Grados de Libertad
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Participante: Cinthya Viridiana Rodríguez Correa
Matrícula: 11190655
Cuatrimestre: Tercero
Grupo: 302
Facilitador: Ing. Rafael Luna Antonio
Materia: Maquinas y Mecanismos
Trabajo: Investigación(grados de libertad)
Nanchital, Veracruz A 11 de junio del 2012.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL SURESTE DE VERACRUZ
Técnico Superior Universitario en Mantenimiento Industrial
Grados de libertad
El número de grados de libertad en un sistema físico se refiere al
número mínimo de números reales que es necesario especificar para
determinar completamente el estado físico. El concepto aparece en
mecánica clásica y en termodinámica.
En mecánica, por cada partícula libre del sistema y por cada dirección
en la que ésta es capaz de moverse existen dos grados de libertad,
uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad.
El número de grados de libertad de un sistema cuando existen
ligaduras entre las partículas, será el número total de variables,
menos el número de ligaduras que las relacionan.
Obsérvese que esta definición no coincide ni con la definición de
grados de libertad que se usa en ingeniería de máquinas, ni con la que
se usa en ingeniería estructural
Grados de libertad en mecánica clásica
En mecánica hamiltoniana el número de grados de libertad de un
sistema coincide con la dimensión topológica del espacio de fases del
sistema. En mecánica lagrangiana el número de grados de libertad
coincide la dimensión del fibrado tangente del espacio de
configuración del sistema.
Un conjunto de N partículas intereactuantes pero moviéndose sin
restricciones en el espacio tridimensional tiene 6N grados de libertad
(tres coordenadas de posición y tres velocidades). Si el conjunto de
partículas se mueve sobre un estado d-dimensional el número de
grados de libertad es 2d·N.
Si existen ligaduras entre las partículas el número de grados de
libertad será
Ejemplos
Partícula libre
Una sola partícula libre tiene 6 grados de libertad
Partícula obligada a moverse sobre una superficie
La superficie supone una ligadura para las posiciones, ya que debe
cumplirse
y otra para las velocidades, ya que la velocidad debe ser en todo
momento tangente a la superficie, por lo que
por tanto el número de grados de libertad es
valor que coincide con lo que se espera para un movimiento en una
variedad bidimensional.
Ejemplo: Diferentes formas de visualizar los 3 grados de libertad de
una molécula diatómica en forma de pesa. (CM: centro de masas del
sistema, T: movimiento traslacional, R: movimiento rotacional, V:
movimiento vibracional.)
Dos partículas en los extremos de una varilla
Por tener dos partículas tenemos 12 grados de libertad, pero la
condición de que la distancia entre las partículas sea fijada supone
una ligadura para sus posiciones y otra para sus velocidades, lo que
nos da
Estos grados de libertad se pueden representar por variables
diferentes (las tres coordenadas del centro de la varilla y los dos
ángulos que dan la orientación de ésta, con sus correspondientes
velocidades).
Un sólido rígido
Un sólido formado por partículas posee en principio variables.
Pero el número de ligaduras es:
o Para la primera partícula, ninguna
o Para la segunda partícula, 2 (la distancia a la primera y su
velocidad, como en el caso de dos partículas unidas por
una varilla)
o Para la tercera partícula, 4 (las distancias a las dos
primeras partículas y sus correspondientes velocidades)
o Para la cuarta y siguientes, 6, ya que una vez dada la
distancia a tres partículas, la distancia a todas las demás
está también fijada).
Por tanto el número de grados de libertad es
Que se pueden representar por seis variables (la posición del centro
de masa y los ángulos de Euler) y sus correspondientes velocidades.
En general, no todas las ligaduras pueden representarse mediante
una reducción en el número de variables (aunque sí en el número de
variables independientes). Cuando tenemos un sistema en el cual las
ligaduras no son integrables, se dice que el sistema es no holónomo.
Es importante señalar que la convención para contabilizar los grados
de libertad en ingeniería mecánica es diferente, siendo justamente la
mitad que en los casos (1) y (2).
Grados de libertad en mecánica estadística
Teorema de equipartición de la energía
Artículo principal: Teorema de equipartición.
En el límite clásico de la mecánica estadística la energía de un sistema
en equilibrio térmico con n grados de libertad cuadráticos e
independientes es:
Donde:
Es la constante de Boltzmann
Es la temperaturaEs el número de grados de libertad del sistema