GUÍA DE EJERCICIOS · b) Los radios decrecen a razón de 1,5 / O . c) El radio interior crece a...

UNIDAD II La Derivada en el Espacio n-dimensional

Coordinador: Ing. José Mackenzie Profesores: Ing. Pedro Pérez Ing. Rubén López Ing. Nancy Requena

Diseño y Digitalización: Br. Luis Ernesto Rincón

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S Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área de Tecnología Complejo Académico El Sabino Departamento de Física y Matemática

UNEFM – Matemática III

2 Guía de Ejercicios – II Corte

Punto Fijo, Junio de 2015 PARTE A: Calcular las derivadas parciales de primer orden de cada una de las siguientes funciones, llevadas a su más mínima expresión:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(2𝑥𝑦) + tg(𝑥 − 3𝑦) 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦

𝑥⁄ ln (𝑥2

𝑦)

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2 − 𝑥𝑦

𝑥 + 𝑦 4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(sen(𝑒𝑥 − 𝑦))

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) =1

ln2(1 + 𝑥2 + 𝑦2) 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (

𝑥 + 𝑦

𝑥 − 𝑦 )

12⁄

7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2)arctg ( 𝑥

𝑦 ) 8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 (

𝑥2 − 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 )

9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑥𝑦√𝑒2𝑥 − 𝑦 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √sen(𝑥2 + 𝑦2)

11. 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos (√𝑥2 + 𝑦2) 12. 𝑓(𝑥, 𝑦) =√𝑥2 + 𝑦

ln(𝑥2 + 𝑦)

13. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √cos(𝑥) − sen(𝑦)

sen(𝑥) − cos(𝑦) 14. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arccos (√𝑥2 + 𝑦2)

15. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln (√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 16. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥𝑦𝑧

√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Teorema de Euler:

Si 𝑓 es una función de 𝑥 e 𝑦, con 𝑓𝑥𝑦 y 𝑓𝑦𝑥 continuas en un disco abierto 𝑅, entonces, para

todo (𝑥, 𝑦) en 𝑅 se cumple que: 𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

Ecuación de Laplace:

Una función escalar de dos o más variables es armónica si su Laplaciano es nulo, es decir que

una función 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) es armónica si ∇⃗⃗ 2𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0. Para funciones de dos variables se tiene que esto viene dado por la siguiente ecuación, denominada Ecuación de Laplace:

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 0

PARTE B: Verificar la igualdad de las segundas derivadas parciales mixtas (Teorema de Euler) para las funciones dadas. Diga cuáles de ellas son armónicas:



1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (√(𝑥 + 𝜋)2 + (𝑦 − 𝜋)2) 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctg ( 𝑦

𝑥 )

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arccos ( 𝑥

𝑦 )

12⁄

4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑎𝑥−𝑦 cos (𝑥2

𝑦)

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) =2𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arcsen (cos (

𝑦

𝑥 ))

7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (√𝑥2 + 𝑦2) 8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥

𝑦⁄ ln ( 𝑦

𝑥 )

9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen2 ( 𝑥

𝑦 )

12⁄

cos ( 𝑦

𝑥 ) 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑦arctg (ln (

𝑦

𝑥 ))

PARTE C: Verificar que las funciones dadas, satisfacen las ecuaciones diferenciales propuestas:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

𝑥 + 𝑦 ; 𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+ 2𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑦2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 0

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 sen(𝑥𝑦) ; 2𝑥2𝜕2𝑓

𝜕𝑥2− 2𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦− 𝑦2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= (𝑥𝑦)2𝑓(𝑥, 𝑦)

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ln (sen( 𝑦

𝑥 )) ; 𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+ 2𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑦2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 0

4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 (1 −𝑎𝑦

𝑥)2

+ 𝑦3 (𝑎 +𝑥

𝑦)2

; 𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 𝑎2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥 cos (ln ( 𝑦

𝑥 )) ; 𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+ 2𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑦2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 𝑥2𝑓(𝑥, 𝑦)

6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen(𝑥2 + 𝑦2

𝑥2) ; 𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+ 2𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑦2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 0

7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑒𝑥𝑦 ; 𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦− 𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦+

1

𝑥2(𝜕2𝑓

𝜕𝑦2) = 4𝑓(𝑥, 𝑦)

8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥𝑦 ; 1

𝑦(𝜕2𝑓

𝜕𝑥2) −

𝜕𝑓

𝜕𝑥− 𝑥𝑒𝑥𝑦 (2 +

1

𝑥) − 𝑦 (

𝜕𝑓

𝜕𝑦)+

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦= 0

9. 𝑓(𝑥, 𝑦) =4

𝑥5sen (

𝑥

𝑦 ) ; 𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+ 2𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑦2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 30𝑓(𝑥, 𝑦)

10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctg (cos ( 𝑦

𝑥 )) ; 𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+ 2𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑦2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 0

PARTE D: Utilice la Regla de la Cadena para calcular las derivadas que se indican a continuación:

Dadas las ecuaciones Determinar

1. 𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2; 𝑥 = 𝑡 cos(𝑡) ; 𝑦 = 𝑡 sen(𝑡) 𝑑𝑢

𝑑𝑡



2. 𝑢 = 𝑥𝑒−𝑦; 𝑥 = arctg(𝑟𝑠𝑡); 𝑦 = ln(3𝑟𝑠 + 5𝑠𝑡) 𝜕𝑢

𝜕𝑡,𝜕𝑢

𝜕𝑟,𝜕𝑢

𝜕𝑠

3. 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2; 𝑥 = 𝜌 cos 𝜃 sen𝜙 ; 𝑦 = 𝜌 sen𝜃 sen𝜙 ; 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 𝜕𝑢

𝜕𝜌,𝜕𝑢

𝜕𝜃,𝜕𝑢

𝜕𝜙

4. 𝑧 = arctg(𝑥 𝑦⁄ );𝑥 = 𝑢 cos(𝑣); 𝑦 = 𝑢 sen(𝑣) 𝜕𝑧

𝜕𝑢,𝜕𝑧

𝜕𝑣

5. 𝑧 = 4𝑒𝑥 ln(𝑦) ; 𝑥 = ln(𝑢 cos(𝑣)) ; 𝑦 = 𝑢 sen(𝑣) 𝜕𝑧

𝜕𝑢,𝜕𝑧

𝜕𝑣

6. 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧; 𝑥 = 𝑟 + 2𝑡; 𝑦 = 𝑟 cos(𝑡) ; 𝑧 = 𝑟 sen(𝑡) 𝜕𝑢

𝜕𝑟,𝜕𝑢

𝜕𝑡

7. 𝑢 = 3𝑥 − 4𝑦2; 𝑥 = 5𝑝𝑞; 𝑦 = 3𝑝2 − 2𝑞 𝜕𝑢

𝜕𝑝,𝜕𝑢

𝜕𝑞

8. 𝑦 = 2𝑤𝑧 + 𝑧2; 𝑤 = 𝑒𝑥; 𝑧 = cos(𝑥) 𝑑𝑦

𝑑𝑥

9. 𝑣 = 𝜋𝑥2𝑦; 𝑥 = cos(𝑧) sen(𝑡) ; 𝑦 = 𝑧2𝑒𝑡 𝜕𝑣

𝜕𝑧,𝜕𝑣

𝜕𝑡

10. 𝑧 = ln (√𝑥2 + 𝑦2) ; 𝑥 = 𝑟𝑒−𝑡; 𝑦 = 𝑟𝑒𝑡 𝜕𝑧

𝜕𝑟,𝜕𝑧

𝜕𝑡

PARTE E: Resuelva los siguientes problemas mediante el uso de la Regla de la Cadena: 1. En un instante determinado uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 8𝑐𝑚 y aumenta a razón de

3𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔 y el ángulo que forma dicho cateto con la hipotenusa es de 30° y disminuye a razón de 0,1𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔. ¿Qué tan rápido está cambiando el área del triángulo en ese instante? ¿Con qué rapidez cambia la hipotenusa del triángulo?

2. El volumen 𝑉 de un vaso tronco-cónico (cono truncado) viene dado por la expresión:

𝑉 =𝜋

3ℎ(𝑟2 + 𝑟𝑅 + 𝑅2)

Siendo 𝑟 el radio menor, 𝑅 el radio mayor y ℎ la altura del vaso. Si originalmente 𝑟 = 2𝑚𝑡𝑠, 𝑅 = 3𝑚𝑡𝑠 y ℎ = 4𝑚𝑡𝑠, determine la razón de cambio del volumen del vaso si 𝑟 disminuye a razón de 0,01𝑚𝑡𝑠/𝑠𝑒𝑔, 𝑅 aumenta a razón de 0,005𝑚𝑡𝑠/𝑠𝑒𝑔 y ℎ disminuye a razón de 0,02𝑚𝑡𝑠/𝑠𝑒𝑔.

3. El radio del tronco de cierto árbol crece 0,5𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑎ñ𝑜 y la altura 8𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑎ñ𝑜. ¿Con qué rapidez crece el

volumen cuando el radio es de 1𝑝𝑖𝑒 y la altura de 16𝑝𝑖𝑒𝑠? Si la rapidez se asume constante, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el tronco alcance 1,5𝑝𝑖𝑒𝑠 de radio y 18𝑝𝑖𝑒𝑠 de altura? La forma aproximada del tronco de un árbol es la de un cilindro circular recto.

4. En un cono circular recto el radio de la base disminuye a razón de 0,1𝑐𝑚/𝑠, mientras que la altura

perpendicular aumenta a razón de 0,2𝑐𝑚/𝑠. Determine la razón de cambio del volumen cuando el radio es de 2𝑐𝑚 y la altura de 3𝑐𝑚. ¿Qué ocurre si ambas dimensiones aumentaran a razón de 0,5𝑐𝑚/𝑠?



5. Un cilindro anular posee un radio interior 𝑟 y un radio exterior 𝑅, como se ve en la figura. Su momento de Inercia viene dado por:

𝐼 =1

2𝑚(𝑟2 + 𝑅2)

Donde 𝑚 es la masa, la cuál es constante e igual a 64𝑔𝑟. Determinar la rapidez con la que está variando 𝐼 en el momento en el que los radios son de 6𝑐𝑚 y 8𝑐𝑚 si:

a) Los radios aumentan a razón de 2𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔. b) Los radios decrecen a razón de 1,5𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔. c) El radio interior crece a razón de 2𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔 y el exterior

decrece a razón de 1,5𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔. d) El radio exterior crece a razón de 2𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔 y el interior

decrece a razón de 1,5𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔. 6. Cierta fábrica produce dos tipos de artículos: A y B. El artículo A

se vende a 𝑥 bolívares y el B a 𝑦 bolívares. Supongamos que la demanda de los artículos viene dada por 𝐶(𝑥, 𝑦) = 100 − 2𝑥2 + 10𝑦. Si el precio de venta de dichos artículos varía con el tiempo (en meses) y

vienen dados por: 𝑥 = 2 + 0,5𝑡 y 𝑦 = 2 + 0,1√𝑡, determine la variación de la demanda al cabo de cuatro meses.

7. La longitud 𝑙 de un flotador inflamable en forma de píldora (ver figura) es de 112𝑝𝑖𝑒𝑠 y el radio de su sección

transversal 𝑟 es de 36𝑝𝑖𝑒𝑠. Determine: a) ¿Qué tan rápido está cambiando el volumen del flotador en ese instante, si la longitud aumenta a razón de 1𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑠𝑒𝑔 y el radio de la sección transversal aumenta a razón de 2𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑠𝑒𝑔? b) ¿Cuánto tarda el flotador en alcanzar un volumen de 1000𝑝𝑖𝑒3?

8. Un camión deposita Hidróxido de Sodio (NaOH) en una pila cónica, de modo que en cierto instante la altura

es de 60𝑝𝑢𝑙𝑔 y su radio es de 100𝑝𝑢𝑙𝑔. Si la altura aumenta con rapidez de 3𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑚𝑖𝑛 y el radio crece a razón de 2𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑚𝑖𝑛, se desea saber: a) ¿Con qué rapidez varía el ángulo de inclinación de la pila en ese instante? b) ¿Con qué rapidez debería variar la altura para que el volumen aumentara con una rapidez de 20800𝜋/3 𝑝𝑢𝑙𝑔3/𝑚𝑖𝑛?

9. Un trozo de hielo de forma rectangular en cierto instante tiene las siguientes dimensiones: 60𝑝𝑢𝑙𝑔 ×

100𝑝𝑢𝑙𝑔 × 20𝑝𝑢𝑙𝑔. Si las razones de decrecimiento respectivas son de 0,2𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑚𝑖𝑛 para las dos primeras y 0,3𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑚𝑖𝑛 para la última, se desea saber: a) ¿Con qué rapidez está variando el volumen del trozo de hielo en ese instante? b) Si las razones de decrecimiento se mantienen constantes, ¿cuánto tiempo transcurriría hasta que el trozo de hielo cambie de fase sólida a líquida?

10. El costo, en bolívares, de fundición de 𝑥 unidades de un modelo

A y 𝑦 unidades de un modelo B viene dado por la función:

𝐶(𝑥, 𝑦) = 32√𝑥𝑦 + 175𝑥 + 205𝑦 + 1050. Si se tiene una

producción el primer mes de 𝑥 = 40𝑢𝑛𝑑𝑠 y 𝑦 = 60𝑢𝑛𝑑𝑠, ¿cuáles serán los costos marginales de cada modelo el primer mes? Si se desea aumentar la producción a un ritmo de 2𝑢𝑛𝑑/𝑚𝑒𝑠 para el modelo A y 3𝑢𝑛𝑑/𝑚𝑒𝑠 para el modelo B ¿Cómo será el comportamiento del costo total mensualmente? ¿Cuál decisión tomaría? Nota: Los costos marginales se obtienen buscando la variación del costo total con respecto a cada costo por separado.

11. Un cilindro anular tiene un radio interior 𝑟, radio exterior 𝑅 y longitud 𝑙, como se muestra en la figura.

Determine la rapidez con que está variando su superficie en el momento en que los radios y la longitud son



de 6𝑐𝑚, 8𝑐𝑚 y 12𝑐𝑚 respectivamente, y 𝑟 decrece a razón de 0,2𝑐𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑅 decrece a razón de 0,3𝑐𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎 y 𝑙 decrece a razón de 0,5𝑐𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎.

12. Dos objetos se mueven por trayectorias elípticas de ecuaciones paramétricas: 𝑥1 = 4cos(𝑡) e 𝑦1 = 2 sen(𝑡)

(Primer objeto); 𝑥2 = 2 sen(2𝑡) e 𝑦2 = 3cos(2𝑡) (Segundo objeto) ¿A qué ritmo está cambiando la distancia entre ellos cuando 𝑡 = 𝜋?

13. En un tanque en forma de cilindro recto elíptico está fluyendo el agua a la rapidez de 1,4𝜋 𝐿𝑡𝑠/𝑚𝑖𝑛 y está

drenando a la rapidez de 0,2𝜋 𝐿𝑡𝑠/𝑚𝑖𝑛. El Tanque se ensancha de tal forma que aunque sigue siendo elíptico sus ejes aumentan a la rapidez de 2 décimas de milímetro por segundo. Determinar: ¿Qué cambio experimenta el nivel de líquido en el tanque en el instante en que los semiejes valen 2𝑚𝑡𝑠 y 3𝑚𝑡𝑠, y el volumen de líquido es de 50𝜋 𝐿𝑡𝑠?

14. El módulo de la impedancia 𝑍 de un circuito RLC viene dada por: 𝑍 = √𝑅2 + 𝑋2, donde 𝑅 es la resistencia en ohmios (Ω) y 𝑋 la reactancia neta del circuito, también en ohmios, la cual está dada por:

𝑋 = 𝜔𝐿 −1

𝜔𝐶

Donde 𝜔 es la frecuencia medida en Hertz (𝐻𝑧), 𝐿 la inductancia en henrios (ℎ) y 𝐶 la capacitancia en faradios (𝑓). Si inicialmente se tiene que 𝑅 = 400Ω, 𝐿 = 0,4ℎ, 𝐶 = 1 × 10−5𝑓 y 𝜔 = 1000𝐻𝑧; cambiando los

valores a 𝑅 = 425Ω, 𝐿 = 0,45ℎ, 𝐶 = 1,1 × 10−5𝑓, manteniéndose la frecuencia constante y sabiendo que el cambio se realizó en un tiempo de 5𝑠𝑒𝑔, determine con qué rapidez cambió la Impedancia del circuito. ¿Qué significa el resultado obtenido?

15. Una cápsula está hecha de un material radiactivo, tiene forma de cilindro anular cuyas dimensiones son:

radio mayor 6𝑐𝑚, espesor 1𝑐𝑚 y una longitud 10𝑐𝑚, como se muestra en la figura. Determinar la rapidez con la que se desintegra la masa de la cápsula cuando el radio mayor decrece a razón de 1/2 𝑚𝑚/𝑠𝑒𝑔, el radio menor crece a razón de 1/3 𝑚𝑚/𝑠𝑒𝑔 y la longitud decrece a razón de 1/5𝑚𝑚/𝑠𝑒𝑔. Determine cuál es la vida media del material. (Vida media: tiempo que transcurre hasta que se desintegra la mitad de la masa inicial. 𝑚 = 𝜌𝑉, 𝜌 = 19,05𝑔/𝑐𝑚3).

PARTE F: Calcule el gradiente de la función en el punto 𝑷 dado, luego grafíquelo junto con la curva de nivel que pasa por ese punto:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2) ; 𝑃(1,1) 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2

2−

𝑦2

2; 𝑃(√2, 1)

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦;𝑃(√2, 1) 4. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦

𝑥2; 𝑃(1,2)

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦; 𝑃(2,−2) 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑃(√2, √2)

7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 4𝑦2; 𝑃(2,1) 8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9𝑥2 + 4𝑦2; 𝑃 (√2,3√2

2)

PARTE G: Calcule la derivada de la función en el punto 𝑷 en la dirección del vector �⃗⃗� o el ángulo 𝜽 dados:



1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥 + 𝑦2) ; 𝑃 ( 𝜋

2, √𝜋) ; �⃗� = �̂� + 3𝑗̂

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦 − 𝑦2 ; 𝑃(2,1); 𝜃 = 30°

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒3𝑥𝑦−𝑦2 ; 𝑃(0, −1) ; el vector �⃗� va desde 𝑃(2,3) hasta 𝑄(3,1)

4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦 + cos(𝑥𝑦) ; 𝑃(2,0); 𝜃 = 60°

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctg ( 𝑦

𝑥 ) + √3 arcsen (

𝑥𝑦

2 ) ; 𝑃(1,1); �⃗� = 3�̂� − 2𝑗̂

6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 −𝑦2

𝑥− √3 arcsec(2𝑥𝑦) ; 𝑃(1,1); 𝜃 = 45°

PARTE H: Hallar las direcciones en que las funciones aumentan y disminuyen más rápidamente. Después encuentre las derivadas de las funciones en esa dirección:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 − 𝑒𝑥𝑦sen(𝑦);𝑃(1,0) 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦; 𝑃(1, ln(2))

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2; 𝑃(−1,1) 4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦3; 𝑃(2,1)

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen(3𝑥 − 𝑦);𝑃 ( 𝜋

6,𝜋

4 ) 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(4𝑥 − 𝑦); 𝑃(3,1)

PARTE I: Resolver los siguientes problemas aplicando la teoría sobre Gradiente y Derivada Direccional: 1. La elevación de una montaña se expresa por: ℎ(𝑥, 𝑦) = 100 − 4𝑥2 − 2𝑦2. Indica, a partir del punto (2,1),

¿en cuál dirección se deslizará más rápidamente el agua de lluvia? Grafica y explica la situación. ¿Será posible que se deslice en sentido contrario al resultado obtenido? ¿Por qué?

2. Un insecto se encuentra en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad de dicho ambiente está dado

por 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 − 4𝑦2. Si el insecto está en el punto (−1,2) a) ¿En qué dirección deberá moverse para disminuir lo más rápidamente posible el nivel de toxicidad? b) ¿En qué direcciones no varía dicho nivel?

3. En cierto punto la derivada de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) en la dirección que va desde 𝑃(4,2√3) hasta 𝑄(5, √3)

es de −√3/2 y en la dirección de 30° con el eje 𝑥 positivo es de −1 2⁄ . ¿En qué direcciones la función no varía?

4. La superficie del lago “Ness” se representa por una región 𝐷 de tal manera que la profundidad en metros

debajo de un punto cualquiera está dada por:

𝑃(𝑥, 𝑦) = 300 − 2𝑥2 − 3𝑦2

donde 𝑥 y 𝑦 son medidas en metros y coinciden con los ejes cardinales (𝑥 positivo = este; 𝑦 positivo = norte). Un bote está siguiendo una señal de radar que presume que es el monstruo del lago, si en el primer avistamiento el bote se encuentra en el punto (4,9) y observa que la señal se dirige al sitio de mayor profundidad: a) ¿Cuál es la profundidad en ese punto? b) ¿En qué dirección debe dirigirse el bote para



alejarse del monstruo? c) ¿En qué dirección no cambia la profundidad? d) Si el bote se dirige en la dirección dada por el vector �⃗� = −4�̂� − 2𝑗,̂ ¿se aleja o acerca al monstruo? Explique.

5. Un grupo de ingenieros, por medio del sonar, desarrollan un modelo del fondo (perfil) oceánico en un sector

del golfo de Venezuela como sigue 𝑃(𝑥, 𝑦) = 200 + 30𝑥2 + 25𝑦2 − 20𝑥𝑦, donde 𝑃 es la profundidad en metros y (𝑥, 𝑦) su posición medida en kilómetros respecto a las direcciones sur-norte (eje 𝑦) y oeste-este (eje 𝑥). Si un barco está en el punto de coordenadas (1,1), ¿En qué dirección se consigue el máximo cambio de profundidad y cuánto vale?¿En qué dirección el barco estará a una misma distancia del fondo? Si deciden trasladarse a una torre ubicada al nor-oeste ¿Qué tan rápido cambia la profundidad en esa dirección? Si deciden bajar el ancla ¿Cuál dirección deben seguir para disminuir lo más rápido posible la profundidad?

6. La distribución territorial del mosquito patas blancas admite como modelo, la ecuación:

𝑃(𝑥, 𝑦) = 8𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 2𝑦2 donde (𝑥, 𝑦) da la posición en metros respecto a las direcciones sur-norte (eje 𝑦), oeste-este (eje 𝑥). Partiendo del punto (−50,25), preguntamos: a) ¿Cuántos mosquitos se encuentran en esas coordenadas? b) ¿Qué dirección deben tomar los fumigadores para hallar la mayor cantidad de mosquitos posibles? c) ¿En cuáles direcciones no varía la población de mosquitos?

7. La superficie de cierta colina se representa mediante la función:

ℎ(𝑥, 𝑦) = sen(𝑥2 − 𝑦2)cos(𝑥2 − 𝑦2)

Donde ℎ es la altura medida en metros, (𝑥, 𝑦) su posición medida en metros respecto a las direcciones este-

oeste (eje horizontal), y norte-sur (eje vertical). A partir del punto 𝑃 (√𝜋 2⁄ ,√𝜋 6⁄ ): calcular la máxima

pendiente de la colina. Si un excursionista se ubica en el punto indicado, ¿hacia dónde deberá movilizarse para ascender lo más rápidamente posible?

8. La altura en metros de una montaña medida sobre un punto cualquiera (𝑥, 𝑦), situado sobre el nivel del

mar, se determina mediante la función:

ℎ(𝑥, 𝑦) =𝑒𝑥2−4𝑦2

10

Para un montañista ubicado en el punto (−20,10), encuentre: a) La dirección que debe seguir el montañista para llegar al pico de la montaña lo más rápidamente posible. ¿Cuál es la razón de cambio en esa dirección? b) Si el montañista decide tomar un rumbo en dirección noroeste ¿Subirá o bajará de la montaña? ¿Cuál es la razón de cambio en esa dirección?

9. Desde algún punto en una montaña, un alpinista observa que la pendiente en dirección al este es de −1 2⁄

y que la pendiente en dirección al norte es de −1 4⁄ . ¿En qué dirección debe avanzar para lograr el descenso más rápido?

10. Sea

𝑇(𝑥, 𝑦) =44

𝑥2 + 𝑦2 + 9

la temperatura registrada en cualquier punto de una placa circular, donde 𝑇 está medida en grados celcius y (𝑥, 𝑦) se expresan en pulgadas. A partir de 𝑃(3,2): a) ¿En cuál dirección, respecto a la horizontal, se



obtiene la mínima razón de cambio de 𝑇? b) ¿Cuál es ese valor mínimo? c) ¿En qué dirección mantendría la misma temperatura?

11. La profundidad de los yacimientos en la faja petrolífera del Orinoco admiten como modelo la ecuación:

ℎ(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 + 10𝑦 − 0,001𝑥(𝑥 + 2𝑦) − 0,001𝑦(𝑥 + 𝑦) − 1000

Donde (𝑥, 𝑦) representa la posición en metros respecto a las direcciones sur-norte (eje 𝑦) y oeste-este (eje 𝑥). Partiendo del punto (1500,2000), determine: a) ¿A qué profundidad se encuentra el petróleo en esas coordenadas? b) ¿Qué dirección debe tomarse para encontrar petróleo lo más rápido posible? c) ¿Con qué rapidez varía la profundidad en la dirección 30° al sur medidos desde el oeste? d) ¿En cuáles direcciones no varía la profundidad?

12. Una loma puede modelarse mediante la ecuación:

ℎ(𝑥, 𝑦) = 300𝜋 − 0,1𝜋(𝑥2 + 𝑦2) + sen ( 𝜋𝑥𝑦

100 )

Donde ℎ es la altura en metros y (𝑥, 𝑦) su posición medidas en metros respecto a los ejes sur-norte (eje 𝑦) y oeste-este (eje 𝑥). Si una persona se encuentra ubicado en un punto de coordenadas (10,20), determine: ¿A qué altura se encuentra esa persona? Si su casa se encuentra en lo más alto de la colina, ¿qué dirección debe tomar para llegar a ella más rápidamente? Si se desea encontrar con su mamá que se encuentra en dirección de 30° al sur medidos desde el este desde su posición, ¿cuál es la inclinación de la montaña en esa dirección? Si se desea permanecer a la misma altura, ¿qué direcciones debe tomar?

13. Las existencias gasíferas en el subsuelo de un país admite como modelo la función

ℎ(𝑥, 𝑦) = 20 + (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) + 𝑥2 − 𝑦2

donde ℎ es la profundidad medida en metros y (𝑥, 𝑦) es la posición en metros de una perforadora para extracción de gas. Partiendo del punto (−2,−1), determine: a) ¿A qué distancia se encuentra del yacimiento en el subsuelo en ese instante? b) ¿En qué dirección debe moverse para encontrar gas más cerca de la superficie, con la mayor rapidez posible? c) ¿En cuáles direcciones la profundidad no cambia?

14. La elevación en metros de una colina viene dada por la función:

ℎ(𝑥, 𝑦) = 4000 − 0,001𝑥2 − 0,004𝑦2

Un criador de ovejas decide llevar su rebaño a pastar exactamente sobre el punto (500,300), encuentre: a) La altura en la que se encuentra pastando el rebaño. b) ¿Cuál es la dirección en la que se debe mover el rebaño para terminar con el pasto que se encuentra a esa altura? c) Si de pronto se acaba el pasto a esa altura, pero el criador sabe que en dirección noreste encontrará un pasto virgen, ¿cuál es la pendiente de la colina que enfrentará el criador en esa dirección? ¿El rebaño tendrá que subir o bajar de la colina para encontrar el nuevo pasto? d) Si de pronto comienza a llover en la colina, ¿en qué dirección se debería mover para bajar lo más rápido posible con el rebaño? e) Si el rebaño se ve amenazado por algún depredador, el criador sabe que sobre el punto (450,320) está ubicado un refugio para su protección. ¿Qué dirección tomaría para llegar al refugio partiendo de su posición inicial? ¿Qué pendiente enfrentará en esa dirección? f) Si el criador decide visualizar su rebaño desde lo más alto de la colina, ¿qué dirección seguirá para alcanzar la cima lo más rápido posible? ¿Cuál es la pendiente de la colina en esa dirección?

15. La superficie de una colina admite como modelo la ecuación:



ℎ(𝑥, 𝑦) =sen(𝑥2 + 𝑦2)

𝑥2 + 𝑦2

donde ℎ es la altura medida en metros y (𝑥, 𝑦) su posición respecto a las direcciones sur-norte (eje 𝑦) y

oeste-este (eje 𝑥). Si un campesino está en el punto cuyas coordenadas son 𝑃 (√𝜋 4⁄ ,√𝜋 2⁄ ), se desea

saber: a) ¿A qué altura se encuentra? b) ¿Qué dirección debe tomar para alcanzar la máxima pendiente? c) ¿Cuál es la pendiente de la montaña en la dirección 30° al sur medidos desde el oeste? d) ¿En cuáles direcciones se mantiene a la misma altura?

PARTE J: Encuentre los extremos relativos de las siguientes funciones:

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥3 + 2𝑦3 − 3𝑥2 − 3𝑥𝑦2 + 10 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦2 − 2𝑥3𝑦 − 𝑦2

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 𝑦3 − 𝑥2 + 3𝑥𝑦2 + 1 4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥4 − 𝑥𝑦2 + 2𝑦2

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦2 − 2𝑥3𝑦 + 𝑦2 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 + 3𝑥2𝑦 − 3𝑥2 − 3𝑦2 + 4

7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 + 3𝑥2𝑦 − 3𝑥2 − 3𝑦2 + 4 8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3 − 𝑥)(3 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 3)

9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑥 + 3𝑦2 − 6𝑥𝑦 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 2𝑦2

11. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥28𝑥𝑦−𝑦2 12. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦)

13. 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen(𝑥) + cos(𝑦) ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝜋 14. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑦

PARTE K: Utilizar el Método de los Multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos relativos de las siguientes funciones sujetas a la restricción dada:

Función Restricción Función Restricción

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2𝑥 + 𝑦 = 100

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 𝑦 + 10 𝑥2𝑦 = 6 4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √6 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 2𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0 6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 𝑥𝑦 = 32

7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 4𝑦2 + 6 2𝑥 − 8𝑦 = 20 8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑦 + 6 𝑥2 + 𝑦2 = 4

9. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 10. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6

PARTE L: Utilizar el Método de los Multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas de optimización: 1. Una persona quiere sembrar un jardín rectangular a lo largo de uno de los lados de su casa y colocar una

cerca en los otros tres lados del jardín. Encuentre las dimensiones del jardín de mayor área que puede ser bordeado con 40𝑚𝑡𝑠 de cerca.

2. Un refugio contra el viento para la playa hecho de lona tiene un techo, dos paredes laterales cuadradas y

una pared posterior. Suponga que se van a utilizar 96𝑝𝑖𝑒2 de lona. Encuentre las dimensiones del refugio de manera que el espacio interior sea máximo.



3. Un ingeniero desea fabricar vasos en forma de cilindro circular recto sin tapa con un volumen de 64𝑝𝑢𝑙𝑔3. Hallar las dimensiones necesarias para que la cantidad de material empleado sea mínima.

4. Debido al racionamiento de agua, una persona desea construir un tanque subterráneo de concreto con

forma de paralelepípedo con una capacidad de 80𝑚3, si los costos de los materiales hace que el fondo cueste 1,5 veces lo que las paredes y la tapa (por metro cuadrado), encuentre las dimensiones requeridas para el tanque donde el costo de fabricación sea mínimo. Si el costo de construcción para las paredes y la tapa es de 30𝐵𝑠/𝑚2, ¿cuánto es el costo mínimo total de la obra?

5. La empresa “LUBRIFALCON” desea fabricar recipientes cilíndricos (sin tapa) que puedan almacenar 40𝑝𝑢𝑙𝑔3

de lubricante. Si el material del cuerpo cuesta 1000𝐵𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔2 y el del fondo 4000𝐵𝑠/𝑝𝑢𝑙𝑔2, hallar las dimensiones que debería tener el recipiente para que el gasto en materiales sea el mínimo posible (Indique dicho costo).

6. Hallar las dimensiones de una ventana de 24𝑐𝑚 de perímetro que deje pasar la mayor cantidad de luz

posible, si la ventana tiene forma de un rectángulo coronado de un triángulo isorrectángulo. 7. Un joyero cuenta con un baño de oro puro para cubrir una superficie de 1𝑚2. Tiene pensado cubrir dos

joyas; una con forma de esfera y otra con forma de cubo. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones para que el volumen total de ambas joyas sea el máximo posible?

8. Se desea construir una piscina de 48𝑚3 con tres tipos de materiales. Para el fondo se usará material del

tipo II y para las paredes del tipo I y III. Si el costo de los materiales tipo I, II y III es 1000𝐵𝑠/𝑚2, 4000𝐵𝑠/𝑚2 y 3000𝐵𝑠/𝑚2 respectivamente, determine las dimensiones necesarias para que el costo sea el más mínimo posible.

9. Una compañía de equipos de sonido vende dos tipos de parlantes. La ganancia por vender 𝑥 parlantes de la

marca A e 𝑦 parlantes de la marca B se calcula en 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 5𝑥𝑦 𝐵𝑠/𝑑𝑖𝑎. Si se sabe que la compañía no puede fabricar más de 60 parlantes diarios para la venta, determine la máxima ganancia para la empresa por la venta de los parlantes.

10. La temperatura en un punto (𝑥, 𝑦) sobre una placa metálica es 𝑇(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 −

4𝑥𝑦 + 𝑦2. Una hormiga camina sobre la placa alrededor de un círculo de radio 5 con centro en el origen. ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima que encuentra la hormiga?

11. Sea 𝑇(𝑥, 𝑦) = 100 + 2𝑥2 + 𝑦2 la temperatura en cada punto de una esfera centrada

en el origen de radio √50. Hallar la máxima temperatura en la curva que resulta de la intersección de la esfera con el plano 𝑧 = 𝑥.

12. Un depósito cilíndrico recto está coronado por una tapa cónica como se muestra en la figura. El radio es de

3𝑚 y su superficie total es de 81𝑚2. Calcule las alturas 𝑥 e 𝑦 de manera que el volumen del depósito sea máximo.

13. Un hacendado tiene la necesidad de hacer un pasadizo de cemento desde la puerta de su casa ubicada en

el punto (2,3), a un estanque. Por el costo que representaría, necesita acortar la distancia entre su casa y el estanque. Si el estanque tiene por forma la representación de la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 1, ¿cuál debe ser el punto que minimice la distancia?



14. Una cápsula radioactiva, cuya superficie tiene la forma de un elipsoide de ecuación 2𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2 = 20, flota sobre el agua frente a las costas venezolanas. La temperatura, en la superficie de la cápsula, se obtiene mediante la función 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥2 + 4𝑦𝑧 − 8𝑧 + 300, donde las variables representan las coordenadas de cualquier punto 𝑃 en la superficie de la cápsula. Ubicar cuáles son los puntos de máxima temperatura sobre la superficie de la cápsula radioactiva. Interpretar el resultado.

15. Se dispone de una lámina rectangular de metal de 12𝑝𝑢𝑙𝑔 de ancho, con la que se quiere construir un canal

cuya sección transversal tenga forma trapezoidal para transportar agua de lluvia. La lámina debe doblarse de tal manera que los lados formen ángulos con la horizontal. Determine las dimensiones que permitan el paso de la mayor cantidad de agua posible.

GUÍA DE EJERCICIOS · b) Los radios decrecen a razón de 1,5 / O . c) El radio interior crece a...

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