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FSICA DEL ESTADO SLIDO I Gua de estudio (Curso 2013-14)

Una materia tan amplia como la que se engloba bajo la denominacin de Fsica del Estado Slido no se puede cubrir en un cuatrimestre, as que es necesario seleccionar los temas de estudio. Se han escogido aquellos que introducen los conceptos fundamentales de la materia, de manera que el estudiante, si as lo desea, pueda abordar, en etapas posteriores de su formacin, la diversidad de temas de la fsica de los slidos sin demasiada dificultad.

La asignatura se centrada en el estudio de los slidos cristalinos ideales, entendiendo como tales aquellos cuyos tomos o molculas estn dispuestos de manera ordenada en el espacio, con orden de largo alcance, ocupando posiciones bien definidas en una hipottica red tridimensional. La periodicidad espacial de semejante distribucin atmica, (con la simetra de traslacin que lleva aparejada) simplifica notablemente el tratamiento matemtico de los diversos modelos propuestos para explicar las propiedades de los cristales.

El contenido de la asignatura se puede agrupar en tres bloques: A. La estructura peridica de los cristales. Determinacin de la estructura cristalina por mtodos de difraccin.

B. Dinmica reticular. Propiedades trmicas de los slidos.

C. Electrones en metales. Electrones en estructuras peridicas. Teora de bandas. Dinmica de los electrones de Bloch.

Como libro base se ha seleccionado el texto: C. KITTEL. Introduccin a la fsica del estado slido. 3 edicin. Editorial Revert. Madrid

Este texto, del que existen varias reimpresiones, es una traduccin de la 6 edicin en ingls. Los estudiantes que lo prefieran, pueden utilizar la publicacin en ingls, ms actualizada, que tiene ediciones posteriores a la versin castellana.

El libro se encuentra disponible en, prcticamente, todas las bibliotecas de la UNED, centros asociados y bibliotecas universitarias. La edicin castellana anterior difiere poco de la tercera.

Para complementar el material de estudio, se pondr a disposicin de los estudiantes, en el curso virtual, tres adendas que amplan el contenido de determinados captulos, y una serie de ejercicios resueltos.

CORRESPONDENCIA ENTRE EL CONTENIDO DEL TEMARIO Y EL LIBRO BASE DE LA ASIGNATURA

Se presenta la equivalencia entre los temas del programa y el texto bsico de la asignatura. Se indican tambin las diversas adendas.

TEMA 1. La estructura peridica de los cristales Captulo 1: completo.

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Captulo 2: subapartado: vectores de red recproca;

apartado: ZONAS DE BRILLOUIN Adenda 1

TEMA 2. Determinacin de la estructura cristalina por mtodos de difraccin Captulo 2: completo.

TEMA 3. Dinmica reticular Adenda 2

Captulo 4: completo.

TEMA 4. Propiedades trmicas de los slidos Captulo 5: completo (excepto subapartado: dilatacin trmica).

TEMA 5. Electrones en metales Captulo 6: completo (excepto apartado: MOVIMIENTO DENTRO DE

CAMPOS MAGNTICOS).

TEMA 6. Electrones en estructuras peridicas. Teora de bandas Adenda3.

Captulo 7: completo. Captulo 9: subapartados :

esquema de zona reducida,

esquema de zona peridica;

mtodo de enlace compacto para el clculo de bandas de energa.

TEMA 7. Dinmica de los electrones de Bloch Captulo 8: Apartado: ECUACIONES DE MOVIMIENTO (excepto subapartados: masas efectivas en semiconductores; silicio y germanio).

ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LOS CONTENIDOS Y EL APRENDIZAJE Para mejorar el aprendizaje de la materia de la asignatura se presentan al

estudiante una serie de sugerencias:

- Es recomendable que el estudiante consulte otros textos sobre la materia, que al tener otro enfoque de los problemas pueden facilitarle una mayor comprensin de los conceptos.

-- No intente memorizar todo tipo de expresiones. Limtese a las bsicas, a las que expresan leyes o propiedades y dependencias importantes.

- Entienda cmo se han establecido u obtenido esas leyes y dependencias, tanto en su aspecto fsico como en la adecuacin del tratamiento matemtico y de las aproximaciones utilizadas.

-- Preste atencin a los parmetros involucrados en esas expresiones, as como al rango de aplicacin de cada ley o dependencia.

- Analice, entienda y reproduzca en una hoja los dibujos y las grficas que acompaan al texto y que ilustran los conceptos y leyes expuestas, le ayudarn a comprender la situacin y a memorizar esas expresiones bsicas.

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- Al finalizar cada seccin pregntese qu es lo que all se ha tratado, es decir, haga un pequeo ejercicio mental de reduccin y abstraccin y, si es necesario, vuelva sobre lo tratado antes de proseguir su avance.

- Resuelva de manera completa cada ejercicio recomendado, sin consultar con anterioridad la solucin.

Cuando se trata de resolver un problema es posible que exista ms de una manera correcta de abordarlo. En cualquier caso es importante:

-- leer el enunciado y antes de proceder a la resolucin del ejercicio realizar una nueva lectura del apartado correspondiente,

-- establecer con precisin la/s ley/es y/o conceptos en los que basar la resolucin, valorando su adecuacin al problema concreto a tratar y definiendo las variables utilizadas,

-- considerar si puede ser de ayuda la realizacin de un dibujo,

-- realizar todos los pasos del desarrollo matemtico (e incluirlos cuando se presenta el ejercicio para su evaluacin en las pruebas presenciales);

-- utilizar las unidades adecuadas para cada magnitud, que deben pertenecer todas del mismo sistema de unidades elegido para que la solucin sea coherente;

-- discutir la solucin obtenida, valorando si su orden de magnitud es el adecuado,

-- si no ha conseguido resolver el problema, consulte la solucin. Al hacerlo encontrar el concepto y la va de aplicacin del mismo en la que no haba pensado,

-- intente de nuevo resolver el problema.

ORIENTACIONES SOBRE EL CONTENIDO DE LOS TEMAS El contenido del BLOQUE A se dedica en gran medida a describir y analizar la disposicin geomtrica regular y peridica que adoptan los tomos en los cristales y a presentar la difraccin de rayos X como herramienta fundamental para revelar la estructura cristalina.

La periodicidad perfecta de los cristales es una simplificacin de la realidad, muy til para facilitar el estudio de muchas de las propiedades observadas en los slidos, porque facilita la obtencin de las soluciones de los diversos modelos matemticos y sus consecuencias, proporcionando resultados y explicaciones de los hechos experimentales ajustados a lo observado.

Se introducen los conceptos y las herramientas matemticas bsicas (redes, base cristalina, estructura cristalina) que permiten describir la disposicin espacial de los tomos del cristal y establecer relaciones y propiedades ligadas a la red espacial, tanto en el espacio real como en un espacio dual (el espacio recproco).

Es posible que algn estudiante encuentre dificultad para comprender las diversas disposiciones de los tomos en el espacio. La reproduccin en un papel de las figuras de las diversas redes y estructuras cristalinas del texto y la construccin de modelos --por ejemplo, con palitos y pequeas bolas de plastilinafacilita el desarrollo de la visin espacial. Para mayor abundancia, se puede visitar alguna de las direcciones web que se proporcionan en el documento Simulaciones del curso virtual.

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Como se observar a lo largo del curso, son muchos los modelos fsicos que se apoyan en la nocin de red (directa y recproca), especialmente cuando se trata de explicar propiedades relacionadas con la simetra de traslacin, como son la difraccin de la radiacin, la dinmica reticular o las propiedades del sistema de electrones de conduccin del cristal.

El bloque finaliza con una breve introduccin a la teora de la difraccin de la radiacin por los cristales como mtodo de caracterizacin de las estructuras cristalinas.

Objetivos a lograr en este bloque son la capacidad de entender y distinguir conceptos como red y base, celda unidad y primitiva, familiarizarse con los diversos sistemas cristalinos, comprender la disposicin de los tomos en las estructuras cbicas y hexagonal, adquiriendo destreza en la determinacin de los parmetros de la celda unidad, la notacin de direcciones y planos, las celdas recprocas asociadas a cada tipo de estructura.

Tambin se debe comprender el origen de los diagramas de difraccin, las condiciones necesarias para observar difraccin en los cristales, la dependencia del diagrama de difraccin de los diversos parmetros del cristal y ser capaz de obtener y elaborar la informacin que sobre la estructura del cristal y los parmetros de red ofrecen los diagramas de difraccin de cristales simples.

BLOQUE B

Los dos temas de este bloque estn dedicados al estudio del movimiento de los tomos alrededor de su posicin de equilibrio en el cristal y de dos de las propiedades directamente relacionadas con este movimiento atmico, como son la capacidad calorfica y la conductividad trmica de los slidos no conductores.

Estas propiedades ya son conocidas por el estudiante al haberse tratado en cursos anteriores desde el aspecto fenomenolgico y termodinmico. En el contexto de esta asignatura, se estudian los mecanismos microscpicos responsables de su existencia y los modelos que permiten explicar sus caractersticas.

El bloque se inicia con la Adenda 2, introduciendo las diversas aproximaciones que se realizan en el tratamiento de los slidos, con el propsito de reducir el nmero de variables y parmetros a considerar cuando se pretende establecer un modelo para el anlisis de las vibraciones atmicas. Los modelos que se consideran en el tema tercero estn desarrollados en el marco de las aproximaciones adiabtica y armnica, y en su mayor parte estn basados en procedimientos clsicos, procedimientos que, manteniendo bajo el nivel de complejidad matemtica, conducen a conceptos y consecuencias importantes que se mantienen en general, con pequeas modificaciones o interpretaciones, en los ms completos modelos cunticos.

El movimiento de vibracin atmico es el principal tipo de excitacin que se puede activar trmicamente en muchos slidos, y es un tipo de excitacin en la que todos los tomos del slido toman parte. El desplazamiento de los tomos de su posicin de equilibrio se puede tratar en trminos de ondas que se transmiten por el cristal. Cuando la longitud de onda de las vibraciones reticulares es de tamao comparable a la celda unidad del cristal, la periodicidad y la simetra de traslacin del cristal ejercen sobre ellas una gran influencia, pero si la longitud de onda de los desplazamientos es mucho mayor que el parmetro de red, el slido se comporta como un medio continuo.

El anlisis de las vibraciones en un sistema atmico peridico se inicia con un modelo sencillo, considerando las condiciones para la propagacin de las ondas en un cristal unidimensional y monoatmico, una cadena lineal de tomos, para la que se

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discuten conceptos como: interaccin entre tomos, fuerzas, desplazamientos atmicos, ecuaciones de movimiento, modos normales, relaciones de dispersin para la frecuencia, densidad de modos (estados). Como muchos slidos contienen ms de un tomo por celda primitiva, el anlisis anterior se repite para una cadena unidimensional biatmica. A los conceptos encontrados en el estudio del modelo monoatmico se le aaden otros nuevos, como la aparicin de diversos tipos de modos y la existencia de rangos de frecuencias permitidas y prohibidas. Todos los conceptos encontrados con los modelos unidimensionales se mantienen al considerar los slidos tridimensionales, siendo la diferencia ms grande la existencia de modos transversales, adems de longitudinales.

Analizada la dinmica reticular del slido desde el formalismo clsico en la aproximacin armnica, se ampla el marco de trabajo al considerar al cristal como un sistema cuntico de n cuerpos. El tratamiento cuntico, que trata a cada modo normal como un oscilador armnico independiente de frecuencia dada, conduce a la cuantizacin de la energa de los modos normales de vibracin y a la nocin de fonn (el aspecto "partcula" de las vibraciones del sistema de iones), y a considerar la trasmisin de una onda de desplazamiento en el slido como el movimiento de uno o muchos fonones. Los fonones son bosones y el nmero de fonones con una frecuencia dada depende de la temperatura del slido en equilibrio.

El conocimiento de los posibles estados de vibracin del slido, y de la densidad de modos, permite explicar algunas propiedades trmicas de los materiales, como la capacidad calorfica y la conductividad trmica, cuyo estudio se aborda en el tema cuarto. Despus de un breve repaso del modelo clsico de Dulong-Petit (conocido de cursos anteriores), se plantean dos modelos cunticos sencillos para el calor especfico: el modelo de Einstein y el de Debye, cada uno con una aproximacin diferente al comportamiento de los modos y su correspondiente relacin de dispersin, y ambos proporcionando el mismo valor de la capacidad calorfica a temperaturas elevadas, no as a temperaturas bajas.

En cuanto al tratamiento que se hace de la conductividad trmica, noten que precisa de la consideracin de la interaccin entre fonones, es decir, abandonar el marco de la aproximacin armnica en el que se haban desarrollado hasta ahora los modelos. Se establecen las leyes de conservacin de la energa y momento cristalino para las interacciones a tres fonones y se discuten los mecanismos de dispersin fonnica, mostrando que los procesos normales de colisiones a tres fonones no son el mecanismo que proporciona la resistencia al flujo de calor en el slido. El tratamiento finaliza con la discusin de los factores que afectan a las colisiones responsables del comportamiento observado de la conductividad trmica en los diversos rangos de temperatura.

Objetivos a lograr. Es importante entender las suposiciones fsicas en que se basan los diversos modelos que se han considerado en este bloque y la justificacin de las mismas. As como las consecuencias que conlleva cada aproximacin. Es necesario comprender y conocer los conceptos de las vibraciones reticulares como: modos normales, sus tipos y nmero, relaciones de dispersin para la frecuencia, densidad de modos, frecuencias permitidas y prohibidas, fonones y sus propiedades. Saber las leyes que rigen el comportamiento de las dos propiedades trmicas analizadas, las temperaturas y frecuencias caractersticas y sus expresiones matemticas y conocer los xitos y limitaciones de los modelos. Adquirir la destreza suficiente para aplicar estos conceptos a la resolucin de problemas en situaciones sencillas o similares a las tratadas en el texto

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BLOQUE C El ltimo bloque del temario est dedicado al estudio del sistema de electrones del slido y a algunos aspectos de la dinmica electrnica. Entre las propiedades de los slidos directamente ligadas al sistema de electrones se encuentra el valor del calor especfico y el de la conductividad elctrica en los metales, problemas cotidianos a lo largo de aos por su importancia tecnolgica.

El electrn fue introducido en 1897 por J.J. Thompson. Los modelos clsicos de Drude (1900) y Lorentz (1904), en los que los electrones de un metal se analizaban a semejanza de los gases ideales, no consiguieron explicar las propiedades de conduccin observadas. Tampoco la teora de Sommerfeld, en la dcada de 1920, en la que los electrones se trataban como partculas cuyas ondas asociadas eran soluciones de una ecuacin de Schrdinger y se extendan por todo el cristal, proporcion la explicacin completa a los problemas, aunque la introduccin de la estadstica de Fermi permitiese explicar la ausencia de contribucin electrnica al calor especfico de los metales, a temperatura ambiente.

Fueron los trabajos de Felix Bloch (1928), en el contexto de la aproximacin monoelectrnica, los que permitieron avanzar notablemente en el estudio del sistema de electrones del slido, asentando la base de lo que se denomina teora de bandas electrnicas de los cristales.

En el tema quinto se considera el modelo de electrones libres de Fermi, en el que los electrones de la capa ms externa e incompleta de los tomos se consideran independientes y libres de moverse por el interior del cristal, sometidos nicamente a la barrera de potencial que supone loas superficies del cristal, que impide que los electrones se escapen del slido. Los electrones, considerados como partculas cunticas, ocupan estados de energa, soluciones de una ecuacin de Schrdinger, que son funcin de un nmero cuntico discreto y llevan asociada una funcin de onda del tipo onda estacionaria. Los electrones ocupan los estados de acuerdo con la funcin de distribucin de Fermi-Dirac. En el estado fundamental, el valor mximo de la energa electrnica es la energa de Fermi. La temperatura afecta a esta distribucin. Este modelo, que es muy adecuado para los metales, permite comprender la capacidad calorfica y la conductividad elctrica y trmica de los mismos.

Aunque el modelo de electrones libres (gas de electrones) resuelve problemas importantes tiene, a su vez, un conjunto de limitaciones. Por ejemplo, no siempre permite establecer el comportamiento metlico, semiconductor o aislante de un slido y la explicacin que proporciona del efecto Hall presenta problemas.

Parte notable de las dificultades se resuelven si se considera que los electrones de valencia de los tomos no son libres, sino que se mueven en el cristal, en un espacio tambin ocupado por una disposicin peridica de iones cargados positivamente, y que este conjunto de iones afecta a sus propiedades de transporte. As, la Adenda 3 del tema sexto, comienza replanteando las hiptesis que sobre el slido como un sistema de muchas partculas se haban realizado en la Adenda 2, introduciendo nuevas aproximaciones que faciliten el tratamiento del sistema de electrones. La aproximacin del electrn independiente y la consideracin de que el electrn se ve sometido a un potencial peridico, que representa el efecto de los iones inmviles distribuidos de manera peridica en el cristal, permite establecer una ecuacin de Schrdinger para los electrones y valorar el efecto que sobre la funcin de onda electrnica y los niveles de energa de los electrones tiene este potencial.

Los electrones del cristal ya no son libres, ahora son electrones de Bloch y tanto su funcin de onda como su energa presentan propiedades muy interesantes, que se discuten en los captulos 7 y 9 del texto de Kittel. La distribucin de los niveles de energa electrnicos en determinadas regiones o bandas, con la existencia de

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bandas de energa prohibida, es decir, la estructura de bandas que muestra el slido, permite clasificar a metales, aislantes y semiconductores y tambin explicar otras propiedades de transporte, como el efecto Hall, la conduccin trmica, y las propiedades pticas de lo slidos en determinados rangos de frecuencia.

Las peculiaridades de la estructura y del tipo de enlace de cada slido se pueden reflejar en la forma del potencial peridico, lo que da lugar a una diversidad de modelos. Cada uno, a travs del potencial, refleja las caractersticas fsicas de un determinado grupo de slidos, aunque tambin sucede que, el mismo slido, en funcin de la situacin o estado en que se encuentre, muestra comportamientos distintos que, para su mejor explicacin, precisan de modelos diferentes. Se discuten tres modelos con distinto potencial peridico, todos con expresiones muy sencillas y cada uno reflejando una situacin especial, en ocasiones, lmite. Son los denominados: modelo de Kronig-Penney --que utiliza un potencial en forma de pozo cuadrado de profundidad finita--, modelo de electrones cuasilibres --con un potencial dbil que se hace sentir de manera ms intensa para estados con determinados valores de vector de onda-- y modelo del enlace fuerte, con un potencial atractivo intenso que mantiene al electrn muy prximo a su in. Cada modelo proporciona una funcin de onda electrnica peridica modulada con caractersticas diferentes (como combinacin de odas planas, en serie de Fourier, combinacin de orbitales atmicos), y niveles de energa electrnicos con valores discretos que se agrupan en determinados rangos de energa, dando lugar a bandas de energa permitidas y prohibidas tambin con caractersticas diferentes.

Establecido que los electrones del slido no son libres, sino que se ven fuertemente afectados por la periodicidad del cristal, se consideran algunos aspectos del comportamiento dinmico de estos electrones de Bloch (tema sptimo), relacionando la velocidad de los electrones con la estructura de bandas del cristal, estableciendo las ecuaciones de movimiento electrnico en un modelo semiclsico, e introduciendo el concepto de hueco (como un nuevo portador de corriente, ligado a la carencia de un electrn en una banda llena) y de masa efectiva, una masa dinmica para los portadores de corriente, que puede tener valores negativos.

Objetivos a lograr. El tratamiento simplificado, que se hace en el bloque C, del sistema de electrones y de la teora de bandas electrnicas permite, no obstante, introducir y comprender conceptos tan importantes como: la forma y caractersticas de la funcin de onda y de la energa electrnica, las relaciones de dispersin, la ocupacin de las bandas electrnicas, la existencia de bandas con niveles prohibidos de energa, las caractersticas que se infieren sobre energa y funcin de onda en funcin del tipo de potencial peridico seleccionado, las caractersticas dinmicas de los electrones, velocidad, masa efectiva, el hueco y sus propiedades. Son conceptos fundamentales que se deben conocer, conceptos sobre los que se ha forjado una gran parte de la fsica del estado slido, al permitir entender las propiedades fsicas de los materiales, y que han propiciado la tecnologa micro- y opto-electrnica actual (transistores, lseres, sensores, memorias magnticas, etc.).

Tambin es importante entender y conocer las suposiciones fsicas en que se basan los diversos modelos considerados en este bloque y la justificacin de las mismas. Esto implica seguir el desarrollo matemtico de los modelos (lo que no es equivalente a tener que aprenderlos) y entender la fsica que se refleja en las ecuaciones.

El estudiante debe memorizar algunas expresiones importantes. Entre ellas, la forma de la funcin de onda y energa electrnica del electrn libre, del electrn de Bloch, y de los modelos de electrones cuasilibres y fuertemente ligados. Tambin, la expresin del teorema de Bloch, de la masa efectiva, de la velocidad de los electrones, y similares.

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As mismo, se espera que el estudiante adquiera una cierta destreza en la aplicacin de la teora de Bloch y de los modelos de bandas a problemas y situaciones sencillas, del tipo que se reflejan en los ejercicios resueltos.

PROFESORA DE LA ASIGNATURA Dra. D. Ana Gmez Antn

Profesora Titular de Universidad

Despacho 223, 2 planta

Departamento de Fsica de los Materiales

Facultad de Ciencias. UNED

C/ Senda del Rey, 9

28040 Madrid

Horario de guardia: Martes de 15,30 h a 19,30 h.

Telfono del secretario administrativo del departamento: 91 398 7185.

En horario de maana. Pueden dejarle mensajes.

Telfono profesora (cuando funcione la lnea): 91 398 7177

TEMA 7. Dinmica de los electrones de BlochBLOQUE BBLOQUE CPROFESORA DE LA ASIGNATURA