GEOMETRIA: La geometra es una parte de la matemtica que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polgonos o poliedros. En la prctica, la geometra sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificacin terica de muchos instrumentos: comps, teodolito, pantgrafo, sistema de posicionamiento global. Tambin es la que nos permite medir areas y volmenes, es til en la preparacin de diseos, e incluso en la fabricacin de artesanas. La geometra clsica o axiomtica es una matemtica en la cual los objetos, en vez de ser nmeros, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en funcin de estas. El concepto degeologaproviene de dos vocablos griegos:geo(tierra) ylogos(estudio). Se trata de lacienciaque analiza laforma interior y exterior del globo terrestre. De esta manera, la geologa se encarga del estudio de las materias que forman el globo y de su mecanismo de formacin. Tambin se centra en las alteraciones que estas materias han experimentado desde su origen y en el actual estado de su colocacin.SIGNIFICADO DE GEOMETRA: es una rama de lasMatemticasque estudia las propiedades y las caractersticas de las figuras en un plano o en el espacio y sus relaciones. Procede del latngeometra, y a su vez del griego, formada por los trminos(gueo, tierra) y(metra, medida).HISTORIA DE LA GEOMETRA EN LA MESOPOTAMIA: Lageometraes una de lascienciasms antiguas. Inicialmente, constitua un cuerpo de conocimientos prcticos en relacin con laslongitudes,reasyvolmenes. En elAntiguo Egiptoestaba muy desarrollada, segn los textos deHerodoto,EstrabnyDiodoro Sculo.Euclides, en el siglo III a. C. configur la geometra en formaaxiomtica, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos: lageometra euclidianadescrita en Los Elementos. El estudio de laastronomay lacartografa, tratando de determinar las posiciones deestrellasyplanetasen la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio.Ren Descartesdesarroll simultneamente ellgebray lageometra analtica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geomtricas, tales como lascurvasplanas, podran ser representadas analticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con el estudio de la estructura intrnseca de los entes geomtricos que analizanEuleryGauss, que condujo a la creacin de latopologay lageometra diferencial. En la Mesopotamia, que significa "tierra entre ros", florecieron las primeras civilizaciones humanas. Entre ellas se destaca por su importancia, la civilizacin Babilnica. sta civilizacin que dur desde el siglo XVIII hasta el VI antes de Cristo, era de carcter urbano, aunque se basaba en la agricultura ms que en la industria. En cuanto a su estructura poltica, a la cabeza estaba el rey, monarca absoluto que ejerca el poder legislativo, judicial y ejecutivo; por debajo de l haba un grupo de gobernadores y administradores selectos. Hammurabi llega al trono de Babilonia, sucediendo a su padre, cerca del 1792 a. C. Hallazgos recientes, delatan algunos aportes a la historia de la geometra durante el reinado de Hammurabi. Se ignora la razn que llev a los babilnicos a estudiar la geometra, lo que si se sabe, es que los conocimientos que tenan no formaban un sistema. En los documentos se encontr un problema en el cual se calcula la diagonal de un tringulo rectngulo, cuyos lados tienen 10 y 40 brazas de longitud. Lo que lleva a pensar que conocan el teorema de Pitgoras en general, no slo para los tringulos 3-4-5. LA GEOMETRA EN EL ANTIGUO EGIPTO: Las primeras civilizaciones mediterrneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geomtricos de carcter eminentemente prctico. Lageometraen elantiguo Egiptoestaba muy desarrollada, como admitieronHerdoto,EstrabnyDiodoro, que aceptaban que los egipcios haban "inventado" la geometra y la haban enseado a los griegos; aunque lo nico que ha perdurado son algunas frmulas o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta" para calcular volmenes, reas y longitudes, cuya finalidad era prctica. Con ellas se pretenda, por ejemplo, calcular la dimensin de las parcelas de tierra, para reconstruirlas despus de las inundaciones anuales. De all el nombre,geometra: "medicin de la tierra" (de (g) 'tierra' ms (metra), 'medicin'). Los denominadosPapiro de AhmesyPapiro de Moscmuestran conjuntos de mtodos prcticos para obtener diversas reas y volmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenan sobre la geometra. Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilizacin sobre geometra as como los de las culturas mesopotmicas pas ntegramente a la cultura griega a travs deTales de Mileto, lospitagricosy, esencialmente, deEuclides. Tanto Herodoto como Aristteles sitan el origen de la geometra en la civilizacin Egipcia. Mientras Herodoto sostienen que sta surgi como una necesidad prctica de volver a trazar los lmites de la tierra, despus de la inundacin anual del Ro Nilo, Aristteles atribuye el surgimiento a una clase sacerdotal ociosa. Lo cierto es que siglos antes de la civilizacin egipcia, se descubrieron, utilizaron y aplicaron, variadas propiedades y clculos geomtricos. No obstante, el desarrollo de la geometra se impulsa en la civilizacin egipcia, y es de ah que muchos consideran a Egipto, cuna de la geometra. El desarrollo de la geometra en Egipto queda al descubierto en el papiro de Ahmes[2]. Este papiro data aproximadamente del 1650 a.C. y contiene 87 problemas matemticos con cuestiones aritmticas bsicas, fracciones, clculo de reas, volmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometra bsica. En el problema 51 de ste papiro, aparece el clculo del rea de un tringulo issceles, la resolucin de sto figura exactamente igual a los clculos que realizamos hoy en da, es decir, que se multiplica la base por la altura y luego se lo divide entre dos. En el problema 52 aparece el clculo del rea de un trapecio issceles, el clculo se realiza tomando la semisuma de las dos bases y despus se lo multiplica por la altura. Uno de los progresos ms notorios es el rea del crculo. En el problema 50 del papiro de Ahmes, ste admite que el rea de un campo circular de 9 unidades de dimetro, es igual al rea de un cuadrado de 8 unidades, lo que lleva a presuponer que tomaban el valor de Phi como 3,16. Un defecto importante de la geometra egipcia, radica en que no es posible establecer con claridad una distincin entre lo que era aproximado y lo que era exacto.

Los conocimientos encontrados, tanto en el papiro de Ahmes, como en el papiro de Mosc[3], revelan el carcter prctico de todas las cuestiones matemticas desarrolladas en Egipto, as como la finalidad de stas, que no era otra ms que el clculo numrico. Herodoto naci hacia el 485 a.C.en la costa de Asia Menor, en la ciudad de Halicarnaso. Era hijo de una familia aristocrtica, de origen indgena. Debido a las revuelas en Jonia, Herodoto se exilia, y viaje durante mucho tiempo. Recorre as gran parte de Egipto y Babilonia, entre otros lugares. Demostr un especial inters por las costumbres de los lugares a los que se trasladaba, su religin, su geografa y arquitectura. Se dedica entonces a relatar las primeras obras histricas, con lo que se gana la denominacin de padre de la Historia. Tambin Conocido como el pairo de Rhind, fue encontrado en el siglo XIX, entre las ruinas de una edificacin en Luxor. Es junto con el dePapiro Rhindel ms importante documento matemtico delantiguo Egipto. Con cinco metros de longitud y tan slo ocho centmetros de anchura consta de 25 problemas matemticos. De estos 25 problemas hay dos que destacan sobre el resto; son los relativos al clculo del volumen de una pirmide truncada, y el rea de una superficie parecida a un cesto.LA GEOMETRIA ANTES DE GRECIA: Es razonable pensar que los primeros orgenes de la Geometra se encuentran en los mismos orgenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban segn su forma. En la abstraccin de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometra. Las primeras civilizaciones mediterrneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geomtricos de carcter muy prctico. Estos son esencialmente algunas frmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de ""receta""- para calcular areas y longitudes. La finalidad era prctica, pues se pretenda con ello calcular la produccin proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra despus de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenan una alta formacin matemtica, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hiptesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilizacin -as como los de las culturas mesopotmicas- tuviera sobre Geometra pas ntegramente a la cultura griega a travs de Tales, los pitagricos, y esencialmente de Euclides. Sin tener conciencia clara de ello, a diario manejamos muchsimos conceptos de la Geometra, establecemos lneas entre un punto y otro, asociamos distancias y direcciones a los objetos que nos rodean, intuimos tamaos y formas. Con solo mirar cualquier parte del mundo encontraremos ah aspectos geomtricos, las figuras han jugado un papel fundamental en la historia de las matemticas; puntos, lneas, cuadrados, crculos, tringulos y dems figuras, constituyen la base de la geometra griega, sus propiedades se siguen estudiando, se siguen aplicando y se siguen admirando en el arte y la arquitectura. Se cuenta que antiguamente en Egipto, las aguas del rio Nilo crecan y suban de nivel, borrando los lmites de los terrenos, era necesario que cada ao los dueos de las tierras volvieran a medir y a marcar sus terrenos. Los egipcios haban desarrollado una gran habilidad en el arte de medir la tierra, inventaron procedimientos y tcnicas que se fueron transmitiendo de generacin en generacin. Estos conocimientos desarrollados por los egipcios llegaron a otros pueblos en particular a los griegos, quienes estudiaron este arte de medir la tierra y se dieron cuenta de que en las tcnicas egipcias haba principios generales que iban ms all de sus terrenos y sus medidas, eran principios que tenan que ver con las relaciones y propiedades que existen entre ciertas formas y figuras. Entre los siglos VI y IV a. C., floreci en Grecia la escuela cientfica y filosfica ms importante de su poca, de entre sus muchos representantes hay que mencionar a Euclides, Pitgoras y Tales de Mileto. Los griegos no se limitaron a observar algunas relaciones interesantes entre los nmeros y las figuras geomtricas o a usarlas en sus mediciones y construcciones para resolver problemas de clculo, fueron los primeros en darse cuenta de la importancia de encontrar enunciados generales y demostrarlos. Elaboraron as con el paso del tiempo, una geometra independiente de los casos concretos, construyeron el primer sistema de matemticas puras. La geometra fue la primera rama de las matemticas y se consolido gracias, fundamentalmente al trabajo de Euclides, quien en su obra titulada Los Elementos reuni todo el conocimiento matemtico de su poca, lo organizo, y lo ms importante, lo formalizo.ANTES DE EUCLIDES: En efecto, Tales permaneci en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirmide de Keops y de predecir un eclipse solar. La Geometra Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prcticos de las civilizaciones egipcia y mesopotmicas, y da un paso de abstraccin al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un crculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el comps. Aparece por primera vez la demostracin como justificacin de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran ms justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales. La figura de Pitgoras y de la secta por l creada (los pitagricos) tiene un papel central, pues eleva a la categora de elemento primigenio el concepto de nmero (filosofa que de forma ms explcita o ms implcita, siempre ha estado dentro de la Matemtica y de la Fsica), arrastrando a la Geometra al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemtica aun no hay una distincin clara entre Geometra y Aritmtica-, y asienta definitivamente el concepto de demostracin (ste ya s coincide con el concepto de demostracin formal) como nica va de establecimiento de la verdad en Geometra. Esta actitud permiti (aun fuera de la secta) la medicin de la tierra por Eratstenes, as como la medicin de la distancia a la luna, y la invencin de la palanca por Arqumedes, varios siglos despus. En el seno de la secta de los pitagricos surge la primera crisis de la Matemtica: la aparicin de los inconmensurables, pero esta crisis es de carcter ms aritmtico que geomtrico. Surge entonces un pequeo problema a nivel lgico, que consiste en lo siguiente: una demostracin parte de una o varias hiptesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis depender de la validez del razonamiento con el que se ha extraido (esto ser estudiado por Aristteles al crear la Lgica) y de la veracidad de las hiptesis. Pero entonces debemos de partir de hiptesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hiptesis, habr que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipotesis deberemos tambin comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hiptesis se convierten en tesis a probar.EUCLIDES YLOS ELEMENTOS: Euclides, vinculado alMuseo de Alejandray a suBiblioteca, zanja la cuestin al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los dems resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre,Los elementos, modelo desistema axiomtico-deductivo. Sobre tan slo cincopostuladosy lasdefiniciones que precisa construye toda la Geometra y la Aritmtica conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volmenes, perdurar como nica verdad geomtrica hasta entrado el siglo XIX. Entre los postulados en los queEuclidesse apoya hay uno (elquinto postulado) que trae problemas desde el principio. No se pona en duda su veracidad, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente poda deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometra ser determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es unteorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.

DESARROLLO DE LA GEOMETRIA EN ESAS DE LAS CIVILIZACION, CONJUNTAMENTE HABLAR DE PERSONAJES MATEMATICOS QUE APORTARON AL DESARROLLO DE LA GEOMETRIAEl origen del trmino geometra es una descripcin precisa del trabajo de los primeros gemetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamao de los campos o el trazado de ngulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometra emprica, que floreci en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemtico Pitgoras coloc la piedra angular de la geometra cientfica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometra emprica se pueden deducir como conclusiones lgicas de un nmero limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitgoras y sus discpulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemtico moderno se consideran como un conjunto de supuestos tiles pero arbitrarios. Un ejemplo tpico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemticos griegos es la siguiente afirmacin: "una lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, lneas, ngulos y planos se puede deducir lgicamente a partir de estos axiomas.Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ngulos de cualquier tringulo es igual a la suma de dos ngulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitgoras).La geometra demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polgonos y crculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemtico griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto bsico de geometra hasta casi nuestros das.Primeros problemas geomtricos: Los griegos introdujeron los problemas de construccin, en los que cierta lnea o figura debe ser construida utilizando slo una regla de borde recto y un comps. Ejemplos sencillos son la construccin de una lnea recta dos veces ms larga que una recta dada, o de una recta que divide un ngulo dado en dos ngulos iguales.Tres famosos problemas de construccin que datan de la poca griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemticos que intentaron resolverlos: la duplicacin del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del crculo (construir un cuadrado con rea igual a un crculo determinado) y la triseccin del ngulo (dividir un ngulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el comps, y la imposibilidad de la cuadratura del crculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cnicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cnicas son importantes en muchos campos de las ciencias fsicas; por ejemplo, las rbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cnicas.Arqumedes, uno de los grandes cientficos griegos, hizo un considerable nmero de aportaciones a la geometra. Invent formas de medir el rea de ciertas figuras curvas as como la superficie y el volumen de slidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. Tambin elabor un mtodo para calcular una aproximacin del valor de pi, la proporcin entre el dimetro y la circunferencia de un crculo y estableci que este nmero estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.Geometra analtica: La geometra avanz muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filsofo y matemtico francs Ren Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Mtodo", publicado en 1637, hizo poca. Este trabajo fragu una conexin entre la geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los mtodos de una disciplina en la otra. ste es un fundamento de la geometra analtica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometra moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigacin de las propiedades de las figuras geomtricas que no varan cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. El aporte ms significativo en la historia de las matemticas es la aparicin de la aritmtica. La aritmtica aparece en la historia del hombre desde la prehistoria, y se limita al uso de nmeros enteros, encontrados inscritos en objetos; el ms conocido es el hueso Ishango de frica central, que se data entre 18000 y 20000a.C. Hay evidencias de que los babilonios tenan slidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmtica elemental en 1800a.C., aunque los historiadores slo pueden especular sobre los mtodos utilizados para generar los resultados aritmticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece a ser una lista de Pitgoras triples, pero sin mostrar cmo se haya generado la lista. Del mismo modo, el egipcio Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650a.C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850a.C.) muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones. Los modernos algoritmos de clculo fueron posibles gracias a la introduccin de los nmeros rabes y la notacin decimal posicional. Los nmeros rabes, basados en la aritmtica, fueron desarrollados por los grandes matemticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ide la notacin posicional, dando diferente valor a un nmero dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta aadi el cero al sistema numrico indio. Brahmagupta desarroll la moderna suma, resta, multiplicacin y divisin, basadas en los nmeros arbigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminacin de miles de aos de desarrollo matemtico. Por el contrario, el antiguo matemtico Arqumedes dedic todo un tratado para la elaboracin de una notacin con determinados nmeros. El florecimiento de lgebra en el mundo medieval islmico y en el renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificacin de las operaciones mediante la notacin decimal posicional. Existen otras geometras que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas "geometras no euclidianas", como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky. Como se mencion, los conceptos bsicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a travs de los sentidos. Puede darse modelos fsicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presin de la punta de un alfiler o por una estrella en el firmamento. Una recta est sugerida por un hilo a plomo, un plano est sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos. La geometra euclidiana puede dividirse en geometra plana y en geometra del espacio o estereometra. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no estn contenidas en un mismo plano.Euclides (en griego , Eukleides) es un matemtico griego, que vivi alrededor del ao 300 a.C, ~(325 adC) - (265 adC) Escribi los Elementos, una de las obras ms conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta de manera formal, partiendo nicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de lneas y planos, crculos y esferas, tringulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares.En 1868 el italiano Eugenio Beltrami public Ensayo sobre la interpretacin de la Geometra no eucldea, que proporcion un modelo para la geometra no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la geometra eucldea 3-dimensional.

Riemann (1826-1866) Naci: 17 de Septiembre 1826 en Breselenz, Hannover (Ahora Alemania), Falleci: 20 de Julio 1866 en Selasca, Italia escribi su tesis doctoral bajo la supervisin de Gauss, dio una clase inaugural en la que reformul todo el concepto de la geometra, que el vea como un espacio con la suficiente estructura adicional para poder medir cosas como la longitud. Esta leccin no se public hasta 1868, dos aos despus de la muerte de Riemann, pero haba de tener una profunda influencia en el desarrollo de las diferentes geometras. Riemann trat brevemente una geometra 'esfrica' en la que cada lnea que pasaba por un punto P exterior a una recta AB se cruzaba con la recta AB. En esta geometra no existan las paralelas.Gauss, Carl F. (1777-1855): Matemtico alemn nacido en Brunswick y fallecido en Gotinga. Gauss fue un nio prodigio en matemticas y continu sindolo toda su vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores matemticos de la historia junto a Arqumedes y Newton. Su inteligencia superdotada llam la atencin del duque de Brunswick, quien decidi costearle todos sus estudios, entrando en 1795 en la universidad de Gotinga. Antes de cumplir los veinte aos hizo algunos descubrimientos importantes, entre los que se incluye el mtodo de los mnimos cuadrados. Gauss hall un mtodo para construir un polgono equiltero de 17 lados con ayuda de regla y comps, e incluso fue ms all, demostrando que slo ciertos polgonos equilteros se podan construir con ayuda de regla y comps. Hizo una labor importante en la Teora de Nmeros. Tambin construy una geometra no eucldea, basada en axiomas distintos a los de Euclides, pero se neg a publicarla. Lovachevski y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento al publicarla algo ms tarde. En 1799 Gauss demostr el teorema fundamental del lgebra. Tambin demostr que los nmeros se podan representar mediante puntos en un plano. El 1801 demostr el teorema fundamental de la aritmtica. Se levant una estatua en su honor en su ciudad natal, que descansa sobre un pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en celebracin de su descubrimiento de la construccin del polgono de 17 lados. Le llamaban Prncipe de las Matemticas.Bolyai, Janos (1802-1860): Matemtico hngaro nacido en Kolozsvar y fallecido en Marosvsrheli, ambas en Hungra. Su padre haba sido gran amigo de Gauss, llegando incluso a intentar demostrar el quinto axioma de Euclides. En 1825 pona en prctica los mismos proyectos que Lovachevski sobre la geometra no euclideana, publicando en 1831 un apndice en un libro de su padre sobre matemticas. En l explic su geometra, que Lovachevski haba publicado tres aos antes.Saccheri, Giovanni Girolamo (1667-1733): Naci y muri en San Remo, Gnova (ahora Italia). Se uni a la Orden de los Jesuitas en 1865. Cinco aos despus march a Miln, donde estudi filosofa y teologa en el Colegio Jesuita. All, Tommaso Ceva le anim a estudiar matemticas. En 1694 fue ordenado sacerdote y se dedic a ensear en colegios jesuitas. Fue catedrtico de matemticas en Pavia desde 1699 hasta su muerte.Tales d Mileto:Tales fue un filsofo griego, estadista, matemtico, astrnomo e ingeniero. Segn se seala en los escritos conservados, Tales habra demostrado teoremas geomtricos sobre la base de definiciones y premisas con ayuda de reflexiones sobre la simatra. Tales aspiraban a encontrar una explicacin racional del universo. El teorema de Tales se llama as en honor a l. Fue el iniciador de la indagacin racional sobre el universo. Se le considera el primer filsofo de la historia de la filosofa occidental, y fue el fundador de la escuela jnica de filosofa, segn el testimonio de Aristteles. Fue el primero y ms famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrnomo), y habra tenido, segn una tradicin antigua no muy segura, como discpulo y protegido a Pitgoras.2 Fue adems uno de los ms grandes matemticos de su poca, centrndose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometra. Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia mltiples conocimientos y herramientas elementales de geometra. Aunque no es histricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su poca lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un tringulo que tiene por lado el dimetro de la circunferencia que lo circunscribe es un tringulo rectngulo. Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un mtodo de comparacin de sombras que Tales habra utilizado para medir la altura de las pirmides egipcias, aplicndolo luego a otros fines prcticos de la navegacin. Se supone adems que Tales conoca ya muchas de las bases de la geometra, como el hecho de que cualquier dimetro de un crculo lo dividira en partes idnticas, que un tringulo issceles tiene por fuerza dos ngulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ngulos que se forman al cortar dos paralelas por una lnea recta perpendicular. Los egipcios haban aplicado algunos de estos conocimientos para la divisin y parcelacin de sus terrenos. Mas, segn los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habra dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho ms a las lneas y a las curvas, alcanzando as su geometra un mayor grado de complejidad y abstraccin.Pitagoras:Pitgoras de Samos fue matemtico, filsofo y fundador de la agrupacin secreta de los pitagricos. El teorema de Pitgoras, llamado as por Euclides, ya era conocido con mucha anterioridad a Pitgoras. (ca. 580a.C. ca. 495a.C.) Fue un filsofo y matemtico griego, considerado el primer matemtico puro. Contribuy de manera significativa en el avance de la matemtica helnica, la geometra y la aritmtica derivada particularmente de las relaciones numricas, aplicadas por ejemplo a la teora de pesos y medidas, a la teora de la msica o la astronoma. Es el fundador de la hermandad pitagrica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba tambin en medicina, cosmologa, filosofa, tica y poltica, entre otras disciplinas; el pitagorismo formul principios que influenciaron tanto a Platn como a Aristteles, y de manera ms general, al posterior desarrollo de la matemtica y la filosofa racional en Occidente. No se conserva ningn escrito original de Pitgoras, y sus discpulos -los pitagricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que es difcil distinguir entre los hallazgos de Pitgoras y las de sus seguidores. Se le acredita a Pitgoras la teora de la significacin funcional de los nmeros en el mundo objetivo y en msica; otros descubrimientos (la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado, o el teorema de Pitgoras para los tringulos rectngulos) fueron probablemente desarrollados posteriormente por la escuela pitagrica Eudoxo (Cnido, actual Turqua, ca. 390a.C. ca.337a.C.) fue un filsofo, astrnomo, matemtico y mdico griego, pupilo de Platn. Nada de su obra ha llegado a nuestros das; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias, como el poema de Arato sobre astronoma. Eudoxo naci en Cnido, quizs en el ao 408a.C., aunque otros autores lo trasladan 8 aos hasta 400a.C. o 18 hasta 390a.C. Probablemente naci en una familia relacionada con la medicina, ya que esos fueron sus primeros estudios, bajo la tutela de Filistio, y ejerci la profesin durante algunos aos. Aprendi tambin matemticas de Arquitas. A su vuelta, fund en Ccico una escuela de Filosofa, Matemticas y Astronoma; tambin ense en otras ciudades del Asia Menor. De nuevo en Atenas, sobre el ao 368a.C., volvi a tomar contacto con Platn y figur como uno de los miembros ms brillantes de la Academia. Su relacin con Platn es uno de los puntos ms comentados de su biografa y la naturaleza de dicha relacin no es clara: segn Digenes Laercio, Platn lo recibi hostilmente, celoso de su popularidad; Plutarco afirma que desconfiaba de las ideas matemticas de Eudoxo. Otras fuentes, no obstante, afirman que la relacin fue cordial y Eudoxo sigui las orientaciones de Platn. Alrededor del ao 350a.C., Eudoxo retorn a Cnido, donde acababa de instaurarse un rgimen democrtico y se le encarg redactar la nueva constitucin. Filstrato lo incluye en el Libro I de su obra Vidas de los Sofistas en razn del ornato de su lenguaje y su facilidad para la improvisacin. Eudoxo muri en su ciudad natal en el ao 355a.C. (en el 347a.C. si consideramos el nacimiento en el 400a.C., en 337a.C. si lo consideramos en 390a.C.) Eudoxo fue el primero en plantear un modelo planetario basado en un modelo matemtico, por lo que se le considera el padre de la astronoma matemtica. Fue discpulo de Arquitas de Tarento. Su trabajo sobre la teora de la proporcin denota una amplia comprensin de los nmeros y permite el tratamiento de las cantidades continuas, no nicamente de los nmeros enteros o nmeros racionales. Cuando esta teora fue resucitada por Tartaglia y otros estudiosos en el siglo XVI, se convirti en la base de cuantitativas obras de ciencias durante un siglo, hasta que fue sustituida por los mtodos algebraicos de Descartes. Eudoxo demostr que el volumen de una pirmide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura, teoremas ya intuidos por Demcrito. Para demostrarlo elabor el llamado mtodo de exhauscin, antecedente del clculo integral, para calcular reas y volmenes. El mtodo fue utilizado magistralmente por Arqumedes.Apolonio De Pergie: (Perge, c. 262 - Alejandra, c. 190 a. C.) fue un gemetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cnicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parbola e hiprbola, a las figuras que conocemos. Naci: Alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora Turqua) y falleci: Alrededor del 190 A.C en Alejandra, Egipto. Se sabe que estuvo en Alejandra durante los reinados de Ptolomeo Evergetes y Ptolomeo Filopater, a la vez que fue tesorero general de Ptolomeo Filadelfo. Por las fuentes se puede afirmar que era entre veinticinco y cuarenta aos ms joven que Arqumedes, de all la estimacin de sus aos de nacimiento y muerte. Fuera de ello, lo poco que se sabe de su vida es que estudi en Alejandra y en esta ciudad se dedic a la enseanza; y que vivi al menos un tiempo en Prgamo. Propuso y resolvi el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres crculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandra. Respecto a sus obras, se han perdido muchas: Reparto rpido, en el que se enseaban mtodos rpidos de clculo y se daba una aproximacin del nmero ; Secciones en una razn dada, trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendos puntos situados en dichas rectas) que estn en una razn dada (este problema es equivalente a resolver la ecuacin ax - x2 = bc); Secciones en un rea dada, problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectngulo equivalente a otro (este problema es equivalente a resolver la ecuacin ax + x2=bc); Secciones determinadas, dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto P, tal que el rectngulo construido sobre AP y CP est en una razn dada con el rectngulo construido sobre BP y DP; Tangencias, resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio); Lugares planos, los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las circunferencias, lugares slidos eran las secciones cnicas y lugares lineales el resto de las curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado. Slo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros das: Secciones en una razn dada (no se conserva el original sino una traduccin al rabe) y Las Cnicas (slo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traduccin al rabe). Esta ltima es la obra ms importante de Apolonio, es ms, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros ms importantes de matemticas. Tambin se le atribuye la hiptesis de las rbitas excntricas o teora de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.