FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

PROGRAMA DE MAT 223 – ÁLGEBRA LINEAL

PROGRAMA ANALÍTICO

DEPARTAMENTO: CIENCIAS EXACTAS

ASIGNATURA: ÁLGEBRA LINEAL SIGLA: MAT – 223 CRÉDITOS: 5 NIVEL: Básico

Horas clase Teóricas/semana: 4 Horas clases prácticas/semana: 0 Requisitos: MAT – 132 CÁLCULO I OBJETIVO DE LA ASIGNATURA: Desarrollar destrezas conceptuales y habilidades técnicas para plantear y resolver modelos lineales aplicados empleando matrices y sistemas de ecuaciones lineales. JUSTIFICACIÓN: La materia MAT 223 ÁLGEBRA LINEAL, se imparte en los Programas Académicos de las carreras de Ingeniería como también en Economía, Administración de Empresas e Ingeniería Comercial, siendo parte indispensable en la formación académica de los estudiantes de las carreras mencionadas, debido a que tiene dos funciones: en su calidad de materia básica formativa, establece los conceptos y técnicas referidos a las herramientas del álgebra de matrices y los sistemas de ecuaciones, y en su parte aplicativa proporciona las bases para el planteo y solución de modelos lineales emergentes de los problemas de asignación de recursos, flujo en redes, cadenas de Markov, modelo insumo – producto de Leontief, aproximación por mínimos cuadrados y optimización lineal por el método gráfico. Con esta base los estudiantes podrán encarar con éxito los temas de materias relacionadas en semestres superiores. COMPETENCIAS: Al aprobar la asignatura, el estudiante estará capacitado para:

1) Caracterizar espacios vectoriales. 2) Operar vectores usando el producto escalar. 3) Efectuar operaciones con matrices y determinantes. 4) Establecer el tipo de solución de un sistema de ecuaciones lineales. 5) Aplicar diversas técnicas para resolver un sistema lineal. 6) Plantear y resolver problemas referidos a la asignación de recursos. 7) Plantear y resolver problemas sobre flujo en redes. 8) Establecer probabilidades futuras empleando cadenas de Markov. 9) Aplicar el modelo de Leontief a problemas simplificados. 10) Determinar funciones de aproximación por mínimos cuadrados. 11) Establecer el programa óptimo asociado a una función objetivo con una

serie de restricciones. 12) Caracterizar y operar con transformaciones lineales. 13) Calcular los autovalores y autovectores de un operador lineal.

CONTENIDO ANALÍTICO: Capítulo 1. Espacios Vectoriales y Producto Interi or Introducción a las Estructuras Algebraicas - Espacios vectoriales – Subespacios - Combinaciones lineales - Dependencia lineal - Generadores, bases y dimensión - Vector de coordenadas - Producto interior - Producto punto en Rn – Ortogonalidad – Longitud - Ángulo entre vectores. Capítulo 2. Matrices y Determinantes Matrices y operaciones con matrices - Transpuesta de una matriz – Propiedades - Operaciones elementales en las filas de una matriz - Matrices elementales - Escalonamiento de matrices - Rango de una matriz - Matriz inversa y sus propiedades - Cálculo de la inversa por Gauss - La función determinante - Cálculo de determinantes por propiedades - Desarrollo por cofactores - Cálculo de la inversa por la adjunta. Capítulo 3. Sistemas de Ecuaciones Lineales Introducción - Solución de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas - Sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas - Representación matricial en la forma AX = B - Matriz aumentada - Teorema de Rouché - Métodos de Gauss y Gauss Jordan - Espacio solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales - Sistemas cuadrados: Solución por la inversa. Solución por Cramer. Capítulo 4. Aplicaciones de los Sistemas Lineales Modelos lineales - Asignación de recursos - Flujo en Redes - Cadenas de Markov - Matriz de transición - Estado estacionario - Matriz insumo– producto de Leontief - Aproximación por mínimos cuadrados. Capítulo 5. Programación Lineal Sistemas de inecuaciones lineales - Conjunto solución - El modelo de programación lineal - Función objetivo - Restricciones estructurales y de no negatividad - Método gráfico - Problema de máximos - Problema de mínimos - Método del punto esquina - Soluciones óptimas alternativas.

Capítulo 6. Transformaciones Lineales y Diagonaliz ación Transformaciones lineales - Operadores lineales - Forma matricial - Núcleo e imagen - Teorema de la dimensión - Transformaciones lineales que mapean vectores de una base de un espacio vectorial en vectores previamente determinados de otro espacio - Autovalores y autovectores de un operador lineal - Forma diagonal de una matriz - Teorema de Cayley Hamilton - Inversa por Cayley.

TÉCNICAS DE ENSEÑANZA

ELEMENTOS DE EVALUACIÓN

CANTIDAD PONDERA-CIÓN %

Exposición oral X Exámenes parciales escritos X 2 40

Exposición audiovisual X Exámenes finales

escritos X 1 50

Ejercicios en clases X Prácticas fuera de clases X 5

Ejercicios fuera de clases X Participación en

clases X 5

Seminarios Elaboración de proyectos

Lecturas obligatorias X Exámenes parciales orales

Trabajos de investigación Exámenes finales

orales

Prácticas de taller o laboratorio X Informes de

laboratorio

Prácticas de campo Prácticas en clases Otras: Plataforma virtual X Asistencia

BIBLIOGRAFÍA: a) Texto Base:

• Bernard Kolman. Álgebra Lineal con Aplicaciones y MATLAB (6ª. Ed.) Editorial Pearson, México D. F. Código Biblioteca: 512.5/K81 6ta Ed

b) Textos De Consulta:

• Poole, David (2007). Álgebra Lineal , una Introducción Moderna (2da. Ed.). Código Biblioteca: 512.5 / P822

• Grossman, Stanley (2008). Álgebra Lineal (6ª. Ed.). Código Biblioteca: 512.5 G877

• Budnick, Frank S. (1990). Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales (3a. Ed.). Código Biblioteca: 510 B9m

• Anton, Howard (1999). Introducción al Álgebra Lineal (2ª Ed.). Editorial Limusa, Tijuana. Código Biblioteca: 512.5 A6

CALENDARIO SEMANAL DE AVANCE DE MATERIA Y FECHAS DE EXÁMENES

MAT 223 – ALGEBRA LINEAL SEMESTRE 2-2015

SEMANA FECHAS DEL AL

AVANCE MATERIA

ACTIVIDADES

1 03 ago 08 ago Cap. 1 Feriado: jueves 6

2 10 ago 15 ago Cap. 1

3 17 ago 22 ago Cap. 1

4 24 ago 29 ago Cap. 2

5 31 ago 05 sept Cap. 2

6 07 sept 12 sept Cap. 2 7 14 sept 19 sept Sábado 19 septiembre

Primer Parcial – Cap. 1 y 2 8 22 sept 26 sept Cap. 3

9 28 sept 03 oct Cap. 3 Semana Santa: jueves 2, viernes 3, sábado 4

10 05 oct 10 oct Cap. 3 11 12 oct 17 oct Cap. 4

12 19 oct 24 oct Cap. 4 13 26 oct 31 oct Cap. 4 Feriado: viernes 01

14 03 nov 07 nov Feriado: lunes 02 Sábado 07 noviembre Segundo Parcial – Cap. 3 y 4

15 09 nov 14 nov Cap. 5

16 16 nov 21 nov Cap. 5 17 23 nov 28 nov Cap. 6 Lunes 2 3 nov – Recuperatorio 18 30 nov 05 dic Cap. 6

07 dic

Lunes 07 diciembre Examen Final Primer Turno Cap. 5 y 6

18 ene

Lunes 18 enero 2016 Examen Final Segundo Turno

SISTEMA DE EVALUACIÓN En la materia MAT 223 ÁLGEBRA LINEAL la evaluación continua determina la habilitación del estudiante al examen final. La nota del primer parcial (100 puntos) se divide de la siguiente forma: El examen escrito de la primera parte tiene un valor de 80 puntos. Las prácticas de la primera parte tienen un valor de 20 puntos, e incluyen: prácticas en aula, prácticas a domicilio, otros trabajos y participación del estudiante. La nota del primer parcial es la suma del examen escrito y la nota de prácticas de la primera parte. La nota del segundo parcial tiene similar estructura. El promedio de la nota del primer parcial y la nota del segundo parcial es igual a la nota de evaluación continua. En la semana siguiente al examen escrito, el docente anuncia a cada estudiante la nota obtenida. El docente tiene la obligación de mostrar el examen al estudiante para que lo revise y otorgue su conformidad con la calificación. En caso de disconformidad puede efectuar el reclamo respectivo en forma personal. Si la nota de evaluación continua es mayor ó igual a 60 puntos, el estudiante se habilita para el examen final. Si la nota de evaluación continua es menor a 60 puntos, el estudiante puede optar al examen recuperatorio, ya sea de la primera parte ó de la segunda parte. El examen recuperatorio se dará del examen escrito que tenga la menor nota, tomando en cuenta el primer examen escrito y el segundo examen escrito. La nota del examen recuperatorio reemplaza la nota del examen respectivo, ya sea si fuera mayor ó menor. La nota de prácticas de cada una de las partes, se mantiene. Luego del examen recuperatorio, si la nueva nota de evaluación continua es mayor ó igual a 60 puntos, el estudiante habilita para el examen final. Si fuera menor a 60, el estudiante queda en la condición de no habilitado y no puede rendir el examen final. Los estudiantes que no habilitan, no se encuentran en condición de reprobados en la materia, pero deben volver a inscribirse en la misma en un semestre subsiguiente o en los cursos de verano o invierno en los que se imparta la materia. El examen final se rinde sobre 100 puntos. La nota final es igual al promedio de la nota de habilitación y la nota del examen final. La nota final mínima para aprobar la materia es de 51 puntos. Si luego del examen final el estudiante obtiene una nota final de 50 puntos o menos, o bien no se presentó al examen final, puede optar a dar el segundo turno del examen final, cuya nota reemplaza la nota del primer parcial. Si luego del segundo turno el estudiante obtiene una nota final mayor o igual a 51 puntos, aprueba la materia. Caso contrario, reprueba la misma. Es obligación del estudiante informarse sobre fecha, hora y aula de sus exámenes escritos. Debe presentarse al examen con un documento de identificación vigente y con fotografía, que puede ser: Cédula de identidad, carnet de estudiante de la UCB, licencia de conducir, libreta de servicio militar ó pasaporte. Si no presenta documento de identificación, no puede dar el examen. Se encuentra completamente prohibido introducir, portar ó manipular celulares u otros aparatos de comunicación durante el examen. En caso de infracción, el examen será anulado por el docente encargado del aula y el estudiante perderá la materia y será motivo de informe al Sr. Decano de la Facultad. Cualquier otra acción fraudulenta se sancionará con la anulación del examen. En caso de sospecha de fraude, el docente podrá pedir la defensa de las preguntas del examen.

Guía de Estudios MAT 223 – ÁLGEBRA LINEAL Semestre 2 2015 LIBRO TEXTO (en Biblioteca Central)

• ÁLGEBRA LINEAL con aplicaciones y MATLAB – 6ª. Ed. – Bernard Kolman – Ed. Pearson; Signatura topográfica: 512.5 K81 6a. Ed.

CAPÍTULO 1: Espacios Vectoriales y Producto Interior Sección Páginas Tema

4.1 197 a 202 Espacios vectoriales

4.2 204 a 209 Subespacios

4.3 213 a 222 Independencia lineal

4.4 224 a 234 Bases y dimensión

3.1 123 a 139 Vectores en el plano

3.2 141 a 153 n – vectores

CAPÍTULO 2: Matrices y Determinantes Sección Páginas Tema

1.2 11 a 16 Matrices

1.3 18 a 24 Multiplicación de matrices

1.4 35 a 42 Propiedades de las operaciones con matrices

1.5 47 a 53 Operaciones elementales y forma escalonada

1.6 69 a 77 La inversa de una matriz

2.1 91 a 100 La función determinante: definición y propiedades

2.2 103 a 111 Desarrollo por cofactores y aplicaciones

CAPÍTULO 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales Sección Páginas Tema

1.1 3 a 9 Sistemas lineales

1.5 53 a 60 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

1.6 77 a 80 Solución por la inversa

2.2 112 a 114 Regla de Cramer

CAPÍTULO 4: Aplicaciones Sección Páginas Tema

8.2 434 a 437 Circuitos eléctricos (exclusivo Ingeniería)

8.3 439 a 447 Cadenas de Markov (todas las carreras)

8.4 450 a 458 Mínimos cuadrados (todas las carreras)

8.5 461 a 468 Modelos económicos lineales (exclusivo Eco, Adm, Ico, Cpa)

CAPÍTULO 5: Programación Lineal Sección Páginas Tema

7.1 371 a 386 Programación lineal: Método gráfico

CAPÍTULO 6: Transformaciones Lineales y Diagonalización Sección Páginas Tema

6.1 327 a 331 Transformaciones lineales: Definición y ejemplos

6.2 334 a 343 El núcleo y la imagen de una transformación lineal

6.3 345 a 354 La matriz de una transformación lineal

5.1 291 a 305 Valores y vectores propios. Diagonalización

Prácticas Preparatorias MAT 223 – ÁLGEBRA LINEAL Semestre 2 2015 PRÁCTICAS DEL LIBRO TEXTO (en Biblioteca Central):

• ÁLGEBRA LINEAL con aplicaciones y MATLAB – 6ª. Ed. – Bernard Kolman – Ed. Pearson; Signatura topográfica: 512.5 K81 6a. Ed.

PRÁCTICA PARA EL PRIMER PARCIAL CAPÍTULOS 1 y 2 DEL PROGRAMA OFICIAL Fecha del Primer Parcial: sábado 19 de septiembre hs. 12.30 CAPÍTULO 1 ESPACIOS VECTORIALES Y PRODUCTO INTERIOR

Sección 4.1 Pág. 202.- Ejercicios: 1, 5, 8, 11, 15 Sección 4.2 Pág. 210.- Ejercicios: 1, 5, 13, 22, 23 Sección 4.3 Pág. 222.- Ejercicios: 1, 2, 10, 12, 15 Sección 4.4 Pág. 234.- Ejercicios: 1, 4, 17, 21, 28 Sección 3.2 Pág. 155.- Ejercicios: 17, 18, 19, 20, 23 Sección 3.2 Pág. 155.- Ejercicios: 24, 25, 26, 27, 31

CAPÍTULO 2 MATRICES Y DETERMINANTES

Sección 1.2 Pág. 16.- Ejercicios: 3, 5, 7, 8, T.3 Sección 1.3 Pág. 30.- Ejercicios: 5, 6, 9, 27, 30 Sección 1.4 Pág. 44.- Ejercicios: 3, 5, 9, 13, 16 Sección 1.6 Pág. 83.- Ejercicios: 1, 5, 7, 13, 16 Sección 2.1 Pág. 100.- Ejercicios: 5, 9, 11, 13, 15 Sección 2.2 Pág. 115.- Ejercicios: 3, 5, 7, 9, 11

PRÁCTICA ADICIONAL PARA EL PRIMER PARCIAL CAPÍTULO 1: ESPACIOS VECTORIALES Y PRODUCTO INTERIO R 1. En el espacio R3 se da el conjunto: W = {(r, s, t): r + 2t = 0}. Demuestre que W es subespacio

de R3. Encuentre una base para W y su dimensión. (Referencias: Ejemplos 2 y 3, páginas 204 y 205; Ejercicio 17 de la sección 4.4, página 235). Respuesta.- La dimensión de W es 2. Una base puede ser: B = {(2, 0, –1), (0, 1, 0)}.

2. En el espacio P2, escriba p(x) = 2 + x –x2 como combinación lineal de los vectores de la base B = {1 + x + x2, 1 + x, 1}. A continuación escriba el vector de coordenadas de p(x) con respecto a B. (Referencias: Ejemplo 10, página 207; Ejemplo 1, página 256)

3. En el espacio vectorial P1, se desea determinar si los siguientes polinomios son linealmente dependientes ó independientes: 4,23,1 321 +−=+=+= xpxpxp . Si los polinomios dados fueran dependientes, señale una solución no trivial concreta. (Referencia: Ejemplo 11, página 219)

4. En el espacio R3 determine el subespacio W generado por S = { (1, 1, 0), (0, 1, 1) }. Luego diga si los vectores u, v, w pertenecen a W: u = (2, 3, – 2); v = ( 0, 0, 0) ; w = (–1, 2, 3). (Indicación.- Exprese un vector genérico del espacio como combinación lineal de los vectores de S. Elimine los escalares para encontrar la condición que deben cumplir las componentes de los vectores de W: es la ecuación de un plano en R3) Respuesta: La ec. del plano es: x – y + z = 0.

5. Demuestre que los conjuntos S = {(1, 1, 2), (–2, 1, 1)} y T = {(3, 0, 1), (–1, 2, 3)} generan el mismo subespacio de R3. Encuentre la expresión del subespacio. Respuesta: W = { (x, y, z) ∈ R3 : x + 5y – 3z = 0 }

6. Encuentre el ángulo que forman los vectores u = ( 1, 0, –1 ) y v = ( 0, 1, –1) en R3 con respecto al producto punto. (Referencias: Fórmula de la página 151; Ejercicio 20 página 155) Respuesta.-

3

πα =

7. Encuentre los vectores de R2 que sean unitarios y ortogonales al vector z = (–1, 1) usando para ello el producto punto. (Referencias: página 137 – vectores ortogonales; página 138 – vector unitario. Indicación.- Suponga que el vector a determinar es u = (a, b). Establezca la condición de ortogonalidad entre u y z. Luego establezca la condición de las componentes de u sabiendo que u es unitario).

8. Sea V espacio vectorial y sea v un vector no nulo de este espacio. Sea W el conjunto de todos los vectores ortogonales a v con respecto al producto punto. Demuestre que W es un subespacio de V. Para el caso particular V = R3 , v = (1, 1, 2), encuentre la expresión de W, una base para W y su dimensión.

9. En el espacio R5 con el producto punto, se conoce que dos vectores no nulos u y v tienen la

propiedad siguiente: vuvu −=+ . Determine el valor del producto punto de u con v.

(Referencia: página 149). Respuesta.- Los vectores son ortogonales. 10. Sean u, v dos vectores del espacio vectorial Rn con el producto punto, de forma que se cumple:

10vuy3v,2u =+== . Calcule vu − . Resp.- 4

CAPÍTULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES

1. Dadas las matrices

−=

1

1

q

pA y

−−

=12

11B , determine los valores de p y q para

que se verifique la igualdad: (A + B)2 = A2 + B2. (Referencia: página 37. Indicación: Use el Teorema 1.2 para desarrollar el lado izquierdo. Vea también el Ejercicio 6. a) de la página 89). Resp: p = 1, q = 4.

2. Dadas las matrices

=

−=

−−=

−=

y

xX,

7

8B,

11

31

21

C,213

312A , halle X que

satisfaga la igualdad ACX = B. Respuesta.- x= y = 1. 3. Sea A una matriz cuadrada nxn cuyo determinante vale D. Si k es un escalar no nulo, calcule

det ( kA), en función de k , n y D. (Referencias: Teorema 2.5 página 96; ejemplo 13, página 97). Respuesta.- kn det(A).

4. Calcule por cualquier método los siguientes determinantes.

a) 23

12 b)

106

213

412

− c)

1113

2152

1413

2124

−−

−

(Referencias: Ejemplo 5, página 93; Ejemplo 6, página 94; Ejemplo 2, página 105). Respuesta.- a) 1; b) 31 ; c) 300.

5. Halle los valores de x que anulan el determinante

22

22

22

x

x

x

. (Una respuesta: x=2).

6. Calcule det(A) si A es una matriz 4x4 que tiene ceros en su diagonal principal, siendo cada uno de sus elementos restantes iguales al escalar 2. Respuesta.- –48

7. Verifique que es cero el valor del determinante de la matriz 4x4 que tiene el número 3 en cada posición de su diagonal principal, siendo –1 todos los elementos restantes.

8. Halle 1−A , si existe, por dos métodos: Gauss y la adjunta. Verifique en cada caso:

.; 11 IAAIAA == −− (Referencias: Ejemplo 5, página 75. Ejemplo 5, página 108).

a) A=

−

−

213

120

963

; b) A=

−−

350

261

431

Resp. a)

−−

−

6216

3333

2435

87

1 b)

−−−

−

355

233

182928

.

PRÁCTICA PARA EL SEGUNDO PARCIAL CAPÍTULOS 3 y 4 DEL PROGRAMA OFICIAL Fecha del Segundo Parcial: sábado 7 noviembre hs. 12.30 CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sección 1.1 Pág. 9.- Ejercicios: 1, 3, 5, 11, 15 Sección 1.5 Pág. 65.- Ejercicios: 1, 3, 7, 8, 9 Sección 1.5 Pág. 65.- Ejercicios: 10, 11, 17, 20, 21 Sección 1.6 Pág. 83.- Ejercicios: 11, 12, 21, 25, 26 EXAMEN Pág. 89.- Ejercicios: 1 al 5 Sección 2.2 Pág. 115.- Ejercicios: 18, 19, 20, 21, 22

CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES

Sección 1.1 Pág. 9.- Ejercicios: 21, 22, 23, 24 Sección 1.5 Pág. 65.- Ejercicios: 31, 32 Sección 8.2 Pág. 438.- Ejercicios 1, 2, 3, 7, 8 (Sólo para Ingeniería) Sección 8.3 Pág. 447.- Ejercicios: 3, 7, 9, 10, 11 Sección 8.4 Pág. 459.- Ejercicios: 1, 3, 5, 9, 11 Sección 8.5 Pág. 468.- Ejercicios: 5, 6, 7, 11, 12 (Sólo Eco – Adm – Ico – Cpa) Nota.- Los ejercicios de las secciones 1.1, 1.5, 8.3, 8.4 son comunes para todas las carreras.

PRÁCTICA ADICIONAL PARA EL SEGUNDO PARCIAL 1. Resuelva los siguientes sistemas homogéneos. En su caso, escriba la expresión del espacio

solución, proporcione una base y la dimensión del espacio solución. (Referencia del libro: Pag. 59; Pag. 116 Ejercicios 18 y 19; Pag. 237)

a) 2x + y = 0 b) x + 2y = 0 3x + 3y = 0 2x + 4y = 0 c) 2x + y – 2z = 0 d) 6x + 4y + 2z = 0 3x + 3y + 2z = 0 5x + 3y + 3z = 0 5x + 4y + 3z = 0 x + y – z = 0 e) a + b + c + d + e = 0 f) a + b + c + d = 0; b + d = 0

2. Exprese el sistema

=+=+=+

3

0

1

zy

zx

yx

en la forma AX = B.

a) Encuentre la inversa de A por Gauss (Referencia Pag. 69). b) Encuentre la inversa de A por la adjunta (Referencia Pag. 110). c) Calcule el producto A–1 B y escriba la solución del sistema (Referencia Pag. 77). d) Resuelva el sistema escalonando la matriz aumentada (Referencia Pag. 25; Pag. 54). e) Finalmente resuelva el sistema usando la Regla de Cramer (Referencia Pag. 112).

3. Determine todos los valores de “k” de manera que el sistema tenga una solución, tenga infinitas soluciones o no tenga solución:

(1 – k)x + y – z = 0

2x – ky – 2z = 0 x – y + (1 – k)z = 0

(Referencia: Teorema 1.13 de la página 80, recordando que una matriz cuadrada A es no singular si su determinante es diferente de cero)

4. Para el sistema planteado, determine los valores de β para los cuales el sistema es determinado, indeterminado, consistente e inconsistente.

+β=+β+=+β

11

12

y)(x

yx

(Sugerencia: Escriba el sistema en su forma AX=B. Calcule los valores de β para los cuales la matriz A es singular. Escalone la matriz aumentada para cada valor de β. Referencia: Ejercicios 11 a 14 de la página 66).

5. Resuelva AX =2X si A =

311

242

335

. (Ayuda: Resulta un sistema homogéneo indeterminado)

6. Una compañía elabora tres productos que han de ser procesados en tres departamentos. En la siguiente tabla se resumen las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento. Además las capacidades semanales se expresan para cada departamento en términos de las horas de trabajo disponibles. Se desea determinar si hay combinaciones de los tres grupos que aprovechen al máximo las capacidades semanales de los tres departamentos. Para lograr este objetivo formule y resuelva un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. (Referencia: Pag. 10. Primero defina las incógnitas. Luego plantee un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, una ecuación por Departamento. Resuelva por Gauss, por la adjunta o por Cramer una vez que haya verificado que tiene una única solución)

Depto

Producto

1 2 3

Horas disponibles a la semana

A 2 3.5 3 1 200 B 3 2.5 2 1 150 C 4 3 2 1 400

(Resp.- 200, 100, 150) 7. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en

Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada país o muestre que los registros deben estar incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una con otra. (Sugerencia: Primero defina las incógnitas. Por ejemplo, sea x el número de días que pasó el viajero en Inglaterra, etc. Luego escriba el sistema de ecuaciones lineales. Resuelva por alguno de los métodos aprendidos en el curso).

8. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las

siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad?

9. Usando operaciones con matrices bajo el modelo de mínimos cuadrados, halle la ecuación de la recta bmxy += que mejor se ajusta a los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 2). (Referencia para los Ejercicios 9 a 11: Pag. 450 a Pag. 454)

10. Se requiere hallar la recta de ajuste a los puntos (4, 1), (2, 2) y (1, 4), (3, 2).

11. Encuentre los coeficientes de los modelos bmxy += , cbxaxy ++= 2 para el mismo conjunto de puntos: (0, 1), (2, 5) y (3, 9), (4, 15). ¿Cuál de los modelos es más adecuado?

12. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones, A, B y C. Los camiones están equipados para el transporte de 2 clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es:

CAMIONES

TIPO A TIPO B TIPO C

MAQUINAS CLASE 1 2 1 1

CLASE 2 0 1 2

La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que, cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma, ¿cuál es la solución más económica?

13. El clima en Los Yungas paceños se comporta según una cadena de Markov con 2 estados: lluvioso y no lluvioso. Si hoy es un día lluvioso, la probabilidad de que mañana sea un día lluvioso es de 0.6; si hoy no llueve, la probabilidad de que mañana sea un día sin lluvia es de 0.8.

a) Escriba la matriz de transición b) Si ayer viernes llovió en Los Yungas, realice operaciones matriciales para calcular la

probabilidad de que mañana domingo no llueva. c) Transcurridos varios días, calcule cómo se distribuyen en porcentaje los días lluviosos y

no lluviosos (estado estacionario) (Referencia para este ejercicio: Pag. 439 a Pag. 446)

14. En el cuadro se especifican los niveles de insumo y producto en unidades para dos industrias P y

Q. Complete los datos que faltan, plantee el modelo de Leontief y encuentre los niveles de producción para una nueva demanda final dada por: 80 para P; 40 para Q. (Referencia para este ejercicio: Pag. 465 a 467)

15. Usted tiene en el bolsillo 20 monedas de los cortes: Bs.1, Bs.2, Bs.5. El valor total de las monedas es de Bs.45. La cantidad de monedas de Bs.1 es el doble de la cantidad de monedas de Bs.2. Plantee un sistema de ecuaciones lineales y use operaciones matriciales para resolverlo y determinar la cantidad de monedas de cada corte.

16. Un inversionista planea invertir en tres tipos de acciones denominadas A, B. C. Se sabe que el

rendimiento de las acciones B es la mitad del rendimiento de las acciones A y que el rendimiento de las acciones C es igual al rendimiento de las acciones B más el 20% del rendimiento de las acciones A. De la semana anterior a la semana actual, los tres rendimientos han caído 10%. Si esta semana el rendimiento combinado es del 3,56%, calcule los rendimientos de cada tipo de acciones la semana anterior.

Insumos de P

Insumos de Q

Demanda Final

Producción Total

Producción de P 120 20 60

Producción de Q 40 40 100

Insumos Primarios

Insumos Totales

17. Tres hermanas salen de compras a tres tiendas de una misma cadena. La mayor compra 3 jeans, una blusa y 2 pares de tenis por un total de $260. La segunda compra 1 jean, 2 blusas y 3 pares de tenis por un total de $230. La menor compra 2 jeans, 1 blusa y 1 par de tenis por un total de $170. Defina las incógnitas, plantee un sistema de ecuaciones lineales y resuelva el sistema por métodos matriciales a fin de saber el precio de cada jean, de cada blusa y de cada par de tenis.

18. Tres variables económicas son tales que la suma de dos cualesquiera de ellas es igual al doble de la variable restante. Plantee el sistema de ecuaciones y empleando métodos matriciales indique si el sistema es inconsistente, determinado ó indeterminado. En caso de llegar a uno de los dos últimos casos, escriba la solución del sistema. (Resp.- Sistema indeterminado)

19. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de

mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres,

mujeres y niños hay? (Resp.- a) No b) 12 hombres, 6 mujeres, 4 niños)

20. En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores:

vainilla, chocolate y coco. El presupuesto destinado para esta compra es de Bs.540.- Los precios de cada helado son: vainilla Bs.4, chocolate Bs.5, coco Bs.6. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de coco sumados, se han de comprar el 20% más que de helados de vainilla. Plantee un sistema de ecuaciones y resuélvalo por cualquier método.

21. Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer

lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos se debe utilizar de cada uno de los tres lingotes? (Resp.- 25 g del primer lingote, 50 g del segundo y 25 g del tercero).

22. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman actualmente 120 años, pero hace 5 años

la edad del padre era igual al triple de la edad del hijo. ¿En cuántos años la décima parte de la edad del padre será igual a la cuarta parte de la edad del hijo? (Resp.- En 2 años)

23. En un examen de 100 preguntas Ana ha dejado sin contestar 9 y ha obtenido 574 puntos. Si por

cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se restan 2 puntos, ¿cuántas ha contestado bien y cuántas mal?

24. En un curso hay 70 estudiantes matriculados. En el último examen de Matemática han aprobado

39 estudiantes, el 70% mujeres y el 50% varones. ¿Cuántas mujeres y cuántos varones hay en el curso?

25. Al dividir la cifra de las decenas entre la de las unidades de un número de dos cifras, obtenemos

de cociente 2 y resto 1. Si cambiamos de orden las dos cifras, obtenemos un número que doblado sobrepasa en una unidad al número dado. Halla dicho número.

26. Un depósito tiene dos grifos de llenado y un desagüe. Uno de los grifos lo llena en 3 h, el otro en

4, y si se dejan abiertos los grifos y el desagüe se llena al cabo de 2,5 h. ¿Cuánto tarda en vaciarlo el desagüe?

PRÁCTICA PARA EL EXAMEN FINAL CAPÍTULOS 5 y 6 DEL PROGRAMA OFICIAL Fecha del Examen Final Primer Turno: lunes 7 diciembre Fecha del Segundo Turno: lunes 18 enero 2016 CAPÍTULO 5 PROGRAMACIÓN LINEAL

Sección 7.1 Pág. 387.- Ejercicios: 10, 11, 13, 14, 15 Sección 7.1 Pág. 387.- Ejercicios: 16, 17, 18, 19, 20 Sección 7.1 Pág. 387.- Ejercicios: 21, 22, 23, 27, 29 EJ. COMPL. Pág. 415.- Ejercicios: 1, 2, 3 = método gráfico EXAMEN Pág. 416.- Ejercicios: 1, 3 = método gráfico

CAPÍTULO 6 TRANSFORMACIONES LINEALES Y DIAGONALIZACIÓN

Sección 6.1 Pág. 332.- Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 19 Sección 6.2 Pág. 343.- Ejercicios: 1, 2, 4, 9, 11 Sección 6.3 Pág. 358.- Ejercicios: 1, 2, 3, 5, 7 Sección 6.3 Pág. 358.- Ejercicios: 8, 9, 13, 15, 17 Sección 5.1 Pág. 310.- Ejercicios: 4, 5, 8, 9, 10 Sección 5.1 Pág. 310.- Ejercicios: 17, 18, 22, 23, 25

PRÁCTICA ADICIONAL PARA EL EXAMEN FINAL 1. Una empresa consultora debe realizar una serie de proyectos de los tipos A y B, cuyo coste de

desarrollo unitario es el mismo. Las necesidades de analistas, programadores y terminales para cada tipo de proyecto se indican en la tabla siguiente.

TIPO Nº de programadores Nº de analistas Nº de terminales

A 2 2 3 B 3 6 1

Estos proyectos pueden realizarse bien total o parcialmente y el deseo de la empresa es minimizar el coste de desarrollo de los proyectos que se vayan a ejecutar. Los condicionantes para el desarrollo de estos proyectos son: al menos 10 programadores y 5 analistas deben estar ocupados en ellos y se cuanta únicamente con 6 terminales.

2. Una compañía produce dos tipos de ratones para ordenador: láser e inerciales. Un ratón láser

necesita 2 horas para su fabricación y 1 hora para su control de calidad, mientras que un ratón inercial requiere 1 hora para su fabricación y 3 horas para su control de calidad. Se dispone de

200 horas de fabricación disponibles durante la semana y 300 horas para el control de calidad. Los costes de fabricación son de 30 $ y 20 $ respectivamente para cada ratón. La compañía pretende optimizar el proceso productivo con el fin de maximizar sus beneficios.

3. Una empresa, que fabrica los productos X e Y, desea determinar el programa óptimo de

producción. El margen de contribución por unidad de X es $200 y por unidad de Y es de $100. Se cuenta con un número limitado de horas-hombre y horas-máquina para el proceso productivo. El total de horas-hombre no debe sobrepasar 3000 a la semana. Cada unidad de X insume 2 horas-hombre; cada unidad de Y insume 6 horas-hombre. El total de horas-máquina debe ser a lo más 1500 por semana. Indistintamente, cada unidad de X ó de Y emplea 2 horas-máquina. Para resolver este problema, defina las variables, escriba la función objetivo y las restricciones. Emplee el método gráfico para hallar la región de programas factibles y encuentre el programa óptimo.

4. Los propietarios de una joyería de descuento desean determinar la mejor combinación de los

clientes que deben atender cada día. Hay dos tipos de clientes para su tienda: venta al por menor y venta al por mayor. El costo de atender a un cliente al por menor es de $ 70 y el costo de atender a un cliente al por mayor es $ 89. El beneficio medio de uno u otro tipo de cliente es el mismo. Para satisfacer las expectativas de la oficina central, deben atender por lo menos 8 clientes minoristas y 12 clientes mayoristas cada día. Además, con el fin de cubrir sus salarios, deben atender al menos 30 clientes cada día. Para resolver este problema, defina las variables, escriba la función objetivo y las restricciones. Emplee el método gráfico para hallar la región de programas factibles y encuentre el programa óptimo.

5. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los

refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcule cuántos paquetes de cada tipo deben venderse para maximizar los beneficios (Respuesta: 20 paquetes de A y 30 de B)

6. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8

hectáreas con olivos de tipo A, ni más de 10 hectáreas con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua al año y cada una de tipo B requiere 3 m3 de agua al año. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B requiere una inversión de 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B produce, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite, calcule la cantidad de hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite. Calcule la producción máxima. (Respuesta: 6 hectáreas de olivo A y 6.67 hectáreas del tipo B)

7. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan beneficios por 40 y 20

euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería éste? (Solución: el máximo se alcanza en el punto (9, 4).

8. Una compañía destiladora tiene dos grados de ron en bruto (sin mezclar), A y B, de los cuales

produce dos marcas diferentes. La marca Pirata contiene un 50% de cada uno de los grados A y B, mientras que la marca Bucanero consta de dos terceras parte del grado A y una tercera

parte del grado B. La compañía dispone de 3000 galones de grado A y 2000 galones del grado B para mezcla. Cada galón de la marca Pirata produce una utilidad de $5, mientras que cada galón de la marca Bucanero produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?

9. Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres

máquinas, como se indica a continuación:

PRODUCTO

HRS MÁQ 1

HRS MÁQ 2

HRS MÁQ 3

UTILIDAD POR KILO

A 2 4 3 $250

B 5 1 2 $300

Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total.

10. En el ejercicio anterior, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compañía a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total.

11. Sea T : R3 → R2 la transformación lineal dada por: T

z

y

x

=

+++yx

zyx.

a) Escriba la matriz estándar de la transformación

b) Diga si el vector u =

−1

1

1

está en el núcleo de T (compruebe)

c) Diga si el vector w =

1

2está en la imagen de T. Halle v tal que T(v)=w

d) Halle una base para el núcleo de T e) Halle una base para la imagen de T f) Verifique el Teorema de la Dimensión

12. Sea F : R3 → R3 transformación lineal tal que F(X) = AX, con A =

101

110

211, X =

c

b

a.

Compruebe que los vectores del núcleo de F forman una recta que pasa por el origen, hallando las ecuaciones de esta recta en el espacio tridimensional. Compruebe que los vectores de la imagen de F forman un plano que pasa por el origen, hallando su ecuación. Verifique finalmente el Teorema de la dimensión.

13. Dada la transformación G(u) = Au, siendo A =

−−

33

24 , resuelva la ecuación G(u) = 3u siendo

u =

y

x (es decir, calcule x e y)

14. Sea f transformación tal que f(u) = v con u =

b

a, v =

++

ba

ba

2=

d

c. Encuentre la matriz A

tal que f(u)= Au. Luego encuentre la matriz B tal que g(v) = Bv = u.

15. Halle los autovalores y autovalores de la matriz A =

−−033

123

134.

16. Sea T : R3 → R3 el operador dado por : T

z

y

x

=

+−−

z

yx

yx

5

32

23

. Halle una base para R3 con

respecto a la cual la matriz de T es diagonal.

17. Encuentre (si es posible) una matriz P que diagonalice a

=324

202

423

A . (Respuesta.- Las

raíces (autovalores) son: λ1 = –1, λ2 = 8. La matriz que diagonaliza a A es

−−=

210

102

211

P .

Compruebe: P–1A P = D.

18. Encuentre la matriz P que diagonaliza a

−−

−=

112

123

411

A . Resp.-

−−

−=

111

214

111

P

19. Demuestre que

=

40

04A es diagonalizable pero que

=

40

14B no es diagonalizable.

20. Demuestre que

−−−

−−−=

732

1898

955

A tiene un solo autovector.

21. Demuestre que

−−

−−−=

720

1850

931

A tiene solo dos vectores propios linealmente

independientes y que por lo tanto no es diagonalizable.