Universidad de TarapacáDepartamento de MatemáticaIngenierías Cálculo III Guía 3

Derivadas parciales

1.- Señale si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas, fundamentandoclaramente su respuesta:

a)@f

@x(x; y) = lim

(h;k)!(0;0)

f (x+ h; y + k)� f (x; y)h+ k

, si tal límite existe.

b)@f

@y(x; y) = lim

k!0

f (x; y + k)� f (x; y)k

, si tal límite existe.

c)@f

@x(�1; 4) = lim

h!0

f (�1 + h; 4)� f (�1; 4)h

, si tal límite existe.

d)@f

@y(0; 0) = lim

k!0

f (0; k)� f (0; 0)k

, si tal límite existe.

2. Para cada una de las funciones dadas, determine las derivadas parcialesrespecto a cada variables

a) f (x; y) =xy

x2 + y2b) f (x; y) =

ypx� y2

c) f (x; y) = lnxy

d) f (x; y; z) =px2 + y2 + z2 e) f (x; y; z) =

1px2 + y2 + z2

f). f (x; y; z; u) = arctan (4x+ 3y + 5z + u)

3. Encuentre@f

@x(x; y) y

@f

@y(x; y) si:

a) f (x; y) =

yZx

ln (sen t) dt b) f (x; y) =

yZx

ecos tdt

4. Sea f : R2 ! R de�nida como f (x; y) =

8>><>>:2xy2

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)

a) Determine@f

@x(x; y) y

@f

@y(x; y) en todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0)

1

b) Determine@f

@x(0; 0) y

@f

@y(0; 0) directamente de la de�nición.

c) Muestre que tanto f es discontínua en (0; 0) :

5. Sea � 2 R un parámetro real y la función de�nida

por: f (x; y) =

8>><>>:(x� �) y

(x� �)2 + y2si (x; y) 6= (�; 0)

0 si (x; y) = (�; 0)

a) Calcular, para cada �, si existen, las derivadas parciales en el punto (�; 0) :b) Veri�car si la función dada es contínua en el punto (�; 0).¿ Existe algúnproblema entre a) y b) ?

6.a) Si w = f(x; y; z), de�na los incrementos de x, y, z. (x0; y0; z0)?b) Enuncie la aproximación de f(x; y; z):¿Como se mide el error de aproxi-mación?c) ¿Qué signi�ca que f(x; y; z) sea diferenciable end) De�na diferencial total. De�na plano tangente.e) Evalúe por diferenciales f (1; 01; 0; 98) para f(x; y) = exy

f) Use diferenciales para estimar el cambio en la longitud de la diagonal espacialde una caja de dimensiones 200 cm, 200 cm y 100 cm, si éstos cambian a 201cm,202cm y 99cm, respectivamente.

7. Determine si la función f(x; y) =

( xy

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0), tiene

plano tangente en (0; 0). determine si es diferenciable en(0; 0)

8. Determie la ecuación de todos los planos tangentes a la super�ciez = 5� x22 + 4y que son paralelos al plano xy.

9. Determine las segundas derivadas parciales de las funciones

a) f (x; y) = xy2 + 2x� 7 b) f (x; y) = x+ y sen 2x c) f (x; y; z) = xyz

d) f (x; y; z) = xyey+z + 5 e) z = x2 arctany

x

10. Determine las terceras derivadas parciales de las funciones del ejercicioanterior.

11. Muestre que las funciones dadas satisfacen la Ecuación de Laplace

bidimensional,@2u

@x2+@2u

@y2= 0

2

a) u (x; y) = ln�x2 + y2

�, (x; y) 6= (0; 0) b) u (x; y) = ex sen y

12. Sea f (x; y) =

8>><>>:x3y � xy3x2 + y2

si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)

a) Pruebe que f se anula sobre los ejes x e y y concluya que@f

@x(0; 0) y

@f

@y(0; 0) son iguales a cero.

b) Calcule@f

@x(x; y) y

@f

@y(x; y) para todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0)

y concluya que@f

@x(0; y) = �y y

@f

@y(x; 0) = x:

c) Muestre que@2f

@y@x(0; 0) =

@

@y

�@f

@x

�(0; 0) = lim

h!0

@f

@x(0;h)�

@f

@x(0;0)

h = �1

d) Muestre que@2f

@x@y(0; 0) =

@

@x

�@f

@y

�(0; 0) = lim

h!0

@f

@y(h;0)�

@f

@y(0;0)

h = +1

y concluya que las derivadas mixtas de f no son iguales en (0; 0) :

e) Calcule@2f

@x@y(x; y) para (x; y) 6= (0; 0) :

f) Use lo anterior para mostrar que@2f

@x@y(x; x) = 0 para x > 0:

g) Concluya que@2f

@x@y(x; y) es discontínua en el orígen.

13. Sea f(x; y) =1

2ln(x2 + y2) + arctan

y

x, hallar

�@ f

@x

�2+

�@f

@y

�2

14. Sea f(x; y) = arcsinx-yx+ y

, hallar x@f

@x+y@f

@y. .

15. Compruebe que �(x; y) =ax2 + by2

cx2 + dy2es solución de la ecuación diferencial

x@�

@x+y@�

@y.

3

16. Sea u(x; y) =xy

x+ y, compruebe que es solución de la ecuación diferencial

x2@2u

@x2+ 2xy

@2u

@x@y+ y2

@2u

@y2= 0

DERIVADA DIRECCIONAL, VECTOR GRADIENTE

17. Establezca la de�nición de la derivada direccional de una función:f : �Rn ! R en un punto P 2 . ¿ Qué interpretación puede atribuirle a estaderivada ?.

18. Si f : R2 ! R es de�nida por f (x; y) = 3x2 + 2y2 y u =1p5(1; 2),

encuentre Duf (3; 1)

19. Determine, la derivada direccional de las siguientes funciones, en los puntosy en las direcciones que se indican :

a) f (x; y; z) = exy + ln z en el punto P = (x; y; z) y en la dirección de

u =1p13(2; 0; 3).

b) f (x; y) = 2x2 � 3y2 en el punto P = (1; 0) y en la dirección de un vectorque forma un ángulo de 120� con el eje x.

c) f (x) = kxk , x 2 Rn en el punto x0 2 Rn y en la dirección de un vectoru 2 Rn:

20. De�na el gradiente de un campo escalar en un punto interior de su Dominio.

21. Determine el gradiente de las siguientes funciones:

a) f (x; y) =4x

x2 + y2b) f (x; y; z) =

px2 + y2 + z2

c) f (x; y; z) =1p

x2 + y2 + z2

d) f (x; y; z; w) = arctan (4w + 3x+ 5y + z) e) f(x; y) = arcsin�x� yx+ y

�22. Establezca una relación entre derivada direccional, gradiente y derivadaparcial.

4

23. Para cada caso, encuentre la derivada direccional de f en el punto P en ladirección del vector �!v dados.a) f (x; y) = 3x2y , P = (�2; 1) y �!v = (2; 3).

b) f (x; y; z) = ln�x2 + 2y2 + z2

�, P = (2; 1; 1) y �!v = (�1; 2; 3) .

c) f (t; x; y; z) = tx2yz2 , P = (2; 1;�1; 2) y �!v = (1;�1; 2; 3)

24. Pruebe que si f : � R2 ! R función entonces

Duf (x; y) =@f

@xcos � +

@f

@ysen �,

donde � es el ángulo que forma el vector u con el eje x:

25. Determine la derivada direccional de f (x; y) = ex cos y en el punto P =(0; 0) en la dirección que forma un ángulo de 60� con el eje x:

26. Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = xey + yex � z2 en el puntoP = (3; 0; 2) en la dirección que apunta hacia el punto Q = (4; 1; 3) :

27. Para f (x; y) = x� y � z, hallar en el punto P = (1; 2; 3)a) La máxima derivada direccional. b) La dirección en que se obtiene a).c) La derivada en la dirección v = (1;�2; 0) :

28. Determine la mayor y la menor derivada direccional y su módulo, de lassiguientes funciones:

a) f (x; y) = x2 + y2 en P = (2; 3) b) h (x; y) = xy + 2x2 + 3y2 en P = (5; 3)

c) g (x; y; z) = xyz + 3x2y3z + z4 + x3y3z5. en P = (1; 5; 2)

29. Dada la función diferenciable f(x; y) tal que:

D�!v f(1; 2) = 2, si �!v = 1

2p2(2; 2)

D�!v f(1; 2) = �2, si �!v = 1p2(1;�1):

Determinar:rf(1; 2) y D�!v f(12); si �!v = (4; 6).

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