Grafica de Funciones Para Aduni 2015
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7/24/2019 Grafica de Funciones Para Aduni 2015
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GRFICA DEFUNCIONES
II
GRFICA DEFUNCIONES
II
-
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5) FUNCIN CUADRTICA
5) FUNCIN CUADRTICARegla de correspondencia
f!) " a!#+$!+c% a&
Represen'aci(n grficaS* grfica es *na c*r+a ,*e se le lla-a ./AR0O1A2 donde3
X
Y
&
a > &
CNCA4A ACIA ARRI0A6
47RTICE
&%c)
c
X
Y
&
a < &
CNCA4A ACIA A0A8O6
47RTICE
&%c)c
-
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9C(-o :allar las coordenadas del +;r'ice en *naf*nci(n c*adr'ica? For-a
CO@/1ETANDO CUADRADOSToda f*nci(n f!) " a!#+$!+c sep*ede co-ple'ar c*adrados red*ci;ndosea la for-a f!) " a!B:)#+= donde3:%=) son las coordenadas 47RTICE6
f!) " !#B!" !#B!B
" !B#)#5
alle las coordenadas del +;r'ice enla sig*ien'e f*nci(n6
47RTICE #%5)
#? For-a
/OR SUS RACESToda f*nci(n f!) " a!#+$!+c'iene # races !> !#) donde3
/orCardano
f!) " !#B!
47RTICE #%5)
En'onces para f*nci(n
> #! D!
: "#
B$
a: "#
B$: "
#a= " f:)
BBC): "
#>)"#
= " f#) #" #) B#) " 5
-
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A:ora sea la discri-inan'e co-o H"$#Bac ade-s !> !#son las races de la f*nci(n f!) " a!#$!c donde 'ene-os3
X
Y
&!> !#
Si a> 0
!>%&) !#%&)
Donde s* grafica podra ser3
Si a< 0
X
Y
0 x1 x2
!>%&) !#%&)
X
Y
& !>"!#
a> 0
Donde s* grafica podra ser3
X
Y
& !>"!#
a < &
1 2 1 2Si >0 x , x R x x
1 2 1 2Si =0 x , x R x =x
-
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X
Y
0
a> &
X
Y
&
a< &
Donde s* grafica podraser3
/ara 'ener *n grfico apro!i-adode *na f*nci(n c*adr'ica sers*ficien'e con conocer3
O0SER4ACIN
1a conca+idad de la par$ola6 1a coordenada del +;r'ice
.:%=)26 El ';r-ino independien'e de la
f*nci(n c*o par ordenado es.&%c)26
/ero 'a-$i;n se p*ede*'iliJar las races de laf*nci(n para el $os,*eKoes$oce diseLo o grfica dela f*nci(n6
1 2Si 0 x , x R
-
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#%M)
X
Y
&
&%)
#
M
f
E8E@/1OS
>6 Es$oce la f*nci(n f!) " !#B!Resol*ci(n1a f*nci(n es c(nca+a :acia arri$a por,*e a">>&Co-ple'ando c*adrados en f!) " !#B!"
El p*n'o de cor'e con el eKe .2 ser &%)6
?o
? " #%M)
!#B!M " !B#)#M6Recordar ,*e f!) " a!B:)#+= donde s* +;r'ice ser3 #%M)
V
&%)
>
Grficamente se tiene:
-
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7/36P
& #
8
g
B -1
&%Q)
B%&) #%&)
B>%)/ero 'a-$i;n se p*ede *'iliJarlas races de la f*nci(n para el$os,*eKo en es'e eKe-plo son3
!>"B !#"# por,*e a -sp*n'os conocidos -eKor ser elgrfico6
#6 Grafi,*e la f*nci(n g!) " B!#B#!QResol*ci(n
1a f*nci(n es c(nca+a :acia a$aKo por,*e a"B>
-
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P
B
B> #
Dada la grfica de la f*nci(n f!) " a!#$!c6
Resol*ci(nc " B
T;r-inoIndependien'e
de f!)
f!)"a!#
$!B
f#)"&
fB>)"&
f#)"a##$#B " &fB>)"aB>)#$B>)B"&
a#$B"&aB$B"&
#a$B# " &a$B " &
MaB " &
a " # $"B#a$c " B
De'er-ine el +alor de a$c
E8ERCICIO
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De'er-ine la grafica de laf*nci(n
Resol*ci(nGraficando cada *na de las s*$reglas de correspondencia
-edian'e s*s races6
f!) "
!#B!Q % ! > #
B!#% ! < >
!# B ! Q " &!!
B#B
!#)!B) " &
!# " & + ! " &! " # + ! "
B !# " B!)#!) " &
! " # + ! " B#
X
Y
B# #
X
Y
# >
fM
!#B!QB!#
!#B!Q % ! > # B!#% ! < >/ero
B#
E8ERCICIO
-
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GRFICA DE FUNCIONES /O1IN@O@IA1ESSEGN SUS RACESGRFICA DE FUNCIONES /O1IN@O@IA1ESSEGN SUS RACES
f!) " a!B!>)!B!#)!B!M)Si a>&
X
Y
!>
!#
!M
Si a !# !M
El +alor de = se p*ede conocer e+al*ando a la f*nci(n en CERO
es decir f&)6
NOTANOTA
= =
Donde !>!# !M son las racesde la f*nci(n6
-
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f!) " a!B!>)#n!B!#)
#->!B!M)#p>
Si a>&
X
Y
!> !# !M
Si a!# !M
El +alor de = se p*ede conocer e+al*ando a la f*nci(n en CERO
es decir f&)6
NOTANOTA
= =
Donde !>!# !M son las races de la f*nci(n ade-s !> se
repi'e *na can'idad par de +eces -ien'ras ,*e !# !M serepi'en *na can'idad i-par de +eces6
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Y
X
Y
X2-3
Y
X1 5
Y
X5
3
2
4
0
0
0
0
CASOS ES/ECIA1ES>) f!)" ! #) g!)"B !
M) :!) " B! C) K!) " B B!
!
- !
-!
- -!
5) F!) " !B#
!B#
T) G!) " !D M
!DM
N) !) " B !B #
B !B#
Q) 8!) " B !D M
B !DM
E) f!) " >B!
>B!
>&) g!) " 5B!
>>) :!) "B >B!
B >B!
>#) K!) "B 5B!
5B!
B 5B!
>M) f!) " !B 5 D M
>C) g!) " # B ! D C
!B5M#B!
-
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Indi,*e la grfica de la f*nci(n
Resol*ci(n
Graficando
& X
Y
B
>
En el planoCARTESIANO
E8ERCICIO/ ! !DC D>( ) =
>? ! !
#? !DC
!DC
M? ! D C D>
!DCD>
-
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Dada la f*nci(n
Resol*ci(n
c*a grafica se -*es'ra a
con'in*aci(n para 'odo ! Do-f)6
Indi,*e la ec*aci(n de la rec'a,*e pasa por / X6
En la grfica
>
M
#
/iden la ec*aci(n de la rec'a ,*e
pasa por los p*n'os / X6Es decir la f*nci(n lineal
f!)"a!$ O "a!$Co-o >%>) f
Ree-plaJando en"a!$
/or#)
# " !>
E8ERCICIOf ! !B>D>( ) =
Tan "a
+>>" 6> $#>"$
#+
> >I" !
# #
# >" "
C #
-
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E8ERCICIODada la sig*ien'e grfica calc*le elrea de la regi(n so-$reada si
f
Resol*ci(n
a 5%a)
n%M)
f
5%a) ff5) "a
# #
n%M) ffn) "M
>&5
rea "56# ">&
f ! !B>( ) = 5B> a=
# a=
nB> M=
n >&=
nB> E=
-
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Se -*es'ran las grficas delas f*nciones f g :3
alle el +alor del rea de laregi(n so-$reada
Resol*ci(n
allando *n e,*i+alen'e al reaso-$reada
X
Y
>
>B>
B>
:
g
M
3 >5*#
/RO01E@A >#
M!) "f !
>6>
#
-
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E8ERCICIODe'er-ine la grafica apro!i-adade la f*nci(n .:2 c*a regla decorrespondencia es
Resol*ci(n Y
XM>[M
Y
XM
Uniendo las graficas o$'enidosY
XM>[M
:!)"
>! M
!%
Asn'o'a
4er'ical
Asn'o'a
oriJon'al
Asn'o'a
oriJon'al
Asn'o'a
4er'ical
Asn'o'a
oriJon'al
>:!)
! DC"
>f!) DM
!"
>g!) B5
!"
>:!) D>
!B#"
-
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O0SER4ACIN
Y
X&
Represen'aci(n grfica
Asn'o'aoriJon'al
Asn'o'a4er'ical
Grafi,*e
Y
X
Asn'o'a +er'ical#!> " &
Asn'o'a :oriJon'al
Graficando
a!D$f!)"
c!Dd
dc
B
a
c
Si ad $cf!)"
M!DC
C!"M
B
#!D>En f!)"
M!DC
#"M
C
MB
#M
>
#B
>C
-
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E8ERCICIOGrafi,*e apro!i-ada-en'e la
f*nci(n .g2 si3
g"{!%)[!B#"!}
Resol*ci(n
!B#"!
Red*ciendo la regla decorrespondencia de .g2
!B"!#
!B>)"!#
" !#
!B>
Asn'o'a +er'ical!B> " & ! " >
Asn'o'a :oriJon'al
!#!B>
g!)"
" >
Y
X>
>
>>!#En g!)"!B>
>I"
>
Si ad $cB>) >#) #&
)
!% si & ! Mf ! " #!D>
% si ! M!BM
aB$
Mc
! si & ! M; "#
aB$"
Mc
MB#"
M M
>
M
> ) F / E
-
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>&) FUNCIN /OTENCIA1Regla de correspondencia f!) " !n% n"#M5]
Si .n2 es par
X
Y
>
>B>
#
B# #
M
0
>%>)B>%>)
&%&)
El p*n'o &%&) es el Vnicop*n'o de in'ersecci(n conlos eKes de coordenadas6
Do-inio f )"-;+.
Rango f )"[&; +.
1a f*nci(n 'o-a s* +alor-ni-o " & c*ando ! "&6
/ropiedades
1os p*n'os &%&) >%>) B>%>) son losNICOS p*n'os en co-Vnde las grficas de la for-a.!n2 donde .n2 es par6
Represen'aci(n grfica
2x
4x
6x
-
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Si .n2 es i-par
X
Y
B>
B>
#
B##
M
& >
>
BM
B#
>%>)
B>%B>)
&%&)
El p*n'o &%&) es el Vnico
p*n'o de in'ersecci(n conlos eKes de coordenadas6
Do-inio f ) " R.
Rango f ) " R.
1a f*nci(n NO 'iene@NI@O ni @PI@O+alor6
/ropiedades
1os p*n'os &%&) >%>) B>%B>) son los
NICOS p*n'os en co-Vnde las grficas de lafor-a .!n2 donde .n2 esi-par6
x3
x5
-
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1. CONSTRUCCIN DE LA GR!ICA DE "#$B%&x'()
A *ARTIR DE LA GR!ICA DE "#$%&x'(
X
Y
0
!&%&)
!&%B&)-0
0
x0 X
Y
0
EKe-plo
/RO/IEDADES DE 1AS GRFICAS
I f!)"
I Bf!)"
#I !"
#I B!"
-
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2. CONSTRUCCIN DE LA GR!ICA DE "#$%&x'()A *ARTIR DE LA GR!ICA DE "#$%&x'(.
X
Y
&
!&%&)B!&%&)
B!&
&
!& X
Y
&
I f!)"
I fB!)"
I !"I B!"
, CONSTRUCCIN DE LA GR!ICA DE " %& -'
-
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29/36
X
Y
Y
& X
,. CONSTRUCCIN DE LA GR!ICA DE "#$%&x+-')#$%&x'() A *ARTIR DE LA GR!ICA "#$%&x'(.
=B:
Sea = >&
&B M
Sea : >&I f!B=)"
I f! :)" +I f!)"
"I !! !
"I !BM! !"I ! N! !+
-
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X
Y
/. CONSTRUCCIN DE LA GR!ICA DE "#$%&x'+)#$%&x'B() A *ARTIR DE LA GR!ICA "#$%&x'(.
&
Sea n >&
X
Y
B
&
EKe-plo
I f!)"
I f!)Bn"
I f!) n" +
n
Bn
#f!)"!
#g!) " ! DC
#:!)" ! B
-
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E8ERCICIOSi la grafica de la f*nci(n f es
grafi,*e g!)"f!B#)>Resol*ci(n
f!)
f!B#)
f!B#)D>
-
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X
Y
&
. CONSTRUCCIN DE LA GR!ICA DE "#$"%&x'"() A *ARTIR DE LA GR!ICA DE "#$%&x'(.
X
Y
& X
Y
&
EKe-plo
> X
Y
& >
I"f!) " f!)I I
"$
I !log $
I" !log
-
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X
Y
&X
Y
&
. CONSTRUCCIN DE LA GR!ICA DE"#$%&IxI'() A *ARTIR DE LA GR!ICA DE "#$%&x'(.
EKe-plo
>
X
Y
&
>
X
Y
&
I"f!) I" f ! )I I
!I"$!I"$I I
-
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RESO1UCON DE ECUACIONES @EDIANTEGRFICAS/or lo general se *'iliJa para indicar el nV-ero de sol*ciones ,*e'iene *na ec*aci(n6Sea f!) " g!)Se grafican f!) g!) en *n solo plano el nV-ero de sol*cionessern el nV-ero de p*n'os de cor'e a-$as grficas6
EKe-plosIndi,*e el n*-ero de sol*ciones de
Y
X&B5
Al graficar a-$as f*nciones'ienen # p*n'os de cor'e
en'onces la ec*aci(n3
Tiene # SO1UCIONES6
=! !D5I I
!I I!D5 =! !D5I I
E8ERCICIO
-
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9C*n'as sol*ciones presen'a la sig*ien'e ec*aci(n
MB! #! D>
MB!
#! D>
MB! I" M
#! D> I">
M
>
MB!
#! D>
-
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GRACIAS /OR
SU TIE@/O