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Grado en Matemáticas

Título: Ecuaciones Diferenciales de Orden Fraccional y sus Aplicaciones

Autor: Miguel Martínez García

Director: Dr. Jaume Franch Bullich

Departamento: Matemática Aplicada IV

Convocatoria: Julio del 2013:

3

Proyecto final de carrera. Grado de Matemáticas

Tutor del proyecto: Dr. Jaume Franch Bullich

Facultad de Matemáticas y Estadística(Universidad Politécnica de Cataluña)

21 de Junio del 2013

Dirección de correo-e (autor): [email protected]

5

Prefacio

El propósito de este proyecto es comprender y sintetizar las ideas esencialesdel cálculo fraccional, y aplicarlas a la resolución de ecuaciones diferenciales deorden fraccionario, incluyendo su aplicación. Se ha intentado escribir este texto deforma que el resultado sea un documento autocontenido e inteligible que puedatener utilidad como referencia futura.

Aunque existen muchas definiciones de derivada e integral fraccionaria, aquí setrata principalmente la definición de Riemann-Liouville, que es la más interesantedesde el punto de vista analítico. Pero en el capítulo 4 se introduce la derivadafraccionaria de Caputo, que es más conveniente para la integración numérica.

Para la parte teórica de este proyecto (capítulos 1,2 y 3), se ha usado comoguión la organización de los contenidos del libro de Miller y Ross “An Introductionto the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations”. No obstante,para ofrecer una exposición más intuitiva se ha diferido de este libro cuando hasido necesario y en ocasiones, se ha recurrido a otra bibliografía complementaria.En especial se ha elaborado más el tema de existencia y unicidad de soluciones. Asu vez, con el propósito de que la lectura sea más fluida, los conceptos matemáticosque se utilizan en este texto referentes a funciones trascendentes se encuentran alfinal en un apéndice -en particular las funciones gamma, gamma incompleta y beta-.

Para la parte numérica del proyecto se ha seguido en especial la bibliografíade Kai Diethelm, tanto sus libros como sus ‘papers’ (véase sección de referencias).Además, es de agradecer que este autor haya respondido amablemente a los correoselectrónicos y sus respuestas, junto con las de Juan J. Trujillo de la universidad deLa Laguna (Canarias), han ayudado mucho en la elaboración del capítulo 4 y partedel 5.

Este último capítulo muestra aplicaciones típicas del cálculo fraccional, comola modelización de mecánica en medios viscoelásticos, y el denominado cuarto ele-mento fundamental de un circuito eléctrico, el memristor. Desde el punto de vistamatemático apenas ahora se está comenzando a tomar en serio este tipo de mode-los llamados fraccionarios. Y aunque estos operadores se conocen desde hace muchotiempo, es el los años 90 que son considerados por grupos aplicados. Por tanto, lainformación al respecto, aunque amplia, está muy desorganizada. Para la aplicaciónde viscoelasticidad han sido muy útiles los ‘papers’ de Susumu Sakakibara.

Finalmente, quiero agradecer a mi tutor, Jaume Franch Bullich, por el tiempoque ha invertido cada semana en escucharme y aconsejarme sobre el proyecto. Ytambién por aceptarme cuando decidí solicitar este proyecto de entre los temaspropuestos por la Facultad de Matemáticas y Estadística (UPC).

Índice general

Introducción 7

Capítulo 1. Operador Diferintegral 101.1. Operador Diferintegral de Grünwald-Letnikov 101.2. Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville 111.3. Interpretaciones Geométricas 20

Capítulo 2. Derivada Fraccionaria de Riemann-Lioville 24

Capítulo 3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Fraccionario 363.1. Transformada de Laplace 363.2. Resolución de Ecuaciones Diferenciales de Orden Fraccionario 453.3. Ecuaciones no Homogéneas 543.4. Ecuaciones con Coeficientes no Constantes 56

Capítulo 4. Derivada fraccionaria de Caputo y Métodos Numéricos 574.1. Operador Diferintegral de Caputo 574.2. Método Adams-Moulton-Bashforth Fraccionario 59

Capítulo 5. Aplicaciones: Modelos Fraccionarios 625.1. Tautócrona 625.2. Oscilador Armónico en Medio Viscoelástico 655.3. Memristor 69

Apéndices 751. Funciones Trascendentes Especiales 752. Tabla de Derivadas e Integrales Fraccionarias 803. Tablas de la Transformada de Laplace 814. Otras Fórmulas 825. Código en C del Solver 83

Referencias 86

6

Introducción

Consideramos el operador diferencial Dnf (x) y nos preguntamos cual sería elsentido de sustituir n por un número racional cualquiera, por ejemplo D1/2f (x).Esta pregunta surge por primera vez en la correspondencia entre Leibniz y L’Hôpital(1695). No es por tanto una idea nueva aunque nos parezca inusual. De hecho, elcálculo fraccional es prácticamente tan antiguo como el cálculo diferencial, y enrealidad la idea no es más traumática que la primera vez que vimos x1/3 o xπ .

No necesitamos comprender intuitivamente que significa multiplicar x por simisma π ‘veces’, para poder calcularlo. Entrecomillamos la palabra ‘veces’ porqueel problema es precisamente que no la podemos utilizar ya. De la misma formaD3/2f (x) o Dπf (x), ¿pueden calcularse? Se llama a esta rama del análisis ‘cálculofraccional’. De hecho, el nombre tiene su origen histórico en que primero se definiópara orden racional, pero hoy en día no se restringe el orden a valores racionales.Se admiten incluso derivadas fraccionarias de orden complejo, pero para este docu-mento asumiremos orden real. Desde aquella carta de Leibniz a L’Hôpital el cálculofraccional ha pasado por las manos de Abel, Liouville, Riemann, Weyl, Fourier yotros.

Antes de formalizar noción alguna queremos explorar a donde nos lleva la in-tuición en este sentido. Lo más razonable es que comencemos por una función muyfácil de derivar según el cálculo ordinario: f (x) = eax. Sabemos que Dneax = aneax

para n ∈ N. Nos gustaría poder afirmar que

Dνeax = aveax para ν ∈ R.

Puesto que conocemos el desarrollo de Taylor de esta función, es lógico con-tinuar nuestra investigación preliminar intentando deducir cuál es la derivada frac-cionaria de f (x) = xp. Si n ∈ N obtenemos que Dnxp = p!

(p−n)!xp−n. Para gene-

ralizar esta expresión a orden real arbitrario, necesitamos hacer uso de la funcióngamma Γ (x) =

´∞0 ettx−1dt. De momento sólo tenemos que saber que la función

gamma es una generalización del factorial para los reales -de hecho para los com-plejos excluyendo Z− ∪ 0- y que cumple las siguientes propiedades1:

Γ (n) = (n− 1)! para ∀n ∈ N

Γ (z) = (z − 1) Γ (z − 1) para ∀z ∈ C salvo z∈ Z− ∪ 0

Γ (n) = ±∞ para ∀n∈ Z− ∪ 0

1En el apéndice 1 se han incluido otras propiedades de la función Γ que vamos a utilizar.

7

INTRODUCCIÓN 8

-4 -2 2 4 6x

-20

-10

10

20

30GHxL

fig1. Función Γ en los reales

Lo que queremos justificar es que Dνxp = Γ(p+1)Γ(p−ν+1)x

p−ν .A primera vista parece que esta expresión podría utilizarse para definir la

derivada fraccionaria para toda función analítica. Usando ahora el desarrollo de

Taylor para la exponencial ex =∞∑

n=0

xn

n! y la expresión anterior, vamos a calcular la

derivada fraccionaria de ex. Obtenemos Dνex =∞∑

n=0

xn−ν

Γ(n−ν+1) .

Por desgracia esta última expresión no coincide con la derivada fraccionaria dela exponencial que habíamos propuesto anteriormente. En realidad coincide sólocuando ν∈ Z

− ∪ 0, como se deduce de la tercera propiedad que hemos señaladode la función gamma. Entonces, ¿Qué ha fallado?

La respuesta, de momento, es otra pregunta. ¿Cuándo calculamos la derivadafraccionaria de una función que estamos haciendo? ¿Estamos derivando o estamosintegrando?

Podríamos pensar que cuando ν > 0 estamos derivando y cuando ν < 0 estamosintegrando, como por ejemplo D−1f (x) =

´

f (x) dx. Pero en este razonamientovemos dos problemas: Primero, si estamos integrando, caso ν < 0, no hemos especi-ficado límites de integración. Y segundo, si ν > 0 ¿Estamos realmente derivando ohacemos algo más?

La cuestión es que cuando hacemos una derivada fraccionaria, siempre podemosinterpretar que estamos derivando e integrando al mismo tiempo. Ya que, paraν > 0 podemos considerar m = ⌈ν⌉ y hacer Dνf (x) = Dm

[

D−(m−ν)f (x)]

. En estaexpresión integramos primero y derivamos después para no perder información, yel operador diferencial Dm, es el que ya conocíamos para la derivada usual. Vemosque si encontramos una manera de formalizar el operador integral D−νf (x) para vreal y positivo, tendremos un potente candidato a definición de derivada e integralfraccionaria para orden real arbitrario.

En cualquier caso, comenzaremos a formalizar en el primer capítulo. Lo quenos interesa ahora es señalar que hemos descubierto que establecer límites de ‘inte-gración’ es esencial cuando estamos haciendo derivadas fraccionarias. Por tanto apartir de ahora escribiremos hDν

t f (t), siempre que nos sea necesario especificar los

INTRODUCCIÓN 9

límites, y diremos que h es el término inferior y t el superior, y observamos que paracada selección de términos inferior o superior tenemos una caracterización distintadel operador hDν

t f (t) o tDνhf (t), al que llamaremos operador diferintegral por las

razones que acabamos de exponer.

Calculando hD−1t eat =

t

h

eaξ dξ = 1aeat − 1

aeah cuando a > 0, podemos ahora

inferir que si queremos que este resultado coincida con nuestra primera hipótesisnecesitamos h = −∞. Nuestra intuición nos había conducido a −∞D

−νt f (t), que

se conoce como derivada fraccionaria de Liouville. Para el caso a < 0 usaríamostD

−ν∞ eat para obtener el mismo resultado. Este último operador se conoce como

derivada fraccionaria de Weyl xW−ν∞ f (x). En cambio hD

−1t xp = xp+1

p+1 − hp+1

p+1 ,coincide con la hipótesis inicial cuando h = 0. Con lo que antes habíamos llegado a0D

−νt f (t), que se conoce como derivada fraccionaria de Riemann-Liouville.Estamos ahora en condiciones de comenzar el siguiente capítulo definiendo el

operador diferintegral.

Capítulo 1

Operador Diferintegral

Existen muchas definiciones para el operador diferintegral del cálculo fraccional.En este documento hemos estudiado la definición más extendida, la de Riemann-Liouville que veremos en las secciones siguientes. Antes, a modo de ejemplo, quere-mos mostrar otra definición, la de Grünwald-Letnikov. En el Capítulo 4 estudiare-mos aún otra más, la de Caputo, mucho más reciente (1967).

1.1. Operador Diferintegral de Grünwald-Letnikov

A partir de la noción usual para definir la derivada de orden n:

dnf(x)dx = lım

h→0

1hn

n∑

m=0(−1)m

(

nm

)

f (x−mh)

extendemos esta definición para orden arbitrario ν > 0. Utilizando la funcióngamma y estableciendo términos de integración, obtenemos

Dνf (x) = lımh→0

1hν

∑

t−ahm=0 (−1)

m Γ(ν+1)m!Γ(ν−m+1)f (x−mh)

donde hemos sustituido n por t−ah ya que ν no es un entero en general.

Mediante la propiedad G3 de la función Γ, podemos escribir

Dνf (x) = lımh→0

1hν

∑

t−ahm=0

Γ(m−ν)Γ(−ν)Γ(m+1)f (x−mh).

Si queremos extender la definición para integrar fraccionariamente, utilizamosla notación:

(−nm

)

= −n(−n−1)...(−n−m+1)m! ,

y observamos que(−nm

)

= (−1)m n(n+1)...(n+m−1)

m! = (−1)m (n+m−1)!

(n−1)!m! .

Esta última expresión para el caso no entero resulta en(−νm

)

= (−1)m Γ(ν+m)

Γ(ν)m! ,y podemos definir:

D−νf (x) = lımh→0

hν∑

t−ahm=0

Γ(ν+m)m!Γ(ν) f (x−mh).

La ventaja de esta definición es que sólo supone que f esté bien definida.Además, es fácil de utilizar para cálculo numérico. Por otro lado, en general, ellímite es muy difícil de calcular analíticamente. La siguiente definición que es laque adoptamos, facilita mucho el cálculo de forma analítica. 1

1En [5] se demuestra la equivalencia de ambas definiciones -pág 44-46-.

10

1.2. INTEGRAL FRACCIONARIA DE RIEMANN-LIOUVILLE 11

1.2. Integral Fraccionaria de Riemann-Liouville

Definición 1: Sea ν ∈ R, ν > 0 y sea f una función continua a trozos2 enI ′ =(h,X ] e integrable en cualquier subintervalo de I =[h,X ]3, llamamos a

hD−νt f (t) = 1

Γ(ν)

t

h

(t− ξ)ν−1

f (ξ) dξ, t ∈ I ′

la integral fraccionaria de Riemann de f de orden ν. Y en concreto, cuando h = 0diremos que es la integral fraccionaria de Riemann-Lioville.4

Podemos ver que para ν > 0 la expresión es en efecto integrable, ya que parah < ǫ < t podemos hacer

t

h

(t− ξ)ν−1

f (ξ) dξ =ǫ

h

(t− ξ)ν−1

f (ξ) dξ +t

ǫ

(t− ξ)ν−1

f (ξ) dξ.

La primera integral cumpleǫ

h

∣

∣

∣(t− ξ)

ν−1f (ξ)

∣

∣

∣dξ ≤ K1

ǫ

h

|f (ξ)| dξ,

donde K1 = supξ∈[h,ǫ]

(t− ξ)ν−1, que existe porque (t− ξ)ν−1 es acotada en [h, ǫ], y f

es integrable en [h, ǫ].

La segunda integral cumplet

ǫ

∣

∣

∣(t− ξ)ν−1 f (ξ)

∣

∣

∣dξ ≤ K2

t

ǫ

∣

∣

∣(t− ξ)ν−1

∣

∣

∣dξ,

donde K2 = supξ∈[ǫ,t]

f (ξ), que existe porque f (ξ) es acotada en [ǫ,t]. Y (t− ξ)ν−1 es

integrable en [ǫ,t], aunque en el caso 0 < ν < 1 la integral será impropia.

Queremos mostrar ahora una justificación de esta definición. Nos gustaría que laexpresión de la definición representase el concepto de integral iterada usual cuandoν sea natural. La definición de hecho se ha escogido de forma que si ν = n ∈ N,entonces es equivalente a

hD−nt f (t) =

t

h

dt1t1

h

dt2t2

h

dt3 · · ·tn−1´

h

f (ξ) dξ.

Lo comprobamos por inducción.

Para ν = 1, hD−1t f (t) =

t

h

f (ξ) dξ. Supongamos ahora que para n = N se

cumple. Para n = N + 1 tenemos,

hD−(N+1)t f (t) = hD

−1t

[

1(N−1)!

x

h

(x− ξ)N−1

f (ξ) dξ

]

=

2Por función continua a trozos nos referimos a funciones definidas en todo el intervalo (h,X],que pueden contener una cantidad numerable de discontinuidades, aunque estas nunca son asin-tóticas. Además han de ser continuas en X, pero en h si que puede haber una discontinuidadasintótica.

3X puede ser +∞4Se puede partir fácilmente de una definición más general sustituyendo ν ∈ R, ν > 0 por

ν ∈ C, Re (ν) > 0. Pero por simplicidad a partir de ahora consideraremos que ν es real.


= 1(N−1)!

t

h

dxx

h

(x− ξ)N−1

f (ξ) dξ.

Cambiando el orden de integración se convierte en,

1(N−1)!

t

h

dξt

ξ

(x− ξ)N−1

f (ξ) dx = 1N !

t

h

(x− ξ)Nf (ξ) dξ.

La limitación principal con la que nos encontramos en esta definición, es queúnicamente hemos definido la integral fraccionaria y no la derivada fraccionaria. Encaso de que el operador diferintegral tenga orden positivo, no podemos asegurar laconvergencia de la integral de la definición para toda función f . Pero esta limitaciónes fácil de sortear. Extendemos la definición a todo ν ∈ R mediante el procedimientoya indicado en la introducción.

Consideramosm = ⌈ν⌉5 y haremos Dνf (x) = Dm[

D−(m−ν)f (x)]

para valoresde ν positivos. Para el caso ν = 0 sólo hemos de definir el operador D0 := I comoel operador identidad. Tenemos ahora definido el operador diferintegral para todoorden real en forma de operador combinado.

Dρf (t) =

1Γ(−ρ)

t

h

(t− ξ)−ρ−1

f (ξ) dξ ρ < 0

I [f (t)] = f (t) ρ = 0

Dm[

D−(m−ρ)f (x)]

ρ > 0 donde m = ⌈ρ⌉Observamos lo siguiente:

i) Si f no es diferenciable, entonces la derivada fraccionaria no está bien defini-da:

Consideramos hD1xf (x) = hD

2x

[

hD−1x f (x)

]

= hD2x

[

t

h

f (t) dt

]

= Df (x). Pero

f no es diferenciable.

ii) Si f tiene derivadas continuas hasta orden m = ⌈µ⌉, entonces hDµt f (x) está

bien definida para x > 0:

Se tiene que para v = m−µ, hD−vx f (x) = 1

Γ(v)

x

h

(x− t)v−1

f (t) dt y mediante

el cambio de variables t = x− y1/v, queda

hD−vx f (x) = 1

Γ(v+1)

´ (x−h)v

0 f(

x− y1/v

)

dy.

Ahora,

hDµt f (x) = Dm[hD

−vt ] = Dm

[

1Γ(v+1)

´ (x−h)v

0 f(

x− y1/v)

dy]

=

= Dm−1[

1Γ(v+1)f (h) v (x− h)

v−1+ 1

Γ(v+1)

´ (x−h)v

0∂∂xf

(

x− y1/v

)

dy]

donde en el último paso se ha aplicado la fórmula de diferenciación bajo el signode la integral6. Aplicando esta fórmula m− 1 veces más:

Dm[hD−vt ] =

m−1∑

k=0

Dkf(x)x=h

Γ(v−m+k+1) (x− h)v−m+k

+ 1Γ(v+1)

´ (x−h)v

0∂m

∂xm f(

x− y1/v

)

dy.

5Con ⌈ν⌉ nos referimos al entero más pequeño que es más grande que ν.

6 ddx

[

´ b(x)

a(x)f (x, t) dt = f (x, b (x)) b′ (x) − f (x, a (x)) a′ (x) +

´ b(x)

a(x)∂

∂xf (x, t) dt

]

.


Al ser f continuamente diferenciable hasta orden m, la expresión anterior estábien definida.

Es importante señalar que el operador diferintegral no es un operador localya que se calcula sobre un intervalo. Veremos que esto tiene consecuencias cuandousemos ecuaciones diferenciales de orden fraccionario para modelizar. Existe otradefinición para el operador en la que se deriva primero y se integra fraccionariamentedespués. Éste es el operador diferintegral de Caputo (capítulo 4).

Demostramos ahora una primera propiedad, que es la que todo el mundo esperade un operador, la linealidad.

Proposición: El operador diferintegral es lineal.La demostración es una simple comprobación, µ > 0, m = ⌈µ⌉, ν = m−µ > 0,

p, q ∈ R

hDµt [pf (t) + qg (t)] = 1

Γ(ν)dm

dtm

t

h

(t− ξ)ν−1 [pf (ξ) + qg (ξ)] dξ =

= pΓ(ν)

dm

dtm

t

h

(t− ξ)ν−1

f (ξ) dξ + qΓ(ν)

dm

dtm

t

h

(t− ξ)ν−1

g (ξ) dξ =

= p hDµt f (t) + q hD

µt g (t).

Ejemplo 2.1: f (t) = tλ

Si f (t) = tλ y λ > −1, aplicando la definición con término h = 0, tenemos

0D−νt tλ = 1

Γ(ν)

t

0(ξ − t)ν−1 ξλ dξ.

Y haciendo el cambio de variables ξ = tx se sigue,

0D−νt tλ = 1

Γ(ν) tλ+ν

1

0(1 − x)

ν−1xλ dx = B(λ+1,ν)

Γ(ν) tλ+ν = Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1) t

λ+ν .

Donde se ha aplicado la definición de la función beta y la propiedad G7 delapéndice 1. El resultado es el que ya esperábamos. Un caso particular de esteejemplo es f (t) = K, con K constante. Entonces D−νK = K

Γ(ν+1) tν , ν > 0.7

Y la derivada fraccionaria de orden µ > 0, Dµtλ = Dm[

D−νtλ]

, con m = ⌈µ⌉y ν = m− µ, es

Dµf (t) = Dm[

Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1) t

λ+ν]

= Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)D

mtλ+ν =

= Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)

Γ(λ+ν+1)Γ(λ+ν−m+1) t

λ+ν−m = Γ(λ+1)Γ(λ−µ+1) t

λ−µ.

A partir de esta última fórmula, si calculamos para f (x) = x,d

1/2f(x)dx1/2

= D1/2x = Γ(2)

Γ(1/2+1)x1/2 = 1

Γ(1/2)1/2x

1/2 = 2√π

√x, ya que Γ (1/2) =

√π.

Y si derivamos ‘media vez’ una vez más,

D1/2

[

D1/2x

]

= D1/2

[

2√π

√x

]

= 2√πD

1/2[

x1/2

]

= 2√π

Γ(3/2)Γ(1) x

0 = 2√π

√π

2 x0 = 1

ya que8 Γ (3/2) =√π

2 .

7A partir de ahora se omitirán los términos de integración siempre y cuando esté claro quenos estamos refiriendo a 0Dtf (t).

8Véase tabla 1 del apéndice 1.


Además, si mediante la misma fórmula derivamos f (x) = x0 = 1, vemos quela derivada fraccionaria de una constante no es necesariamente nula. Pero sí lo escuando la constante es cero.

Ejemplo 2.2:

Para operar f (t) = (t− a)λ es mas conveniente escoger como término inferior

h = a. Entonces,

aD−νt f (x) = 1

Γ(ν)

t

a

(t− ξ)ν−1

(ξ − a)λdξ =

haciendo el cambio de variables:

ξ − a = s

dξ = ds

=

= 1Γ(ν)

t−a´

0[(t− a) − s]ν−1 sλds =

Renombrando :

t − a = t

=

= 1Γ(ν)

t

0

[

t− s]ν−1

sλds = 0Dttλ.

Ahora a partir del ejemplo 2.1, nos queda

aD−νt f (x) =0Dtt

λ = Γ(λ+1)Γ(λ+µ+1) t

λ+ν = Γ(λ+1)Γ(λ+µ+1) (t− a)

λ+ν

Si queremos derivar fraccionariamente la misma función, para µ > 0 hacemosm = ⌈µ⌉, ν = m− µ

aDµt (t− a)

λ= Dm

[

aD−νt (t− a)

λ]

= Γ(λ+1)Γ(λ−µ+1) (t− a)

λ−µ.

Ejemplo 2.3:

Para integrar fraccionariamente f (t) = (t− a)λ con término inferior nulo, se

complica tanto el proceso como la expresión resultante. En general es muy común,incluso partiendo de funciones simples, llegar a funciones trascendentes al operarfraccionariamente.

0D−νt f (x) =

t

0(t− ξ)ν−1 (ξ − a)λ dξ =


x =t−ξt−a

, (1 − x =ξ−at−a

)

dxdξ

= −1t−a

=

= (t−a)λ+ν

Γ(ν)

t/t−a´

0xν−1 (1 − x)λ dx.

Y vemos que la última integral la podemos relacionar con la función beta in-completa

0D−νt f (x) = (t−a)λ+ν

Γ(ν) B tt−a

(ν, λ+ 1).

Si diferintegramos ahora la función f (t) = (a− t)λ,

0D−νt f (t) = 1

Γ(ν)

t

0(t− ξ)ν−1 (a− ξ)λ dξ =


x =t−ξa−ξ

, (1 − x = a−ta−ξ

)

dxdξ

=−(a−t)

(a−ξ)2

=

= (a−t)ν+λ

Γ(ν)

t/a´

0xν−1 (1 − x)

−ν−λ−1dx = (a−t)ν+t

Γ(ν) B ta

(ν,−λ− ν).

Para casos particulares no necesariamente llegamos a una expresión en términosde una función trascendente especial. Tomando a = 1, ν = 1/2, λ = −1/2

0D1/2

t1√1−t = 1

Γ(1/2)

t

0x

−1/2 (1 − x)−1dx = 1√

π

t

0

1√x(1−x)dx,

y con el cambio de variables u =√x se llega a


0D1/2

t1√1−t = 2√

π

√t´

0

11−u2 du = 2√

πtanh−1 (√

t)

= 1√π

ln 1+√t

1−√t.

Ejemplo 2.4: f (t) = eat

Si f (t) = eat, entonces D−νeat = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1eaξ dξ.

Haciendo el cambio de variables x = t− ξ,

D−νeat = 1Γ(ν)

t

0xν−1ea(t−x) dx = eat

Γ(ν)

t

0xν−1e−ax dx.

Nos referiremos a esta última expresión con la notación Et (v, a) = D−νeat.Pero además observamos,

Et (v, a) = eat

Γ(ν)

t

0xν−1e−ax dx = tνeatγ∗ (ν, at)

donde γ∗ es la función gamma incompleta que hemos definido en el apéndice 1.2.La propiedad GI del mismo apéndice nos permite expresar este último resultadoen forma de serie infinita,

Et (ν, a) = tν∞∑

k=0

(at)k

Γ(ν+k+1) = 1aν

∞∑

k=0

(at)k+ν

Γ(ν+k+1)

que es lo que esperábamos. Ya que si integramos eat ν veces;

eat´

t0−→

1aeat − 1

a

´

t0−→

1a2 e

at − 1a t− 1

a2

´

t0−→

1a3 e

at − 12a t

2 − 1a2 t− 1

a3

´

t0−→

´ t0−→ . . .

´ t0−→ 1

aν

eat − 1(ν−1)! (at)

ν−1 − · · · − 13! (at)

3 − 12! (at)

2 − at− 1

.

Además Et (ν, a) cumple9:

Et (0, a) = eat

E0 (ν, a) = 0 si ν > 0

Et (ν, 0) = tν

Γ(1+ν) .

Vemos que la definición de operador diferintegral adoptada nos permite expre-sar la integral fraccionaria de la exponencial en términos de funciones especiales, yque mediante el uso de propiedades de estas funciones podemos obtener una expre-sión en serie infinita. En general el procedimiento suele ser así aunque los ejemplosse complican rápido. No obstante, teniendo ahora Et (ν, a) , lo primero que se nosocurre es integrar fraccionariamente funciones que se pueden definir a partir de laexponencial.

Ejemplo 2.5: cos at, sin atUtilizando las expresiones en términos de la exponencial compleja para el seno

y el coseno;

cos (z) = eiz+e−iz

2 , sin (z) = eiz−e−iz

2i

y por linealidad del operador diferintegral,

D−ν cos at = 12 [Et (ν, ia) + Et (ν,−ia)]

D−ν sin at = 12i [Et (ν, ia) − Et (ν,−ia)].

9A la función Et (ν, a) se la llama ’función de Miller-Ross’.


Para estas dos últimas expresiones usaremos la notación Ct (ν, a) y St (ν, a). Ya partir de la expresión en forma de serie infinita para Et (ν, ia) podemos calcular,

Ct (ν, a) = 12 tν

∞∑

k=0

ik(at)k

Γ(ν+k+1) + (−1)kik(at)k

Γ(ν+k+1)

= tν∞∑

k par

(−1)k/2(at)k

Γ(ν+k+1)

sustituyendo k = 2j

Ct (ν, a) = tν∞∑

j=0

(−1)j(at)2j

Γ(ν+2j+1) .

Y,

St (ν, a) = 12i t

ν∞∑

k=0

ik(at)k

Γ(ν+k+1) − (−1)kik(at)k

Γ(ν+k+1)

= tν∞∑

k impar

(−1)(k−1)/2(at)k

Γ(ν+k+1)

sustituyendo k = 2j + 1

St (ν, a) = tν∞∑

j=0

(−1)j(at)2j+1

Γ(ν+2j+2) .

Utilizando fórmulas trigonométricas10 podemos integrar fraccionariamente to-davía más funciones:

D−ν cos2 at = D−ν 1+cos 2at2 =

= 12D

−ν1 + 12D

−ν cos 2at = 12D

−νt0 + 12D

−ν cos 2at =

= tν

2Γ(ν+1) + 12Ct (ν, 2a).

Análogamente,

D−ν sin2 at = tν

2Γ(ν+1) − 12Ct (ν, 2a).

Ejemplo 2.6: f (t) = ln tRealizamos el cambio de variables ξ = tx, ν > 0

D−ν ln (t) = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1ln ξ dξ = tν

Γ(ν)

1

0(1 − x)

ν−1(ln t+ ln x) dx =

= ln t tν

Γ(ν)

1

0(1 − x)

ν−1dx+ tν

Γ(ν)

1

0(1 − x)

ν−1ln t dx =

= tν

Γ (ν + 1) ln t+ tν

Γ(ν)

1

0(1 − x)ν−1 ln t dx.

Para hallar una expresión para la integral de la derecha usamos1

0xµ−1 (1 − x)

ν−1ln xdx = B (µ, ν) [ψ (µ) − ψ (µ+ ν)]11, donde ψ es la función

digamma definida en el apéndice 1.

D−ν ln (t) = tν

Γ (ν + 1) ln t+ tν

Γ(ν)B (1, ν) [ψ (1) − ψ (ν + 1)].

Como ψ (1) = −γ y por la propiedad G7 de la función beta, obtenemos,

D−ν ln (t) = tν

Γ (ν + 1) [ln t− γ − ψ (ν + 1)].

Para ver un caso particular dentro del ejemplo, con ν = 1/2 calculamos

D−1/2 ln t = t1/2

Γ(1/2) [ln t− γ − ψ (3/2)].

10Por ejemplo: cos 2θ = 2 cos2 2θ − 1 = 1 − 2 sin2 2θ.11véase [8] pág 540 -4.252(1)-


ψ (3/2) = 2 − γ − ln 4,12 por tanto

D−1/2 ln t = t1/2

√π

(ln 4t− 2).

Ejemplo 2.7: f (t) = tλ ln t

D−ν [tν ln t] = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1ξλ ln ξ dξ.

Con el cambio de variables ξ = tx resulta

D−ν [tν ln t] = tλ

Γ(ν)

1

0(ln t+ lnx) (1 − x)

ν−1xλ dx =

= tλ

Γ(ν) ln t1

0xλ (1 − x)ν−1 dx+ tλ

Γ(ν)

1

0xλ (1 − x)ν−1 ln xdx =

= tλ

Γ(ν) ln t B (ν, λ+ 1) + tν+λ

Γ(ν)B (ν, λ+ 1) [ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)] =

= Γ(λ+1)tλ+ν

Γ(ν+λ+1) [ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)].

Caso particular: ν = 1/2, λ = −1/2

D−1/2[

t−1/2 ln t]

= Γ(1/2)Γ(1) [ln t+ ψ (1/2) − ψ (1)] =

=√π

2 (ln t− γ − ln 4 + γ) =√π

2 ln t4 .

Donde se ha usado ψ (1/2) = −γ − ln 4.

Queremos ahora demostrar una primera propiedad del operador diferintegral,la ley de los exponentes:D−µ [D−ν ] f (t) = D−(µ+ν)f (t). Al observar esta expresiónvemos un primer problema. D1D−1f (t) = f (t) es claramente cierto por el teoremafundamental del cálculo. En cambio D−1D1f (t) = f (t) no es cierto en general-basta considerar f (t) = 1-. Lo que demostraremos es una fórmula menos general.Supondremos µ > 0 y ν > 0 para evitar este problema. Es decir, sólo integraremosfraccionariamente y veremos que los órdenes conmutan. En el siguiente capítulo,donde trataremos con detalle la derivada fraccionaria, demostraremos una versiónalgo más general de la ley de los exponentes, y el teorema fundamental del cálculofraccional que ésta implica.

Formula de Dirichlet:Sea f una función continua en I × I, I = [0, X ]

t

0(t− ξ)

µ−1

ξ

0(ξ − x)

ν−1f (ξ, x) dx

dξ =

=t

0dx

t

x

(t− ξ)µ−1

(ξ − x)ν−1

f (ξ, x) dξ13

12Tabla 2 apéndice 113[7] p77. De hecho usamos un caso particular de esta fórmula. La razón de la necesidad de

utilizar esta fórmula es que no podemos garantizar la continuidad del integrando para así hacerel cambio del orden de integración de la forma usual (Fubini).


Teorema 1 (Ley de los exponentes para integrales fraccionarias):Sea f una función continua en I = [0, X ] y sean µ > 0, ν > 0. Entonces

D−µ [D−ν ] f (t) = D−(µ+ν)f (t).

demostración:

D−µ [D−νf (t)] = 1Γ(µ)

t

0(t− ξ)

µ−1[D−νf (ξ)] dξ =

= 1Γ(µ)

t

0(t− ξ)µ−1

1Γ(ν)

ξ

0(ξ − x)ν−1 f (x) dx

dξ.

De momento sólo hemos aplicado la definición. Utilizamos ahora la fórmula deDirichlet,

D−µ [D−νf (t)] = 1Γ(µ)Γ(ν)

t

0dx

t

x

(t− ξ)µ−1

(ξ − x)ν−1

f (x) dξ =

= 1Γ(µ)Γ(ν)

t

0f (x) dx

t

x

(t− ξ)µ−1

(ξ − x)ν−1

dξ.

Considerando g (t) = (t− x)ν−1 vemos que la integral respecto de ξ es de hecho

Γ (µ) xD−µt g (t),

D−µ [D−νf (t)] = 1Γ(ν)

t

0f (x)

[

xD−µt g (t)

]

dx.

Usando xD−µt g (t) = Γ(ν)

Γ(µ+ν) (t− x)µ+ν−1 [ejemplo 2.2], nos queda,

D−µ [D−νf (t)] = 1Γ(µ+ν)

t

0(t− x)µ+ν−1 f (x) dx = 0D

−(µ+ν)t f (t).

La ley de los exponentes, implica que para µ > 0, ν > 0 los exponentes con-mutan; D−µ [D−ν ] f (t) = D−(µ+ν)f (t) = D−ν [D−µ] f (t). Por tanto, el operadorintegral fraccionario cumple las propiedades de semigrupo conmutativo.

Ejemplo 2.8:Si µ > 0 y ν > 0,

D−ν [D−µeat] = D−(µ+ν)et = Et (µ+ ν, a).

Por lo tanto,

D−ν [D−µeat] = D−νEt (µ, a) = Et (µ+ ν, a) = D−µEt (ν, a) = D−µ [D−νeat]

y también,

D−νCt (µ, a) = Ct (µ+ ν, a) y D−vSt (µ, a) = St (µ+ ν, a).

En los ejemplos anteriores se integró fraccionariamente un número considerablede funciones típicas. En el próximo capítulo las derivaremos fraccionariamente y,mediante la propiedad de linealidad, también sabemos operar combinaciones linea-les de éstas. Obviamente, la dificultad será mayor para integrar el producto dedos funciones aunque sepamos integrar fraccionariamente ambas (véase ejemplo2.7). Queremos desarrollar una regla para integrar fraccionariamente productos de


funciones. Comenzamos primero con el caso en el que una de las dos funciones esla identidad:

Expresando ξ · f (ξ) = [t− (t− ξ)] f (ξ) y

D−ν [t · f (t)] = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1[t− (t− ξ)] f (ξ) dξ =

= tΓ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1f (ξ) dξ + 1

Γ(ν)

ν

0(t− ξ)

νf (ξ) dξ =

= tD−νf (t) − νD−ν−1f (t).

Ejemplo 2.9:Mediante la expresión anterior podemos ahora calcular sin dificultad (ν > 0):

D−ν [teat] = tEt (ν, a) − νEt (ν + 1, a)

D−ν [t cos at] = tCt (ν, a) − νCt (ν + 1, a)

D−ν [t sin at] = tSt (ν, a) − νSt (ν + 1, a).

Se puede obtener una fórmula más general para p ∈ N expresando ξp · f (ξ) =

= [t− (t− ξ)]p f (ξ) =p

∑

k=0(−1)k

(

pk

)

tp−k (t− ξ)k y calculando,

D−ν [tpf (t)] =p

∑

k=0

(−νk

) [

Dktp] [

D−ν−kf (t)]

.

Pero nos interesa una fórmula que sirva para dos funciones arbitrarias. El ob-jetivo es adaptar al cálculo fraccional la fórmula de Leibniz del cálculo ordinario:

Dn [f (t) g (t)] =n

∑

k=0

(

nk

) [

Dkg (t)] [

Dn−kf (t)]

.

Proposición (Fórmula de Leibniz para integrales fraccionarias):Sea f una función continua en [0, X ], y sea g una función analítica ∀a ∈ [0, X ].

Para ν > 0 y 0 < t ≤ X se cumple,

D−ν [f (t) g (t)] =+∞∑

k=0

(−νk

) [

Dkg (t)] [

D−ν−kf (t)]

.

demostración:Primero observamos que si se cumplen las hipótesis del teorema, en particular

D−ν [f (t) g (t)] = 1Γ(ν)

∞

0(t− ξ)

ν−1[f (ξ) g (ξ)] dξ existe.

Al ser g analítica, podemos escribir,

g (ξ) =∞∑

k=0(−1)

k Dkg(t)k! (t− ξ)

k= g (t) +

+∞∑

k=1(−1)


k

que converge uniformemente en [0, t], por tanto,

D−ν [f (t) g (t)] = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)ν−1 f (ξ)

[

g (t) ++∞∑

k=1(−1)k D

kg(t)k! (t− ξ)k

]

dξ =

= g(t)Γ(ν)

t

0(t− ξ) f (ξ) dξ + 1

Γ(ν)

t

0(t− ξ)

νf (ξ)

[

+∞∑

k=1(−1)


k

]

dξ.

Tenemos una serie de funciones integrables en [0, t] que es uniformemente con-vergente, lo que nos permite cambiar el signo de la integral por el de sumación,

1.3. INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS 20

D−ν [f (t) g (t)] = g (t)D−vf (t) ++∞∑

k=1(−1)

k Dkg(t)k!Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν+k−1f (ξ) dξ =

= g (t)D−νf (t) ++∞∑

k=1(−1)k Γ(ν+k)

k!Γ(ν)

[

Dkg (t)] [

D−ν−kf (t)]

=

=+∞∑

k=0

(−νk

) [

Dkg (t)] [

D−ν−kf (t)]

donde en la última igualdad hemos aplicado G5.

1.3. Interpretaciones Geométricas

Antes de proceder, queremos analizar las posibles interpretaciones geométricasde la integral fraccionaria.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t

2

4

6

8

f Ht L

Ν=2

Ν=1

Ν=12

Ν=13

Ν=110

Ν=150

Ν=1100

fig.2 Et (ν, 0,5) para ν = 1/100, 1/50, 1/10, 1/2, 1, 2

Arriba, en la figura 2, vemos la representación gráfica de Et (ν, 0,5) para dife-rentes valores de ν. Para ν = n ∈ N representa la integral iterada n veces, y lasintegrales fraccionarias las podemos interpretar geométricamente como interpola-ciones entre éstas si obviamos los valores que añade el término inferior h = 0 alintegrar. Más significativo es el siguiente caso.


2 4 6 8t

-1

1

2

3

4

5

6

f Ht L

fig.3 Ct (ν, 1) para ν = 0, 1/3, 2/3, 1, 4/3..,3

En la figura 3 se muestran las integrales fraccionarias de Ct(ν, 1) para distintosvalores de ν. La forma de interpretar geométricamente la integral fraccionaria delcoseno es la siguiente; para ν entero, tenemos

´

cos (x) dx = sin (x) = cos(

x− π2

)

y´

sin (x) dx = − cos (x) = cos (x− π), de forma que cada vez que iteramos unaintegral trasladamos la función coseno π/2 hacia la derecha. Para las integralesfraccionarias podemos interpretar la traslación como ν π2 hacia la derecha. Por otrolado al aumentar ν las integrales fraccionarias de cos (x) cada vez toman valoresmayores. Esta pérdida de periodicidad corresponde a los residuos que va añadiendoel término inferior h = 0. Este residuo va aumentando su grado al aumentar ν.

Estas interpretaciones son sólo de casos particulares. Durante más de trescien-tos años, desde sus orígenes, el cálculo fraccional ha estado desprovisto de unainterpretación geométrica o física. Esta es una de las razones por las que no haarraigado como herramienta de modelización habitual. Recientemente (2002) IgorPodlubny ha encontrado una interpretación geométrica general [12] que reproduci-mos a continuación.

A partir de la definición de integral fraccionaria,

Dνf (t) = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1f (ξ) dξ

consideramos la función

gt (ξ) = 1Γ(ν+1) tν − (t− ξ)

ν,

y observamos que satisface

dgt (ξ) = 1Γ(ν) (t− ξ)

ν−1.

Esto nos permite expresar el operador Dν como la siguiente integral:

Dνf (t) =t

0f (ξ) dgt (ξ)


que es una integral de Stieltjes.14

Para t > 0 fijado, dibujamos en R3 la curva γ (ξ) = (ξ, gt (ξ) , f (ξ)), y uniendoesta curva con su proyección en el ‘suelo’ (ξ, gt (ξ)) formamos una ‘valla’ curva-da -véase la siguiente figura-. Si proyectamos esta valla sobre la ‘pared’ (ξ, f (ξ))

obtenemos una sombra en la pared cuya área es´ t

0 f (ξ) dξ (sombra marrón). Encambio si proyectamos la valla sobre la pared (gt (ξ) , f (ξ)), el área de la sombra es´ t

0 f (ξ) dgt (ξ) = Dνf (t) (sombra azul).

fig.4 Sombras en las paredes f (t) = t+ 0,5 sin (3t)

Contra más curvada esté la valla, más diferencia hay entre la integral ordinariay la integral fraccionaria y mayor es la diferencia entre las respectivas proyeccionesen cada pared. Para la figura superior se ha integrado fraccionariamente ν = 0,5‘veces’ la función f (t) = t + 0,5 sin (3t) con t = 10. En cambio para la figura 5 seha tomado ν = 0,1, f (t) = t3 y t = 10.

14La integral de Stieltjes se define de forma parecida a la de Riemann. pero en lugar de

considerar las sumas∑n−1

i=0f (ci) (ti+1 − ti) se consideran

∑n−1

i=0f (ci) (g (ti+1) − g (ti)).


fig.5 Sombras en las paredes f (t) = t3

Aunque interesante, esta interpretación geométrica tampoco ayuda mucho amodelizar cuando se utilizan operadores fraccionarios. Las más de las veces, losmodelos se construyen con derivadas de orden entero para luego reemplazar conderivadas de orden fraccionario en el sistema de ecuaciones diferenciales resultante.A veces, esto se hace incluso sin justificación pero se observa experimentalmenteque el nuevo modelo aproxima mejor. Veremos esto con más detalle en el últimocapítulo.

Capítulo 2

Derivada Fraccionaria de Riemann-Lioville

Ya tenemos definida la integral fraccionaria de Riemann-Lioville y se ha ex-tendido esta definición a derivadas fraccionarias. Además queda demostrada la leyde los exponentes. Sin embargo, la ley de los exponentes sólo maneja valores posi-tivos de µ y ν -i.e integrales fraccionarias-. Lo conveniente sería ahora enunciary demostrar teoremas que nos permitan usar la ley de los exponentes con valoresno necesariamente positivos de µ y ν. Comenzamos con dos teoremas de alcancemás limitado pero que son útiles. Al final del capítulo obtendremos una ley deexponentes más general. Por conveniencia, a partir de ahora, a las funciones quesatisfacen las condiciones de la definición de integral fraccionaria 1, las llamaremosfunciones de clase C.

Teorema 2a:Sea f una función continua en I = [0, X ] tal que Df es de clase C, entonces

D−ν−1 [Df (t)] = D−vf (t) − f(0)Γ(ν+1) t

ν

para ν > 0, t > 0, t ∈ I.

demostración:Asignamos dos valores ǫ, η > 0 de forma que tanto f (t) como (t− ξ)

ν−1 sonfunciones continuamente diferenciables en [η, t− ǫ]. Bajo estas hipótesis podemosintegrar por partes,

1Γ(ν+1)

t−ǫ´

η

(t− ξ)νDf (ξ) dξ =

= 1Γ(ν+1)

[(t− ξ)νf (ξ)]

t−ǫη + ν

t−ǫ´

η

(t− ξ)ν−1

f (ξ) dξ

=

= 1Γ(ν+1)

ǫνf (t− ǫ) − (t− η)νf (η) + ν

t−ǫ´

η

(t− ξ)ν−1

f (ξ) dξ

.

Y tomando ahora límites ǫ → 0 y η → 0;

D−ν−1 [Df (t)] = − f(0)Γ(ν+1) t

ν + 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)ν−1 f (ξ) dξ.

Teorema 2b:Si f es continuamente diferenciable en I = [0, X ] entonces

D [D−νf (t)] = D−ν [Df (t)] + f(0)Γ(ν) t

ν−1 para ν > 0, t > 0, t ∈ I.

1Funciones f continuas a trozos en I′ = (0, X] e integrables en cualquier subintervalo finito

de I = [0, X] . Son funciones, por tanto para las que podemos calcular 0D−νt f (t).

24

2. DERIVADA FRACCIONARIA DE RIEMANN-LIOVILLE 25

demostración:

En D−νf (t) = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1f (ξ) dξ hacemos el cambio de variables

x = (t− ξ)ν , dξ = − 1νx

1−νν dx obteniendo,

D−νf (t) = −1Γ(ν+1)

0

tνx− 1−ν

ν x1−ν

ν f(

t− x1/ν)

dx = 1Γ(ν+1)

tν´

0f

(

t− x1/ν)

dx.

Derivamos bajo el signo de la integral,

D [D−νf (t)] = 1Γ(ν+1)

ddt

tν´

0f

(

t− x1/ν

)

dx =

= 1Γ(ν+1)

[

νtν−1f(0) − 0 +tv´

0

∂∂tf

(

t− x1/ν)

]

dx

deshacemos el cambio de variables,

D [D−νf (t)] = f(0)Γ(ν) t

ν−1 + 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)ν−1 ∂

∂tf (ξ) dξ = f(0)Γ(ν) t

ν−1 +D−ν [Df (t)].

Ejemplo 2.10:Aplicando el teorema anterior a f (t) = tλ, λ > 0 obtenemos

D[

D−νtλ]

= D−ν [

Dtλ]

.

Es por la simplicidad de la expresión anterior que se elige 0Dt como operadordiferintegral. Para f (t) = eat no hay un término inferior que garantice un resultadotan simple ya que depende del signo de a. Y aunque a tuviera siempre el mismosigno tendríamos que usar un término inferior infinito para conseguir un resultadoequivalente al anterior, lo cual sería desaconsejable para la mayoría de funciones.

Ejemplo 2.11:Si f (t) = eat, mediante el teorema 2a

D−ν−1 [aeat] = D−v [eat] − tv

Γ(ν+1) ,

resultando la fórmula de recursión

aEt (ν + 1, a) = Et (ν, a) − tν

Γ(ν+1) .

Si ahora aplicamos el teorema 2b,

D [D−νeat] = D−ν [Deat] + tν-1

Γ(ν) y DEt (ν, a) = aEt (ν, a) + tν−1

Γ(ν)

y sustituyendo en esta expresión tν−1

Γ(ν) mediante la fórmula de recursión, tenemos

DEt (ν, a) = Et (ν − 1, a)

que se conoce como fórmula de diferenciación.

Además, como aEt (2, a) = Et (1, a) − tΓ(2) = Et (1, a) − t. Derivando ahora

ambos lados de la expresión mediante la fórmula anterior

aEt (0, a) = Et (−1, a).

Podemos obtener fórmulas análogas para f (t) = sin at, f (t) = cos at:


ν > 0 Fórmula Recursión Fórmula de Diferenciación

f (t) = eat aEt (ν + 1, a) = Et (ν, a) − tν

Γ(ν+1)DEt (ν, a) = Et (ν − 1, a)

f (t) = sin at aCt (ν + 1, a) = St (ν, a) DSt (ν, a) = St (ν − 1, a)

f (t) = cos at −aSt (ν + 1, a) = Ct (ν, a) − tν

Γ(ν+1)DCt (ν, a) = Ct (ν − 1, a)

En el ejemplo 2.5 vimos que D−ν sin2 at = tν

2Γ(ν+1) − 12Ct (ν, 2a). Y usando la

fórmula de recursión del coseno se puede simplificar esta expresión a

D−ν sin2 at = a2St (ν + 1, 2a).

Generalizamos los teoremas 2a y 2b para orden de derivación arbitrario.

Teorema 3a:Sean ν > 0, p ∈ N y sea Dp−1f continua en I = [0, X ] y tal que Dpf es de

clase C, entonces

D−ν−p [Dpf (t)] = D−νf (t) −p−1∑

k=0

tν+k

Γ(ν+k+1)Dkf (0).

demostración:Aplicamos el teorema 2a reemplazando ν por ν + 1

D−ν−2[

D2f (t)]

= D−ν−1 [Df (t)] − Df(0)Γ(ν+2) t

ν+1,

y ahora volvemos a aplicar el teorema a D−ν−1 [Df (t)] y reemplazamos en laexpresión anterior;

D−ν−2[

D2f (t)]

= D−νf (t) − f(0)Γ(ν+1) t

ν − Df(0)Γ(ν+2) t

ν+1.

Si repetimos este procedimiento reiteradamente llegamos a la expresión delteorema.

Teorema 3b:Sean ν > 0, p ∈ N y sea Dpf continua en I = [0, X ], entonces

Dp [D−νf (t)] = D−ν [Dpf (t)] +p−1∑

k=0

tν−p+k

Γ(ν−p+k+1)Dkf (0).

demostración:Derivamos la expresión del teorema 2b,

D2 [D−νf (t)] = D D−ν [Df (t)] + f(0)Γ(ν−1) t

ν−2

y ahora aplicamos el teorema 2b a D−ν [Df (t)] = D−ν [

D2f (t)]

+ Df(0)Γ(ν) t

ν−1,

y reemplazamos en la expresión anterior;

D2 [D−νf (t)] = D−ν [

D2f (t)]

+ f(0)Γ(ν−1) t

ν−2 + Df(0)Γ(ν) t

ν−1

Y repitiendo este procedimiento reiteradamente se llega a la expresión del teo-rema.

En concreto, los dos últimos teoremas aseguran que si Dkf (0) = 0 parak = 1 . . . p− 1, entonces

D−ν−p [Dpf (t)] = D−νf (t), y


Dp [D−νf (t)] = D−ν [Dpf (t)].Y a partir del teorema 3a obtenemos una versión más general de la fórmula de

recursión para la exponencial.

D−ν−p [Dpeat] = D−νeat −p−1∑

k=0

aktν+k

Γ(ν+k+1)

Et (ν, a) = apEt (ν + p, a) +p−1∑

k=0

aktν+k

Γ(ν+k+1) .

Además, aplicando inductivamente la fórmula de diferenciación DEt (ν, a) =

= Et (ν − 1, a) también obtenemos;

DpEt (ν, a) = Et (ν − p, a).

Teorema 3c:

Sea r ∈ R, r > 0 y u ∈ N, y sea f una función arbitraria con derivadas continuashasta orden r. Si Dr [Duf (t)] o Dr+uf (t) existe, entonces

Du [Drf (t)] = Du+rf (t).demostración:

Drf (t) = Dm[

D−(m−r)f (t)]

con m = ⌈r⌉, y

Du [Drf (t)] = Dm+u[

D−(m−r)f (t)]

, pero

Dr+uf (t) = Dp[

D−(m−r−u)f (t)]

con p = ⌈r + u⌉ = m+ u.Entonces,

Dr+uf (t) = Dm+u[

D−(m+u−r−u)]

= Dm+u[

D−(m−r)f (t)]

y juntando las dos expresiones que hemos obtenido para Dm+u[

D−(m−r)f (t)]

,

Du [Drf (t)] =Dm+u[

D−(m−r)f (t)]

= Du+rf (t).

Teorema 4 (Fundamental del Cálculo Fraccional -caso p natural-):Sea f continuamente diferenciable hasta orden p ∈ N en I = [0, X ]. Y sea ν ∈ R

tal que ν > p, entonces ∀t ∈ I,Dp [D−νf (t)] = D−(ν−p)f (t).

demostración:Aplicamos el teorema 3a en donde hemos sustituido ν por ν − p > 0

D−ν [Dpf (t)] = D−(ν−p)f (t) −p−1∑

k=0

tν−p+k

Γ(ν−p+k+1)Dkf (0)

y le sumamos la expresión

Dp [D−νf (t)] = D−ν [Dpf (t)] +p−1∑

k=0

tν−p+k

Γ(ν−p+k+1)Dkf (0),

que corresponde al teorema 3b. Nos quedaDp [D−νf (t)] = D−(ν−p)f (t).

Corolario:Sean ν, ρ ∈ R y p, q ∈ N que cumplen ν − p = ρ− q > 0, entonces,

Dq [D−ρf (t)] = D−(ρ−q)f (t) = D−(ν−p)f (t) = Dp [D−νf (t)].


Las funciones de clase C, únicamente nos garantizan que podemos integrarfraccionariamente, y aunque tenemos un artificio para extender la definición de in-tegral fraccionaria a la de derivada fraccionaria, no podemos asegurar que podamosaplicarlo a una función de clase C cualquiera. Buscamos ahora por tanto definir unasubclase de funciones de C, que además de ser integrables fraccionariamente, seanderivables fraccionariamente. Hemos visto2 que las funciones continuamente dife-renciables hasta orden n son derivables fraccionariamente hasta orden 0 < µ ≤ n.Pero a la nueva clase de funciones que queremos definir, le exigiremos además quesatisfaga la siguiente propiedad;

Si para ν > 0, Ft (ν) = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1f (ξ) dξ, entonces

Dµf (t) = Ft (−µ) para µ > 0.

Es decir, podemos integrar y derivar fraccionariamente con la misma fórmulatan sólo cambiando el signo del orden.

Primero, vamos a ver una serie de ejemplos que nos conducirán hacia la defini-ción que buscamos, al tiempo que encontramos la derivada fraccionaria de las fun-ciones para las que ya hemos encontrado la integral fraccionaria.

Ejemplo 2.12: f (t) = tλ

Habíamos visto en el ejemplo 2.1 que para λ > −1, ν > 0, µ > 0

D−νtλ = Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1) t

λ+ν , y

Dµtλ = Γ(λ+1)Γ(λ−µ+1) t

λ−µ.

Por tanto en este caso se cumple que Dµf (t) = [D−νf (t)]ν=−µ.

Ejemplo 2.13: f (t) = eat

Conocemos ahora la fórmula de diferenciación DmEt (ν, a) = Et (ν −m, a).Entonces, si queremos calcular Dµeat, haciendo m = ⌈µ⌉ se tiene

Dµeat = Dm [Dµ−meat] = DmEt (m− µ, a) = Et (m− µ−m, a) = Et (−µ, a)

t > 0.

Con lo que en este caso también se satisface Dµf (t) = [D−νf (t)]ν=−µ.Y naturalmente esto se cumple también en cos at y sin at,

Dµ cos at = Ct (−µ, a)

Dµ sin at = St (−µ, a).

Este argumento, a su vez, nos permite extender la fórmula de diferenciación aorden no natural λ > 0, µ > 0.

Haciendo m = ⌈µ⌉ y ν = m− µ,

DµEt (λ, a) = Dm [D−νEt (λ, a)] = DmEt (λ+ ν, a) = Et (λ+ ν −m, a)

DµEt (λ, a) = Et (λ− µ, a).

Y obviamente también,

DµCt (λ, a) = Ct (λ− µ, a)

DµSt (λ, a) = St (λ− µ, a).

2Notas i-ii pág 12.


Ejemplo 2.14: f (t) = tλ ln t, λ > −1A partir de la definición de derivada fraccionaria,

Dµ[

tλ ln t]

= Dm[

D−νtλ ln t]

, m = ⌈µ⌉ , ν = m− µ.En el ejemplo 2.7 hemos visto

D−νtλ ln t = Γ(λ+1)tλ+ν

Γ(ν+λ+1) (ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)).

Se sigue,

Dµ[

tλ ln t]

= Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)D

m[

tλ+ν (ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1))]

.

Aplicamos ahora la regla de Leibniz para orden natural,

Dµ[

tλ ln t]

= Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)

m∑

k=0

(

mk

)

Dm−k [

tλ+ν]

Dk [ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)]

y calculamos por separado cada una de las derivadas del producto,

Dm−ktλ+ν = Γ(λ+ν+1)Γ(λ+ν−m+k+1) t

λ+ν−m+k, k = 0, . . . ,m

D0 [ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)] = ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1), k = 0

Dk [ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)] = (−1)k−1

(k − 1)!t−k k = 1, . . . ,m

para juntar ambas expresiones;Dµ

[

tλ ln t]

=

= Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)

Γ(λ+ν+1)Γ(λ+ν−m+1) t

λ+ν−m [ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)] +

+m∑

k=1

m!k(k−1)!(m−k)!

Γ(λ+ν+1)Γ(λ+ν−m+k+1) t

λ+ν−m+k (−1)k−1

(k − 1)!t−k

=

= Γ (ν + 1) tλ+ν−m

1Γ(λ+ν−m+1) t

λ+ν−m [ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)] +

+m∑

k=1

m!k(m−k)!

(−1)k−1

Γ(λ+ν−m+k+1)

=

= Γ(λ+1)Γ(λ−µ+1) t

λ+µ [ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ+ ν + 1)] +

+m∑

k=1

m!k(m−k)!

(−1)k−1Γ(λ−µ+1)Γ(λ−µ+k+1)

.

Utilizamos ahora la propiedad G10 del apéndice 1:

ψ (x+ 1) − ψ (x+ 1 +m) =m∑

k=1

(−1)km!Γ(x+1)k(m−k)!Γ(x+1+k) , x > − (m+ 1).

Haciendo x = λ − µ se tiene que como λ + 1 > 0 y µ − m < 0 entonces,λ+ 1 > µ−m y λ− µ > − (m+ 1), y

ψ (λ− µ+ 1) − ψ (x− µ+ 1 +m) =m∑

k=1

(−1)km!Γ(λ−µ+1)k(m−k)!Γ(λ−µ+1+k) , x > − (m+ 1).

Con lo que finalmente, obtenemosDµ

[

tλ ln t]

=

= Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)

ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ− µ+m+ 1) − ψ (λ− µ+ 1) + ψ (λ− µ+m+ 1) =

= Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)

ln t+ ψ (λ+ 1) − ψ (λ− µ+ 1).

Y una vez más se satisface Dµf (t) = [D−νf (t)]ν=−µ.

Motivados por la estructura de estas funciones, definimos la siguiente clase.


Definición 2: Decimos que una función es de clase C si es de una de las dossiguientes formas:

i) tλη (t)

ii) tλη (t) ln tcon λ > −1

y donde η (t) es una función analítica en un entorno del origen3.

Esta es la clase de funciones sobre la que trabajamos en cálculo fraccional.Mediante una serie de notas vemos ahora su significado e implicaciones;

I. Es claro que las funciones de los ejemplos de esta sección están incluidas enesta definición; tλ, eat, sin at, cos at, ln t y tλ ln t con λ > −1.

II. Vemos que las funciones de clase C son continuas en (0, X ] si X < R, radiode convergencia de η (t). Y además son integrables en cualquier subintervalo finitode [0, X ]. Son por tanto funciones de clase C (C ⊂C).

III. Comprobamos que es cierto que las funciones de clase C satisfacen lapropiedad Dµf (t) = [D−νf (t)]ν=−µ. Hay dos casos posibles;

i) f (t) = tλη (t) λ > −1. Si ρ ∈ R

Dρf (t) = Dρ

[ ∞∑

n=0ant

n+λ

]

=∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−ρ) t

n+λ−ρ =

= tλ−ρ∞∑

n=0an


n.

Y para esta expresión ya hemos visto que se cumple Dµf (t) = [D−νf (t)]ν=−µ-ejemplo 2.12-.

ii) f (t) = tλ ln t η (t), λ > −1. Si ρ ∈ R

Dρf (t) = Dρ

[

ln t∞∑

n=0ant

n+λ

]

=∞∑

n=0anD

ρ[

tn+λ ln t]

.

Y usando ahora los resultados de los ejemplos 2.7 y 2.14

Dρf (t) =∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ−ρ+1) t

n+λ−ρ [ln t+ ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+1-ρ)]

=

= tλ−ρ ln t∞∑

n=0an


n+

+tλ−ρ∞∑

n=0an


n [ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+1-ρ)]

.

Y también Dµf (t) = [D−νf (t)]ν=−µ ya que se reduce a los ejemplos que hemosvisto antes.

IV. El hecho de que las funciones de clase C cumplan la propiedad Dµf (t) == [D−νf (t)]ν=−µ puede resultar contradictorio, ya que en el caso de orden en-tero parece no cumplirse. Por ejemplo si f (t) = sin t tenemos Df (t) = cos t =sin (t+ π/2). Y Dnf (t) = cos t = sin

(

t+ nπ2

)

.Según nuestro argumento D−1 sin t = sin (t− π/2) = − cos t. Pero sabemos que

´ t

0 sin ξdξ = 1 − cos t.

3Al ser η (t) analítica podemos escribir η (t) =∞∑

n=0

antn dentro de [−X,X] para X < R y

donde R es el radio de convergencia de η.


El error está en que no estamos utilizando la fórmula general que hemos de-ducido para orden arbitrario no necesariamente entero. En efecto, si utilizamos

St (ν, a) = tν∞∑

j=0

(−1)j(at)2j+1

Γ(ν+2j+2) ,

tenemos

D−1 sin t =St (1, 1) = t∞∑

j=0

(−1)j(t)2j+1

Γ(2j+3) =∞∑

j=0

(−1)j(t)2j+2

(2j+2)! = 1 − cos t, y

D1 sin t =St (−1, 1) = t−1∞∑

j=0

(−1)j(t)2j+1

Γ(2j+1) =∞∑

j=0

(−1)j(t)2j

2j! = cos t.

V. ¡Ojo! No es legal hacer, a partir de la definición de integral fraccionaria,

Dµf (t) = 1Γ(−µ)

t

0(t− ξ)

−µ−1f (ξ) dξ

ya que en general esta expresión no es integrable y el valor de la función Γ puedeser infinito. Cuando escribimos Dµf (t) = [D−νf (t)]ν=−µ hay que evaluar primerola integral fraccionaria para deducir la fórmula y después hacer la sustitución de−ν a µ para derivar fraccionariamente.

VI. En las expresiones de la nota III vemos que para ρ < 0, Dρf (t) es tambiénde clase C . En cambio para ρ > 0 no es necesariamente cierto. Es decir, la inte-gración fraccionaria de una función de clase C sigue siendo de clase C , mientrasque la derivación fraccionaria no tiene porqué serlo. Pero si λ− ρ > −1 entonces secumple en ambos casos.

VII. La combinación lineal finita de funciones de clase C es una función declase C .

VIII. Aun falta ver la convergencia de las series que hemos obtenido al derivarfraccionariamente en III-i y III-ii. Esto asegurará que las funciones de clase C sonderivables fraccionariamente, y ya sabemos que son integrables. Lo vemos en elsiguiente teorema.

Teorema 5:

Sea η (t) =∞∑

n=0ant

n una función analítica con radio de convergencia R > 0 y

sea ζ (t) =∞∑

n=0an

Γ(n+α)Γ(n+β) t

n, con α, β ∈ R y α > 0, entonces ζ (t) converge de forma

uniforme y absoluta para ∀t ∈ [−X,X ], siendo X < R.demostración:Sea T ∈ R tal que 0 < X < T < R. De aquí se sigue que escogiendo n > |β|

∣

∣

∣

Γ(n+α)Γ(n+β)ant

n∣

∣

∣≤ Γ(n+α)

Γ(n+β) |an|Xn = Γ(n+α)Γ(n+β) |an|

(

XT

)nT n.

Además, para n suficientemente grande se cumpleΓ(n+α)Γ(n+β)

(

XT

)n> Γ(n+α+1)

Γ(n+β+1)

(

XT

)n+1.

Entonces, podemos escoger N tal que ∀n > N∣

∣

∣

Γ(n+α)Γ(n+β)ant

n∣

∣

∣≤ Γ(n+α)

Γ(n+β) |an|(

XT

)nT n < Γ(n−(n−N)+α)

Γ(n−(n−N)+β) |an|(

XT

)n−(n−N)T n =

= Γ(N+α)Γ(N+β) |an|

(

XT

)NT n ≤ Γ(N+α)

Γ(N+β) |an|T n.


Ahora,|aN |TN + |aN+1|TN+1 + |aN+2|TN+2 + . . .

converge uniformemente, ya que si una serie de potencias converge también lohace absolutamente dentro de su radio de convergencia. Se puede pues aplicar elcriterio M de Weiertrass, que nos asegura que η (t) converge de forma uniforme yabsoluta para t ≤ X .

Con esto hemos visto que convergen las funciones C de tipo i), ya que laexpresión que hemos deducido en III-i es convergente. Para ver que convergen lasde tipo ii) vamos a usar la expresión en serie infinita de la función digamma,

ψ (z + 1) = −γ +∞∑

k=1

zk(z+k) .

A partir de esta igualdad,

ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+ 1 − ρ) =∞∑

k=1

n+λk(n+λ+k) − n+λ−ρ

k(n+λ−ρ+k)

=

=∞∑

k=1

ρ(n+λ+k)(n+λ−ρ+k) .

Con lo que para n suficientemente grande existe una constante M tal que|ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+ 1 − ρ)| < M ,

y vemos que la expresión deducida en III-ii es también convergente.

Ejemplo 2.15:Habíamos visto -pág 19- que D−ν [t f (t)] = tDνf (t) − νD−ν−1f (t). Si f es de

clase C , también podemos afirmarDµ [t f (t)] = tDµf (t) − µDf (t), µ > 0.

Si queremos extender este ejemplo a un polinomio arbitrario, necesitamos desa-rrollar ahora una regla de Leibniz para derivadas fraccionarias.

Proposición: Formula de Leibniz para derivadas fraccionarias (sólocaso tpf (t))

Sea f una función de clase C y p ∈ N, se cumple

Dµ [tpf (t)] =p

∑

r=0

(

µr

)

[Drtp] [Dµ−rf (t)], µ > 0.

demostración:Hacemos m = ⌈µ⌉ y

Dµ [tpf (t)] = Dm[

D−(m−µ)tpf (t)]

.Sabemos que bajo estas condiciones podemos aplicar el caso particular de la

fórmula de Leibniz para integrales fraccionarias del capítulo 14.

Dµ [tpf (t)] =p

∑

k=0

(

µ−mk

)

Dm[

Dktp] [

D−m+µ−kf (t)]

.

Y aplicando ahora la regla de Leibniz ordinaria a esta expresión.

Dµ [tpf (t)] =p

∑

k=0

(

µ−mp

)

m∑

j=0

(

mj

) [

Dj+ktp] [

Dµ−j−kf]

.

4Si f es de clase C y p ∈ N, entonces D−ν [tpf (t)] =p

∑

k=0

(

−νk

) [

Dktp] [

D−ν−kf (t)]

.


Realizamos ahora el siguiente cambio en los índices de sumación;r = j + k

s = k

y obtenemos

Dµ [tpf (t)] =p

∑

r=0

[

r∑

s=0

(

µ−ms

)(

mr−s

)

]

[Drtp] [Dµ−rf ] +

m∑

r=p+1

[

p∑

s=0

(

µ−ms

)(

mr−s

)

]

[Drtp] [Dµ−rf ] +m+p∑

r=m+1

[

p∑

s=0

(

µ−ms

)(

mr−s

)

]

[Drtp] [Dµ−rf ]

donde los dos últimos sumatorios son nulos ya que si r > p entonces Drtp = 0,

Dµ [tpf (t)] =p

∑

r=0

[

r∑

s=0

(

µ−ms

)(

mr−s

)

]

[Drtp] [Dµ−rf ].

Y ahora, usando la fórmula de convolución de Vandermonder

∑

s=0

(

µ−ms

)(

mr−s

)

=(

µr

)

, resulta

Dµ [tpf (t)] =p

∑

r=0

(

µr

)

[Drtp] [Dµ−rf (t)].

Antes de concluir esta sección y comenzar a investigar las ecuaciones diferen-ciales de orden fraccionario, queda por ver si la ley de los exponentes se satisfacetambién para derivadas fraccionarias.

Ejemplo 2.16:Consideramos la función f (t) = t1/2 y calculamos

D1/2t

1/2 = Γ(3/2)Γ(1) t

0 = Γ (3/2) = 1/2Γ (1/2) =√π/2

D3/2t

1/2 = Γ(3/2)Γ(0) t

−1 = 0 ya que Γ (0) = ±∞.

Si calculamos ahora,D1/2

[

D3/2t1/2]

= D1/2 [0] = 0

D3/2

[

D1/2t

1/2]

= D3/2 [

√π/2] =

√π

2Γ(1)

Γ(−1/2) t−3/2 =

=√π

2Γ(1)−π

Γ(3/2)t−3/2 =

√π

−4√πt−3/2 = −t−3/2

4

donde en la primera derivada se ha utilizado que la derivada fraccionaria de ceroes cero -véase ejemplo 2.1-, y en la segunda se ha utilizado la fórmula de reflexiónG4. Se han obtenido resultados distintos. En cambio si calculamos

D1/2

[

D1/2t

1/2]

= D1/2 [

√π/2] =

√π

2Γ(1)

Γ(1/2) t−1/2 = 1/2t

−1/2 = Dt1/2.

La pregunta ahora es en qué casos se satisface la ley de los exponentes paraintegrales y también derivadas fraccionarias.

Teorema 6 (Ley de los exponentes para integrales y derivadas frac-cionarias):

Utilizando las notaciones de la definición 2. Sea f (t) una función de clase C yX < R. Sean ρ, σ ∈ R tales que satisfacen una de las dos siguientes condiciones:

a) ρ < λ+ 1 y σ arbitrariob) ρ ≥ λ + 1 y σ arbitrario, pero los m primeros términos de η (t) son nulos

(k = 0 . . .m− 1) donde m = ⌈ρ⌉


entoncesDσ [Dρf (t)] = Dσ+ρf (t).

demostración:Para el caso a, si f (t) = tλη (t) entonces

Dρf (t) = tλ−ρ∞∑

n=0an


n.

Como ρ < λ+ 1 → λ− ρ > −1→ Dρf (t) ∈ C .Si f (t) = tλ ln t η (t) entonces


n=0an


n+

+tλ−ρ∞∑

n=0an


n [ln t+ ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+1-ρ)]

.

Y también λ− ρ > −1 lo que implica Dρf (t) ∈ C .Podemos por tanto derivar e integrar fraccionariamente ambas expresiones.

Para la primera expresión

Dσ [Dρf (t)] =∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−ρ)

Γ(n+λ+1−ρ)Γ(n+λ+1−(ρ+σ)) t

n+λ−(ρ+σ) = Dρ+σf (t).

Para la segunda expresión

Dσ [Dρf (t)] =∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−ρ)

Γ(n+λ+1−ρ)Γ(n+λ+1−(ρ+σ)) [ln t+

+ ψ (n+ λ+ 1 − ρ) − ψ (n+ λ+ 1 − (ρ+ σ))] tn+λ−(ρ+σ)+

+∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−ρ)

Γ(n+λ+1−ρ)Γ(n+λ+1−(ρ+σ)) [ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+ 1 − ρ)] tn+λ−(ρ+σ) =

=∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−(ρ+σ)) [ln t+ ψ (n+ λ+ 1 − ρ) − ψ (n+ λ+ 1 − (ρ+ σ)) +

+ ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+ 1 − ρ)] tn+λ−(ρ+σ) =

= tλ−(ρ+σ) ln t∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−(ρ+σ)) t

n+

+tλ−(ρ+σ)∞∑

n=0an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−(ρ+σ)) [ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+ 1 − (ρ+ σ))] tn =

= Dρ+σf (t).Ahora para el caso b, tenemos que ρ ≥ λ + 1 y ak = 0 para k = 0 . . .m − 1

(η (t) =∑

k≥m aktk). En concreto ρ > 0 ya que λ > −1.

Si f (t) = tλη (t) reproduciendo los cálculos de la nota III pág 30.


n=man


n =

= tλ−ρ∞∑

r=0ar+m

Γ(r+m+λ+1)Γ(r+m+λ+1−ρ) t

r+m = tλ−(ρ−m)∞∑

r=0ar+m

Γ(r+m+λ+1)Γ(r+m+λ+1−ρ) t

r.

Como m = ⌈ρ⌉ tenemos que λ− ρ+m > −1, entonces Dρf (t) ∈ C .Si f (t) = tλη (t) entonces (nota III pág 30)

Dρf (t) = tλ−ρ ln t∞∑

n=man


n+

+tλ−ρ∞∑

n=man


r [ψ (n+ λ+ 1) − ψ (n+ λ+1-ρ)]

=


= tλ−(ρ−m) ln t∞∑

r=0ar+m

Γ(r+m+λ+1)Γ(r+m+λ−ρ+1) t

r+

+tλ−(ρ−m)∞∑

r=0ar+m

Γ(r+m+λ+1)Γ(r+m+λ−ρ+1) t

r [ψ (r +m+ λ+ 1) − ψ (r +m+ λ+1-ρ)]

.

Y como λ − ρ + m > −1 se sigue de la definición que Dρf (t) ∈ C , quedandola demostración reducida ahora al caso a).

Nota: Si ρ < 0 entonces Dρ es una integral fraccionaria y vemos que el caso a)siempre se cumple para f ∈ C . Así que hemos demostrado también:

Teorema 7 (Fundamental del Cálculo Fraccional -caso general-):Sea f ∈ C y ν > 0 y ρ ∈ R, entonces

Dρ [D−νf (t)] = Dρ−νf (t).

No existe un equivalente a la regla de la cadena en cálculo fraccional. Pero secomprueba que para reescalamientos la regla es válida. Es sólo un caso particularpero útil para hacer reescalamientos en aplicaciones físicas.

Proposición: Regla de Reescalamientos

Sea f una función de clase C . Si k ∈ R, ρ ∈ R, entoncesDρf (kt) = kρ [Dρf (x)]x=kt.

demostración:

ν > 0, D−νf (kt) = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)ν−1 f (kξ) dξ =

cambio de variables

kξ = ξ

=

= 1Γ(ν)

kt´

0

1k

(

t− ξk

)ν−1f

(

ξ)

dξ = 1Γ(ν)kν

kt´

0

(

kt− ξ)ν−1

f(

ξ)

dξ =

= 1kν [D−νf (x)]x=kt.

Lo hemos demostrado para integrales fraccionarias. De la definición de derivadafraccionaria se obtiene el caso general:

Si µ > 0 y m = ⌈µ⌉, hacemos ν = m− µ,Dµf (kt) = Dm [D−νf (kt)] = Dm

[

1kν [D−νf (x)]x=kt

]

=

= 1kν k

m [Dm−νf (x)]x=kt = kµ [Dµf (x)]x=kt.

Capítulo 3

Ecuaciones Diferenciales Lineales de OrdenFraccionario

3.1. Transformada de Laplace

La transformada de Laplace permite reducir la resolución de ecuaciones difer-enciales a manipulaciones algebraicas. En este capítulo, introducimos los conceptoselementales de la transformada de Laplace, y los ampliamos con las nociones co-rrespondientes al cálculo fraccional.

Definición 3: Una función f (t) definida en (0,+∞), se dice que es de ordenexponencial α ∈ R, si existen constantes positivas M,T ∈ R tales que

|f (t)| ≤ M eαt, ∀t ≥ T .

En concreto, cualquier función acotada es de orden exponencial.En el resultado habitual para garantizar la existencia de la transformada de

Laplace, se exige que f sea continua a trozos en [0,∞]. Pero las funciones de claseC para X = +∞, también garantizan la existencia ya que son integrables encualquier subintervalo finito de (0,+∞]:

Proposición: Si f es una función de clase C y de orden exponencial α, entonces

existe∞

0f (t) e−stdt1 para s > α.

demostración:f es de orden exponencial α, por tanto existen M,T ∈ R tales que,

|f (t)| ≤ M · eαt ∀t ≥ T .

Podemos separar la integral en dos intervalos,∞

0e−stf (t) dt =

T

0e−stf (t) dt+

∞

T

e−stf (t) dt ≤

≤T

0e−st |f (t)| dt+

∞

T

e−st |f (t)| dt ≤

≤ KT

0|f (t)| dt+M

∞

T

e−steαt dt ≤

≤ A+M∞

0e−(s−α)t dt ≤ A+ M

s−α

1La integral será una función de s y utilizaremos la notación F (s) =∞

0

f (t) e−st dt cuando

ésta exista.

36

3.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 37

donde K = sups>α,t∈[0,T ]

e−st y A = K ·T

0f (t) dt.

Definición 4: Sea f una función de clase C y de orden exponencial. Llamare-mos transformada de Laplace de f a

L f (t) =∞

0f (t) e−st dt.

Si además f es continua, la inversa de la transformada de Laplace L −1 existey es única. Para ver esto primero demostramos un lema.

Lema: Si f (x) es una función continua en [0, 1] y´ 1

0 f (x) xn dx = 0 para∀n ∈ N, entonces f (x) = 0.

demostración:Cualquier función continua en [0, 1] es límite uniforme de polinomios2. Se sigue

que ∀ǫ > 0 ∃Pǫ tal que |f (x) − Pǫ (x)| < ǫ ∀x ∈ R.La hipótesis del lema implica que

´ 10 f (x)Pǫ (x) dx = 0, pero

´ 10 f (x)Pǫ (x) dx −→

ǫ→0

´ 10 f (x)

2dx = 0, entonces f (x) = 0.

Proposición: Si f y g son funciones continuas, de orden exponencial yL f (t) = L g (t), entonces f (t) = g (t).

demostración:Si L f (t) = L g (t), entonces L f (t) − g (t) = 0.Definimos h (t) := f (t) − g (t). Con lo que basta demostrar que h (t) = 0.

L h (t) =∞

0h (t) e−st dt = 0

En la última expresión evaluamos en valores s = s0 + n+ 1 con n ∈ N a partirde un cierto s0, donde la transformada de Laplace esté bien definida,

0 = L h (t) =∞

0h (t) e−(s0+n+1)t dt

y hacemos el cambio de variables x = e−t,

0 = L h (t) =1

0h (− lnx) e(s0+n) ln x dt =

1

0xnxs0h (− lnx) dx.

Por el lema anterior xs0h (− lnx) = 0 y h (t) = 0.

Obviamente el operador L es lineal ya que hereda esta propiedad de la integral.L af (t) + bg (t) = aL f (t) + bL g (t) = aF (s) + bG (s).

Proposición: Si f y g son de orden exponencial α, entonces su productotambién es de orden exponencial.

2Teorema de Stone-Weierstrass.


demostración:Existen M,T ∈ R tales que |f (t)| ≤ M · eαt ∀t ≥ T y existen

N,S ∈ R tales que |g (t)| ≤ N · eβt ∀t ≥ S. Entonces

|f (t) g (t)| = |f (t)| · |g (t)| ≤ M ·Ne(α+β)t, para t ≥ max T, S.

Proposición: Si f es continua en [0,∞) y Df es de clase C y de orden expo-nencial, entonces f es de orden exponencial.

demostración:

Para ǫ > 0 consideramost

ǫ

[Df (ξ)] dξ = f (t) − f (ǫ), y como f es continua,

haciendo ǫ → 0 tenemos

f (t) = f (0) +t

0[Df (ξ)] dξ.

Además, Df es de orden exponencial con lo que existen constantes M y T quesatisfacen |e−αtDf (t)| < M para t ≥ T . Separamos la integral de la expresión def (t) en dos intervalos,

f (t) = f (0) +T

0[Df (ξ)] dξ +

t

T

[Df (ξ)] dξ =

= f (0) +T

0[Df (ξ)] dξ +

t

T

eαξ[

e−αξDf (ξ)]

dξ.

Por hipótesis |e−αtDf (t)| < M , ∀t ≥ T , se sigue

f (t) = A+t

T

eαξ[

e−αξDf (ξ)]

dξ ≤ A+Mt

T

eαξ dξ.

Observando quet

T

eαξdξ = 1α (eαt − eα) < eαt

α , obtenemos

|f (t)| < A+M eαt

α < M ′eαt para algún M ′.

Esta proposición es útil porque nos permite calcular la transformada de laderivada de una función. En efecto, si Df es de orden exponencial,

L Df (t) =∞

0e−stDf (t) dt

integrando por partes,

L Df (t) = lımx→∞

e−stf (t)∣

∣

x

0 + sx

0e−stf (t) dt

= sF (s) − f (0)

y sabemos que F (s) existe porque f es también de orden exponencial. Estafórmula se puede generalizar para derivadas de orden n:

Dnf (t) = snF (s) − sn−1f (0) − sn−2Df (0) · · · −Dn−1f (0).

Proposición: Si f es continua a trozos y de orden exponencial, entoncesL f (t) = F (s) −→

s→+∞0.


demostración:Como f es de orden exponencial, entonces existen constantes reales M,α, T

tales que |f (t)| ≤ Meαt ∀t ≥ T . De aquí se sigue

|F (t)| ≤ M∞

0e−steαt dt = M

∞

0e−t(s−α) dt = M

s−α cuando s > α,

y Ms−α −→

s→+∞0.

Teorema 8 (del Valor Inicial para la Transformada de Laplace):Si f es una función diferenciable en [0,+∞) y tanto f como Df admiten trans-

formada de Laplace, entonces

f (0) = lımt→0

f (t) = lıms→+∞

sL f (t).

Y si Dνf (t) es continua en t = 0, de clase C y tanto Dνf (t) como Dν+1f (t)admiten transformada de Laplace, entonces

Dνf (0) = lımt→0

Dνf (t) = lıms→+∞

sL Dνf (t) = lıms→+∞

sν+1L f (t).

demostración:Para la primera parte del teorema,

L Df (t) =∞

0Df (t) e−st dt = sL f (t) − f (0)

tomando limites

lıms→+∞

∞

0Df (t) e−st dt = lım

s→+∞[sL f (t) − f (0)].

por la proposición anterior

lıms→+∞

L Df (t) = lıms→+∞

∞

0Df (t) e−st dt = 0, y

lıms→+∞

[sL f (t) − f (0)] = 0.

Al ser f continua

lıms→+∞

sL f (t) = f (0) = lımt→0

f (t).

La segunda parte se demuestra de forma análoga utilizando la proposición queveremos en la página 433.

Mostramos algunos ejemplos de la transformada de Laplace para algunas fun-ciones que hemos visto, que necesitaremos y que son de orden exponencial.

Ejemplo 3.1:

L 1 =´∞

0 e−st dt = 1s .

3

L Dµf (t) = sµF (s) −m−1∑

k=0

sm−k−1Dk−m+νf (0) donde µ > 0 m = ⌈µ⌉.


Ejemplo 3.2:

L eat =´∞

0 e−steat dt =´∞

0 e(a−s)t dt = 1s−a .

Ejemplo 3.3:

L sin at =∞

0e−st sin at dt = lım

n→∞

n

0e−st sin at dt =

= lımn→∞

( −1a e

−st cos at) ∣

∣

n

0 − sa

n

0e−st cos at dt

=

= lımn→∞

( −1a e

−st cos at)

∣

∣

n

0 − sa

[

(

1ae

−st sin at)

∣

∣

n

0 + sa

n

0e−st sin at dt

]

=

= 1a − s2

a2

∞

0e−st sin at dt = 1

a − s2

a2 L sin at.

Nos queda L sin at = as2+a2 .

Ejemplo 3.4:Consideramos ahora la Delta de Dirac δ.

δ (t− a) = 0 t 6= a´ a+ǫa−ǫ δ (t− a) dt = 1 ∀ǫ > 0´ a+ǫa−ǫ f (t) δ (t− a) dt = f (a) ∀ǫ > 0

Y su transformada de Laplace es

L δ (t− a) =∞

0e−stδ (t− a) dt = e−as, para a > 0.

Ahora si a = 0

L δ (t) =∞

0e−stδ (t) dt = e−s·0

∞

0δ (t) dt = lım

ǫ→0

∞

−ǫδ (t) dt = 1.

Normalmente se utiliza una tabla para encontrar la transformada de Laplacede una función o la inversa de la transformada de Laplace. En el apéndice 3 hemosincluido tablas con los ejemplos que presentamos en esta sección más otros adi-cionales.

Un teorema importante para el propósito que nos ocupa es el siguiente:

Teorema 9 (de Convolución):

Sean F (s) y G (s) las transformadas de Laplace, que asumimos que existen, dedos funciones f (t) y g (t) respectivamente. Entonces:

L (f ∗ g) (t) = L

t

0f (t− ξ) g (ξ) dξ

= F (s)G (s).

demostración:

F (s)G (s) =

[∞

0f (σ) e−sσ dσ

] [∞

0f (τ) e−sτ dτ

]

=

=∞

0

[∞

0f (σ) e−s(σ+τ) dσ

]

g (τ) dτ .

Haciendo el cambio de variables t = σ + τ (dt = dσ),


F (s)G (s) =∞

0

[∞

τ

f (t− τ) e−st dt

]

g (τ) dτ =∞

0

[∞

τ

f (t− τ) g (τ) e−st dt

]

dτ .

Cambiamos ahora el orden de integración,

F (s)G (s) =∞

0

[

t

0f (t− τ) g (τ) dτ

]

e−st dt = L −1

t

0f (t− τ) g (τ) dτ

.

Entonces, si tenemos una función f de clase C, su integral fraccionaria

D−νf (t) = 1Γ(ν)

t

0(t− ξ)

ν−1f (ξ) dξ, ν > 0

es de hecho el producto de convolución de f (t) y tν−1. Podemos calcular

L D−νf (t) = 1Γ(ν)L

tν−1

L f (t) = 1Γ(ν)

Γ(ν)sν F (s) = F (s)

sν ,

donde hemos usado L tµ = Γ(µ+1)sµ+1 .

Podemos intuir que la transformada de Laplace va a ser muy útil para resolverecuaciones diferenciales de orden fraccionario aunque todavía no hemos definido loque son.

Esta propiedad hace muy fácil adaptar las reglas que conocemos de la transfor-mada de Laplace a integrales, y en consecuencia también a derivadas, fraccionarias:

Ejemplo 3.5: ν > 0

L D−νtµ = s−ν Γ(µ+1)sµ+1 = Γ(µ+1)

sµ+ν+1 , µ > −1.

Ejemplo 3.6: ν > −1

L D−νeat = s−ν 1s−a = 1

sν(s−a)

L Et (ν, a) = 1sν (s−a) .

La fórmula queda así demostrada para ν > 0 pero de hecho es válida paraν > −1.

Truco: Expandimos la expresión antes de calcular la transformada inversa, ydespués de calcularla utilizamos la fórmula de recursión.

Hacemos 1sν (s−a) = 1

sν+1

(

1 + as−a

)

= 1sν+1 + 1

sν+1as−a , y ahora

L−1

1sν (s−a)

= L−1

1sν+1 + 1

sν+1as−a

= L−1

1sν+1

+ L−1

1sν+1

as−a

=

= tν

Γ(ν+1) +D−ν−1[

L −1

as−a

]

= tν

Γ(ν+1) + aD−ν−1 [Et (0, a)] =

= tν

Γ(ν+1) + aEt (ν + 1, a) = Et (ν, a).

Ejemplo 3.7:

L D−ν [tµeat] = s−ν Γ(µ+1)(s−a)µ+1 = Γ(µ+1)

sν (s−a)µ+1 , µ > −1.

Así tenemos que

L −1

1sν (s−a)2

= D−ν[

L −1

1(s−a)2

]

= D−ν[

1Γ(2) tEt (0, a)

]

=

= D−ν [tEt (0, a)] = tEt (ν, a) − νEt (ν + 1, a).

Al igual que en el ejemplo anterior, en principio esta fórmula es válida paraν > 0, pero vamos a ver que de hecho es válida para ν > −2.


Truco: Es el mismo que en el ejemplo anterior, pero ahora es más complicadoy debemos aplicar la fórmula de recursión varias veces.

Hacemos 1sν (s−a)2 = 1

sν+2

(

s2

(s−a)2

)

= 1sν+2

(

1 + 2as−a + a2

(s−a)2

)

, y ahora

L −1

1sν (s−a)2

= L −1

1sν+2

(

1 + 2as−a + a2

(s−a)2

)

=

= L −1

1sν+2

+D−ν−2[

L −1

1 + 2as−a + a2

(s−a)2

]

=

= tν+1

Γ(ν+2) +D−ν−2[

L

2as−a

]

+D−ν−2[

L

a2

(s−a)2

]

=

= tν+1

Γ(ν+2) +D−ν−2 [2aEt (0, a)] +D−ν−2[

a2tEt (0, a)]

=

= tν+1

Γ(ν+2) + 2aEt (ν + 2, a) + a2tEt (ν + 2, a) + a2 (ν + 2)Et (ν + 3, a) =

= tν+1

Γ(ν+2) + 2(

Et (ν + 1, a) − tν+1

Γ(ν+2)

)

+ t(

Et (ν, a) − tν

Γ(ν+1) − atν+1

Γ(ν+2)

)

−

− (ν + 2)(

Et (ν + 1, a) − tν+1

Γ(ν+2) − atν+2

Γ(ν+3)

)

=

= tEt (ν, a) − νEt (ν + 1, a) + tν+1

Γ(ν+2) + 2Et (ν + 1, a) − 2 tν+1

Γ(ν+2) −− tν+1

Γ(ν+1) − atν+2

Γ(ν+2) − 2Et (ν + 1, a) + (ν + 2) tν+1

Γ(ν+2) + (ν + 2) atν+2

Γ(ν+3) =

= tEt (ν, a)− νEt (ν + 1, a)+ tν+1

Γ(ν+2) − 2 tν+1

Γ(ν+2) − tν+1

Γ(ν+1) + (ν + 1) tν+1

Γ(ν+2) + tν+1

Γ(ν+2) =

= tEt (ν, a) − νEt (ν + 1, a).Lo que confirma que podemos usar la fórmula para ν > −2.

Ejemplo 3.8: ν > 0

L D−ν cos at = s−ν ss2+a2 = 1

sν−1(s2+a2)

L Ct (ν, a) = 1sν−1(s2+a2) .

Ejemplo 3.9: ν > 0

L D−ν sin at = asν (s2+a2)

L St (ν, a) = 1sν (s2+a2) .

Nos interesa también la transformada de Laplace de la integral fraccionaria dela derivada de una función. Si suponemos que f es continua en [0,∞) y Df es declase C y de orden exponencial, entonces

L D−ν [Df (t)] = s−νL Df (t) =

= s−ν [sF (s) − f (0)] = sF (s)−f(0)sν , para ν > 0.

Y también encontramos la transformada de Laplace de la derivada de unaintegral fraccionaria. Aplicando el teorema 2b;

L D [D−νf (t)] = L D−ν [Df (t)] + f (0) L

tν−1

Γ(ν)

=

= s−ν [sF (s) − f (0)] + s−νf (0) = s1−νF (s).Más importante es el caso de la transformada de Laplace de una derivada

fraccionaria sin más:


Proposición:Si f ∈ C es de orden exponencial y µ > 0, entonces


k=0sm−k−1Dk−m+νf (0) donde m = ⌈µ⌉.

demostración:

L Dµf (t) = L

Dm[

D−(m−µ)f (t)]

=

= smL

D−(m−µ)f (t)

−m−1∑

k=0sm−k−1Dk−(m−µ)f (0) =

= sm F (s)sm−µ −

m−1∑

k=0sm−k−1Dk−(m−µ)f (0) =

= sµF (s) −m−1∑

k=0sm−k−1Dk−(m−µ)f (0).

Proposición:Si f ∈ C (i.e f (t) = tλη (t) o f (t) = tλ ln t η (t)), es de orden exponencial,

µ > 0 y λ− µ > −1, entoncesL Dµf (t) = sµF (s).

demostración:Para el caso f (t) = tλη (t), sabemos que

Dρf (t) = tλ−µ ∑∞n=0 an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−µ) t

n = tλ−µη∗ (t)

donde η∗ (t) es también analítica por el teorema 5. Entonces,

Dk−(m−µ)f (t) = tλ−k+(m−µ) ∑∞n=0 an

Γ(n+λ+1)Γ(n+λ+1−k+(m−µ)) t

n = tλ−k+(m−µ)η∗ (t).

Si λ− µ > −1 se sigue que λ− k +m− µ > 0 para k = 0 . . .m− 1 yDk−m+µf (0) = 0 para los mismos valores de k.

Aplicando la proposición anterior hemos terminado para el caso f (t) = tλη (t).La demostración para el caso f (t) = tλ ln t η (t) es un calco de este argumento.

Antes de utilizar la transformada de Laplace para ecuaciones diferenciales deorden fraccionario, queremos reproducir algún ejemplo de cómo se resuelven ecua-ciones diferenciales de orden entero mediante este procedimiento.

Ejemplo 3.10: Consideramos el problema del valor inicial;

y′′ − 6y′ + 15y = 2 sin 3t

y (0) = −1

y′ (0) = −4

Hacemos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial,s2Y (s) − sy (0) − y′ (0) − 6 [sY (s) − y (0)] + 15Y (s) = 2 3

s2+9

para sustituir por las condiciones iniciales(

s2 − 6s+ 14)

Y (s) + s− 2 = 6s2+9

Y (s) = −s3+2s2−9s+24(s2+9)(s2−6s+15) .


Descomponemos en fracciones simples Y (s),

Y (s) = 110

(

s+1s2+9 + −11s+25

s2−6s+15

)

.

Completamos cuadrados y obtenemos;

Y (s) = 110

(

ss2+9 + 1

s2+9 + −11(s−3)−8(s−3)2+6

)

=

= 110

(

ss2+9 + 1

33

s2+9 − 11 (s−3)(s−3)2+6

− 8√6

√6

(s−3)2+6

)

.

y utilizando ahora las tablas de las que disponemos en el apéndice realizamos latransformación inversa y obtenemos la solución del problema del valor inicial;

y (t) = 110

[

cos 3t+ 13 sin 3t− 11e3t cos

√6t− 8√

6e3t sin

√6t

]

.

Ejemplo 3.11: Consideramos el problema del valor inicial;

y′′ + 4y′ = cos (t− 3) + 4t

y (3) = 0

y′ (3) = 7

Para poder utilizar las propiedades L Df (t) = sF (s)−f (0) y L

D2f (t)

=

= s2F (s) − sf (0) − sf ′ (0) necesitamos las condiciones iniciales en t = 0. Es decir,es necesario ejecutar el cambio de variables τ = t− 3.

y′′ (τ + 3) + 4y′ (τ + 3) = cos τ + 4 (τ + 3)

Definimos u (τ) := y (τ + 3) y ahora hemos de resolver en nuevo problema delvalor inicial;

u′′ + 4u′ = cos (τ) + 4τ + 12

u (0) = 0

u′ (0) = 7

Hacemos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial,

s2U (s) − su (0) − u′ (0) + 4 [sU (s) − u (0)] = ss2+1 + 4

s2 + 12s

para sustituir por las condiciones iniciales(

s2 + 4s)

U (s) − 7 = 8s2+1 + 4

s2

U (s) = 1(s+4)(s2+1) + 4+12s+7s2

s3(s+4) .

Descomponemos en fracciones simples cada una de estas fracciones1

(s+4)(s2+1) =1

17

s+4 + 117

(

−s+4s2+1

)

4+12s+7s2

s3(s+4) = 1s3 +

114

s2 +1716

s −1716

s+4 .

Así,

U (s) = 1s3 +

114

s2 +1716

s −273273

s+4 + 117

(

−s+4s2+1

)

=

= 12!

2!s3 +

114

s2 +1716

s −273273

s+4 + 117

(

−ss2+1 + 4

s2+1

)

.

Y realizando la transformación inversa, obtenemos la solución del problema delvalor inicial nuevo.

u (τ) = 12τ

2 + 114 τ + 17

16 + 273274e

−4τ + 117 (4 sin τ − cos τ).

Tan solo queda deshacer el cambio de variables para obtener el resultado (τ =t− 3):

3.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN FRACCIONARIO 45

y (t) = 12 (t− 3)

2+ 11

4 (t− 3) + 1716 − 273

272e−4(t−3) + 1

17 (4 sin (t− 3) − cos (t− 3)) =

= 12 t

2 − 14 t+ 43

16 − 273272e

−4(t−3) + 117 (4 sin (t− 3) − cos (t− 3)).

3.2. Resolución de Ecuaciones Diferenciales de Orden Fraccionario

Como se ha comentado, el nombre ‘cálculo fraccional’ es de origen histórico yno hay razón para limitarse a orden de diferointegración racional. Pero a la práctica,para resolver ecuaciones diferenciales de forma analítica, si que nos restringimos aecuaciones diferenciales de orden racional.

Definición 5: Si q, n ∈ N, a1, . . . , an ∈ R, entonces[

Dn/q + a1Dn−1/q + · · · + an−1D

1/q + a0D0]

y (t) = 0

es una ecuación diferencial fraccionaria con coeficientes constantes y homogéneade orden (n, q).

Ejemplo 3.12:[

D1 + aD1/2 + bD0]

y (t) = 0Es una EDF de orden (2, 2). Para resolverla, primero calculamos la transfor-

mada de Laplace en ambos lados de la igualdad.Si L y (t) = Y (s),

sY (s) − y (0) + aL

D1/2y (t)

+ bY (s) = 0.Sabemos que,

L

D1/2y (t)

= s1/2Y (s) −D−(1−1/2)y (0) = s

1/2Y (s) −D−1/2y (0)

y juntando ambas expresiones,[

s+ as1/2 + b]

Y (s) − y (0) −D−1/2y (0) = 0,

Y (s) = y(0)+D−1/2y(0)

s+as1/2+b.

Observamos que si x2 + ax+ b tiene dos raíces distintas, entonces1

x2+ax+b = 1(x−α)(x−β) = 1

α−β

(

1x−α − 1

x−β

)

y sustituyendo ahora x por s1/2 tenemos1

s+as1/2+b= 1

α−β

(

1s1/2−α − 1

s1/2−β

)

, y

Y (s) = y(0)+D−1/2y(0)

α−β

(

1s1/2−α − 1

s1/2−β

)

.

Así que para encontrar la transformada de Laplace inversa de Y (s) basta con

obtener L −1

1s1/2−α

.

L −1

1s1/2−α

= L −1

s1/2+α

(s1/2−α)(s1/2+α)

= L −1

s1/2+αs−α2

=

= L −1

s1/2

s−α2

+ L −1

αs−α2

= L −1

1s−1/2(s−α2)

+ L −1

αs−α2

.

Mediante las tablas de la transformada de Laplace del apéndice 3 nos queda

L −1

1s−1/2(s−α2)

= Et(

−1/2, α2)

y

L −1

αs−α2

= αE(

0, α2)

.


Finalmente

y (t) = L −1 Y (s) = L −1

y(0)+D−1/2y(0)

α−β

(

1s1/2−α − 1

s1/2−β

)

=

= y(0)+D−1/2y(0)

α−β(

αEt(

0, α2)

− βEt(

0, β2)

+ Et (−1/2, α) − Et (−1/2,β))

que resuelve la ecuación para el caso α 6= β. Ahora si α = β

Y (s) = y(0)+D−1/2y(0)

s+as1/2+b= y(0)+D

−1/2y(0)

(s1/2−α)2 , y

1

(s1/2−α)2 =

[

1s1/2−α

]2=

[

s1/2+αs−α2

]2=

[

s1/2

s−α2 + αs−α2

]2=

= 1s−1(s−α2)2 + 2α

s−1/2(s−α2)2 + α2

(s−α2)2 .

Podemos hacer ahora la transformada inversa usando las tablas;

L −1

1s−1(s−α2)2 + 2α

s−1/2(s−α2)2 + α2

(s−α2)2

=

= tEt(

−1, α2)

+ Et(

0, α2)

+ 2αtEt(

−1/2, α2)

+ αEt (1/2, a) + α2tEt(

0, α2)

=

=(

1 + 2α2t)

Et(

0, α2)

+ αEt (1/2, a) + 2αtEt(

−1/2, α2)

.Finalmente nos queda

y (t) = L −1 Y (s) =

=

y (0) +D−1/2y (0)

(

1 + 2α2t)

Et(

0, α2)

+ αEt (1/2, a) + 2αtEt(

−1/2, α2)

.

Ejemplo 3.13:[

D3/2 − 2D1 −D

1/2 + 2D0]

y (t) = 0

con condiciones iniciales:

D−1/2y (0) = 1

D0y (0) = 1

D1/2y (0) = 4

Hacemos la transformada de Laplace de la ecuación,[

s3/2Y (s) − sD

−1/2y (0) −D1/2y (0)

]

− 2 [sY (s) − y (0)] −−

[

s1/2Y (s) −D

−1/2y (0)]

+ 2Y (s) = 0,se sigueY (s)

[

s3/2 − 2s− s1/2 + 2]

= sD−1/2y (0) +D1/2y (0) −D−1/2y (0) − 2y (0) = s+ 1

Y (s) = s+1s3/2−2s−s1/2+2

.

Para proseguir debemos hacer la descomposición en fracciones simples susti-tuyendo x = s1/2;

x2+1x3−2x2−x+2 = 1

3(x+1) + −1x−1 + 5

3(x−2) ,

entoncesY (s) = 1

3(s1/2+1)− 1

s1/2−1+ 5

3(s1/2−2).

Utilizando ahora la propiedad

L −1

1s1/2−α

= Et(

−1/2, α2)

+ αEt(

0, α2)

obtenemos,

L −1

13(s1/2+1)

= 13 [Et (−1/2, 1) − Et (0, 1)]


L−1

−1s1/2−1

= −Et (−1/2, 1) − Et (0, 1)

L −1

53(s1/2−2)

= 53 [Et (−1/2, 4) + Et (0, 4)].

de donde se obtiene la solución del problema del valor inicial;

y (s) = L −1 Y (s) = L −1

13(s1/2+1)

+ L −1

−1s1/2−1

+ L −1

53(s1/2−2)

=

= −23 Et (−1/2, 1) − 4

3Et (0, 1) + 53Et (−1/2, 4) + 5

3Et (0, 4).

No existe una interpretación física de derivada fraccionaria. En la sección deaplicaciones veremos que cuando sustituimos un término de derivada ordinaria poruno de derivada fraccionaria, lo hacemos por criterios experimentales. Por tanto,imponer condiciones iniciales en derivadas fraccionarias como en el ejemplo previono es muy útil desde el punto de vista aplicado. De todas formas veremos pronto quesí podemos tomar condiciones iniciales en derivadas enteras, aunque con muchaslimitaciones, ya que para el operador de Riemann-Liouville las condiciones inicialesnaturales son fraccionarias.

Ejemplo 3.14:

Queremos considerar ahora un caso sencillo de ecuación no homogénea, aunqueel caso no homogéneo general lo trataremos en la siguiente sección.

Tenemos la ecuación integral fraccionaria

f (t) = D−νy (t) con ν > 0.

Aquí asumimos que f (t) es una función conocida y de clase C . Con lo quepodemos calcular Dνf (t). La función resultante al derivar f fraccionariamenteno siempre es de clase C . Pero si ν < λ + 1, donde λ es el de la definición defunción de clase C , entonces Dνf (t) es de clase C . Esto lo justificamos en la notaVI de la definición 2. En cualquier caso, al otro lado de la expresión le podemosaplicar siempre Dν , debido al teorema fundamental; Dν [D−νy (t)] = y (t). Lo queacabamos de ver es que siempre podemos calcular y (t) = Dνf (t), pero que siademás ν < λ+ 1, entonces y (t) ∈ C .

Si en cambio lo que tenemos es la ecuación diferencial fraccionaria

f (t) = Dµy (t) con ν > 0,

si f (t) es una función de clase C , entonces siempre D−µf (t) ∈ C . El problemaahora está en justificar D−µ [Dµy (t)] = y (t), que sabemos que en general no escierto. Supongamos que y (t) es de clase C y la λ de la definición de función declase C para y (t) cumple µ < λ+ 1. Entonces la ley de los exponentes si que nospermite afirmar D−µ [Dµy (t)] = y (t), y

y (t) = D−µf (t).

Por tanto en realidad la λ es la de D−µf (t), que ya sabíamos que era de claseC .

Hemos visto que si D−µf (t) ∈ C y µ < λ+ 1 podemos resolver esta ecuacióndiferencial de forma trivial sin recurrir a la transformada de Laplace. Haremos algomuy parecido cuando demostremos que la tautócrona es una cicloide -capítulo 5-donde Abel utilizó esté mismo procedimiento sin justificarlo mediante el teoremafundamental.


Teorema 10: Existencia de soluciones independientesSea

[

Dnµ + a1D(n−1)µ + · · · + anD

0]

y (t) = 0 con µ = 1q una ecuación dife-

rencial fraccionaria homogénea de orden (n, q). Llamamos a P (x) = xn +a1xn−1 +

+ · · · + an el polinomio característico de la ecuación. Daday (t) = L −1

P−1 (sµ)

afirmamos quey (t) , Dy (t) , . . . , DN−1y (t) con N = ⌈nµ⌉

forman un conjunto de N soluciones linealmente independientes4.

demostración:Si hacemos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial,

L P (Dµ) y (t) = 0

y utilizando la fórmula para la transformada de Laplace de derivadasfraccionarias5, inferimos

L P (Dµ) y (t) = P (sµ)Y (s) −N−1∑

r=0Br (y) sr

donde los Br (y) son combinaciones lineales de términos Dαy (0) para un cierto α.El único que nos interesa conocer para proceder con la demostración es

B0 (y) = P (Dµ)D−1y (0) − anD−1y (0),

lo que se comprueba fácilmente mediante la expresión de la nota a pie de página.Así,

Y (s) =

N−1∑

r=0

Br(y)sr

P (sµ) .

Ahora consideramosy1 (t) = L −1

P−1 (sµ)

, entonces

L P (Dµ) y1 (t) = P (sµ)Y1 (s) −N−1∑

r=0Br (y1) sr,

B0 (y1) = P (Dµ)D−1y1 (0) − anD−1y1 (0).

En la sección de la transformada de Laplace vimos una propiedad que afirmabaque el límite de la transformada s → +∞ es nulo, entonces

lıms→+∞

L P (Dµ) y1 (t) = 0

lıms→+∞

[

P (sµ)Y1 (s) −N−1∑

r=0Br (y1) sr

]

= 0

perolım

s→+∞P (sµ)Y1 (s) = lım

s→+∞1 = 1 y

4Además, por la forma en que construimos estas soluciones, éstas son de clase C . Basta

recordar que Et (ν, a) = tν∞∑

k=0

(at)k

Γ(ν+k+1)y ver que las soluciones las construimos mediante la

antitransformada de Laplace de funciones que nos llevan a expresiones de este tipo.

5L P (Dµ) y (t) = sµF (s) −

m−1∑

k=0

sm−k−1Dk−m+νf (0) donde m = ⌈µ⌉.


lıms→+∞

P (sµ)Y1 (s) =

= lıms→+∞

[

snµY1 (s) + a1s(n−1)µY1 (s) + · · · + an−1s

µY1 (s) + anY1 (s)]

.

Aplicando a esta última expresión el teorema del valor inicial para la transfor-mada de Laplace

lıms→+∞

P (sµ)Y1 (s) =

= Dnµ−1y1 (0) + a1D(n−1)µ−1y1 (0) + · · · + an−1D

µ−1y1 (0) + an lıms→+∞

P (sµ)−1.

El límite de la derecha es obviamente nulo. Y utilizando el teorema fundamentaldel cálculo fraccional convertimos la expresión anterior en:

lıms→+∞

P (sµ)Y1 (s) =

= Dnµ[

D−1y1 (0)]

+ a1D(n−1)µ

[

D−1y1 (0)]

+ · · · + an−1Dµ

[

D−1y1 (0)]

=

= P (Dµ)D−1y1 (0) − anD−1y1 (0) = B0 (y1).

De donde se sigue trivialmente

lıms→+∞

N−1∑

r=0Br (y1) sr = B0 (y1) = 1,

lo que a su vez implicaBr (y1) = 0 para r 6= 0.

En particular, L P (Dµ) y1 (t) = 0 e y1 (t) es una solución de la ecuación delenunciado.

Ahora queremos ver que las derivadas de y1 (t) hasta orden N − 1 son tam-bién soluciones. Primero observamos que, por el teorema del valor inicial para latransformada de Laplace

lıms→∞

sk+1L y1 (t) = Dky1 (0) para k ∈ N

pero también tenemos

lıms→∞

sk+1L y1 (t) = lıms→∞

sk+1

P (sµ) = lıms→∞

sk+1

snµ

y si k ≤ N − 2, este último límite es nulo (recordamos N = ⌈nµ⌉), y Dky1 (0) = 0para estos k.

Debido a esta última afirmación, podemos demostrar queDu

[

Djy1 (t)]

= Dj [Duy1 (t)], ∀u ∈ R y j = 1, 2 . . .N − 1.Para probar esto, tomando m = ⌈u⌉, escribimosDj [Duy1 (t)] = Dj

Dm[

D−(m−u)f (t)]

= Dm

Dj[

D−(m−u)f (t)]

Du[

Djy1 (t)]

= Dm

D−(m−u)[

Djf (t)]

.Y aplicando el teorema 3b, las dos expresiones anteriores resultan equivalentes

ya que como Dky1 (0) = 0 para k ≤ N − 2, los restos del teorema (la parte delsumatorio) es nula. Por tanto

P (Dµ)[

Djy1 (t)]

= Dj [P (Dµ) y1 (t)] para j = 1, 2 . . .N − 1.

Como y1 (t) es solución, P (Dµ) y1 (t) = 0 y P (Dµ)[

Djy1 (t)]

= 0. Así puesDjy1 (t) son soluciones para j = 1, 2 . . .N − 1.

Sólo falta comprobar que estas soluciones son linealmente independientes. Unavez más Dky1 (0) = 0 si k ≤ N − 2.

Con lo cualL

Djy1 (t)

= sj

P (sµ) j ≤ N − 1.


Estas últimas funciones son linealmente independientes. La transformada deLaplace es lineal y en nuestro caso biyectiva. Por tanto

y1 (t) , y2 (t) = Dy1 (t) , . . . , yN (t)DN−1y1 (t)

son linealmente independientes.

Para facilitar la resolución de las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario,deduciremos seguidamente una fórmula general que nos permite obtener las Nsoluciones linealmente independientes cuando todas las raíces del polinomio carac-terístico son distintas.

Lema 1:Sea P (x) = xn+a1x

n−1+· · ·+an−1x+an un polinomio de raíces α1, α2, . . . , αntodas distintas. Entonces

1P (x) = P ′(α1)−1

x−α1+ P ′(α2)−1

x−α2+ · · · + P ′(αn)−1

x−αn.

demostración:

ConsideramosP ′ (α1) = (α1 − α2)(α1 − α3) · · · · · (α1 − αn)

P ′ (α2) = (α2 − α1)(α2 − α3) · · · · · (α2 − αn)

· · ·P ′ (αn) = (αn − α1)(αn − α2) · · · · · (αn − αn−1).

Definimos

I (x) =n

∑

k=1

P ′ (αk)−1

[

n∏

j=1,j 6=k

(x− αj)

]

y se comprueba que I(x) = 1. La razón es que I (αi) = 1 para i = 1, . . . , n. Y si unpolinomio de grado menor que n toma el mismo valor en n puntos, entonces esconstante. Dividiendo ahora a ambos lados de la expresión anterior por P (x)termina la demostración.

Lema 2:Sea P (x) = xn+a1x

n−1+· · ·+an−1x+an un polinomio de raíces α1, α2, . . . , αntodas distintas. Entonces

n∑

k=1αmk P

′ (αk)−1

= 0 para m = 0, 1 . . . , n− 2

n∑

k=1αmk P

′ (αk)−1

= 1 para m = n− 1.

demostración:

Consideramosn∏

j=1,j 6=k(x− αj) = xn−1 + b

(k)1 xn−2 + · · · + b

(k)n−1 =

n−1∑

j=0b

(k)j xn−1−j

para ciertos coeficientes b(k)i y b(k)

0 = 1. Tenemos que

P (x) = (x− αk)n∏

j=1,j 6=k(x− αj) para k = 1, . . . , n

e igualando coeficientes en la expresión anterior;


aj = b(k)j − αkb

(k)j−1 para j = 1, . . . , n− 1

an = −αkb(k)n−1

de donde resultab

(k)j = aj + αkaj + α2

kaj−1 + · · · + ajk.Por otro lado, el lema 1 afirma que

1P (x) =

n∑

k=1

P ′(αk)−1

x−αk

y multiplicando los dos lados de la igualdad por P (x)

1 =n∑

k=1P ′ (αk)−1

n∏

j=1,j 6=k(x− αj)

=

=n∑

k=1P ′ (αk)

−1

n−1∑

j=0b

(k)j xn−j−1

=n−1∑

j=0

n∑

k=1P ′ (αk)

−1b

(k)j

xn−1−j .

De esta última igualdad se siguen∑

k=1P ′ (αk)

−1b

(k)j = 0, j = 0, . . . , n− 2

n∑

k=1P ′ (αk)

−1b

(k)n−1 = 1.

Nos quedan

∑

k=1P ′ (αk)

−1

aj + αkaj + α2kaj−1 + · · · + ajk

= 0, j = 0, . . . , n− 2.

Desarrollando esta expresión para j = 0, . . . , n− 1

j = 0,n∑

k=1P ′ (αk)−1 a0 = 0, como a0 = 1 se tiene

n∑

k=1P ′ (αk)−1 = 0

j = 1,n∑

k=1P ′ (αk)

−1(a1 + αk) = 0, entonces

n∑

k=1P ′ (αk)

−1αk = 0

· · ·j = n− 2

n∑

k=1P ′ (αk)−1 αn−2

k = 0

pero

j = n− 1n∑

k=1P ′ (αk)

−1αn−1k = 1.

Lema 3:Sean ν = 1

q , q ∈ N, y µ ∈ R tal que µ+ ν > 0, entonces

L −1

1sν −a

=q

∑

j=1aj−1Et (jν − 1, aq), y

L −1

1sµ(sν −a)

=q

∑

j=1aj−1Et (jν + µ− 1, aq).

demostración:

xq−aq

x−a =q

∑

j=1aj−1xq−j , y


1x−a =

q∑

j=1

aj−1xq−j

xq−aq =q

∑

j=1

aj−1

xj−q(xq−aq) .

Sustituyendo ahora x = sν

1sν −a =

q∑

j=1

aj−1

sνj−1(s−aq) , entonces

L −1

1sν −a

=q

∑

j=1aj−1L −1

1sνj−1(s−aq)

.

Sabemos que L −1

1sν (s−a)

= Et (ν, a) para ν > −1, así que a partir de laexpresión anterior

L −1

1sν −a

=q

∑

j=1aj−1Et (jν − 1, aq)

que demuestra la primera parte del lema. Para ver la segunda parte del lema

1sµ

1sν −a = 1

sµ

q∑

j=1

aj−1

sνj−1(s−aq) =q

∑

j=1

aj−1

sνj+µ−1(s−aq) , y

L −1

1sµ(sν−a)

=q

∑

j=1aj−1Et (jν + µ− 1, aq) por la primera parte.

Proposición:

Sea[

Dnµ + a1D(n−1)µ + · · · + anD

0]

y (t) = 0 con µ = 1q una ecuación diferen-

cial fraccionaria de orden (n, q), y sea P (x) = xn+a1xn−1 +· · ·+an−1x+an su poli-

nomio característico, que suponemos que tiene todas las raíces simples: α1, . . . , αn.Entonces y1 = L −1

P (sµ)−1

, que sabemos que es solución por el teorema deexistencia de soluciones, se puede obtener mediante la fórmula:

y1 (t) =n∑

m=1

P ′ (αm)−1

q−1∑

k=0αq−k−1m Et (−kµ, αqm)

.

demostración:

Sabiendo que y1 = L −1

P (sµ)−1

y que por el lema 1

1P (x) = P ′(α1)−1

x−α1+ P ′(α2)−1

x−α2+ · · · + P ′(αn)−1

x−αn,

aplicamos el lema 3 a cada uno de los sumandos de la expresión anterior, y resultade forma inmediata la afirmación de la proposición.

Una vez establecida la proposición anterior, y por el teorema de existencia,podemos obtener el resto de las N = ⌈nµ⌉ soluciones independientes simplementederivando la expresión de la proposición:

yj (t) = Dj−1y1 (t) =n∑

m=1

P ′ (αm)−1q−1∑

k=0αq−k−1m Et (−kµ− j + 1, αqm)


para j = 1, . . . , N .

Hay otra fórmula más interesante para el caso en que N = nµ. La fórmulaanterior contiene términos Et (ρ, α) con ρ < 0.

Como Et (ρ, a) = tρ∞∑

k=0

(at)k

Γ(ρ+k+1) , resulta que esta expresión no está bien defini-

da en t = 0 para ρ < 0. Si queremos usar condiciones iniciales definidas en t = 0(aunque veremos que será muy limitado las que podemos escoger), necesitamosdesarrollar otra fórmula que sí esté bien definida en t = 0. Recordamos que ladefinición de operador diferintegral exigía t > 0. Pero en algunos casos, las expre-siones resultantes al operar fraccionariamente, están bien definidas en t = 0 seacomo límite o no.

Para deducir la fórmula observamos que aplicando a la fórmula general quehemos obtenido la fórmula de recursión j veces y utilizando el lema 2, la fórmulaanterior se convierte en;

yj (t) =n

∑

m=1

P ′ (αm)−1q−1∑

k=0αqj−k−1m Et (−kµ, αqm)

.

A esta expresión le volvemos a aplicar la fórmula de recursión

Et (−kµ, αm) = αqmEt (1 − kµ, αqm) + t−kµ

Γ(−kµ+1)

ahora una única vez. De nuevo, mediante el lema 2 se anulan los términos en t−kµ

excepto el término para el caso j = N . En este caso, la suma de éstos vale 1. Enconclusión;

yj (t) =n∑

m=1

P ′ (αm)−1q−1∑

k=0αq(j+1)−k−1m Et (1 − kµ, αqm)

, j = 1, . . . , N − 1

yN (t) =n

∑

m=1

P ′ (αm)−1

q−1∑

k=0αq(N+1)−k−1m Et (1 − kµ, αqm)

+ 1, si j = N

que es una fórmula más conveniente cuando puede usarse (N = nµ y todas lasraíces del polinomio característico simples).

El teorema de existencia que tenemos demostrado, sólo nos garantiza la exis-tencia de N funciones linealmente independientes que son solución de la ecuacióndiferencial. Pero estás funciones linealmente independientes pueden anularse, y dehecho se anulan, de forma que no podemos garantizar la existencia de una soluciónque satisfaga N condiciones iniciales arbitrarias. Si nos fijamos en el último par defórmulas para N = ⌈nµ⌉ = nµ, vemos que y1 (0) = 0, · · · , yn−1 (0) = 0, yN (0) = 1.Entonces si tenemos condiciones iniciales como las especificadas se puede establecerel siguiente teorema de existencia y unicidad.

Teorema 11: Existencia y unicidad de soluciones para el problemadel valor inicial

Sea[

Dnµ + a1D(n−1)µ + · · · + anD

0]

y (t) = 0 con µ = 1q y nµ ∈ N una

ecuación diferencial fraccionaria homogénea de orden (n, q). Y,

3.3. ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS 54

D(n−1)µy (0) = 1

D(n−2)µy (0) = 0

. . .

D0y (0) = 0

Entonces existe una única solución , que además es de clase C .

demostración:La existencia viene dada por la fórmula que hemos deducido. La unicidad es

consecuencia directa de la linealidad de la ecuación y de la unicidad de la transfor-mada de Laplace. Es válido utilizar la proposición de unicidad de la transformadade Laplace ya que las Et (ρ, α) son funciones continuas en [0, X ] cuando ρ > 0.

3.3. Ecuaciones no Homogéneas

Teorema 12 (Existencia y unicidad para el problema no homogéneo):Sea f (t) una función continua a trozos en (0, X ], integrable y de orden expo-

nencial en [0, X ]. Dado el siguiente problema del valor inicial:[

Dnµ + a1D(n−1)µ + · · · + anD

0]

y (t) = f (t) con µ = 1q , N = nµ.

D(n−1)µy (0) = 0

D(n−2)µy (0) = 0

. . .

D0y (0) = 0

Entonces y (t) =t

0K (t− ξ) f (ξ) dξ, donde K (t) = L −1

P (sµ)−1

es la

única solución del problema.

demostración:Tomando la transformada de Laplace de la ecuación:

P (sµ)Y (s) = F (s) si Y (s) = L y (t) y F (s) = L f (t).Se sigue,

Y (s) = F (s)P (sµ) ,

y tomando la antitransformada de Laplace de esta expresión

y (t) =t

0K (t− ξ) f (ξ) dξ.

La unicidad es consecuencia de la unicidad de la transformada de Laplace. Paraver que se satisfacen las condiciones iniciales observamos;

y (0) = 0, y por el teorema 11, DjK (0) = 0 para j = 0, 1 . . . , N − 2.

Dy (t) = K (0) f (t) +t

0K (t− ξ) f (ξ) dξ, entonces Dy (0) = 0.

Djy (t) = Dj−1 [K (0) f (t)] +t

0Dj [K (t− ξ)] f (ξ) dξ, entonces Djy (0) = 0,

j = 2, . . . , N − 1.

3.3. ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS 55

Para el caso en que no tengamos condiciones iniciales homogéneas, la soluciónse obtiene de sumar la solución del problema homogéneo con condiciones inicialesno homogéneas, y la solución del problema no homogéneo con condiciones inicialeshomogéneas:

y (t) =t

0K (t− ξ) f (ξ) dξ+c1K (t) + c2DK (t) + · · · + cND

N−1K (t)

en caso de haber coeficientes c1, . . . , cN que satisfagan las condiciones iniciales.A la función K se la denomina función de Green por el paralelismo con el

caso de orden de diferenciación entero. El problema es que nada nos garantiza quesepamos calcular analíticamente la integral.

Ejemplo 3.15:Resolvemos la ecuación

[

D2µ − aDµ]

y (t) = sin bt con µ = 1/4.Si utilizamos directamente la fórmula del teorema nos encontramos con una

expresión que no sabemos integrar. Pero utilizando el método de la transformadade Laplace:

P (sµ)Y (s) = L −1 sin bt = bs2+b2 con Y (s) = L y (t).

Y (s) = bsµ(sµ−a)(s2+b2)

pero 1sµ−a =

q∑

j=1

aj−1

sµj−1(s−aq) , entonces

Y (s) =q

∑

j=1

bsµsµj−1(s−aq)(s2+b2) .

Descomponiendo en fracciones simples,b

(s−aq)(s2+b2) = ba2q+b2

(

1s−aq − s

s2+b2 − aq

s2+b2

)

nos queda

Y (s) = ba2q+b2

q∑

j=0aj−1

1s(j+1)µ−1(s−a)q − s

s(j+1)µ−1(s2+b2) − aq

s(j+1)µ−1(s2+b2)

.

Y la transformada de Laplace inversa es (a partir de las tablas que hemosdeducido del apéndice 3):

y (t) = L −1 Y (s) = ba2q+b2

q∑

j=1aj−1 Et ((j + 1)µ− 1, aq) +

+Ct ((j + 1)µ− 1, b) + aq

b St ((j + 1)µ− 1, b)

=

= bab(a8+b2)

4∑

j=1aj

bE(

(j + 1)µ− 1, a4)

+

+b Ct ((j + 1)µ− 1, b) + a4St ((j + 1)µ− 1, b)

.

3.4. ECUACIONES CON COEFICIENTES NO CONSTANTES 56

3.4. Ecuaciones con Coeficientes no Constantes

Consideramos la ecuación diferencial de orden (n, q)[

Dnµ + p1 (t)D(n−1)µ + · · · + pn (t)D0]

y (t) = 0.En particular estudiamos el caso en el que los coeficientes pi (t) son polinomios.

El resultado de hacer la transformada de Laplace de la ecuación nos dará unaecuación diferencial ordinaria donde la incógnita será Y (s) = L y (t). Por tantohay dos problemas, ver si se puede resolver la ecuación diferencial de forma analítica,y deshacer la transformada de Laplace con la transformada inversa.

Ejemplo 3.16:Para resolver

tD1/2y (t) − y (t) = 0

hacemos la transformada de Laplace de la ecuación:−D

[

s1/2Y (s) −D−1/2y (0)]

− Y (s) = 0

− 12s

−1/2Y (s) − s1/2DY (s) − Y (s) = 0

DY (s) +(

12s

−1 + s−1/2

)

Y (s) = 0

La ecuación diferencial anterior es separable y tiene por solución,Y (s) = Ks−1/2e−2

√s.

Tomando ahora la transformada inversa se obtiene la solucióny (t) = K t

−1/2e−1/t.

Capítulo 4

Derivada fraccionaria de Caputo y MétodosNuméricos

Si utilizamos la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, para garantizarla existencia de soluciones tenemos un rango demasiado limitado de condicionesiniciales que podemos escoger. Normalmente en matemáticas puras se elije estadefinición de derivada fraccionaria, pero para integración numérica de ecuacionesdiferenciales fraccionarias se utiliza otra definición, la de Caputo. Esta otra defini-ción nos permite escoger condiciones iniciales arbitrarias. Además, en caso de quelas condiciones iniciales sean homogéneas, ambas definiciones coinciden. Con laderivada de Riemann-Liouville casi estamos obligados a imponer condiciones ini-ciales homogéneas.

También hemos visto en el capítulo anterior, que no podemos llegar muy lejosresolviendo ecuaciones diferenciales fraccionarias de forma analítica. Por estas ra-zones, en este capítulo introducimos esta nueva definición y un algoritmo numéricopara resolver ecuaciones diferenciales fraccionarias.

4.1. Operador Diferintegral de Caputo

La integral fraccionaria de Caputo tiene exactamente la misma definición que lade Riemann-Liouville. Para la Derivada fraccionaria, en cambio, se deriva primeroun número natural de veces y se integra fraccionariamente después.

Definición 6: Operador Diferintegral de CaputoSea ρ ∈ R y f una función de clase C en el caso ρ < 0, o m = ⌈ρ⌉ veces

diferenciable y Dmf (t) de clase C en el caso ρ > 0. Entonces definimos el operadordiferintegral de Caputo como el siguiente operador combinado.

Dρ∗f (t) =

1Γ(−ρ)

t

0(t− ξ)−ρ−1 f (ξ) dξ ρ < 0

I [f (t)] = f (t) ρ = 0

D−(m−ρ) [Dmf (t)] ρ > 0 donde m = ⌈ρ⌉

Por tanto podemos escribir,

Dµ∗f (t) = 1

Γ(m−µ)

t

0(t− ξ)m−µ−1 Dmf (ξ) dξ, µ > 0.

Proposición: Equivalencia de Ambas Definiciones

Bajo las condiciones de la definición previa con µ > 0 y m = ⌈µ⌉, se tiene

Dµf (t) = Dµ∗ f (t) +

m−1∑

k=0

tk−µDkf(0)Γ(k−µ+1) .

57

4.1. OPERADOR DIFERINTEGRAL DE CAPUTO 58

demostración:

Dµf (t) = Dm[

D−(m−µ)f (t)]

= 1Γ(m−µ)D

m

[

t

0(t− ξ)

m−µ−1f (ξ) dξ

]

.

Integrando por partes,

Dµf (t) = 1Γ(m−µ)D

m

[

tm−µf(0)m−µ +

t

0

(t−ξ)m−µ

m−µ Df (ξ) dξ

]

e integrando m− 1 veces más,

Dµf (t) = Dm

[

m−1∑

k=0

tm+k−µDkf(0)Γ(m+k−µ+1) + 1

Γ(2m−µ)

t

0(t− ξ)

2m−µ−1Dmf (ξ) dξ

]

=

=m−1∑

k=0

tk−µDkf(0)Γ(k−µ+1) + 1

Γ(m−µ)

t

0(t− ξ)

m−µ−1Dmf (ξ) dξ =

=m−1∑

k=0

tk−µDkf(0)Γ(k−µ+1) + Dµ

∗f (t).

De la proposición anterior resulta de forma inmediata:

Corolario: µ > 0, m = ⌈µ⌉Si Dkf (0) = 0 para k = 1, . . . ,m− 1, entonces

Dµf (t) = Dµ∗f (t).

Queremos calcular ahora la transformada de Laplace para la derivada frac-cionaria de Caputo.

L Dµ∗f (t) = L D−m+µ [Dmf (t)] = L Dmf(t)

sm−µ =

= 1sm−µ

[

smL f (t) −m∑

k=1sm−kDk−1f (0)

]

=

= sµL f (t) −m∑

k=1sµ−kDk−1f (0).

Ya conocíamos la transformada de Laplace para la derivada fraccionaria deRiemann-Liouville:


k=0sm−k−1Dk−m+µf (0).

Vemos que la transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de Caputo,al contrario que la de Riemann-Liouville, está expresada en términos de derivadasde orden entero. Por esta razón las condiciones iniciales naturales de la derivada deCaputo son derivadas enteras. Los problemas que tuvimos antes, con tal de asegurarexistencia de soluciones con la derivada de Riemann-Lioville, vienen originados enque para esta definición las condiciones iniciales naturales son derivadas de ordenfraccionario -de hecho esto se ha usado en el ejemplo 3.13-. Si hubiéramos adoptadocondiciones iniciales fraccionarias, tendríamos un teorema de existencia general.Pero esto no es conveniente. A efectos prácticos, las condiciones iniciales han de seralgo que podamos medir experimentalmente, y tan siquiera entendemos de formafísica que es una derivada fraccionaria.

4.2. MÉTODO ADAMS-MOULTON-BASHFORTH FRACCIONARIO 59

Proposición:Si f es continua en [0, X ] y µ > 0, m = ⌈µ⌉

Dµ∗

[

D−µ∗ f (t)

]

= f (t).

demostración:

Definimos φ (t) = D−µ∗ f (t) = D−µf (t). Se tiene que Dkφ (0) = 0 para

k = 0, 1, . . .m− 1 ya que

Dφ (t) = 1Γ(µ) (µ− 1)

t

0(t− ξ)(µ−1)−1 f (ξ) dξ = 1

Γ(µ−1)

t

0(t− ξ)µ−2 f (ξ) dξ

. . .

Dkφ (t) = 1Γ(µ−k)

t

0(t− ξ)µ−k−1 f (ξ) dξ

y este última integral converge ya que µ− k − 1 ≥ µ−m > −1.

Ahora, por el corolario anterior Dµφ (t) = Dµ∗φ (t), y

Dµ∗

[

D−µ∗ f (t)

]

= Dµ∗ [φ (t)] = Dµ [φ (t)] = f (t).

Proposición:Si µ > 0 y f es absolutamente continua hasta orden m = ⌈µ⌉ en [0, X ]1,

D−µ∗ [Dµ

∗ f (t)] = f (t) −m−1∑

k=0

Dkf(0)k! tk.

demostración:

D−µ [Dµ∗ f (t)] = D−µ

D−(m−µ) [Dmf (t)]

= D−m [Dmf (t)].

Debido a la continuidad absoluta podemos usar el teorema de Taylor que afirma,

f (t) =m−1∑

k=0

Dkf(0)k! tk +D−m [Dmf (t)].

Combinando las dos últimas expresiones se obtiene la fórmula del enunciado.

4.2. Método Adams-Moulton-Bashforth Fraccionario

A partir estas proposiciones se puede desarrollar un algoritmo para la inte-gración numérica de ecuaciones diferenciales fraccionarias. Si tenemos el problemadel valor inicial2;

Dµ∗ y (t) = f (t, y (t)) , µ > 0

Dkf (0) = y(k)0 para k = 1, . . . ,m− 1 con m = ⌈µ⌉

Aplicando el operador D−µ∗ y (t) a cada uno de los lados de la igualdad

1Es decir, para todo ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que para toda secuencia de subinter-

valos disjuntos de [0, X], (xk, yk) k = 1, . . . , N que satisface∑N

k=1|yk − xk| < δ entonces

∑N

k=1|f (yk) − f (xk)| < ǫ.

2Las funciones f e y pueden ser vectoriales y todas los argumentos que se siguen sonequivalentes.


D−µ∗ [Dµ

∗ y (t)] = y (t) −m−1∑

k=0

Dky(0)k! tk

y

D−µ∗ [f (t, y(t))] = 1

Γ(µ)

t

0(t− ξ)µ−1 f (ξ, y (ξ)) dξ.

Juntando ambas expresiones

y (t) =⌈µ⌉−1

∑

k=0

Dky(0)k! tk + 1

Γ(µ)

t

0(t− ξ)

µ−1f (ξ, y (ξ)) dξ.

El sumatorio de la expresión para y se puede calcular ya que conocemos lascondiciones iniciales Dky (0) = y

(k)0 para k = 0, 1, . . .m− 1. La integral la podemos

aproximar por cuadraturas.Haremos una discretización del tiempo en el intervalo [0, T ], tn = n·T

N paran = 0, 1, . . . , N , donde el paso de integración es h = T

N . Y en cada paso, ten-dremos que aproximar una integral en el intervalo [0, tn+1]. Esto es diferente queen un método lineal multipaso para ecuaciones diferenciales ordinarias. En esteotro caso aproximaríamos en cada paso una integral en el intervalo [tn, tn+1]. Portanto el coste computacional es más elevado en el caso de ecuaciones diferencialesfraccionarias.

Así, lo que queremos es obtener aproximaciones numéricas de:

y (tn+1) =⌈µ⌉−1

∑

k=0

Dky(0)k! tkn+1 + 1

Γ(µ)

tn+1´

0(tn+1 − ξ)µ−1 f (ξ, y (ξ)) dξ.

Aproximando la integral mediante la regla del trapecio, se obtienetn+1´

0(tn+1 − ξ)

µ−1f (ξ, y (ξ)) dξ ≃ hµ

µ(µ+1)

n+1∑

j=0aj,n+1f (tj , y (tj))

donde3

aj,n+1 =

nµ+1 − (n− µ) (n+ 1)µ si j = 0

(n− j + 2)µ+1

+ (n− j)µ+1 − 2 (n− j + 1)

µ+1 si 1 ≤ j ≤ n

1 si j = n+ 1

Esto es un método lineal multipaso implícito (Adams-Moulton), ya que laecuación resultante depende de y (tj+1). Llamando yj a la aproximación dada porel método del valor y (tj), nos queda

ytn+1 =⌈µ⌉+1

∑

k=0

tkn+1

k! y(k)0 + hµ

Γ(µ+2)f (tn+1,yn+1) + hµ

Γ(µ+2)

n∑

j=0aj,n+1f (tj,yj).

Al ser un método implícito, necesitamos una aproximación inicial, es decir, uti-lizaremos la fórmula anterior como un método corrector que dada una aproximaciónmás mala de yn+j nos dará una aproximación mejor. Esta aproximación se puedeir refinando iterando más de una vez con la fórmula del método corrector anterior.

Para obtener la aproximación inicial (método predictor), lo que hacemos esaproximar de nuevo la integral pero ahora mediante la regla del rectángulo:

tn+1´

0(tn+1 − ξ)µ−1 f (ξ, y (ξ)) dξ ≃

n+1∑

j=0bj,n+1f (tj , y (tj))

donde

3véase el ‘paper’ de Diethelm [15]


bj,n+1 = hµ [(n+ 1 − j)

µ − (n− j)µ]

resultando el siguiente método lineal explícito (Adams-Bashforth),

yptn+1=

⌈µ⌉−1∑

k=0

tkn+1

k! y(k)0 + 1

Γ(µ)

n∑

j=0bj,n+1f (tj , yj).

Para una ecuación diferencial ordinaria, el método predictor-corrector Adams-Bashforth-Moulton análogo al que hemos mostrado tendría orden de complejidadO

(

h−1)

. Debido a la no localidad del operador diferintegral en nuestro caso elmétodo presenta una complejidad de O

(

h−2)

4.En cuanto la precisión del método, si definimos el error como max

j|y (tj) − yj|,

se puede deducir que este error es de orden O (hp) donde p = mın (2, 1 + µ). Estoes asumiendo que sólo se ha hecho una iteración del corrector. Si hacemos másiteraciones el orden mejora pero obviamente también se incrementa el coste com-putacional.

El el apéndice 4 hay una implementación de este método que se ha programadopara resolver la aplicación del memristor en la sección 5.3.

4véase [16]

Capítulo 5

Aplicaciones: Modelos Fraccionarios

Experimentalmente se sabe que muchos procesos de la naturaleza presentanuna dinámica demasiado complicada para ser modelizados mediante ecuacionesdiferenciales de orden entero. En particular los problemas de difusión, por ejemplode contaminantes, y los que de materiales viscoelásticos se aproximan mejor conun modelo fraccionario. Los materiales viscoelásticos presentan un comportamientoante las deformaciones parcialmente elástico (tendencia a volver a su estado inicial)y parcialmente viscoso, (ofrecen una cierta resistencia a las deformaciones tangen-ciales). Sucede que estos materiales acumulan y disipan energía a la vez al aplicarsesobre ellos una fuerza que los deforma.1 La segunda aplicación de esta sección tra-ta sobre un oscilador en un medio amortiguador viscoelástico. Antes mostramosuna aplicación más sencilla pero que tiene interés histórico, la tautócrona. La ter-cera aplicación que veremos será un circuito con un memristor, que es un elementoeléctrico que tiene memoria.

Podemos por tanto dividir los modelos en dos tipos:

1. Modelos Clásicos: Esto es, procesos (difusivos u oscilatorios, por ejemplo)que se producen sobre un medio normal. Es decir, un medio no extremada-mente complicado que se puede estudiar mediante los modelos clásicos deecuaciones diferenciales ordinarias, y de ecuaciones en derivadas parciales.

2. Modelos anómalos o fraccionarios: Se trata del mismo proceso que antespero desarrollándose a través o sobre un medio muy complejo. Por ejem-plo, una onda que entra en un recipiente con infinidad de trozos de mate-riales fractales, procesos en medios viscoelásticos, problemas de difusión enmedios anómalos con memoria...

Los problemas de difusión se analizan mediante ecuaciones en derivadas parcialesfraccionarias. Los problemas de ondas están muy poco desarrollados debido a lafalta de una definición adecuada de operador Laplaciano fraccionario. En este tra-bajo sólo hemos contemplado modelos fraccionarios que pueden analizarse medianteecuaciones diferenciales ordinarias.

5.1. Tautócrona

Una bola baja por una superficie cuya sección transversal forma una curva, talque el tiempo de recorrido de la bola hasta la base no depende de la altura inicial.Nos preguntamos que ecuación determina esta curva de existir.

1Entre los materiales viscoelásticos se encuentran la piel humana, los discos vertebrales, lamadera, la espuma polimérica, el aceite, la glicerina, los polímeros líquidos...

62

5.1. TAUTÓCRONA 63

x

y P=(x0,y0)

fig.6 Tautócrona

Consideramos s como la longitud del arco desde un punto inicial P = (x0, y0)hasta el origen. La recta tangente a la curva forma un ángulo α con la direcciónvertical en la que actúa la gravedad. A partir de estas consideraciones, podemosexpresar,

d2sdt = −g cosαdyds = cosα

y de estas dos expresiones obtenemosd2sdt = −g dyds .

Multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor integrante dsdt , resulta

d2sdt

dsdt = −g dyds dsdt = −g dydt

e integrando12

(

dsdt

)2= −gy +K.

Como en el instante inicial la velocidad es nula se deduce K = gy0, y escribimosdsdt = −

√

2g (y0 − y)

donde tomamos el signo negativo en la raíz, es decir hemos escogido el sentido deleje y usual. Considerando que s(t) es una función continua y aplicando el teoremade la función inversa nos queda

dtds = −1√

2g(y0−y)

y podemos integrar nuevamente

T = −1√2g

O

P

1√y0−y ds.

Ahora T es el tiempo que tarda la bola en llegar al origen. Por tanto T = T (y0).Pero imponemos T constante y vemos a donde nos lleva este razonamiento.

Obviamente s es a su vez una función de y. En la integral anterior hacemos elcambio de variables s = h (y)

(

dsdy = h′ (y)

)

T = −1√2g

0

y0

1√y0−y

dsdy ds = 1√

2g

y0´

0(y0 − y)

−1/2h′ (y) ds

con lo que hemos llegado a una ecuación integral de orden fraccionario;

5.1. TAUTÓCRONA 64

T =√π√2g 0D

−1/2

y0 h′ (y0) o√

2g√πT = 0D

−1/2

y0 h′ (y0).

Ahora bien, al ser T constante√

2gΓ(1/2)T es constante y por tanto es una función

de clase C . Podemos derivarla fraccionariamente;

0D1/2

y0

√2g√πT =

√2g√πT Γ(1)

Γ(1/2)y−1/2

0 =√

2gπ y

−1/2

0 = 0D1/2

y0

[

0D−1/2

y0 h′ (y0)]

.

Y aplicando el teorema fundamental del cálculo fraccional

h′ (y0) =√

2gπ y

−1/2

0

además,

h′ (y) = dsdy =

√

(

dxdy

)2+

(

dydy

)2=

√

1 +(

dxdy

)2

dxdy =

√

h′ (y)2 − 1.

Sustituyendo en esta expresión por la solución de la ecuación integraldxdy =

√

2gT 2

π2y − 1,

renombrando A = gT 2

π2 e integrando nuevamente

x0 =y0´

0

√

2Ay − 1 dy + C.

Como cuando y0 = 0 también x0 = 0 se tiene C = 0

x0 =y0´

0

√

2Ay − 1 dy.

Para resolver esta integral hacemos el cambio de variables y = 2A sin2 ξ (dy == 4A sin ξ cos ξ)

x0 = 4Aarcsin

√y02A

´

0

√

1−sin2 ξsin2 ξ sin ξ cos ξ dξ = 4A

arcsin√

y02A

´

0cos2 ξ dξ,

y renombrando β = arcsin√

y0

2A

x0 = 4Aβ

0cos2 ξ dξ = 4A

β

0

1+cos 2ξ2 dξ = 2A

[

ξ + 12 sin2 ξ

]β

0=

= 2A[

β + 12 sin (2β)

]

.

Con lo que tenemos una curva expresada en forma paramétrica;

x0 = 2A[

β + 12 sin (2β)

]

y0 = 2A sin2 β = A (1 − cos 2β)

Por último, hacemos el cambio de variables θ = 2β;

x0 = A [θ + sin (θ)]

y0 = A (1 − cos θ)

Así, el conjunto de los puntos iniciales (x0, y0) que tardan tiempo T en llegaral origen forman una cicloide. Escribimos

x = A [θ + sin (θ)]

A = gT 2

π2

y = A (1 − cos θ)

5.2. OSCILADOR ARMÓNICO EN MEDIO VISCOELÁSTICO 65

5.2. Oscilador Armónico en Medio Viscoelástico

Utilizando la segunda ley de Newton y la ley de Hooke, la modelización clásicade un oscilador, si no se consideran efectos gravitatorios ni fricción en el medio, estrivial:

ma+Kx = 0

donde m es la masa del objeto sujeto al oscilador y K el coeficiente elástico delsistema.

Cuando se añade un término de fricción, se suele asumir que la fricción esproporcional a la velocidad:

ma+ cv +Kx = 0

aquí c es el coeficiente de fricción en el medio. En la notación que utilizamos nosqueda,

mD2x (t) + cDx (t) +K x (t) = 0.

Añadimos otras nociones físicas necesarias. Denominamos ω0 =√

km la fre-

cuencia natural del oscilador (corresponde a la frecuencia del oscilador sin términode fricción) y definimos ζ = c

2√km

como el coeficiente de amortiguamiento. Esto nospermite simplificar la ecuación mediante el reescalamiento y (t) = x (ω0t). Entonces

mω20D

2x (ω0t) + cω0Dx (ω0t) +K x (ω0t) = 0

y dividiendo por mω20 nos queda

D2y (t) + 2ζDy (t) + y (t) = 0.

Resolvemos esta ecuación diferencial ordinaria. El polinomio característico esP (x) = λ2 + 2ζλ + 1 que tiene por raíces x = −ζ ±

√

ζ2 − 1 = −ζ ± i√

1 − ζ2.Dado ζ > 0, tenemos que

y (t) = c1e

(

−ζ+i√

1−ζ2)

t+ c2e

(

−ζ−i√

1−ζ2)

t

es la solución general. Imponemos las condiciones iniciales y (0) = 0, Dy (0) = 1.Obviamente escogemos estas condiciones iniciales por que son las mismas que nosda el teorema de existencia para el modelo fraccionario que haremos acontinuación. Así podremos comparar ambos modelos.

y (0) = 0 entonces c1 + c2 = 0 y c = c1 = −c2, y

y (t) = ce−ζt(

ei√

1−ζ2t − e−i√

1−ζ2t)

= 2iceζt sin(

√

1 − ζ2t)

.

Derivando,

Dy (t) = −2icζe−ζt sin(

√

1 − ζ2t)

+ 2ice−ζt cos(

√

1 − ζ2t)

, y

Dy (0) = 2ic√

1 − ζ2 = 1, c = 12i

√1−ζ2

y (t) = 1√1−ζ2

e−ζt sin(

√

1 − ζ2t)

.

La última expresión es la solución bajo el modelo habitual. Si ahora pasamosa considerar que el oscilador actúa dentro de un fluido Newtoniano (i.e un flui-do para el que podemos considerar constante la viscosidad), y que este sistemapresenta propiedades viscoelásticas, la dinámica pasa a ser demasiado complicadapara asumir fuerzas tangenciales. Se sabe, porque se ha comprobado experimental-mente, que este modelo se aproxima más a la realidad si el término de fricción esfraccionario.


Oscilador

armónico

amortiguado

x

fig.7 Muelle en fluido Newtoniano.

Por ejemplo, en lugar de ser la fricción proporcional a la velocidad, suponemosque lo es a la ‘media’ derivada del desplazamiento;

D2y (t) + 2ζD1/2y (t) + y (t) = 0.

En el nuevo modelo ζ no coincide con el coeficiente del modelo anterior de-bido a la forma en que hicimos el reescalamiento. Pero podemos utilizar la leyde reescalamientos2 para deducir el valor de ζ. De todas formas, está claro quees mejor ajustar la nueva constante experimentalmente. Tenemos mediante la leydel reescalamiento ζ = ζ√

ω0. Este nueva ecuación sirve también para modelizar un

amortiguador hidráulico formado por un muelle y un disipador viscoso, ya que elmuelle aporta las propiedades elásticas y el disipador las propiedades viscosas.

M

a

s

a

fig.8 Modelo de Voigt

Para resolver la ecuación, comprobamos a partir del polinomio característicoP (x) = x4 + 2ζx + 1, cuando éste tiene cuatro raíces distintas. Por el teorema de

2

k ∈ R, ρ ∈ R, Dρf (kt) = kρ [Dρf (x)]x=tk.


Stürm, una raíz es al menos doble si es a su vez raíz de la derivada del polinomio

DP (x) = 4x3 + 2ζ. DP (x) tiene una única raíz, que es α =(

−ζ2

)1/3

y 2ζ = −4α3.

Esta raíz marca el mínimo absoluto de P (x). Entonces P (x) tendrá raíz doble siP (α) = 0. Ahora P (α) = α4 − 4α4 + 1 = −3α4 + 1 = 0, entonces α = 1

4√3y

2ζ = −44√

27. Por tanto si ζ 6= −2

4√

27P (x) tiene cuatro raíces distintas α1, α2, α3, α4 y

como ζ > 0, sabemos que se cumple siempre en nuestro caso3.

5 10 15 20t

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8xHt L

fig.9 Soluciones fraccionarias para ζ = 0,25, 0,35, 0,75, 1,25.

Con lo que estamos en condiciones de utilizar la fórmula

y (t) =n

∑

m=1

P ′ (αm)−1

q−1∑

k=0α2q−k−1m Et (1 − kµ, αqm)

para resolver la ecuación diferencial del oscilador fraccionario, en nuestro caso

y (t) =4

∑

m=1

P ′ (αm)−1α2m

[

Et(

1/2, α2m

)

+ αmEt(

1, α2m

)]

.

En la figura 7 vemos la solución para distintos valores de ζ. Se observa queal incrementar ζ, no sólo aumenta la amortiguación sino que también aumentala frecuencia. Ahora queremos comparar los dos modelos. Si fijamos constantes

c = 0,35, m = 1, y K = 1/4, tenemos ζ = c2

√km

= 0,35, ω0 =√

km = 1/2 y

ζ = ζ√ω0

= 0,49497. En la siguiente figura podemos ver los resultados.Se ha comentado en el capítulo uno que el operador diferintegral no es local

ya que se calcula en un intervalo. El operador diferintegral tiene memoria lo que le

3Nótese que ahora ζ puede ser mayor que uno porque es una unidad sin sentido físico.


permite modelizar mejor la mecánica viscoelástica. También se dice que la derivadafraccionaria tiene visión periférica.

5 10 15t

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

xHt L

fig.10 Modelo clásico ζ = 0,35 (discontinua) y fraccionario ζ = 0,49497

Si añadimos una fuerza a la ecuación, por ejemplo f(t) = −3X (t), donde X[0,1]

es la función característica del intervalo [0, 1], entonces se puede integrar numéri-camente la solución mediante las consideraciones que hicimos en 3.3. Tenemos

D2y (t) + 2ζD1/2y (t) + y (t) = f (t)

y conocemos la solución del problema homogéneo K (t) = y (t). Entonces lasolución del problema no homogéneo con las mismas condiciones iniciales es

ynh (t) =t

0K (t− ξ) f (ξ) dξ +K (t) = −3

t

0K (t− ξ)χ[0,1] (t) dξ +K (t) =

= −3max(1,t)´

0K (t− ξ) dξ +K (t).

En la siguiente figura, mostramos para ζ = 0,49497 la solución del problemano homogéneo junto a la del problema homogéneo.

El hecho de que hayamos sustituido el orden del operador diferencial por µ = 1/2

ha sido completamente arbitrario. En una aplicación real, el orden de cada uno delos operadores que aparezcan deberá ser ajustado experimentalmente. Obviamente,se espera que estos valores sean cercanos a los valores enteros para el modelo ante-rior si este aproximaba relativamente bien. Y también se espera que para tiempospequeños los dos modelos sean prácticamente análogos.

5.3. MEMRISTOR 69

2 4 6 8 10 12t

-1.0

-0.5

0.0

0.5

xHt L

fig.11 ζ = 0,49497 homogénea y no homogénea (discontinua)

5.3. Memristor

Los elementos fundamentales de un circuito eléctrico son la resistencia (R), elcapacitador (C) y el inductor (L). En la mayoría de circuitos existen otros elementospero estos pueden ser descritos en términos de los tres fundamentales.

Resistencia (R) : Se define como la oposición que encuentran los elec-trones al desplazarse por un conductor. La unidad es el ohmio (Ω).Capacitancia (C) : Es la capacidad que tiene un cuerpo de acumularcarga eléctrica. La unidad es el faradio (F ).Inductancia (L) : Un elemento con inductancia se opone a cambios enla corriente eléctrica y amacena parte de la energía potencial en forma deun campo magnético. La unidad es el henrio (H).

En 1971, Leon Chua postuló la existencia de un cuarto elemento fundamen-tal [21], el memristor , cuya memristencia se mide en la misma unidad que laresistencia. Normalmente se relaciona la resistencia con el voltaje y la intensidadmediante la Ley de Ohm (V = I ·R). Ahora bien, esto es una aproximación ya quecon el paso de la corriente a través de la resistencia, ésta se calienta aumentandosu resistividad. Obviamente, la resistencia vuelve a su estado si se interrumpe lacorriente y se deja que recupere la temperatura inicial. El memristor en cambio escapaz de recordar su estado por un tiempo indefinido después de la interrupción dela corriente. Es un elemento con memoria, y por esta razón puede describirse mejormediante cálculo fraccional. En los últimos años Hewlett-Packard ha conseguido

5.3. MEMRISTOR 70

desarrollar memristores fabricados con dióxido de titanio que se pueden utilizarcomo tecnología en dispositivos de almacenamiento informático.

Modelizamos ahora un circuito sencillo con un memristor.Si llamamos a la variable de estado del memristor ‘u’, y consideramos su mem-

ristencia R (u). Se puede describir el estado del memristor mediante el siguientesistema:

VM = R (u) IMdudt = f (u, IM )

donde VM es la diferencia de potencial entre los dos extremos del memristor e IMes la intensidad de la corriente que lo cruza. f es una función de estado que vienedeterminada por la arquitectura del memristor.

Los memristores pueden ser activos o pasivos. Es decir, pueden introducir oconsumir energía en el circuito. En nuestro caso consideramos un circuito sin fuentede alimentación y por tanto con un memristor activo. Así, el memristor ofreceráuna resistencia negativa o positiva al paso de la corriente dependiendo de la variablede estado. Definimos la siguiente función de memristencia:

R (u) = 32

(

u2 − 1)

y la función de estado del memristor

f (u) = IM − 35u− IMu.

Nos queda

VM = 32

(

u2 − 1)

IMdudt = IM − 3

5u− IMu

El circuito tendrá además un capacitador de capacitancia 1F y una inductanciade 3H .

C L

R(u)

fig.12 Circuito con Memristor

La ley de Kirchhoff afirma que para un circuito cerradom∑

k=0Vk = 0, donde los Vk

son las diferencias de potencial entre los terminales de cada elemento del circuito.Pero para un circuito con inductancia esto no es cierto, ya que parte del potencialse almacena en un campo magnético. En nuestro caso, mediante la ley de Faraday4

se obtiene una ley de Kirchhoff modificada:

4E = − dφB

dtdonde E es la fuerza electromotriz que se refiere al voltaje generado por los

cambios en el flujo magnético.

5.3. MEMRISTOR 71

m∑

k=0Vk = − dΦB

dt

donde ΦB es el flujo magnético. Como el flujo magnético generado por unacorriente es proporcional a la intensidad de la corriente (ΦB = L · I) tenemos

m∑

k=0Vk = −L dIdt .

Por conveniencia, la corriente dentro del inductor se define con signo opuestoa la corriente en el resto del circuito IL = −IM . Podemos ahora deducir el sistemade ecuaciones que buscamos.

Mediante la ley (modificada) de Kirchhoff:

VC − VM = −3 dIL

dt

y

dIL

dt = − 13VC + 1

2

(

u2 − 1)

IM = − 13VC − 1

2

(

u2 − 1)

IL.

La siguiente ecuación se deduce de la propiedad de los capacitadores Q (t) =

= CV (t) y de la definición de corriente eléctrica I (t) = dQ(t)dt (Q (t) es la carga

eléctrica que se mide en Coulombs):

I (t) = C dV (t)dt = dV (t)

dt , (C = 1 en nuestro caso).

La última ecuación que nos falta ya venía dada por el memristor:

dudt = IM − 3

5u− IMu.

Nos queda el sistema:

dV (t)dt = IL

dIL(t)dt = − 1

3VC − 12

(

u2 − 1)

ILdu(t)dt = IM − 3

5u− IMu

Y si sustituimos por derivadas fraccionarias;

DµV (t) = IL

DµIL (t) = − 13VC − 1

2

(

u2 − 1)

IL

Dµu (t) = −IL − 35u− +ILu

5.3. MEMRISTOR 72

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

I

Vc

MEMRISTOR mu=0.965 c.i Vc=1, I=0, u=2

fig.13

Para µ = 0,965 el sistema presenta dinámica caótica. Las figuras 13 y 14 se hanobtenido con los datos que genera el programa del apéndice 5.

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

u

Vc

MEMRISTOR mu=0.965 c.i Vc=1, I=0, u=2

fig.14

5.3. MEMRISTOR 73

Los circuitos llamados ‘Chua’, son versiones más complicadas pero con la mismaidea del anterior. Por ejemplo, para el circuito de la figura 15 se obtiene el siguientesistema de ecuaciones:

DµV1 (t) = 10 [V1 (t) − V1 (t) + 1,5V1 (t) −W (u)V1 (t)]

DµV2 (t) = V1 (t) − V2 (t) + IL (t)

DµIL (t) = −13V (t) − 0,1IL (t)

Dµu (t) = V1 (t)

donde

W (u) = 0,3 u > 0

W (u) = 0,8 u ≤ 0

Utilizando el mismo ‘solver’ programado se ha integrado este circuito obtenién-dose el atractor doble de la figura 16.

La dinámica caótica de estos circuitos, tiene como posible aplicación el diseñode un método criptográfico [20], donde la clave de encriptación sería el orden delsistema µ. Cada ecuación del sistema tendría un valor diferente, y debido a quela no localidad del operador diferintegral hace costosa la integración, sería muycomplicado un ataque de fuerza bruta. Obviamente los circuitos que se utilizaríanen criptografía serían más complejos dando lugar a sistemas de muchas ecuaciones.

R(u)

C1 C2

L

V1 V2RL

R

RG

fig.15 Circuito Chua

5.3. MEMRISTOR 74

V1u

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

I

CHUA mu=0.97 c.i V1=0.8, V2=0.05, I=0.007, u=0.6

-8-6

-4-2

0 2

4 6

8

-3-2

-1 0

1 2

3

I

fig.16 Atractor Doble Chua

Apéndices

1. Funciones Trascendentes Especiales

1.1 Funciones Gamma, Beta y Digamma. En este apéndice se encuentran al-gunas definiciones de funciones trascendentes especiales, y las propiedades de és-tas que se han utilizado durante las demostraciones y ejemplos. Son trascendentesporque no pueden expresarse como suma finita de funciones algebraicas, y se lasllama especiales porque están estudiadas y tiene nombre propio. En general, cuan-do realizamos integración fraccionaria llegamos a expresiones trascendentes. Por lotanto, lo conveniente es poder expresar las soluciones en términos de éstas funcionesespeciales para las cuales ya se conocen una serie de propiedades que nos son útiles.

fig.17 Función Γ sobre el plano complejo.

Definición Γ: Sea z ∈ C tal que Re (z) > 0. Definimos Γ (z) =∞

0e−ttz−1dt a

la que llamamos función gamma.

Propiedad G1: Γ (1) = 1. Se deduce al evaluar la integral de forma directa,∞

0e−tdt = −e−t∣

∣

∞0 = 1.

Propiedad G2: Γ (z + 1) = zΓ (z) para Re (z) > 0.Para demostrar la propiedad basta con integrar la expresión de la definición

por partes,

Γ (z + 1) =∞

0e−ttzdt = −e−ttz

∣

∣

∞0 + z

∞

0e−ttz−1dt = 0 + zΓ (z).

Nótese que de las dos propiedades anteriores se deduce que la función gammaes en efecto una generalización del factorial, Γ(n) = (n− 1)! para n ∈ N ∪ 0.

75

1. FUNCIONES TRASCENDENTES ESPECIALES 76

La definición que estamos utilizando de función Γ, que es la que Euler diooriginalmente, sólo acepta valores que cumplan Re (z) > 0. En varias partes de esteproyecto se utiliza que Γ (−n) = ±∞ para n ∈ N. Esto proviene de una definición

más general: 1Γ(z) = zeγz

∞∏

k=1

(

1 + zk

)−z/k.

Se ha evitado esta otra definición ya que nos lleva a expresiones más difícilesde manipular en nuestro caso. Pero podemos extender la definición de Euler a todoel plano complejo salvo z ∈ Z

− ∪ 0 utilizando la propiedad G2;Si −1 < Re (z) < 0 entonces Re (z + 1) > 0 y definimos Γ (z) = Γ(z+1)

z(siempre que z 6= 0). Y esta última expresión es legal evaluarla con la defini-ción. Análogamente si −2 < Re (z) < −1 entonces Γ (z + 2) = (z + 1) Γ (z + 1)

y Γ (z + 2) = Γ(z)(z+1)z . Por un razonamiento inductivo es claro que podemos calcular

Γ (z) para todo complejo exceptuando z = 0,−1,−2... que son polos simples de lafunción gamma. Y esto también extiende la propiedad G2 a todo el plano complejosalvo los polos.5

La pregunta es por qué escogemos esta función de entre todas las funciones quesatisfacen:

1. Γ (1) = 1

2. Γ (z + 1) = zΓ (z) para Re (z) > 0.La respuesta es que por el teorema de Bohr-Mollerup, f (z) = Γ (z) es la única

función que satisface además:3. z → log f (z) es convexa.

Esta última propiedad es útil para demostrar algunas propiedades de la funcióngamma.

Propiedad G3: Γ (z + n) Γ (−z − n+ 1) = (−1)n Γ (z) Γ (1 − z), ∀z ∈ C y∀n ∈ N.Para demostrar esta propiedad observamos que, por la propiedad G2,

Γ (z + n) = (z + n− 1) (z + n− 2) · · · zΓ (z) yΓ (1 − z) = (1 − z − 1) (1 − z − 2) · · · (1 − z − n) Γ (1 − z − n),

y del producto de ambas expresiones resulta G3.

Γ (−3/2) = 4/3√π Γ (1) = 1

Γ (−1) = ±∞ Γ (3/2) = 1/2√π

Γ (−1/2) = −2√π Γ (2) = 1

Γ (0) = ±∞ Γ (5/2) = 3/4√π

Γ (1/2) =√π Γ (3) = 2

Tabla.1 Valores función Γ

Propiedad G4 (Fórmula de reflexión):

Γ (z) Γ (1 − z) = πsinπz .

5En concreto hemos visto que la función gamma es meromorfa en todo el plano complejo.


Introducimos también algo de notación. Por analogía con la notación que uti-lizamos para los números combinatorios

(

nm

)

= n!m!(n−m) , escribiremos

(−νζ

)

= Γ(1−ν)Γ(1+ζ)Γ(1−ν−ζ) con ν, ζ ∈ R, ν > 0 y ζ > 0.

Y observamos que si ζ = n ∈ N,(−νn

)

= Γ(1−ν)n!Γ(1−ν−n) . Aplicando a esta expresión

la propiedad G3 se sigue;

Propiedad G5:(−νn

)

= (−1)n Γ(ν+n)n!Γ(ν) = (−1)

n (

ν+n−1n

)

.

Definición B: Sea Re (x) > 0, Re (y) > 0. Definimos

B (x, y) =1

0tx−1 (1 − t)

y−1dt

a la que llamaremos función beta.

Propiedad G6: B(x, y) = B(y, x).La demostración se sigue de la definición y de hacer el cambio de variables

t = 1 − s

B(x, y) =1

0tx−1 (1 − t)y−1 dt = −

0

1(1 − s)x−1 sy−1dt =

=1

0sy−1 (1 − s)

x−1dt = B(y, x).

Propiedad G7: B (x, y) = Γ(x)Γ(y)Γ(x+y) , Re (x) > 0, Re (y) > 0.

demostración:A partir de la definición,

Γ (x) Γ (y) =∞

0e−ttx−1dt

∞

0e−ssy−1ds =

∞

0

∞

0e−(t+s)tx−1sy−1dt ds.

Hacemos ahora el cambio de variables t = uv y s = u (1 − v) a esta integraldoble,

∂(t,s)∂(u,v) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v u

1 − v −u

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −u

Γ (x) Γ (y) =1

0

∞

0e−uux−1vx−1uy−1 (1 − v)

y−1u du dv =

=∞

0e−uux+y−1du

1

0vx−1 (1 − v)

y−1dv = Γ (x+ 1)B (x, y).

Definición ψ: Llamamos función digamma a ψ (z) = D log Γ (z) = 1Γ(z)D (Γ (z)),

z 6= 0,−1,−2...


Propiedad G8: La función digamma puede expresarse como una serie infinita;

ψ (z + 1) = −γ +∞∑

k=1

zk(z+k) .

Propiedad G9: ψ (z + n) = ψ (z) +n−1∑

k=0

1z+k , n ∈ N, z 6= 0,−1,−2...

demostración:

ψ (z + 1) = ddz log (Γ (z + 1)) = d

dz log (zΓ (z)) =

= ddz log (z) + d

dz log (Γ (z)) = 1z + ψ (z)

y de aplicar recursivamente esta igualdad se obtiene la propiedad.

A partir de una de las expresiones integrales de la constante de Euler-Mascheroni6

γ = −∞

0log (t) e−t dt = 0,5572156649 podemos deducir ψ (1) = −γ:

Γ (1) = 1 y DΓ (z) = ddz

∞

0tz−1e−t dt =

∞

0

∂∂z t

z−1e−t dt =∞

0log (t) tz−1e−t dt,

se sigue DΓ (1) = −γ y ψ (1) = −γ.

ψ(

32

)

= 2 − γ − ln t

ψ (1) = −γψ (1/2) = −γ − ln4

ψ (1/3) = − π2

√3

− 32 ln 3 − γ

ψ (1/4) = −π2 − 3 ln 2 − γ

Tabla.2 Valores función ψ

Propiedad G10: Si m ∈ N y x > − (m+ 1)

ψ (x+ 1) − ψ (x+ 1 +m) =m∑

k=1

(−1)km!Γ(x+1)k(m−k)!Γ(x+1+k) .

1.2 Funciones Gamma y Beta Incompletas. Existen dos generalizaciones rela-cionadas de la función gamma y beta que son útiles en el cálculo fraccional.

Definición γ: La función gamma incompleta es

γ (ν, z) =z

0tν−1e−tdt, Re (t) > 0.

Nosotros utilizaremos una versión alternativa de la definición anterior que es

más conveniente; γ∗ (ν, z) = 1Γ(ν)zν

z

0tν−1e−tdt.

Lo interesante de esta función es que se puede expresar como una serie infinita,lo que nos permite simplificar resultados obtenidos mediante la integral de Riemann-Lioville en algunos casos.

6γ = lımm→∞

11

+ 12

+ · · · + 1m

− lnm

= 0,5572156649


Propiedad GI: γ∗ (ν, z) = e−z∞∑

k=0

zk

Γ(ν+k+1) .

Definición Bτ : Función beta incompleta

Bτ (x, y) =τ

0tx−1 (1 − t)

y−1dt, 0 < τ < 1.

Y esta última también se puede expresar como una serie de infinita.

Propiedad BI: Bτ (x, y) = τx

Γ(1−y)

∞∑

n=0

Γ(1−y+n)n!(x+n) τ

n.

2. TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES FRACCIONARIAS 80

2. Tabla de Derivadas e Integrales Fraccionarias

f (t) D−νf (t) con ν > 0 Dµf (t) con µ > 0

tλ, λ > −1 Γ(λ+1)Γ(λ+ν+1)

tλ+ν Γ(λ+1)Γ(λ−µ+1)

tλ−µ

(t − a)λ, λ > −1 (t−a)λ+ν

Γ(ν)B t

t−a(ν, λ + 1) (t−a)λ−µ

Γ(−µ)B t

t−a(−µ, λ + 1)

(a − t)λ, λ > −1 (a−t)ν+t

Γ(ν)B t

a(ν,−λ− ν) (a−t)−µ+t

Γ(−µ)B t

a(−µ,−λ+ µ)

t · f (t) tD−νf (t) − νD−ν−1f (t) tDµf (t) + µDf (t)

eat Et (ν, a) = tν∞∑

k=0

(at)k

Γ(ν+k+1)Et (−µ, a) = t−µ

∞∑

k=0

(at)k

Γ(−µ+k+1)

teat tEt (ν, a) − νEt (ν + 1, a) tEt (−µ, a) + µEt (−µ+ 1, a)

sin at St (ν, a) = tν∞∑

j=0

(−1)j (at)2j+1

Γ(ν+2j+2)St (−µ, a) = t−µ

∞∑

j=0

(−1)j (at)2j+1

Γ(−µ+2j+2)

t sin at tSt (ν, a) − νSt (ν + 1, a) tSt (−µ, a) + µSt (−µ+ 1, a)

sin2 at tν

2Γ(ν+1)− 1

2Ct (ν, 2a) = a2St (ν + 1, 2a) tν

2Γ(−µ+1)− 1

2Ct (−µ, 2a) = a2St (−µ+ 1, 2a)

cos at Ct (ν, a) = tν∞∑

j=0

(−1)j (at)2j

Γ(ν+2j+1)Ct (−µ, a) = t−µ

∞∑

j=0

(−1)j (at)2j

Γ(−µ+2j+1)

t cosat tCt (ν, a) − νCt (ν + 1, a) tCt (−µ, a) + µCt (−µ+ 1, a)

cos2 at tν

2Γ(ν+1)+ 1

2Ct (ν, 2a) tν

2Γ(−µ+1)+ 1

2Ct (−µ, 2a)

ln t tν

Γ (ν + 1)[ln t− γ − ψ (ν + 1)] tν

Γ (−ν + 1)[ln t− γ − ψ (−ν + 1)]

tλ ln t, λ > −1 Γ(λ+1)tλ+ν

Γ(ν+λ+1)[ln t+ ψ (λ + 1) − ψ (λ + ν + 1)] Γ(λ+1)tλ−µ

Γ(ν−µ+1)[ln t+ ψ (λ + 1) − ψ (λ − µ+ 1)]

Tabla.3 Derivadas e integrales fraccionarias

3. TABLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 81

3. Tablas de la Transformada de Laplace

f (t) F (s) = L f (s)

tµΓ(µ+1)

sµ+1 para µ > −1

eat 1s−a

tµeat Γ(µ+1)

(s−a)µ+1 para µ > −1

sinat as2+a2

cos at ss2+a2

sin (at+ b) s sin(b)+a cos b

s2+a2

eat sin bt b

(s−a)2+b2

eat cos bt s−a

(s−a)2+b2

cos (at+ b) s cos(b)+a sin b

s2+a2

Df (t) sF (s) − f (0), donde F (s) = L f (s)

Dnf (t) snF (s) − sn−1f (0) − sn−2Df (0) · · · −Dn−1f (0)

tnf (t) (−1)nDnF (s)

t

0

f (t − ξ) g (ξ) dξ F (s)G (s)

δ (t− a)

e−as a > 0

0 a < 0

1 a = 0

f (ct) 1cF

(

sc

)

Tabla.4 Transformada de Laplace

D−νf (t) L

D−νf (s)

, ν > 0

D−νf (t)F (s)

sν , donde F (s) = L f (s)

D−νtµΓ(µ+1)

sµ+ν+1 , µ > −1

D−νeat 1sν (s−a)

ν > −1

D−νtµeat Γ(µ+1)

sν (s−a)µ+1 , ν > −1

Ct (ν, a) 1sν−1(s2+a2)

St (ν, a) 1sν(s2+a2)

D−ν [Df (t)]sF (s)−f(0)

sν

tEt (ν, a) − νEt (ν + 1, a) 1sν (s−a)2 con ν > −2

Tabla.5 Transformada de Laplace de integrales fraccionarias

4. OTRAS FÓRMULAS 82

f (t) L Dµf (s), µ > 0

Dµf (t) sµF (s) −m−1∑

k=0

sm−k−1Dk−m+µf (0) donde m = ⌈µ⌉

Dµf (t) m = ⌈µ⌉ = 1 sµF (s) −D−(1−µ)f (0)

Dµf (t) m = ⌈µ⌉ = 2 sµF (s) − sD−(2−µ)f (0) −D−(1−µ)f (0)

Dµf (t), λ− µ > 0 sµF (s)

Et(

−1/2, α2)

+ αEt(

0, α2)

1s1/2−α

Dµ∗ f (t) sµF (s) −

m∑

k=1

sµ−kDk−1f (0) donde m = ⌈µ⌉

Tabla.6 Transformada de Laplace de derivadas fraccionarias

4. Otras Fórmulas

ν > 0, µ > 0 Fórmula Recursión Fórmula de Diferenciación

f (t) = eat aEt (ν + 1, a) = Et (ν, a) − tν

Γ(ν+1)DµEt (ν, a) = Et (ν − µ, a)

f (t) = sin at aCt (ν + 1, a) = St (ν, a) DµSt (ν, a) = St (ν − µ, a)

f (t) = cos at −aSt (ν + 1, a) = Ct (ν, a) − tν

Γ(ν+1)DµCt (ν, a) = Ct (ν − µ, a)

Tabla.7 Fórmulas de recursión y diferenciación

Hipótesis ν > 0, p ∈ N Fórmula Teorema

2a f continua en [0, X] Df ∈C D−ν−1 [Df (t)] = D−vf (t) − f(0)Γ(ν+1)

tν

2b Df continua en [0, X] D[

D−νf (t)]

= D−ν [Df (t)] + f(0)Γ(ν)

tν−1

3a Dp−1f continua en [0, X],Dpf ∈C D−ν−p [Dpf (t)] = D−νf (t) −p−1∑

k=0

tν+k

Γ(ν+k+1)Dkf (0)

3b Dpf continua en [0,X] Dp[

D−νf (t)]

= D−ν [Dpf (t)] +p−1∑

k=0

tν−p+k

Γ(ν−p+k+1)Dkf (0)

3c r ∈ R, r > 0 y u ∈ N. Dr [Duf (t)] =Dr+uf (t)

Tabla.8 Teoremas 2 y 3

Fórmula general yj (t) =n

∑

m=1

P ′ (αm)−1q−1∑

k=0

αqj−k−1m Et (−kµ, αq

m)

Fórmula caso N = nµ yj (t) =n

∑

m=1

P ′ (αm)−1q−1∑

k=0

αq(j+1)−k−1m Et (1 − kµ, αq

m)

, j = 1, . . . , N − 1

yN (t) =n

∑

m=1

P ′ (αm)−1q−1∑

k=0

αq(N+1)−k−1m Et (1 − kµ, αq

m)

+ 1, si j = N

Tabla.9 Fórmulas Soluciones Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas.

5. CÓDIGO EN C DEL SOLVER 83

5. Código en C del Solver

Esta es la implementación del método Adams-Bashforth-Moulton fraccionarioque se ha descrito en la sección 4.2 y se programado para integrar la aplicación delMemristor 5.3. La parte del código que corresponde al cálculo del logaritmo de lafunción gamma proviene de [19]. En particular el predictor-corrector funciona conun esquema de ‘cheque en blanco’, que itera el corrector hasta que la diferenciaentre un paso y el siguiente alcanza la tolerancia especificada en la variable TOL.El programa se puede utilizar para integrar otras funciones cambiando la funciónmemristor por la función deseada, y especificando la constante de integración ν ∈(0, 1).

El programa genera un archivo de datos memristor.dat que contiene trescolumnas de números que corresponden a las tres variables del sistema. Las figu-ras del texto se han obtenido utilizando este archivo con gnuplot.

#inc lude <math . h>#inc lude <s t d i o . h>#d e f i n e s tep ( double ) ( 1 / 8 0 . 0 )#d e f i n e t_in i ( double ) 0 . 0 // tiempo i n i c i a l#d e f i n e t_f in ( double ) 3500 .0 // tiempo f i n a l#d e f i n e nu ( double ) 0 .965 // c o e f i c i e n t e de l operador d i f e r i n t e g r a l#d e f i n e TOL ( double )1E−12

/∗ cond i c i one s i n i c i a l e s ∗/#d e f i n e x_ini ( double ) 1 . 0#d e f i n e y_ini ( double ) 0 . 0#d e f i n e z_in i ( double ) 2 . 0/∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗/// d e f i n i c i ó n vec to rs t r u c t vec

double x ;double y ;double z ;

;// func ion suma de v e c t o r e ss t r u c t vec vecAdd ( s t r u c t vec v , s t r u c t vec w)

s t r u c t vec temp ;temp . x=v . x+w. x ; temp . y=v . y+w. y ; temp . z=v . z+w. z ;r e turn temp ;

;// producto vec to r por e s c a l a rs t r u c t vec vecSc ( double l , s t r u c t vec v )

s t r u c t vec temp ;temp . x=l ∗v . x ; temp . y=l ∗v . y ; temp . z=l ∗v . z ;r e turn temp ;

;//Función que c a l c u l a l a norma de l a d i f e r e n c i a de dos v e c t o r e s


double normDiff ( s t r u c t vec v , s t r u c t vec w)return s q r t (pow ( ( v . x−w. x ) , 2 . 0 )

+pow ( ( v . y−w. y ) ,2 .0 )+pow ( ( v . z−w. z ) , 2 . 0 ) ) ;//Función que i n t e g r a e l métodos t r u c t vec memristor ( s t r u c t vec v )

s t r u c t vec temp ;temp . x=v . y ;temp . y=−1/3.0∗(v . x+3/2.0∗(pow( v . z ,2) −1)∗v . y ) ;temp . z=−v . y−3/5.0∗v . z+v . y∗v . z ;r e turn temp ; ;

/∗ Rutina que c a l c u l a e l logr i tmo na tura l de l a func ión gamma ∗/double gammaLn( double xx )

double x , y , tmp , s e r ;s t a t i c double co f [6 ]=76 .18009172947146 , −86.50532032941677,

24 .01409824083091 , −1.231739572450155,0 .1208650973866179e −2, −0.5395239384953e −5;

i n t j ;y=x=xx ;tmp=x +5.5 ;tmp −= ( x+0.5)∗ l o g (tmp ) ;s e r =1.000000000190015;f o r ( j =0; j <=5; j++) s e r+=co f [ j ]/++y ;return −tmp+log (2 .5066282746310005∗ s e r /x ) ;

// func ión gammadouble gam( double xx )

return exp (gammaLn( xx ) ) ; ;

/∗∗∗∗∗ADAMS−BASHFORTH−MOULTON FRACCIONARIO∗∗∗∗∗∗∗∗∗/i n t main ( void )

double t=t_in i ;double h=step ;i n t m=c e i l (nu ) ;long i n t N=( i n t ) ( ( t_fin−t_in i )/ s tep ) ;i n t k , j ; // contadoresFILE ∗ f i l e ;f i l e=fopen ( " memristor . dat " , "w" ) ;f p r i n t f ( f i l e ,"# datos memristor X Y Z\n " ) ;double a [N+1] ;double b [N+1] ;// Array para guardar todos l o s puntos a n t e r i o r e ss t r u c t vec Y[N+1] ;


Y [ 0 ] . x=x_ini ; Y [ 0 ] . y=y_ini ; Y [ 0 ] . z=z_in i ;// cargamos cond i c i one s i n i c i a l e ss t r u c t vec y=x_ini , y_ini , z_in i ;s t r u c t vec p , temp , temp2 , temp3 ;/∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗//∗ ca lcu lamos l o s pesos de l a s cuadraturas ∗/f o r ( k=1;k<=N; k++)

a [ k]=pow( k+1.0 ,nu+1.0)−2∗pow(k , nu+1.0)+pow(k −1.0 ,nu +1.0) ;b [ k]=pow(k , nu)−pow(k−1.0 ,nu ) ;

f o r ( k=1;k<=N; k++)

/∗ Pred i c to r ∗/p=Y[ 0 ] ;temp . x=0; temp . y=0; temp . x=0;f o r ( j =0; j<k ; j++) temp=vecAdd (temp , vecSc (b [ k−j ] , memristor (Y[ j ] ) ) ) ;temp=vecSc (pow(h , nu )/gam( nu+1) ,temp ) ;temp2=p ;p=vecAdd(p , temp ) ;/∗ Corrector ∗/Y[ k]=p ;do

temp3=Y[ k ] ;temp . x=0; temp . y=0; temp . x=0;f o r ( j =1; j<k ; j++)

temp=vecAdd (temp , vecSc ( a [ k−j ] , memristor (Y[ j ] ) ) ) ;temp=vecAdd( temp , memristor (Y[ k ] ) ) ;temp=vecAdd( temp , vecSc (pow(k−1.0 ,nu+1)−

(k−1.0−nu )∗pow(k , nu ) , memristor (Y [ 0 ] ) ) ) ;temp=vecSc (pow(h , nu )/gam(nu+2) ,temp ) ;Y[ k]=vecAdd( temp , temp2 ) ;

whi l e ( normDiff (Y[ k ] , temp3)>TOL) ;f p r i n t f ( f i l e , " %.16 e %.16e %.16e\n " ,Y[ k ] . x ,Y[ k ] . y ,Y[ k ] . z ) ;

f c l o s e ( f i l e ) ;r e turn 0 ;

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7http://tutorial.math.lamar.edu

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