Guía básica Mathcad

7/21/2019 Gua bsica Mathcad

1/121

-1-

Curso de Aprendizaje de MathCady

Ejemplos

Departamento de Qumica FsicaLus Camacho Delgado

Curso 2001-2002

Resumen del Libro electrnicoCurso de aprendizaje MathCad

MathCad 4.0


2/121

-2-

ndice1) Clculos aritmticos2) Edicin de ecuaciones

3) Manejo de variables4) Variables de intervalo e iteracin5) Grficos X-Y6) Operadores 7) Funciones 8) Formateo de los resultados9) Unidades10) Matrices y vectores11) Resolucin de ecuaciones12) Grficos polares13) Grficos de superficies14) Grficos de curvas de nivel 15) Matemticas simblicas

16) SmartMath17) Texto

Ejemplos

Qumica Fsica (3 de Qumicas)1) Relacin de Completitud (Leccin 2)2) Efecto Tnel (Leccin 3)3) Partcula en una caja de potenciales bidimensional de paredes infinitas (Leccin 3)4) El oscilador armnico (Leccin 4)5) Representacin grfica de armnicos esfricos (Leccin 5)5-b)Armnicos esfr icos (2) (Leccin 5)6) Representacin de los orbitales 3d (Leccin 6)7) Integrales de Coulomb: Integrales bielectrnicas (Leccin 7)7-b) Teora de Perturbaciones: Partcula en un plano inclinado (Leccin 7)8) El hueco de Fermi (Leccin 8)9) La molcula H2+ (Leccin 9)

Funciones especiales de MathCad1) Funciones de interpolacin de spl ine cbico 2) La funcin root (Clculo numrico de las raices de una funcin)3) La funcin gamma de Euler4) La funcin if. Funciones discont inuas o con indeterminaciones

Tratamiento de datos y estadstica1)Ajuste de curvas pol inmico2) Filtrado de una seal con una FFT3) Trazado de his togramas -- Lanzamiento de una moneda al azar4)Ajuste de curvas no pol inmicas5) Funciones de distribucin de datos6) Integracin y diferenciacin numrica de datos7)Ajuste de datos a una recta8) Gausianas y Lorencianas9)Al isado de curvas 10) Manejo de datos y trazado de histogramas11)Armnicos esfr icos

12 Mecnica Ondulatoria13Atractores caticos


3/121

-3-

Qumica de la Atmsfera1) El poder emisor de un cuerpo negro2) Capa de Chapman3) Efecto Invernadero-CO2

Cintica1) Iteracin simultnea -- Difusin de una epidemia2) Sistema predador-presa: Mtodo de Runge-Kutta de 4 orden para la resoluc in de Ecuacionesdiferenciales3At ractores caticos


4/121

-4-

1) CLCULOS ARITMTICOS

Mathcad reorganiza las expresiones aritmticas, segn se escriben:escriba

1+3*2/1.5Apareciendo en pantalla

Al pulsar el signo igual, Mathcad evala la expresin y muestra el resultado.Haga clic en cualquier parte de la expresin que acaba de escribir y pulse =

Mathcad actualiza automticamente el resultado, al modificar la ecuacin:Haga clic a la izquierda del 3. Pulse Supr, escriba 33 y haga clic fuerade la ecuacin.

NMEROS COMPLEJOSMathcad utiliza nmeros complejos. As:

Para escribir la unidad imaginaria "i" hay que escribir "1i." Observe en los ejemplos siguientes que cuandose hace clic dentro del ejemplo, se ve el "1i" y cuando se hace clic fuera el "1i" desaparece:


5/121

-5-

2) EDICIN DE ECUACIONES

Mathcad se comporta exactamente como un procesador de texto, y permite editar tanto texto como

ecuaciones segn una secuencia lgica.

OPERADORES Y OPERANDOSMathcad enlaza los "operandos" con los"operadores" para formar "expresiones."A veces un operando puedeser tambin una expresin:

RECUADROS DE SELECCINMathcad posee dos tipos de recuadros de seleccin:Cuando se pulsa en una regin lmpia de la pantalla y manteniendo apretado el botn izquierdo delratn, se arrastra hasta abarcar un texto o ecuacin, el objeto queda seleccionado con un recuadro negro.Este tipo de seleccin nos permite copiar o suprimir el objeto. Asimismo, podemos trasladar el objeto, atravs de la pantalla, situndonos sobre el y arrastrandolo con el botn izq. del ratn apretado. Tambines posible modificar su tamao, si es una grafica o una franja de texto . Cuando se pulsa sobre una ecuacin, aparece un recuadro azul de seleccin que enmarca lasdiferentes partes de la estructura de la ecuacin. Vamos a practicar con este recuadro.

Es esencial comprender el funcionamiento del cuadro de seleccin, para saber cmo editar ecuaciones.Los cuadros de seleccin pueden tener cualquier tamao: Teclee la expresin que sigue y experimentecon las cuatro teclas de las flechas de direccin, para modificar el cuadro de seleccin.

Ahora, pruebe con una expresin ms complicada. Pruebe igualmente a hacer clic sobre los operadores.

MANEJO DEL CUADRO DE SELECCINAl usar el cuadro de seleccin, retenga la siguiente regla general:

Todo lo que est incluido en el cuadro de seleccin, se convertir en el primer operando del siguienteoperador que escriba.

Vamos a practicar lo anterior para sustituir operadores y para insertar operadores:Supongamos que queremos convertir la expresin


6/121

-6-

en ... Haga que el cuadro de seleccin incluya el operador que desea remplazar: "+". Use la flecha arriba o

simplemente haga clic en el "+". Pulse Suprpara eliminar el operador, y deje los dos operandos en espera de operador. Pulse "/" para insertar el operador divisin.

A veces Mathcad modifica bastante el aspecto de una ecuacin al editarla. Sin embargo, se trata de losmismos sencillos pasos. Observe atentamente los cambios en los mensajes emergentes, mientrasconvertimos :

Haga que el cuadro de seleccin incluya el operador que desea remplazar: "/" Use la flecha arriba o hagaclic en la barra de divisin. Pulse Suprpara eliminar el operador, y pulse "^" para insertar el operadorexponente.

en ...

Hasta ahora, hemos remplazado el operador "extremo" o de "nivel superior", haciendo el cuadro deseleccin lo ms grande posible. Pero podemos remplazar cualquier operador, simplemente poniendo elcuadro de seleccin en el lugar adecuado; observe el cuadro mientras convertimos...

Incluya el "3 - 5" en el cuadro. Use la flecha arriba o haga clic en el signo menos. Pulse Suprpara eliminar el menos. Pulse "+". Observe que lo hemos hecho como si el "2+1" no existiera.

en ...

Supongamos que desea crear la expresin:

Si escribe simplemente "2^3+1-1", obtendr:

Escriba la expresin anterior siguiendo los puntos que se indican a continuacin y observe el cuadro deseleccin:

Escriba 2^3+1para obtener el primer elemento. Pulse flecha arriba, hasta que el cuadro de seleccin lo incluya todo. Esto ser el primer operando delsiguiente operador que escriba; en este caso, el menos. Escriba "-" para insertar el signo menos Escriba "1" para rellenar el espacio vaco.Practique escribiendo la espresin


7/121

-7-

3) DEFINICIN DE VARIABLES

Mathcad permite definir variables. Es posible utilizar estas variables en las ecuaciones, como si se tratasede nmeros. Para asignar el valor "1" a la variable "x", haga lo siguiente:

Haga clic en una zona vaca y escriba el nombre de la variable, "x". Pulse la tecla de dos puntos (":"). Escriba el valor, "1".

Una vez definida, puede usar la variable en una ecuacin.Por ejemplo:

Igualmente puede definir otras variables en funcin de esta variable.Por ejemplo:

Al cambiar el valor de una variable, Mathcad actualiza todos los resultados que dependan de estavariable. Reemplace la definicin de A:=3 por otro valor cualquiera y observe que todos los resultadoscambian, en funcin del nuevo valor de "A".Si usa una variable antes de haberla definido, Mathcad no sabr qu hacer con ella.


8/121

-8-

Existen dos signos de igualdad adicionales. Es decir, en realidad MathCad tiene definidos 4 signos deigualadad con significados diferentes. Los dos adicionales son:

Definicin global

(icono del men dos de ventanas)

Se utiliza para definir variables o funciones, antes de que aparezcan definiciones de tipo :=. Igualdad lgica

Pulse Ctrl +

Utilcelo en resolver bloques y como operador booleano. Este operador retorna un 1 si en efecto a=b, y un0 si la igualdad no se cumple


9/121

-9-

3) VARIABLES DE INTERVALO

Hasta ahora hemos utilizado variables que representan un nico nmero. Ahora nos ocuparemos de

variables que representan una secuencia de nmeros. Se llaman "variables de intervalo". Para definir una variable que vaya del 1 al 7: Escriba "n" seguido de dos puntos, como si definiera una variable normal. En el espacio vacio de la derecha, escriba el primer nmero del intervalo, " 1", y pulse la coma. En el espacio vacio siguiente, escriba el segundo nmero del intervalo, "2", y pulse punto y coma. Escriba el ltimo nmero del intervalo: "7"

La variable de intervalo est definida. Para verla

escriba "n=".:

Puede utilizar variables de intervalo para realizar clculos repetitivos.Por ejemplo, supongamos que desea una lista de los valores de "y" a lo largo de la parbola y=x 2+1, con xvariando segn los valores -1, -0.5, 0...1.

VARIABLES DE INTERVALO Y ARRAYS

Hasta ahora hemos visto cmo las variables de intervalo facilitan los clculos repetitivos. Pero lasvariables de intervalo siempre varan en pasos iguales. Que ocurre si queremos obtener la lista de los

valores de "y" a lo largo de la parbola y=x2

+1, cuando x tome cinco valores arbitrarios?Puede comenzar por crear una array (vector o matriz de datos) :

Primero defina una variable de intervalo n que tome los cinco valores 0, 1, 2, 3 y 4. Ahora escriba xseguido por el corchete izquierdo ( [) para crear un espacio de subndice. Tambienpuede escribirxy pulsar sobre el simbolo x i del men 1 de las ventanas de dilogo. Luego escriba ny a continuacin dos puntos (:). Escriba cinco nmeros, separados por comas.


10/121

-10-

Tras haber definido la tabla, puede evaluar la parbola y=x 2+1 utilizando los puntos de la array.

Visualice el resultado tecleandoy[ n =----->.


11/121

-11-

4) GRFICOS X-Y

Como los grficos X-Y contienen normalmente una o varias expresiones con variables de intervalo en

ambos ejes; defina una variable de intervalo. Cree una variable de intervaloi que vaya del 1 al 20 enincrementos de 0,1.

Luego, para crear el grfico X-Y, haga clic dondedesee colocar el grfico. Luego seleccione Creargrfico X-Ydel men Grf., o tambin puedeelegir grficos en el men (1) de ventanas de laizquierdaHaga clic en el espacio en la parte inferiorcentral del grfico. Escriba "i". sta es laexpresin que se trazar en el eje x.

Haga clic en el espacio en la parte central izquierda del grfico. Escriba "i^2". sta es la expresin quese trazara en el eje y.Haga clic fuera del grfico, o pulse [F9].Mathcad trazar la grafica i2frente i.

Probablemente habr observado que Mathcadajusta los lmites superior e inferior de cada eje

de un grfico X-Y automticamente. Puedesustituir con facilidad los parmetros de Mathcadpor los suyos propios, si desea mostrar un rangode valores en particular en uno o ambos ejes.

Por ejemplo . . .

Supongamos que nicamente desea mostrar los valores del eje x para 0 y .Haga clic en el grfico para ver los espacios que contienen los lmites actuales de los datos de cada eje. Haga clic en el espacio ms a la derecha del eje x, use la tecla flecha arriba para seleccionar el nmero,y escriba "". Puede escribir "p" seguido de "[Ctrl]+G", o utilizar el botn de la paleta.Luego haga clic en el espacio ms a la izquierda del eje x, use la tecla flecha arriba para seleccionar elnmero y escriba el nmero "0".

Teniendo el grfico seleccionado, elijaFormato de grfico X-Y del men de Grf. y marque la casilla de verificacin "Escala automtica" para eleje x.


12/121

-12-

Haga clic fuera del grfico o pulse [F9].Mathcad le permite dar formatoa los grficos X-Y cambiando las escalas de los ejes, retculas y tipos detrazo.A continuacin se muestran varios ejemplos del mismo grfico, pero con diferentes opciones de formatoactivadas. Para ver las opciones de formato activadas en cada grfico, primero haga clic en el grfico yelija Formato de grfico X-Y del men Grf..

. . . con escala logartmica en el eje x, y con retcula en el mismo eje . . .

Primero, sin escala logartmica ni retcula:. . . y con escala logartmica y retcula en ambos ejes.

Puede trazar varias lneas, o trazas, en el mismo grfico X-Y. Por ejemplo, puede trazar dos expresionesdel eje y sobre una expresin del eje x. Como en el caso precedente, las expresiones que se tracen

contendrn variables de intervalo. Lo que sigue es la definicin de la variable de intervalo x:. . . y dos funciones que podemos trazar:

Para trazar estas funciones en relacin con la variable x. . .

Cree un grfico X-YHaga clic en el espacio en la parte inferior centraldel grfico. Escriba "x". sta es la expresin que setrazar en el eje x.Haga clic en el espacio en la parte central izquierda

del grfico. Primero escriba "sen(x)

"; luego escriba una coma (",") y a continuacin "(x^2)/40

".Haga clic fuera del grfico, o pulse [F9]


13/121

-13-

Es posible representar hasta 16 trazas en una misma grfica


14/121

-14-

6) OPERADORES

DERIVADAS

Mathcad admite tanto derivadas numricas como simblicas. Estas ltimas se describen en la seccinsobre matemticas simblicas. En esta seccin describe las derivadas numricas.El ejemplo muestra cmo evaluar la derivada de

en

Defina el punto en el que desea evaluar la derivada. Pulse ?para insertar el operador de derivada, o pulse el botncorrespondiente del men 1 de ventanas de la izquierda. Escriba la variable de diferenciacin en el espacio inferior. Escriba la expresin que desea diferenciar en espacio restante y pulse =

Puede evaluar derivadas en varios puntos a la vez utilizando variables de intervalo:

En la Figura se muestra la representacin de la funcin y su derivada --------->

DERIVADAS DE ORDEN NCon este operador podr evaluar derivadas de orden de 1 a 5. Para evaluar la derivada desegundo orden de la expresin del ejemplo anterior, defina el valor en el que desea evaluarla derivada. Luego:

Pulse [Ctrl][Mays]. Esto crea un operador con dos espacios

adicionales. Rellene los espacios, como hizo en el ejemplo anterior. En el espacio inferior escriba el orden de la derivada.Observe que ste tambin aparece en el espacio superior. Ahora pulse el signo igual.


15/121

-15-

INTEGRALESPuede utilizar el operador de integracin de Mathcad para evaluar numricamente la integral definida deuna funcin, en un intervalo determinado. El ejemplo siguiente muestra cmo evaluar la integral definidade sen(x)2de 0 a /4.

Haga clic en un espacio vaco y escriba & o pulse el botn correspondiente del men 1 de ventanas dela izquierda.Aparece una integral, con espacios para el integrando, los lmites y la variable de integracin. Haga clic en el espacio inferior y escriba 0. Luego haga clic en elespacio superior y escriba [Ctrl]p/4. Haga clic en el espacio entre el signo de integral y la "d". Luego escribasen(x)^2. Haga clic en el espacio restante, escriba xy pulse =

Tambin puede usarse una integral con una variable de intervalo . Por ejemplo:Defina una variable de intervalo:


16/121

-16-

El smbolo sumatoria puede ser insertado tambin desde el men 1 de ventanas, sin embargo, este

sumatoria no es exactamente el mismo que el anterior, ya que requiere la definicin previa de una variablede intervalo.El productoria funciona de la misma forma. Pulsesimplemente [Ctrl][Mays]3en lugar del anterior.

SUMAS DOBLESLas sumas pueden anidarse para formar sumas dobles.Para crear una suma doble, pulse [Ctrl][Mays]4dos veces y rellene los espacios. Por ejemplo:

o con un lmite superior variable:


17/121

-17-

7) FUNCIONES

Pueden definir funciones casi de la misma forma que variables. Por ejemplo:

Para usar una funcin, ponga un numero o una expresin en lugar de su argumento.

Las funciones se usan habitualmente con variables de intervalo.

FUNCIONES CON MS DE UNA VARIABLELas funciones pueden tener ms de un argumento. Para definir una funcin de este tipo, separe losargumentos como sigue:Una funcin de este tipo se usacomo cualquier otra funcin.

FUNCIONES INCORPORADASMathcad cuenta con una gran cantidad de funciones incorporadas, algunas de gran complejidad.

Trigonomtricassen(z) cos(z)tg(z) cosec(z)sec(z) cotg(z)

Hiperblicassenh(z) cosh(z)tgh(z) cosech(z)sech(z) cotgh(z)

Trig. e Hip. inversasarcsen(z) arcsenh(z)

arccos(z) arccosh(z)arctg(z) arctgh(z)

Exponen. y logart.exp(z) e a la pot. de zln(z) Log naturallog(z) Log base 10

Variasceil(x) Entero menor xfloor(x) Entero mayor xmod(x,y) Resto de x/y con signo de xngulo(x,y) ngulo eje x al punto (x,y)Funciones complejas

Re(z) Parte real de z


18/121

-18-

Im(z) Parte imaginaria de zArg(z) Argumento de zFunciones condicionalesif(cond, valt, valf)until(expr1, expr2)(m,n) Funcin de Kronecker

(x) Funcin de Heaviside

Otras Funcionesrnd(x) Funcin aleatoria entre 0 y xlspline(vx,vy) Funcin spline cubicoerf(x) Funcin de errorfft(v) Transformada de Fourierifft(v) inversa de la transf. de Fourier(x) Funcim gamma de EulerJ0(x), J1(x), Jn(m,x), K0(x), K1(x)Kn(m,x) --> Funciones de BesselREAD(fichero) leer ficheros de datos

WRITE(fichero) grabar fichero de datos

Funciones estadisticasmean(v) valor medio del vector vstdev(v) desviacin standardvat(v) varianza de v

slope(vx,vy) pendiente entre vectors vx e vyintercept(vx,vy) ordenada en el origen de vx e vylinterp(vx,vy,x) interpolacin linealinterp(vs,vx,vy,x) funcin de interpolacin

Funciones con matrices y vectoresaugment(A,B) Unir dos matricescols(M) Nmero de columnasvalprop(M) Vector de valores propiosvecprop(M,z) Vecprop de M de zlast(v) ndice del ltimo elem. vector v.max(M) Mayor elemento en Mmin(M) Menor elemento en M

rows(M) Nmero de filas de Mtr(M) Suma de los elem. de la diagonal

La mayora de estas funciones pueden usarse directamente, aunque algunas requieren algunasdefiniciones previas.


19/121

-19-

8) FORMATEO DE LOS RESULTADOS

Por defecto, Mathcad muestra los resultados con tres dgitos significativos. Por ejemplo:

Sin embargo, Mathcad almacena todos los nmeros con quince dgitos significativos.Para ver el nmero mostrado arriba, tal y como Mathcad lo ve internamente:

Haga clic en cualquier parte del nmero. Pulse Ctrl+F. Observe el mensaje en la parte inferior de la ventana.

Para no tener que pulsar Ctrl+Fpara ver el resultado completo, puede mostrar un resultado ms completodirectamente en documento. Para ello:

Haga doble-clic en cualquier parte de la ecuacin.

En el cuadro de dilogo, cambie "Precisin de visualizacin" a "6" y pulse aceptar".

En el cuadro anterior puede modificar otros parmetros sobre cmo Mathcad muestra los resultados.


20/121

-20-

9) UNIDADES

Es posible asociar unidades a cualquier variable o constante. Por ejemplo:


21/121

-21-

10) VECTORES Y MATRICES

Adems de calcular con nmeros simples (denominados escalares), Mathcad puede trabajar con

columnas de nmeros (vectores) o con matrices.

Creacin de un vectorPara crear una columna que contenga los nmeros 2, 4, y -10:

Haga clic en un espacio vaco Elija Matricesdel men Matemt., pulse [Ctrl]+V, o elija matrices en el menu de ventanas 2. Escriba "3" en el cuadro de "Filas", y "1" en el cuadro de "Columnas". Pulse "Crear". Rellene los espacios vacios del vector con los valores. Haga clic en elespacio superior y escriba "2".

Haga clic en el siguiente (o pulse [Tab]para ir all) y escriba "4"; y lo mismopare el espacio inferior yescriba "-10."

Crear una matriz en Mathcad es tan fcil como crear un vector:

Haga clic en un espacio vaco. Abra el cuadro de diligo deMatrices(men Matemt., pulse [Ctrl]+Vo elija matrices en el menu deventanas 2. Escriba el nmero adecuado de filas y columnas en el cuadro de dilogo. Cree una matriz de3 columnas por 2 filas.

Luego haga clic sobre"Crear".

Rellene los espacio de la matriz con sus valores. Puede utilizar la tecla [Tab]para pasar de un espaciode la matriz a otro.

Para crear matrices de gran tamao, se utilizan variables de intervalo o se pueden utilizarse datos de unarchivo externo con las funciones READ(nombre fichero) o READPRN(nombre fichero), para datosestructurados..Si desea cambiar el tamao de un vector o de una matriz ya creados, puede borrar o insertar filas ocolumnas con facilidad.

Supongamos que ha definido la variable Mcomo una matriz . . .

. . . y que desea borrar la tercera columna e insertar una fila entre la primera y la segunda.

Para borrar la tercera columna:

Haga clic sobre el nmero de la parte superior de la tercera columna. Abra la ventana de dilogo de Matrices. Escriba el nmero de filas o columnas que desea eliminar.

Aqu, escriba "0" en el cuadro al lado de "Filas", y escriba "1" en el cuadro al lado de "Columnas". Luegohaga clic sobre "Eliminar".


22/121

-22-

Para insertar una fila entre la primera y la segunda:

Haga clic sobre el nmero al principio de la primera fila. Abra el cuadro de dilogo de Matrices, escriba el nmero de filas o columnas que desea aadir. Aqu,escriba "1" en el cuadro al lado de "Filas", y escriba "0" en el cuadro al lado de "Columnas". Luego hagaclic sobre "Introducir". Rellene los espacios de la matriz con sus valores.

Para hacer referencia a elementos de un vector o de una matriz, use los subndices, o nmeros querepresentan las posiciones de los elementos de la matriz.Mathcad empieza a contar los elementos de un vector o matriz a partir del elemento cero, pero puedemodificarse la variable incorporada ORIGIN para que sea un nmero diferente (p. ej. 1), eligiendoVariables incorporadasdel men Matemt.. . . tiene los elementos del vector:Por ejemplo, el vector V. . .

Para escribir un subndice:

Escriba el nombre de una variable que represente un vector o una matriz. Escriba un corchete izquierdo ("[") o pulse sobre la funcin "x i" del men 1 de ventanas. A continuacinponga un entero (o una pareja de enteros para una matriz) en el espacio vaco.

Para la matriz Mmostrada a continuacin, es necesario especificar dos nmeros en el subndice, elprimero para la fila y el segundo para la columna:

Los elementos de la matriz son:

Tambin puede utilizar subndices para definir elementos individuales de un vector o una matriz. Porejemplo:

Entonces:


23/121

-23-

Mathcad dispone de mltiples operadores y funciones incorporadas para vectores y matrices.Veamos algunos ejemplos:Dados dos vectores, uy v. . .

Adic in y sustraccin vectoriales

Adic in, multipl icacin ydivisin escalares

. . . un escalar

Producto escalar

Producto vectorial (definido solo para vectores de orden 3)

Modulo

Suma de vectores

Funciones estadsticas y otras

. . . media de los elementos del vector

. . . desviacin estndar

. . . ndice del ltimo dato del vector u

. . . correlacin

. . . pendiente

. . . valor de v cuando u = 0, supuesta regresin lineal

. . . valor de y para x=5 segn la interpolacin lineal de u(x) vs v(y)

. . . funcin de spline cbico de los vectores u(x) vs v(y). . . interpolacin segn la funcin de spline cbica


24/121

-24-

veamos un ejemplo de como representar ufrente a vy efectuar la regresin lineal de ellos

primero hay que definir la variable de intervalo correspondiente a continuacin se define la funcin lineal que mejor se ajusta a dichos vectores y se define otra variable

de intervalo x, para la representacin. Por ltimo de efecta la representacin grfica

Mathcad tambin proporciona operadores y funciones incorporados para el calculo con matrices. Dadas dos matrices,Ay B. . .

Adic in y sustraccin de matrices

Adic in, multipl icacin y d ivis in escalares

. . . un escalar

Multiplicacin de matrices

Potencias de matrices e inversa dematrices


25/121

-25-

Determinante

Operador columna

Transposicin

Valores propios y vectores propios. . . valores propios de una matriz

. . . vector propio correspondiente a un valor propio especfico

Funciones Identidad y Aumentar. . . matriz identidad del tamao especificado

Funciones varias

. . . nmero de filas

. . . nmero de columnas


26/121

-26-

11) RESOLUCION DE ECUACIONES

MathCad utiliza tres formas de resolver ecuaciones numricamente.

LA FUNCIN rootSe utiliza cuando se quiere resolver una ecuacin con una incgnita. Consiste en aplicar el mtodo deNewton y requiere un valor inicial o de prueba, no necesariamente aproximado:Resolver para x en:

valor de prueba -->

INVERSIN DE MATRICESSe utiliza cuando se tiene un sistema de ecuaciones lineal. Por ejemplo, para resolver:

y

Piense en trminos de ecuacin matricial

Para la cual la solucin es simplemente:

BLOQUES DE RESOLUCINLos bloques de resolucin son la tcnica ms universal de todas. He aqu un ejemplo de solucin de dosecuaciones con dos incgnitas:Primero, defina los valores estimados:

Luego escriba la palabra clave "given", seguida de las ecuaciones a resolver.


27/121

-27-

12) GRFICOS POLARES

Los grficos polares suelen contener una variable de rango, as que comience por crear una variable"m" que vaya de 0 a 360 grados.

Haga clic donde quiera colocar el grfico y elija Crear grfico polardel men Grf.Escriba una ecuacin adecuada en el espacio de la izquierda, como por ejemplo: "1- cos(4m)". Escriba"m" en el espacio inferior.Haga clic fuera del grfico para verlo.

GRFICOS POLARES- TRAZOS MLTIPLESPuede trazar varias curvas en el mismo grfico polar, separando las expresiones por una coma. Porejemplo, para aadir la curva "1-sen(m/4)" al ejemplo anterior:

Incluya la expresin radial en un cuadro de seleccin.Escriba una coma, para crear un nuevo espacio nuevo.Escriba la expresin "1-sen(m)" en este espacio y haga clic fuera de la regin para ver el grfico.

FORMATEO DE GRFICOS POLARES

Puede modificar la apariencia de los grficospolares modificando el tipo de trazo, las escalasde los ejes y las lneas de retcula. Los ejemplosque siguen muestran el mismo grfico polar delejemplo, utilizando formatos diferentes.

Para ver los ajustes de formato deun grfico, haga doble clic en elgrfico.


28/121

-28-

Con lneas de retcula radiales. ------>

Con lneas de retcula radiales y angulares.

Con leyenda pero ocultandolos argumentos ------->


29/121

-29-

13) GRFICOS DE SUPERFICIES

Mathcad puede representar de forma tri-dimensional los datos contenidos en una matriz, mediante un

grfico de superficies.Primero cree una matriz con los valores que desea trazar, una opcin para esto es a travs de unafuncin, como se muestra a continuacin:

ElijaCrear grfico de superficies del men Grf.,o pulse [Ctrl]+2, o elija el icono correspondiente delmen 2 de ventanas de la izquierda. Mathcad muestra un cuadro con un espacio vaco.

Haga clic en el espacio bajo el cuadro y escriba el nombre de la matriz M. Haga clic fuera del grfico, o pulse [F9].

Mathcad muestra el grfico de superficies.Es posible que matrices grandes tarden unos segundos en trazarse.

Mathcad proporciona muchas opciones de formato para los grficos de superficies: cambiando laperspectiva, la ampliacin de la escala vertical, ocultando lneas, modificando el sombreado o mostrandola superficie como grfico de reas.Para ver las opciones de formato de un grfico, haga clic en el grfico y elija Formato de grfico desuperficiesdel men Grf., o simplemente haga doble clic sobre dicho grfico

Primero, con los ajustes por defecto . . .

. . . con sombreado en colores . . .


30/121

-30-

. . . con sombreado de escala de grises, sin rotacin y con una inclinacin de 90 .

. . . con una escala vertical muy reducida . . .


31/121

-31-

14) GRFICOS DE CURVAS DE NIVEL

En Mathcad pueden mostrar grficos de curvas de nivel. Para ello:

Cree una matriz, cuyos valores representen alturas sobre el plano x-y. Por ejemplo:

Elija Crear grfico de curvas de nivel del men de Grf.. Escriba el nombre de la matriz en el espacio vaca y haga clic fuera del grfico.

Pueden cambiarse mltiples caractersticas de un grfico de curvas de nivel, como por ejemplo, el nmerode lneas de retcula o si el espacio entre las lneas se colorea o se sombrea.

Para ello:

Haga doble-clic sobre el grfico de curvas de nivel. Mathcad muestra un cuadro de dilogo.Los ejemplos que siguen muestran algunos ejemplos:. . sin numerar, y con los espacios entre curvas coloreados.. . . Nmero de curvas reducido a 6.


32/121

-32-

15) SIMBLICO

Mathcad puede manipular smbolos al igual que nmeros utilizando Maple (Waterloo Maple Software Inc).

Para realizar clculos simblicos, elija Iniciar procesador simbli codel men Simblico.Veamos algunos ejemplos de clculo simblico:

SimplificacinEs posible simplificar expresiones muy complejas, simplemente con una opcin de men. Supongamos que desea simplificar:

Primero haga clic en la expresin. Asegrese de que est completamente rodeada por el cuadrode seleccin azul.Luego elija Simplificar del men Simblico.

Aparece esta expresin ----->

Factorizacin Para factorizar:

Haga clic en la expresin y seleccinela utilizando la flecha arriba, hasta que est completamenteincluida en el cuadro de seleccin.Luego elijaFactorizar expresin del menSimblico.


Diferenciacin simbl icaPara efectuar la evaluacin simblica de una derivada, como por ejemplo:

Haga clic en la expresin y seleccinela utilizando la flecha arriba, hasta que est completamenteincluida en el cuadro de seleccin azul.

Luego elijaEvaluar simblicamente del menSimblico.

El procesador simblico mostrar el resultado. ----------->

Por otra parte, el men Simblicocontiene un comando especfico, Diferenciar para variable, quediferencia la expresin respecto a la variable seleccionada.

Supongamos que desea diferenciar:

respecto a la variable x.


33/121

-33-

Primero haga clic en la expresin al lado de la variable xo incluya la variable xen un cuadro deseleccin.Luego elijaDiferenciar para variable del menSimblico. El procesador simblico mostrar elresultado.


Integracin simbl icaPara efectuar la evaluacin simblica de una integral definida, como por ejemplo:Primero incluya la expresin en un cuadro de seleccin haciendo clic en la expresin y utilizando laflecha arriba.

Luego elijaEvaluar simblicamente del menSimblico.


Mathcad puede igualmente ayudarle a hallar simblicamente integrales indefinidas, si existe la solucinsimblica (espacio cerrado).

Supongamos que desea integrar:respecto a la variable x.

Primero haga clicen la expresin al lado de la variable xo incluya la variable xen un cuadro deseleccin.Luego elijaIntegrar para variable del menSimblico. Si la integral es demasiado grande para sermostrada en pantalla, Mathcad pondr el resultado en el portapapeles (en forma de texto).


Los resultados simblicos pueden contener funciones especiales, como la funcin Z de Riemann, Z(x), lafuncin integral logartmica Ei(x), etc. Para una definicin de estas funciones ver

Resolucin simblicaEl procesador simblico le permitir reorganizar fcilmente una ecuacin para expresar una variable entrminos de una expresin o hallar la raz de una expresin. Por ejemplo, supongamos que desea resolver para la variable xde la expresin:

Primero, asegrese de que utiliz [Ctrl]+(el signo de igualdad lgica) para crear el smbolo de igualdadde la ecuacin.Aparece esta expresin ----->Haga clic en la expresin al lado de la variable xo incluya la variable xen un cuadro de seleccin.

Luego elijaResolver para variabledel menSimblico. Si hay ms de una solucin, Mathcadmostrar el resultado en forma de vector.


34/121

-34-


35/121

-35-

16) SMARTMATH

Cuando SmartMath est activado, se dispone de dos caractersticas ms:

Simblico activo: Permite obtener resultados simblicos con la misma facilidad que losresultados numricos.Optimizar: Transforma lo que se introduce en una forma que aumenta la eficacia del clculo.Antes de continuar, abra el men Matemt. y asegrese de que la opcin SmartMathtenga la marca deverificacin. Si no la tiene, elija SmartMathdel men Matemt..

SIMBLICO ACTIVOAl utilizar el signo de igualdad simblica, "", Mathcad devolver lo que se encuentre en el lado izquierdode forma simplificada en el lado derecho. Por ejemplo:Para utilizar el signo de igualdad simblica:

Escriba la expresin que desea evaluar simblicamente y asegrese de que est seleccionada

Pulse [Ctrl][Punto]para generar el "".Haga clic fuera de la regin. Mathcad rellenar el espacio con el resultado.

PERSONALIZACION DEL SIMBOLO "" Puede controlar el modo en que el ""evala una expresin escribiendo una palabra clave antes de laexpresin. Por ejemplo:1. Desarrolle una multiplicacin:

2. Factorice una expresin:

3. Simplifique una expresin:

OPTIMIZACION DE ECUACIONESSmartMath aumenta la "inteligencia" de Mathcad en el clculo matemtico. Por ejemplo, la integral quesigue tiene un espacio cerrado simple. Sin embargo, sin la ayuda de SmartMath, Mathcad tiene que usar

un algortmo de integracin numrica para evaluarla.

Para hacerse una idea de la cantidad de tiempo que puede tomar este clculo, pruebe a cambiar el valorde "a" y vea lo que se tarda en evaluar la integral.La integral que sigue parece igual a la anterior, salvo que la palabra clave "optimizar" le dice a Mathcadque resuelva la integral inteligentemente.

Como se le dijo a Mathcad que se comportara de forma inteligente, encontr el espacio cerrado. Hagadoble-clic sobre la estrella roja para verlo.


36/121

-36-

Ahora cambie el valor de "a". En lugar de comenzar el clculo integral numrico desde el principio,Mathcad lo resuelve de forma inteligente, es decir que usa directamente la expresin del espacio cerradoque se oculta tras la estrella roja.En el ltimo ejemplo hubo que escribir la palabra clave "optimizar" para hacer que Mathcad se ocupara"inteligentemente" de la asignacin que se encontraba a continuacin.Puede hacer que Mathcad optimice todas las asignaciones eligiendo Controles SmartMath del menMatemt.y activando la opcin Optimizar del men que emerge a la derecha.Con Optimizaractivado, Mathcad intentar encontrar soluciones de espacio cerrado para todas lasasignaciones, salvo las precedidas por la palabra clave "literalmente".


37/121

-37-

17) TEXTO

Mathcad supone por defecto que todo lo que se escribe est en una "regin de matemticas".

Para crear una regin de texto:

Escriba unas comillas. El cursor en forma de cruz se convierte en una lnea vertical, denominada "puntode insercin".Comience a escribir texto. Utilice las flechas izquierda y derecha para desplazarse por el texto. Cuando haya terminado, haga clic fuera del texto. Pulsar [Intro]simplemente aade un retorno de carro,sin salirse de la regin de texto.

FRANJAS DE TEXTOLas regiones de texto son muy adecuadas para textos cortos en cualquier parte del documento. Sinembargo, si desea escribir gran cantidad de texto, le sern ms tiles las franjas de texto porque, adiferencia de las regiones: las franjas de texto van de lado a lado de la pgina; las franjas de texto abren espacio al escribir, empujando otras regiones hacia abajo.

Para crear una franja de texto:

Haga clic en un espacio vaco. Asegrese de que no hay otras regiones a la derecha o a la izquierda dedonde hizo clic.Pulse [Ctrl]+T.CAMBIO DEL TIPO DE LETRA DEL TEXTOPara cambiar el tipo de letra de todo el texto, elija Cambiar tipo de letra por defecto...del men Texto.Para cambiar el tipo de letra de un texto seleccionado:

Seleccione el texto arrastrando el ratn sobre el mismo.

Elija Cambiar tipo de letradel men Texto.Elija el tipo de letra, tamao y estilo deseados del cuadro de dilogo.


38/121

-38-

RELACIN DE COMPLETITUD

Supongamos una funcin cualquiera, por ejemplo:

Consideremos asimismo un conjunto completo de funciones ortogonales.Estas funciones son las soluciones del sistema:partcula en una caja de potencialesde paredes infiniras

donde n = 1, 2.., es un nmero entero (cntico)y a el tamao de la caja de potencialesLa funcin f(x), con rango de existenciaentre 0


39/121

-39-

La coincidencia entre las dos funciones es totalRepetir el clculo utilizando valores de n inferiores, hasta que las funciones dejen de

coincidir


40/121

-40-

Efecto Tunel

Supongamos un perfil de potenciales como el de la Figura

en la regin I:

siendo

en la regin II:siendo

La constante B en funcin de la constante A, se obtienea partir de la relacin de continuidad I (x=-a) = 0.

La constante D en funcin de la constante A, se obtienea partir de la relacin de continuidad I (x=0) = II(x=0).

La Energa se obtiene a partir de la relacin de continuidad de la primera derivada de las funciones en x = 0 I/x [x=0] = II/x [x=0].Ecuacin que nos da cuenta de losestados cuanticos permitidos con E


41/121

-41-

Para obtener las soluciones numricas se parte de tres valores aproximados

y se define la funcin

Las soluciones sern

Llamando y=x/a y sin escribir la constante A de normalizacin, las soluciones en cada regin del espacio sern

en la regin I:

en la regin II:

Las funciones son ahora normalizadas, calculando la constante A. El lmite superior de la segunda integral (2)debe ser lo suficientemente grande como para que la integral sea constante

A continuacin pueden calcularse las funciones de probabilidad


42/121

-42-

Funciones de probabilidad

Con objeto de dibujar la curva de energa potencial distancia se define:


43/121

-43-

PARTCULA EN UNA CAJA DE POTENCIALES BIDIMENSIONAL DEPAREDES INFINITAS

Tamao de la caja de potenciales

Funcin de onda

Numero de puntos a calcular en cada eje

Clculo de las coordenadas x-y

Asignacin de nmeros cunticos

Clculo de la funcin de onda

y de su cuadrado

A continuacin se repiten los clculos para diferentes valores de nmeros cunticos:


44/121

-44-


45/121

-45-


46/121

-46-

EL OSCILADOR ARMNICO

Para resolver el sistema correspondiente al Oscilador Armnico,se efecta el siguiente cambio de variable:La solucin general, para v>0, puede expresarse mediante las relaciones:

Para v=0

Las diferentes funciones de onda pueden ser obtenidas de forma simblica:


47/121

-47-

Las funciones de onda estan relacionadas entre si de forma que conocidas dos consecutivas puedeobtenerse la siguiente, dicha relacin de recurrencia es:

Simblicamente puede calcularse a partir de las deficiones anteriores que

Coincidiendo el resultado con el determinado perviamente paraPara representar estas funciones vamos a dar arbitrariamente un valor a la constante

y un rango a la variable q

Otra forma de representar la probabilidad es en un grfico en el que simultneamente se represente laenerga potencial, U=q2, y la energa de cada estado E(v) = 1+2v. En este grfico a la probabilidad decada estado se le suma su energa, solo con objeto de facilitar su visualizacin.


48/121

-48-

En esta figura, los valores de q (distancia) correspondientes a los puntos de cruce entre la lnea negra(energa potencial) y las lneas azules (energa total a cada nivel v) representa el mximo desplazamientode la partcula, segn la mecnica clsica.Sin embargo, las probabilidades (lneas rojas) se extienden ms all de dicha distancia


49/121

-49-

REPRESENTACION GRAFICA DE ARMONICOS ESFERICOS

El armnico esfrico a representar, ser designado por r (vector r en coordenadas polaresel cual solo toma valores positivos). En realidad, el signo del armnico esfrico puede ser positivo o

negativo, aunque grficamente solo puede representarse su valor absoluto. Supongamos que la funcin arepresentar es un armnico esfrico con nmeros cunticos l=2 y m=0. En este caso:

Donde r varia entre 0 y

varia entre 0 y

y varia entre 0 y 2


50/121

-50-

Armnicos Esfricos

Pgina realizada por Olga Carabao CastroVamos a representar los diferentes armnicos

Los armnicos esfricos son autofunciones comunes del operador

y la componente deldel momento angular

Para ello definimos en primer lugar los polinomios de Legendre

donde p=cos

Donde l toma valores enteros positivos y m toma valores desde -l hasta +lDefinimos seguidamente los armnicos esfricos como funcin de los polinomios de Legendre

Realizamos la conversin a coordenadas cartesianas

Tomamos 50 valores para

entre 0 y

y otros 50 para

Definimos las siguientes matrices para hacer la representacin

Ahora para representar los diferentes armnicos basta con ir variando los valores de l y m recordandosiempre que m toma valores entre -l y +l .

* Para l=0* m=0


51/121

-51-

* Para l=1

* m=0

* m=1 y-1 (notemos que la representacin es la misma puesto que representamos el valor absoluto)


52/121

-52-

* Para l=2

* m=0

* m=1 y -1


53/121

-53-

* m=2 y -2

* Para l=3* m=0


54/121

-54-

* m=1 y -1

* Para l=4* m=0


55/121

-55-

Notemos que para l=3 y l=4 tendriamos ms representaciones; para l=3 las correspondientes a m=2 y -2,

y m=3 y -3 y para l=4 las correspondientes a m=1 y-1, m=2 y -2, m=3 y -3 y m=4 y -4. Pero no podemosrepresentarlos con este programa puesto que nos permite hacer derivadas de orden superior a l+m=4.


56/121

-56-

Representacin de los orbitales 3d

La representacin de un orbitl atmico no es posible, tal cual, ya que dicho orbital depende de trescoordenadas (r, y ), por lo que necesitaramos una cuarta coordenada para represental el orbital.

Por lo tanto solo podremos representar proyecciones del orbital sobre diferentes planos. Vamos a difinir los ejes de coordenadas (en cartesianas)

Su conversin a coordenadas esfricas ser:

Radio de atmico de Bohr:

Orbital 3d z2

Representacin en el Plano xz ----> y = 0En el plano XZ, se cumple que =0 y =.

En vez de trabajar con estos dos valores de , es mejor permitir que tome valores entre 0 y 2.Por esta razn, en la funcin probabilidad, para evitar el signo del sen(), se aade |sen()|.Orbital

Probabilidad


57/121

-57-

Orbital 3dxy

Representacin en el Plano xy ----> = /2

orbital

Probabilidad


58/121

-58-

Orbital 3dx2y2

Representacin en el Plano xy ----> = /2

orbital

Probabilidad


59/121

-59-

Las representaciones de las funciones dxz y d yz, son formalmente idnticas a la del orbital dxy

Orbital 3dxz

Orbital 3dyz


60/121

-60-

Integrales de Coulomb: Integrales bielectrnicas

La integral de Coulomb da cuenta de la energa de repulsin entre dos electrones de un tomopolielectrnico.Esta integral es compleja de resolver, si bien tiene solucin analtica. Se va a analizar su

solucin para dos electrones situados en orbitales 1s.

La integral de Coulombtiene la forma

Un mtodo para resolver esta integral consiste en referir la posicin de la segunda partcula con respectoa la primera, definiendo un nuevo sistema de coordenadas (x', y', z'), centrado en la posicin de la primerapartcula (ver Figura, lineas verdes). En este sistema de coordenadas la direccin del eje z', se elige deforma que coincide en todo momento con la r1. Las coordenadas esfricas de la segunda partcula sernpor lo tanto r12, w (ngulo con z') y (ngulo de la proyeccin de r12 sobre el plano x'-y' con el eje x'). Porlo tanto el elemento de volumen ser

De todas las coordenadas definidas, el sistema debe expresarse en funcin de 6 cualesquiera. As,interesa seguir usando r2 y eliminar w . Trigonomtricamente se sabe

luego, como supondremos a r1 y a r12 como variables independientes y a r2 y w como variablesdependientes, diferenciando

luego

Las tres ltimas integrales son inmediatas, por lo que


61/121

-61-

Estas integrales pueden dividirse en dos de igual valor. En un caso r2 $r1, y en el otro caso r1 $r2.Luego

podemos multiplicar por 2 y quedarnos con el caso r2$r1.

Notese que el lmite inferior de la segunda integral es ahora r1, ya que por definicin r2 $r1. La ltimaintegral es inmediata y vale (r1+r2) - (r2-r1) = 2r1, luego

La solucin de la segnda integral es

Por lo tanto, substituyendo:

Por lo tanto


62/121

-62-

El Hueco de Fermi

Supngase un tomo de He en una configuracin 1s12s1Vamos a construir las funciones de onda antisimtricas correspondientes a esta configuracin,

suponiendo la aproximacin de electrones independientesCarga Nuclear

Orbitales 1s y 2s

Orbital atmico con la parte espacial simtrica

En este orbital la parte de espn tiene que ser antisimtrica, lo que implica que S = 0.La parte de espn no la escribimos ya que energa y probabilidad no viene afectada por ella La otra opcin es que la parte espacial del orbital atmico sea antisimtrica

En este orbital la parte de espn tiene que ser simtrica, lo que implica que S = 1.La funcin probabilidad se define como el cuadrado de estas funciones por el elemento de volumen. Si seintegra con respecto a todas las orientaciones posibles, se puede expresar la probabilidad mediante unarelacin semejante a la obtenida para el tomo de hidrgeno, cuando se dedujo la funcin de distribucinradial. Esto implica multiplicar por 4r2para cada electrn.

Definamos un rango de distancias entre 0 y 5 angstrom para cada una de las distancias


63/121

-63-

La diagonal de estas representaciones nos da la probabilidad de encontrar a los electrones a la mismadistancia, y como se observa dicha probabilidad no es cero cuando el spin S = 0.

Cuando la parte espacial es antisimtrica, S = 1. En este caso, la probabilidad es cero cuando r1y r2sonaproximadamente iguales, como se aprecia en las figuras superiores. Se dice entonces que existe unhueco de Fermi alrededor de cada electrn, indicando la existencia de una regin en la que laprobabilidad de encontrar otro electrn con el mismo espn es cero.


64/121

-64-

La Molcula H2+

Orbital atmico 1s

Integral de solapamiento:

Integral de Coulomb

Integral de resonancia

Se obtienen dos soluciones


65/121

-65-

Construccin de los Orbitales MolecularesOM enlazante

OM antienlazante

Con objeto de representar estos orbitales hay que tener en cuenta que estamos usando coordenadasesfricas y debemos hacer la transformacin a cartesianas. Adems situaremos nuestro centro decoordenadas en un punto situado sobre la lnea que une a los nucleos y equidistante a ellos (ver Figura).La representacin se efectuar en el plano x-zLas distancias r1 y r2 estn referidas a las posiciones de cada nucleo endicho plano x-z sern:

Vamos a crear una matriz de puntos x,z, de forma que tengamos 120 puntos a lo largo de eje z (12unidades atmicas de distancia) y 60 puntos a lo largo del eje x (6 unidades atmicas de distancia)


66/121

-66-

Si la distancia internuclear es

Las posiciones r1 y r2 del electrn sobre el plano x-z sern;

y por ltimo los Orbitales Moleculares

La probabilidad ser


67/121

-67-

Vamos a representar la funcin probabilidad a lo larfo del eje z, (hacieno x=0).


68/121

-68-

Funciones de interpolacin de spline cbico

Este ejemplo permite demostar como funcionan las funciones de spliney interpde MathCad.En primer lugar necesitamos introducir un conjunto de datos X-Y:

Las funciones de spline cbico suponen que dos puntos consecutivos estan conectados por unpolinomio de tercer grado. Por lo tanto se necesitan 4 coeficientes para construir dicho polinomioentre cada pareja de datos. Dos de los coeficientes se obtienen de los propios puntos, los otros dosobligando a que las dos primeras derivadas sean continuas en dichos puntos. Sin embargo, loscoeficientes de los puntos extremos quedan indeterminados, por lo que se requiere una condicinadicional.

Condicin lineal en los puntos extremos

Condicin parablica en los puntos extremos

Condicin cbica en los puntos extremosS1, S2, S3 recogen los coeficientes de los polinomios de spline. Necesitamos definir las funcionesde interpolacin

Estas funciones pueden utilizarse para efectuar clculos puntuales:

o para representarlas graficamente, como funciones continuas


69/121

-69-

Las funciones difieren solo en los extremos.

Estas funciones son de interpolacin, y no de extrapolacin


70/121

-70-

La funcin root (Clculo numrico de las raices de una funcin)

Supongamos una funcin como la siguiente:

Vamos a calcular las raices de esta funcin, es decir, los valores de x que hacen f(x) = 0. MathCaddispone de varios mtodos para calcular esto. Uno de ellos, el ms sencillo, es el mtodo de Newton, enel cual se basa la funcin rootde MathCadEl mtodo de Newton es un mtodo iterativo. El mtodo consiste en partir de un valor aproximado a unade las raices, por ejemplo:

Siendo por lo tanto x1 y x2 las soluciones vuscadas.

El mtodo de Newton no siempre converge, o, a veces la solucin no es muy precisa, por lo que se hecenecesario una comprobacin de la solucin obtenida, ya sea grafica o numricamente

Supongamos que necesitamos una solucin ms precisa. Esto puede controlarse con la funcin TOL, quepor defecto tiene un valor de 0.001. Esta funcin determina el lmite de convergencia entre interaccionessucesivas y por lo tanto el cese del clculo numrico. Por ejemplo:

Notese que el resultado de f(x2) difiere del anterior, ya que se ha partido de un valor de prueba diferente.Hagamos:


71/121

-71-

y repitamos el clculo

La solucin x2, difiere solo en la quinta cifra decimal, pero f(x2) es mucho ms prximo a cero que en elcaso anterior, es decir, la solucin numrica es ms precisa.Si el valor inicial esta muy alejado del real, la funcin root no siempre permite obtener soluciones vlidas.Por ejemplo:

El mtodo de Newton utiliza el siguiente algortmo:

Se define la derivada de la funcin

Se propone un valor inicial

y un rangoAlgortmoiterativo

Veamos otro ejemplo. Sea la funcin


72/121

-72-


73/121

-73-

La funcin gamma de Euler

La funcin gamma de Euler define la integral siguiente

Esta funcin est implementada en MathCad

La funcin gamma no esta definida para enteros negativos. Para argumentos enteros se cumple que (x)= (x-1)!

Una relacin interesante de estas funciones, que la relacionan con la funcin factorial es:

Por ejemplo:

Tambin:


74/121

-74-

La funcin if. Funciones discontinuas o con indeterminaciones

Con frecuencia es necesario utilizar funciones discontinuas o que presentan indeterminaciones para ciertos valores decoordenadas. Esto sucede con la funcin sen(x)/x en x = 0.

Esta funcin esta indefinida para x=0, si bien tiende a 1 cuando x tiende a cero. Una forma asignar el valor 1 a dichafuncin en x = 0 es mediante la funcin ifLa funcin if tiene 3 argumentos separados por comas, el primer argumento es una condicin, en este caso unaigualdad lgica (Ctrl+).Si dicha igualdad se cumple la funcin toma el valor del segundo argumento, en caso contrario la del tercerargumento.

Supongamos que queremos construir una funcin g(x), que para x0,adopta la forma exp(-x/3).

Esta funcin puede ser integraga o diferenciada como cualquier otra funcin


75/121

-75-

La funcin derivada tiene una discontinuidad en x=0, como es de esperarLa funcin if puede ser aplicada reiteradamente. Supongamos que de nuevo, para x>9, la funcin tiene la forma h(x)


76/121

-76-

Ajuste de curvas polinmico

Este documento muestra cmo ajustar una funcin cuadrtica a un conjunto de datos. Esta misma tcnica sirve paraotros tipos de ajuste de curvas y para la regresin mltiple (una regresin con varias variables independientes).

Primero lea los datos a partir de archivos externos:

Ambos archivos deben tener el mismo tamao

Ajuste lineal simple

Calcule el error cuadrtico medio:

Ajuste cuadrtico utilizando operaciones de matricesCree una segunda variable (x2) y una matriz X :

Curva ajustada:

Calcule el error cuadrtico medio:


77/121

-77-

Trazado de las curvas respecto a los datos


78/121

-78-

Filtrado de una seal con una FFT

Defina la seal:

Aada algo de ruido:

Tome la transformacin discreta de Fourier:

. . . Defina el umbral de supresin de ruido espectral.

SealRuido

Filtre y tome la transformacin inversa:


79/121

-79-

Trazado de histogramas -- Lanzamiento de una moneda al azar

Vamos a definir la siguiente funcinLa funcin rnd(1) retorna un nmero aleatorio entre 0 y 1.

La funcin de Heaviside (x), retorna 1 si x>0, o 0 si x


80/121

-80-

Tabla de frecuencias

El vector frec nos proporciona el nmero de veces que sale0 caras por jugada (7 veces),1 cara por jugada (10 veces)2 caras por jugada (44 veces)3 caras por jugada (64 veces)4 caras por jugada (47 veces)

5 caras por jugada (27 veces) y6 caras por jugada (2 veces)


81/121

-81-

Ajuste de curvas no polinmicas

Supongamos un conjunto de datos x1,y1

y supongamos adems, que estos datos se adaptan al modelo representado por la funcin

Siendo A y B parmetros desconocidos, los cuales sern obtenidos por ajuste numrico. La desviacin cuadrticamedia se define

Es necesario introducir valores de A y B aproximados

Se necesitan tambin tantas relaciones como constantes de ajusta. La relacin A>0 es arbitraria y podra haberseutilizado, por ejemplo B>0 o A>B etc.

Valores ajustados

Estimacin del error en la determinacin de las constantes A y B


82/121

-82-

Parmetros

Coeficientes

Luego A = 5.768"0.28

Luego B = 3.526"0.554

Dependencia entre los parmetros.Un valor igual a 1 indica que los parmetros son dependientes y por lo tanto no pueden ser calculados


83/121

-83-

Funciones de distribucin de datos

Distribucin Gaussiana:La funcin Gaussianao funcin de distribucin normalviene dada por:

Donde es el valor medio y la desviacin standard. El caso especial en el que =0 and =1(dnorm(x,0,1)) se conoce como Gaussiana standard. Cualquier distribucin Gaussiana puedeexpresarse de acuerdo a una Gaussiana standard mediante el cambio de variable z = (x-)/.

La probabilidad de encontrar un valor x, comprendido en el intervalo [x, x+dx], viene dada por:

dnorm(x,,)dx.Lo anterior es rigurosamente cierto solo en el lmite dx ---> 0, aunque es tambin una buena

aproximacin para dx finito, siempre que dx


84/121

-84-

Podemos expresar la probabilidad de encontrar el valor de x comprendido en el intervalo [a,b](a


85/121

-85-

Si chequeamos nuetros datos

Estos valores no son los exactos debido a fluctuaciones, lo que se debe a que el nmero de datosde que se dispone es finito.Vamos a representar una fraccin de nuestros datos:

Esta representacin se parece mucho a lo que se ve en un osciloscopio cuando se dispone de unbuen amplificador. Este tipo de curva esta afectada por lo que se denomina ruido, y consta de una

banda centrada en , con anchurade ~5. Vamos a comparar estos datos con una distribucinGuassiana

x representa una cierta anchura de banda. Nuestros datos los vamos a dividir en 100 grupos ointervalos (i :=0..99) distribuidos desde +5hasta -5. Dicho agrupamiento se hace con lafuncin hist(x,z) (histrograma de x,z). Esta funcin crea un vector de 100 puntos, en el que encada elemento representa la frecuencia con la que aparece cada valor de z.

La distribucin Gaussiana terica ser

Si representamos f y f2


86/121

-86-

Intervalo de ConfianzaUna medida cientfica no esta completa si no se estima el error que conlleva. Si se conoce ladesviacin standar, la funcin qnormnos permite realizar una estimacin de esta cantidad.Vamos a definir la funcin:Esta funcin nos da el Intervalo de confianza para una distribucin normal, donde p es el nivel de

probabilidad.

Notese que:

Luego esta funcin nos da los valores de x (superior e inferior) que encierran una ciertaprobabilidad deencontrar un resultado.Calculemos el intervalo de probabilidad para un lmite de confianza del 95%Recuerdese que apro y bpro son valores de prueba, y necesitamos modificarlos hasta que seobtiene una solucin convergente

Es decir, el 95% de los datos estan situados en el intervalo de x que va de -1.96a +1.96.Para nuestros datos

La regin sombreada es la correspondiente a un intervalo de confianza del 95%Con esta expresin calculamos la fraccin de puntos experimentales que estan situados fuera delintervalo de confianza. El resultado debe ser prximo al 5% (0.05). zi


87/121

-87-

De esta forma se puede estimar el error (Confianza) si es conocida. Pero como se determinaesta magnitud?En muchas aplicaciones estadsticas se necesita conocer el valor de . Este valor no se puedemedir experimentalemente, pero es posible estimarlo mediante un nmero finito de medidas.Vamos a repartir nuestros datos en conjuntos de Ns datos.

Numero de puntos por conjunto de datosNumero de conjunto de datos. Es decir, nuestros 10000 datos lo vamos a transformar en 2500, deforma que cada punto es en realidad la media de 4 datos.

Creamos un vector, promedio, en el que cada dato es en realidad la media de 4 datos.Para este vector:

Estimacin de la desviacin standard de una distribucin a partir de un conjuntode datosPrimero estimaremos la varianza mediante la siguiente expresin:Esta funcin determina la varianza de cada uno de los Nt conjuntos de datos

El valor medio de la varianza es una buena estimacin de 2

La funcin de dist ribucin Chi al cuadrado, 2:Esta forma de calcular la desviacin standard, , es correcta para otras funciones de distribucin.

Sin embargo, para saber lo buena que es la estimacin de , necesitamos conocer cual es ladistribucin de las varianzas de la muestra. En teora estadstica se comprueba que la funcin dedistribucin para la varianza de las muestras, puede ser expresada en trminos de la funcin de

distribucin 2 ( funcin chi al cuadrado) definida como:En esta funcin x> = 0 y d es un entero >0, llamado grados de libertadd.

El smbolo (d/2) representa la funcin gamma de Eulerde argumenro d/2.

Vamos a comparar la distribucin observada de los valores de las varianzas de las muestras vark,

con las predicciones de la distribucin 2:


88/121

-88-

Esto nos permite crear segmentos espaciados 0.042

Introducimos las varianzas en dichos segmentos

Creamos una variable de intervalo m, cuyo tamao es uno menos que el nmero de segmentos.

Grados de libertad

Esta expresin nos permite predecir, de acuerdo a la distribucin 2, el nmero de puntos en cadasegmento centrado en el valor (xm+ xm+1)/2

Esta grfica nos ensea que si el tamao de la muestra de datos es pequeo, el valor de la

desviacin standard calculado puede ser muy diferente del real. Lo normal es que el valor calculado sea inferior al real. Este error es bastante frecuente.

Para comprobar este efecto, vamos a calcular con que frecuencia nuestros valores medios (avg)

difieren una cantidad superior a 2del valor .Cantidad superior al 5% (13.8%) que es lo que cabe esperar para una distribucin normal.

Si usamos el valor verdadero de Lo que es proximo al 5%, como cabe esperar para una distribucin Gaussiana.

Por lo tanto el problema sigue existiendo, ya que no es posible estimar el error, si adems tenemos

que calcular tambin a partir de los datos experimentales. Para resolver este problema sueleutilizarse la distribucin t de student.Distribucin de Student:

La distribucin de Student se define como la relacin:


89/121

-89-

La distribucin de student tiende a la distribucin Gaussiana normal cuando d tiende a infinitoPodemos definir las funciones acumulada y acumulada inversa de Student, de forma simular acomo se hizo con la Gaussiana

Podemos tambin definir el intervalo de confianza como

Por ejemplo, los valores de x para un intervalo de confianza del 95% son, como el de nuestroejemplo son:

Llamaremos

Vamos a chequear la fraccin de medias de muestras que difieren de ms que el rango predichopor la distribucin de student.

Muy proximo al 5% que cabe esperar


90/121

-90-

Integracin y diferenciacin numrica de datos

En primer lugar, vamos a generar un conjunto que datos que simulen los obtenidos en un experimento.As, a partir de una curva Gaussiana,

vamos a simular un espectro

La funcin de spline cbico, nos permite transformar este conjunto de datos en una funcin deinterpolacin, que a todos los efectos se comporta como una funcin analtica

La funcin f(x) puede ser integrada o diferenciada, utilizando los algoritmos que MathCad utiliza paradiferenciar e integrar funciones analticas


91/121

-91-

La derivada nos permite calcular los mximos y mnimos de la curva


92/121

-92-

Ajuste de datos a una recta

Supongamos que tenemos una serie de datos X-Y los cuales queremos ajustar a la ecuacin de una recta.Sean 10 los datos experimentales.

Nuestros datos experimentales pueden corresponder, por ejemplo, a absorbancias (A) y a concentraciones (C).

Representacin de los datos

En formato de grfica,seleccionar tipo=puntos y simbolos=circulosPendiente del ajuste lineal

Ordenada en el origen

Coeficiente de correlacin

Construccin de la recta terica


93/121

-93-

Vamos a calcular las diferencias entre cada punto terico y el experimental en tanto por ciento:

En formato de grfica,seleccionar tipo=error para llas dos primeras representaciones. Esto dibuja la diferencia entreellasValor medio de las diferencias

Desviacin standard


94/121

-94-

Gaussianas y Lorencianas

Las curvas G(x) y L(x) que se muestran a continuacin definen las denominadas curvas Gaussianas y Lorencianas,respectivamente. Estas curvas tienen forma de picos.

Donde I, w y xm representan, la altura, anchura y posicin, respectivamente, del pico.

Estas funciones pueden ser utilizadas para construir curvas ms complejas.Supongamos que tenemos una serie de 26 Gausianas separadas entre si 10 unidades de x

Supondremos las alturas de estos se rigen por una funcin del tipo: (Maxwell-Boltzman)

Por ltimo supondremos que las anchuras de todos estos picos son iguales

La curva total ser

Los espectros de microondas de molculas en estado gaseoso se adaptan bien a este tipo de curvasPara picos asimetricos, es posible construir curvas como trozos de otras curvas. Ver la funcin if


95/121

-95-


96/121

-96-

Alisado de curvas

Defina la seal:

Aada algo de ruido:

Existen diferentes mtodos de alisado o smooth de una curva, dependiendo del tipo de ruido que afecta a la seal.Una opcin es utilizar filtros del tipo TTF. Otra opcin, quizas de las ms utilizadas y descrita en este ejemplo esutilizar un nucleo Gaussiano, que consiste en lo siguiente:Se define la siguiente funcinde tipo Guassiana

Se define una anchura de banda, b.El valor de b >0, debe abarcar varias vecesel espaciado de x, y su modificacin nos

permite controlar la magnitud del alisado

Por ltimo se calcula el vector dedatos alisados mediante:


97/121

-97-

En versiones superiores del MathCad, este algoritmo se encuentra implimentado como funcin de usuario


98/121

-98-

Manejo de datos y trazado de histogramas

Supongamos que en cuatro localizaciones (A, B, C y D) se realizan 6 medidas de determinada variable espaciadastemportalmente. Los valores obtenidos se introducen en 4 vectores que llamaremos A, B, C y D


99/121

-99-

Cualquier trmino de la matriz puede visualizarse en base a los ndices i y j

La matrz M nos permite representar las columnas, como se ha hecho antes o las filas

La funcin mean(x) nos da el valor medio de un vector

Esta funcin tambien nos permite calcular el valor medio de la columna de cualquier matriz. Una columna de unamatriz puede extraerse mediante:Que evidentementees igual al vector B.Adems

Imagenimos que queremos calcular los valores medios de las filas, y no de las columnas de la matriz M. Para ellocalculamos la matriz traspuesta de M


100/121

-100-

Vamos a unir ahora todos las datos de los vectores A, B, C y D en una sola columna, que llamaremos Y

El dice del ltimo dato de Y ser

y el nmero de datos

Luego vamos a crear una nueva variable de intervalo que abarque los 24 datos disponibles

El programa permite obtener informacin directa del vector Y, como por ejemplo:La media:

La desviacin standard:

La varianza:

Valor mximo:

Valor mnimo:

Podemos, adems representar graficamente los datos:

o tambin como barras de error

Vamos a agrupar los datos por frecuencias

Sea n el nmero de intervalos a utilizar


101/121

-101-

La variable de intervalo requiere un dato msVamos a crear los intervalos, mediante la funcin

Los intervalos entre los que queremos clasificar nuestros datos sern

Y a continuacin podemos crear el histograma

Que representa el nmero de veces que aparece cadadato

El significado de los vectores Inter y Fre es el siguiente:Inter Freel valor 0 aparece 1 vezel valor 1 aparece 2 veces

el valor 2 aparece 4 vecesetc.El vector Fre tiene un dato menos que el Inter, luego:

Vamos a comparar esta distribucin con una funcin de distribucin normal o Gaussianaque viene dada por:

Donde es el valor medio y la desviacin standard.

Para obtener la altura decuada de la funcin Gaussiana tenemos que multiplicarla por el nmero de datos (24 en

nuestro caso) y por x, es decir, por el rango del intervalo, que no es sino la separacin entre dos valoresconsecutivos del vector Inter, que en nuestro caso vale 1


102/121

-102-


103/121

-103-

El poder emisor de un cuerpo negro)

Velocidad de la luz

Constante de Planck

Constante de Boltzmann

Constante de Stefan-Boltzmann

El poder emisor total de un cuerpoviene dado por la relacin:

Un cuerpo a 2000 K emitira:

En funcin de la longitud de onda (en nm) y de la temperatura, el poder emisor de un cuerpo viene dadopor la ecuacin de Planck de emisin de un cuerpo negro:

Donde los factores 1036y 109transforman en nm a m.Esta ecuacin tiene unidades de watios m-2nm-1A continuacin se representa la anterior funcin para dos temperaturas,5700 K (Sol) y 288 K (Tierra), en el rango de 100 a 20000 nm

Como puede apreciarse estas curvas dificilmente pueden representarse en un mismo grfico.Para compararlas vamos a normalizarlas dividiendo por el poder emisor total a cada temperatura


104/121

-104-

Escalalogartmicaen el eje X ----->


105/121

-105-

Capa de Chapman

Por "capa de Chapman" se conoce la regin de la atmsfera en la que una especie determinada, ennuestro caso

O2, extingue (absorbe ) la radiacin solar. Para definir este fenmeno, necesitamos conocer:-El flujo solar sobre la Tierra: F()-La capacidad de absorcin del O2(su seccin eficaz) ()-La desidad molecular a ras de suelo, n t-La relacin de mezcla de O2, x-La escala neperiana de altura, He-El zenit solar, Flujo SolarVelocidad de la luz

Constante de Planck


Constante Solar

watios m-2El poder emisor total de un cuerpo

Ecuacin de PlanckLa energa que llega a la tierra procedente del sol en watios m -2nm-1ser:La integracin de esta ecuacina todas las longitudes de onda dacomo resultado la constante solar

Vamos a representar la regin del visible-UV

Seccin eficaz del O2La banda de absorcin del O2 (banda de Shumann-Runge) puede ser representada

de forma aproximada mediante una curva GausianaAbsorcin mxima en cm2


106/121

-106-

Longitud de onda mxima en nm

Anchura de la banda

Banda de absorcin

Densidad molecular a ras de suelo

Relacin de mezcla del oxgeno

Escala neperiana de alturaLa escala neperiana de altura se define como He= RT/gPm, donde comopromedio puede considerarse que T = 250 K y Pm= 29 g/mol.Aproximadamente se obtiene que:

Zenit solar

Capa de ChapmanAltura de mxima absorcin

El factor 105es el paso de km a cmFlujo de radiacin en funcin de la alturay la longitud de onda

Velocidad de absorcin de radiacinP = dF/dh

La mxima capacidad de absorcin de radiacin solar por parte del O 2es aproximadamente a = 220 nm.Para < 220 nm, hay poca radiacin, para > 220 nm, el O2 absorbe poco.Rango de altura


107/121

-107-

en kmVariacin de F con h a =constanteVariacin de F con a h=constante

Variacin de P con h a =constante


108/121

-108-

Efecto Invernadero-CO2

Para poder cuantificar el "Efecto Invernadero" de una especie necesitamos conocer:-El flujo de radiacin Terrestre: F()

-La capacidad de absorcin del gas considerado, CO2(su seccin eficaz) ()-La desidad molecular a ras de suelo, n t-La relacin de mezcla, x, y, si fuera necesario, su dependencia con la altura x = x(h)-La escala neperiana de altura, He-La absorcin de otras especies que absorban en la misma regin del espectro. Flujo de radiacinTerrestreVelocidad de la luz

Constante de Planck


Temperatura mediade la tierra

Flujo de radiacin de un cuerpo negroen funcin de (nmero de ondas cm-1)

en watios cm m

-2

rango de nmero de ondas

en cm-1

Espectro terrestreSi queremos calcular el poder emisor total de la tierra

en watios/m2Seccin eficaz del CO2La banda de absorcin del CO2puede ser representada en una primera aproximacin mediante doscurvas Gausianas. En realidad la curva es mucho ms compleja

Absorcin mxima en cm2


109/121

-109-

Nmero de onda mxima en cm-1

Anchura de la banda

Banda de absorcin

Densidad molecular a ras de suelo

La relacin de mezcla delCO2es constante con h.En caso contrario sera necesarioaadir la dependencia real con h

Relacin de mezcla del CO2

360 ppmDado que queremos analizar el supuesto de que x aumente, vamos a utilizarla relacin de mezcla como variableEscala neperiana de alturaLa escala neperiana de altura se define como He= RT/gPm, donde comopromedio puede considerarse que T = 250 K y Pm= 29 g/mol.Aproximadamente se obtiene que:

Efecto InvernaderoEl factor 105es el paso de km a cmy x es la relacin de mezcla que se dejacomo variableMxima absorcin

Flujo de radiacin en funcin de la altura,nmero de onda, y relacin de mezcla

Rango de altura

en kmVariacin de Fr con h a = constante y x = constante (360ppm)


110/121

-110-

Por encima de 20 km, la densidadmolecular es tan baja que la absorcinse hace despreciable

Variacin de Fr con a diferentes valores de h y para x = 360 ppm

Si suponemos que por encima de 40 km ya no existe absorcin de CO2, el efecto invernadero total de estegas ser

el area (integral) de la siguiente curva :


111/121

-111-

watios m-2Vamos a suponer que la relacin de mezcla del CO2aumenta hasta 600 ppm, como esta previsto queocurrapara el ao 2100

A consecuencia de este fenmeno, el efecto invernadero del CO2deber aumentar en:

watios m-2En realidad, el aumento del efecto invernadero del CO2debe ser ms pequeo, debido a la absorcindel agua y otras especies en la misma regin del espectro (el efecto invernadero no es aditivo). Accin combinada de CO2y H2ORelacin de mezcla del H2Osupondremos que existe un 1% de agua en la atmsferaEn realidad, la relacin de mezcla del agua no se mantiene constanteen la troposfera, ya que esta condensa a medida que aumenta la alturay disminuye la temperatura. Para simplificar despreciaremos este efecto.

Seccin eficaz del H2OEl agua absorbe radiacin en todas las regiones del espectro, mostrando unaventana de baja absorcin entre 1200 y 600 cm-1. Se considerara solo la absorcinpara < 1200 cm-1Absorcin mxima en cm2

Nmero de onda mxima en cm-1

Anchura de la banda


112/121

-112-

La banda de absorcin se considerarade forma Lorenciana

Efecto Invernadero combinadoDebemos corregirla mxima absorcin,

incluyendo las dos especiesque absorben

Flujo de radiacin en funcin de la altura,nmero de onda, y relacin de mezcla

La lnea roja representa el espectro a ras de suelo. La lnea azul el espectro en ausencia de CO 2, y porltimo la lneaverde, el epectro en presencia de los dos gases. El esfecto invernadero del CO2ser por lo tanto:

watios m-2Si suponemos que la relacin de mezcla del CO2aumenta hasta 600 ppmValor que aun sigue siendo algoelevado.

watios m-2

A continuacin se comparan, el espctro real de la tierra medido desde un satlite, fuera de la atmsfera,con elespectro simulado


113/121

-113-


114/121

-114-

Iteracin simultnea -- Difusin de una epidemia

Valores semilla

. . . infectados. . . amenazados

. . . fallecidos

. . . sanados


115/121

-115-


116/121

-116-

Sistema predador-presa: Mtodo de Runge-Kutta de 4 orden para laresolucin de Ecuaciones diferenciales

En una isla abandonada del hombre, los Conejos (C) se alimentas de la vegetacin (A), que se supone

siempre constanteC + A ------> 2Ck1 es su constante de velocidadLos Zorro (Z), a su vez se alimentan de Conejos (C): Z + C --------> 2Zk2 es su constante de velocidadPor ltimo, los Zorros (Z) pueden morir (M) de forma natural Z -------> Mk3 es su constante de velocidadEl sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente a este esquema puede ser expresado en formamatricial mediante:

Definicin de Parmetros:

Definicin del tiempo final y nmero de iteracciones

Definicin de la condiciones iniciales y del vector concentracin

Mtodo de Runge-Kutta de 4 orden


117/121

-117-

Clculo iterativo de las concentraciones de Conejos(C) y de Zorros (Z)


118/121

-118-

Breve introduccin a los atractores caticos

Antonio M. Daz SorianoEra un dia como otro cualquiera de 1963, Edward N. Lorenz se encotraba en su despacho del MITestudiando un modelo atmosfrico mediante el cual pretenda comprender por qu los patronesclimatolgicos, que siguen pautas razonablemente peridicas, nunca se repiten exactamente. El modeloen cuestin se trataba de un clculo numrico de un sistema dinmico de tres ecuaciones no lineales quesimulan el fenmeno de la conveccin en la atmsfera; por aquel entonces la velocidad de losordenadores era muy baja, por lo que, tras introducir unas condiciones iniciales que ya haba usado conanterioridad, Lorenz sali de su despacho en busca de una taza de caf. Al regresar se sorprendi de quelos resultados fueran totalmente diferentes de los obtenidos en la ocasin anterior; al principio pens quese trataba de un fallo del ordenador, pero despus se di cuenta de que los valores iniciales que habaintroducido en el ordenador no eran exactamente iguales que los usados con anterioridad, mientras quelos primeros constaban de seis dgitos, los de ahora estaban redondeados a tres dgitos.

Unos meses despus de este suceso, apareca un artculo firmado por Lorenz en el que se introducian losconceptos de atractor caticoy efecto mariposa. Un atractor es el conjunto de puntos hacia los cualestiende un sistema dinmico tras un nmero elevado -infinito sera el ideal- de iteraciones, el apellidocatico le viene por su gran sensibilidad a variaciones en las condiciones iniciales y a que los valoresobtenidos nunca se repiten exactamente. El efecto mariposa es una metfora de la dependencia de lascondiciones iniciales, de manera que una perturbacin tan pequea como el batir de unas alas demariposa en Brazil puede producir un tornado en Texas.

Atractor de Lorenz.Como primer ejemplo de atractor catico usaremos el ya mencionado atractor de Lorenz. Para estetenemos que generar un sistema dinmico a partir de las ecuaciones diferenciales y dar unos valores paralos parmetros y las condiciones iniciales.El sistema de ecuaciones es:

Las condiciones iniciales y los parmetros son:Nmero de iteraciones--->

Incremento temporal--->

Ahora planteamos el sistema dinmico a partir de las ecuaciones diferenciales:


119/121

-119-

Como vemos, obtenemos una curva paramtrica en tres dimensiones. Ahora representaremos el cortecon el plano XZ y la ampliacin de una zona de la grfica.

En la grfica de la izquierda se observa con claridad los dos atractores hacia los que tiende el sistema. Sicambiamos las condiciones iniciales, los valores numricos sern totalmente diferentes, pero tras unnmero lo suficientemente grande de iteraciones el aspecto de las grficas ser el mismo. Es esta unaimportante propiedad de los atractores, otra es la que pone de manifiesto la grfica de la derecha, en ellapodemos ver como, por mucho que nos acerquemos a cualquier zona de la curva, las trayectorias no secruzan, o lo que es lo mismo, el sistema no tiene ningn tipo de periodicidad, de ah que los patronesmeteorolgicos no se repitan nunca con exactitud.

Atractor de Hnon.A los cinco aos de la publicacin del trabajo de Lorenz, Michel Hnon descubra en el Instituto deAstrofsica de Paris un sistema dinmico de gran sencillez mediante el cual se podan explicar laspequeas oscilaciones que hacen que ciertos cuerpos celestes se desvien levemente de su rbita elptica. El sistema consta de dos ecuaciones, una de ellas cuadrtica, y dos constantes:

Vamos a representar los resultados:


120/121

-120-

Si visemos como se va generando la grfica punto a punto, al principio no distinguiramos mas que unanube catica de puntos en apariencia inconexos, sin embargo, a medida que el nmero de iteracionesaumenta, la curva comienza a compactarse para configurar el atractor, del cual es imposible saber si dospuntos consecutivos estarn cerca o lejos.

Al igual que el atractor de Lorenz, los valores numricos obtenidos dependen de las condiciones iniciales,

no as la curva final, la cual adquiere siempre el mismo aspecto despus de las suficientes iteraciones.Una propiedad particular del atractor de Hnon es que al acercarnos a cualquier parte de la grfica, lo queen principio parecian lineas individuales, se subdividen en pares de lineas, y as sucesivamente.

Otros atractores.Los atractores aparecen en numerosas ramas de la ciencia, sin embargo, al igual que ocurre con losfractales, hay un gran nmero de sistemas que se han desarrollado con caracter meramente esttico. Unode ellos es el creado por Clifford A. Pickover en el centro de investigacin Thomas J. Watson de IBM.El planteamiento del sistema es como sigue:

La representacin del atractor de Pickover suele hacerse en color, actuando de esta manera secomprende que este sistema se conozca con el sobrenombre palomitas fractales. Nosotros, sin embargo,nos limitaremos a una representacin monocroma:


121/121

-121-

Por ltimo, vamos a representar un sistema de caracter catico solamente en algunas regiones del plano.

No entraremos a analizar este sistema con ms detalle, tan slo mencionar que las zonas estables seencuentran en los hexgonos.

Guía básica Mathcad

Documents

Transcript of Guía básica Mathcad