GuÃa 3 (Máximos y mÃnimos)
-
Upload
marco-san-martin-hormazabal -
Category
Documents
-
view
5 -
download
0
description
Transcript of GuÃa 3 (Máximos y mÃnimos)
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre de 2010
MAT 1630 - Calculo IIIGuıa III.
Los siguientes ejercicios complementan los hallados en las secciones 12.4 y12.5 y en todo el capıtulo 14 del texto guıa (Stewart, IV Ed.) ası como en lassecciones correspondientes del texto de Pita Ruiz.
1. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y) = x2y + y2.
2. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y) = (y − x)2(y + x).
3. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y) = (x2 + 3y2)ex2−y2.
4. Encontrar y analizar los puntos crıticos de f(x, y, ) = x5y + xy5 + xy.
5. Encontrar y analizar los puntos crıticos de:
f(x, y) = 2x3 + (x− y)2 − 6y .
6. Extremar la expresion x−y + z en la esfera de ecuacion x2 +y2 + z2 = 1.
7. Extremar la expresion x − y + z en la region x2 + y2 + z2 ≤ 1 x ≥ 0,y ≥ 0 y z ≥ 0.
8. Dada la funcion f(x, y) = x2 + y2 − xy − 6y + 14, extremarla en lasregiones:
(i) D = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}.(ii) D = {(x, y) ∈ R2 | x + y ≤ 4, 0 ≤ y ≥ x2, x ≥ 0}.
1
9. ¿Para que puntos P (x, y) es mınima la suma de los cuadrados de susdistancias a los puntos Pk(xk, yk), k = 1, 2, 3, · · · , n?
10. Determinar los puntos de la superficie S : z = (xy)−1 que estan mascercanos al origen
11. Determinar y analizar los puntos crıticos de:
(i) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 6x + 2
(ii) g(x, y) = x3 − 3xy + y3
(iii) h(x, y) = sen x + sen y + sen(x + y).
12. Determinar los angulos α, β, γ de un triangulo de modo que el productode sus senos sea maximo.
13. Determinar los valores extremos de la expresion cuadratica x2+y2 sujetosa la condicion 3x2 + 4xy + 6y2 = 140. Interpretar geometricamente losresultados.
14. Determinar la mınima distancia de la recta de ecuacion x + y = 4 a laelipse de ecuacion x2 + 4y2 = 4.
15. Determinar las dimensiones del paralelepıpedo recto de maximo volumen
que puede inscribirse en el elipsoide de ecuacionx2
9+
y2
16+
z2
36= 1.
16. Demostrar que la distancia mınima desde el origen a la curva determinada
por la interseccion de las superficies xyz = a, y = bx es 3
√a(b2 + 1)
2b.
17. Hallar el punto de la elipse de ecuacion 5x2− 6xy + 5y2 = 4 para el cualla respectiva recta tangente esta a la mayor distancia del origen
18. Determinar el area de la region encerrada por la elipse que se genera al
cortar el elipsoide de ecuacionx2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1, con el plano de ecuacion
Ax + By + Cz = 0 .
2
19. Encontrar un primer punto en el espacio de modo que cumpla la condi-cion
x2
3+
y2
4+
z2
9= 1 ,
y un segundo punto que satisfaga la ecuacion x + y + z = 12 y de modoque la distancia entre ellos sea mınima.
20. La ecuacion del plano tangente al elipsoide de ecuacionx2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
en su punto P0(x0, y0, z0) esxox
a2+
y0y
b2+
z0z
c2= 1. Determinar el mınimo
volumen encerrado entre este plano tangente y los planos coordenados.
21. Si el volumen de un elipsoide con semiejes a, b, c es4
3πabc, determinar
la ecuacion del elipsoide de volumen mınimo que teniendo como ejes desimetrıa a los ejes coordenados pasa por el punto P0(2,−3, 5).
22. Si xk , k = 1, 2, 3, · · · , n son n numeros reales positivos tales quen∑
k=1
xk = 1, ¿cuales seran los valores de ellos que hacen maxima la expre-
sionn∑
k=1
xk log1
xk
?
23. Una confiterıa produce pastillas y calugas a un costo de $ 50 y $ 60 labolsa, respectivamente. Si la bolsa de pastillas se vende a $ x y la decalugas a $ y entonces se pueden vender 250(y − x) bolsas de pastillasy 32000 + 250(x − 2y) de calugas. ¿Cuales son los precios de venta quemaximizan la utilidad?
24. Un fabricante produce maquinas y hojas de afeitar a un costo medioconstante de 40 centavos de dolar por maquina y 20 centavos de dolarpor docena de hojas. Si las maquinas se venden a x centavos cada unay las hojas a y centavos la docena y la demanda del mercado en cada
semananes4000000
xymaquinas y
8000000
xydocenas de hojas. Determinar
si existen precios de venta que maximicen la ganancia; en caso afirmativoencontrarlos.
25. Calcular,utilizando extremacion condicionada, el volumen encerrado porel elipsoide de ecuacion
11x2 + 9y2 + 15z2 − 4xy − 20xz + 10yz = 80 .
3
26. Un fabricante produce pernos, tuercas y tornillos a un costo unitario de$ 40, $ 20 y $ 60, respectivamente. Si los pernos se venden a $ x cadauno, las tuercas a $ y cada una y los tornillos a $ z cada uno, entonces enel mercado es posible colocar x + y + z unidades de cada clase. Debido alas condiciones de mercadotecnia los precios de venta deberan satisfacerlas relaciones:
2x + 3y + 6z = 700 y x2 + y2 = 4900 ,
¿Cuales son los precios de venta que maximizan las utilidades?
27. Mostrar que los valores estacionarios de la funcion u = x2+y2+z2 sujetaa las condiciones
ax2 + by2 + cz2 + 2fyz + 2gyz + 2hxy = 1 , `x + my + nz = 0 ,
estan dados por la ecuacion:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a− 1
uh g `
h b− 1
uf m
g f c− 1
un
` m n 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 .
28. Si x, y, z ∈ R+, encontrar el valor maximo de xmynzp, con m, n, p ∈ R+,cuando x + y + z = a. Deducir que:
1
2x +
1
3y +
1
6z ≥ x
12 · y 1
3 · z 16 .
4