1. Graduacin de una regla para medir el volumen de un lquido en un tanque cilndrico inclinado

Tanque cilndrico vertical Tanque cilndrico inclinado un ngulo

Fig. 1 Recipientes cilndricos con un volumen de lquido

Los volmenes de lquido se obtienen as:

Se busca transformar el equivalente en altura para un volumen dado, a la distancia que debe tener mojada la regla graduada que se muestra en la fig. 2 y que se usa para medir el volumen de lquido en el tanque inclinado grados.Igualando las dos ecuaciones del volumen, se tiene: Ec.1El la fig. 2 se tiene un diagrama con las relaciones geomtricas para cuando el tanque est inclinado y se encuentra con cierta cantidad de lquido. Las lneas ms gruesas representan la regla graduada y el nivel de agua.

Fig. 2 Diagrama para las relaciones trigonomtricas usadas.Para asegurarse una medida fcil, se introduce la regla graduada en el centro del tanque, de manera diagonal, desviada un ngulo respecto de la superficie del tanque, esto se logra asegurndose que la regla toque la esquina inferior. La regla se moja una distancia que debe indicar el volumen de lquido.Deben encontrarse las relaciones adecuada de tal forma que usando la Ec. 1, se obtenga una relacin de parmetros conocidos para .

Primero deben relacionarse las variables . Del tringulo rectngulo donde estn los ngulos y , se tiene: Ec.2 Luego se sustituye la Ec.2 en la Ec.1:

Ec.3

Ahora debe encontrarse una relacin entre . Del tringulo donde estn los ngulos y se tiene:

Adems: Ec. 4Luego:

Ec. 5Luego se sustituye la Ec.5 en la Ec.3: Ec. 6Se despeja para Ec. 7Esta ecuacin relaciona las distancias mojadas de la regla para un mismo volumen de lquido en un tanque cilndrico vertical y un tanque cilndrico inclinado, considerando el uso de la regla, tal como se menciona anteriormente.Usando: Se puede obtener la relacin siguiente: Ec. 8Usando la Ec. 6, Ec. 8 y la Ec. 4 es posible graduar la regla para medir volumen en un tanque cilndrico inclinado, recordando que la longitud mxima que puede mojarse la regla (ver fig. 2), es:

Graduacin de la regla.A continuacin se procede a graduar una regla para medir el volumen de lquido en un tanque inclinado de y , con una inclinacin de .

Primero: Ec. 4

La longitud mxima que puede mojarse la regla (ver fig. 2), es:

La altura correspondiente para ese volumen en un tanque vertical, es: Ec. 6Se observa que , lo cual indica que el tanque cuando est inclinado no puede almacenar el mismo volumen de lquido que cuando est vertical, esto debido a la inclinacin .

Se procede a encontrar que volumen puede almacenar como mximo el tanque inclinado, sin que el lquido se derrame:El volumen mximo que puede contener el tanque de forma vertical, es: El volumen mximo que puede contener el tanque de forma inclinado, es: Se nota que son menos los que puede almacenar. Para no estar en una condicin limite, se recomienda llenar el tanque inclinado, con .

Usando: Ec. 8Se obtienen las distancias a marcar en la regla para los volmenes dados, comenzando desde hasta , a intervalos de .Los resultados se muestran en la tabla 1Tabla 1. Valores para la regla de medicin inclinada en un tanque cilndrico inclinadoVolumen Volumen Distancia en la regla (Distancia en la regla Volumen Volumen Distancia en la regla (Distancia en la regla

10,003790,0424,240,015140,110

20,007570,0616,150,018930,11911,9

30,011360,08860,022710,13913,9

70,02650,15815,8290,109780,58658,6

80,030280,17817,8300,113560,60560,5

90,034070,19719,7310,117350,62562,5

100,037850,21721,7320,121130,64464,4

110,041640,23623,6330,124920,66466,4

120,045430,25525,5340,128710,68368,3

130,049210,27527,5350,132490,70370,3

140,0530,29429,4360,136280,72272,2

150,056780,31431,4370,140060,74274,2

160,060570,33333,3380,143850,76176,1

170,064350,35335,3390,147630,7878

180,068140,37237,2400,151420,880

190,071920,39239,2410,15520,81981,9

200,075710,41141,1420,158990,83983,9

210,079490,4343430,162770,85885,8

220,083280,4545440,166560,87887,8

230,087070,46946,9450,170340,89789,7

240,090850,48948,9460,174130,91791,7

250,094640,50850,8470,177920,93693,6

260,098420,52852,8480,18170,95595,5

270,102210,54754,7490,185490,97597,5

280,105990,56756,7500,189270,99499,4

La regla debe medir ms de , en este caso se toma .Hasta aqu se ha trabajo con la idea de que la regla para medir se introduzca en el centro del tanque y que toque la esquina inferior del fondo. Si se desea medir el volumen de modo que la regla permanezca vertical siempre, se debe modificar su graduacin.Del tringulo entre el eje vertical, la regla y el nivel de agua, se tiene que: Entre el eje vertical, el eje del cilindro y su base, se forma un tringulo de modo que y con , resulta una relacin entre y . Ec. 9

Tabla 2. Valores para la regla de medicin vertical en un tanque cilndrico inclinadoVolumen Distancia en la regla para medicin inclinada Distancia en la regla para medicin vertical Volumen Distancia en la regla para medicin inclinada Distancia en la regla para medicin vertical

14,22,72652,850,7

26,14,62754,752,6

38,06,52856,754,5

410,08,42958,656,4

511,910,43060,558,4

613,912,33162,560,3

715,814,23264,462,2

817,816,13366,464,1

919,718,03468,366,1

1021,720,03570,368,0

1123,621,93672,269,9

1225,523,83774,271,8

1327,525,73876,173,7

1429,427,63978,075,7

1531,429,64080,077,6

1633,331,54181,979,5

1735,333,44283,981,4

1837,235,34385,883,3

1939,237,24487,885,3

2041,139,24589,787,2

2143,041,14691,789,1

2245,043,04793,691,0

2346,944,94895,592,9

2448,946,84997,594,9

2550,848,85099,496,8

2. Graduacin de una regla para medir el volumen de un lquido en un tanque cilndrico horizontal

Fig. 3 Tanque cilndrico horizontal.La solucin se encuentra por integracin. En la fig. 4 se muestran los detalles.

Fig. 4 Esquema para la integracin.

Se tiene de donde:

Con la frmula:

El volumen es:

Ec.10

Graduacin de la regla.A continuacin se procede a graduar una regla para medir el volumen de lquido en un tanque horizontal de y . Ghjfgjgfjgfjfgjgfjgfj3. Graduacin de una regla para medir el volumen de un lquido en un tanque cilndrico horizontal inclinado

Fig. 5 Tanque cilndrico horizontal inclinado.

Caso 1: cuando el nivel de lquido no ha alcanzado la tapa superior, que est a la derecha en la fig. 5

Fig. 6 Esquema para el caso 1.

El volumen del lquido toma la forma de una cua de un cilindro mientras y tambin se cumple que .De la fig. 6 se tiene: Ec. 11Tambin: Ec. 12Luego: Ec. 13

El volumen para una cua de un cilindro, es: sustituyendo Ec. 11 sustituyendo Ec. 13 Ec. 14La Ec. 14 es vlida para encontrar la distancia mojada en la regla de medicin hasta que y por lo tanto . En este caso La Ec. 14 es vlida para

Caso 2: cuando el nivel de lquido alcanza la tapa superior, que est a la derecha en la fig. 5En este caso el volumen se encuentra por medio de una integral triple.

Fig. 7 Esquema para el caso 2.Se tiene para el volumen:

Donde para lo anterior se consideran un sistema coordenado tridimensional que no se muestra, con el origen en el centro de la tapa inferior y la coordenada z a lo largo de su eje.Integrando:

Usando de tablas de integrales y

Y simplificando: Ec. 16Ahora se necesita una relacin entre y, para que dado un volumen, pueda calcularse la distancia mojada sobre la regla de medicin.De la fig. 7 se tiene: Y tambin:

Ec. 17 Esta expresin es vlida para

Caso 3: cuando el nivel de lquido cubre completamente la tapa inferior, que est a la izquierda en la fig. 5

Fig. 8 Esquema para el caso 3.

Este caso es similar el caso 1. En este caso es el volumen de aire el que tiene forma de cua de cilindro. Aqu se encuentra el volumen de lquido de la siguiente manera: Ec. 19De manera anloga como en el caso 1, se tiene: y Ec. 20Sustituyendo estas en Ec. 19 Despejando: Ec. 21

La Ec. 21 es vlida para

anexo

Caso 2: cuando el nivel de lquido alcanza la tapa superior, que est a la derecha en la fig. 5En este caso el volumen del lquido adopta la forma de medio cono truncado.

Fig. 7 Esquema para el caso 2.

De la fig. 7, se expresa la mitad del volumen de un cono truncado:

Ec. 15Donde Ec. 16

Ahora se necesita una relacin entre y, para que dado un volumen, pueda calcularse la distancia mojada sobre la regla de medicin.De la fig. 7 se tiene: Ec. 17Ec. 17 en la Ec. 15 Despejando:

Aplicando la frmula cuadrtica: Ec. 18Esta expresin es vlida para