GRAVITACIONGRAVITACIONINTRODUCCIONINTRODUCCION

Antes de entender las ideas de Newton y Einstein sobre cómoAntes de entender las ideas de Newton y Einstein sobre cómo actúa la gravedad, tenemos que distinguir entre lo que actúa la gravedad, tenemos que distinguir entre lo que llamamos masa y peso. Masa y peso son conceptos muy llamamos masa y peso. Masa y peso son conceptos muy diferentes: la diferentes: la masamasa (cantidad de materia que tiene un cuerpo) (cantidad de materia que tiene un cuerpo) es una propiedad intrínseca al cuerpo (da igual si la medimos es una propiedad intrínseca al cuerpo (da igual si la medimos aquí o en la Luna) mientras que el aquí o en la Luna) mientras que el pesopeso es una fuerza que sí es una fuerza que sí depende de la masa del planeta donde la medimos: en la Luna, depende de la masa del planeta donde la medimos: en la Luna, un cuerpo pesa seis veces menos que en la Tierra, y en Júpiter, un cuerpo pesa seis veces menos que en la Tierra, y en Júpiter, dos veces y media más dos veces y media más

Llamamos interacción gravitatoria (o fuerza de la gravedad) a la atracción entre masas (cuerpos).La gravedad es una fuerza básica en el universo. Es la que nos mantiene sujetos al planeta Tierra, la que mantiene unida la propia materia de la Tierra y no permite que la Tierra se despedace ni que la atmósfera se escape, la que mantiene unida la materia que forma el Sol y las demás estrellas, la que hace que el Sistema Solar no se disgregue, la que permite que existan galaxias y que las galaxias se unan en cúmulos de galaxias. La gravedad es lo que da unidad y cohesión al cosmos, es ciertamente una de las fuerzas más fundamentales en el universo.

Historia de la teoría gravitacionalLos esfuerzos de entender gravedad comenzaron en

épocas antiguas. Filósofos en la India antigua explicó el fenómeno a partir del 8vo siglo A.C. Según Kanada, fundador del Vaisheshika escuela, “Peso el caer de las causas; es imperceptible y sabido cerca inferencia.

En el 4to siglo A.C., Filósofo griego Aristotle creído que había no efecto sin la causa, y por lo tanto no hay movimiento sin la fuerza. Él presumió que todo intentó moverse hacia su lugar apropiado en esferas cristalinas de los cielos, y ese los cuerpos físicos cayeron hacia el centro del Tierra en proporción con su peso.

Cada cuerpo planetario (tierra incluyendo) es rodeado por su propio Cada cuerpo planetario (tierra incluyendo) es rodeado por su propio campo gravitacional, que ejerce una fuerza atractiva en todos los campo gravitacional, que ejerce una fuerza atractiva en todos los objetos. Si se asume que un planeta esférico simétrico (una objetos. Si se asume que un planeta esférico simétrico (una aproximación razonable), la fuerza de este campo en cualquier punto aproximación razonable), la fuerza de este campo en cualquier punto dado es proporcional a la masa del cuerpo planetario e inverso dado es proporcional a la masa del cuerpo planetario e inverso proporcional al cuadrado de la distancia del centro del cuerpo.proporcional al cuadrado de la distancia del centro del cuerpo.

La fuerza del campo gravitacional es numéricamente igual a la La fuerza del campo gravitacional es numéricamente igual a la aceleración de objetos bajo su influencia, y a su valor en la superficie deaceleración de objetos bajo su influencia, y a su valor en la superficie de la tierra, denotada la tierra, denotada gg, se expresa aproximadamente abajo como , se expresa aproximadamente abajo como promedio estándar.promedio estándar.

LAS LEYES DE KEPLER. LAS LEYES DE KEPLER.

Sol

Foco Eje menor

Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico

Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas

Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario

La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio

Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos

Afelio

b

a

Eje mayor

La posición más cercana, es el perihelio

Perihelio

Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita

El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman.

dtvxrdA

2

1Para un triángulo:

1 de enero

r enero1

Sol

AA

r julio1

30 de enero

30 de julio

1 de julio

siendo dA/dt la velocidad areolarctem

Lvxr

dt

dA

2

1

2

1

Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales

Como en el sistema solo actuan fuerzas centrales, entonces y por tanto .

A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es:

0M

cteL

Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la masa de los planetas

Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe

Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas

Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (r), T

2 = Kr 3 siendo K una constante igual

para todos los planetas

Como el sistema solar es un sistema de fuerzas centrales, = 0, por tanto se conserva el momento angular = cte

M

L

La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el mismo sentido y en órbitas planas

La conservación del módulo justifica la ley de las áreas

LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSALLA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

mh

Rr

La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro

Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:

)hR(

MmG

r

MmGF

22

A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como:

- Las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación

- El origen de las mareas

- Las trayectorias de los planetas

- La variación de la gravedad con la altura

- El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

La fuerza gravitatoria con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que les separa

H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton

En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta

rv

mr

MmGFF

2

2cN Despejando v resulta:

Que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un cuerpo de masa M

Como v es aproximadamente constante:

Igualando (1) y (2):

r

MGv (1)

T

r2

t

sv

(2)

Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites

r

MG

T

r2 T

r4r

MG

2

22)Keplerdeleyª3(r

GM4

T3

22

Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler

FUERZA Y CAMPO GRAVITATORIOFUERZA Y CAMPO GRAVITATORIO

La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:

g

x

y

z

r

Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas

La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’

m

m’

rrsiendormm

G ruur

F

)(221

rm

Gm

ur

Fg

22

1

cuyo módulo es:rfuentem

Gg 2

)( y se expresa en N/kg o también

m/s2 en el S.I.

La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: gmF

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa situada en dicho punto

g

Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h

)hR(MGg

T2

T

El módulo del campo gravitatorio creado es:

En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse:

s/m8,9R

MGg 20 2

T

T

La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será:

gm)hR(

mMGFT

2T

r = RT+h

P

A

h

RT

Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo

En el campo gravitatorio, las líneas de campo como es un campo atractivo se dirigen hacia las fuentes del campo

Características de las líneas de campo

Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas de campo se trata de un campo más intenso

Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto

El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo

m M

ENERGÍA Y POTENCIAL GRAVITACIONALENERGÍA Y POTENCIAL GRAVITACIONAL

Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo

EW)B(E)A(EW pppBA

Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud denominada energía potencial

Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo

Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo

rFEp

Conocido el valor de la fuerza:

rdFEd p

Considerando incrementos diferenciales:

rdFEp

Integrando:

Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene la diferencia de potencial

EP r

Para calcular su valor, basta con resolver:

rrr

E dmmGd p

221

rdFEd p

La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0

r'mm

GEp r'mm

GEp Cr

'mmGErd

r

'mmGE p2p

El trabajo realizado es máximo cuando los desplazamientos ( ) están en la misma dirección que , y así el producto escalar se reduce al producto de los módulos:

r

rd

rd

r

hR

mM

T

TGEp

.

La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es:

Cuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se está calculando su diferencia entre dos puntos, tomando como referencia (valor cero) uno de ellos

En el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a su superficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahí sale la expresión Ep=m.g.h

Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende únicamente del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que se coloca como testigo

Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:

rm

GUrdgdU

POTENCIAL GRAVITATORIO

)()()(T

TTpp R

mMG

T

mMGBEAE

hR

)()()(

hRh T

hGmMBEAE Tpp

)()()(

hRR TT

hGmMBEAE Tpp

)(

2

0)()(hRR TT

hRmgBEAE T

pp

Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra o sobre ella h es mucho menor que RT y por tanto despreciable frente a ella:

hgmBEAE pp 0)()(

No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes, así que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior.

Ep rRT

Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial

)hR(MG)P(UT

T

Para un punto P situado a una altura h de la superficie:

En la superficie, el potencial gravitatorio U0 será:

RMG)P(U

T

T

R

MGU

T

T0

Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:

U0 = g0 R = 6,2 . 107 J/kg

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es:

rm

Grm

G)B(U)A(UBA

Potencial es energía potencial por unidad de masa introducida en el campo

Potencial es energía potencial por unidad de masa introducida en el campo