar el número de lados de un

polígono regular tal que si tuviera 4 lados menos, la medida de su ángulo externo aumentaría en 24°.

a) 10 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16

257. En un trapecio ABCD, ( BC // AD ), m < ABC = 2(m < CDA) y AB = 4. Calcule la longitud del segmento cuyos extremos son puntos medios de las diagonales del trapecio.

a) 2 b) 3/4 c) 4 d) 1 e) 3/2

258. En un romboide ABCD, 150ABCm y 16BC , Las

bisectrices de los ángulos A y D se cortan en “Q”. Hallar la distancia de Q a CD.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

259. Hallar el número total de diagonales de aquel polígono regular en el cual

x x

x

C

B

A

D

52x

-14-

la medida de un ángulo interior es 168°.

a) 270 b) 320 c) 365 d) 405 e) 460

260. Las medidas de un ángulo central y un ángulo interior, de un polígono regular, son entre sí, como 1 a 19. Hallar el número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice.

a) 6 b) 37 c) 40 d) 17 e) 43

261. En la figura mostrada se tiene que ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. Hallar la medida del ángulo BEC.

a) 60 b) 65 c) 75 d) 80 e) 85 262. La suma de las distancias de los

vértices de un paralelogramo a una recta exterior es 56 cm. Calcular la distancia del punto de corte de las diagonales a la misma recta.

a) 7 b) 14 c) 28 d) 20 e) 32 263. En un rectángulo ABCD se traza la

bisectriz del ángulo B que corta al

lado AD en el punto "E". Hallar el segmento que une los puntos medios

de EC y BD si AB = 9 a) 4 b) 4,5 c) 3 d) 5 e) 2,5 264. En un dodecágono regular

ABCDEF…. Hallar la medida del

menor ángulo que determinan las mediatrices de AB y EF .

a) 60 b) 50 c) 20 d) 75 e) 30 265. Las diagonales de un trapecio miden

10 a 18. Calcular el máximo valor entero de la mediana.

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 266. En un pentágono convexo tres de sus

ángulos miden 120° cada uno, y los otros dos son congruentes. Hallar uno de estos últimos.

a) 80 b) 135 c) 90 d) 105 e) 125 267. Dadas las siguientes proposiciones : I. Cada ángulo interior de un hexágono

mide 120° II. En el decágono se pueden trazar 36

diagonales III. El polígono regular cuyos ángulos

exteriores miden 36° es un decágono Son verdaderas :

a) Solo I y III b) Solo II c) Solo I y II d) Solo III e) Solo II y III 268. El perímetro de un trapecio isósceles

mide 84 cm. Calcular la medida de su base mayor, si su base menor, su base mayor y el lado no paralelo, son entre sí, como 4 es a 6 es a 2.

a) 24 b) 36 c) 30 d) 26 e) 28 269. Los ángulos A yB de un trapezoide

ABCD miden 70° y 100°. Calcular la medida de los ángulos formado por las bisectrices de los ángulos C y D.

a) 90 b) 85 c) 80 d) 75 e) 70 270. Hallar la longitud de la mediana de

un trapecio ABCD si : BC // AD, BC=3 ; <A=53, AB =5, < D=45.

a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5 d) 8,5 e) 4,5

271. Se tiene un polígono regular en donde la suma entre la medida de un ángulo interior y la medida de un ángulo exterior es igual al triple de la medida del ángulo central. Calcular el número total de diagonales.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 272. Calcular la medida del ángulo interior

en un polígono equiángulo, si al trazar las diagonales desde 4 vértices consecutivos, éstas hacen un total de 17.

a) 108° b) 120° c) 135° d) 144° e) 150° 273. En un romboide ABCD se sabe que:

4AB , CDBC 2 y que las bisectrices de los ángulos A y B se cortan en “M”. Calcular la distancia de “M” al punto medio de CD.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 274. Treinta veces la medida del ángulo

interior de un polígono equiángulo, es igual al cuadrado de la medida de su ángulo exterior. Calcular el número de diagonales que se pueden trazar de 3 vértices consecutivos.

a) 10 b) 8 c) 12 d) 13 e) 6 275. En un pentágono ABCDE se sabe

que: 6BC , 32DE ,

34AE , EmCmBm y 90DmAm . Calcular AB + CD.

a) 6 b) 36 c) 8 d) 5 e) 38 276. En un cuadrado ABCD, se prolonga

el lado BC hasta un punto E, desde el cuál se traza EH perpendicular a

BD que intercepta a CD en F; si AB=10m y FD = 4m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AE y BD .

a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) 6m 277. Las circunferencias de centros A,B y

C son tangentes. Calcular el semiperímetro del triángulo ABC. R=7m.

a) 3,5 b) 7m c) 9m d) 14m e)F. D. 278. Hallar el valor de "x" si "O" es centro

y P es punto de tangencia.

a) 20° b) 25° c) 40° d) 30° e) 37° 279. El perímetro de un triángulo

rectángulo es 31.20m, y su hipotenusa mide 13m. Hallar la longitud de su inradio.

A

B C

B

x

P

40 A 0 C

B C

R A A B

D C

E X

-15-

a) 2,6 b) 7,2 c) 4,2 d) 5 e) 2 280. En una circunferencia de centro “O”

se tienen los puntos A, B y C, en ese

orden, tales que AB

= 120°, ángulo OBC = 45°. Hallar el ángulo OAC.

a) 30° b) 15° c) 75° d) 5° e) 60° 281. Responder verdadero (V) o falso (F)

según corresponda : ( ) Si un punto ubicado en el plano de

una circunferencia dista del centro un número menor que el radio, el punto es interior

( ) La circunferencia, incluye al círculo ( ) La meadiatriz de una cuerda

perteneciente a una circunferencia pasa por su centro

a) VVV b) VFV c) VFF d) FFV e) FVF 282. Desde un punto exterior a una

circunferencia se traza una secante ABC y una tagente AD . Hallar el ángulo ACD, si se sabe que el ángulo

CAD = 56° y BC

= 44°. a) 48 b) 56 c) 51 d) 46 e) 60 283. En la siguiente figura se sabe que : “ + = 124°”. Hallar el valor del arco

BD

.

a) 124° b) 120° c) 128° d)130° e) 136°

284. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos internos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, si 3 de sus lados son iguales entre si y el cuarto lado es el diámetro?

a)100° b)120° c)140° d)80° e)110°

285. Hallar x.

a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 45º 286. Desde un punto exterior o una

circunferencia se traza una tangente que mide lo mismo que el radio 10cm. Hallar la distancia del punto a la circunferencia.

a) 10 b) 10 2 c) 10 2 -1

d) 10( 2 -1) e) 20 2 287. Desde un punto exterior P se traza la

tangente PA a una circunferencia y la secante PBC que forman en P un ángulo de 50o. Si el arco BC mide 120o, Calcular el ángulo formado por los segmento AC y BC.

a) 20o b) 25o c) 30o d) 35o e) 40o

288. En la siguiente figura a + b + c = 12;

r1 + r2 = 2,5. Calcular “d”.

a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4

289. Calcular la medida del arco BD si la medida arco AB a la medida del arco AE a la mediad del arco ED , mC = 20o

a) 70o b) 25o c) 60o d) 55o e) 40o

290. En la figura PA = 6 y QC = 7.

Calcular AC, Siendo P ,Q y B son puntos de tangencia.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 291. Calcular “x”, si la medida del arco

ED es 80o ; la medida del arco DC es 130o

a) 66o b) 55o c) 65o d) 45o e) 48o 292. En la figura mostrada, calcular x;

donde A y B son puntos de tangencia.

a) 72º b) 36º c) 12º d) 54º e) 108º

293. Calcular “x” en:

a) 40o b) 30o c) 50o d) 20o e) 25o

294. Hallar x si: α + θ = 54º.

a) 16º b) 18º c) 19º d) 22º e) 14º 295. Hallar x si “O” es centro.

a) 35º b) 55º c) 60º d) 50º e) 65º

A

C B

x D

82o

E

A B

C

P

Q

A

D

C

B

E

P

A B

C D

-16-

60ºO

B

A

x 6

296. En la figura: R = 7, r = 5, BE = ?

a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 9 297. En la figura calcular el valor de “ x”

a) 40º b) 45º c) 50º d) 55º e) 60º 298. En una circunferencia de centro O se

toman los puntos A, B y C de modo que: .30 ,15 OABOCB Hallar el ángulo AOC.

a) 82° b) 36° c) 75° d) 45° e) 90°

299. En el grafico Calcular “x” a) 2 b) 3 c) 1,5 d) ½ e) 1 300. En un triángulo ABC se inscribe una

circunferencia que es tangente a los lados ACyBC,AB en los puntos P, Q y R respectivamente, si m < PRQ = 50°, calcular m < ABC.

a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e)100° 301. Hallar el valor de "" en el cuadrante

mostrado.

a) 40° b) 45° c) 50° d) 55° e) 60° 302. El perímetro de un cuadrilátero

circunscrito a una circunferencia es de 23m y el lado menor mide 3,5m. ¿Cuánto mide el lado mayor?

a) 10 b) 8 c) 7,5 d) 9,5 e) 6 303. Si en un sector de 60° de una

circunferencia de radio 12m se inscribe una circunferencia, entonces el radio de esta última mide:

a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) 6m 304. Desde un punto "P" exterior a una

circunferencia de centro "O", se trazan las tangentes PByPA , si m < APB = 20°. Calcular m < AOB.

a) 100° b) 200° c) 160° d) 80° e)120° 305. Desde un punto "P" exterior a una

circunferencia se trazan las secantes PAB y PCD , si las cuerdas BC y AD son perpendiculares y m < BPD= 20°, calcular la medida del

arco BD

. a)65° b) 130° c) 45° d) 90° e)110°

306. Los diámetros de dos circunferencias en el mismo plano están en la relación de 5 a 3, y la distancia entre sus centros es como 1. Tales circunferencias son:

a) Exteriores b) Interiores c) Secantes d) Tangentes interiores e) Tangentes exteriores

2009 – I

307. En la figura; hallar CD ; sabiendo que: AB . BD = AC . CD

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e)5 308. En la figura: AM = MC ; BC – AB =

8. Hallar BM

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 8 309. Sobre una línea recta se consideran

los puntos consecutivos A, B, C y D de tal forma que: 5BD 3AC y 5

CD + 2 BC = 72, hallar AB. a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30 310. Si AC+BD=20. Calcular x

. a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 12

311. Hallar la medida del ángulo; cuyo suplemento es 8 veces el ángulo

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 312. Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C y D de tal forma que: AB2CD y 6BC . Si M es punto medio de ABy

5,7MC Hallar AD a) 7, 5 b) 9 c) 12 d) 13, 5 e) 15 313. Sobre una recta se consideran los

puntos consecutivos A, B, C, D. Si: CD=2 BC; 2 AB + AD= 21m; Calcular AC

a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 9 m e)10 m 314. Sobre una línea recta se consideran

los puntos consecutivos M, N, P y Q de manera que: MN – MP+2= NQ – PQ. Hallar NP

a) 0, 5 b) 1 c) 1, 5 d) 2 e) 2, 5 315. Hallar el valor de ”x” si 21 L//L

a) 49º b) 53º c) 56º d) 64º e) 71º

316. En la figura calcular

x . 21 L//L

a) 100° b) 110° c) 120° d) 130° e)140°

° °

40

x

80

r

12m

-17-

317. Indicar la proposición incorrecta: I. Todo segmento tiene un único punto

medio II. El ángulo que forman las bisectrices

de dos ángulos complementarios siempre es 45°

III. El ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios es siempre 90°

318. Los complementos y los suplementos

de dos ángulos congruentes son siempre congruentes

a) Solo I b) II y III c) II y IV d) Solo II e) Solo IV 319. En una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C y D, tal que constituyen una cuaterna armónica.

Hallar AC, si 1 1 1

AB AD 4

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 320. En una recta se consideran los puntos

consecutivos U, N, C, P, tal que “N”

es el punto medio de UP. Hallar:

R=15 NC

UC CP

a) 3 b) 5 c) 6,5 d) 7,5 e) 1,5

321. Calcular “”, si se sabe que: 2 2

n veces n 1 veces

CCCC C SSSS S( ) ( )

" " " "

... ...

a) 75° b) 30° d) 45° d) 60° e) 25° 322. El suplemento del complemento del

triple de x es igual al complemento de (x – 10°). Calcular “x”.

a) 2,5° b) 5° d) 7,5° e) 10° e) 12,5°

323. El suplemento del complemento de 2x es igual al cuádruple del complemento de x. Calcula el suplemento del complemento de x.

a) 45° b) 90° c) 135° d) 30° e) 60° 324. Los puntos A, Q, R, C de una recta

son tales que AQ es la media aritmética entre AR y RC ¿Cuál es el valor de AC si se cumple

2QC 1 2QC ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 325. Si AB | | DE | | CF. Halar el ángulo

en la figura

a) 140º b) 160º c) 180º d) 120º e) 100º 326. De la figura. Calcular la medida del

ángulo

AOB

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º

327. Si

21 L//L . Hallar x.

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e)50° 328. En la figura Hallar “x”

a) b) 2

c) 22

2

d) 2

2

e) 2

3

329. Del gráfico adjunto. Hallar la

longitud de la cuerva (C), si es un número entero.

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) No se puede determinar

330. En el gráfico adjunto, los datos son valores cuyos #s son enteros consecutivos, hasta el último

segmento; hallar AY

a) 1102 b) 1128 c) 1140 d) 1320 e) 1150 331. Calcular “x” si 21 L//L

a) 25º b) 30º c) 15º d) 35º e) 45º 332. Sobre una recta se tienen los puntos

consecutivos A, B, C, D y E tal que 2BC,DEAB y AC2CD .

Hallar la distancia entre los puntos medios de CDyAB si 15BE

a) 1, 5 b) 3, 5 c) 5, 5 d) 7, 5 e) 8, 5 333. Hallar BC

Si AC = 52; 4 AB= 9 BC a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

-18-

334. Si: m / /n; r / /s Calcular x

a) 18 b) 24 c) 36 d) 54 e) 48 335. En la figura la suma de y J es:

a) 80º b) 140º c) 90º d) 180º e) 130º 336. Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C tal que AC+ BC= AB.

23 . Calcular

BCAC

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 337. En una recta se marcan los puntos

consecutivos A, B, C de modo que AB = 10 + x ; BC = 16 - 2x. Encontrar x, si “B” es un punto medio del segmento AC

a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 338. Si C es complemento y S es

suplemento. Calcular :“x” en:

x2xx SC2)CS(3 a) 7º 30’ b) 15º c) 22º 30’ d) 30º e) 45º

339. Se tiene el triángulo equilátero ABC. Que se corta por dos paralelas L1 y L2 tal como se muestra. Calcular el ángulo “x”

a) 10 b) 15 c) 20 d) 22, 5º e)25º 340. En un triángulo ABC se traza la

altura BH y la mediatriz PQ a BC; AH = HP, P pertenece a HC; m ≮ CBH = 55°; hallar m ≮ ABH.

a) 10° b) 15° c) 12° d) 20° e) 30° 341. En el gráfico. Calcular x

a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 2 e) 6 2

342. Hallar MC en la figura mostrada, si BH = 8m y HM = 6m

a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28

343. Si: BA = AD = DC. Calcular el ángulo BCD.

a) 12 b) 10 c) 15 d) 18 e) 16

344. En la figura. Hallar BC :

a) 2 2 b) 2 3 c) 2 6

d) 6 e) 3 345. En un triángulo ABC, sobre la

prolongación del lado CB se ubica el punto Q, tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ángulo ACB.

Calcular QB , si: AQ=9 y BC=7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 346. En la figura, si AB = DC. Calcular

“W”

a) 10° b) 15° c) 18° d) 20° e) 26°

347. En la figura NM = NC y CB es bisectriz del ángulo ACN. Calcular

BAC

a) 65° b) 45° c) 55° d) 75° e) 60° 348. En la figura, BC = PC y AC = 10 cm.

Hallar PQ.

a) 6 b) 8 c) 4 d) 3 e) 9 349. En la figura PB = BC ; m ≮ C – m

≮ A = 50. Calcular m ≮ ACP

350. Según el gráfico: AB = BC ; AP =

PQ y BQ = AB + 3. Hallar CR

-19-

a) 2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 351. En el gráfico: PA=2 y BR–RC=3 Calcular PQ

a) 6 b) 4 c ) 5 d) 3 e) 7 352. En un triángulo ABC, m ≮ A = 2m ≮

C, la bisectriz interior BD prolongada intersecta en “E” a la bisectriz exterior del ≮C. Si DE = 8. Calcular CE.

a) 4 b) 7 c) 8 d) 6 e) 10

353. En la figura PQ es perpendicular a ST, por lo tanto el ángulo “” mide:

a) 90 – x b) 90 + x c) X – 90 d) 180 – x e) 3 x

354. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores de A y C que se intersectan formando un ángulo que

es el triple de B

, hallar A C

a) 136° b) 144° c) 108° d) 126° e) 120°

355. En un triángulo obtusángulo ABC

obtuso en B, FB es perpendicular a

BC , si FC = 30; además FCB

=

29°, ABF

= 3°. Hallar AB. a) 22,5 b) 30 c) 10 d) 20 e) 15

356. En un triángulo ABC, el ángulo A

mide 70°, el ángulo C mide 92°, hallar el ángulo que forma la bisectriz exterior del ángulo B con la prolongación del lado AC.

a) 8° b) 9° c) 10° d) 11° e) 12° 357. Se tiene un triángulo equilátero ABC

de lado 18 cm. Hallar en centímetros la distancia entre los puntos medios de las medianas AN y BM.

a) 9 b) 18 c) 12 d) 2 e) 4,5

358. En el gráfico, hallar PQ ; si MN=12

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

359. Hallar el valor de “x”, siendo I el incentro del triángulo DRO

a) 38° b) 42° c) 44° d) 48° e) 52° 360. Los lados de un triángulo miden 50

cm y 35 cm. Hallar la suma del máximo y mínimo valor entero que puede tomar el tercer lado.

a) 90 b) 100 c) 80 d) 70 e) 75 361. Si la base de un triángulo isósceles

mide 8 cm y la distancia desde el baricentro a la base es de 1 cm. ¿Cuál es la distancia que hay del baricentro hacia uno de los vértices de la base?

a) 1 b) 13 c) 17

d) 2 13 e) 2 17 362. En la figura, calcular “”

a) 35° b) 40° c) 45° d) 50° e) 55° 363. Calcular la medida de “”; si:

AB DC

a) 50° b) 65° c) 115° d) 60° e) 75° 364. En un triángulo escaleno ABC se

traza la mediana CM, en el triángulo BMC se traza la mediana BN; BN = 9, sobre AC se toma el punto F tal que MF//BN, calcular MF.

a) 6 b) 4 c) 8 d) 10 e) 9 365. Del gráfico calcular la medida del

ángulo BCA, si x + y = 55°

a) 10° b) 15° c) 12° d) 20° e) 35° 366. De la figura mostrada; trazando

previamente las alturas AH y CQ . Hallar el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos HAB y BCQ.

a) 30 b) 45 c)60 d) 90 e) 37 367. ¿En cuántos subconjuntos de puntos

un triángulo divide al plano?

-20-

a) dos subconjuntos b) tres subconjuntos c) cuatro subconjuntos d) cinco subconjuntos e) infinitos subconjuntos

368. En la figura AB BC ;

AD 20 . Hallar BP

a) 15 b) 20 c) 10 d) 12 e) 8 369. Los puntos notables en un triángulo

que son siempre interiores en todo tipo de triángulo es:

a) Baricentro y circuncentro b) Baricentro y incentro c) Ortocentro y baricentro d) Incentro y cevacentro e) Ortocentro y circuncentro 370. Si AH HR BH HP; ; m ≮

APR = 18 ; hallar el ángulo x.

a) 22;5° b) 27° c) 30° d) 37° e) 15°

371. Indicar la proposición incorrecta a) Existen triángulos isósceles

rectángulos b) Existen triángulos isósceles escalenos c) Todo triángulo tiene altura d) La bisectriz biseca siempre el ángulo e) La mediatriz biseca a un segmento en

forma perpendicular

372. Los elementos no definidos de la Matemática son:

a) Punto – recta b) Punto – solamente c) Punto – plano solamente d) Punto – recta – plano e) Plano solamente 373. En un triángulo MNQ la mediatriz de

NQ intercepta al lado MQ en F. Si

MN = FQ y m ≮ MNQ = 120°. Calcular la m ≮ MNF.

a) 40 b) 100 c) 80 d) 75 e) 65 374. De las siguientes proposiciones,

indicar verdadero o falso. I. Existen triángulos escalenos

isósceles II. Existen triángulos isósceles

obtusángulos III. Todos los triángulos rectángulos de

igual hipotenusa son congruentes IV. La mediatriz y la bisectriz son las

únicas líneas notables que no dependen de un triángulo para existir

V. En un triángulo rectángulo el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto

a) VVVFF b) FFFVV c) FVFVV d) FFFFF e) FFFFV

375. En un triángulo ABC; AB = 9 – x; BC = 2x – 12; además m ≮ A > m ≮ C, calcular “x”, si se sabe que es un número entero.

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 7 y 8 376. Si: + = 40, AB = BF , m ≮

EBC = 90°. Calcular “x”.

a) 50° b) 30° c) 20° d) 25° e) 35° 377. De la figura, AB = BE , BD = DC y

el triángulo ABD es:

a) Isósceles b) Obtusángulo c) Acutángulo d) Rectángulo e) Equilátero

378. Calcular MN

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

379. Hallar BN en:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 380. En la figura, hallar + + m + n

a) 218º b) 219º c) 220º d) 221º e) 222º 381. Hallar AC en el triángulo ABC

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 382. Hallar x, siendo I el incentro

a) 100 b) 120 c) 150 d) 152 e) 155

-21-

383. Hallar el valor de “x”

x a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 90 384. En el ABC; AC 2AB, A 60º

Calcular C a) 15º b) 30º c) 45º d) 35º e) 53º 385. En el ABC mostrado: AH= 4m;

HC 14m , A = 2 C . Calcular AB

a) 18 b) 10 c) 14 d) 6 e) 8 386. En el triangulo rectángulo ABC,

Hallar “”

a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º

387. En la figura; Hallar BC , si: 6AB y 2MC

a) 8 b) 10 c) 12 d) 7 e) 5

388. De la figura; Hallar AB Si AD = 11,

BC = 33

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

389. Sea el equilátero ABC construido

en el interior del cuadrado ADEC. Hallar el

a) 30 b) 45 c) 75 d) 60 e) 15

390. Si: AD DC BC Calcular “x” en la figura

a) 90 b) 95 c) 105 d) 85 e) 75

391. Si el número de lados de un polígono

se duplica, la suma de los ángulos internos aumenta 3060. Hallar el número total de diagonales.

a) 118 b) 119 c) 120 d) 121 e) 122

392. Si UNPRG, es un paralelogramo UG=5m. Hallar GP.

a) 10m b) 5m c) 15m d) 7,5m e) 20m

393. Del gráfico se pide calcular “x”

a) 45º b) 60º c) 30º d) 40º e) 50º

394. Hallar el número de lados de un

polígono regular, sabiendo que la longitud de cada lado es 3 y el número de diagonales es dos veces el perímetro.

a) 15 b) 16 c) 40 d) 12 e) 36 395. Hallar el número de diagonales de un

decágono convexo. a) 20 b) 45 c) 60 d) 35 e) 25 396. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar

en un dodecágono? a)16 b) 27 c) 36 d) 54 e) 81 397. Hallar la medida de un ángulo

interior en un icoságono. a) 148° b) 156° c) 162° d) 164° e) 172° 398. En cierto polígono regular sucede que

al quintuplicar el número de lados la suma de sus ángulos internos se sextuplica. Hallar la medida de un ángulo central de dicho polígono

a) 45° b) 20° c) 24° d) 30° e) 36° 399. Calcular el número de lados de un

polígono convexo si el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos internos es igual al número de diagonales trazados desde 3 vértices consecutivos,

a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 11 400. Calcular la medida del ángulo interior

de un polígono regular, en el cuál se pueden trazar 32 diagonales desde 6 vértices consecutivos.

a) 142° b) 143° c) 144° d) 145° e) 100° 401. Un polígono es regular; cuando es: a) Cóncavo , equilátero

-22-

b) Equilátero y equiángulo al mismo tiempo

c) Convexo , equiángulo d) Equiángulo, pero no convexo e) Cuando todos sus ángulos son

mayores de 90° 402. En un cuadrado ABCD; M y N son

puntos medios de los lados BC y

CD respectivamente. Calcular el ángulo formado por las

intersecciones de AM y BN .

a) 60° b) 90° c) 120° d) 150° e) 70° 403. En la figura ABCD es un romboide,

BM es bisectriz del ≮ ABC. Calcular

MD .

a) 13 b) 12 c) 11 d) 14 e) 10 404. Si ABCD es un trapecio isósceles,

donde AB 6, BC 8 . Hallar el perímetro

B C

DA

2

a) 34 b) 32 c) 27 d) 42 e) 24

405. En la figura el triángulo ABE es

equilátero ¿Cuánto mide el ángulo . Si ABCD es un cuadrado

t

E

D C a) 35º b) 54º c) 60º d) 45º e) 52º 406. En la figura ABCD, es un romboide.

Hallar “x”.

a) 20 b) 40 c) 30 d) 50 e) 37 407. En el rectángulo ABCD. EO AC

y OA OC OE . Hallar le valor de “x”.

a) 84 b) 66 c) 68 d) 67 e) 70

408. Si: AB = BC = CD. Calcular : x

a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65

409. En qué polígono se cumple que la

suma de los ángulos interiores, ángulos externos y ángulos centrales resulta 3960.

a) Icoságono b) Pentadecágono c) Decágono d) Octógono e) Pentágono 410. En qué polígono se cumple que el

ángulo interior es el triple de la medida del ángulo exterior.

a) Cuadrado b) Nonágono c) Pentágono d) Octágono e) Decágono 411. Los paralelogramos en los cuales las

diagonales se bisecan son: a) Rombo y rectángulo solamente b) Solo cuadrado c) Todos los paralelogramos d) Solo romboide e) Trapecio y cuadrado 412. De todos los polígonos regulares; el

que tiene mayor ángulo central es: a) Triángulo b) Cuadrado c) Pentágono d) Hexágono e) Dodecágono

413. Dadas las siguientes proposiciones: I. Cada ángulo interior de un exagono

regular mide 150° II. El polígono en el que el número de

diagonales es igual al número de lados se llama pentágono

III. El polígono regular que tiene mayor ángulo central es el triángulo equilátero

Son verdaderas: a) I y II b) I y III c) II y III d) I, II y III e) Solo III

414. Calcular HP, si BC = 5 , CD = 12

y AD = 13.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 415. Del gráfico mostrado: Hallar : x + y

a) 120° b) 180° c) 150° d) 210° e) 270° 416. En las siguientes proposiciones: I. Todo rombo es un cuadrado II. Todo polígono tiene diagonales

-23-

III. En todo polígono regular las diagonales son de igual longitud

IV. Todo cuadrado es un rombo Son verdaderas: a) Sólo I b) I, II y III c) Sólo IV d) III y IV e) I y III 417. En un trapecio ABCD

BC AD/ / , se tiene que:

BC 8 ; AD 20 , m ≮ A = 32 y m ≮ D = 58, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

a) 12 b) 6 c) 10 d) 8 e) 14 418. En un trapezoide si se unen todos los

puntos medios de todos sus lados en forma consecutiva se genera un:

a) Rombo b) Paralelogramo c) Cuadrado d) Rectángulo e) Triángulo 419. Si se intersectan todas las bisectrices

trazadas de todos los vértices de un romboide se forma un:

a) Rombo b) Rectángulo c) Cuadrado d) Triángulo e) Exágono 420. La suma de los ángulos internos igual

a: 180 (n – 2), se cumple cuando el polígono es:

a) Solamente convexo b) Solamente cóncavo c) Convexo y cóncavo d) Solamente estrellado e) Solamente regular

421. Un polígono equilátero puede ser: a) Convexo solamente b) Convexo y no convexo c) Cóncavo solamente d) Solamente regular e) Solamente estrellado 422. En un se traza dos circunferencias.

Una de ellas es tangente a los tres lados y la otra pasa por los vértices del triángulo. Los centros de tales circunferencias, son intersecciones respectivamente de:

a) Mediatrices y medianas b) Medianas y mediatrices c) Mediatrices y alturas d) Bisectrices y medianas e) Bisectrices y mediatrices 423. El polígono que no necesita de una

característica especial para inscribirse en una circunferencia es el:

a) Triángulo b) Cuadrilátero c) Pentágono d) Hexágono e) Octágono 424. Responder con (V), si es verdadero y

con (F) si es falso a las siguientes proposiciones:

( ) Todos los puntos de la circunferencia equidistan de su centro

( ) El círculo incluye a la circunferencia ( ) El radio de una circunferencia es el

doble del diámetro a) VVF b) FVV c) FFF d) VFV e) VVV 425. La intersección de una cuerda de la

circunferencia con el círculo correspondiente es:

a) Un punto b) Una flecha c) Dos puntos d) La cuerda e) El radio

426. Los radios de dos circunferencias secantes miden 6 y 8. Las tangentes de ambas circunferencias es uno de los puntos de contacto son perpendiculares entre si. Hallar la distancia entre los centros.

a) 2 b) 7 c) 10 d) 12 e) 18 427. Calcular (2x + 5) en la siguiente

figura.

a) 30° b) 32° c) 34° d) 35° e) 36° 428. Calcular el perímetro del trapecio

ABCD

a) 22 b) 30 c)28 d) 26 e) 23

429. Calcular “x”, si L // AC ; m ≮ CAB = 32°

a) 45 b) 70 c) 61 d) 64 e) 68

430. En la semicircunferencia de centro

“O”; donde 1 2L L/ /

y D es punto de tangencia. Hallar m ≮ DAR.

a) 15° b) 25° c) 30° d) 45° e) 60° 431. Calcular “3”, donde B es punto de

tangencia y “O” es centro de la circunferencia.

a) 20° b) 22,5° c) 25° d) 32,5° e) 30° 432. En la figura, calcule el ángulo OPQ.

Si “O” es centro y P y Q son puntos de tangencia.

a) 45° b) 35° c) 30° d) 40° e) 50°

-24-

433. En la figura, calcular “x”, donde

AB AD DC

a) 80° b) 30° c) 70° d) 40° e) 50° 434. Calcular , si P y Q son puntos de

tangencia.

a)10° b) 20° c) 15° e) 18° e) 24° 435. En la figura mostrada. Hallar “”

a)15° b) 16° c) 17° d) 50° e) 20° 436. De las proposiciones siguientes: I. En una misma circunferencia o en dos

circunferencias congruentes, a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes y viceversa

II. En una misma circunferencia, los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas no son congruentes

III. En una circunferencia, todo diámetro perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y a los arcos respectivos

Son verdaderas: a) I solamente b) I y II c) II y III d) I y III e) III solamente 437. En el triángulo, AB = 8; BC = 7 ;

AC = 6, hallar “AM”.

a) 2,5 b) 3 c) 3,5 d) 4 e) 1,5 438. De un punto P exterior a una

circunferencia, se trazan las secantes

PAB Y PCD . Si mP

= 40° y

m AC

= 30°, hallar la medida del menor ángulo formado por las cuerdas AD y BC

a) 50° b) 60° c) 70° d) 65° e) 75° 439. En la figura, B y E son puntos de

tangencia. Si m AB

= 50° y m BC

=

110°, hallar m AED

.

a)104° b) 106° c) 105° d) 100° e) 108°

440. En una circunferencia de 26 cm de diámetro, calcular la longitud de la cuerda que limita un arco de 60°.

a) 12 b) 13 c) 26 d) 36 e) 20 441. Hallar el perímetro del ABC

a) 23 b) 25 c) 26 d) 22 e) 24 442. Calcule el diámetro de una

circunferencia si tiene una cuerda de 48 cm cuya flecha correspondientes es 18cm.

a) 50 cm. b) 40 cm. c) 52 cm. d) 48 cm. e) 42 cm. 443. Del gráfico, calcular “x”.

a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 50° 444. Calcular x°.

a) 35° b) 40° c) 20° d) 45° e) 60°

445. En el cuadrado circunscrito ABCD. Hallar el ángulo “x”:

a) 37° b) 45° c) 67,5° d) 37° e) 75° 446. En la figura A, F, E, son puntos de

tangencia. Hallar x.

a) 45° b) 25° c) 35° de) 30° e) 40° 447. En la figura se sabe que: += 120°.

Hallar el valor del arco BD

a) 30° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150° 448. Calcular “x”, si “O” es centro y

además, OP = PQ. “T” es punto de tangencia y ≮ OQP = 26.

-25-

a) 13 b) 26 c) 52 d) 70 e) 84 449. En la figura, “A” es punto de

tangencia, EF FC

y AB=2DC= 10cm. Hallar BC.

a) 5 cm b) 4 cm c) 3 cm d) 6 cm e) 7 cm 450. Hallar “x”.

a) 50° b) 55° c) 54° d) 53° e) 56° 451. Hallar “x”.

a) 60° b) 75° c) 48° d) 65° e) 58°

452. Hallar m AD

, si m BC

= 28°.

a) 150 b) 152 c) 148 d) 142 e) 136 453. En la figura, O es centro, AB = BC =

OE. Hallar x.

a) 43° b) 50° c) 53° d) 30° e) 45° 454. Hallar “x” en la siguiente figura:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2,5 e) 1,5

455. Hallar “x”, EC es diámetro.

a) 35° b) 15° c) 25° d) 20° e) 30°