GEOESTADÍSTICA PARA EXPLORACIONES - · PDF fileDistintos tipops de información...
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1 GEOESTADÍSTICA PARA EXPLORACIONES ProEXPLO 2013 Instituto de Ingenieros de Minas del Perú Lima, Perú 17 y 18 de Mayo, 2013 Mario E. Rossi, MSc. Geoestadística, Ing. de Minas. GeoSystems International, Inc.
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GEOESTADÍSTICA PARA EXPLORACIONES
ProEXPLO 2013
Instituto de Ingenieros de Minas del Perú
Lima, Perú
17 y 18 de Mayo, 2013
Mario E. Rossi, MSc. Geoestadística, Ing. de Minas.
GeoSystems International, Inc.
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VARIOGRAFÍA El variograma es un gráfico que describe como varía, en
promedio, la varianza entre dos muestras a una cierta distancia.
Identifica y modela la variabilidad (correlación) espacial, caracterizando anisotropías, tendencias, variabilidad a corta y larga distancia, variabilidad entre dos variables diferentes, etc.
Parámetros de interés del variograma incluyen el “efecto pepita”, la meseta, el rango, la forma de modelo a corta y larga distancia, etc.
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120 240 360 480 6000.00
0.30
0.60
0.90
1.20
1.50
Lag Distance (h)
Gam
ma
(h)
4997
9781
14084
9181
13460
1308612713
12382
16164
791311455
11286
744314297
10568
687710132
9619
63989340
12151
58508447
83828021
526810313
7476
492471607105
6724
656186584371
6286
Azim. Dip240.0 .0240.0 .0 (cf)
Escondida Indicator Variograms, SIM2, UG=6Gamma(h)= .2 + .252Sph133.4(h) + .548Sph513.9(h)
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VARIOGRAFÍA
Consideremos una FA aleatoria Y con media conocida y varianza σ2. La media y la varianza tienen ubicación asignada dentro de la zona estacionaria. El variograma se define como:
El semivariograma γ(h) es la mitad del variograma 2γ(h).
El variograma entonces no depende de una ubicación; se calcula usando un vector de separación h que se traslada sobre todas los puntos de la zona estacionaria.
El variograma es una medida de variabilidad; se incrementa para valores de muestras más disímiles. La covarainza es una función estadística que mide similitud (correlación):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }22 Var Y Y E Y Yγ = − + = − + h u u h u u h
( ) ( ) ( ){ } 2C E Y Y m= ⋅ + − h u u h
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VARIOGRAFÍA (Cont)
Por definición, la covarianza para h=0, C(0), es la varianza σ2.
La covarianza C(h) es 0 cuando las muestras que están a una distancia suficientemente aprtadas no están linearmente correlacionadas.
Si hay estacionaridad de segundo orden, si la covarianza existe, el semi-variograma y la covarianza tienen la siguiente relación:
γ(h)=C(0)–C(h), or C(h) = C(0) - γ(h)
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VARIOGRAFÍA (Cont)
Se pueden utilizar diferentes estimadores de continuidad o variabilidad. Los más comunes son el semivariograma, variogramas relativos (por pares o global), correlograma, y la práctica de estandarizar por la varianza global.
Otros variogramas incluyen los de variables transformadas, como el Gaussiano, Indicador, y Lognormal.
Hay aspectos importantes en la definición de variogramas experimentales (inferencia): Densidad de la información; Distintos tipops de información (taladros, pozos de tronadura,
canaletas, etc.); La influencia de valores extremos; y La influencia de tendencias en las leyes.
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VARIOGRAFÍA (Cont)
La definición de las tolerancias angulares y de distancia es uno de los aspectos importantes.
El uso de mapas de variogramas y representaciones en 3D también son importantes.
Los variogramas experimentales deben ser siempre reconciliados con la geología conocida.
El proceso es experimental y exploratorio, y por lo tanto iterativo. Mientras mas temprano empiece en el desarrollo de un proyecto minero (exploración), mejor serán los resultados de las interpretaciones geológicas, definición de dominios de mineralización, y los estudios geoestadísticos resultantes.
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VARIOGRAFÍA (Cont)
Las discrepancias que pueden aparecer entre el modelo geológico y el de variograma deben ser resueltas, porque el variograma puede estar contribuyendo con información importante acerca de tendencias de leyes, estructuras, etc. Pero toda inferencia numérica siempre debe ser verificada en terreno.
El modelo de variograma puede ser impactado por artificios que resultan de la configuración de los datos, prácticas de muestreo, y otros aspectos numéricos que influyen en la continuidad observada, las anisotropías observadas, y las varianzas relativas de cada estructura.
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CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES
Para calcular variogramas se puede: Usar datos transformados; Usar una transformación de coordenadas.
Direcciones:
Número de direcciones; Considerar la densidad de información en diferentes
direcciones, por ejemplo a lo largo del taladro; Múltiples direcciones para caracterizar bien la
anisotropía (nunca presumir que se sabe a partir de la geología!!);
Tolerancias angulares; Ancho de banda.
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CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES (Cont)
Definición de Lags (pasos, o distancias): Los pasos deben estar relacionados con el
espacimiento de los datos; Se definen tolerancias angulares; Cuánta distancia total? No más del 50% de la distancia
máxima del dominio.
Estimador: Depende si se usó alguna transformación; si es así, se
usa el semi variograma tradicional; Para leyes, se consideran estimadores mas robustos,
como el correlograma o variogramas relativos. Evitar usar el variograma tradicional.
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CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES (Cont)
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CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES (Cont)
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CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES (Cont)
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VARIOGRAFÍA (Cont)
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INTERPRETANDO VARIOGRAMAS
La meseta es la varianza total (o 1.0, si es un variograma relativo). El rango es la distancia a la cuál el variograma alcanza la meseta. El efecto pepita es la suma de variabilidad a escala muy pequeña más
errores de muestreo y de ubicación.
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INTERPRETANDO VARIOGRAMAS (Cont)
Un efecto pepita puro significa que no hay correlación espacial. El modelo causa que los valores estimados por kriging sean en realidad promedios aritméticos de las muestras vecinas.
Pero lo más probable es que la correlación exista, solo que no la podemos ver. Puede ser por un problema de escala o variabilidad (típico de depósitos de Au epitermales, por ej.); o el estimador elegido.
Si los datos son muy variables, tratar de evitar usar el variograma tradicional; hacer un “capping” de valores extremos; o simplemente no usar esos valores extremos.
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PORQUE NECESITAMOS UN MODELO DE VARIOGRAMA?
Los variogramas direccionales deben ser considerados simultáneamente para entender las anisotropías en 3D. Pero el variograma se calcula solo en algunas direcciones, a menudo solo en las supuestas direcciones principales de anisotropía.
La función de variograma γ(h) se requiere para todos los vectores vectors h (distancia y dirección) dentro de la vecindad de búsqueda para los cálculos geoestadísticos subsiguientes.
Por esto se ajusta un modelo a los puntos del variograma experimental.
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont)
Al modelar se debe tener en cuenta la posibilidad de que los variogramas experimentales estén afectados por artificios relacionados con el espaciamiento de los datos, su orientación, y el muestreo.
Se usan ciertos modelos de variogramas, por un requisito matemático. Este dice que para todas las posibles direcciones y distancias en 3D, la covarianza debe ser positive definite (definidida positiva); o sea, debe ser tal que todas las matrices que se construyan con esa covarianza sean invertibles y de solución única para resolver las ecuaciones de kriging.
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont)
Hay funciones matemáticas conocidas que cumplen ese requisito: esférico; exponencial; Gaussiano; y periódicos.
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont)
Con una interpretación “correcta”, los modelos tradicionales son suficientes para lograr un ajuste adecuado. Permiten incoporar la información geológica y al mismo tiempo ajustar el comportamiento estadístico de las muestras.
La distancia variográfica la usan la mayoría de los algoritmos geoestadísticos.
El variograma puede tener un gran impacto en las predicciones. Mientras menos datos se tengan (exploración temprana), más impacto tiene.
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont)
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont.)
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont.)
El uso de estos modelos asegura la existencia y unicidad de la solución del sistema kriging.
Algunos modelos son condicionalmente definidos positivamente, o sea, solamente son válidos en un espacio dimensional reducido.
Por ejemplo, el modelo coseno está definido positivo solamente en R1. Por lo tanto, el modelo 3D será necesariamente anisotrópico.
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont.)
Los aspectos más importantes de un modelo de variogram son: Efecto pepita relativo (razón efecto pepita a meseta). Comportamiento cerca del origen. Anisotropías, zonal o geométricas. La zonal puede
ser modelada como geométrica, lo que a veces causa confusión.
Rango; es el parámetro menos importante, y depende del modelo utilizado. Puede ser engañoso.
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MODELOS DE VARIOGRAMAS (Cont.)
A mayor efecto pepita relativo, menor correlación espacial entre las muestras, y por lo tanto, menos “efectivo” será el kriging.
En la práctica, si el efecto pepita relativo es del orden del 70-80%, casi que no vale la pena aplicar el kriging.
El efecto pepita relativo es una medida de cuánto no sabemos acerca de la continuidad a corta escala.
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MODELING VARIOGRAMS (Cont.)
El comportamiento cerca del origen es lo de mayor consecuencia en la estimación y simulación.
Los datos más cercanos al punto que se estima recibe la mayor ponderación.
Hay diferencias conceptuales y de interpretación geológica entre los modelos esférico, Gaussiano, o exponencial.
Si la variable es muy continua (alturas piezométricas), entonces el modelo Gaussiano es relevante. Si hay mucha variabilidad, el modelo exponencial será una mejor opción (Au epitermal).
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MODELING VARIOGRAMS (Cont.)
Si los variogramas calculados en diferentes direcciones todos presentan la misma meseta y el mismo rango, el modelo es isotrópico. Esto es muy, muy raro en la explración minera.
La anisotropía geométrica es cuando los variogramas alcanzan la misma meseta a diferentes rangos.
La anisotropía zonal es cuando los variogramas alcanzan diferentes mesetas a diferentes rangos.
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MODELING VARIOGRAMS (Cont.)
Dos muestras a una distancia mayor que el rango no están correlacionados. La correlación no es lo mismo que independencia: las muestras pueden no estar correlacionadas, pero no ser independientes.
Es peligroso usar el rango de forma aislado, como un parámetro indicador de correlación, como a veces se hace para clasificar recursos minerales.
El variograma no es confiable para distancias mayores a la mitad de la dimensión del dominio.
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MODELING VARIOGRAMS (Cont.)
Ejemplos:
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VARIOGRAFÍA PASO A PASO
1. Calcular los variogramas direccionales para múltiples direcciones utilizando tolerancias angulares y de distancia. Cuántas direcciones?
2. Encontrar los principales ejes de anisotropía utlizando una combinación de los variogramas direccionales y conocimiento geológico.
3. Definir el model a ser utilizado (esférico, exponencial, etc.), y la meseta (1.0 si es relativo)
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VARIOGRAFÍA PASO A PASO (Cont)
4. Hacer la transformación linear requerida para derivar el modelo de variograma 3D que considera la anisotropía, para poder ser utilizado en los sistemas de kriging y simulación.
5. Usar una convención de rotación de ángulos consistente. Distintos software usan distintas convenciones; causa de error demasiado común!
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VARIOGRAMA = MOMENTO DE INERCIA
