GeometraAlegora de la geometra.La geometra (del latn geometria, y este del griego ?e?et??a de ?e? gueo, tierra, y et??a metra, medida) es una rama de la matemtica que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polgonos, poliedros, etc.).Es la base terica de la geometra descriptiva o del dibujo tcnico. Tambin da fundamento a instrumentos como el comps, el teodolito, el pantgrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinacin con el anlisis matemtico y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).Sus orgenes se remontan a la solucin de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicacin prctica en fsica aplicada, mecnica, arquitectura, geografa, cartografa, astronoma, nutica, topografa, balstica, etc. Y es til en la preparacin de diseos incluso en la elaboracin de artesana.ndice [ocultar] 1 Historia2 Axiomas, definiciones y teoremas2.1 Axiomas3 Topologa y geometra4 Tipos de geometra4.1 Geometras segn el tipo de espacio4.2 Geometra asociadas a transformaciones4.3 Geometra segn el tipo de representacin4.4 Aplicaciones geomtricas5 Vase tambin6 Referencias6.1 Bibliografa6.2 Enlaces externosHistoria[editar]Artculo principal: Historia de la geometraFragmentos de los Elementos de Euclides en los Papiros de Oxirrinco.La geometra es una de las ciencias ms antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prcticos en relacin con las longitudes, reas y volmenes.La civilizacin babilnica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometra con la invencin de la rueda se abri el camino al estudio de la circunferencia, que conllevara posteriormente al descubrimiento del nmero p (pi); Tambin desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada ao cuenta con 360 das, adems implementaron una frmula para calcular el rea del trapecio rectngulo.1 En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, segn los textos de Herdoto, Estrabn y Diodoro Sculo. Euclides, en el siglo III a. C. configur la geometra2 en forma axiomtica y constructiva, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos: la geometra euclidiana descrita en Los Elementos.El estudio de la astronoma y la cartografa, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio. Ren Descartes desarroll simultneamente el lgebra de ecuaciones y la geometra analtica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geomtricas, tales como las curvas planas, podran ser representadas analticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con el estudio de la estructura intrnseca de los entes geomtricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creacin de la topologa y la geometra diferencial.Axiomas, definiciones y teoremas[editar]Un teorema descubierto y probado por Arqumedes: una esfera tiene 2/3 del volumen de su cilindro circunscrito.La geometra se propone ir ms all de lo alcanzado por la intuicin. Por ello, es necesario un mtodo riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado histricamente los sistemas axiomticos. El primer sistema axiomtico lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomtico, ste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no slo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplir tambin todos los teoremas de la geometra en cuestin, y sus relaciones sern virtualmente idnticas al del modelo tradicional.Axiomas[editar]La geometra esfrica es un ejemplo de geometra no euclidiana.En geometra euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en funcin del punto, la recta y el plano. Euclides plante cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos despus cuando muchos gemetras lo cuestionaron al analizarlo originar nuevas geometras: la elptica (geometra de Riemann) o la hiperblica de Nikoli Lobachevski.En geometra analtica, los axiomas se definen en funcin de ecuaciones de puntos, basndose en el anlisis matemtico y el lgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier funcin, llmese recta, circunferencia, plano, etc.Topologa y geometra[editar]El nudo de trbol.El campo de la topologa, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido tcnico un tipo de geometra transformacional, en que las transformaciones que preservan las propiedades de las figuras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometra mtrica, en que las transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son las isometras). Esto ha sido frecuentemente expreso en la forma del dicho "la topologa es la geometra de la pgina de goma".Tipos de geometra[editar]Desde los antiguos griegos, ha existido numerosas contribuciones a la geometra, particularmente a partir del siglo XVIII. Eso ha hecho que proliferen numerosas subramas de la geometra con enfoques muy diferentes. Para clasificar los diferentes desarrollos de la Geometra moderna se pueden recurrir a diferentes enfoques:Geometras segn el tipo de espacio[editar]Los antiguos griegos un nico tipo de geometra a saber geometra eucldea, hbilmente codificada en los Elementos de Euclides y debido a una escuela alejandrina encabezada por Euclides. Este tipo de geometra se bas en un estilo formal de deducciones a partir de cinco postulados bsicos. Los cuatro primeros fueron ampliamente aceptados y Euclides los us extensivamente, sin embargo, el quinto postulado fue menos usado y con posterioridad diversos autores trataron de demostrarlo a partir de los dems, la imposibilidad de dicha deduccin llev a constatar que junto con la geometra eucldea existan otros tipos de geometras en que el quinto postulado de Eucldes no participaba. De acuerdo a las moficiaciones introducidas en ese quinto postulado se llega a familias diferentes de geometras o espacios geomtricos diferentes entre ellos:La geometra absoluta, que es el conjunto de hechos geomtricos derivables a partir nicamente de los primeros cuatro postulados de Euclides.La geometra eucldea, que es la geometra particular que se obtiene de aceptar como axioma tambin el quinto postulado. Los griegos consideraron dos variantes de geometra eucldea:Geometra eucldea del planoGeometra eucldea del espacioLa geometra clsica es una recopilacin de resultados para las geometras eucldeas.A partir del siglo XIX se lleg a la conclusin de que podan definirse geometras no eucldeas entre ellas:La geometra elpticaLa geometra esfricaLa geometra finitaLa geometra hiperblicaLa geometra riemannianaGeometra asociadas a transformaciones[editar]En el siglo XIX se constat que otra forma de enfocar los conceptos geomtricos era estudiar la invarianza de ciertas propiedades bajo diferentes tipos de transformaciones matemticas, as se clasificaron diversas propiedades geomtricas en grupos y se plantearon subdisciplinas consistentes en ver cuales eran las propiedades invariantes bajo tipos particulares de transformaciones, as aparecieron los siguientes tipos de enfoques geomtricos:Geometra afnGeometra conformeGeometra convexaGeometra discretaGeometra de incidenciaGeometra ordenadaGeometra proyectivaGeometra segn el tipo de representacin[editar]Si bien Euclides bsicamente se restingi a conceptos geomtricos representables mediante figuras (puntos, lneas, crculos, etc.) el desarrollo de otras ramas de las matemticas no conectadas inicialmente con la geometra propiamente dicha, llev a poder aplicar las herramientas de otras ramas a problemas propiamente geomtricos as nacieron:La geometra algebraicaLa geometra analticaLa geometra descriptivaLa Topologa geomtricaLa geometra diferencial que engloba como ramas a:Geometra diferencial discretaLa geometra de curvas y superficiesLa Geometra diferencial de curvasLa Geometra diferencial de superficiesLa Geometra diferencial de hipersuperficiesGeometra diferencial de variedadesLa geometra de RiemannLa Geometra fractalGeometra sintticaAplicaciones geomtricas[editar]Adems de las subramas propiamente dichas modernamente han surgido numerosas aplicaciones prcticas de la geometra entre ellas:Geometra computacionalGeometra constructiva de slidosGeometra molecular