Geometría hiperbólica,

elíptica y esférica

La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones, se considera que la geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

° Por dos puntos pasa una única recta.

Los cinco postulados de Euclides:Los cinco postulados de Euclides:

° Un segmento rectilíneo puede ser prolongado infinitamente.

° Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única circunferencia.

° Todos los ángulos rectos son iguales.

Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Geometrías no euclidianas

Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a

cualquier forma de geometría cuyos postulados

y propiedades difieren en algún punto de los

establecidos por Euclides en su obra “Los Elementos”.

El desarrollo de las geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el

quinto postulado de Euclides.

En esta geometría, dada una recta r y un punto P externo a r,

hay por lo menos dos rectas distintas que pasan por P las

cuales no intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas,

resulta falso.

Geometría Hiperbólica

En la geometría hiperbólica la suma de los ángulos interiores

de un triángulo es siempre menor de 180°, siendo la

diferencia proporcional al área del triángulo.

Fórmula de Lambert

-(α +β +δ) = C. A α β δ

Geometría Elíptica

En esta geometría, dada una recta r y un punto P externo

a r, todas las rectas que pasan por P intersectan a

r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso.

Al igual que la geometría euclidiana y la geometría

hiperbólica es un modelo de geometría de curvatura

constante, siendo la diferencia entre estos tres

modelos el valor de la curvatura:

° La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.

° La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.

° La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

En esta geometría, dada una recta r y un punto P externo a r, hay infinitas rectas distintas que pasan por P las cuáles no intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso.

Geometría Esférica

Dos usos prácticos de los principios

de esta geometría son la navegación y la astronomía.

En esta geometría se define a la línea

como “la trayectoria más corta entre dos

puntos” y se llaman

geodésicas .

La fórmula más importante es la del área del triángulo

esférico.

Llamamos ABC al un triángulo esférico, sobre una esfera de

radio uno, deduciremos que el área es

A (ABC)=A+B+C-.

A modo de conclusión…

Debemos decir que estas geometrías sin cumplir con

todos los postulados de Euclides planteados en los

Elementos son tan consistentes como la

geometría euclídea misma.

• Carnevale, Paola• Silvero, Macarena

4to. Prof. Matemática 2010