GRÁFICA DE

RELACIONES II

ÁLGEBRALic. Juan Gamarra Carhuas

GRÁFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS

POR INECUACIONES

Definición.- La gráfica de una inecuación en ℝ2 se define como el conjunto de todos los pares P (x, y) que

satisfacen la inecuación.

En general

𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑦 ≷ 𝑓 𝑥

“Para graficar las inecuaciones en el plano cartesiano es necesario graficar previamente las ecuaciones y

luego les damos el sentido, quedando el plano dividido en dos regiones”.

Tenemos dos casos…

PRIMER CASO

Supongamos que la gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 no es cerrada.

a. 𝑦 = 𝑓 𝑥

b. 𝑦 > 𝑓 𝑥

c. 𝑦 < 𝑓 𝑥

d. 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥

e. 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

𝑦 = 𝑓 𝑥

Estrictos

𝑦 > 𝑓 𝑥 𝑦 < 𝑓 𝑥

No Estrictos

𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

SEGUNDO CASO

Supongamos que la gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 es cerrada.

a. 𝑦 = 𝑓 𝑥

b. 𝑦 > 𝑓 𝑥

c. 𝑦 < 𝑓 𝑥

d. 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥

e. 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

𝑦 = 𝑓 𝑥

Estrictos

𝑦 > 𝑓 𝑥 𝑦 < 𝑓 𝑥

No estrictos

𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

GRÁFICAS PARA NÚMEROS COMPLEJOS

Podemos representar un número complejo

en un sistema cartesiano, haciendo coincidir

el eje 𝑿 (horizontal) con la parte real del

número complejo y el eje 𝒀 (vertical) con la

parte imaginaria. En dicho caso el plano

recibe el nombre de “plano complejo” o

“diagrama de Argand”.

𝐶 = 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖/𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

PROPIEDADES

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑧 2 = 𝑧. 𝑧

𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧

𝑧 − 𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧 𝑖

EJERCICIOS

1. Grafique la siguiente relación

𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥 + 𝑦 > 2

Resol

𝑥 + 𝑦 > 2

𝑦 > −𝑥 + 2

• 𝑦 = −𝑥 + 2

• 𝑦 > −𝑥 + 2

EJERCICIOS

2. Grafique la siguiente relación

𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑦 < 𝑥2

Resol

𝑦 < 𝑥2

• 𝑦 = 𝑥2

• 𝑦 < 𝑥2

EJERCICIOS

3. Grafique la siguiente relación

𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4

Resol

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4

• 𝑥2 + 𝑦2 = 4

• 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4

EJERCICIOS

4. Grafique la siguiente relación

𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥2

9+𝑦2

4≤ 1 ∨ 9𝑥 + 2 ≤ 4𝑦

Resol

𝑥2

9+𝑦2

4≤ 1

𝑥2

9+𝑦2

4= 1

𝑥2

9+𝑦2

4≤ 1

EJERCICIOS

5. Grafique el siguiente conjunto en el plano de

gauss.

𝐴 =𝑧 ∈ ℂ 𝑅𝑒 𝑧 + 𝐼𝑚 𝑧 ≤ 2

∧ 0 ≤ 𝑎𝑟𝑔 𝑧 ≤𝜋

2

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

1. Grafique el siguiente conjunto .

𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥 ≥ 2 ∧ 𝑦 ≥ 1

𝑥 ≥ 2

𝑦 ≥ 1 𝐴

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

3. Sean los conjuntos

𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑦 ≤ 𝑥2

𝐵 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥 − 2 ≤ 𝑦

Determine 𝐴 ∩ 𝐵

𝑦 ≤ 𝑥2

𝑥 − 2 ≤ 𝑦

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

5. Grafique los puntos que

verifiquen la inecuación

𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2 en el plano

cartesiano

Resol

𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2

• 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2

• 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

7. Si el conjunto 𝐴 = 𝑧 ∈ ℂ/ 𝑧 ≤ 1 + 𝐼𝑚 𝑧 ,determine la gráfica que mejor representa al

conjunto 𝐴.

Resol

Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

𝑧 ≤ 1 + 𝐼𝑚 𝑧

→ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 + 𝑦

→𝑥2−1

2≤ 𝑦

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

9. Grafique el conjunto solución del siguiente

sistema.

𝑦 + 𝑥 ≥ 3𝑦 − 𝑥 ≤ 3𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

𝑦 + 𝑥 ≥ 3

𝑦 − 𝑥 ≤ 3

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

11.Dados los conjuntos

𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2

𝐵 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑦 ≥ 𝑥3

Esboce la gráfica de 𝐴 ∩ 𝐵.

𝐴

𝐵 𝑅𝑝𝑡𝑎 𝐵

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

15. Esboce la gráfica del siguiente conjunto en el

plano de Gauss

𝐴 = 𝑧 ∈ ℂ / 𝑧. 𝑧 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0

Resol

Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

𝑧. 𝑧 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0

𝑧 2 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0

𝑧 − 1 𝑧 − 3 ≤ 0

𝑧 ≥ 1 ∧ 𝑧 ≤ 3𝐴1

∨ 𝑧 ≤ 1 ∧ 𝑧 ≥ 3∅

≡ 𝐴1

𝑧 ≥ 1

𝑧 ≤ 3

𝐴1

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

16. Determine la gráfica del conjunto

𝐵 = − 𝑧 + 𝑖 / 𝑧 ∈ 𝐴

𝑧

𝑧1

𝑧2

𝑧1

𝑧2

− 𝑧2

− 𝑧1

− 𝑧1 + 𝑖

− 𝑧2 + 𝑖

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

18. Indique la gráfica de la región que mejor

representa el conjunto

𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑦 +𝑥

𝑥+ 𝑥2 ≥ 1

Resol

𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2

Donde

𝑅1: 𝑥 > 0; 𝑦 + 𝑥2 ≥ 0

𝑅1

𝑅2: 𝑥 < 0; 𝑦 + 𝑥2 ≥ 2

𝑅2

𝑅

PROBLEMAS

DIRIGIDOS

20. Grafique la relación 𝑅.

𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥 + 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 3𝑥

Resol

𝑅 = 𝑅1 ∩ 𝑅2

Donde

𝑅1: 𝑥 + 𝑥 ≤ 𝑦

𝑅2: 𝑦 ≤ 3𝑥

𝑅1

𝑅2

𝑅