Geometra euclidiana La geometra euclidiana,

1 eucldea o parablica

2 es el estudio de las propiedades

geomtricas de los espacios eucldeos. Es aquella que estudia las propiedades geomtricas

del plano afn eucldeo real y del espacio afn eucldeotridimensional real mediante el mtodo

sinttico, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

Tambin es comn (abusando del lenguaje) decir que una geometra es euclidiana si no es no

euclidiana, es decir, si en dicha geometra se verifica el quinto postulado de Euclides. sta

denominacin est cada vez ms en desuso, debido a la prdida de inters que va teniendo el

tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma.

En ocasiones los matemticos usan las expresiones geometra eucldea o geometra

euclidiana para englobar geometras de dimensiones superiores con propiedades similares.

Sin embargo, con frecuencia son sinnimos de geometra plana o de geometra clsica.

Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento

de Oxirrinco(Egipto).

ndice

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1 Interpretaciones

2 Geometra plana

3 Axiomas

4 Postulados

5 Limitaciones

6 Euclidiano y eucldeo

7 Vase tambin

8 Notas y referencias

9 Enlaces externos

Interpretaciones[editar]

Desde un punto de vista historiogrfico, la geometra euclidiana es aquella geometra que

postul Euclides, en su libroLos elementos, dejando al margen las aportaciones que se

hicieron posteriormente desde Arqumedes hasta Jakob Steiner.

Segn la contraposicin entre mtodo sinttico y mtodo algebraico-analtico, la geometra

euclidiana sera, precisamente, el estudio por mtodos sintticos de los invariantes de

un espacio vectorial real de dimensin 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el

frecuentemente denominado producto escalar habitual).

Segn la filosofa del programa de Erlangen (propuesto por el matemtico Felix Klein), la

geometra eucldea sera el estudio de los invariantes de las isometras en un espacio

eucldeo (espacio vectorial real de dimensin finita, dotado de un producto escalar), al

aplicarles transformaciones ortogonales.3

Geometra plana[editar]

La geometra plana es una parte de la geometra que trata de aquellos elementos

cuyos puntos estn contenidos en unplano. La geometra plana est considerada parte de la

geometra eucldea, pues sta estudia los elementos geomtricos a partir de dos dimensiones.

Axiomas[editar]

Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

La presentacin tradicional de la geometra euclidiana se hace en un formato axiomtico, en el

que todos los teoremas (declaraciones verdaderas) derivan de un pequeo nmero de

axiomas.4 Un sistema axiomtico es aqul que, a partir de un cierto nmero de proposiciones

que se presuponen evidentes (conocidas comoaxiomas) y mediante deducciones lgicas,

genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es tambin lgico.

Postulados[editar]

Artculo principal: Postulados de Euclides

Euclides plante cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4. Todos los ngulos rectos son congruentes.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ngulos internos menores a dos ngulos

rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que

estn los ngulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides).

Este ltimo postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado

como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una nica paralela a la recta

dada.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos gemetras, incluido el

propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al

absurdo negndolo, surgieron dos nuevas geometras: laelptica, tambin llamada

geometra de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe

ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperblica o

de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una

dada).

Vase tambin: Quinto postulado de Euclides

Limitaciones[editar]

Euclides asumi que todos sus postulados o axiomas eran autoevidentes y por tanto

hechos que no requeran demostracin. Sin embargo, result que el quinto postulado si

bien es compatible con los otro cuatro en cierto modo es independiente. Es decir, tanto

el quinto postulado como la negacin del quinto postulado, son compatibles con los otros

cuatro postulados. Las geometras donde el quinto postulado no es vlido se

llaman geometras no euclidianas.

Una limitacin del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas

geomtricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era vlido, es decir,

para Euclides y los gemetras posteriores hasta el siglo XVIII pas inadvertida la

posibilidad de geometras no euclidianas, hasta el trabajo de Nikoli

Lobachevski, Gauss y Riemann.

Si bien durante el siglo XIX se consider a las geometras no euclidianas un artefacto

matemticamente interesante e incluso con cierto inters prctico pero limitado, como es

el caso de la trigonometra esfrica usada en astronoma, en cierto modo se admiti que la

geometra del espacio fsico era euclidiana y, por tanto, las geometras no euclidianas

eran tan slo un artificio abstracto til para ciertos problemas, pero en modo alguno

descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que

entre las necesidades de la fsica moderna estn las geometras no euclidianas para

describir, por ejemplo, el espacio-tiempo curvo.

Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados ms:

Dos circunferencias cuyos centros estn separados por una distancia menor a la suma

de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construccin).

Dos tringulos con dos lados iguales y los ngulos comprendidos tambin iguales, son

congruentes (afirmacin equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa

para su teorema cuarto sin definir explcitamente).

Euclidiano y eucldeo[editar]

En la comunidad matemtica de habla hispana no estn unificados los criterios acerca del

uso de los adjetivos euclidiano y eucldeo. As, algunos autores asignan significados

especficos a cada uno de estos trminos, sirvindose de ellos para distinguir entre

conceptos matemticos diferentes; mientras que otros hacen uso exclusivo, ya sea de uno

o del otro, en todos sus trabajos. Esta dualidad de criterios no se presenta en el idioma

ingls, donde solo existe el trminoeuclidean.

Aunque desde el punto de vista lingstico ambas formas tienen el mismo significado:

hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemtico griego Euclides, la Real

Academia Espaola solo adopta como correcta la palabra euclidiano, mientras que no

recoge eucldeo.1

Vase tambin[editar]

Portal:Matemtica. Contenido relacionado con Matemtica.

Portal:Geometra. Contenido relacionado con Geometra.

Geometra clsica

Geometra no euclidiana

Notas y referencias[editar]

1. Saltar a:a b Vanse las respectivas entradas para eucldeo e euclidiano en el Diccionario de la lengua espaola de la Real Academia Espaola.

2. Volver arriba Siguiendo la analoga de las cnicas, una parbola es el caso lmite entre una elipse y una hiprbola; en el mismo sentido que la geometra parablica o euclidiana es el caso lmite entre la geometra elptica y la geometra hiperblica

3. Volver arriba Hay que indicar que se puede dotar a un mismo espacio vectorial real de distintos productos escalares, as que, incluso con esta acepcin, existe una enorme ambigedad, al no quedar claro ni la dimensin del espacio (en principio cualquier dimensin finita) ni el producto a escalar al que nos referimos. Este trmino puede permitir que cosas que no se parecen en nada a lo que entendemos por geometra euclidiana pueda llamarse precisamente geometra euclidiana.

4. Volver arriba Las hiptesis de Euclides se analizan desde una perspectiva moderna en Wolfe, Harold E (2007). Introduction to non-Euclidean geometry (en ingls). Mill Press. p. 9. ISBN 1-4067-1852-1.

Enlaces externos[editar]