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Matemát ica I I I | Gu ía de l Es tud ian te | 1

L ima – Perú 2014

M a t e m á t i c a I I I


MATEMATICA III

GUÍA DEL ESTUDIANTE

© MATEMÁTICA III

GUÍA DEL ESTUDIANTE P r o h i b i d a l a r e p r o d u c c i ó n p a r c i a l o t o t a l d e

e s t a o b r a p o r c u a l q u i e r m e d i o , s i n a u t o r i z a c i ó n e s c r i t a d e l A u t o r .

© Derechos Reservados 2014

Cuarta Edición © Universidad Científica del Sur

© Área de Matemática

Universidad Científica del Sur S.A.C.

Carretera Antigua Panamericana Sur Km. 19

Villa El Salvador

Tlf: (51 1) 610 6400

Web: www.ucsur.edu.pe


Reservados todos los derechos

Ningún material de este manual puede ser reproducido sin autorización expresa por escrito del autor. La autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100, sólo para uso con fines educativos y sin lucro.

MBA Rolando Vallejo Cortéz Presidente Ejecutivo

MBA Luis Pérez Del Solar Vicepresidente Ejecutivo

Dr. José Amiel Pérez Rector

Dra. Josefina Takahashi Vicerrectora Académica

M Sc. Alejandro Fukusaki Coordinador de cursos Básicos de Ciencias

Ing. José Dávila Coordinador del área de Matemática

Autores Arq. Arturo Ramos Riofrio Ing. José Dávila Tapia


OBJETIVOS


1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1.1 . INTRODUCCION

Hasta ahora se ha estudiado funciones de una var iable ,

es to es , funciones cuyo Dominio es un con junto de

números reales y cuyo R ango es t ambién un conjunto de

números reales . Sin embargo, l a descr ipción de muchos

fenómenos exige cons iderar un número grande de

var iables de manera s imul tánea .

La cant idad de agua en una represa puede

depender de la cant idad de l luvia precip i tada y de

la cant idad de agua consumida por lo residentes

locales .

La demanda de man tequi l la puede depender del

precio de esta y de la margar ina .

La producción de una empres a de manufactura ,

puede depender de la cant idad de capi tal inver t ido

en la p lanta y e l tamaño de la fuerza laboral .

La ofer ta y la demanda de un bien o producto

depende no so lo del precio , s i no también de los

precios de los productos re lac ionados , del n iv e l

de los ingresos , del t i empo de a tención y o t ros

factores más .

Las ut i l idades dependerán no so lo de la

producción de un ar t í cu lo s ino también de los

n ive les de producción de d iversos bienes y de la

combinac ión de di fe rentes máximos .

A l g u n a s

a p l i c a c i o n e s


La demanda de un b ien depende del prec io del

b ien , de los gus tos de l consumidor , de las rentas

de los d ife rentes consumidores , y de los precios

de los b ienes complementar ios y sus t i tutos , e tc .

1 .2 . MARCO TEORICO

Una función de dos var iables es una regla de

cor respondencia que as igna a cada pareja de números

reales (x , y) un y sólo un número rea l z

El conjunto de parejas ordenadas para las cua les l a regla

de cor respondencia da un número rea l se l l ama Dominio

de la función . El conjunto de va lores z que corresponden

a los pares ordenados se l l ama Imagen o C ont radominio .

Una función de dos var iables se denota usua lmente con

la notación z = f (x, y)

Las var iables x , y se l l aman var iables independientes , y

z se l l ama var iable dependiente .

Una función de dos var iables rea les es un par ordenado

cuyo pr imer elemento es un par ordenado: ( (x, y) ,

f (x ,y) ) . Formalmente, es ta expresión equiva le a una

te rna ordenada: (x , y, z) . Una función de dos var iables

puede ser representada por:

(1) Una fórmula , por ejemplo: 3 x 2 + y . A cada par

(x , y ) corresponde un va lor f (x , y ) que se obt iene

reemplazando los va lores de x e y esa fórmula .

D e f i n i c i o n e s


(2) Una tabla como la s iguiente:

x y f (x, y)

-1 -1 2

0 0 0

1 /2 1 /4 2

1 1 4

2 1 13

(3) Un esquema con diagramas de Venn:

Cons ideremos la función cuya regla de

cor respondencia es :

(x,y)= yxx2 2 .

Calcule: (1,0) ; (0 ,1) ; ( -2 ,3) . ; ( a+1,b)

Un es tudio de la demanda de leche rea l izado por

R,Fr i sh y T .Haavelmo encont raron la relación:

A l g u n o s

e j e mp l o s


5,1

08,2

),,(p

rArpAx , (A>0) ,

Donde :

x r epresenta el consumo de leche ,

p es el precio re lat ivo y

r es l a renta por fami l ia .

Evalúe: x(3 ,1 .1 ,9) ; x(3 ,2 .1 ,8) ; x(3 ,3 .1 ,7)

Una función de dos var iables que aparece en muchos

modelos económicos es : ba yAxyxF ),( .

Es ta función es de Cobb -Douglas .

Por ejemplo en la est imación de la función de

producción de c ier ta pesquera de langos tas: 48,044,026.2),( ESESF

Donde :

S r epresenta e l t amaño de las reservas de langos tas ,

E e l t rabajo inver t ido y

F(S, E) l as capturas .

1) Sea 2),( yxyxf Evalúe f(0,1) ; f(-1,2); f(a, a)

2) Sea 22 23),( yxyxyxf ;

Evalúe : f (1 ,1) ; f ( -2 ,3) ; f (x

1,

y

1) ; f (2x, 2y)

3) Sea f(x , y) = 22 2 yxyx ,

Demues t re que f (2x , 2y) = 22 f (x , y) .

E j e r c i c i o s


1.3. SUPERFICIES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Una ecuac ión en dos var iables x e y de l t ipo f (x, y) = c

se puede representar en el plano mediante una curva ,

que se l l ama gráf ica . De manera análoga , una ecuac ión

g(x, y , z) = c en t res var iables x, y , z se puede

representar por cie r to subconjuntos de l espac io

t r id imens ional que se l lama también gráf ica de la

ecuación .

La gráf ica está conformado por todas las te rnas (x, y , z)

que ver i f ican la ecuac ión y forman lo que se suele

l l amar una superf icie en e l espac io .

1.4. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea z = f (x, y) una función de dos var iables def inida

en un dominio A del p lano XY . S i f es una función “que

se compor ta bien” , su gráf ica es una super f ic ie l isa del

espacio .

La gráf ica de una función de dos var iables es e l

conjunto de puntos con coordenadas (x , y , z) en donde

(x , y) está en e l dominio de f y z = f (x , y) .

Es te conjunto de puntos forma una super f icie en e l

espacio t r id imens ional .


P a r a bo l o i d e

El El ipsoide El Hiperboloide

Algunos

grá f icos


1.5 . DERIVADAS PARCIALES

Si z = f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con

respecto a x , de la misma manera a y son las funciones fx y fy

respectivamente, definidas mediante

siempre y cuando existan los límites.

h

yxfhyxfLimf

h

yxfyhxfLimf

hy

hx

),(),(

),(),(

0

0

Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular xf

consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De

forma análoga, para obtener yf consideramos que x es constante y

derivamos con respecto a y.

La nomenclatura es

Der ivada parcial de f (o z ) respecto a x .

),( yxf x , )],([ yxfx

,

x

z

Der ivada parcial de f (o z) respec to a y .

),( yxf y , )],([ yxfy

,

y

z

D e f i n i c i ó n

N o t a c i ó n


1.6 . INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL

Recordemos que la

gráf ica de ),( yxfz

r epresenta una

superf ic ie S . S i

cbaf ),( , en tonces el

punto ),,( cbaP es tá

sobre la superf icie S . El

p lano ver t ica l by

in te rsec ta a l a superf ic ie

S en la curva C 1 es

dec ir , C 1 es la t raza de

la superf ic ie sobre el

p lano by .

Observe que la curva C 1

es la gráf ica de la

función ),( bxg de

manera que la pendiente

de su recta t angente T 1

en el punto

es ),()(' bafag x

De manera semejante, el plano

vertical ax interseca a la

superficie en la curva C2.

Ambas curvas pasan por el

punto P.

La curva C 2 es la gráf ica

de la función

),()( yafyg as í que la

pendiente de su tangente

2T en e l punto es

),()(' bafbg y


Por consiguiente, las derivadas parciales ),()(' bafag x y

),()(' bafbg y pueden interpretarse geométricamente como las

pendientes de las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 en el punto ,

respectivamente.

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de

cambio. Si ),( yxfz , entonces xf representa la razón de cambio de

z con respecto a x, cuando y permanece fija. De manera semejante,

yf representa la razón de cambio de z con respecto a y, cuando x

permanece fija.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de

la intersección del paraboloide 224 yxz y el plano 1y ,

cuando 2

1x .

Solución

En este caso la pendiente de la recta tangente está

dada por xf x 2

con lo cual, la recta es:

1; ybxz , pero pasa por el

punto: )4

11,1,

2

1(P , y así

Ejemplo apl icat ivo


En la figura se muestra la recta

tangente 1,4

13 yxz y la

parábola 224 yxz y el plano 1y .

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente

son:

Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1 ) f (x , y) = (3x 2 – 2xy + 5y 2 ) 6

Respuesta :

f x=12(3x 2 -2xy+5y 2 ) 5 (3x-y)

f y=12(3x 2 -2xy+5y 2 ) 5 (5y-x)

2) yx

yxyxf

),(

Respuesta :

f x=2)(

2

yx

y

f y=

2)(

2

yx

x

3 ) 22

),( xyxeyxf

Respuesta :

f x = (2x+y 2 ) 22 xyxe

Ejercicios


f y=2xy22 xyxe

4 ) 3 33),( yxyxf

Respuesta :

f x = 3233

2

yx

x/)(

f y = 3233

2

yx

y/)(

5 ) 22ln),( yxxyxf

Respuesta :

f x = 22 yx

1

f y = ))(( 2222 yxyxx

y

6 ) f (x , y) = (x 3 + y 2 ) (x 2 – y 3 )

7 ) f (x , y , z) = xyz e x + y + z

Respuesta :

f x = yze x + y + z (x+1)

f y = xz(y+1)e x + y + z

fz = xy(z+1)e x + y + z

8 ) f (x , y , z) = x y + z + y x + z + z x + y

Respuesta :

f x = (y+z)x y + z - 1 +y x + z lny+z x + y lnz

f y = (x+z)y x + z - 1 + x y + z lnx + z x + y lnz

f z = (x+y)z x + y - 1 + x y + z lnx + y x + z lny

9) f (x , y , z) = x 2 y + xy 2 + xyz


Evalúe las der ivadas parciales de las s iguientes

funciones en los puntos dados :

10) f (x , y) = x3 y2 – 3x2y; en e l punto (1 , 1)

Respuesta :

fx (1 ,1) = -3 ; fy(1 ,1) = -1

11) f (x , y) = e2x+y; en e l punto ( -1 , 1)

Respuesta :

fx (1 ,1) = 2 /e ;

fy (1 ,1) = 1 /e

12) f (x , y , z) = xy + xz + yz; en el punto (1 , 1 , 2)

13) f (x , y , z) = zyx ; en el punto (1 , 2 , 1)

Respuesta :

fx = ¼ ; fy = ¼ ; f z = ¼

14) S i : z = ln(x 2 + xy + y 2 ) ; demues t re que:

2

y

zy

x

zx

15) S i : w = (x – y)(y – z ) (z – x ) ; demues tre que:

0

z

w

y

w

x

w

16) Si : z = xy + xe y / x ; demues t re que:

zxyy

zy

x

zx


1.7. VARIACIÓN REAL Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE

VARIAS VARIABLES

Se l l ama incremento to ta l de una función ),( yxfz en

un punto ),( yxP a l a di ferenc ia

),(),( yxfyyxxfz donde x y y son

incrementos arbi t ra r ios de los a rgumentos .

Se l lama d i ferenc ial to ta l de la función ),( yxfz a la

s iguiente expres ión ( s i la función es d i ferenciable)

z zdz dx dy

x y

( s i l a función no es d i ferenc iable

es ta expresión no t i ene n ingún s igni f icado) .

Cálculos aproximados:

La d i fe rencia l de una función se puede u t i l i zar como

aproximación de l incremento . S i : dzz en tonces se

cumple :

dzyxfyyxxf ),(),(

Ejercicios

Para las s iguientes funciones , ha l le l a var iac ión rea l y

d i ferenc ia l to ta l (var iación aproximada) , en los puntos

dados:

1) f (x , y) = x 2 y; en e l punto (1 , 2) ; x = 0 ,1 ; y = 0 ,2

Respuesta :

real = 0 ,662 aprox. = 0 ,6

2) f (x , y) = x 3 + y 2 – 3xy; en el punto (2,1) ; x =

0 ,01; y = 0 ,02

V a r i a c i ó n

R e a l

D i f e r e n c i a l

T o t a l

V a l o r

A p r o x im a d o


Respuesta :

real = 0 ,010401

aprox. = 0 ,01

3) 2 2

2 2

x yf(x,y)

x y

; en el punto (2 , 2) ; x = 0 ,5; y =

0 ,4

Respuesta :

aprox. = 0 ,15

4) f (x , y) = ln(x 2 + y 2 ) ; en el punto (0 ,2) ; x = 0 ,3 ;

y = 0 ,8 .

Respuesta :

real = 0 ,684 qprox. = 0 ,8

Usando di ferenc ia les , ha l le el va lor aproximado de :

5 ) (1 ,02) 3 (0 ,97) 2 ,

Respuesta :

1

6) 22 )93,2()05,4(

Respuesta :

4,998

7) (0 ,97) 1 , 0 2


1.8 . APLICACIONES DE VARIACION REAL Y DIFERENCIAL

DE UNA FUNCIÓN DOS VARIABLES

1 ) Con x t r abaj adores ca l i f i cados e y

t r abajadores no ca l i f icados , un fabr icante

puede produci r : Q(x, y) = 10x 2 y u por d ía . En la

ac tua l idad hay en e l t rabajo 20 t rabajadores

ca l i f i cados y 40 no cal i f i cados .

a ) ¿Cuántas unidades se producen cada día?

Respuesta :160 000 u

b) ¿En cuánto cambiará rea l y aproximadamente

e l nive l de producción d iar io s i se ad ic iona un

t rabajador ca l i f i cado a l a fuerza laboral

ac tua l? .

Respuesta : .

real = 16 400 u; aprox. = 16 000 u

c ) ¿En cuánto cambiará rea l y aproximadamen te

e l nive l de producción d iar io s i se ad ic iona un

t rabajador no cal i f icado a l a fuerza labora l

ac tua l?

Respuesta : .

real = 4000 u ; aprox. = 4000 u

d) ¿En cuánto cambiará rea l y aproximadamente

e l nive l diar io de producción s i se ad ic iona un

t rabajador ca l i f i cado y uno no ca l i f i cado a l a

fuerza laboral actual

Respuesta :

real = 20 810 u; aprox. = 20 000 u

2 ) En c ie r ta fábr ica l a producción es :

Q(K,L)=120K 2 / 3 L 1 / 3 u , donde K es l a invers ión

de capi ta l en unidades de $1000 y L es el t amaño

de la fuerza labora l medida en horas – t r abaj ador .

a ) Calcule la producción s i l a inversión de

capi tal es $125000 y e l t amaño de la fuerza

labora l es 1331 horas – t rabajador .

Respuesta:33000 u

b) ¿En cuánto cambiará la producción s i tan to e l

n ive l de invers ión de capi ta l como e l t amaño

de la fuerza labora l se reducen a la mi tad?

Respuesta :16500 u .


3 ) La ut i l idad d iar ia que un tendero obt iene por l a

venta de dos marcas de j ugo de naranj a es :

P(x ,y)= (x – 30) (70 – 5x + 4y) + (y – 40) (80 +

6x – 7y) cént imos , donde x es el precio por l a ta

de la pr imera marca e y es e l prec io por la ta de la

segunda . En la actua l idad la pr imera marca se

vende a 50 cént imos la unidad y la segunda a 52

cént imos la unidad . Determinar e l cambio

aproximado en la ut i l idad d iar ia s i e l t endero

aumenta en un cént imo por l a ta el prec io de la

segunda marca , pero no cambia e l precio de la

pr imera marca .

Respuesta :12 cént imos

4) En c ier ta fábr ica la producción di ar ia está dada

por : P(K, L) = 60 K 1 / 2 L 1 / 3 un idades , donde K

representa la inversión de capi ta l medida en mi les

de dólares y L e l tamaño de la fuerza labora l

medida en horas – hombre /d ía . Actualmente la

invers ión de capi t a l es de $900 000 y se emplea

1000 horas – hombre /día . Calcular l a var iac ión

aproximada de la producción cuando el capi ta l sea

de $905 000 y la mano de obra sea de 1 003 horas

– hombre /d ía .

Respuesta : . 68 u .

5 ) La función de producción de una empresa es

41

43

80),( KLKLP , en donde L y K representan el

número de unidades de mano de obra y capi tal

u t i l i zadas y P e l número de unidades elaboradas .

Cada unidad de mano de obra t i ene un cos to de

$60 y cada unidad de capi ta l $200, y se sabe que

la empresa t iene un presupuesto de $40 000

des t inados a fac tores de producción . Actua lmente

e l número de unidades de mano de obra u t i l i zada

es de 256, mient ras que de capi tal es de 81 . Se

p ide:

a ) El numero de unidades elaboradas

ac tua lmente .

b ) Cuánto de l presupuesto aun le queda?

c ) En cuanto debe var ia r ap roximadamente la

producción s i se emplea 257 unidades de mano

de obra .


d) En cuanto debe var ia r aproximadamente la

producción s i se emplea 82 unidades de

capi tal .

e ) En cuanto debe var ia r aproximadamente la

producción s i se emplea 86 unidades de capi tal

y 260 un idades de mano de obra .

f ) En cuanto debe var ia r aproximadamente e l

cos to total s i se emplea 86 unidades de capi ta l

y 260 unidades de mano de obra .

6 ) Una empresa est ima que e l número de unidades que

vende cada año es una función de los gas tos de

publ ic idad por radio y te levis ión . La función que

expresa es ta relac ión es :

Z(x, y) = 3000x + 6000 y –20x 2 – 10y 2 – 50xy,

donde Z es el número de unidades ven didas ; x es l a

cant idad dest inada a l a publ icidad en televis ión e y

indica la cant idad que se gasta en publ ic idad por

radio (x e y se expresan en mi les ) . En e l presente año

la f i rma es tá dest inando $60 000 a la publ icidad por

t e levis ión y $30 000 a la publ icidad por radio .

a ) ¿Cuáles se esperan que sean las ventas anuales?

Rpta . 189 000 u

b) Est ime e l e fecto en las ventas anuales , s i se

as ignan $2 000 más a l a publ icidad por

t e levis ión . Rpta . Disminuye . 1 800 u

c ) Est ime e l e fecto en las ventas anuales , s i se

as ignan $3 000 más a l a publ ic idad por radio .

Rpta . Aumenta . 7200 u

d) Si se as igna $63 000 a la publ icidad por

t e levis ión y $32 000 a la publ ic idad por radio .

¿Qué efecto sobre sus ventas t endr ía para e l

próximo año? .

7 ) En c ier ta fábr ica la producció n diar ia es:

31

21

60),( KLKLQ un idades , donde K representa

la inversión de capi ta l y L e l t amaño de la fuerza

labora l . Apl ique e l cá lculo para est imar la

var iación porcentual aproximada de la producción

d iar ia s i l a invers ión de capi tal se aumenta e n un

2% y la mano de obra en un 3%.


8) En c ier ta fabr ica la producción es tá dada por l a

función de Cobb-Douglas : 1),( KLAKLQ

donde A y son constantes posi t ivas con 0<<1 y

K representa la invers ión de capi ta l y L e l t amaño

de la fuerza laboral . Emplee e l cálculo para

es t imar e l porcentaje en el cua l cambiará la

producción s i tan to e l capi tal como la mano de

obra se incrementan en un 2%.

Respuesta : .2%

9) Calcule la var iac ión porcentual aproximada de l

volumen de un c i l indro , s i e l rad io aumenta en 1%

y la a l tura en un 2%. Volumen de l Ci l indro:

V = R2H (R: radio, H: a l tura)

10) Empleando “x” t rabaj adores cal i f icados e “y”

t rabajadores no ca l i f i cados , u n fabr icante puede

produci r : 32

31

60),( yxyxQ unidades por d ía . En la

ac tua l idad el fabr icante emplea 10 t rabajadores

ca l i f i cados y 40 t rabajadores no ca l i f icados y

p lanea contrata r un t rabaj ador cal i f i cado

adicional . Apl ique e l cálculo para es t imar e l

cor respondiente cambio que deber ía hacer e l

fabr icante en e l nive l de mano de obra no

ca l i f i cada para que la producción to ta l s iga s iendo

la misma.

Respuesta : Debe d isminui r aproximadamente en 2

t rabajadores no cal i f icados .


1.9 . REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES

Primer Caso:

Sea ),( YXfz donde )(txX , )(tyY , Entonces la derivada de

la función compuesta ))(),(( tytxfz se puede calcular: o bien

haciendo la sustitución, o bien, aplicando la siguiente fórmula:

dt

dY

y

z

dt

dX

x

z

dt

dz

Segundo Caso:

Si ),( YXfz , donde )(xyY , entonces la derivada total de z

respecto de x se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien,

aplicando la siguiente fórmula:

dx

dY

y

z

x

z

dx

dz

Tercer Caso:

Si ),( YXfz , donde ),( srxX , ),( sryY entonces las

derivadas parciales se pueden calcular mediante las siguientes fórmulas:

r

Y

y

z

r

X

x

z

dr

dz

s

Y

y

z

s

X

x

z

ds

dz

Der i vada de l a f unc ión

compues ta .


Ejercicios

1 ) Hal le: x

z

y

y

z

s i :

v3u2

ez ; u = 3x + 2y;

v=x 3 +y 3

Respuesta : :

x

z

=3

v3u2

e (2u+3x 2 )

y

z

=

v3u2

e (4u+9y 2 )

2) Hal le dx

dz , s i z = e x y , donde y = (x)

Respuesta : dx

dz= ye x y + xe x y I

3 ) Hal le: dt

dz s i : u = x 2 y + y 2 z + xz; x = 2 t 3 + t ;

2tey ; z = t + 2

Respuesta :

6t 2 (2xy+z)+2t2te (x 2 +2yz)+y 2 +x

4) Hal le: dz

dt, s i : z = (x – y 2 ) 3 ; x = t 2 ; y = 2 t

5) Hal le u

z

y

v

z

; S i z= f(x ,y) donde x = uv ; y = u/v

Respuesta :

u

z

= f x v+ f y (1 /v)

v

z

= f x u – f y u /v 2


6) Hal le: dt

dz, s i :

yx

yxz

; x = t 3 + 1 ; y = 1 – t 3

Respuesta :

)()(

62

2

xyyx

t

7 ) Hal le: x

z

y

y

z

s i : z = f (u, v) ; u = x 2 + y 2 ; v = e x y

8 ) Hal le dx

dz y

y

z

s i z = x y , donde y = (x)

Respuesta :

dx

dz = x y ( I lnx + y/x) ;

y

z

= x y lnx


1.10 . APLICACIONES REGLA DE LA CADENA PARA

FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

1 ) Una fer re te r ía vende dos marcas de p intura lá tex . Las

c i f ras de ventas indican que s i la pr imera marca se

vende a “x” dólares por ga lón y la segunda a “ y”

dólares por ga lón , la demanda de la pr imera marca

será: yxyxQ 2010200),( 2 ga lones por mes . Se

ca lcula que dent ro de “ t” meses e l prec io de la pr imera

marca será tx 02,05 dó lares por ga lón y e l

precio de la segunda marca será ty 4,06

dó lares por ga lón . ¿A qué razón cambiará la demanda

de la pr imera marca de p in tura con respecto al t i empo

dentro de 9 meses?

Rpta . Dentro de 9 meses la demanda d i sminui rá a

razón de 0 ,74 ga lones/mes .

2 ) Un dis t r ibuidor de bic icletas ha descubier to que s i l as

bicic le tas de 10 ve loc idades se venden a “ x” dó lares

cada una y e l precio de la gasol ina es “ y” centavos por

galón , cada mes de venderán aproximadamente :

23

)51,0(424200),( ytyxf b ic ic le tas . Se est ima

que dentro de t meses las bic ic le tas se venderán a

tx 5129 dó lares cada una y e l precio de la

gasol ina será ty 31080 centavos por ga lón .

¿A qué razón cambiará aproximadamente la demanda

mensual de bicic le tas con respec to a l t iempo dent ro de

3 meses?

Respuesta : Se incrementará a razón de 7 por mes .

3 ) Un dis t r ibuidor de p inturas vende dos marcas de

p in tura . Se sabe que s i l a pr imera marca se vende a x 1

($ / ga lón) y la segunda a x 2 ($/ ga lón) l a demanda de

la pr imera marca será: 21211 2010200),( xxxxq

ga lones por mes y la demanda de la segunda marca

será: 21212 105100),( xxxxq ga lones por mes .

a ) Determina e l ingreso total mensual de l

d i s t r ibuidor debido a l a venta de las dos p in turas

como una función de los precios x 1 y x 2 .


b) ¿Cuál será la var iación real de l ingreso cuando e l

precio de la pr imera p in tura pase de 5 a 5.20 ($ /

ga lón) y e l de la segunda de 6 a 5 ,80 ($/ ga lón)?

c ) ¿Cuál será la var iación aproximada con los da tos

expuestos en (b)?

1.11 . DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍC ITAS

La der ivada de la función impl íci ta )(xyy def inida

mediante la ecuac ión 0),( yxF puede calcularse : o

b ien despejando la y , o b ien , mediante la s iguiente

fórmula :y

x

F

Fy ' , donde 0yF

Las der ivadas de orden super ior de una función impl íc i ta

se pueden calcular mediante la der ivación sucesiva de la

fórmula anter ior , cons iderando y como función de x .

Las der ivadas parc iales de una función impl íc i ta de dos

var iables ),( yxfz def in ida mediante la ecuac ión

0),,( zyxF puede ca lcularse mediante las fórmulas:

; , s i empre que

Dada la ecuación 0),( yxF S i e l punto ),( oo yx cumple

la ecuación 0),( oo yxF , l a función F t iene der ivadas

parciales cont inuas en un entorno de ),( oo yx y

0),( ooy yxF entonces la ecuación 0),( yxF define una

función explícita )(xyy en un entorno de ox con )( oo xyy

Dada la ecuación 0),,( zyxF S i e l punto ),,( ooo zyx

cumple la ecuac ión 0),,( ooo zyxF , l a función F t iene

D e r i v a d a d e

f u n c i o n e s

i m p l í c i t a s


der ivadas parciales cont inuas en un entorno de

),,( ooo zyx y 0),,( oooz zyxF en tonces la ecuación

0),,( zyxF def ine una función expl íci ta ),( yxfz en

un entorno de dicho punto .

Ejercicios

Asumiendo que z es la var iable dependiente , de las

ecuaciones s iguientes . Calcule: x

z

;

y

z

1 ) 3x 3 + 5y 2 + 4xz – 2xy + 20 = 0

2) 2x 2 – 3y 3 + 5yz – 3x 2 y = 80

3) x 3 y + xz 2 + y 2 z – z 3 = 8

4) x 2 y 2 + x 2 z 3 + yz 2 + x 2 + y = 0

5) x 3 + 2y 3 + z 3 – 3xyz – 2y + 3 = 0

6) 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x


1.12 . DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Se l l aman der ivadas parciales de segundo orden de la

función z f(x,y) a l as der ivadas parc ia les de las

der ivadas parcia les de pr imer orden.

Se usan las s iguientes notac iones:

;

;

(Se empieza der ivando por l a var iable que está más

cerca de la función)

Si l as der ivadas parc iales son cont inuas , en tonces las

der ivadas cruzadas son iguales .

Igua l se def inen las der ivadas parc iales de te rcer orden y

de órdenes super iores .

S i l as der ivadas parc iales son cont inuas entonces no

dependen de l orden en que se real icen , s ino de l número

de veces que se der ive respec to de cada una de las

var iables (aunque e l resul tado f inal sea igua l , e l cálculo

puede resul ta r más compl icado en un or den que en o tro) .

D e r i v a d a s

p a r c i a l e s d e

s e g u n d o o r d e n

N o t a s

i m p o r t a n t e s


Se l l ama d i ferenc ia l de segundo orden de una función a

l a di ferenc ial de su dife rencia l total :

Análogamente se def ine la d ife rencial de tercer orden .

Se s iguen unas reglas parec idas a l as potenc ias:

Ejercicios

1 ) Si z= c2

2

2

2

b

y

a

x . Hal le

yx

z

y

z

x

z

2

2

2

2

2

; ;

2 ) Si z=22 yxy . Hal le

yx

z ;

y

z ;

x

z 2

2

2

2

2

3 ) Si : z = ln(x 2 + y) . Hal lar : yx

z

y

z

x

z

2

2

2

2

2

; ;

Respuesta :

2

2

x

z

=

22

2

)(

)(2

yx

xy

;

D i f e r e n c i a l e s d e

ó r d e n e s

s u p e r i o r e s


2

2

y

z

=

22 yx

1

)( ;

yx

z

2

= 22 )(

2

yx

x

1.13 . VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN:

MÁXIMOS Y MÍNIMOS, EL HESSIANO

Definición.

Una función ),( yxfz t i ene un máximo (mínimo) en un

punto ),( oo yxP s i e l va lor de la función en este punto es

mayor (menor) que su va lor en cualquier o tro punto

X(x,y) de algún entorno de P .

Condiciones necesar ias de ext remo. Si una función

d i ferenc iable ),( yxfz a lcanza un extremo en el punto

),( oo yxP en tonces sus der ivadas parc ia les de pr imer

orden en es te punto son iguales a cero, o sea :

;

Los puntos en los que las der ivadas parc ia les son iguales

a cero se l l aman puntos c r í t i cos o estacionar ios . No todo

punto cr í t i co es un punto ext remo.


Condic iones Suf icientes Para La Exis tencia De

Extremos .

Primer caso:

Para dos var iables . Sea ),( oo yxP un punto cr í t ico de una

función ),( yxfz con las der ivadas parciales de

segundo orden cont inuas en P , y sea ),( oo yxH e l

de terminante de su mat r iz Hessiana , en tonces :

)y,x(H oo )y,x(f ooxx Conclusiones

Positivo Positivo Mínimo

Positivo Negativo Máximo

Negativo ? Punto silla

Cero ? Duda

Es dec ir , s i e l hess iano es pos i t ivo hay ex t remo (e l t ipo

nos lo da ),( ooxx yxf

, s i es negat iva máximo y s i es

pos i t iva mínimo) . S i e l hessiano es negat ivo no hay

ext remo. Y s i e l hess iano es cero hay duda (que habrá

que resolver por o tro método)

Condiciones para la

existencia de

extremos locales.


Segundo caso: Para t res o más var iables . Calculamos los

s iguientes de terminantes: xxfH 1

yyyx

xyxx

ff

ffH 2

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

H3

Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la

función tiene un mínimo en ),( oo yxP

Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor

negativo 0),( ooxx yxf ), entonces la función tiene un máximo en

),( oo yxP En cualquier otro caso hay duda.

M ínimo

re lat ivo

Superf ic ie

),( yxfz

Máx imo

re la t ivo


Ejercicios

Determinar los va lores ext remos de las s iguientes

funciones , s i exi s ten . Compruebe sus resul tados .

1 ) f (x , y) = x 2 + y 2 –2x +4y +7

Respuesta :

Tiene mínimo en (1, -2)

2 ) f (x ,y) = 2x 2 – 3y 2 + 4x + 12y

Respuesta :

No t i ene ext remos re la t ivos .

3) F(x,y) = 2xy – x 2 – 3y 2 –x – 3y

Respuesta :

Máximo loca l en ( -3 /2 , -1)

4) f (x , y) = x 3 + y 3 + 9x 2 –3y 2 + 15x – 9y

Respuesta:

( -1 , -1) es un punto s i l l a ,

( -1 , 3) es un mínimo re la t ivo

( -5 , -1) es un máximo re la t ivo

( -5 , 3) es un punto s i l l a .

5 ) f (x , y) = 18x 2 – 32 y 2 –36x –128y –110

6) f (x , y) = (x – 1) 2 + 2y2

Respuesta :

f (1 , 0) = 0 es mínimo

7) f (x , y) = x 2 y 2 – 5x 2 – 8xy – 5 y 2

Respuesta :

f (0 , 0) = 0 es un máximo re la t ivo;

(3 ,3) , ( -3 ,3) , (1 , -1 ) y ( -1 ,1) determinan puntos

s i l l as .

8 ) f (x , y) = x 4 + y 4 – 2x 2 + 4xy – 2y2


Respuesta :

El mínimo de la función es –8.

9) f (x , y) = x 2 + xy + y 2 – 2x – y

Respuesta :

f (1 , 0) = -1 es mínimo

10) f (x ,y,z) = x– 4xy – y 2 + 5z 2 –2yz

11) f (x ,y,z) = 10x 2 + 15y 2 +5z 2 –60x +90y –40z +15000


1.14 . APLICACIONES DE VALORES EXTREMOS RELATIVOS

DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

1) Una t ienda de comest ib les vende dos marcas de jugo

de naranja: una marca loca l que obt iene a un costo de

30 centavos por l a ta y una marca nacional que

obt iene a un cos to de 40 centavos por l a ta . El t endero

ca lcula que s i l a marca loca l se vende a x centavos

por la ta y la marca nac ional a y centavos por la ta , se

venderán cada día aproximadamente yx 4570 l a tas

de la marca loca l y yx 7690 l a tas de la marca

nac ional .

a ) ¿Qué prec io deber ía f i j ar e l tendero a cada marca

para maximizar l as u t i l idades obtenidas de la

venta del j ugo?

b) ¿Cuál es l a ut i l idad máxima?. Comprobar e l

resul tado.

2 ) Un a lmacén de camise tas vende dos marcas

compet idoras , A y B. El propie ta r io de l a lmacén

puede obtener ambos t ipos a un costo de $2 por cada

camise ta y calcula que s i l a marca A se vende a x

dó lares cada una y la marca B se vende a y dó lares

cada una , los consumidores comprarán

aproximadamente yx 405040 camise tas de A y

yx 706020 camise tas de B cada d ía . ¿Qué prec io

deber ía f i j ar e l propieta r io a las camise tas para

generar l a mayor u t i l idad pos ible y cuá l es ésta?.

Compruebe .

Respuesta : .

x =2 ,7 e y = 2 ,5

3) Un fabr icante p lanea vender un nuevo producto al

precio de $150 por unidad y est ima que s i se gas tan x

mi les de dólares en desarrol lo e y mi les de dólares en

promoción, los consumidores comprarán

aproximadamente 4

160

2

320

x

x

y

y un idades del producto .

S i los cos tos de fabr icac ión de este producto son $50

por unidad , ¿cuánto deber ía gasta r e l fabr icante en

desar rol lo y cuánto en promoción para generar l a

mayor u t i l idad pos ible en la venta de es te producto?


Nota : U= I – C – Cant idad total gas tada en desarrol lo

y promoción.

Respuesta

x=4 e y=6

4) Un fabr icante con derechos exc lus ivos sobre una

nueva maquinar ia indus tr ia l planea vender una

cant idad l imi tada de és ta y ca lcula que s i se

suminis t ran “x” máquinas al mercado nac ional e y a l

mercado extranjero , l as máquinas se venderán a

6150

x mi les de dólares cada una en e l mercado

nac ional y a 10

100y

mi les de dólares cada una en e l

ex t ranjero. El cos to de fabr icac ión de una máquina es

60 , (en mi les de dólares ) .

a ) ¿Cuántas máquinas deber ía suminis t ra r e l

fabr icante a l mercado nac ional para generar la

mayor u t i l idad pos ible en este mercado?

Respuesta : x=270

b) ¿Cuántas máquinas deber ía suminis t ra r e l

fabr icante al mercado ext ranj ero para generar la

mayor u t i l idad pos ible en este mercado?

Respuesta : .

y = 200

c ) ¿Cuántas máquinas deber ía suminis t ra r e l

fabr icante a cada mercado para generar la mayor

u t i l idad to ta l pos ible?

Respuesta :

x= 270 e y = 200

5) Una lecher ía produce leche entera y leche

descremada en cant idades x e y ga lones

respec t ivamente . Suponga que e l p rec io de l a

l eche entera es xxp 520)( y e l de la l eche

descremada es yyq 24)( .

Suponga que 42),( xyyxC es l a función de costos

conjuntos de los productos. ¿Cuáles deber ían ser x e

y para maximizar l as u t i l idades?


1.15 . OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIÓN: EL HESSIANO

ORLADO

Supongamos una superficie, definida por la función ),( yxfz , y

sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación

0),( yxg . Se trata de encontrar los máximos y mínimos de esta

curva espacial.

Se trata de hacer máxima o mínima una función) sujeta a una

restricción 0),( yxg .

Teóricamente el problema se puede resolver despejando y en la

ecuación 0),( yxg : )(xhy y sustituyendo en

)())(,(),( xkxhxfyxf , con lo cual el problema se reduce a

calcular un máximo o un mínimo de una sola variable.

El problema se presenta cuando no es práctico o no es posible despejar

una de las variables en la ecuación 0),( yxg .

Los extremos de la función ),( yxf condicionados por la restricción

0),( yxg , se producen en los puntos críticos de la función de

Lagrange:

),(),(),,( yxgyxfyxL

Condic iones necesarias de extremo con restricciones

Las condiciones necesarias del extremo de una función de Lagrange

vienen dadas por el sistema de ecuaciones.

P l a n t e a m i e n t o

g e o m é t r i c o .

P l a n t e a m i e n t o

a n a l í t i c o .

R e d u c c i ó n a

u n a v a r i a b l e

M é t o d o d e l o s

m u l t i p l i c a d o r e s

d e L a g r a n g e .

C o n d i c i o n e s

n e c e s a r i a s d e

e x t r e m o


Para resolver el sistema, eliminamos de las dos primeras ecuaciones

y el resultado lo sustituimos en la tercera (procurando no perder

soluciones con las simplificaciones).

I) Caso de dos variables. Sea )y,x(P oo un punto crítico de la

función de Lagrange ),y,x(L , obtenido para un valor concreto

o . Formamos la función de Lagrange para ese o

Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos:

Método de la diferencial segunda:

El problema de la existencia y el carácter del extremo condicional se

resuelve averiguando el signo de la segunda diferencial de la función de

Lagrange (particularizada para o )

a condición de que: 0 dygdxg yx

Si 02 Ld la función tiene un mínimo condicionado, y si

02 Ld la función tiene un máximo condicionado.

Método del Hessiano:

C o n d i c i o n e s

p a r a l a

e x i s t e n c i a d e

e x t r e m o s .


Hallamos el hessiano de la función de Lagrange

),(),(),,( yxgyxfyxL oo en el punto crítico correspondiente,

y sólo podemos concluir en el caso de que sea positivo.

0),(),(

),(),(),(

ooyyooyx

ooxyooxx

ooyxLyxL

yxLyxLyxH

máximoesL

mínimoesL

xx

xx

0

0

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da

),( ooxx yxf , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). En los

demás casos hay duda (que habrá que resolver por otro método)

Máximo sin restricción

Máximo con restricción

Curva de restricción


II) Caso de tres o más variables (caso general).

Calculamos los siguientes determinantes (con las derivadas

evaluadas en ),( oo yxP ):

yyyxy

xyxxx

yx

LLg

LLg

gg

H

0

3

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

zyx

LLLg

LLLg

LLLg

ggg

H

0

4

Si todos los determinantes tienen signo negativo, entonces la

función tiene un mínimo condicionado en ),( oo yxP

Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un

valor positivo ), entonces la función tiene un máximo

condicionado en ),( oo yxP

Si todos los 0kH pero no se cumplen ninguna de las dos

condiciones anteriores, entonces la función no posee extremo

condicionado en ),( oo yxP

Si algún 0kH hay duda.

Los extremos de la función ),,( zyxf , sujeta por la restricción

0),,( zyxg , pueden reducirse a un extremo de dos variables en

aquellos casos en que sea posible despejar una de las variables de la

ecuación 0),,( zyxg .

R e d u c c i ó n a d o s

v a r i a b l e s


Extremos condicionados con varias ligaduras: Los extremos de la

función ),,( zyxf , condicionados por las restricciones 0),,( zyxg

y 0),,( zyxh , se producen en los puntos críticos de la función de

Lagrange:

),,(),,(),,(),,( zyxhzyxgzyxfzyxL

Ejercicios

Halle los valores extremos de las siguientes funciones:

1 ) z = xy, s i x + y = 1

Respuesta

f (½ , ½) = ¼ es el va lor máximo.

2) z=xy , s i x 2 + y 2 = 8

Respuesta

El va lor máximo igual a 4 se obt iene de los puntos

(2 ,2) y ( -2 , -2) . El va lor mínimo igual a –4 se

obt iene en los puntos (2 , -2) y ( -2 , 2)

3 ) z = 6 – 4x – 3y, s i x 2 + y 2 = 1

4) z = x 2 + y 2 , s i 132

yx

5 ) z = 20x 3 / 2 y, s i : x + y = 60

6) f (x , y , z) = x 2 + y 2 + z 2 , s i x – y + 2 z = 6

7) f (x , y , z) = x 2 +xy + 2y 2 + z 2 , s i x – 3y – 4z = 16 .

C u a n d o e x i s t e n

v a r i a s

r e s t r i c c i o n e s


1.16 . APLICACIONES DE OPTIMIZACIÓN CON

RESTRICCIÓN

1) Sea f (x , y) = yx ln3

2ln

3

1 suj e to a l a res t r icc ión:

x + y = k.

a ) Encontrar e l máximo re la t ivo de la función f s i

k=6.

b ) Determinar e l cambio en e l máximo re la t ivo de f

s i k = 7 .

c ) Determinar el cambio en e l máximo re la t ivo de f ,

s i k se incrementa 2% con respec to a l a pregunta

a ) .

2 ) Un consumidor t i ene la s iguiente función u t i l idad:

22),( xyxyyxU donde x e y son e l número de

unidades de dos b ienes que demanda , s iendo los prec io

Px = $4 y Py = $6 . ¿Cuáles deben ser los nive les

ópt imos de x e y s i se desea minimizar e l gas to tota l

en la compra de los b ienes , sabiendo que se desea

a lcanzar un nive l de u t i l idad de $150?

3) Si se gastan x mi les de dólares en mano de obra e y

mi les de dólares en equipo , l a producción de c ie r ta

fábr ica será 32

31

60),( yxyxQ un id . Si hay

d i sponibles $120 000.

a ) ¿Cómo debe di s t r ibuir se e l d inero , en tre mano de

obra y equipo , para generar l a mayor producción

pos ible?

b ) ¿Encuent re e l cambio en la producción máxima de

la fábr ica de l problema, s i e l d inero di sponible

para mano de obra y equipo se incrementa en $1

000?

4) Un fabr icante planea vender un nuevo producto al

precio de $350 por unidad y es t ima que s i se gas ta x

mi les de dólares en desarrol lo e y mi les de dólares en

promoción, los consumidores compraran

aproximadamente 5

100

2

250

x

x

y

y un idades de l producto .


Si los costos de fabr icac ión de este producto son $150

por unidad .

a ) ¿Cuánto deber ía gas ta r e l fabr icante en desarro l lo

y cuanto en promoción para generar l a mayor

u t i l idad pos ible , s i dispone de fond os i l imi tados?

b) Suponga que e l fabr icante t iene so lo $11 000 para

gas tar en e l desarro l lo y la promoción del nuevo

producto , ¿cómo deberá d is t r ibuir se es te d inero

para generar l a mayor u t i l idad pos ible?

c ) Suponga que e l fabr icante del problema dec ide

gas tar $12000 en lugar de $11000, en e l

desar rol lo y la promoción de l nuevo producto.

Emplee e l mul t ipl icador de Lagrange para

es t imar de que manera afectará es te cambio la

máxima u t i l idad posib le .

5 ) Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus

p lantas . El costo de produci r q 1 un idades en su pr imera

p lanta y q 2 un idades en la segunda planta es tá dado por

l a función cos to total : C(q 1 , q 2 ) = q 12 + 2q 2

2 +

5q 1 q 2 + 700. S i l a empresa t i ene un pedido de 800

unidades; ¿cuántas unidades debe produci r en cada

p lanta para minimizar e l cos to total?

6) La función de producción de una empresa es :

41

43

80),( KLKLP , en donde L y K r epresentan el

número de unidades de mano de obra y capi ta l

u t i l i zadas y P e l número de unidades elaboradas . Cada

unidad de mano de obr a t i ene un costo de $60 y cada

unidad de capi tal $200, y se sabe que la empresa t iene

un presupues to de $40 000 dest inados a fac tores de

producción . Determine los va lores de L y K que se

deben emplear para maximizar l a producción .

7 ) Dada la función de ut i l i dad )1)(2(),( yxyxU donde

“x” e “y“ es el numero de unidades de dos bienes ,

s iendo P x=4 e l precio de l b ien “ x” y t ambién P y = 6 e l

precio de l b ien “ y“ , además se sabe que e l ingreso I

se gas ta to ta lmente en la compra de los dos bienes ,

s iendo I = 130 , se pide:

a ) Escrib ir l a función Lagrange para maximizar l a

Ut i l idad .

b) Hal lar los nive les ópt imos de compras de “ x “ e “

y “ que maximizan la Ut i l idad .


c) ¿Se sa t is face la condición de segundo orden para

máximo?

8 ) Con la información de l problema anter ior : Cuales

deben ser los n ive les ópt imos de “ x “ e “ y “ s i se

desea minimizar e l gas to to ta l en la compra de los dos

b ienes , sabiendo que se desea a lcanza r un n ive l de

u t i l idad de 216.


II . INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRALES ITERADAS:

Evaluar :

2

1

x

1

22 dxdy)yyx3(

x02

1x3

2

xx3dx

2

y

y

x3 2

2

1

2x

1

2

1

22

= 6

19x

2

1x

2

3x

6

7dx

2

1x3x

2

7 2

1

2

1

232

La in tegra l del e jemplo resuel to es una in tegra l i t erada .

Los corchetes usados en el e jemplo normalmente no se

escr iben las in tegrales i te radas se escr iben normalmente :

d

c

)y(h

)y(h

b

a

)x(g

)x(g

2

1

2

1

dydx)y,x(fydxdy)y,x(f

EJERCICIOS:

1. 2

0

1

0dxdy)yx(

2 .

2

2

221

1dxdy)yx(

3 . xsen

00dxdy)xcos1(

4 .

x

1

x4

1dxdyye2

y

x

y = x

1 2

1

R : 1 x 2 1 y x


5. dxdyx1x

0

21

0

6 . dxdyx642x

0

34

4

7 . dydx)1y2x(4

0

222

1

8 . dydx)y2x210(y2

y

222

0

9 . dydx)yx(2y1

0

1

0

10 . dydxy32

2

yy2

y6y3

2

0

11 . dydxy4

22y4

0 2

2

0

12 . cos2

0

2/

0ddrr

13 .

ddrrsen

0

2/

0

14 .

ddrsenr3 2cos

0

4/

0

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

1. Si R es tá def inida por a x b y g 1 (x) y g 2 (x) ,

donde g 1 y g 2 son cont inuas en [ a , b ] , R es tá dada por:

b

a

g

g

)x(2

)x(1

dxdyA

2 . Si R es tá def inida por c y d y h 1 (y) x h 2 (y) ,

donde h 1 y h 2 son cont inuas en [ c , d ] , en tonces el área de

R es tá dada por:


d

c

h

h

)y(2

)y(1

dydxA

La región es tá l imi tada o acotada por : a x b y

g 1 (x) y g 2 (x)

Región ver t ica lmente s imple .

La región está l imi tada o acotada por: c y d y h 1 (y) x

h 2 (y)

Región horizontalmente s imple .


EJERCICIOS:

Ut i l i zar una integral i terada para hal lar e l área de la

región plana:

1.

2.

3.

En los s iguientes ejerc ic ios hal lar el área de la región

l imitada por las ecuaciones:

4 . 0y,0x,2yx

5. 2x – 3y = 0 , x + y = 5, y = 0


6. 1b

y

a

x2

2

2

2

7. y = x , y = 2x , x = 2

En los s iguientes e jerc ic ios dibujar la región R de

integración y cambiar e l orden de integración.

8. y

dydxyxf0

4

0),(

9.

24

0

2

2),(

x

dxdyyxf

10. y

dydxyxfln

0

10

1),(

11. 11

1 2),(

xdxdyyxf

Evaluar l as s iguientes in tegra les :

12. dxdyyxx 2

32

01

13. dxdyex

y

22

0

2

14. dydxxseny1

21

0


INTEGRALES DOBLES Y VOLUMEN DE UNA REGIÓN

SÓLIDA

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE

Si f es tá de def in ida en una región cer rada y acotada R de l

p lano xy, en tonces la in tegra l doble de f sobre R es tá dada

por

R

n

1i

iii0

A)y,x(flímdA)y,x(f

s i empre que e l l ími te ex is ta . Si exi s te e l l ími te , en tonces f

es integrable sobre R.

VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA

Si f es integrable sobre una región p lana R y f (x , y) 0

para todo (x , y) en R. en tonces el volumen de la región

só l ida que se encuent ra sobre R y bajo la gráf ica de f se

def ine como

R

dA)y,x(fV

TEOREMA 1 : Propiedades de las integrales dobles

Sean f y g cont inuas en una región cerrada y acotada R del

p lano, y sea c una cons tante .

1 . RR

dA)y,x(fcdA)y,x(cf

2 . RRR

dA)y,x(gdA)y,x(fdA)y,x(g)y,x(f


3. R

0)y,x(fsi,0dA)y,x(f

4 . )y,x(g)y,x(fsi,dA)y,x(gdA)y,x(fRR

5 . 21 RRR

dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f , donde R

es la unión de dos subregiones R 1 y R 2 que no se

sobreponen.

Dos regiones no se sobreponen s i su inte rsección es un

conjunto de área 0 . En es ta f igura , e l área de l segmento de

la recta común a R 1 y R 2 es 0 .

TEOREMA 2 : Teorema de Fubini

Sea f cont inúa en una región p lana R.

1 . Si R está def in ida por a x b y g 1 (x) y g 2 (x) ,

donde g 1 y g 2 son cont inuas en [ a , b ] , entonces .

b

a

g

gR

)x(2

)x(1

dxdy)y,x(fdA)y,x(f


2. Si R está def in ida por c y d y h 1 (y) x h 2 (y) ,

donde h 1 y h 2 son cont ínuas en [ c , d ] , entonces .

d

c

h

hR

)x(2

)x(1

dydx)y,x(fdA)y,x(f

Hal lar e l volumen de la región sól ida R acotada por l a

superf ic ie .

2xe)y,x(f Superf icie .

y los p lanos z = 0 , y = 0 , y = x y x = 1 .

Solución : La base de R en e l p lano xy está acotada por l as

rectas y = 0 , x = 1 y y = x . Los dos pos ib l es órdenes de

in tegrac ión .


dxyedxdyex

0

1

0

x1

0

x

0

x 22

1

0

x dxxe2

1

0

x2

e2

1

1

e

1

2

1

e2

1e

0 .316.

EJERCICIOS

Evaluar l a in tegral en la región R.

1. RAdxy

R: rec tángulo con vér t ices (0 ,0) , (0 ,5) , (3 ,5) , (3 ,0)

2. RAdsenyxsen

R: rectángulo con vér t ices ( - ,0 ) , ( ,0 ) , ( , /2) , ( -

, /2)

3. R

y dAxe

R: t r i ángulo acotado por y=4 – x , y=0, x=0

4. RdAxlny2

R : región acotada por y = 4 – x 2 , y = 4 – x


5. RdAx

R : e l sector c i rcular en e l pr imer cuadrante acotado por

y = 0y,0y4x3,x25 2

Uti l izar una integral doble para hal lar e l volumen del

só l ido .

6 .

7.

8.


9.

10.


INTEGRALES TRIPLES

Si f es cont inua sobre una región sól ida acotada Q,

en tonces la in tegra l t r ip le de f sobre Q se def ine como:

Q

dV)z,y,x(f

n

1i

iiii0

V)z,y,x(flím

s i empre que e l l ími te ex is ta . El volumen de la región

só l ida Q es tá dado por .

Volumen de Q = Q

dV

Algunas de las propiedades de las in tegra les dobles

expuestas en el teorema, pueden replantearse en términos

de integrales t r ip les .

1. QQ

dV)z,y,x(fcdV)z,y,x(cf

2. QQQ

dV)z,y,x(gdV)z,y,x(fdV)z,y,x(g)z,y,x(f

3.

21 QQQ

dV)z,y,x(fdV)z,y,x(fdV)z,y,x(f

TEOREMA Nº 1 : Evaluación medi ante integrales

i t eradas .

Sea f cont inua en una región só l ida def inida por Q.

)y,x(gz)y,x(g,)x(hy)x(h,bxa 2121

donde h 1 , h 2 y g 2 son funciones cont inuas . Entonces ,

b

a

)y,x(h

)y,x(g

)y,x(g

)y,x(gQ

2

1

2

1

.dxdydz)z,y,x(fdV)z,y,x(f

Ej emplos : Evaluar una integra l i t e rada t r iple .

Evaluar l a in tegral i t erada t r iple .

2

0

x

0

yx

0

x .dxdydz)z2y(e


Solución: Para la pr imera in tegración , se mant ienen x y y

cons tantes y se in tegra con respecto a z .

dxdy)zyz(edxdydz)z2y(eyx

0

2

0

x

0

2xx

0

2

0

yx

0

x

Para la segunda integrac ión , mantener x constante y se

in tegra con respecto a y.

dx3

y2

2

xy3yxedxdy)y2xy3x(e

x

0

2

0

x

0

2

0

322x22x

Por ú l t imo, se in tegra con respec to a x .

2

0

2

0

23xx3 6x6x3x(e6

19dxex

6

19

=

1

3

e19

2

= 65 .797

EJERCICIOS:

Evaluar l a in tegral i t erada .

1. 1

0

2

0

3

0dzdydx)zyx(

2.

1

1

2221

1

1

1dzdydxzyx

3. xy

0

x

0

1

0dxdydzx

4. 22 x9y

0

3/y

0

9

0dydxdzz

5.

x

0

x1

0

4

1dzdxdyze2

2

Dar una integral triple para el volumen del sól ido .


6. El só l ido en el pr imer oc tante acotado por los planos

coordenados y e l plano z = 4 – x – y

7. El sól ido acotado por z = 9 – x 2 , z = 0 , x = 0 y y = 2x

8. El sól ido acotado por e l parabolo ide z = 9 – x 2 – y 2 y e l

p lano z=0.

Ut i l i zar una integral triple para hal lar e l volumen del

só l ido mostrado.

9 .

10.


11.

12.


I II ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

Introducción.

Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan

habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del

movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación

diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los

sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la

difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

Def inic ión.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o

diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de

una variable, entonces se dice que es ordinaria.

Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este

capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de

ecuaciones diferenciales ordinarias.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales:

Las ecuaciones diferenciales (ED) se pueden clasificar según las siguientes

características:

A) Según el tipo

B) Según el orden

C) Según el grado

D) Según su linealidad

A) Según el tipo

Una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella

que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones

de una sola variable independiente).


Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o

varias funciones de dos o más variables independientes).

B) Según el orden

El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta

derivada presente en ella

Ejemplos:

1) 3

3

dx

yd - 5x

2

2

dx

yd + 6

dx

dy - 7 y = 0 Orden: 3

2) 5

5

dt

id +10

4

4

dt

id + 3t

2

3

dt

id - 5t2

2

2

dt

id + 6

dt

di - 7i = 0 Orden: 5

3) 6 dt

dv - 7v = 15t2 + 3t + 10 Orden: 1

C) Según el grado

Lo da el exponente de la máxima derivada contenida en una ED.

Ejemplos:

1) 3

3

dx

yd - 5x

2

2

dx

yd + 6

dx

dy - 7 y = 0 ED de grado: 1

2) 6 5

5

dt

vd - 7v = 15t2 + 3t + 10 ED de grado: 5


3) 10x2 y’’- 5y’- 7y = 9x ED de grado: 1

D) Según su linealidad.

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la siguiente forma:

Con las siguientes características:

La variable dependiente y todas sus derivadas tienen como exponente la

unidad.

Los coeficientes o son constantes o solo dependen de x

Si no cumple con estas características se dice que la ED es No Lineal

Ejemplos:


Solución de una EDO.

Solución de una ED: una función f(x), definida en algún

intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho

intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad.

Ejemplo:

Indicar s i la ecuación

Es so lución de la s iguiente ecuación diferencia l:

Solución


Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser

explícitas o implícitas. Una ED tiene, generalmente, un número

infinito de soluciones o más bien una familia n-paramétrica de

soluciones. El número de parámetros n, depende del orden de

la ED. Cuando se dan valores específicos a los parámetros

arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numéricos a los

parámetros, se obtiene una solución particular de la ED.

Ejemplo:

Resolver


Problemas propuestos

1. Determinar el orden de las s iguientes

ecuaciones diferencia les:

1. ed y

dx

xdy

dxx

x2

2 sen

2 . - d y

dx

d y

dx

y

3

3

42

2

5

0

3 . - x y dx x dy3 2

0

4 . - x y x y3 3

0,,

5 . - d y

dx

dy

dx

dy

dxy

2

2

2

0

6 . - x y y y,, ,

3 40

7 . - y y x,

cos

8 . - d y

dx

dy

dx

3

3

651

2 . Verif icar s i las funciones dadas son

so luciones de las ED indicadas:

1. - yx

xxy y x

sen; cos

,

2 . - y cee

y y ex

xx 2

32;

,


3. - y e e dt ce y y ex t

xx x x

. ;

,2

0

2

4 . - y xt

tdt xy y x x

x

.sen

; sen,

0

5 . - y x cy y x y 1 02 2

;,

3. Hallar la ED conociendo la so lución general

dada:

1. - y c x c c 1 2 3sen

2 . - y cx bx d 2ln

3 . - y c e c ex x 12

23

4 . - y Ae CBx

Ecuaciones Diferencia les de variables separables .

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

y’ = F(x, y)

se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y)

en la forma:

F(x, y) = f(x) · g(y)

Ejemplo:

Resolver la s iguiente ecuación dif erencia l


Solución

Problemas Propuestos

Resolver l as ED en var iables separables:

01 . - e ydx dyx 0

02 . - cos ydx x dy 1 02

03 . - y x dy xdx2 21 arcsen

04 . - e ydx e ydyx xtg sen 1 0

2

05 . - xdy ydx xy xdx cos 0


06. - y e dx ye e dyx x y2

0 ln

07 . - dy

dxy x 2

0sen

08 . - xy y y, 3

09 . - xy x dx x y x y dy 2 2 2 21 0

10 . - y y xe

y xy22

0, ln

11 . - 1 2 1 2 12 2

y dx y y x dy

12 . - ex

y

dx

dy

y x3 2

20

III : ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Exis ten a lgunas ecuac iones d ife renciales que a l

hacer un cambio de var iable adecuado se reducen

a ecuaciones en var iables separables , como e l caso

anter ior .

Antes de es tudiar las ecuaciones di ferenc ia les

homogéneas es necesar io def in ir lo que es una

función homogénea .

Sea la función Z = ƒ(x , y) , se d ice que es

homogénea de grado "n" s i se ver i f ica que:

f ( tx, ty)= t ⁿ f ( x , y)

s iendo "n" un número rea l . En muchos casos se

puede ident i f icar el grado de homogeneidad de la

función , ana l izando el grado de cada té rmino:

D e f i n i c i ó n d e

f u n c i ó n

h o m o g é n e a


Ejemplo:

Ver if icar s i la función f (x , y) = x 2 – 2xy + y 2 , es

homogénea .

f ( tx , ty)= ( tx) 2 – 2( tx) ( ty) + ( ty) 2

f ( tx , ty)= t 2 x 2 – 2t 2 xy + t 2 y 2

f ( tx , ty)= t 2 (x 2 – 2xy + y 2 )

f ( tx , ty)= t 2 f (x ,y)

entonces, la función f es homogénea de grado 2.

Ejemplo:

Dada la función homogénea :

f (x, y) = x 2 – 2xy + y 2 , ver if icar que

yxnfy

fy

x

fx ,

La función f es homogénea de grado 2, entonces:

22 222222 yxyxyxyyxx

2222 222222 yxyxyxyxyx

2222 22242 yxyxyxyx

Ejemplo:



Solución



Resolver las s iguientes E.D. homogéneas y

reducibles a homogéneas .

01 . - 2 (2x 2 +y 2 )dx-xydy=0

02 . - xydx+(x 2 -y 2 )dy=0

03 . - x 2 y , =4x 2 +7xy+2y 2

04 . - x x y y dx xydy2 2 2

0

05 . - 1 1

02x

y

xe dx

e

x ydy

yx

yx

06 . - (2y 4 +x 4 )dx-xy 3 dy

07 . - yy

x

x y

x

, 1

2

2 2

2

08 . - (2x-y-6)dx+(x+2y+7)dy=0


09. - (3x+5y+6)dx-(x -7y-2)dy=0

10 . - yx y

x y

,

4 3 15

2 7

11 . - yx y

x y

,

8 25

7 16 140

12 . - x (2x 2 +3y 2 -7)dx -y(3x 2 +2y 2 -8)dy=0

13 . - ( tgx-c tgy+3)sec 2 xdx-

(3 tgx+ctgy+1)cosec 2 ydy=0

ECUACION DIFERENCIAL EXACTA

DEFINICIÒN

Se d ice que una ecuaci ón di ferenc ia l :

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0

es exac ta en un dominio D, s i exi s te una función

U(x , y) cuya d i fe rencia l es dicha forma en D, es

dec ir :

dyyxNdxyxMdyy

Udx

x

UdU ),(),(

= 0 ,

(x ,y) D

Si M(x, y) dx + N(x ,y) dy es exac ta , en tonces

la ecuación di fe renc ial Mdx + N dy = 0 se

denomina ecuación dif erencia l exacta , o ecuación

en d iferenciales tota les .


Dicha ecuación d iferenc ia l es exacta en D s i y

so lo s i x

N

y

M

en D y su so luc ión es :

U(x , y) = C.

Ejemplo:


(3 x 2 + 4 xy) d x + (2 x 2 + 2y) dy = 0

Solución

Se ver i f ica que M y = N x = 4x . Y es tas der ivadas

son cont inuas en cua lquier dominio D

s implemente conexo de l p lano. Luego, ex is te

U(x ,y) t a l que P dx +Q dy = dU en cua lquiera de

ta les D.

Como ha de ser Mx

U

, r esu l ta :

)(2)(),(),( 23 yyxxydxyxMyxU

Y como Ny

U

r esu l ta: 2x 2 + ´ (y) = 2x 2 +

2y . Luego: ´ (y) = 2y.

Por tan to: (y) = y 2 + C 1 . Entonces : U(x ,y) =

x 3 + 2 x 2 y + y 2 + C 1

Luego la solución general de la ecuac ión

d i ferenc ia l dada será U(x , y) = C, es deci r :


x 3 + 2 x 2 y + y 2 = k

Ejemplo:


(2xy 2 + 2y)dx + (2x 2 y + 2x)dy = 0

Solución

Sea M(x, y) = 2xy 2 + 2y, en tonces M y = 4xy + 2

Sea N(x , y) = 2x 2 y + 2x , en tonces N x = 4xy + 2

de donde se t iene que M y = N x , luego la ecuación

d i ferenc ia l es exacta .

Entonces , ex i s te U(x ,y) t a l que yxMx

U,

y:

yxyx

U22 2

, integrando con respec to a x se

obt iene:

U(x , y) = x 2 y 2 + 2xy + (y) , que der ivando con

respec to a y,

yxyxy

U

22 2

, como yxNy

U,

,

en tonces:

xyxyxyx 2222 22 , donde ´ (y) = 0 , (y)

= k.

Luego U(x , y) = x 2 y 2 + 2xy + k , donde la so lución

a l a ecuac ión d iferencia l es

x 2 y 2 + 2xy = C.

FACTORES INTEGRANTES


Introducción:

Sea la ecuación di ferenc ia l : M(x, y) dx + N(x ,y)

dy = 0 y supóngase que no es exacta . ¿Qué hacer

en tonces? .

Por ejemplo , l a ecuación y dx + 2x dy = 0 no es

exacta (aunque con var iables separables ) . Pero s i

mul t ip l icamos ambos miembros de la misma por

y , se t ransforma en la ecuación equiva lente: y 2

dx + 2xy dy = 0 , que es exac ta . La ecuac ión es :

d (xy 2 ) = 0 . Y su so luc ión: xy 2 = C.

Análogamente mul t ipl icando ambos miembros de

la ecuac ión dada por xy

1, se obt iene la ecuac ión

equiva lente 0y

dy2

x

dx , ya exac ta ( sólo se han

perdido las soluciones x = 0 e y = 0) . Es ta

ú l t ima ecuación es : d ( ln xy 2 ) = 0 , cuya so lución

es ln(xy 2 ) = k, es dec i r : xy 2 = C, t ras incorporar

l as so luc iones perdidas .

Def inic ión:

Sea la ecuación di ferenc ia l : M(x, y) dx + N(x, y)

dy = 0 , no exacta . Si ex is te una función (x , y) ,

t a l que la ecuac ión M dx + N dy = 0 , es

exacta en un dominio D s implemente conexo,

en tonces e l factor (x, y) rec ibe el nombre de

factor integrante de la ecuación di fe rencia l

Así en e l e j emplo de la int roducción , t anto y

como xy

1 son factores in tegrantes de la ecuac ión

d i ferenc ia l y dx + 2x dy = 0 .

La ecuac ión di fe renc ial obtenida a l mult ipl icar

ambos miembros de la ecuación d iferencial por un


factor integrante , es esencia lmente equiva lente.

Tiene la misma fami l ia uniparamét r i ca de

so luciones , aunque es pos ible que se ganen o se

p ierdan a lgunas so luciones.

Obtención de los factores integrantes .

S i (x , y) es factor integrante de la ecuación

d i ferenc ia l (5) , en tonces la ecuación

(x, y) M(x, y) dx + (x, y) N(x, y) dy = 0

es exac ta en D, lo que equiva le a a f i rmar que :

)()( Nx

My

Es decir : )( yxxy MNNM (*)

Es ta es la ecuación dife rencia l de los factores

in tegrantes .

Obtención del factor integrante en algunos

casos especiales

Se ha vi s to que la ecuación que da los factores

in tegrantes , es una ecuación en der ivadas

parciales . Solo será in te resante intentar su

resolución , cuando la ecuac ión sea ordinar ia , es

dec ir cuando sea función de una sola var iable .

A) Existencia y obtención de un factor

integrante de la forma = (x)

S i exi s te , es : 0, yx . Y la ecuac ión (*)

toma la forma:


N

NMdecirEsMNN

xy

yx

:.)(

La condición para que exis ta un factor integrante

= (x) es que:

)(xgN

NM xy

.

Y entonces , de )(xg

r esul ta :

dxxg

eCx)(

)(

B) Existencia y obtención de factor integrante

de la forma = (y)

De forma análoga , s i ex i s te un tal = (y) , se

ver i f ica: 0, xy

y l a (6) da lugar a :

M

MNóMNM

yx

yx

)(

Condición: )( yhM

MN yx

Entonces :

dy)y(heC)y(



Resolver l as ecuac iones d iferenciales:

01 . - (xy 2 +x)dx+yx 2 dy=0

02 . - (2xy-3x 2 )dx+(x 2 -2y)dy=0

03 . - ye xdx+e xdy=0

04 . - 2cos(2x-y)dx-cos (2x-y)dy=0

05 . - 1

2 2x y

(xdy-ydx)=0

06 . - e x y ( )2 2

(xdx+ydy)=0

07 . - y 2 exy

2

dx+2xy exy2

dy=0

Resolver los s iguientes problemas de va lor in ic ial :

08 . - (cos x - x . sen x + y 2 )dx + 2xydy = 0 , y=1 en

x=

09 . - y

x 1dx + ( ln(x -1) + 2y)dy = 0 , y(2)=4

10 . - (2 tg y + 5)dx + (x 2 . sec 2 y)dy = 0 , y(0)=0

11 . - (x 2 +y 2 )dx + 2xydy = 0 , y=1 en x=3

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER

ORDEN

Una ecuación di fe renc ial de pr imer orden que

puede escr ibi rse en la forma

donde: P(x) y Q (x) son funciones rea les , se l lama

ecuación d ife rencia l l ineal .

La so luc ión genera l de esta ecuación d ife renc ia l

de pr imer orden es:


cdxxQxuxu

y )()(

1

Donde u(x) = dxxP

e)(

es un factor de integración.

Ejemplo


Solución

Reescr ibiendo la ecuac ión tenemos

El fac tor in tegrante es tá dado por

u (x) = x - 4

Con lo cua l l a so luc ión es tá dada por

cdxexx

xy x54

4

1

cdxxexy x 4

cexexy xx 4

Es deci r :

Ecuación de Bernoull i


Algunas veces a l hacer un cambio de var iable se

logra t ransformar una ecuación di ferenc ial en

l inea l , como e l e jemplo anter ior . Otra s i tuación

semejante se presenta para la ecuación de

Bernoul l i .

Una ecuación di fe renc ial de pr imer orden que

puede escr ibi rse en la forma

donde P(x) y Q(x) son funciones rea les y

cont inuas en un inte rva lo (a ,b) y es una

cons tante rea l d i ferente de 0 y 1 se conoce como

ecuación de Bernoul l i

Observac ión :

Cuando:

l a ecuación de Bernoul l i se reduce a una

ecuación separable y cuando

se t rata de una ecuac ión l inea l , casos ya

es tudiados .

La ecuac ión de Bernoul l i

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la

sustitución

Demostración:

Al dividir la ecuación por yn, resulta

Usando la regla de la cadena, calculemos y´ a partir de la

sustitución


Sus t i tuyendo en la ecuac ión se t ransforma en:

l a cua l es una ecuación d i fe rencia l l ineal de

pr imer orden, como se quer ía .

Ejemplo:


3

2

55 y

xy

dx

dy

Solución

És ta es una ecuac ión de Bernoul l i con ,

P(x) = -5 y

2

5)(

xxQ .

Para resolver la pr imero d ividamos por y 3

Ahora efectuemos la t ransformación u = y - 2 .

Pues to que


dx

dyy

dx

du 32

l a ecuación se t ransforma en

S impl i f icando obtenemos la ecuac ión l ineal

Cuya so lución es

y a l sust i tu i r u = y – 2 se obt iene la solución de

la ecuación or igina l


01. - Resolver las ecuaciones diferencia les:

a) y´ + 2y = x 2 + 2x

Rpta . yx x

cex

2

22 1

4

2

b ) (x 5 +3y)dx-xdy=0


Rpta . y xx

c

32

2

c ) (e y -x)dy=dx

Rpta . xey

cey

2

d ) dy

dx xy

x

x

2

2

cos, y()=0, x0

Rpta . yx

x

sen

2

d ) xy´ + y - e x = 0 , y(a)=b

Rpta . yex

x

ab ea

x

f ) y´ - y tgx = 1

cos x, y(0)=0

g) dy

dx xy x

1 33, y(1)=0

h ) dy

dx

x

x

y x

2

21

Rpta . yx x c

x

422

42

1( )

i ) y´ + senx y = 2xe c o s x

j ) dx

dy yx y

32

02. - Resolver las s iguientes ecuaciones

dif erencia les:

a) 2xy´ + 2y = xy 3

Rpta . y - 2 = x + cx 2

b ) 3xy´ - 2y = x 3 y - 2

Rpta . y 3 = x 3 + cx 2


c) dy

dx

x

x y y

2 3

.

Rpta . x y ey

c2 2

12

d ) (2xy3 - y)dx + 2xdy = 0

Rpta . y - 2 = x+cx - - 1

e ) cscxctgxydx

dy2y 2

Rpta . y x x c x2 csc csc

EJERCICIOS DE APLICACION

01 . - En c ier to cul t ivo , la t asa de crecimiento de

bac ter ias es proporc ional a la cant idad

presente . In ic ia lmente , se ten ían 1000

bac ter ias y la cant idad se dupl icó en 12

min . (a ) Si y bacter ias es tán presentes a los

t minutos , exprese y como una función de t .

(b) Est imar e l t i empo que deberá t ranscurr i r

para que se tengan 10 000 bacter ias .

02 . - La tasa de c recimiento de la población de

c ier ta comunidad es proporcional a la

poblac ión. En 1950 la población fue de 50

000 y en 1990 fue de 75 000. (a) Si y es la

poblac ión t años a par t i r de 1950, exprese y

como una función de t . (b) Est ime la

poblac ión que habrá en e l año 2010.


03. - La población de una c iudad decrece a una

tasa proporcional a su tamaño. En 1980 la

poblac ión fue de 50 000 y en 1990 fue de 44

000. (a ) Si y es l a población t años a par t i r

de 1980, exprese y como una función de t .

(b) Es t ime la población en el año 2000.

04 . - En la predicc ión del crecimiento de una

poblac ión, los demógrafos t ienen en cuenta

las t asas de nacimien tos y defunciones

además de la d ife renc ia ent re l as t asas de

inmigrac ión y emigrac ión . Sea P la

poblac ión en e l t iempo t y sea N e l

c recimiento por unidad de t i empo resul tan te

de la di fe renc ia ent re inmigrac ión y

emigrac ión . El r i tmo de crecimiento de la

poblac ión viene dado pordP

dtkP N , N es

una constante . Resolver es ta ecuac ión

d i ferenc ia l con el f in de ha l lar P en función

de t , s i en t=0 e l t amaño de la población es

P o .

05 . - Ot ro modelo poblac ional d ice que la t asa de

c recimiento poblac iona l viene dada por

)PA(kPdt

dP . Resolver esta ecuación con

e l f in de ha l lar P en función de t , hacer l as

suposiciones necesar ias .


06. - La ve loc idad de enf r iamiento de un cuerpo

en e l a i re es proporc ional a l a di ferenc ia

ent re l a t empera tura T de l cuerpo y la del

a i re T a=20 o C. Si e l cuerpo tarda en

enf r iar se 20 minutos desde 100 o C a 60 oC.

¿Cuánto t iempo ta rdará en enf r iar se hasta

30 o C?

07 . - S i un cuerpo rodeado de a i re a 35° de

tempera tura se enf r ía de 120° a 60° en 40

min , u t i l i ce la ley de enf r i amiento de

Newton para determinar la t emperatura de l

cuerpo después de 100 min .

08 . - Una o l la con agua estuvo h i rviendo a 100° y

se dejó enf r ia r a l a i re l ibre a una

tempera tura de 0° . Después de 20 min la

t empera tura de l agua fue de 90°. (a )

¿Después de cu ántos minutos la t emperatura

de l agua será de 80°? . (b) ¿Cuál será la

t empera tura de l agua después de 1 hora?

09 . - Un cuerpo rodeado de a i re a una

tempera tura de 0° se enf r ía de 200° a 100°

en 40 minutos , ¿cuántos minutos más serán

necesar ios para que e l cuerpo alcanze una

tempera tura de 50°?

10 . - Un grupo de empresas empieza a inver t i r ,

en t=0, par te de sus ingresos a razón de P

dólares por año en un fondo para re forzar la

fu tura expansión de l grupo. Supuesto que e l

fondo rec iba un interés de l r%, compue s to


cont inuamente , l a tasa de c rec imiento de la

cant idad A disponib le en el fondo es

dA

dtrA P , donde A=0 en t=0. Resolver

es ta ecuación d iferenc ial para hal la r A en

función de t .

12.- Con respecto al problema anterior, calcular t si

el grupo necesita $800000 y puede invertir

$75000 al año en un fono a una tasa del 8%

compuesto continuamente.

13.- Se inyecta glucosa en la sangre a razón de q

unidades por minuto y el cuerpo desaloja

glucosa de la sangre a un ritmo proporcional a

la cantidad presente. Sea Q(t) la cantidad de

glucosa en la sangre en el instante t.

a) Determinar la ecuación diferencial que

describe el ritmo de cambio de la glucosa

en sangre con respecto al tiempo.

b) Resolver l a ecuación di fe renc ia l ,

tomando Q=Q o cuando t=0.

c ) Calcular el l ími te de Q( t ) cuando t se

hace i l imi tadamente grande .

14.- El jefe de personal de una empresa estima en

30 el número máximo de unidades que puede

producir un trabajador diariamente. El ritmo de

crecimiento del número de unidades producidas

respecto del tiempo t, en días, por un empleado

nuevo es proporcional a (30-N).


a) Determinar la ecuación diferencial que

describe el ritmo de cambio en la

productividad respecto del tiempo.

b) Resolver esa ecuación diferencial.

c) Calcular la solución particular para un

empleado nuevo que produce 10 unidades

el primer día y 19 el decimosegundo día.

15.- Un tanque contiene 200 litros de salmuera en al

cual hay 3 kg de sal por litro. Se desea diluir

esta solución agregando salmuera que contiene

1 kg de sal por litro, la cual fluye hacia el

tanque a una tasa de 4 L/min y la mezcla, que

se mantiene uniforme mediante agitación, sale

a al misma tasa. ¿Cuándo tendrá el tanque 1.5

kg de sal por litro?

16.- Se tienen 100 litros de salmuera en un tanque

la cual contiene 70 kg de sal disuelta. Se

agrega agua dulce a uan tasa de 3 L/min y al

mezcla, que se mantiene uniforme

revolviéndola, sale del tanque a la misma tasa.

¿Cuántos de sal se contienen en el tanque

después de 1 hora?

17.- Un depósito de 200 galones está lleno de una

solución que contiene 25 libras de

“concentrado”. Desde el instante t=0, se

introduce agua destilada a razón de 10

galones/min y se remueve la solución mientras

se vacía a ese mismo ritmo.

a) Expresar la cantidad Q de “concentrado”

en la solución en función de t.


b) Calcular el tiempo que tarda la cantidad

de “concentrado” en llegar a 15 libras.

c) Hallar la cantidad de “concentrado” en la

solución cuando t se hace ilimitadamente

grande.

18.- Repetir el problema anterior, suponiendo que la

solución que está entrando en el depósito

contiene 0,05 libras de “concentrado” por

galón.

19.- Un depósito de 200 galones está lleno hasta su

mitad de agua destilada. En el instante t=0

empieza a entrar en él una solución, que

contiene 0,5 libras de “concentrado” por galón,

a razón de 5 galones/min. La mezcla, bien

removida en todo momento, escapa del

depósito a razón de 3 galones/min.

a) ¿En qué momento se acabará de llenar el

depósito?

b) En ese instante, ¿cuántas libras de

“concentrado” contendrá?

20.- Un depósito contiene 50 litros de una solución

compuesta por 90% de agua y 10% de alcohol.

Se vierte en el depósito a razón de 4 litros/min

una segunda solución que contiene 50% de

agua y 50% de alcohol. Al mismo tiempo se

vacía el depósito a razón de 5 litros/min.

Suponiendo que la solución se agita

constantemente, calcular la cantidad de alcohol

que queda después de 10 minutos.


21.- Un tanque está lleno con 8 galones de agua

salada en la cual 2 libras de sal están disueltas.

Agua salada con 3 libras de sal por galón entra

al tanque a 4 galones/min y la mezcla bien

agitada sale a la misma tasa.

a) Encontrar la cantidad de sal en el tanque

como una función del tiempo t.

b) ¿Cuánta sal está presente después de 8

minutos?

c) Encuentre la concentración de sal después

de 8 minutos.

d) ¿Cuánta sal está presente después de un

largo tiempo?

ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR

REDUCCIÓN DE ORDEN

Al resolver ecuaciones d iferenciales de orden

super ior , es natura l preguntarse s i e l l as pueden

de a lguna manera ser reducidas a ecuaciones de

pr imer orden, l as cua les puedan a su vez ser

resue l tas por a lguno de los métodos estudiados

has ta el momento .

Rea lmente exis ten dos t ipos impor tantes de

ecuaciones de orden super ior que pueden

resolverse fác i lmente de esta manera.

Como hemos vi s to , una ecuación di ferenc ial de

segundo orden puede escr ibi r se en la forma:


ahora ana l izaremos dos t ipos espec ia les de es tas

ecuaciones que pueden resolverse por medio de

una reducción de orden.

AUSENCIA DE LA VARIABLE

DEPENDIENTE

Si y no aparece explícitamente en la ecuación diferencial, es

decir, nuestra ecuación tiene la forma

En tal caso , in t roducimos e l cambio de var iable

Esta sustitución transforma la ecuación en una ecuación

diferencial de primer orden

Ahora, si logramos encontrar una solución para la ecuación

podemos sustituir en ella por y´ e intentar resolver la

ecuación diferencial resultante. Este procedimiento reduce la

resolución de una ecuación diferencial de segundo a la

resolución de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

La variable y está ausente, así que al hacer :


obtenemos

que es l ineal . Resolviendo és ta ecuac ión

obtenemos

e integrando

AUSENCIA DE LA VARIABLE

INDEPENDIENTE

Si no está presente en la ecuación diferencial, esta se puede

escribir como

Del mismo modo que en e l caso anter ior ,

in t roducimos e l cambio de var iable u = y´ , pero

ahora expresamos y ´ ´ en té rminos de una

der ivada respecto de y

Es to nos permi te escr ib ir la ecuación en la

forma

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node15.html#1.16


Ahora encontramos la so luc ión de la ecuac ión,

luego sust i tu imos en és ta so luc ión por y´ y

resolvemos la ecuac ión re sul tante .

Ejemplo:

Resuelva la ecuación diferencial

Solución:

Haciendo u = y´ podemos escribir la ecuación dada como

Separando variables e integrando

Separando var iables

In tegrando

Despejando y y renombrando las constantes ,

es ta solución puede escr ib ir se como



01 . - Encontrar la solución genera l de :

a ) y" = ln x b) xy " = y ' c ) yy" = ( y ') 2

d ) y ( I V ) = x

Para los ej ercicios b y c , escr ib ir y” = dx

´dy, luego

resolver .

02 . - Encont rar l a soluc ión par t icu lar de :

a ) xy” + y´ = 4x; y(1)=y´(1)=1.

Sugerencia : hacer z = y´ con lo que y” = z´ y

l a ecuac ión se reduce a la forma l ineal de

pr imer orden.


b) y”=2x; y(0)=0, y´(0)=10

c ) y ( i i i ) = 3sen x ; y(0)=1, y´(0)=0, y”(0) = -2

d) 2y ( i v ) = exp(x) - exp( -x) ; en x = 0 , y = y´=

y”= y ( i i i ) = 0

03 . - Resolver :

a ) x 2 y” = x 2 + 1

b) y”y´ = 1 ; y(0)=5, y´(0)=1

c) xy” + 2y´= 0

d ) y´´ ´ = xe x , y(0) = y´(0) = y´´(0) = 0

e ) 3y´´ = y - 5 / 3

f ) y´´y 3 = 7


ECUACIONES DIFERENCIALES CON

COEFICIENTES CONSTANTE

Son de la forma :

)()(.........)()( 0

)1(

1

)( xhxyaxyaxya n

n

n

n

con :

IRaan 0,........, ; h(x) continua en I adecuado y

0na .

Para resolverlas : Ly = h (x)

particularsoluciónYxhLy

asociadaogeneasoluciónYLy

P

h

:)(

hom:0

Y por lo tanto la solución general de Ly =h(x) es :

Yg(x) = Yh (x) + Yp(x)

Observación


1. La secuencia del proceso para resolver una E.D.L.N. no H

de grado (n) y con coeficientes constante es :

1º : Resolver la E.D. homogénea asociada : yh

2º : Un método para calcular una solución particular yp

2.- Todo Operador Diferencial Lineal con Coeficientes

Constante

L = 0

1

1 .......... aDaDa n

n

n

n

puede expresarse

como un producto de Operadores de coeficientes Constante ,

lo ideal que sean de grado (1) y grado (2), es decir : L =

nLLLL 321 Por ejemplo :

L = D3 +1 = (D + 1) (D2 – D +1) L = L1 L2 .

Ahora si : Ly = 0 (L1 0)32 yLLL n

0)(

:

0)(

0)(

2

1

yL

yL

yL

n

Por Ejemplo : L = D2 – 4 L(y) = (D2 – 4) y =

0

2

1

0)2(

0)2(

EyD

EyD

E1 :

xexyxyLndxy

dyy

dx

dy 2

1 )(2)(202

E2 :

xexyxyLndxy

dyy

dx

dy 2

2 )(2)(202

Como { y1 , y2} son L.I. xx

h eCeCyyxy 2

2

2

121)(


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE

SEGUNDO ORDEN

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden NORMAL

se representa por:

xhyxayxay 01 '''

Cuando h(x)=0, la ecuación es llamada homogénea, en el

caso contrario se llamará no homogénea. Para una ecuación

no homogénea

xhyxayxay 01 '''

Tiene lo que se conoce como ecuación homogénea asociada

0''' 01 yxayxay

Para el estudio de dichas ecuaciones consideraremos cada una

de ellas en su forma explícita, a saber con )(),(),( 01 xhxaxa

definidas y continuas en el intervalo I, entonces el PVI

xhyxayxay 01 ''' , 0xy , 0' xy

donde Ix 0 y y son números arbitrarios, tiene una

única solución en I

La solución principal: La solución principal de la ecuación

(NH) dada por ph yyy dónde:

yh es la solución de la ecuación homogénea asociada

y p es la solución par t icular de la ecuación

En resumen, podemos decir que para revolver una ecuación no

homogénea es necesario:


Paso 1: Encontrar la solución de la ecuación homogénea

asociada decir, determinar yh

Paso 2: Encontrar una solución particular de la ecuación no

homogénea, es decir, yp

Paso 3: Plantea la so lución pr inc ipa l como la

sumas de las dos anter iores , es dec i r :

ph yyy

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE

SEGUNDO ORDEN DE COEFICIENTES

CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con

coeficientes constantes es de la forma

(D2 + a1D + a0)y = 0

donde a1, a0 son constantes.

Posee como solución general )()()( 2211 xycxycxy con

c1, c2 : constantes

La función que cumple con que una constante por su segunda

derivada mas una constante por su primera derivada mas una

constante por la función misma sea igual a cero es la función

exponencial del tipo mxey . Si se sustituye en la ecuación

diferencial se tendrá que:

0

0

01

2

01

2

amame

eameaem

mx

mxmxmx


como la función mxey es siempre distinta de cero, solo el

segundo múltiplo lo puede ser:

001

2 amam

A este polinomio se le conoce como ecuación auxiliar o

característica

Como dicho polinomio es de segundo orden tendrá

soluciones de la forma :

a

acbbm

2

42

1

a

acbbm

2

42

2

las cuales, dependiendo del valor del discriminante, generarán

distintas formas de soluciones.

Caso I: Raíces reales distintas

Si acb 42 >0 entonces se tendrá que : 21 mm (raíces) .

(D – m1)(D – m2)y =0 y la solución es:

xmxmececxy 21

21

Ejemplo :

Determine la solución de: 06'5'' yyy

Solución:

Como se puede ver, la ecuación auxiliar asociada será

0652 mm . La que puede ser descompuesta como

016 mm . Por lo que sus soluciones serán m1 = - 6 y

m2 = 1. De esta manera, la solución estará dada por :


xx ececxy 2

6

1

Caso II : Raíces reales iguales

Si acb 42 = 0 quiere decir que la soluciones son iguales.

Por lo que la solución será:

Obs.: Si m1= m2 (raíces) (D – m)2y = 0 mxexy )(1

y la segunda solución .

y2(x), se determina por la fórmula de Abel

Entonces la solución general está dada por :

mxmx xececxy 21

Ejemplo :

Determine la solución de 016'8'' yyy

Solución:

Su ecuación auxiliar es 01682 mm , que se puede

factorizar para quedar como 042m . Como se ve sólo

posee la solución m = -4, por lo que la solución general será:

xx xececxy 4

2

4

1

Observación

El proceso anterior se puede generalizar a “n” raíces iguales,

considerando que sí y(x) (solución) pertenece al espacio

NULO de un O.D.L. con coeficientes constante, entonces xn-

1y(x) pertenece al espacio nulo de Ln.


Ejemplo :

(D – 3)5 y = 0

0)3)(3)(3)(3)(3(

5,05

yDDDDD

nyL

Entonces : m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = 3 y la solución es :

Y(x) = C1e3x + C2xe3x + C3x2e3x + C4 x3e3x + C5x4e3v

Caso III: Raíces imaginarias:

b2 – 4ac < 0

biam

biam

2

1

Raíces Complejas conjugadas

La solución es de la forma :

Y(x) = C1 xm

e 1 + C2xm

e 2 = C1xbiae )(

+ C2xbiae )(

Aplicando formula de Euler y reduciendo, la solución

queda:

Y(x) = )sencos( 21 bxCbxCeax


01 . - Hal lar l as so luc iones genera les de las

ecuaciones :

a ) y" - 6y ' + 9y = 0

b ) y" ' - 4y" - 3y ' + 18y = 0

c ) y" ' + 9y ' = 0

d ) y(4) - 13y" + 36y = 0

e ) y(4) = 16y


f ) y" ' - 6y" + 11y ' - 6y = 0

02 . - Calcular l a so lución par t icular de la ecuac ión

d i ferenc ia l dada .

y" + 2y ' + 3y = 0 ; y(0) = 2 , y '(0) = 1

y" + 16y = 0 ; y(0) = 1 , y '(0) = 2

c ) y" - 4y ' + 3y = 0 ; y(0) = 6 , y ' (0) = 10

d) 4y" + 4y ' + y = 0 ; y(0) = 2 , y ' (0) = 0

e ) y" - 2y ' + 3y = 0 ; y(0) = 1 , y ' (0) = 3

03 . - Calcular l a so lución genera l de la ecuación:

a ) y" - 4y ' + 4y = e2x

b ) y" - 5y ' + 6y = (12 -x) e -x

c ) y" + 4y ' + 3y = e2x ( sen 2x + cos 2x)

d ) y" + 6y ' + 13y = e -3x cos 2x

04 . - Hal lar l as so luc iones par t iculares de l as

ecuaciones di ferenc iales dadas :

y" - 2y ' + 10y = 10x2 + 18x + 6 ; y(0) = 1 ,

y '(0) = 3 ,2

y" - y ' = 2(1-x) ; y(0) = y '(0) = 1

y" + y = x3; y(0) = 1 , y '(0) = 0

05 . - Calcular l a so lución genera l de la ecuación:

a ) y" + y = sec x tg x

b ) y" - 2y ' + y = ex ln x

c ) y" + y = csc x

d ) y" + 4y = 4 sec2 x

e ) y" + y = sec2 x

f ) y" + y = csc x ctg x

g) y” + y = c tg x

h) y” + y = sec x

i ) y” + 4y = csc x

j ) y” + y´ - 2y = ln x

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE ORDEN

SUPERIOR DE COEFICIENTES CONSTANTES

Todo lo anteriormente mencionado para las ecuaciones

diferenciales lineales de segundo orden de coeficientes

constantes es válido también para cualquier orden superior a


DOS, es decir, se puede hacer uso de las ecuaciones auxiliares

o características y resolver en forma similar.

Ejemplo :

Resolver la siguiente ecuación diferencial:

0'3''2''' yyy

Solución:

Paso 1: Planteamos la ecuación auxiliar asociada

032 23 mmm

Paso 2: Buscamos las raíces de la ecuación auxiliar

031

032

032

2

23

mmm

mmm

mmm

Entonces las raíces son : 01 m , 12 m y 33 m

Paso 3: Planteamos la solución general del problema

xxx ecececy 3

3

1

2

0

1

, es decir, xx ececcy 3

321

( comprobarla)

Ejemplo:

Determine la solución a la siguiente ecuación diferencial

0222

2

5

5

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

Solución:


Paso 1: Planteamos la ecuación auxiliar asociada

022 25 mmm

Paso 2: Buscamos las raíces de la ecuación auxiliar. Por

simple inspección se puede verificar que 11 m es solución

de la ecuación auxiliar por tanto:

021

022

234

25

mmmmm

mmm

Si evaluamos nuevamente, pero ahora la expresión de grado

cuatro se puede ver que 1m es solución

02321

021

232

234

mmmm

mmmmm

Inspeccionando la expresión de tercer grado, se puede ver que

si 1m , entonces la expresión se anula, por lo tanto

0211

02321

22

232

mmmm

mmmm

La expresión cuadrática que nos queda es de tipo irreducible,

por lo que sus soluciones son imaginarias, por lo que

finalmente podemos plantear todas las raíces del polinomio

auxiliar

im

im

m

mm

2

7

2

1

2

7

2

1

1

1

5

4

3

21

Paso 3: Planteamos la solución general del problema


xecxececxececy

xxxxx

2

7sin

2

7cos 2

1

52

1

4321

ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTÁNEAS

Sis tema de ecuaciones diferencia les

Un s i s tema de ecuac iones d iferenc iales es un

conjunto de var ias ecuaciones di fe rencia les con

var ias funciones incógni tas y un conjunto de

condic iones de contorno. Una solución del mismo

es un conjunto de funciones di fe renc iab les que

sa t i s facen todas y cada una de las ecuaciones de l

s i s tema.

En un s i s tema de ecuaciones d iferenc ia les

ord inar ias de cualquier orden , puede ser reducido

a un s i s tema equiva lente de pr imer orden, s i se

in t roducen nuevas var iables y ecuac iones . Por es a

razón en es te a r t ícu lo só lo se cons ideran s i s temas

de ecuaciones de pr imer orden. Un si s tema de

ecuaciones di ferenc ia les ordinar ias de pr imer

orden escr i to en forma expl íci ta es un s is tema de

ecuaciones de la forma:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial


Reducción a un si stema de primer orden

Dado un s i s tema de ecuac iones di fe rencia les de

orden n con m ecuaciones :

Exis te un s i s tema equiva lente de pr imer orden con

a lo sumo (n+1)x m ecuaciones . Para ver es to

cons ideremos un s i s tema en que intervienen m

funciones incógni tas x i y sus n der ivadas , e

in t roduzcamos un nuevo conjunto de var iables y i , k

def in idos de la s iguiente manera:

El s i s tema de pr imer orden equiva lente en las

var iables y i , k resul ta ser :

Como e j emplo de reducción de un s is tema de

ecuaciones di fe renc ia les podemos co nsiderar las

ecuaciones de movimiento de la mecánica

newtoniana de una par t ícula que es un s i s tema de

segundo orden con t res ecuac iones:

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana


S i se in t roducen t res funciones incógni ta nuevas

que representan la ve locidad e l s is tema anter ior ,

se puede el s is tema anter ior a un s i s tema de

pr imer orden y se is ecuaciones :

Sistemas l ineales de ecuaciones dif erenciales

ordinarias con coef ic ientes constantes

Un s i s tema l inea l de ecuaciones di ferenc iales con

coef icientes constantes es un s i s tema de la forma:

Donde X ( t ) representa el vec tor de funciones

incógni ta . La soluc ión de este s i s tema viene dada

por l a exponenciac ión de la matr iz de

coef icientes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3n


Como e jemplo podemos cons iderar e l s iguiente

s i s tema homogéneo:

Los va lores propios de la mat r iz son y por

t anto la exponenciación de la mat r iz da lugar a

funciones t r igonomét r icas a l tener par te

imaginar ia no nula, de hecho, l a so lución

ca lculada a par t i r de la exponenciación resul ta :


Resolver los s iguientes eje rc icios

01 . -

yxdt

dz

xzdt

dy

zydt

dx

02 . -

yx3dt

dz

x3zdt

dy

zydt

dx

03 . -

z2y8x2dt

dz

z2dt

dy

y8dt

dx

04 . -

y2x3dt

dy

yx6dt

dx

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica


05. -

y3x2dt

dy

y4x3dt

dx

06 . -

y2x9dt

dy

yx2dt

dx

07 . -

t2y2xdt

dy

tyxdt

dx

x(0)=9

7 , y(0)=

9

5

08 . -

yxdt

dy

dt

dx

ydt

dx

x() =-1 , y()=0

09 . -

y2)t(sendt

dy

dt

dx2

yedt

dy

dt

dx t

x(0) = -2 , y(0) = 1

10 . -

1t2y2dt

dy

3tt6yx6dt

dx2

2

x(0)=2, y(0) =3

11 . -

yxdt

dy

y4xdt

dx

12 . -

ydt

dy

y3xdt

dx

13 . -

y3x2dt

dy

yx2dt

dx


14. -

y3xdt

dy

y4x7dt

dx

15 . -

1tyx2dt

dy

1tyx4dt

dx

16 . -

t

t

eyxdt

dy

te3y4xdt

dx

Transformada de Laplace .

Suponga que la función y( t ) es tá def inida para t

≥ 0 y la in tegra l impropia

Entonces la t ransformada de Laplace de y( t )

es tá dada por

Ejemplo

Calcule .

Solución Por def inición


para s > 0 .

Algunas Propiedades de la Transformada de

Laplace:

1 . Suma y Resta

Sean F 1 (s ) y F 2 ( s) l as t ransformadas de Laplace

de f 1 ( t ) y f 2 ( t ) respect ivamente . Entonces:

L { f 1( t ) + f 2 ( t ) } = F 1 (s ) + F 2 (s )

L { f 1( t ) - f 2 ( t ) } = F 1 (s ) - F 2 (s )

2. Multipl icac ión por una constante

Sea k una cons tante y F(s ) l a t ransformada de

Laplace de f ( t ) . Entonces:

L { k f ( t ) } = k F( s )

3. Diferenciación

Sea F(s ) la t ransformada de Laplace de f ( t ) , y

f (0) es el l ími te de f ( t ) cuando t t iende a cero . La

Transformada de Laplace de la der ivada con

respec to al t i empo de f ( t ) es :

L { d f ( t ) /dt } = s F(s ) - l ím f (t ) = s F(s) – f (0)

En general , para las der ivadas de orden super ior

de f ( t ) :

L { d n f ( t ) / dt n } = s n F(s) - s n - 1 f (0) - s n - 2 f ( 1 ) (0)

- . . . . . - f ( n - 1 ) (0) .

t 0


Transformadas de Laplace de algunas

Funciones Elementales :

Ejercicio Resuelto :

Hallar la Transformada de Laplace de la

s iguiente f ( t ) por medio del uso de tabla:

f ( t ) = 3 e - 4 t + 1 /2 cos 5t + 3 /4 t 3 + 8

Solución

Apl icando Transformada de Laplace:

L{f ( t )} = L{3 e - 4 t + 1 /2 cos5t + 3/4 t 3 + 8 }

(1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma

es igua l a la suma de las Transformadas de

Laplace de cada término, (1) se puede expresar

como:

L{f ( t )} = L {3e - 4 t } + L{1/2cos 5t } + L { 3/4 t 3 }+

L {8} (2)


Ahora só lo queda reemplazar cada té rmino de (2)

por su cor respondiente Transformada expresada

en la t abla , y apl icar l as propiedades:

L {f ( t )} = F(s) = 3*( 1 / s+4 ) + 1 /2*( s / s 2 + 25 ) +

3 /4*( 3! / s 4 ) + 8 / s

por lo tan to:

F(s) = 3/ (s+4) + s / 2*( s 2 + 25) + 9/2 t - 4 + 8 / s

Transformada Inversa de Laplace - Conceptos

Básicos

Def inic ión:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una

función f ( t ) . La Transformada Inversa de

Laplace (o Anti t ransformada) de F(s ) se denota:

L - 1 { F(s)} = f ( t )

Método para hal lar la Anti transformada de

Laplace:

Exis ten var ios métodos para de terminar l a

an t i t ransformada de Laplace ; en es te apunte se

expl icará el Método de las Fracciones Parcia les .


Cualquier función rac ional de la forma P(s ) /

Q(s) , donde P(s ) y Q (s) son pol inomios en los

cua les e l grado de P(s ) es menor que e l de Q(s) ,

puede escr ibi rse como una suma de f racc iones

parciales de la forma A / (as + b) r , donde A es

una constante y r = 1 ,2 ,3 . . . . Al ha l la r l as

an t i t ransformadas de cada fracc ión parcia l , se

ha l la L - 1 { P(s) / Q(s)} .

Ejercicio resuel to :

Hal lar L - 1 { (3s + 7) / ( s 2 - 2s - 3)}

Como se ve , es de la forma L - 1 { P(s ) / Q(s)} ,

donde:

P(s ) = 3s + 7 y Q(s) = s 2 - 2s - 3 ; se puede

observar t ambién que e l grado de Q(s) > P(s ) .

El pol inomio Q(s) se puede expresar como s 2 - 2s

- 3 = ( s+1) (s -3) . Entonces :

Mult ipl icando por ( s - 3) ( s + 1) se obt iene:

3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A -

3B (2)

Igua lando los coef ic ientes de las potenc ias

igua les de s a ambos lados de la ecuac ión

3s 7

s2

2s 3

A

s 3( )

B

s 1( ) ( 1 )


resul tan te (2) , ha l lo los va lores de los

coef icientes A y B:

A + B = 3

A - 3 B = 7

Calculando, resul ta : A = 4 y B = -1 .

Reemplazando en (1) :

Para hal la r la t ransformada inversa de Laplace ,

se busca en la Tabla de Transformadas de

Laplace y se reemplazan los té rminos:

f ( t ) = 4 e 3 t - e - t

Apl icac ión de la Transformada de Laplace a

las Ecuaciones Diferenciales

La Transformada de Laplace presenta gran

u t i l idad para resolver ecuac iones di ferenc iales .

S i se quiere resolver una ecuac ión di ferenc ial de

segundo orden:

d 2 y/dt 2 + dy/d t + y = F( t ) o

sea

L1 4

s 3( )

1

s 1( )

L1 4

s 3

L1 1

s 1


y ' ' + y ' + y = F( t ) (1)

donde y son cons tantes somet idas a c ie r tas

condic iones in ic ia les o condic iones de f rontera :

y(0) = A e y '(0) = B (2)

Tomando la Transformada de Laplace a cada lado

de (1) y usando (2) , se obt iene una ecuac ión

a lgebraica para determinar L { y( t )} = Y(s) . La

so lución requerida se obt iene al calcular la

an t i t ransformada de Laplace de Y(s) .

Ejercicio:

Resolver:

y ' ' + y = t ,

con: y(0) = 1

y ' (0) = -2 .

Solución

Tomando la Transformada de Laplace en ambos

lados de la ecuac ión d i ferenc ia l , y u t i l i zando las

condic iones in ic ia les dadas , se t iene:

L { y ' '} + L { y } = L { t }

s 2 Y(s) - s y(0) - y '(0) + Y(s) = 1/ s 2

s 2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1 / s 2

Entonces : Y(s) * [ s 2 + 1] = 1/ s 2 + (s - 2)


Despejando Y(s) :

Y(s) = [1/ s 2 + (s - 2) ] / [ s 2 + 1]

Y(s) = 1 /s 2 - 1 / s 2 + 1 + s /s 2 + 1 - 2 / s 2 + 1

Y(s) = 1 /s 2 + s /s 2 + 1 - 3 / s 2 + 1

Apl icando Ant i t ransformada a cada té rmino:

L - 1 {Y(s)} = L - 1 {1 /s 2 + s / s 2 + 1 - 3 / s 2 + 1}

Se obt iene de la t abla:

y ( t) = t + cos t - 3 sen t

IX BIBLIOGRAFÍA

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Edi tor ia l Iberoamér ica .

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