Guía 4_cálculo i
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Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos Subdirección de Servicios a Escuelas 1 GUÍA N° 4 DE CÁLCULO I La Derivada como razón de cambio 1. Hasta el año 2000, la estimación de la deuda de EEUU, expresada en millones de dólares está dada por la función f(t) = −0,11t 4 + 3,59t 3 − 28,91t 2 + 271,85t + 930,2, donde t son los años trascurridos a partir de inicios de 1980. a) Complete la siguiente tabla Variables () ´() Significado Unidad de Medida b) Escriba el dominio contextualizado de la función c) ¿Cuál es la deuda de EEUU al iniciar el año 1990? d) Interprete y calcule dt df transcurridos 10 años. 2. Se espera que desde hoy hasta los próximos 12 años (t), la población de cierta comunidad esté dada por la función p(t) = e 0,75t + 280 (miles de habitantes). a) Complete la siguiente tabla Variables () ´() Significado Unidad de Medida b) Escriba el dominio contextualizado de la función c) ¿Cuántos habitantes se estima para 5 años más? d) Interprete y calcule dt dp dentro de 9 años.
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GUA N 4 DE CLCULO I
La Derivada como razn de cambio
1. Hasta el ao 2000, la estimacin de la deuda de EEUU, expresada en millones de
dlares est dada por la funcin f(t) = 0,11t4 + 3,59t3 28,91t2 + 271,85t + 930,2,
donde t son los aos trascurridos a partir de inicios de 1980.
a) Complete la siguiente tabla
Variables () ()
Significado
Unidad de
Medida
b) Escriba el dominio contextualizado de la funcin
c) Cul es la deuda de EEUU al iniciar el ao 1990?
d) Interprete y calcule dt
df transcurridos 10 aos.
2. Se espera que desde hoy hasta los prximos 12 aos (t), la poblacin de cierta
comunidad est dada por la funcin p(t) = e0,75t + 280 (miles de habitantes).
a) Complete la siguiente tabla
Variables () ()
Significado
Unidad de
Medida
b) Escriba el dominio contextualizado de la funcin
c) Cuntos habitantes se estima para 5 aos ms?
d) Interprete y calcule dt
dpdentro de 9 aos.
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3. En un estudio realizado determin que el impuesto predial1 en un determinado
pas estaba dado por la funcin: xexxI 50)( 2 en miles de pesos, donde son los aos trascurridos desde inicios del 2005.
a) Complete la siguiente tabla
Variables () ()
Significado
Unidad de
Medida
b) Cul es la razn de cambio del impuesto predial, con respecto al tiempo, a
inicios del ao 2011?
4. Una empresa determin que meses despus de aumentar los valores de sus
productos las ventas de la compaa se pueden calcular con la funcin
tetV 8,05,12)( en miles de pesos. A qu razn cambiarn las ventas, con
respecto al tiempo, trascurridos 5 meses?
1 Es el impuesto cuya recaudacin, administracin y fiscalizacin corresponde a la municipalidad donde se ubica el predio
Nota N1
La rapidez instantnea corresponde a la razn de cambio instantnea de la posicin con
respecto al tiempo
La aceleracin instantnea corresponde a la razn de cambio instantnea de la rapidez
con respecto al tiempo
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5. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de
Santiago hacia el sur del pas. La funcin 502,0)( 2 tts entrega la posicin de
un ciclista (en kilmetros) despus de minutos de su partida.
a) Complete la siguiente tabla (ver nota 1, pgina 2)
Variables () () ()
Significado
Unidad de
Medida
b) Determine e interprete los siguientes valores (30) , (30) y (30)
6. Un automvil se mueve a lo largo de una carretera en lnea recta durante 5
horas, de modo que la posicin en kilmetros est dada por la funcin
53)( xexxd trascurridas x horas. Determine la rapidez instantnea que lleva
a las 3 horas y su aceleracin instantnea a las 4 horas.
7. Un carro se mueve durante 3 minutos a lo largo de un riel horizontal, de tal
manera, que su posicin en el instante desde el punto de partida, est
especificado por la funcin 4518)(23 ttttf . La distancia se mide en cm y
el tiempo en minutos.
a) Complete la siguiente tabla
Variables () () ()
Significado
Unidad de
Medida
b) Escriba el dominio contextualizado de la funcin
c) El carro en qu posicin inicia su recorrido?
d) Determine e Interprete f y f a los 2 minutos
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8. Si un tanque cilndrico contiene 100.000 galones2 de agua que se pueden drenar
por el fondo del depsito en 1 hora, la ley de Torricelli da el volumen V del agua
que queda despus de t minutos como 60060
1000.100)(
2
t
ttV
a) Complete la siguiente tabla
Variables () ()
Significado
Unidad de
Medida
b) Determine la funcin ()
c) Determine e interprete ()
9. La concentracin de un medicamento t horas despus de haber sido inyectado
en el brazo de un paciente est dado por la funcin 81,0
15,0)(
2 t
ttc (en ml) .
Calcule e interprete dt
dc cuando 2t
10. Se estima que la poblacin de una colonia de bacterias est dada por la siguiente
funcin 1
10242
t
ttP (en miles) despus de t horas. Calcule e interprete
dt
dP
cuando 5,1t
2 El galn es una unidad de medida equivalente a 4,5461 litros aproximadamente
Nota N2
El Ingreso Marginal es la razn de cambio de la funcin ingreso respecto a la cantidad
de unidades. Corresponde al cambio en el ingreso total cuando la cantidad vendida
aumenta en una unidad.
El Costo Marginal es la razn de cambio de la funcin costo respecto a la cantidad de
productos. Corresponde a la variacin que sufre el costo debido a la fabricacin de una
unidad ms.
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11. Una empresa calcula que al vender x kilos de fertilizante, su ingreso en pesos
est dado por la funcin 2218000)( xxxI donde 100,1x . Suponiendo
que el costo total en pesos de fabricacin de x kilos es 21000)( xxxc .
a) Complete la siguiente tablas (ver nota 2, pgina 4)
Variables Significado Unidad de Medida
()
()
()
()
b) Determine la funcin ingreso marginal
c) Calcule e interprete )30(I y )30(I
d) Determine la funcin costo marginal
e) Calcule e interprete )30(C y )30(C
12. Si una empresa produce desde 10 hasta 1000 productos diarios, el ingreso y
costo en dlares de la produccin de x unidades estara dado por las funciones
220050)( xxI y xxC 01,0300)( respectivamente
a) Complete la siguiente tabla
Variables Significado Unidad de Medida
()
() =
()
() =
b) Calcule e interprete (700) y (700)
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13. Un fabricante de pinturas para autos advierte que los ingresos y costos (en
euros) por vender y producir x litros de pintura estn dado por la funciones
I(x) = 100x 0,01x2 y C(x) = 2.000 + 40x respectivamente
a) Determine la funcin ingreso marginal y costo marginal
b) Calcule e interprete )24(CM y )59(IM
14. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce segn la ecuacin
tetp
5,0101
1)(
donde 100)( tp es el porcentaje de la poblacin que lo conoce
en el tiempo t (horas). Determine e interprete )(tp a las 5 horas.
15. Suponiendo que el porcentaje de alcohol3 presente en la sangre t horas despus
de consumido est dado por 22,0)(t
ettC
. Calcule e interprete dt
dC despus de
1, 2 y 3 horas.
16. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis4 despus de
t das del primer caso reportado, est dado por la funcin 16
502
t
ttp . Calcule e
interprete dt
dp despus de 3 y 7 das.
17. Si la cantidad de carga que pasa por un punto de un alambre hasta un tiempo t
se expresa con 262)(23 ttttQ ( t en segundos y Q en coulombs).
Determine la corriente (ver Nota 3) a los 0,5 segundos.
3 El tiempo que demora el alcohol en llegar al torrente sanguneo depende de varios factores, entre ellos la
cantidad de comida ingerida previamente 4 La mononucleosis tambin conocida como enfermedad del beso es causada por un virus perteneciente a la
misma familia del virus del herpes. Aparece ms frecuentemente en adolescentes y adultos jvenes, y los sntomas que la caracterizan son fiebre, faringitis o dolor de garganta, inflamacin de los linfonodos y fatiga
Nota N3
La corriente es la razn de cambio de la cantidad de carga con respecto al tiempo, en otros
palabras es la rapidez con que la carga fluye por una superficie, se mide en unidades de
carga por unidades de tiempo, a menudo en coulombs por segundo (amperes).
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SIGUE PRACTICANDO:
18. Un banco implementa un nuevo sistema de cajero automtico en el cual se
determin que el nmero de personas que utiliza este nuevo sistema, viene dado
por la funcin () = 62 + 5 + 800, donde x representa las semanas
transcurridas despus de la implementacin. Interprete y calcule dx
dP
transcurridas 10 semanas de su implementacin.
19. En un criadero de conejos despus de x das la cantidad de conejos crece a cierta
razn. Se sabe que la funcin de poblacin de conejos del criadero est dada por
la funcin () = 102 + 12500,04 + 400. A qu razn cambiar la poblacin de
conejos, con respecto al tiempo, dentro de 15 das?
20. Si una empresa produce desde 5 hasta 100 productos diarios el costo total de
produccin en dlares de x unidades es 2200050)( xxc y el precio de ventas
es de xxi 1001800)( dlares
a) Determine la funcin ingreso marginal y costo marginal
b) Calcule e interprete )50(c y )60(i
21. Un carrito experimental conectado a un PC, se mueve a lo largo de un riel de tal
manera que su posicin en el instante t del punto de partida est dada por la
funcin () = 33 + 182 + 55 la distancia se mide en cm y el tiempo en
minutos. Interprete y calcule de )2(d y )5,1(d .
