MEDIOS DE COMUNICACIÓN MASIVOS (MCM ) MASIVOS (MCM ) Nombre: Cathy Castillo Rojas Curso: 4º Básico.
Guíadeactividades! · 2015-07-24 · 6.4!!9,15ax y x y34 2 5!! Solución:! 9,15 ... 10 ,15 ,20 . ....
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Guía de actividades Mínimo Común Múltiplo Profesor Fernando Viso
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Guía de actividades
Mínimo Común Múltiplo Profesor Fernando Viso
GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía #92. Tema: M.C.M. (Algebra de Baldor).
Fecha: ____________ Profesor: Fernando Viso
Nombre del alumno:___________________________________________ Sección del alumno:____________________________________________
CONDICIONES:
• Trabajo individual. • Sin libros, ni cuadernos, ni notas. • Sin celulares. • Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado
para resolver cada problema. • No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. • No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni
calculadoras prestadas.
Marco Teórico: PREGUNTAS: Ejercicio 115.-‐ Algebra de Baldor. Hallar el m.c.m. de: 1.-‐ 2 2,a ab Solución: 2 2 2 2, . . .a ab mc m a b⇒ =
2.-‐ 2 2,x y xy Solución: 2 2 2 2, . . .x y xy m c m x y⇒ =
3.-‐ 2 2,ab c a bc Solución:
2 2 2 2, . . .ab c a bc mc m a b c⇒ = 4.-‐ 2 3 3 2,a x a bx Solución: 2 3 3 2 3 3, . . .a x a bx mcm a bx⇒ =
5.-‐ 2 36 ,4m n m Solución:
2 3 2 3 36 ,4 . . . 3 2 12m n m mcm m n m n⇒ = ⋅ ⋅ = 6.-‐ 3 4 2 59 ,15ax y x y Solución:
3 4 2 5 2 3 5 3 59 ,15 . . . 3 5 45ax y x y m c m ax y ax y⇒ = ⋅ ⋅ = 7.-‐ 3 2 2, ,a ab a b Solución: 3 2 2 3 2, , . . .a ab a b mcm a b⇒ =
8.-‐ 2 2 3, ,x y xy xy z Solución: 2 2 3 2 3, , . . .x y xy xy z m c m x y z⇒ =
9.-‐ 2 2 32 ,4 ,8ab a b a Solución:
2 2 3 3 3 2 3 22 ,4 ,8 . . . 2 8ab a b a mcm a b a b⇒ = =
10.-‐ 2 3 3 3 2 4 2 4 3 2
4 3 2
3 ,4 ,6 . . . 2 3. . . 12x y z x y z x m c m x y zm c m x y z
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ =
=
11.-‐ 2 2 3 36 ,9 ,12mn m n m n Solución:
2 2 3 3 2 2 3 3
3 3
6 ,9 ,12 . . . 2 3. . . 36mn m n m n m c m m nm c m m n
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
=
12.-‐ 2 2 23 ,4 ,8a b x
Solución:
2 2 2 3 2 2 2 2 2 23 ,4 ,8 . . . 2 3 24a b x mcm a b x a b x⇒ = ⋅ ⋅ = 13.-‐ 2 25 ,10 ,15x xy xy Solución:
2 2 2 2 2 25 ,10 ,15 . . . 2 3 5 30x xy xy m c m x y x y⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = 14.-‐ 3 2 3 2 2 3, ,ax y a xy a x y Solución:
3 2 3 2 2 3 3 3 3, , . . .ax y a xy a x y m c m a x y⇒ = 15.-‐ 2 24 ,6 ,3ab a b Solución:
2 2 2 2 2 2 24 ,6 ,3 . . . 2 3 12ab a b mcm a b a b⇒ = ⋅ ⋅ = 16.-‐ 3 2 4 23 ,6 ,9x x x y Solución:
3 2 4 2 2 4 2 4 23 ,6 ,9 . . . 2 3 18x x x y m c m x y x y⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = 17.-‐ 2 2 2 3 39 ,12 ,18a bx ab x a b x Solución:
2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 29 ,12 ,18 . . . 2 3 36a bx ab x a b x mcm a b x a b x⇒ = ⋅ ⋅ = 18.-‐ 2 2 310 ,15 ,20m mn n Solución:
2 2 3 2 2 3 2 310 ,15 ,20 . . . 2 3 5 60m mn n mcm m n m n⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = 19.-‐ 3 2 318 ,24 ,36a b ab Solución:
3 2 3 3 2 3 3 3 318 ,24 ,36 . . . 2 3 72a b ab mcm a b a b⇒ = ⋅ ⋅ = 20.-‐ 2 3 3 220 ,24 ,30m n m n mn Solución:
2 3 3 2 3 3 3 3 320 ,24 ,30 . . . 2 3 5 120m n m n mn mcm m n m n⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = 21.-‐ 2 2 2 3 3 3, , ,ab bc a c b c Solución:
2 2 2 3 3 3 2 3 3, , , . . .ab bc a c b c mcm a b c⇒ = 22.-‐ 2 3 2 3 32 ,8 ,4 ,12x y xy a x a Solución:
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 32 ,8 ,4 ,12 . . . 2 .3 24x y xy a x a m c m a x y a x y⇒ = ⋅ = 23.-‐ 2 2 36 ,9 ,12 ,18a x ay x y Solución
2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 26 ,9 ,12 ,18 . . . 2 3 36a x ay x y m c m a x y a x y⇒ = ⋅ ⋅ = 24.-‐ 2 2 3 415 ,10 ,20 ,25mn m n mn Solución:
2 2 3 4 2 2 2 4
2 4
15 ,10 ,20 ,25 . . . 2 3 5. . . 300
mn m n mn m c m m nm c m m n
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
25.-‐ 2 3 2 4 2 5 3 624 ,36 ,40 ,60a x a y x y a y Solución:
2 3 2 4 2 5 3 6 3 2 3 3 6
3 3 6
24 ,36 ,40 ,60 . . . 2 3 5. . . 360a x a y x y a y m c m a x y
m c m a x y⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ =
=
26.-‐ 3 2 2 3 2 23 ,8 ,10 ,12 ,16a ab b a b a b Solución:
3 2 2 3 2 2 4 3 3
3 3
3 ,8 ,10 ,12 ,16 . . . 2 3 5. . . 240a ab b a b a b m c m a bm c m a b
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ =
=
Ejercicio 116. (Algebra de Baldor) Encontrar el m.c.m. de: 1.-‐ 2 ,4 8a x − Solución:
( ) ( ) ( )22 ,4 8 2 ,4 2 . . . 2 2 4 2a x a x mc m a x a x− ⇒ − ⇒ = ⋅ ⋅ − = − 2.-‐ 2 23 ,b ab b− Solución:
( ) ( )2 2 2 23 , 3 , . . . 3b ab b b b a b mc m b a b− ⇒ − ⇒ = − 3.-‐ 2 2 2,x y x y xy+ Solución:
( ) ( )2 2 2 2 2, , . . .x y x y xy x y xy x y mc m x y x y+ ⇒ ⋅ + ⇒ = ⋅ + 4.-‐ 8,4 8a+ Solución:
( ) ( ) ( )3 2 38,4 8 2 ,2 1 2 . . . 2 1 2 8 1 2a a mc m a a+ ⇒ + ⇒ = ⋅ + = + 5.-‐ 2 2 2 36 ,3 6a b a b ab+ Solución:
( ) ( )2 2 2 3 2 2 2 26 ,3 6 6 ,3 2 6 2a b a b ab a b ab a b a b a b+ ⇒ + ⇒ + 6.-‐ 2 214 ,6 4x x xy+ Solución:
( )( )
2 2 2
2
14 ,6 4 . . . 14 ,2 3 2
. . . 14 3 2
x x xy m c m x x x y
m c m x x y
+ ⇒ = ⋅ + ⇒
= +
7.-‐ 29 ,6 12m mn mn− Solución:
( )( ) ( )
2
2
9 ,6 12 . . . 9 ,6 2
. . . 2 3 2 18 2
m mn mn m c m m mn n
m c m mn n mn n
− ⇒ ⇒ − ⇒
= ⋅ ⋅ − = −
8.-‐ 15,3 6x+ Solución:
( ) ( ) ( )15,3 6 . . . 3 5,3 2 . . . 3 5 2 15 2x mc m x mc m x x+ ⇒ ⇒ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + = + 9.-‐ 10,5 15b− Solución:
( )( ) ( )
10,5 15 . . . 2 5,5 1 3
. . . 2 5 1 3 10 1 3
b m c m b
m c m b b
− ⇒ ⇒ ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ − = −
10.-‐ 236 ,4 12a ax ay− Solución:
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
36 ,4 12 . . . 2 3 ,2 3
. . . 2 3 3 36 3
a ax ay m c m a x y
m c m a x y a x y
− ⇒ ⇒ ⋅ − ⇒
= ⋅ ⋅ ⋅ − = −
11.-‐ 2 2 3 2 312 ,2 5xy ax y x y+ Solución:
( )( ) ( )
2 2 3 2 3 2 2 2 3
2 2 3 2 3
12 ,2 5 . . . 2 3 , 2 5
. . . . . . 2 3 2 5 12 2 5
xy ax y x y m c m xy x y a
m c m mc m x y a x y a
+ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ + ⇒
= = ⋅ ⋅ + = +
12.-‐ 2 3 2, ,mn m mn mn− Solución:
( )( )
2 3 2 2 2
2 2
, , . . . , , 1
. . . 1
mn m mn mn m c m mn m mn n
m c m m n n
− ⇒ ⇒ − ⇒
⇒ = −
13.-‐ 2 22 ,6 ,3 6a ab a ab− Solución:
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 ,6 ,3 6 . . . 2 ,2 3 ,3 2
. . . 2 3 2 6 2
a ab a ab m c m a ab a a b
m c m a b a b a b a b
− ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ − = −
14.-‐ 2 2 3 5 4, ,5 5xy x y x x− Solución:
( )( )
2 2 3 5 4 2 2 3 4
4 3
, ,5 5 . . . , ,5 1
. . . 5 1
xy x y x x m c m xy x y x x
m c m x y x
− ⇒ ⇒ − ⇒
⇒ = −
15.-‐ 2 3 4 3 29 ,18 ,27 81a b a b a b+ Solución:
( )( ) ( )
2 3 4 3 2 2 2 2 3 3 3
3 3 3 3 3
9 ,18 ,27 81 . . . 3 ,2 3 ,3 3
. . . 2 3 3 54 3
a b a b a b m c m a b a b a b
m c m a b a b a b a b
+ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + = +
16.-‐ 2 3 310,6 ,9 9x x y xy+ Solución:
( )( ) ( )
2 3 3 222 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
10,6 ,9 9 , . . 2 5,2 3 ,3
. . . 2 3 5 90
x x y xy m c m x xy x y
m c m x y x y x y x y
+ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + = +
17.-‐ 3 2 24 , ,x x x x y xy+ − Solución:
( ) ( )( )( ) ( )
3 2 2 2 2
2 2 2 2
4 , , . . . 2 , 1 , 1
. . . 2 1 1 4 1
x x x x y xy m c m x x x xy x
m c m x y x x x y x
+ − ⇒ ⇒ + − ⇒
⇒ = ⋅ + − = −
18.-‐ 224,6 18 ,8 24m m m+ − Solución:
( ) ( )( )( ) ( )
2 3 3
3 2
24,6 18 ,8 24 . . . 2 3,2 3 3 ,2 3
. . . 2 3 3 3 24 9
m m m m c m m m m
m c m m m m m m
+ − ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ + − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + − = −
19.-‐ 2 22 ,3 3 ,6 18a b ax a x+ − Solución:
( ) ( )( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 ,3 3 ,6 18 . . . 2 ,3 1 ,6 3
. . . 6 1 3 6 2 3
a b ax a x m c m a b a x x
m c m a b x x a b x x
+ − ⇒ ⇒ + − ⇒
⇒ = + − = − −
20.-‐ 2 3 2 2, 2 , 4 4x x x x x x+ − + + Solución:
( )( ) ( )
( )( )
22 3 2 2 2
22
, 2 , 4 4 . . . , 2 1 , 2
. . . 1 2
x x x x x x m c m x x x x x
m c m x x x
+ − + + ⇒ ⇒ ⋅ + − + ⇒
⇒ = − +
21.-‐ 2 2 2 26 , 4 4 ,9 18ab x xy y a x a y− + − Solución:
( ) ( )
( ) ( )
22 2 2 2 2 2
2 22 2 2
6 , 4 4 ,9 18 . . . 2 3 , 2 ,3 2
. . . 2 3 2 18 2
ab x xy y a x a y m c m ab x y a x y
m c m a b x y a b x y
− + − ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ − = −
22.-‐ 3 3 2 4 26 ,3 3 18 ,9 36x x x x x x− − − Solución:
( ) ( )( )( ) ( )( )
3 3 2 4 2 3 2 2 2 2
2 3 2 3 2
6 ,3 3 18 ,9 36 . . . 2 3 ,3 6 ,3 4
. . . 2 3 3 4 18 3 4
x x x x x x m c m x x x x x x
m c m x x x x x x
− − − ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⇒
⇒ = ⋅ − − = − −
23.-‐ 2 2 3 2 2 4 3,4 12 9 ,2 3a x x x y xy x x y− + − Solución:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 3 2 2 4 3 2 2 2 2 3
2 22 2 3 2 3
,4 12 9 ,2 3 , 2 12 9 , 2 3
, 2 3 , 2 3 . . . 2 3
a x x x y xy x x y a x x x xy y x x y
a x x x y x x y m c m a x x y
− + − ⇒ − + − ⇒
⇒ − − ⇒ = −
24.-‐ 3 2 2 28 ,12 ,9 45x x y x x− Solución:
( )( ) ( )
3 2 2 2 3 3 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
8 ,12 ,9 45 2 ,2 3 ,3 5
. . . 2 3 5 72 5
x x y x x x x y x x
m c m x y x x y x
− ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ − = −
25.-‐ 3 2 2 2 2 2 2,2 , , 2an n n x n y nx nxy ny+ + + Solución:
( ) ( )
( )( )
23 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
23 2 2
,2 , , 2 ,2 , ,
. . . 2
an n n x n y nx nxy ny an n n x y n x y
m c m an x y x y
+ + + ⇒ + + ⇒
⇒ = + +
26.-‐ 2 3 2 3 2 3 28 , 6 ,2 8 8 ,4 24 36x x x x x x x x x x+ − − + + + Solución:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3 2
2 23 2
2 2 2 23 2 2
8 , 6 ,2 8 8 ,4 24 36
2 , 3 2 ,2 2 ,4 3
. . . 2 3 2 8 2 3
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
m c m x x x x x x
+ − − + + + ⇒
⇒ ⋅ + − − + ⇒
⇒ = + − = − +
27.-‐ 3 3 2 3 23 , 1,2 2 2,6 6x x x x x x+ − + + Solución:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
3 3 2 3 2
3 2 2 2
3 2 3 3
3 , 1,2 2 2,6 6
3 , 1 1 ,2 1 ,2 3 1
. . . 2 3 1 1 6 1
x x x x x x
x x x x x x x x
m c m x x x x x x
+ − + + ⇒
⇒ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + − + = ⋅ +
28.-‐ 2 3 2 2 24 ,3 3 , 2 ,xy x x a ab b ax a bx b− + + − + − Solución:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2
22 2
22 2 2
2 22 2 2 2 2
4 ,3 3 , 2 ,
4 ,3 1 , , 1 1
2 ,3 1 , , 1
. . . 2 3 1 12 1
xy x x a ab b ax a bx b
xy x x a b a x b x
xy x x a b a b x
m c m x y a b x x y a b x
− + + − + − ⇒
⇒ − + − + − ⇒
⇒ ⋅ ⋅ − + + − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + − = ⋅ + −
29.-‐ 2 2 2 3 42 ,4 ,6 ,12 24 12 ,5 5a b a b a ab b ab b− + − Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 3 4
2 2 2 2 3
22 2 2 3
2 22 2 3 2 3
2 ,4 ,6 ,12 24 12 ,5 5
2 ,2 ,2 3 ,3 4 2 ,5
2 ,2 ,2 3 ,2 3 ,5
. . . 2 3 5 60
a b a b a ab b ab b
a b a b a ab b b a b
a b a b a b b a b
m c m a b a b a b a b
− + − ⇒
⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⇒
⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − = −
30.-‐ 2 2 228 , 2 1, 1,7 7,14 14x x x x x x+ + + + + Solución:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
22 2 2
2 22 2 2
28 , 2 1, 1,7 7,14 14
2 7 , 1 , 1,7 1 ,2 7 1
. . . 2 7 1 1 28 1 1
x x x x x x
x x x x x
m c m x x x x x x
+ + + + + ⇒
⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + + = + +
Ejercicio 117. (Algebra de Baldor). Hallar el m.c.m. de: 1.-‐ 3 3,6 6x x+ − Solución:
( ) ( )( )( ) ( )2
3 3,6 6 3 1 ,2 3 1
. . . 2 3 1 1 6 1
x x x x
m c m x x x
+ − ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + − = −
2.-‐ 25 10,10 40x x+ − Solución:
( ) ( )( )( )( ) ( )
2
2
5 10,10 40 5 2 ,2 5 2 2
. . . 2 5 2 2 10 4
x x x x x
m c m x x x
+ − ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + − = −
3.-‐ 3 2 2 22 , 4x x y x y+ − Solución:
( ) ( )( )( )( ) ( )
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 , 4 2 , 2 2
. . . 2 2 4
x x y x y x x y x y x y
m c m x x y x y x x y
+ − ⇒ + + − ⇒
⇒ = + − = −
4.-‐ 2 2 23 9 , 6 9a x a x x− − + Solución:
( ) ( )
( )
22 2 2 2
22
3 9 , 6 9 3 3 , 3
. . . 3 3
a x a x x a x x
m c m a x
− − + ⇒ − − ⇒
⇒ = −
5.-‐ 2 2 2 24 9 ,4 12 9a b a ab b− − + Solución:
( )( ) ( )
( )( )
22 2 2 2
2
4 9 ,4 12 9 2 3 2 3 , 2 3
. . . 2 3 2 3
a b a ab b a b a b a b
m c m a b a b
− − + ⇒ + − − ⇒
⇒ = + −
6.-‐ 3 2 3 2 2, 2a a b a a b ab+ + + Solución:
( ) ( )
( )
23 2 3 2 2 2
22
, 2 ,
. . .
a a b a a b ab a a b a a b
m c m a a b
+ + + ⇒ + + ⇒
⇒ = +
7.-‐ 23 12 ,2 6 8ax a bx bx b+ + − Solución:
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
2 23 12 ,2 6 8 3 4 ,2 3 4
3 4 ,2 4 1
. . . 6 1 4
ax a bx bx b a x b x x
a x b x x
m c m ab x x
+ + − ⇒ + ⋅ + − ⇒
⇒ + + − ⇒
⇒ = − +
8.-‐ 3 225 , 2 15x x x x− + − Solución:
( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )
3 2
2
25 , 2 15 5 5 , 5 3
. . . 5 3 5 25 3
x x x x x x x x x
m c m x x x x x x x
− + − ⇒ + − + − ⇒
⇒ = − − + = − −
9.-‐ ( ) ( )2 21 , 1x x− − Solución: ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 22
2
1 , 1 1 , 1 1
. . . 1 1
x x x x x
m c m x x
− − ⇒ − + − ⇒
⇒ = + ⋅ −
10.-‐ ( ) ( )2 21 , 1x x+ + Solución: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 , 1 . . . 1 1x x m c m x x+ + ⇒ = + + 11.-‐ ( )33 3,x y x y+ + Solución:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
3 33 3 2 2
3 2 2
, ,
. . .
x y x y x y x xy y x y
m c m x y x xy y
+ + ⇒ + − + + ⇒
⇒ = + − +
12.-‐ ( )33 3,x y x y− − Solución:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
3 33 3 2 2
3 2 2
, ,
. . .
x y x y x y x xy y x y
m c m x y x xy y
− − ⇒ − + + − ⇒
⇒ = − + +
13.-‐ 2 23 10,4 7 2x x x x+ − − − Solución:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
22 2 4 7 4 844 7 2 4 7 2
4 44 8 4 1
2 4 14
x xx x x x
x xx x
− −− − = − − = ⇒
− ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ = − +
Luego:
( )( ) ( )( )( )( )( )
2 23 10,4 7 2 5 2 , 2 4 1
. . . 2 5 4 1
x x x x x x x x
m c m x x x
+ − − − ⇒ + − − + ⇒
⇒ = − + +
14.-‐ 2 230, 3 18a a a a+ − + − Solución:
( )( ) ( )( )( )( )( )
2 230, 3 18 6 5 , 6 3
. . . 5 3 6
a a a a a a a a
m c m a a a
+ − + − ⇒ + − + − ⇒
⇒ = − − +
15.-‐ 3 2 4 3 29 5 45, 2 15x x x x x x− + − + − Solución:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )
3 2 4 3 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
9 5 45, 2 15
9 5 9 , 2 15
9 5 , 5 3
3 3 5 , 5 3
. . . 5 3 3 5 9
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
m c m x x x x x x x
− + − + − ⇒
⇒ − + − + − ⇒
⇒ − + + − ⇒
⇒ + − + + − ⇒
⇒ = + − + = + −
16.-‐ 6 3 4 3 24 32, 2 4x x ax ax ax− − + +
Solución:
( )( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( )( )
6 3 4 3 2
3 3 2 2
2 3 2 2
2 3 2
4 32, 2 4
8 4 , 2 4
2 2 4 4 , 2 4
. . . 2 4 2 4
x x ax ax ax
x x ax x x
x x x x ax x x
m c m ax x x x x
− − + + ⇒
⇒ − + + + ⇒
⇒ − + + + + + ⇒
⇒ = − + + +
17.-‐ ( ) ( )2 2 28 ,12x y x y− − Solución: ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 3 2
2 23
8 ,12 2 ,2 3
. . . 2 3 24
x y x y x y x y x y
m c m x y x y x y x y
− − ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ − + = − +
18.-‐ ( ) ( )2 2 25 ,10x y x y+ + Solución: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 25 ,10 . . . 10x y x y m c m x y x y+ + ⇒ = + +
19.-‐ ( ) ( )3 2 3 36 ,4a m n a b m n+ + Solución: ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
3 32 3 3 2 2 2 2
32 2 2 2
32 2 2
6 ,4 2 3 ,2
. . . 2 3
. . . 12
a m n a b m n m n a b m n m mn n
m c m a b m n m mn n
m c m a b m n m mn n
+ + ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + − + ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + − + =
= = + − +
20.-‐ ( ) ( )3 3 3 3,ax m n x m n− − Solución: ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
3 33 3 3 3 2 2
33 2 2
, ,
. . .
ax m n x m n ax m n x m n m mn n
m c m ax m n m mn n
− − ⇒ − − + + ⇒
⇒ = − + +
21.-‐ 2 2 4 22 2 ,3 3 ,a a a a a a+ − − Solución:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2 2 4 2 2
2 2 2
2 2 ,3 3 , 2 1 ,3 1 , 1
. . . 2 3 1 1 6 1
a a a a a a a a a a a a
m c m a a a a a
+ − − ⇒ + − − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + − = −
22.-‐ 2 3 2 22 , 2 , 4x x x x x+ − − Solución:
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
2 3 2 2 2
2 2 2
2 , 2 , 4 2 , 2 , 2 2
. . . 2 2 4
x x x x x x x x x x x
m c m x x x x x
+ − − ⇒ + − + − ⇒
⇒ = + − = −
23.-‐ 2 2 22, 4 3, 6x x x x x x+ − − + − − Solución:
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
2 2 22, 4 3, 62 1 , 3 1 , 3 2
. . . 3 1 2
x x x x x xx x x x x x
m c m x x x
+ − − + − − ⇒
⇒ + − − − − + ⇒
⇒ = − − +
24.-‐ 2 2 26 13 6,3 14 8,4 12 9a a a a a a+ + + + + + Solución: a).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22 2 6 13 6 3666 13 6 6 13 6
6 66 9 6 4
2 3 3 26
a aa a a a
a aa a
+ ++ + = + + = =
+ ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + ⋅ +
b).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22 2 3 14 3 2433 14 8 3 14 8
3 33 12 3 2
4 3 23
a aa a a a
a aa a
+ ++ + = + + = =
+ ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + ⋅ +
c).-‐
( )229 12 4 3 2a a a+ + = + Luego:
( ) ( )( )2. . . 3 2 2 3 4mcm a a a= + + +
25.-‐ 2 210 10,15 15,5 5x x x+ + − Solución:
( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2 2 4
10 10,15 15,5 5 2 5 1 ,3 5 1 ,5 1 1
. . . 2 3 5 1 1 1 30 1 1 30 1
x x x x x x x
m c m x x x x x x
+ + − ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + − ⇒
= ⋅ ⋅ ⋅ + + − = + − = −
26.-‐ 2 22 2 , ,ax bx ay by x xy x xy− + − + − Solución:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
2 2
2 2
2 2 , , 2 2 , ,
2 , ,
. . . 2 2
ax bx ay by x xy x xy x a b y a b x x y x x y
a b x y x x y x x y
m c m x a b x y x y x a b x y
− + − + − ⇒ − + − + − ⇒
⇒ − + + − ⇒
⇒ = − + − = − −
27.-‐ 2 2 2 24 4 ,6 6 ,15 15a b ab a b a b+ − − Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
4 4 ,6 6 ,15 15
4 ,6 ,15
2 ,2 3 ,3 5
. . . 2 3 5 60
a b ab a b a b
ab a b a b a b
ab a b a b a b a b
m c m ab a b a b ab a b
+ − − ⇒
⇒ + − − ⇒
⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + − = −
28.-‐ 2 325, 125,2 10x x x− − + Solución:
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
2 3 2
2 2 2
25, 125,2 10 5 5 , 5 5 25 ,2 5
. . . 2 5 5 5 25 2 25 5 25
x x x x x x x x x
m c m x x x x x x x
− − + ⇒ + − − + + + ⇒
⇒ = ÷ + − + + = − + +
29.-‐ 2 2 3 2 2 3 2 32 3 , 6 9 ,a ab b a b a b ab ab b− − − + + Solución:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 3 2 2 3 2 3
2 2 2
2 2
22
2 3 , 6 9 ,
3 , 6 9 ,
3 , 3 ,
. . . 3
a ab b a b a b ab ab b
a b a b ab a ab b b a b
a b a b ab a b b a b
m c m ab a b a b
− − − + + ⇒
⇒ − + − + + ⇒
⇒ − + − + ⇒
⇒ = + −
30.-‐ 2 2 3 32 2 ,4 4 ,6 6m mn mn n m n mn+ − − Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 3 3
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 ,4 4 ,6 6
2 ,4 ,6
2 ,2 ,2 3
. . . 2 3 12
m mn mn n m n mn
m m n n m n mn m n
m m n n m n mn m n
m c m mn m n mn m n
+ − − ⇒
⇒ + − − ⇒
⇒ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ − = −
31.-‐ ( ) ( ) ( )2 22 220 ,15 ,12x y x y x y− − + Solución: ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
2 22 2
2 2 2 22
20 ,15 ,12
2 5 ,3 5 ,2 3
. . . 2 3 5 60
x y x y x y
x y x y x y x y
m c m x y x y x y x y
− − + ⇒
⇒ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − + = − +
32.-‐ 2 3 2 4 3 25 14 , 14 49 , 7 18ax ax a x x x x x x+ − + + + − Solución:
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 3 2 4 3 2
2 2 2 2
2 2
22
5 14 , 14 49 , 7 18
5 14 , 14 49 , 7 18
7 2 , 7 , 9 2
. . . 2 7 9
ax ax a x x x x x x
a x x x x x x x x
a x x x x x x x
m c m ax x x x
+ − + + + − ⇒
⇒ + − + + + − ⇒
⇒ + − + + − ⇒
⇒ = − + +
33.-‐ 3 2 4 2 3 22 12 18 ,3 27 ,5 30 45x x x x x x x x− + − + + Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 4 2 3 2
2 2 2 2
2 22
2 2 2 22 2
2 12 18 ,3 27 ,5 30 45
2 6 9 ,3 9 ,5 6 9
2 3 ,3 3 3 ,5 3
. . . 2 3 5 3 3 30 3 3
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
m c m x x x x x x
− + − + + ⇒
⇒ ⋅ − + ⋅ − ⋅ + + ⇒
⇒ ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − + = − +
34.-‐ 2 23 3 ,6 6 ,9 9 ,12 12a a a a− + − + Solución:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2 2 4
3 3 ,6 6 ,9 9 ,12 12
3 1 1 ,2 3 1 ,3 1 ,2 3 1
2 3 1 1 36 1
a a a a
a a a a a
a a a
− + − + ⇒
⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⇒
⇒ ⋅ ⋅ − + = −
35.-‐ ( )2 32 3 2 ,135 40,12 8n n n− − − Solución: ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
2 3 2
2 3 3 2
2 2 2
2 22 2 2
2 3 2 ,135 40,12 8
2 3 2 ,5 27 8 ,2 3 2
2 3 2 ,5 3 2 ,2 3 2
2 3 2 ,5 3 2 9 6 4 ,2 3 2
. . . 2 5 3 2 9 6 4 20 3 2 9 6 4
n n n
n n n
n n n
n n n n n
m c m n n n n n n
− − − ⇒
⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒
⎡ ⎤⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒⎣ ⎦
⇒ ⋅ − ⋅ − + + ⋅ − ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ − + + = − + +
36.-‐ 2 2 212 8 3 2,48 3 32 2,6 5 6mn m n m n n m n n+ − − − + − − − Solución: a).-‐
( ) ( )
( )( )12 8 3 2 4 3 2 3 2
3 2 4 1
mn m n m n n
n m
+ − − = + − + =
= + −
b).-‐ ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2 248 3 32 2 3 16 1 2 16 1
3 2 4 1 4 1
m n n m n m m
n m m
− + − = − + − ⇒
⇒ + + −
c).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
22 2 6 5 6 3666 5 6 6 5 6
6 66 9 6 4
2 3 3 22 3
n nn n n n
n nn n
− −− − = − − = =
− ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = − +⋅
Luego: ( )( )( )( ) ( )( )( )2. . . 3 2 2 3 4 1 4 1 3 2 2 3 16 1mcm n n m m n n m= + − + − = + − −
37.-‐ 3 2 3 2 2 5 2 4 2 318 60 50 ,12 20 ,15 16 15x x x ax ax a x a x a x+ + + + − Solución:
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 2 5 2 4 2 3
2 2 2 2 3 2
18 60 50 ,12 20 ,15 16 15
2 9 30 25 ,2 3 5 , 15 16 15
x x x ax ax a x a x a x
x x x ax x a x x x
+ + + + − ⇒
⇒ ⋅ + + ⋅ + + −
a).-‐ ( )229 30 25 3 5x x x+ + = + b).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22 2 15 16 15 2251515 16 15 15 16 15
15 1515 9 15 25
5 3 3 53 5
x xx x x x
x xx x
+ −+ − = ⋅ + − = =
− ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = − ⋅ +⋅
Luego:
( ) ( )22 3. . . 2 3 5 5 3mcm a x x x= + − 38.-‐ 4 2 4 2 416 ,16 8 ,16 8x x x x x− + + − + Solución:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 4 2 4
2 22 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2
16 ,16 8 ,16 8
4 4 , 4 , 4
. . . 4 4 4 2 2
x x x x x
x x x x
m c m x x x x x
− + + − + ⇒
⇒ + − + − ⇒
= + − = + + −
39.-‐ ( )22 31 , 1 ,1a a a+ + + Solución:
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
2 22 3 2 2
22 2
1 , 1 ,1 1 , 1 , 1 1
. . 1 1 1
a a a a a a a a
m c m a a a a
+ + + ⇒ + + + − + ⇒
⇒ = + + − +
40.-‐ 2 2 28 10 3,20 13 2,10 11 6n n n n n n− − + + − − Solución: a).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
22 2 8 10 8 2488 10 3 8 10 3
8 88 12 8 2
2 3 4 12 4
n nn n n n
n nn n
− −− − = − − = =
− ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = − +⋅
b).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
22 2 20 13 20 402020 13 2 20 13 2
20 2020 8 20 5
5 2 4 14 5
n nn n n n
n nn n
+ ++ + = + + = =
+ ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + +⋅
c).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
22 2 10 11 10 601010 11 6 10 11 6
10 1010 15 10 4
2 3 5 22 5
n nn n n n
n nn n
− −− − = − − = =
− ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = − +⋅
Luego:
( )( )( ). . . 4 1 2 3 5 2mc m n n n= + − + 41.-‐ 2 2 2 2 2 26 2 ,15 22 8 ,10 3 4a ab b a ab b a ab b+ − + + + − Solución: a).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 22 2 2 2 6 6 1266 2 6 2
6 2 36 4 6 3
3 2 22 3
a b a ba ab b a ab b
a b a ba b a b
+ −+ − = + − =
⋅
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + −⋅
b).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 22 2 2 2 15 22 15 1201515 22 8 15 22 8
15 3 515 12 15 10
5 4 3 23 5
a b a ba ab b a ab b
a b a ba b a b
+ ++ + = ⋅ + + = =
⋅
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + +⋅
c).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 22 2 2 2 10 3 10 401010 3 4 10 3 4
10 2 510 8 10 5
5 4 22 5
a b a ba ab b a ab b
a b a ba b a b
+ −+ − = + − = =
⋅
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + −⋅
Luego:
( )( )( ). . . 2 3 2 5 4mcm a b a b a b= − + + 42.-‐ 2 2 2 2 2 212 5 2 ,15 13 2 ,20x xy y x xy y x xy y+ − + + − − Solución: a).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 22 2 2 2
2
2
12 5 12 241212 5 2 12 5 212 2 3
12 8 12 33 2 4
2 3
x y x yx xy y x xy y
x y x yx y x y
+ −+ − = ⋅ + − = =
⋅
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + −⋅
b).-‐ ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 22 2 2 2 15 13 15 301515 13 2 15 13 2
15 3 515 10 15 3
3 2 53 5
x y x yx xy y x xy y
x y x yx y x y
+ ++ + = + + = =
⋅
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = + +⋅
c).-‐
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 22 2 2 2 20 20 202020 20
20 4 520 5 20 4
4 54 5
x y x yx xy y x xy y
x y x yx y x y
− −− − = − − = =
⋅
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = − +⋅
Luego:
( )( )( ). . . 4 3 2 5mcm x y x y x y= − + + 43.-‐ 2 2 2 3 2 2 2 46 6 ,3 3 ,1b x b x a x a x x+ − − Solución:
( ) ( ) ( )( )( )( )( )
2 2 2 3 2 2 2 4
2 2 2 2
2 2 2 2 2
6 6 ,3 3 ,1
6 1 ,3 1 , 1 1 1
. . . 6 1 1
b x b x a x a x x
b x x a x x x x x
mcm a b x x x
+ − − ⇒
⇒ + − − + + ⇒
⇒ = − +
44.-‐ 4 3 2 4 3 3 2 2 4 3 28 4 32, 2 8 ,2 4 8x x x a x a x a x x x x+ − − − − − + Solución: a).-‐
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
4 3 3 3 3
2
4 8 32 4 8 4 2 4
2 2 4 4
x x x x x x x x
x x x x
− + − = − + − = + − =
= + − + −
b).-‐
( ) ( )( )2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 22 8 2 8 4 2a x a x a x a x x x a x x x− − ⇒ − − = − + c).-‐ ( )4 3 2 2 22 4 8 2 2 4x x x x x x− + = ⋅ − + Luego:
( )( )( )2 2 2. . . 2 2 4 2 4mcm a x x x x x= − + + − 45.-‐ 3 2 4 2 2 29 9, 10 9, 4 3, 4 3x x x x x x x x x− + − − + + + − +
Solución: a).-‐
( ) ( ) ( )( )( )( )( )
3 2 2 2 29 9 9 9 1
3 3 1
x x x x x x x x
x x x
− + − = − + − = − + =
= − + +
b).-‐
( )( ) ( )( )( )( )4 2 2 210 9 9 1 3 3 1 1x x x x x x x x− + = − − = − + − + c).-‐
( )( )2 4 3 3 1x x x x+ + = + + d).-‐
( )( )2 4 3 3 1x x x x− + = − − Luego:
( )( )( )( ) ( )( )2 2. . . 3 1 1 3 1 9mcm x x x x x x= − − + + = − − 46.-‐ 3 2 21 ,1 ,1 ,1 2a a a a a− − − − + Solución: a).-‐
( )( )3 21 1 1a a a a− = − + + b).-‐
( )( )21 1 1a a a− = + − c).-‐ ( )221 2 1a a a− + = − Luego: ( ) ( )( )2 21 1 1a a a a− + + + 47.-‐ ( ) ( )2 22 2 4 2 2 4 2 2, , ,a b ab a b a b a ab b b a ab− − − +
Solución: a).-‐
( )2 2a b ab ab a b− = − b).-‐
( ) ( )( )4 2 2 4 2 2 2 2 2 2a b a b a b a b a b a b a b− = − = + − c).-‐
( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2a ab b a ab b ab b ab a b− = − − = −
d).-‐
( ) ( )2 22 2b a ab a b a b+ = +
Luego:
( ) ( )2 22 2. . .mcm a b a b a b= + − 48.-‐ 3 3 2 2 2 2 2 227 , 9 , 6 9 , 3 9m n m n m mn n m mn n− − − + + + Solución: a).-‐
( ) ( )( )33 3 3 2 227 3 3 3 9m n m n m n m mn n− = − = − + + b).-‐
( )( )2 29 3 3m n m n m n− = + − c).-‐
( )22 26 9 3m mn n m n− + = − Luego:
( )( ) ( )2 2 2. . . 3 3 3 9mcm m n m n m mn n= + − + +
![CGBVP MCM [1]](https://static.fdocuments.co/doc/165x107/5571fdb3497959916999bc0e/cgbvp-mcm-1.jpg)
