UNIDAD 1.Aritmtica1.1 Nmeros Reales

Naturales: Son los que se utilizan para contar. ( 1,2, 3, 4, 5,, 19, 20, 21,( Primos: Son los nmeros que solo son divisibles entre simismos y la unidad.Ejem: ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,( Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen ms divisoresEjem: ( 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,( Enteros: Son los nmeros positivos, negativos y el cero.Ejem: ( 1,-2, 0, 4, -5, etc,( Racionales Fraccionarios: Son los nmeros compuestos por un numerador y un divisor. Propios: Nmeros cuyo denominador es mayor que el numerador de una fraccin.

Ejem: Impropios: Nmeros cuyo denominador es menor que el numerador de una fraccin.

Ejem: Mixtos: Nmeros compuestos de nmeros enteros y propios.

Ejem:

Irracionales: Son los nmeros que en su forma decimal son una serie infinita de dgitos.

Ejem: Propiedades de los nmeros realesPropiedad Suma ProductoCerraduraConmutativaAsociativa

Distributiva

Neutro

Inverso

Recta NumricaTodos los nmeros reales se pueden representar en la recta numrica.

Ejem: Representar en recta numrica:

1.2 DivisibilidadLos principales criterios de divisibilidad son: Divisibles entre 2: Todos los nmeros pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,.. Divisibles entre 3: Suma de sus dgitos son: 3, 6 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3

Divisibles entre 5: Todos los nmeros terminados en 5 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc.

Mnimo comn mltiplo (m.c.m.).- Es el nmero menor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.

Mximo comn divisor (M.C.D.).- Es el nmero mayor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que no tengan un divisor primo comn y semultiplican los primos obtenidos.

1.3. Operaciones con nmeros racionales:Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los nmeros obtenidos se suman o restan,dependiendo del caso.

Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.

Multiplicacin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando elnumerador por numerador y denominador por denominador.

Divisin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.

Potencia y RazPotencia: Es el nmero de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, segn su exponente.

Raz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el ndice, se obtiene el valor que esta dentro del radical.

Ejem:

Ejem: 1.4 Razones y Proporciones

Razn: Es el cociente de dos nmeros, es decir una fraccin,donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razn se representa como sigue:

Ejem: Proporcin: Es la igualdad de dos razones. La razn se representa como sigue:

Ejem: donde los nmeros 7 y 6 son extremos y los nmeros 3 y 14 son medios.1.5 Regla de TresRegla de tres directa Proporcin directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporcin, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra tambin aumenta o disminuye en la misma proporcin.Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 das trabajados. Cuanto ganar por 30 das?

Regla de tres inversa Proporcin inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parmetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de produccin con respecto al tiempo.Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 das. Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 das?

1.6 Tanto por CientoDefinicin: Es una fraccin cuyo denominador es 100, es decir la centsima parte de algo. Se expresa con el smbolo

%. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fraccin o por un decimal equivalente.

Ejem: 18% 0.18

33.5% 0.335 Clculo del porcentaje:Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 16551450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65Tambin se puede obtener un nmero en especfico con reglade tres directa.Ejem: Hallar el nmero del cual 400 es el 8%

Ejem: Hallar el nmero del cual 4590 es el 60%

Tambin se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:.Ejem: Un vendedor recibe de comisin el 12% por venta realizada. Si vende mercanca por un total de $44000. Cuanto recibir de comisin?$44000(0.12) = $5280Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. En cuanto debe venderse?

UNIDAD 2.lgebra2.1 Propiedades y Definiciones

Trmino Algebraico.- Es la expresin algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base literal y exponente.

Trmino Semejante.- Es la expresin algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.

Ejem: es semejante a

Ejem: es semejante a Clasificacin de Trminos Algebraicos.- Se clasifican segn su nmero de trminos, de la siguiente manera:

Monomio = un solo trmino Ejem:

Binomio = dos trminos Ejem:

Trinomio = tres trminos Ejem:

Polinomio = 2 ms trminos Ejem: 2.2 Leyes de los signosSuma y Resta:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Multiplicacin y Divisin:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem: 2.3 Signos de AgrupacinDefinicin.- Son los signos que nos sirven para agrupar trminos u operaciones entre ellos, los principales son:

Parntesis Corchete LlaveCuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el trmino signo que le antecede. Si en una expresin matemtica existen varios signos de agrupacin, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.

Ejem: Ejem:

Ejem:

2.4 Evaluacin de expresiones algebraicas

El valor numrico de una expresin algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor especfico.

Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresin:

sustituyendo:

Ejem: Si & de la expresin:

sustituyendo:

2.5 Lenguaje algebraicoDefinicin.- Es la forma de expresin comn o coloquial que se expresa de forma algebraica.Ejem:

Un nmero cualquiera xUn nmero cualquiera

aumentado en dosLa diferencia de dos nmeros

cualquieraEl triple de un nmero

disminuido en cuatro

La cuarta parte de un nmero

Las tres cuartas partes de lasuma de dos nmeros

La suma de tres nmerosnaturales consecutivo

Las dos quintas partes de unnmero disminuido en cuatro es

igual a 24La suma de tres nmeros pares

consecutivos, es igual alcudruple del menor ms la

mitad del mayor

2.6 Leyes de los Exponentes

Multiplicacin: Sumar los exponentes

Ejem: Ejem:

Divisin: Restar los exponentes

Ejem: Ejem:

Potencia : Multiplicar los exponentes

Ejem: Ejem:

Inverso: Cambiar signo de exponente

Ejem: Ejem:

Unitario: Siempre es igual a uno

Ejem: Ejem:

2.7 Operaciones algebraicas

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restar trminos semejantes.Ejem: Sumar &

Ejem: Restar de

Multiplicacin.- La operacin algebraica de multiplicar, bsicamente puede efectuarse, como sigue:Monomio por monomio

Ejem:

Monomio por polinomio

Ejem:

Ejem:

Polinomio por polinomio

Ejem:

Divisin.- La operacin algebraica de dividir, bsicamente puede efectuarse, como sigue:Monomio entre monomio

Ejem: Ejem:

Polinomio entre monomio

Ejem:

Polinomio entre polinomio

Ejem:

T

T

2.8 RadicalesPropiedades de los radicales:

ndice = potencia:

Ejem: Ejem:

ndice ? potencia:

Ejem: Ejem:

Multiplicacin con mismo ndice:

Ejem: Ejem:

Ejem: Multiplicacin con diferente

ndice:

Ejem:

Ejem:

Raz de una raz:

Ejem: Ejem:

Divisin con ndices iguales:

Ejem: Ejem:

Divisin con ndices diferentes:

Ejem:

Ejem: Operaciones con radicales:Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restar radicales semejantes, esdecir, con el mismo ndice y la misma base, segn la siguiente regla:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Racionalizacin.- Es el convertir una fraccin con denominador en forma de radical, en otra fraccin equivalente, donde su denominador sea un nmero entero.De un denominador monomio:

Forma: se multiplica por y se simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:

De un denominador binomio:

Forma: se multiplica por el conjugado del

denominador y se simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:

Nmeros Imaginarios.- Es el expresado como " i ", significa la raz cuadrada de "-1", es

decir:

Entonces tambin:

Ejem:

Ejem:

Ejem: Operaciones con nmeros imaginariosSuma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen aplicando:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

2.9 Productos NotablesDefinicin.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con trmino comn Binomio al cuboBinomio al cuadradoRegla:

Ejem: Ejem:

Binomios conjugadosRegla:

Ejem: Ejem: Binomios con trmino comn

Regla:

Ejem:

Ejem:

Binomio al cubo

Regla:

Ejem:

Ejem:

2.10 FactorizacinDefinicin.- Es la forma ms simple de presentar una suma oresta de trminos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Factor comn Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma

Trinomio de la forma Factor comnRegla: Paso 1: Obtener el mximo comn divisor ( MCD )Paso 2: Menor exponente de las literales comunesPaso 3: Dividir cada trmino entre el factor comn obtenido

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla:

Ejem: Ejem:

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Simplificacin de fracciones algebraicas.- Es la aplicacin de los conocimientos de productos notables y factorizacin, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mnima expresin.Suma y resta con denominadores diferentes

Ejem: Ejem

:

Divisin

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Multiplicacin

Ejem: Ejem:

Reactivos Unidad 2:

UNIDAD 3.Ecuaciones3.1 Ecuaciones de primer grado con una incgnitaDefinicin.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incgnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por loque se deben tener las siguientes consideraciones:

3.2 Desigualdades de primer grado con una incgnitaDefinicin.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solucin, se aplican bsicamente las mismas reglas que para una ecuacin, adems de las siguientes consideraciones:Regla: Cada vez que un trmino se multiplique divida entre un nmero negativo, cambia el sentido de la desigualdadSignos de Desigualdad y Grfica

3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incgnitas)Definicin.- Es el llamado "Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incgnitas", en que el objetivo es encontrar los valores de stas 2 variables. Existen varios mtodos para su solucin, entre los cuales estn los llamados "Reduccin" (Suma y Resta) y "Determinantes" (Regla de Kramer), que se explican a continuacin:

Mtodo de Reduccin (Suma y Resta)Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una las 2 ecuaciones por un factor factores que hagan que la suma de una de las variables sea "cero" y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.

Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)

Problemas de AplicacinDentro del proceso de resolucin de problemas, se pueden diferenciar seis etapas: 1. Leer el problema 2. Definir las incgnitas principales de forma precisa 3. Traduccin matemtica del problema 4. Resolucin del problema matemtico 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuacin de esas solucionesEjem: En un zoolgico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoolgico contiene 60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y cuntos tigres viven en l?

3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incgnitas)Definicin.- Es el llamado "Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incgnitas", en que el objetivo es encontrar los valores de stas 3 variables. Los mtodos para su solucin, son: "Reduccin" (Suma y Resta) y "Determinantes" (Regla de Kramer):Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)

Realizar los pasos siguientes: 1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres nmeros por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los nmeros que estn en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.

3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incgnitaClasificacin

Mtodos de solucinCompletas: forma ax2 + bx + c = 0Es cuando, la ecuacin est compuesta por un trinomio, donde existen los valores de "a, b y c" , y para encontrar sus dos races soluciones, se utilizan los mtodos siguientes:

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y b, pero no de c", y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de factorizacin por trmino comn y se despeja, como sigue:

Incompletas puras: forma ax2 + c = 0Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y c, pero no de b", y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de despeje, como sigue:

Reactivos Unidad 3:

Cul es el valor de "x" que satisface la ecuacin ?

a) b) c) d) e)

Cul es el valor de "x" que satisface la ecuacin ?

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin , se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin , se obtiene:

a) b) c) d) e) Al resolver la ecuacin , se obtiene:

a) b) c) d) e) El valor de "x" que cumple con la igualdad es:

a) b) c) d) e)

El valor de "x" que cumple con la igualdad es:

a) b) c) d) e) Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

De la ecuacin el valor de "x" que satisface es:

a) b) c) d) e)

De la ecuacin el valor de "x" que satisface es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la siguiente ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e) :La suma de dos nmeros naturales enteros consecutivos es 183, hallar los nmeros:a) b) c) d) e) El menor de dos nmeros impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los nmerosa) b) c) d) e) El triple de la suma de un nmero con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo nmero aumentado en 46.

a) b) c)

d) e) Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89 La suma de dos nmeros es 450 y su cociente 8. Hallar los nmeros.a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30 Si a un nmero aado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. Cul es el nmero?a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58 La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo,Si ste tiene 30 aos Cul es la edad de Roberto?a) 14 aos b) 18 aos c) 13 aos d) 10 aos e) 12 aos

La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Cules son los nmeros?a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54 Encontrar los tres nmeros consecutivos cuya suma sea 186.a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62 La suma de las edades de Sonia y Too es 84 aos y Too tiene 8 aos menos que Sonia. Hallar ambas edades.a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41 Un cateto de un tringulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos

a) b) c) d) e) Cules son las races de ?

a) b) c) d) e) Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e) Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

Cul de los siguientes valores cumple con:

a) b) c) d) e) Cul de los siguientes afirmaciones es verdadera, si a) b) c) d) e) El conjunto solucin de es:a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de la desigualdad es:

a) b) c) d) e) El conjunto solucin de la desigualdad es:

a) b) c) d) e) El conjunto solucin de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El intervalo que satisface a es:

a) b) c) d) e) La expresin que representa "a lo ms tengo 250" es:

a) b) c) d) e) La expresin que representa "por lo menos tengo 500" es:a) b) c) d) e) El conjunto solucin de es:

a) b) c) d) e)

Los valores de las incgnitas del sistema son:

a) b) c) d) e) o Los valores de las incgnitas del sistema son:

a) b) c) d) e)

o El valor de "x" del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e) o El valor de "y" del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e) o Si x = 2 y y = 3 . La solucin del sistema de ecuaciones simultneas es:

a) b) c)

d) e) o Un perro y su collar han costado $54, y el perro cost 8 veces lo que el collar. Cunto cost el perro y cuntoel collar?a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50y collar $4d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7o La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 aos. Hallar ambas edades.a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21

o El valor de "x" , por medio de determinantes es:

a) b) c)

d) e)

o El valor de "y" , por medio de determinantes es:

a) b) c)

UNIDAD 4.lgebra de funcionesValor de una funcinSe obtiene, al sustituir el valor de "x" en la funcin f(x):Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-4) y f(3)

Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-2) y f(4)

4.1 Dominio y RangoDominio, es el conjunto de todos los valores de "x" admisiblespara una funcin.Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de "y" al sustituir cada una de los elementos del dominio en la funcin.

Ejem: El dominio de la funcin

racional

entonces, sus races son:

Ejem: El dominio de la funcin racional

entonces, sus races son:

Ejem: Para que valor de "x" la funcin seindetermina:

entonces, para: la funcin se indeterminaFuncin cuadrticaEs de la forma y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba cuando "a" es positiva y es hacia abajo cuando "a" es negativa.

El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto: Los puntos donde la grfica interseca al eje "x", son la solucin de la ecuacin. Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vrtice, se puede obtener el dominio y el rango de la funcin.

Ejem: Sea la funcin obtener su dominio y rango.

El vrtice es: entonces, y la curva es cncava hacia arriba

ahora, las races de: sus races son:

entonces: Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.

4.2 Funciones y relacionesDefinicinSe le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos.Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada "x", corresponda un solo elemento de "y".

Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de interseccin. Es decir, si slo toca un

punto, se refiere a una funcin; si toca ms de un punto se refiere a una relacin.

Clasificacin de Funciones

4.3 Funcin Logartmica y exponencial:Es de la

forma ,

donde: Forma logartmica: corresponde

a: Forma exponencial:

Ejem: Al convertir en forma exponencial,

obtenemos:

Ejem: Al convertir en forma exponencial,

obtenemos:

Ejem: Al convertir en forma exponencial,

obtenemos:

entonces:

Ejem: Al convertir en forma

exponencial, obtenemos: Reactivos Unidad 4:

UNIDAD 5.Geometra euclidiana5.1 ngulosClasificacin BsicaSe le llama ngulo complementario, son los ngulo cuya suma es igual a 90o .

Ejem: El complemento de 70o es 20o ,

porque

Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque Se le llama ngulo suplementario, los ngulo cuya suma es igual a 180o .

Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque

Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque 5.2 Conversin de grados a radianes y viceversa

Reactivos Unidad 5:

UNIDAD 6.Trigonometra6.1 Teorema de Pitgoras

Definicin.- Aplicado para todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).

6.2 Funciones TrigonomtricasDefinicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulo rectngulo y son:

o Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, Cunto mide el otro lado?a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2o Segn la figura, la razncorresponde a la funcin:

o Segn la figura, la razn : corresponde a la funcin:

Respuestas a Reactivos de Matemticas

UNIDAD 7. Recta

7.1 Distancia entre dos puntos.Dado los puntos A(x1, y1) y B (x2, y2)La distancia se determina por la siguiente frmula

Ejemplo.1. Cul es la distancia entre los puntos M (3,-1) y N (7, 2)?

a) 5 b) - 5 c)

d)

Ejercicio 1:1. Cul es la distancia entre los puntos M (2, 3) y N (5, 7)?

a) 5 b) - 5 c) 7 d) - 72. En cul de las opciones se muestra la distancia entre los puntos A (-5, 1) y B (5,11)?

a) b) c)

d) 3. La distancia entre los puntos P (- 3, 0) Y Q (4, - 3) es:

a) 40 b) c)

10 d) 4. La distancia entre P (- 5,1) y Q (3,7) es:a) 100 b) 10

c) d) 5. Cul es la distancia entre el punto (5,7) y el punto (3,1)?

a) b) c)

d) 7.2 Punto medio.El punto medio de dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) esta determinado por la frmula.

Ejemplo. Cules son las coordenadas del punto medio, entre los puntos P (3, -1) y Q (7, 2)

Ejercicio 2:

1. Las coordenadas del punto medio del segmento A (- 3,2) y B (5, 2) son:a) (- , 0) b) (1,2) c) (0, - ) d) (2, - ) e) (- , - )2. Encuentre el punto medio del segmento AB, si A y B tienen por coordenadas (- 6, 0) y (8, 6) respectivamente:a) (- 10,0) b) (1,3) c) (- 6, 0) d) (- 10,3) e) (0, 10)3. Uno de los extremos de un segmento de recta es (-2, -3) y su punto medio es (2,0), las coordenadas del otro extremo son:a) (2, 3) b) (3, - 2) c) (4, 4) d) (5, 4) e) (6, 3)

4. Si Pm (-1,3) es el punto medio del segmento AB y B tiene por coordenadas B(8,6) entonces las coordenadas de A son:a) (- 10, 0) b) (- 10, 3) c) (- 3, - 10) d) (0, 10) e) (10, 3)5. Cul es el punto medio del segmento cuyos extremos sonlos puntos P1 (- b, - a) y P2(a, b)?

a) b) c) (0, 0)

d) 7.3

Pendiente de una recta.La pendiente es la inclinacin que tiene una recta, es el cociente de la altura y la base. Podemos calcularla a partir de dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente queda determinada como:

Ejemplo.1. Cul es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, -1) y B (7, 2)

Nota: Te sugerimos realizar los siguientes ejercicios como medida de refuerzo para aprenderte las frmulas. Te recomendamos verificar leyes de los signos, ya que es el error comn en ste tipo de ejercicios.Encuentre la distancia, la pendiente y el punto medio entre lospuntos dados:1) P (-5, 1) y Q (3, 7) 2) R (5, 7) y S (3, 1) 3) A (2, - 4) y B (- 4, 4)4) C (-1, - 4) y D (3, 6) 5) G (0, 0) y H (- 6, -7) 6) T (- 2, 5) y S (6, 4)7.4 Ecuacin de la recta.La recta esta determinada por una ecuacin de primer grado; es decir, el exponente de las variables es 1. Su forma general es:

Ax + By + C = 0Cuenta con 2 elementos principales, la pendiente (m) y su ordenada al origen (b).

Pendiente Ordenada al origen

Y con stos datos obtenemos la forma Simplificada:De la ecuacin simplificada, consideramos y = 0, obtenemos un valor que llamaremos a (abscisa). Obteniendo la ecuacin Simtrica:

Ejercicio 3:1. La pendiente de la recta 2x + 4y - 5 = 0 es:a) - 1/2 b) c) - 4/5 d) 2 e) - 22. La pendiente de la recta 6x -2y +1 = 0 es:a) - 1/2 b) c) - 4/5 d) - 3 e) 33. La pendiente de la recta 6x - 3y + 1 = 0a) - 1/2 b) c) - 2 d) 2 e) 34. La pendiente y ordenada al origen de la recta 4(x - 1) + 2y = 0 son:a) m = - 2, b = - 2 b) m = - 2, b = 2 c) m = 2, b = 2 d) m = 3, b = 2 e) m = 4, b = - 1Ahora analizaremos algunos casos especiales para encontrarla ecuacin de una recta:Caso I. Si nos dan dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2); primerocalculamos la pendiente y posteriormente utilizamos la ecuacin:

... Ecuacin Punto pendienteEjemplo.Encuentre la ecuacin de la recta formada por los puntos A (3, - 1) y B (7, 2)Primero calcularemos la pendiente.

Posteriormente utilizaremos la ecuacin punto pendiente, sustituyendo cualquiera de los dos puntos dados y la

pendiente encontrada. Tomaremos A (3, - 1) y pendiente y - (-1) = 3/4 (x - 3)4 (y + 1) = 3 (x - 3) 4y + 4 = 3x - 9- 3x + 4y + 4 + 9 = 0- 3x + 4y + 13 = 0 3x - 4y - 13 = 0 solucin.Ejercicio 4:1. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos P(5, 0) Y Q (0, - 3) es:a) 3x - 5y + 15 = 0 b) 3x - 5y - 15 = 0 c) 3x - 5y + 1 = 0d) 5x - 3y -1 = 0 e) 5x + 3y - 1 = 02. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos C (-5, 0) y B (0, 6) es:a) 6x + 5y + 30 = 0 b) 6x - 5y - 30 = 0 c) 5x + 6y + 30 = 0d) 5x - 6y + 30 = 0 e) 6x - 5y + 30 = 03. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-2, - ) y (-1/5 , 3)?a) -35x - 18y + 61 = 0 b) 35x - 18y + 61= 0 c) - 35x + 18y + 61 = 0 d) 35x + 18y + 61 = 04. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos P1(- 2, - 1)y P2 ( , 6) es:a) 14y - 5x + 4 = 0 b) 14y - 5x - 4 = 0 c) 5y - 14x - 23 = 0 d) 5y + 14x + 23 = 0Caso 2. Si nos dan un punto y la pendiente, se sustituyen los datos en la ecuacin punto pendiente.Encuentre la ecuacin de la recta formada por el punto A ( 2, -3) y la pendiente m = - 2.

y - (-3) = -2 (x - 2) y + 3 = -2x + 4 2x + y + 3 - 4 = 0 2x + y -1 = 0 solucin.Ejercicio 5:1. Cul es la ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/5 y pasa por el punto (- 6, - 8 )?a) 5y + 3x + 58 = 0 b) 5y - 3x + 22 = 0 c) 5y - 3x + 58 = 0 d)5y + 3x - 22 = 02. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto P( 1/3, - 4) y cuya pendiente es - 2?a) 3x + 6y - 25 = 0 b) 3x + 6y + 23 = 0 c) 6x + 3y - 14 = 0 d) 6x + 3y + 10 = 03. Cul es la ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/2 y que interseca al eje y en (0, - 5)?a) 3x + 2y - 10 = 0 b) 3x + 2y + 10 = 0 c) 6x + 2y - 5 = 0 d) 6x + 2y + 5 = 04. Ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/8 y que interseca al eje y en (0, - 1)?a) 3x + 8y - 1 = 0 b) 3x + 8y + 8 = 0 c) 8x + 3y + 8= 0 d) 8x + 8y + 3 = 07.5 Paralelismo y perpendicularidad.Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas.- Paralelas si m1 = m2 (Si las pendientes son iguales)- Perpendiculares si: m1m2 = - 1 (Si son de signo contrario y recprocas)Caso 3. Encontrar la ecuacin de una recta dado un punto y la ecuacin de una recta paralela a ella.Como las rectas son paralelas, entonces las pendientes son iguales, por lo que si tomamos el punto dado y la pendiente de la recta dada, tendremos nuestro problema resuelto.Ejemplo:

La ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es paralela a la recta 5x + 12y - 30 = 0 es:Como son paralelas, las pendientes son iguales, entonces m = - 5 / 12Tomando el punto (5, - 2) y la pendiente m = - 5 / 12; la sustituimos en la ecuacin punto pendiente y - y1 = m (x - x1) y - (-2) = -5 / 12 (x - 5) 12 (y + 2) = -5 (x - 5) 12y + 24 = - 5x + 25 5x + 12y + 24 -25 = 0 5x + 12y -1 = 0 solucin.Ejercicio 6:1. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto (-1, 6) y es paralela a la recta x - 5y + 6 = 0?a) x - 5y + 31 = 0 b) x - y + 11 = 0 c) 5x + y + 11 = 0 d) 5x - y + 11 = 02. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es paralela a la recta y = -1/2x+ 15/2, es:a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y + 15 = 0 e) 2x - 4= 03. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es paralela a la recta y = 2x +5 es:a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y +20 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x + 2y=0 e) x - y =04. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y esparalela a la recta y = - x +5 es:a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x + y - 10 =0 d) x - y +10 = 0 e) x + y + 10 = 0Caso 4. Encontrar la ecuacin de una recta dado un punto y la ecuacin de una recta perpendicular a ella.Como las rectas son perpendiculares, entonces las pendientes son inversas y de signo contrario, por lo que si

tomamos el punto dado y la pendiente perpendicular de la recta dada, tendremos nuestro problema resuelto.Ejemplo:La ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es perpendicular a la recta 5x + 12y - 30 = 0 es:Como son perpendiculares, las pendientes son recprocas y de signo contrario, entonces m1 = -5 / 12 y su perpendicular m2 =12 / 5Tomando el punto (5, -2) y la pendiente m = 12 / 5; la sustituimos en la ecuacin punto pendiente y - y1 = m (x - x1 ) y - (-2) = 12 / 5 (x - 5)5 (y + 2) = 12 (x - 5) 5y + 10 = 12x - 60 12x - 5y - 60 - 10 = 0 12x - 5y - 70 = 0 solucin.Ejercicio 7:1. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 1,6) y es perpendicular a la recta x - 5y + 6 = 0?a) x + 5y + 11 = 0 b) x + y + 11 = 0 c) 5x + y - 1 = 0 d) 5x - y + 11 = 02. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es perpendicular a la recta y= - 1/2x + 15/2, es:a) 2x + y - 5=0 b) 2x - y + 5=0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y + 15=0 e) 2x - 4 = 03. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es perpendicular a la recta y = 2x + 5 es:a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 = 0 d) x + 2y = 0 e) x - y = 04. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y esperpendicular a la recta y = - x + 5 es:a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x +y -10 = 0 d) x -y +10 = 0 e) 5x+ 5y = 0

UNIDAD 8. Circunferencia

8.1 Forma cannica.(x - h)2 + (y - k)2 = r2 Ecuacin Ordinaria o cannicaA partir de la ecuacin ordinaria, podemos determinar su centro C (h, k) y el radio r, pero si desarrollamos los binomios al cuadrado e igualamos a cero obtenemos la forma general.Ejemplo.Encontrar el centro y el radio de la circunferencia determinada por la ecuacin (x - 3)2 + (y + 7)2 = 36El centro es (3, - 7) y su radio 6. (nota: los valores de la ecuacin cambian de signo al incorporarlos al centro) Para encontrar la ecuacin general desarrollamos el binomio al cuadrado.

Ejemplo.

Dada la ecuacin ordinaria, determine la ecuacin general de la circunferencia (x - 3)2 + (y + 1)2 = 25Desarrollando los cuadrados

x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0 x2 + y2 - 6x + 2y - 15 = 0 solucin.8.2 Forma general.x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuacin generalElementos:

Centro

Radio Caso I. Dada la ecuacin general, encontrar los elementos, elcentro y el radio.Ejemplo.El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 2x - 14y + 5 = 0 son:

Centro C y su radio

Ejercicio 8:1. Coordenadas del centro de la circunferencia: x2 + y2 + 4x -6y + 12 = 0a) (- 2, - 3 ) b) ( 2, - 3 ) c) (- 2, 3 ) d) ( 2, 3 )2. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 8x+ 14y + 31 = 0 son:

a) C(7, - 4) r = 5 b) C(- 7,4) r = 3 c) C(4, - 2) r = 3

d) C(- 4, 2) r = e) C(4, -7), r =3. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 +2x +2y - 11 = 0 son:

a) C(1, 1) r = 13 b) C(1, -1) r = 11 c) C (1, 1) r =

d) C(-1, -1) r = e) C(-1, 1) r = 4. Dada la ecuacin de la circunferencia x2 + y2 +4x + 6y + 9 = 0, su centro y radio son:a) C(- 2, - 3), r = 2 b) C(- 2, 3), r = 4 c) C(2, -3), r = 2 d) C(4, 6) r = 3 e) C(4, 6), r = 9Caso II. Dados los elementos, centro y radio, encontrar la ecuacin ordinaria o general.Solo sustituimos el centro y el radio en la ecuacin ordinaria yen el caso de que soliciten la general, desarrollamos los cuadrados igualamos a cero y simplificamos.Ejemplo.Cul es la ecuacin ordinaria de la ecuacin cuyo centro esta en (-3, 4) y radio 8?

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 64 Nota: los valores del centro alingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 - 64 = 0 x2 + y2 - 6x - 8y - 39 = 0 solucin.Ejercicio 9:1. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 4, 6) y radio 6?a) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 36 b) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 6c) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 36 d) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 62. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 1, 1/5) y radio 9?a) (x - 1)2 + (y + 1/5)2 = 3 b) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 3c) (x - 1)2 + (y + 1/5 )2 = 81 d) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 81

3. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 3, - 4) y radio 3?a) x2 - 8x + y2 + 6y = - 16 b) x2 + 8x + y 2 - 6y = -16c) x 2+ 6x + y2 + 8y = -16 d) x 2 - 6x + y2 + 8y = -164. x2 + y2 - 8x +6y + 9 =0 es la ecuacin de una circunferencia en la forma general, su ecuacin en forma cannica es:a) (x - 4)2 + (y - 3)2 =9 b) (x + 4)2 + (y - 3)2 = 9 c) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 9 d) (x +4)2 + (y - 3)2 =16 e) (x - 4)2 + (y + 3)2= 16Caso III. Dado el centro y un punto de la circunferencia.Primero debemos calcular el radio, ste se calcula utilizando la distancia entre dos puntos, posteriormente sustituimos el centro y el radio en la ecuacin ordinaria, si solicitan la ecuacin general, desarrollamos los binomios.Encuentre la ecuacin ordinaria de la circunferencia, si tiene como centro el punto (3, - 1) y pasa por el punto (7, 2)Primero calculamos la distancia entre los puntos

Posteriormente tomamos el centro de la circunferencia (3, - 1)y el radio 5 y lo sustituimos en la ecuacin ordinaria.

(x - 3)2 + (y + 1)2 = 25Desarrollando los cuadradosx2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0 x2 + y2 - 6x + 2y -15 = 0 solucin.Ejercicio 10:1. La ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto P(6,0), con centro en C(2, - 3) es:a) x2 + y2 + 4x - 6y + 2 = 0 b) x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 c) x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0

d) x2 + y2 - 6x + 4y = 0 e) x2 + y2 - 6x -12 = 0Caso IV. Dado dos puntos que conforman el dimetro.Al calcular el punto medio de los dos puntos del dimetro, obtenemos el centro; luego calculamos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos para obtener el radio.Ejemplo:Encuentre la ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro estadeterminada por el segmento que une los puntos A (- 4, -10) y B (6, 14)Primero calcularemos el punto medio para encontrar el

centro Ahora calcularemos la distancia del centro a cualquiera de losdos puntos dados.

Con el centro C (1,2) y el radio 13, los sustituimos en la ecuacin ordinaria.

(x - 1)2 + (y - 2)2 = 169 Nota: los valores del centro alingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 - 169 = 0 x2 + y2 - 2x - 4y -159 = 0 solucin.2. La ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro es el segmento que une los puntos A(3, - 2) y B(5, 4) es:a) x2 + y2 - 2x - 8y = 0 b) x2 + y2 -2x - 8y +1= 0 c) x2 + y2 - 8x - 2y + 9 = 0d) x2 + y2 - 8x - 2y + 7 = 0 e) x2 + y2 + 8x - 2y = 0Parbola9.1 Horizontal y vertical con vrtice en el origen.

Vertical Horizontalx2 + Ey = 0 Ecuacin General de la Parbola y2 + Dx = 0x2 = 4py Ecuacin Ordinaria y2 = 4pxVrtice: V(0, 0) Vrtice: V(0, 0)Foco: F(0, p) Foco: F(p, 0)Directriz: y = - p Directriz: x = - pLado recto: LR = 4p Lado recto: LR = 4pEjemplo:Encuentre las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin es x2 -12y = 0

Primero despejamos x2 de la ecuacin, obtenindose: x2 = 12 yComparando con la ecuacin de la parbola de la forma: x2 = 4py concluimos que es vertical cncava a la derechaY si la coordenada del foco se define como: F ( 0, p ) e igualando 4p = 12 , al despejar se obtiene p = 3Concluimos que la coordenada del foco es F( 0, 3 )Ejercicio 11:1. Las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin es x2 = - 16y son:a) ( 0 , 4 ) b) ( 4 , 0 ) c) (- 4 ,0 ) d) ( 0 , - 4 )2. Cul es el foco para la parbola 12x = - 3y2?a) F( 0, 1) b) F(1 , 0) c) F(0, -1) d) F(- 1, 0)3. Cules son las coordenadas del foco de la parbola -y2 = - 7/2 x?a) F (- 7/8 , 0) b) F(0, - 7/8) c) F ( 7/8 , 0 ) d) F( 0, 7/8)4. Cul es la ecuacin de la directriz de la parbola y2 = - 8/ 3 x?a) x = - 2/3 b) x = 2/3 c) x = - 32/3 d) x = 32/35. La ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y foco F (7, 0) es:a) - y2 = 7x b) y2 = 14x c) y2 = -21x d) y2 = 28x e) y2 = - 28x6. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en el origen, foco en ( , 0) y directriz x = - ?a) x2 = - 3y b) y2 = - 3x c) x2 = 3y d) y2 = 3x

7. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y cuyo foco es el punto F(0, 1/8 )?a) x2 = -1/8 y b) y2 = -1/2 x c) x2 = 1/2 y d) y2 = 1/8 x8. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en (0, 0), foco en x, y pasa por (4, 6)?a) x2 = 9y b) y2 = 9x c) x2= - 9y d) y2 = - 9x9.2 Horizontal y vertical con vrtice fuera del origen.

Vertical HorizontalAx2 +Dx + Ey + F = 0 Ecuacin General Cy2 +Dx +Ey + F = 0(x - h)2 = 4p (y - k) Ecuacin Ordinaria (y - k)2 = 4p (x - h)Vrtice: V(h, k) Directriz: y = k - p Vrtice: V(h, k) Directriz: x = h - p

Foco: F(h, k+ p) Lado recto: LR = 4p Foco: F(h + p, k) Lado recto: LR = 4p Para transformar la ecuacin general a ecuacin ordinaria, sedebe completar a un trinomio cuadrado perfecto y factorizar. En el caso inverso, slo se desarrolla el cuadrado, el producto, se factoriza y se iguala a cero.Ejemplos:1. Encontrar el vrtice de la ecuacin de la parbola x2 - 6x - 12y - 51 = 0El primer paso consiste en dejar nicamente a la incgnita que este elevada al cuadrado x2 - 6x = 12y + 51Posteriormente completar cuadrados: x2 - 6x + 9 = 12y + 51 +9Factorizar: (x - 3)2 = 12y + 60Factorizar: (x - 3)2 = 12(y + 5)Obtener el vrtice V (3, - 5)Ejercicio 12:1. La parbola cuya ecuacin es y2 + 4y - 4 x + 16 = 0, tiene por vrtice el punto:a) (3, 2) b) (2, 3) c) (3,- 2) d) (- 2, 3)2. Cules son las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin es y2 - 6y + 8x = 7?a) (0, 3) b) (5, 2) c) (3,0) d) (3, 4)3. Cul es el foco de la parbola cuya ecuacin es: 5y2 + 30y + x + 50 = 0?a) F (- 29/5, - 3) b) F (- 101/20, -3 ) c) F (-9/5, - 5) d) F (- 61/20, - 5)4. Encuentre la longitud del lado recto de la parbola: x2 - 4y + 8 = 0

a) 8 b) 16 c) 2 d) 45. Cul es la longitud del lado recto de la parbola cuya ecuacin es y2 + 6y + 6x + 39 = 0a) 2 b) 3 c) 5 d) 66. Cul es la ecuacin de la directriz de la parbola: x2 - 3x + 3y - 15/4 = 0?a) y = - 5 b) y = - 11/4 c) y = 5/4 d) y = 17. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F( - 6, 4) y la directriz la recta x = 2 es:a) y2 + 16x - 8y + 48 =0 b) x2 + 2x - 8y - 7 = 0 c) y2 - 8x - 2y + 7 = 0d) y2 + 8x - 2y - 41 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 08. La ecuacin de la parbola con foco F (0, 3) y directriz y + 3 = 0, es:a) y2 + 12x - 2y - 3 = 0 b) x2 - 12x - 4y = 0 c) x2 + 12x - 6y +1 = 0 d) x2 - 12y = 0 e) y2 - 12x = 09. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F(5, - 2) yla directriz la recta x = - 3 es:a) x2 + 4x - 8y + 7 =0 b) x2 - 4x - 8y - 7 = 0 c) y2 + 16x - 4y - 20 = 0d) y2 -16x + 4y + 20 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 010. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F(- 2, - 2) y la directriz la recta y = 2 es:a) y2 + 8x + 4y + 4 =0 b) y2 - 8x - 4y - 4 = 0 c) x2 - 4x - 8y - 4 = 0 d) x2 + 4x + 8y + 4 =0 e) y2 + 8x = 011. Cul es la ecuacin de la parbola cuyo foco est en (1, 8) y la ecuacin de su directriz es y = - 4?

a) (x - 1)2 = 24 (y - 2) b) (y - 1)2 = 24 (x - 2) c) (x - 2)2 = -24 (y - 1) d) (y - 2)2 = - 24 (x - 1)12. Cul es la ecuacin de la parbola con V(4, 2); L.R = 6. Eje horizontal.a) (y + 2)2 = +6(x + 4) b) (y - 2)2 = +6(x - 4) c) (x - 2)2 = +6(y - 4) d) (x + 2)2 = +6(y + 4)13. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en (3, - 1)y ecuacin de la directriz x = - ?a) y2 - 6y + 2x + 11 = 0 b) 2x2 - 12x + y + 19 = 0 c) y2 + 2y - 14x + 43 = 0 d) 2x2 + 12x - 7y + 25 = 014. La ecuacin de la parbola con vrtice en (3, 2) y directrizx - 5 = 0 es:a) y2 + 8x - 4y - 20 = 0 b) y2 + 4y +20 = 0 c)y2 + x - 2y - 10 = 0 d) y2 - 4x + 8y - 10 = 0 e y2 - 8x + 4y + 20 = 0UNIDAD 10. Elipse10.1 Horizontal y vertical con centro en el origen.

C:

Centro V y V" :

Vrtices F y F" :

Focos

Ecuacin ordinaria (a > b)

(Horizontal)

(Vertical) Vrtices V(+ a, 0) Centro C(0, 0) Vrtices V( 0, + a) Focos F(+ c, 0) Focos F(0, + c) Eje menor B(0, + b) Eje menor B(+ b, 0)Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 + Cy2 + F = 0 Ecuacin General

tambin: Lado Recto:

Excentricidad: Ejemplo:Encontrar todos los elementos de la elipse cuya ecuacin es 9x2 + 5y2 - 45 = 0El primer paso consiste en dejar nicamente a las incgnitas que estn elevadas al cuadrado: 9x2 + 5y2 = 45Posteriormente convertirla a su forma

ordinaria:

Simplificando, tenemos: , por lo tanto es vertical, donde: a2 = 9 y b2 = 5

Como: , sustituyendo:

entonces: c = 2, a = 3 y

Tambin, lado recto es: , y la excentricidad

es:

Concluyendo, entonces tenemos: ,

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6, eje menor BB" = 2b = y eje focal FF" = 2c = 2(2) = 4Ejercicio 13:1. Cules son los vrtices de la elipse 100x2 + 4y2 = 1?a) V1(-1/10, 0) V2 (1/10, 0) b) V1(- , 0) V2 (, 0) c)V1(0, - 1/10) V2 (0, 1/10) d) V1( 0, - 1/2) V2 (0, 1/2 )2. Uno de los vrtices de la elipse cuya ecuacin es 16x2 + 9y2 = 144 es el punto:a) (- 3, 0) b) (- 4, 0) c) (0, 4) d) (0, 3)3. Cules son los focos de la elipse cuya ecuacin es 9x2 + 16y2 = 96?

a) b)

c) d) 4. Cul es la longitud del eje mayor de la elipse cuya

ecuacin es:

1. Cules son los vrtices de la elipse 100x2 + 4y2 = 1?a) V1(-1/10, 0) V2 (1/10, 0) b) V1(- , 0) V2 (, 0) c)V1(0, - 1/10) V2 (0, 1/10) d) V1( 0, - 1/2) V2 (0, 1/2 )2. Uno de los vrtices de la elipse cuya ecuacin es 16x2 + 9y2 = 144 es el punto:a) (- 3, 0) b) (- 4, 0) c) (0, 4) d) (0, 3)3. Cules son los focos de la elipse cuya ecuacin es 9x2 + 16y2 = 96?

a) b)

c) d) 4. Cul es la longitud del eje mayor de la elipse cuya

ecuacin es:

a) b) c) 18 d) 815. Cul es la longitud del eje menor de la elipse cuya

ecuacin es ?

a) b) 6 c) d) 12

6. Ecuacin de la elipse cuyos vrtices que definen al eje mayor son V (0, 6) V(0, - 6) y excentricidad es:a) 3x2 + 4y2 - 10 = 0 b) 4x2 - 3y2 - 108 = 0 c) 3x2 - 4y2 - 108 = 0d) 4x2 + 3y2 - 108 = 0 e) 3x2 + 4y2 - 108 = 0

7. Ecuacin de la elipse cuyos vrtices son V(0 , 4) y V(0, - 4) y focos F(0, 2) y F(0, - 2) es:a) 3x2 + 4y2 + 48 = 0 b) 3x2 - 4y2 + 48 = 0 c) 3x2 + 4y2 - 48 = 0 d) 4x2 - 3y2 - 48 = 0 e) 4x2 + 3y2 - 48 = 08. Cul es la ecuacin de la elipse con 2a = 10 y Foco en F(4, 0)a) 9x2 + 25y2 = 225 b) 25x2 + 9y2 = 225 c) x2 + y2 = 34 d) 4x2 + 10y2 = 2259. Cul es la ecuacin de la elipse si LR =20/3 V1=(- 6, 0), V2=(6, 0)a) - 5x2 + 9y2 = 180 b) 5x2 - 9y2 = 180 c) 5x2 + 9y2 = 180 d) 9x2 + 5y2 = 18010. Cul es la ecuacin de la elipse con excentricidad igual a 3/5 y vrtices en (0, 5) y (0, - 5)?

a) b)

c) d) 11. Cul es la ecuacin de la elipse con focos F1(0, 3/5) y F2 (0, - 3/5) y cuyo eje mayor mide dos unidades de longitud?a) 25x2 + 91y2 = 91 b) 16x2 + 25y2 = 16 c) 91x2 + 25y2 = 91 d) 25x2 + 16y2 = 1612. Cul es la ecuacin de la elipse con vrtice en (0, 4) y

pasa por el punto ?

a) b)

c) d)

13. Cul es la longitud del eje mayor de la elipse cuya ecuacin es 25x2 + 36y2 = 900?a) 5 b) 6 c) 10 d) 1210.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen. C: Centro

V y V" : Vrtices

F y F" : Focos

Ecuacin ordinaria (a > b)

(Horizontal)

(Vertical)Vrtices V(h + a, k) Centro C(h, k)

Vrtices V(h, k + a) Focos F(h + c, k)

Focos F(h, k + c) Eje menor B(h, k + b) Eje menor B(h + b, k)Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0Ecuacin General

tambin: Lado Recto:

Excentricidad: Ejemplo:Encontrar todos los elementos de la elipse cuya ecuacin es 9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0El primer paso consiste en agrupar las mismas variables: (9x2 - 72x )+ (4y2 - 24y) = - 144Factorizar por factor comn: 9(x2 - 8x )+ 4(y2 - 6y) = - 144Completando los trinomios cuadrados perfectos: 9(x2 - 8x + 16)+ 4(y2 - 6y +9) = - 144 + 144 + 36Reduciendo a binomios al cuadrado: 9(x - 4)2+ 4(y - 3)2 = 36Dividiendo entre 36:

Simplificando, tenemos:

por lo tanto es vertical, donde su centro C (h, k) es C(4 , 3) y los valores de: a2 = 9 y b2 = 4

Como: , sustituyendo: entonces:

, a = 3 y b = 2

Tambin, lado recto es: , y la excentricidad

es: Concluyendo, entonces tenemos: Vrtices:

Focos:

Eje menor:

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6, eje menor BB" = 2b =

y eje focal FF" = 2c =Ejercicio 14:1. Cul es el nuevo origen de la ecuacin: x2 + 9y2 + 4x - 18y - 23 = 0 ?a) (2, - 1) b) (- 2, 1) c) (1, -2) d) (- 1, 2)2. Las coordenadas del centro de la elipse cuya ecuacin es 4x2 + y2 - 24x - 4y + 24 = 0 son:

a) C (- 2, - 3) b) C (- 2, 3) c) C (2, - 3) d) C (2. 3) e) C (3, 2)3. Cuales son los vrtices de la elipse cuya ecuacin

es ?

a) b)

c) d) 4. Cules son los vrtices de la elipse cuya ecuacin

es: ?a) V1= ( 13/3 , 5) V2 ( 11/3 , 5) b) V1= ( 4 , -15/3) V2 ( 4 , 14/3)c) V1= ( 17/4 , 5) V2 ( 16/4 , 5) d) V1= ( 4 , 21/4) V2 ( 4 , 19/4)5. Los focos de la elipse 4x2 + 9y2 - 36 = 0 son:

a) (0, ), (0, - ) b) (5, 5), (- 5, - 5) c) (0, 7), (0, -

7) d) ( , 0), (- , 0) e) (0, 4), (0, - 4)6. Cules son los focos de la elipse cuya ecuacin es: 9x2 + 54x + 25y2 - 250y = 1319?a) (5 , - 15) ; ( 5 , 9 ) b) (-15, 5) ; ( 9 , 5 ) c) ( 15, - 5) ; (- 9 , - 5) d) (- 5 , 15) ; (- 5 , - 9)7. Cul es el valor del lado recto de la elipse cuya ecuacin es 9x2 + 16y2 + 96y - 36x + 36 = 0?a) 3/2 b) 8/3 c) 32/9 d) 9/28. La excentricidad de la elipse con ecuacin 9x2 + 25y2 - 54x+ 100y - 44 = 0

a) b) 4/5 c) 3/5 d) 2/3 e) 2/59. Calcule la excentricidad de la elipse, cuya ecuacin

es

a) b) c)

d) 10. Cul es la distancia entre los focos de una elipse si sus semiejes miden 5/3 y 8/5 unidades de longitud?a) 7/30 u b) 14/15 u c) 28/30 u d) 28/15 u11. Si los semiejes de una elipse miden 8 cm y 17 cm, cul es la distancia entre los focos?a) 15 cm. b) 16 cm. c) 30 cm. d) 34 cm.12. Si los semiejes de una elipse miden 14 y 12 unidades de longitud, Cul es el valor de la excentricidad de la elipse?

a) b) c)

d) 13. El lado recto de la elipse 4x2 + y2 - 24x -4y + 24 = 0 es:a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 814. Cul es la ecuacin de la elipse con V1 (- 8, 5 ); V2 ( 12,5 ), LR = 5?

a) b)

c) d) 15. La ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos F(2, 1), F(- 2, 1) y excentricidad e = es:

a) b)

c)

d) e) 16. La ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos F(3, 0), F(3, - 4) y excentricidad e = 1/2 es:

a) b)

c)

d) e) 17. La ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos F(4, 4) F(4, - 2) y excentricidad e = 3/5 es:

a) b)

c)

d) e)

UNIDAD 11. Hiprbola11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen.Ecuacin ordinaria (no importa el tamao de a, slo debe estar con el positivo)

(Horizontal) Vrtice V(+ a , 0) Focos F(+ c, 0)Eje conjugado B(0,+ b>

Eje focal y = 0Eje normal x = 0

Ecuacin de las asntotas

(Vertical) Vrtice V( 0, + a) Focos F(0, + c)Eje conjugado B(+ b, 0)

Eje focal x = 0Eje normal y = 0Ecuacin de las

asntotas

Distancia focal 2c

Ejetransverso 2a

Eje conjugado 2bDesarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 - Cy2 + F = 0 Ecuacin General11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen.Ecuacin ordinaria (no importa el tamao de a, slo debe estar con el positivo)

(Horizontal) Vrtice V(h + a , k) Focos F(h+ c, k)Eje conjugado B(h, k + b)

(Vertical)Centro ( h, k )Vrtice V( h, k + a)Focos F(h, k + c)Eje conjugado B(h + b, k)

Eje focal y = kEje normal x = hEcuacin de las asntotas

Eje focal x = hEje normal y = kEcuacin de las asntotas

Eje transverso 2a

Ejeconjugado 2b

Distancia focal 2c

Desarrollas e igualas a cero y obtienes: Ax2 - Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuacin General

Ejercicio 15:1.De acuerdo con sus datos de la grfica, Cul es su ecuacin?

a)

b)

c)

d)

2. Cules son las coordenadas de los vrtices de la

hiprbola cuya ecuacin es ?a) (2, 5), (10, 5) b) (5, 2), (5, 10) c) (-2, 5), (-10, 5) d) (5, - 2), (5, - 10)3. Cules son las coordenadas de los vrtices de la

hiprbola cuya ecuacin es ?a) (- 4, 0), (- 4, 4) b) (2, - 7), (2, - 1) c) (2, - 6), (2, - 2) d) (- 4, - 1), (4, 5)4. Cules son las coordenadas de los focos de la hiprbola

cuya ecuacin es ?a) (- 5, - 2), (- 5, 2) b) (- 7, 0), (- 3, 0) c) (- 5,- 2), (- 5, 2) d) (- 5- 2 , 0), (- 5 + 2, 0)5. Cules son las coordenadas de los focos de la hiprbola

cuya ecuacin es ?a) (7, - 5), (- 23, - 5) b) (- 7, - 5), (23, - 5) c) (- 5,- 7), (- 5, 23) d) (- 5, 7),( - 5, - 23)6. Cul es la distancia entre los focos de la hiprbola cuya

ecuacin es ?

a) 17 b) c)

145 d) 7. Cul es la distancia entre los focos de la hiprbola cuya ecuacin es 16x2 - 9y2 = 144?a) 2 b) 7 c) 27 d) 10

8. El lado recto de la hiprbola es igual a:a) 4 u. l. b) 10 u. l. c) 16 u. l. d) 20 u. l. e) 36 u. l.

9. El lado recto de la hiprbola es igual a:a) 4 u. l. b) 16 u. l. c) 12 u. l. d) 6 u. l. e) 20 u. l.

10. El lado recto de la hiprbola es igual a:a) 2 u. l. b) 3 u. l. c) 1 u. l. d) 4 u. l. e) 9 u. l.11. La ecuacin representa una hiprbola cuyo lado recto es igual a:

a) 1 b) c)

2 d) e) 12. La excentricidad de la hiprbola 9x2 - 7y2 + 256 = 0 es:a) -3/4 b) c) 7/9 d) 9/7 e) 4/313. Cules son las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es 4x2 - y2 = 16?a) y = + x b) y = + x c) y = + 2x d) y = + 4x14. Cules son las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es 36x2 - 16y2 = 64?a) y = + 3/2 x b) y = + 8/3 x c) y = + 2/3 x d) y = + 3/8 x

15. La ecuacin de la hiprbola con centro en el origen, vrtice en el punto V(6, 0) y uno de sus focos es el punto F(12, 0) es:a) 3x2 - y2 + 108 = 0 b) x2 + 3y2 + 108 = 0 c) 3x2 - y2 - 108 = 0d) 3x2 - 12y2 - 108 = 0 e) 3x2 + 12y2 - 108 = 016. La ecuacin de la hiprbola cuyos focos son F( 6, 0) y F(-6, 0) y excentricidad igual a 3/2 es:a) 5x2 + 4y2 - 80 = 0 b) 5x2 - 4y2 - 80 = 0 c) x2 - y2 - 16 = 0d) 4x2 - 4y2 - 80 = 0 e) 3x2 - 2y2 - 20 = 0UNIDAD 12. Ecuacin general de segundo grado12.1 Identificacin de cnicasA partir de la ecuacin general, calcularemos el discriminante (B2 - 4AC), de sta manera podemos determinar la seccin cnica.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0B2 - 4AC < 0, La curva es una elipse.B2 - 4AC = 0, La curva es una parbola.B2 - 4AC > 0, la curva es una hiprbola.En el caso particular de que B = 0,Obtenemos: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0Si A = C representa una circunferenciaSi A C y tienen el mismo signo, es una elipseSi A y C tienen signos diferentes es una hiprbolaSi A = 0 y C 0, o A 0 y C = 0 es una parbolaSi A = 0 y C = 0 es una recta.Anlisis de una curva a partir de su ecuacin.Ejercicio 16:1. La representacin grfica de la ecuacin: 9x2 + 16y2 + 36x - 524 = 0 es:

a) Un Punto b) Una elipse c) Una hiprbola d) Una parbola2. La ecuacin 24x2 - 16y2 + 24x - 32y - 10 = 0 corresponde a la grfica de un aa) Un punto b) Hiprbola c) Rectas que se cortan d) Rectas paralelas3. La ecuacin 9x2 - 4y2 -12x + 8y + 104 = 0 corresponde a lagrfica de unaa) Elipse b) Parbola c) Hiprbola d) Circunferencia4. La ecuacin general Ax2 + B xy + Cy2 + Dx + E y + F =0, representa una elipse, cuando:a) B2 - 4AC =0 b) B2 - 4AC > 1 c) B2 - 4AC > 0 d) B2 - 4AC 1 e) B2 - 4AC < 05. La curva cuya ecuacin es 4x2 - 24 xy + 11 y2 + 56x - 58y + 95 = 0 presenta una:a) Circunferencia b) Recta c) Parbola d) Hiprbola e) Elipse6. La curva cuya ecuacin es x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0, representa una:a) Circunferencia b) Recta c) Parbola d) Hiprbola e) Elipse7. La ecuacin 6x2 + 4xy + y2 + 4x - 2y + 2 = 0 corresponde a:a) Recta b) Circunferencia c) Parbola d) Elipse e) Hiprbola8. La ecuacin 4x2 + 2xy+ 6y2 + 6x - 10y + 9 = 0 correspondea:a) Recta b) Circunferencia c) Parbola d) Elipse e) Hiprbola9. La ecuacin 4x2 - 4xy + y2 + 4x + 2y - 5 = 0 corresponde a una:a) Recta b) Circunferencia c) Parbola d) Elipse e) Hiprbola

Respuestas a los ejercicios de Geometra Analtica

Ejercicio I Ejercicio2Ejercicio

3Ejercicio

4Ejercicio

5Ejercicio

6

1 a 1 b 1 a 1b

1a

1a

2 a 2 b 2 e 2 e 2 d 2 c3 b 3 b 3 d 3 b 3 b 3 b4 b 4 b 4 b 4 c 4 b 4 e

5 c 5 d

Ejercicio7

Ejercicio8

Ejercicio9

Ejercicio10

Ejercicio11

Ejercicio12

1 c 1 c 1 c 1 b 1 d 1 c2 b 2 e 2 d 2 d 2 d 2 a3 d 3 d 3 c 3 c 3 b4 b 4 a 4 e 4 b 4 d

5 d 5 d6 d 6 b7 c 7 a8 b 8 d

9 d10 d11 a12 b13 c14 a

Ejercicio 13 Ejercicio 14 Ejercicio 15 Ejercicio 161 d 1 b 1 b 1 b2 c 2 e 2 a 2 b3 b 3 b 3 a 3 c4 c 4 c 4 c 4 e5 c 5 d 5 b 5 d6 e 6 b 6 d 6 a7 e 7 d 7 d 7 d8 a 8 b 8 b 8 d9 c 9 a 9 d 9 c

10 a 10 b 10 e 11 d 11 c 11 c 12 a 12 d 12 e 13 d 13 b 13 c

14 b 14 a 15 b 15 c 16 d 16 b 17 b

UNIDAD 13. Clculo diferencial13.1 Funciones y lmites.Seccin: FuncionesLas funciones podemos determinarlas como: La grfica que es cortada una sola vez por cada vertical trazada sobre la curva.

El conjunto de pares ordenados (x, y), en donde x nunca se repite La relacin en donde a cada elemento de un conjunto llamado dominio le asignamos un y solamente un elemento de otro conjunto llamado contradominio.Ejercicio 11. Encuentre el inciso que tenga las afirmaciones falsas.I.- Todas las funciones son relaciones.II.- Una funcin es una regla de correspondencia que asocia un elemento del dominio con slo un elemento en el rango.III.- Una relacin es una regla de correspondencia que asocia un elemento del dominio con uno o ms elementos del rango.IV.- Las funciones son un subconjunto de las relaciones.V.- Todas las relaciones son funciones.a) I y V b) II y IV c) III y V d) V y IV e) II y V2. De las siguientes grficas, cul representa una funcin?

3. De las siguientes grficas, cul representa una funcin?

4. De las siguientes grficas, cul representa una funcin?

5. De los siguientes conjuntos de puntos, cul no representa una funcin

1. {(3,4), (4,5), (5,6), (6,7)} 2. {(1,1), (2,2), (3,8), (4,9)} 3. {(7,8), (9,10), (11,12), (7,14)}a) Slo 1 b) 2 y 3 c) 1, 2 y 3 d) 1 y 3 e) slo 36. De las siguientes relaciones indica cules son funciones:

a. y = 8x2-1

b.

c. R = {(1,2), (2,5), (3,13)}

d.

e.

a) Slo b b) b y c c) a, c y e d) b y c e) a, d y eSeccin: Valor de una funcin.Slo sustituiremos el valor de x en la ecuacin y simplificar.7. Considera f (x) = l x l - x, evala f (- 7):a) 14 b) -7 c) 7 d) 0 e) -14

8. Considera Evala f(2)a) 12 b) 2 c) -1 d) 1 e) -1, 2 y 129. Si f(x) = 3x2 + 5x - 10, encuentre f(x+3)a) 3x2 + 23x + 32 b) 3x2 + 5x +3 c) x2 + 3x +3 d) x2 + 5x - 10 e) 3x2 + 5x - 10Seccin: Dominio de una funcin.

El dominio de una funcin son los reales |R = (- infinito, infinito), excepto tres casos especiales, de los cuales en este curso slo se analizarn dos.1) Cuando la funcin tiene alguna "x" en el denominador

Por ejemplo, en lo primero que tenemos que hacer es igualar a cero el denominador y encontrar los valores no permitidos. x - 8 = 0; x = 8; por lo que:

Df(x) = |R -{8} = (- infinito, 8) U (8, infinito) = {xE|R / x 8}2) Cuando la funcin tiene alguna "x" dentro de una raz dendice par. Por ejemplo:

Encontrar el dominio de Primero plantemos una desigualdad o inecuacin: D 0 y resolvemos3x - 21 0 3x 21 x 21/3 x 7 Los valores encontrados se representan con un intervalo mixto. Solucin Df = [7, infinito). Slo cuando la raz se encuentra en el denominador la desigualdad a resolver es D >0 y el intervalo resulta abierto10. El dominio de la funcin xy = 1 es:a) [0,infinito) b) (- infinito, 0] U [0, infinito ) c) (- infinito, 1) U (1, infinito) d) (- infinito, 0) U (0, infinito) e) (- infinito, 0)

11. El dominio de la funcin es:

a) [0,infinito) b) (- infinito,0) U (0,infinito) c)(- infinito,1) U (1,infinito) d) (- infinito,-1) U (-1,infinito) e) (- infinito,infinito)12. El dominio de la funcin y = x2 es:a) (- infinito, infinito) b) (- infinito, 0) U (0, infinito) c) (- infinito, 0) d) (- infinito, 0 ] e) [0, infinito)

13. En la extensin de la curva , el intervalo de variacin de x es:a) [- 2,0] b) (0,2] c) [0,2) d) (- 2,2) e) [- 2,2]

14. En la extensin de la curva , el intervalo de variacin de x es:a) [- 3,3] b) (0,3] c) [0,3) d) (- 3,3) e) [- 3,0]

15. En la extensin de la curva . El intervalo de variacin de x es:a) [- 4, 0] b) (0, 4) c) [0, 4) d) (- 4, 4) e) [- 4, 4]

16. El dominio de la funcin a) (- infinito, infinito) b) (- infinito, 5) c) (- infinito, - 5) U (- 5, infinito) d) (5, infinito) e) [0, infinito)

17. El dominio de la funcin a) - 6 < x < 6 b) x E |R c) |R- {6, - 6} d) (- infinito, infinito) e) x 6

18. El dominio de la funcin

a) - 5 < x < 5 b) x E |R c) |R- {5} d) (- infinito, infinito) e) x 5, x - 5

19. El dominio de la funcin a) |R- {3, -108} b) x E |R c) |R- {- 4, - 5} d) |R- {9, - 12} e) |R- {1}

20. El dominio de la funcin a) |R- - 2} b) x E |R c) |R- {- 8, - 2} d) x 2 e) - 2 < x < 2

21. Determinar el dominio de la funcin a) x 0 b) x > 0 c) x < 0 d) x 0 e) x 0

22. El dominio de a) - 45 < x b) x 9 c) - 9 < x < 9 d) x > 9 e) x 9

23. El dominio de a) x 3 b) x 39 c) - 3 < x < 3 d) x > 9 e) x 3

24. El dominio de la funcin a) x 8 b) x -8 c) x < 8 d) x = 8 e) x 8

25. El dominio de la funcin a) x 5 b) x - 5 c) x < - 5 d) x > 5 e) x 5

26. El dominio de la funcin

a) x 1 b) x -1 c) x < - 1 d) x < 1 e) x 127. Cul de las siguientes funciones tiene como dominio el conjunto de todos los nmeros reales?

1) f (x) = 2) f(x) = x1/2 - 4 3) f(x) = x3 -3x2+2 4) f(x) = 8 5) f(x) = 3x - 1a) 3, 4 y 5 b) 2,3 y 5 c) slo 3 y 5 d) 1 y 2 e) todas28. El dominio completo de la funcin f(x) = cos 6x es:a) (-1, 1) b) x E R c) 0 < x < 1 d) - infinito < x 0 e) x 129. El dominio de la funcin f(x) = Log10 x es:a) (- infinito, infinito) b) (- infinito, 0) c) (0, infinito) d) (- infinito, 0] e) [0, infinito)Seccin: Imagen, recorrido o rango de una funcin.Aplicamos los mismos criterios que en el caso del dominio, slo que ahora debemos despejar x en lugar de y.

Despejando x obtenemos:

Considerando el segundo criterio

El recorrido, rango o imagen es: [- 2, ) o 30. El recorrido o imagen de la funcin f(x) = 5 - x, es:a) (5, infinito) b) (- 5, infinito) c) (- infinito, 5) d) (- infinito, 5] e) (- infinito, infinito)31. El recorrido o imagen de la funcin y= x2 es:a) (- infinito,infinito) b) (- infinito, 0) c) (- infinito, 0] d) (0, infinito) e) [0, infinito)

32. La imagen, recorrido rango de la funcin f(x) = 6 - 3x es:a) (- infinito, infinito) b) (- infinito, 6] c) (- infinito, 2) U (2, infinito) d) (- 2, 2) e) [- 3, infinito)33. El rango de la funcin f (x) = x2 - 4; con x en el intervalo -3< x < 2 es:a) 0 < y < 5 b) y E |R c) - 4 y < 0 d) - 4 < y < 5 e) 0 y 534. El rango de f(x) = 3 sen(x) es:a) - 3 y 3 b) y 3 c) - 1 y 1 d) 0< y 3 e) y E |R

35. El conjunto imagen (rango) de la funcin a) (- infinito, infinito) b) (- infinito, 1) U (1, infinito) c) (- infinito, 0) U (0, infinito) d) (- infinito, 1) e) (1, infinito)Seccin: Paridad de una funcin.Par si f(- x) = f(x)F(x) = 2x4 -3x2 +1F(-x) = 2(- x)4 - 3(- x)2 +1 = 2x4 -3x2 +1 = F(x) por lo tanto es funcin parImpar si f(- x) = - f(x)36. Determinar la paridad de la funcin f(x) = 3x2 + 5a) Es par b) Es impar c) es par e impar d) no tiene paridad e) es nula37. Determinar la paridad de la funcin f(x) = 2x3 - 4xa) Es par b) Es impar c) es par e impar d) no tiene paridad e) es nula38. Determinar la paridad de la funcin f(x) = cosxa) Es par b) Es impar c) es par e impar d) no tiene paridad e) es nula39. Determinar la paridad de la funcin f(x) = senxa) Es par b) Es impar c) es par e impar d) no tiene paridad e) es nula

Seccin: Operaciones con funciones.40. Sean f(x) = 4x2 - 7x, y g(x) = 2x - 3. Cul es el resultado de f(x) + g(x)?a) 6x2 +10x b) 6x2 - 10x c) 4x2 - 5x - 3 d) 4x2 - 9x - 3 e) 4x2 + 9x - 341. Si f(x) = - 2x2 - 2x - 2, y g(x) = - x2 - x + 1. Cul es el resultado de f(x) + g(x)?a) - 3x2 + 2x - 1 b) - 3x2 - 3x + 3 c) - 3x2 - 3x - 1 d) x2 - 3x + 3 e) 2x2 +2x+2

42. Si , y entonces f(x) + g(x) es igual a

a) b) c)

d) e) 43. Si f(x) = x2 -1 y g(x) = - x3 Cul es el resultado de f(x) *g(x)?a) - x6 +x3 b) - x5 - x3 c) - x6 - x3 d) - x5 + x3 e) x6 - x344. Obtener el producto de P(x) de las funciones f(x) = 4x4 - 2x3 y g(x) = 3x3 +5x2a) P(x) = 12x12 - 10x6 b) P(x) = 4x4 - 6x3+ 5x2 c) P(x) = 12x7 +14x6 - 10x5 d) P(x) = 12x7 - 10x5 e) P(x) = 7x7 +3x5

45. Cul es el producto de las funciones

y

a) b) c)

d) e)

46. El producto P(x) de las funciones y , x 0, es:

a) b) c)

d) e) 47. El producto de f(x) = {(1,5), (4,0), (3,4), (2,5)} y g(x) = {(5,1), (4,2), (3,3), (2,4)} es:a){(2,20), (3,12), (4,0)} b) { (4,20), (9,12), (16,0)} c) {(5,5), (4,5), (3,4), (2,0)}d){(5,5), (16,0), (9,12), (4,20)} e) {(1,1), (4,2), (3,3), (2,4)} 48. La funcin compuesta h(x) = f(g(x)), donde f(x) = x2 + 11 , y g(x) = x - 7 es:a) x2 +4 b) x2 - 38 c) x2 - 14x + 60 d) x2 - 7x + 11 e) x2 +14x - 3849. La funcin compuesta f(g(x)), para f(x)= 2, y g(x) = 4 es:a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) ninguna

50. Si , y , Cul es la funcin compuesta de f con g?

a) b)

c)

d) e) 51. Si f(x) = e2x y g(x) = cos (2x), Cul es la funcin compuesta de g con f?a) ecos(4x) b) e2cos(2x) c) 2 cos(e(2x)) d) Cos(2e(2x)) e) 2ecos(2x)52. La funcin compuesta h(x) = g(f(x)), donde f(x) = Loge (x2+ 2) , y g(x) = ex es:a) x2 + 2ex b) x2 + 2 c) x2 ex d) x2 e2x e) exLMITESEl lmite de una funcin se determina sustituyendo el valor de la variable ("x"); el resultado puede ser:a) Determinado. (Slo sustituimos el valor de x)Ejemplos:

Ejercicio 21. Si f (x) = (x - 2)2, y g(x) = (1 - x)3, Cul es el valor

de ?a) 72 b) 0 c) - 1 d) 17 e) 12. Si f (x) = 2x2 - x -2, y g(x) = x3 - 2x2 + 1, Cul es el valor

del ?a) 3 b) 1 c) - 1 d) - 2 e) 5

3. Si y , cul es el valor de a) - 225 b) - 75 c) 75 d) 225 e) 15

4. Si f(x) = 4x2 + 3 y g(x)= - 3x, Cul es el valor

de a) - 21 b) - 4 c) 4 d) 21 e) - 12

5. Cul es el valor del , para f(x) = ex.a) e b) 0 c) - 1 d) e2 e) 1

6. Cul es el valor del a) - 15 b) - 13 c) 1 d) 3 e) - 1

7. Encontrar el valor del a) 14 b) 28 c) - 60 d) 90 e) - 150

8. Encontrar el valor del a) 1 b) - 3/11 c) 25/7 d) 25/11 e) 7

b) indeterminado; ste es de dos tipos e .

Cuando se tiene . La recomendacin es aplicar la regla de L`hpital, la cual consiste en derivar el numerador y el denominador, tantas veces sea necesario, hasta no obtener la

indeterminacin .

, que es indeterminado, pero, aplicando la regla

de L`hpital

9. Calcula a) b) 1/50 c) - 5 d) 1/10 e) 0/0

10. Cul es el valor de a) 0 b) 1 c)0/0 d) 2 e) infinito

11. Obtn el a) 10 b)1/10 c) 0/0 d) No Existe e) 0

12. Obtn el a) 1 b) - 4 c) 3 c) - 3 e) 0

13. Obtn el a) b) 10 c) 0 d) 4 e) - 2

14. El lmite de cuando x tiende a 2 es:a) 1/4 b) 4 c) 0 d) 1/12 e) no existe

15. El es:

a) 6 b) 4 c) 1 d) 0 e)

16. Encontrar el valor del a) -16 b) - 12 c) - 8 d) 0 e) 1

En el caso de , aqu, aplicaremos el criterio que se adecue al problema:Cuando los grados de los polinomios son

iguales: Cuando el grado del polinomio del numerador es

mayor: Cuando el grado del polinomio del numerador es

menor: Ejercicios:

17. Calcula el a) 1/7 b) - 1/7 c) 0 d) infinito e) 1

18. Calcula el a) 5/2 b)5/3 c) - 1 d) 1/3 e) infinito

19. Encuentre el lmite de

a) 2 b) - 3/2 c) 0 d) infinito e) - 2Casos especiales:

- En el lmite ,

20. Cul es el valor del ?a) b) 9/18 c) 0 d) 1/2 e) 1/4

21. Determinar el valor del a) 1/36 b) 1/6 c) 1 d) e) 0

22. Encuentre el lmite de a) b) 2/4 c) 0 d) 1/2 e) 213.2 Derivadas algebraicas.

Ejercicio 3:1. Cul es la derivada de g(x) = 5x -4?a) - 20x -5 b) - 20x -3 c) 20x -5 d) 20x -3 e) - 20x 3

2. Al derivar la funcin se obtiene:

a) b) c)

d) e)

3. Cul es la derivada de ?

a) b) c)

d) e) 3x24. La derivada de r(x) = (x2 - 5) x, es igual a:a) x2 + 2x - 5 b) 3x2 - 5 c) - x2 - 5 d) x2 - 5 e) 2x

5. Cul es la derivada de ?

a) b) c)

d) e)

6. Deriva "y" con respecto a "x" si

a) - 3x -2 - 2 x -1 b) c) 3x -2 + 2 x

-1 d) e) - 3x -4 - 2 x -2

7. La derivada con respecto a "x" de la funcin es:

a) b) c)

d) e)

8. Deriva "y" con respecto a "x", si: y(x) = 4 (5x - 2)2a) 8(5x - 2) b) - 8(5x - 2) c) 200x - 80 d) 150 x - 60 e) 15x9. Al derivar la funcin f(x) = (14x7 - 8x2 )4 se obtiene:a) 1/4 (2x6 - 4x)3 b) 4(98x6 - 16x)3 c) 1/4 (14x7 - 8x2)3 (2x6 - 4x) d) 4(14x7 - 8x2)3 (98x6 - 16x) e) 1/5(2x6 - 4x)5

10. Deriva "y" con respecto a "x", si

a) b) c)

d) e)

11. Si y = 5t3 y t = 2x+3 obtn a) 15t2 b) 30(2x + 3)2 c) 30t d) 15(2x + 3)2 e) 212. Al derivar la funcin f(x) = (10x2 - 6x)(15x3) se obtiene:a) 125x4 - 60x3 b) 750x4 - 360x3 c) (20x - 6)(45x2) d) 45x2 +20x - 6 e) 5x2+5x - 6

13. Al derivar la funcin , se obtiene:

a) b) c)

d) e)

14. La derivada de la funcin, es:

a) b)

c)

d) e) 13.3 Derivadas trigonomtricas.

15. La derivada de la funcin f (x) = cos3x, con respecto a "x",es:a) -3sen3x b) -3cos3x c) 3sec23x d) 3sen3x e) 3cos3x16. Encuentra f(x) para f(x)=5 cos(3x2 - 5)a) -5 cos (3x2 -5) b) -5 sen (6x) c) - 5 sen (3x2 - 5) c) -30x sen (3x2 - 5) e) - 5 sen (18x3 - 30)

17. Si y = cos t y t = 7x2 obtn a) 14x b) - 14 x sen (7x2) c) sen (14x) d) - sen (7x2) e) - sen t18. La derivada con respecto a x, de la funcin f (x) = tanx3 es:

a) sec x3 tanx3 b) 3x2sec2x3 c) x3secx3 tanx3 d) 3x2secx3 tanx3 e) sec23x219. Cul es la derivada de la funcin f (x) = tan -3 x es:a) - 3 tan -2 x b) - 3 tan -4 x c) (- 3 tan -2 x )+ sec2 x d) (- 3 tan -4 x ) sec2 x e) sec2 x20. Encuentra f " (x) para f (x) = 7 tan (5x2 - 1)a) -7 sec2 (10 x3 -1) b) 70x sec2 (5x2 - 1) c) -7 sec2 (5x2 - 1) d) -7 cos (5x2 - 1) e) 7 sec2 (10x)

21. Encuentra h" (x) para

a) b) c)

d) e) 13.4 Derivadas logartmicas.

22. Si h(x) = loge (2x)3, h(x) es igual a:

a) b) c)

6 d) e) 6x

23. Si , su derivada es:

a) b) c)

d) e)

24. Al derivar , se obtiene.

a) b) c)

d) e) 10x + 8

25. Si , su derivada es:

a) b) c) 16x tan 8x2