Grafos y Simetría - Blumenfarb

8/18/2019 Grafos y Simetría - Blumenfarb

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GRAFOS Y SIMETRÍA

Grafo: terna G= (V, A, φ) donde V= vértices y A= aristas son conjuntos finitos, y φ es una aplicación deincidencia que hace corresponder a cada elemento A un par de elementos V (2 vértices).

Si [a,b] es una A del grafo, par NO ordenado, los V a y b se llaman adyacentes.El grado de un V es el número de arista que en el inciden. Se dice aislado si su grado es nulo y pendiente sisu grado es 1.Dos o más aristas se llaman múltiples si tienen por extremos los mismos vértices.Un lazo es una A cuyos 2 extremos coinciden en un V.

1. ¿Qué es un grafo euleriano general y euleriano restringido? ¿Y un grafo Hamiltoniano? Recorrido

euleriano restringido y general, dibujo de ambos. Ejemplificar gráficamenteUn grafo eureliano es si todas sus aristas pueden recorrerse en un solo trazo sin pasar 2 veces poralguna de ellas.General: todos sus vértices tienen grado par.Restringido: Puede tener hasta 2 vértices impares, y éstos serán los vértices de partida y de llegada.

Euler plantea el problema de los 7 puentes sobre el río Pregel: si era posible un recorrido que, partiendo de unaorilla, volviera al lugar de origen pasando por cada puente 1 sola vez. Al plantear el grafo asociado se determinaque no es posible dicho recorrido, porque es un grafo con más de 2 vértices de grado impar (B, C y D).

Un grafo hamiltoniano es cuando existe un recorrido que pasa por todos los vértices una sola vez, sinnecesidad de recorrer todas las aristas. Por ejemplo el dodecaedro regular:

2. ¿Cuándo un grafo se dice que es conexo?¿Y cuándo fuertemente conexo?


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GRAFO DIGRAFO

grafo NO orientado grafo orientadovértices vérticesaristas arcos

CADENA:sucesión de aristas adyacentes

CAMINO:sucesión de arcos adyacentes

CICLO:cadena que empieza y termina en el mismo

vértice

CIRCUITO:camino que empieza y termina en el mismo

vérticeCONEXO:

grafo en que si entre 2 vértices distintoscualesquiera, existe una cadena.

FUERTEMENTE CONEXO:Grafo en que todos sus vértices son alcanzables

desde cualquier otro vértice.

Ej: esquema de comunicaciones en un grupohumano

Ej: sistema de tránsito

3. Grafo plano, definición, condición necesaria y suficiente para que lo sea. (grafos k3;3 y el K5)Si de un grafo G existe un grafo isomorfo G' que puede dibujarse en el plano de modo que las aristassólo se crucen en los vértices.

La condición necesaria y suficiente para que un grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipoK3,3, ni del tipo K5.

Para analizar un grafo muy complejo existen algoritmos de búsqueda de grafos K 3,3 -sólo grafos devértices de grado ≥ 3 son candidatos- y de grafos K5 -sólo grafos de vértices de grado ≥ 4 soncandidatos-La planitud de un grafo de relaciones entre elementos prefijados de un proyecto arquitectónico esfundamental para su realización en planta. Estas relaciones pueden ser de acceso físico (puertas,pasillos, etc), acceso visual (ventanas, mamparas, etc), etc.

• Dar un ejemplo de un grafo que posea siete vértices y no sea plano. Justificar.


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Admite subgrafos del tipo K5.

4. Definir grafo poligonal. ¿Qué es uno regular y uno completamente regular? Enuncie la fórmula deEuler. Nombrar los poliedros, colocarle la cantidad de caras a c/u. Dibujar 3 de ellos.

Un grafo poligonal es un grafo plano conexo que es reunión de ciclos, tal que existe un ciclo mínimo yotro máximo. El interior de cada ciclo se llama cara, también cuenta la cara exterior del infinito, quetiene como ciclo limitante el ciclo máximo del grafo o polígono envolvente.Fórmula de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2 →(válida para cualquier grafo poligonal, y también,

cuenta la cara exterior del infinito)

Es regular si en cada vértice concurre igual número de aristas.Es completamente regular si, además, cada cara posee el mismo número de aristas limitantes. Losgrafos completamente regulares no triviales son los asociados con los 5 poliedros regulares.

POLIEDRO TETRAEDRO OCTAEDRO ICOSAEDRO CUBO DODECAEDRO

POLÍGONO QUE FORMA CARAS Triángulo Triángulo Triángulo Cuadrado PentágonoV 4 6 12 8 20A 6 12 30 12 30C 4 8 20 6 12

Nº DE A EN C/VÉRTICE 3 4 5 3 3

Nº DE ARISTAS EN C/CARA 3 3 3 4 5GRAFO ASOCIADO

5. ¿A qué se le llama grafo dual?¿Qué relación existe entre un grafo poligonal y un grafo dual? ¿Sonplanos dichos grafos?.


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Sea un grafo plano y conexovértice, por cada vértice hayserán isomorfos G** y G.Aplicación arquitectónica: Elplanta (el vértice exterior deb

• Dar un ejemplo del mi

6. Definir mosaico. ¿Qué polígregulares son los que permitrazón de por q solamente ellhexágonos.. la formula n-2/Es un tipo especial de recubricondiciones restrictivas deSi se toman polígonos regulatoquen con otros vértices. Sevértice vale: n-2 . 180º

nEn cada vértice se tendrá el

Como este número debe serplano puede recubrirse total

• ¿Qué movimientos d

• Explique el problemaDibuje un mosaico de

G, se construye G* tal que en correspondenna cara y por cada arista hay una arista, y l

ual de un grafo de adyacencias de localesrá representarse en el grafo dual por la car

smo en un grafo de 5 vértices y 4 caras; y d

onos regulares permiten generar mosaicosn recubrimiento saturado del plano? argus lo permiten. Explicar cómo recubrir planox 180

miento del plano. Se repite un módulo en 2acoplamiento y regularidad.res de un mismo tipo como módulo, la condia el número n de aristas de cada polígono, e

iguiente número de polígonos:360º = 2

n-2 .180º n n

entero, para n>2, n tiene que ser igual a 3, 4ente con mosaicos triangulares, cuadrados

e simetría se utilizan para generar un mosa

de los 4 colores.tal forma que pueda ser coloreado por 3 col

cia a G por cada cara hay unego el dual de G* sea G**,

e aproxima a un esquema dedel infinito)

6 vértices y 3 caras:

y por qué? Que polígonosentar matemáticamente laon triángulos cuadrados o

irecciones, con

ción es que los vértices sel ángulo interior en cada

n = 2 + 4 .

2 n-2

o 6. Ello significa que elo hexagonales.

ico?

ores.


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Bastan 4 colores paracolor.

7. Número de oro, definición.El número de oro surge de re

a la suma de los dos término1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

Este número se denomina núextrema razón.

• Cómo se divide un se

• Dar algún ejemplo de

colorear un mapa de modo que regiones ad

presentar una sucesión de números tales qu

inmediatamente precedentes, es decir:…(sucesión de Fibonacci) donde 55/34= 1.

mero de oro ϕ y corresponde a la división d

mento en media y extrema razón, represe

su uso en la arquitectura. ¿Qué aplicacione

yacentes tengan distinto

e, cada término corresponde

18…

un segmento en media y

ntar gráficamente.

al diseño conoce?


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Partenón de Atenas

• ¿Cómo se construye n rectángulo áureo a partir de un cuadrado de 6cm de lado? Calcular

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