Guía de Probabilidad para el Examen de Admisión a la ... · guÍa de probabilidad para el examen...

A CARGO DE: MTRO. JUAN JOSÉ HURTADO MORENO| JUNIO DE 2018

Guía de Probabilidad

para el Examen de

Admisión a la

Maestría en

Administración SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y

Ciencias Sociales y Administrativas

Elaborada por:

García Piñón Rodrigo Alejandro

Ruíz Durán Rebeca Eunice

Torres Ramírez Aylin

Vargas Viana Stephanie

GUÍA DE PROBABILIDAD PARA EL EXAMEN DE ADMISIÓN A LA MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN

1

PREFACIO

El objetivo del presente trabajo es proporcionar una introducción a las bases teóricas y prácticas de

la Probabilidad al aspirante a la Maestría en Administración.

La teoría de la Probabilidad es aplicada tanto en Áreas de las Ciencias Exactas como las Ciencias

Sociales. La importancia de su comprensión en Áreas Sociales radica en permitir estimar o predecir

eventos de manera más sencilla. Mediante su modelación se lleva a cabo una toma de decisiones

más segura que permitan optimizar las utilidades.

La presente guía está estructurada por cinco capítulos los cuales son: capítulo 1, que desarrolla el

tema Modelos determinísticos y probabilísticos. El capítulo 2 que presenta las Técnicas de Conteo y

Probabilidad. El capítulo 3 el cual explica la Probabilidad Condicional. Enseguida, el capítulo 4

realiza una revisión sobre Modelos Discretos de Probabilidad y el capítulo 5, Variables Aleatorias

Discretas.

Así mismo, se presenta un apartado que enumera los principales errores comunes que se presentan

en la Probabilidad y la Estadística.

Se hace pertinente presentar un Glosario de términos que le permita al aspirante conocer de

manera concreta y detalla la definición de los términos más utilizados en Probabilidad.

Se ofrece una sección llamada Material didáctico que sirve de apoyo para la comprensión de los

temas a través de videos recomendados.

Para que el alumno ponga en práctica lo aprendido en esta guía, en el apartado de Ejercicios

Extras, encontrará problemas que apoyen a desarrollar sus habilidades.

La construcción de este trabajo renumera gran cantidad de textos encontrados en el libro Estadística

para la Administración y Economía, Onceava Edición (2004) elaborado por Mason, Lind y Marchal.

La guía concluye enlistando las referencias utilizadas que permitieron unificar el presente trabajo.


2

CONTENIDO

Prefacio……………………………………………………………………………………………….1

Contenido………………………………………………………………………………………….….2

1. Modelos Determinísticos y Probabilísticos……………………………………………………….…4

1.1 Modelo Determinístico……………………………………………………………………………4

1.2 Modelo Probabilístico…………………………………………………………………………….4

1.3 Interpretaciones de la Probabilidad…………………………………………………………...…6

1.3.1 Corriente Frecuentista………………………………………………………………………..…6

1.3.2 Corriente Clásica……………………………………………………………………………….7

1.3.3 Corriente Subjetiva……………………………………………………………………………..8

1.3.4 Corriente Bayesiana……………………………………………………………………………8

1.4 Conceptos Fundamentales sobre eventos…………………………………………………………9

1.4.1 Relaciones Fundamentales entre eventos……………………………………………………….9

1.4.2 Operaciones Fundamentales entre eventos………………………………………………...…10

1.5 Axiomatización de la Probabilidad………………………………………………………….…15

2. Técnicas de Conteo…………………………………………………………………………….…18

2.1 Principio de la Multiplicación……………………………………………………………………19

2.2 Principio Aditivo…………………………………………………………………………………19

2.3 Principio de Permutación………………………………………………………………………...20

2.4 Combinaciones………………………………………………………………………………..…21

3. Probabilidad Condicional…………………………………………………………………….…..23

3.1 Reglas de la Multiplicación…………………………………………………………………..…23

3.2 Diagramas de Árbol………………………………………………………………………….…26

3.3 Teorema de Bayes…………………………………………………………………………...…28

4. Variables Aleatorias Discretas…………………………………………………………………...30

4.1 Variables aleatorias Bernoulli y Binomial…………………………………………………….…30

4.2 Variables Aleatorias de Poisson……………………………………………………………...…32

4.3 Variable Aleatoria Hipergeométrica………………………………………………………...…33

5. Variables Aleatorias Continuas…………………………………………………………………..35

5.1 Función de Densidad de Probabilidad……………………………………………………….…36

5.1.1 Función acumulada de una variable aleatoria continua………………………………………36

5.1.2 Propiedades de una función de distribución acumulada……………………………………...37

5.2 Función de Distribución Acumulada, Valor esperado y Varianza………………………………38

5.3 Distribución Exponencial……………………………………………………………………...…39

5.4 Distribución de Probabilidad Normal…………………………………………………………..40


3

Errores comunes de Probabilidad y Estadística…………………………………………………...…44

Glosario de Términos………………………………………………………………………………..45

Material Didáctico…………………………………………………………………………………...46

Ejercicios Extras……………………………………………………………………………………...47

Referencias…………………………………………………………………………………………..48


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MODELOS DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS

Tiempo aproximado de estudio: 8 horas

n Modelo Matemático es una representación simbólica de un fenómeno cualquiera, realizada

con el fin de estudiarlo mejor. Por ejemplo: fenómenos físicos, económicos, sociales, etc.

1.1 MODELO DETERMINÍSTICO

Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno y en él se pueden manejar los factores

que intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados, lo llamaremos “Modelo

Determinístico”.

EJEMPLO

La planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinístico en el cual estén cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos finales asociados a cada proceso.

1.2 MODELO PROBABILÍSTICO

A los modelos matemáticos de los fenómenos en los cuales no se pueden controlar los factores que

intervienen en su estudio, y además dichos factores ocurren de manera tal que no es posible

predecir sus resultados, los llamaremos “Modelos Probabilísticos”.

EJEMPLO

U


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En inteligencia artificial, un programa estocástico opera utilizando métodos probabilísticos para solucionar problemas, como el algoritmo de recocido simulado, las redes neuronales estocásticas, la optimización estocástica, los algoritmos genéticos y la programación genética. Un problema puede ser estocástico por sí mismo, como al planificar bajo incertidumbre.

EXPER IMENTOS ALEATORIOS

Al proceso por el cual se describen los resultados que no se conocen y no se pueden predecir, lo

llamaremos experimento aleatorio.

EJEMPLO

El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio, ya que, se cumplen los dos puntos

mencionados anteriormente: el experimento lo podemos repetir cuantas veces queramos en las

mismas condiciones y conocemos todos los resultados posibles, a pesar de no tener la certeza de qué

resultados obtendremos.

Todos los resultados posibles de nuestro experimento son los siguientes:

– Que salga 1

– Que salga 2

– Que salga 3

– Que salga 4

– Que salga 5

– Que salga 6

EXPER IMENTOS DETERMINÍST ICOS

Al proceso por el cual se describen los fenómenos de los que se pueden predecir sus resultados, lo

llamaremos experimento determinístico.

EJEMPLO

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a duda, que la piedra bajará.

Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero

después bajará.

ESPACIOS MUESTRALES


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Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico lo llamaremos “Espacio Muestral del experimento” y lo denotaremos por S. A los elementos de un espacio muestral los llamaremos puntos muestrales.

EJEMPLO

Se realiza el experimento de tomar una pieza para inspeccionarla y los resultados posibles son que salga defectuosa o no defectuosa. Su espacio muestral es:

S = {defectuosa, no defectuosa}

EVENTO

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S, se llama evento a un conjunto de resultados

posibles de S. Fácilmente podemos notar que un evento, no es más que un subconjunto de un espacio

muestral.

1.3 INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD

1.3.1 CORR IENTE FRECUENTISTA

Frecuencia relativa: la probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. Utilizando una fórmula:

EJEMPLO

Se efectúo un estudio con 751 egresados de la carrera de administración de empresas, en la Universidad de Toledo (EUA). Este experimento reveló que 383 de los 751 egresados no estaban empleados de acuerdo con su principal área de estudio. Por ejemplo, un egresado especializado en contaduría ahora es gerente de mercadotecnia en una empresa empacadora de tomates. ¿Cuál es la probabilidad de que un egresado de administración labore en un área distinta a la de sus estudios universitarios? SOLUCIÓN P(A)= Probabilidad de que ocurra el evento A (un graduado no labore en el área principal de sus estudios universitarios). P(A)=383/751= 0.51

Probabilidad de que ocurra un evento: Número de veces que ocurrió el evento en el pasado

Número total de observaciones


7

Puesto que 383 de los 751 egresados, es decir, 0.51 en términos de probabilidad, están en un campo laboral diferente al de su área de estudio, se puede emplear esto como una estimación de la probabilidad. En otras palabras, con base en la experiencia, existe una probabilidad de 0.51 de que un graduado en administración labore en un campo distinto del de su área de estudios.

1) AUTOEXAMEN 2) Pena de muerte. Se seleccionan adultos al azar para una encuesta de Gallup; a

ellos se les pregunta si están a favor de la pena de muerte para una persona convicta por homicidio. Las respuestas incluyen a 319 personas que están a favor de la pena de muerte, 133 personas que están en contra y 39 que no tienen una opinión al respecto. Con base en tales resultados, estime la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente esté a favor de la pena de muerte.

Respuesta: 319/491 = 0.650

1.3.2 CORR IENTE CLÁS ICA

La probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles:

EJEMPLO

Considérese el ejemplo de lanzar un dado común. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par”? Los resultados posibles son: SOLUCIÓN Hay tres resultados “favorables” (un “dos”, un “cuatro” y un “seis”) en el conjunto de seis resultados posibles igualmente probables. Por tanto:

Probabilidad de un número par = 3/6

=0.5

Probabilidad de un evento: Número de resultados favorables

Número total de resultados posibles

Un uno Un cuatro

Un dos Un cinco

Un tres Un seis

Número de resultados favorables

Número total de resultados

posibles


8

Ruleta. Usted planea apostar al número 13 en el próximo giro de una ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que pierda?

SOLUCIÓN Una ruleta tiene 38 ranuras distintas y sólo una corresponde al número 13. La ruleta se diseñó de manera que las 38 ranuras sean igualmente probables de resultar. De las 38 ranuras, 37 resultan en una pérdida. Ya que el espacio muestral incluye resultados igualmente probables, usamos el método clásico para obtener:

P (pérdida) = 37/38

AUTOEXAMEN Determine la probabilidad de que una pareja con tres hijos tenga exactamente dos niños. Suponga que es igualmente probable dar a luz un niño que una niña y que el género de cualquier hijo no influye en el género del otro.

Respuesta: 0.375

1.3.3 CORR IENTE SUBJET IVA

Si existe poca o ninguna experiencia en la cual se pueda basar una probabilidad, puede determinarse una probabilidad en forma subjetiva. Fundamentalmente, esto significa evaluar las opiniones disponibles y otra información para después estimar o asignar la probabilidad. Atinadamente, a este concepto se le denomina probabilidad subjetiva. La probabilidad subjetiva es la posibilidad de que suceda un evento específico; que es asignada por una persona basándose en cualquier información que esté disponible,

EJEMPLO

Choque de meteoritos ¿Cuál es la probabilidad de que su automóvil sea impactado por un meteorito este año?

SOLUCIÓN La ausencia de datos históricos de meteoritos que chocan contra automóviles impide usar el método de frecuencias relativas de la regla 1. Hay dos posibles resultados (chocar o no chocar), pero no son igualmente probables, de tal forma que no podemos usar el método clásico. Esto nos deja con la probabilidad subjetiva, por medio de la cual hacemos un estimado subjetivo. En tal caso, todos sabemos que la probabilidad en cuestión es muy, muy pequeña. Estimemos que sea, digamos, de 0.000000000001 (equivalente a una en un billón). Este estimado subjetivo, que se basa en nuestro conocimiento general, puede encontrarse en el campo general de la probabilidad real.


9

1.3.2 CORR IENTE BAYES IANA

En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a eventos, después del experimento. Es decir,

las probabilidades son del tipo dependiente, esto es basándose en el conocimiento de la ocurrencia

de eventos que estén en dependencia con el evento estudiado.

1.4 CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE EVENTOS

Eventos finitos. Si al contar los elementos de un evento resulta una cantidad determinada, entonces

dicho evento se llama finito.

EJEMPLO

Tenemos el conjunto de las letras del abecedario, decimos que es finito porque en total son 27

letras.

A={x∣x letras del alfabeto}.

Evento vacío o no realizable. El Evento que no contiene ningún elemento, esto es, no existe algún

resultado del experimento que cumpla las condiciones del evento se llama evento vacío.

Eventos infinitos. Si al contar los resultados posibles de un evento el proceso de conteo no termina

con el tiempo, entonces el evento se llama infinito.

EJEMPLO

¿Cuántos números pares hay? ¿Cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es

porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que tienen. Es que es

imposible hacerlo porque no hay un número que represente la cantidad de elementos que el

conjunto contiene.

C={x∣x números pares}.

A={x∣x múltiplos de tres}.


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1.4.1 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS

Igualdad de eventos:

Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos los

elementos de un evento dado están contenidos en el otro evento.

Subeventos:

Eventos mutuamente excluyentes (ver conjuntos ajenos o disjuntos):

Podemos generalizar que el evento vacío con cualquier otro evento es mutuamente excluyente.

Si sólo uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice que los eventos son mutuamente

excluyentes. Es decir, la ocurrencia de un evento implica que ninguno de los otros eventos pueda

ocurrir al mismo tiempo.

EJEMPLO

En el experimento de tirar un dado, los eventos “un número par” y “un número impar” son

mutuamente excluyentes. Si cae un número par, no puede caer un número impar al mismo tiempo.

Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales, si

cualquier resultado de A es también elemento de B, y viceversa

A = B, si ∀a∈ A, entonces a∈B y viceversa, ∀b∈B, entonces b∈ A

Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento, se dice

que A es subevento de B si cualquier elemento que esté en A está en B. Lo

anterior se simboliza,

A ⊂ B . Es decir, A ⊂ B ; si a ∈ A, entonces a ∈B .

Para cualquier a ∈ A, entonces a ∉B ; igualmente, para todo b ∈ B , entonces

b ∉ A.


11

1.4.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS

Unión entre eventos La unión de los eventos A y B, correspondiente a un mismo experimento, es otro evento formado por los resultados que pertenecen al evento A o al evento B o a los dos. La unión la simbolizaremos por:

A∪ B (A unión B).

EJEMPLO

Experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:

Suceso A = que salga un número par = {2, 4, 6}

Suceso B = que salga un múltiplo de 3 = {3, 6}

Determinar A ∪ B

SOLUCIÓN A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6}

EJEMPLO



Suceso B = que salga un número mayor de 4 = {5, 6}

Determinar A ∪ B

SOLUCIÓN A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {5, 6} = {2, 4, 5, 6}

AUTOEXAMEN

Experimento aleatorio de tirar dos monedas. Sean los sucesos A y B siguientes:

Suceso A = que salgan dos resultados iguales = {cara-cara, cruz-cruz}

A ∪ B = {x I x ∈ A o x ∈ B} la unión de los eventos A y B.


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Suceso B = que salga al menos una cara = {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara}

Determinar A ∪ B

Respuesta: A∪B = {cara-cara, cruz-cruz} ∪ {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara}

= {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara, cruz-cruz}

Intersección entre eventos La intersección entre los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento

formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos. La intersección, la simbolizaremos A ∩ B (A intersección B).

EJEMPLO




Determinar A ∩ B

SOLUCIÓN A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} = {6}



Suceso B = que salga un número menor de 4 = {1, 2, 3}

Determinar A ∩ B

SOLUCIÓN A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {1, 2, 3} = {2}




Determinar A ∩ B

A∩B x I x ∈A y x ∈ Bla intersección entre los eventos A y B.


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SOLUCIÓN

A ∩ B = {cara-cara, cruz-cruz} ∪ {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara} = {cara-cara}

Diferencia entre eventos

La diferencia del evento A menos el evento B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos del evento A, que no pertenecen al evento B. La diferencia, la

simbolizaremos A − B (A menos B).

EJEMPLO

1) Experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:



Determinar A - B

SOLUCIÓN A - B = {2, 4, 6} - {3, 6} = {2, 4}

2) Experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:


Suceso B = que salga un número menor de 4 = {1, 2, 3}

Determinar A - B

SOLUCIÓN A - B = {2, 4, 6} - {1, 2, 3} = {4, 6}

AUTOEXAMEN




A B x I x ∈A y x ∉ Bla diferencia del conjunto A, menos B.


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Determinar A - B

Respuesta: {cruz-cruz}

Evento complementario o complemento de un evento

El complemento del evento A, es otro evento formado por los resultados del experimento que pertenecen al espacio muestral, pero que no pertenezcan al evento A. El complemento del evento A,

lo simbolizaremos, como Ac o A ′ (complemento de A).

EJEMPLO

1) El Experimento: Lanzamiento de un dado.

Suceso A: Se obtiene un número par. Suceso B: Se obtiene un número impar.

¿Estos dos sucesos son complementarios?

SOLUCIÓN

La respuesta es sí.

La Explicación:

Los resultados posibles en el Suceso A son 2, 4 y 6. Ahora nos preguntamos cuales son los resultados posibles que no están incluidos en el Suceso A. La respuesta es 1, 3 y 5, pero estos resultados son exactamente los que el Suceso B define. Por lo tanto, los sucesos son complementarios.

EJEMPLO

2) El Experimento: Lanzamiento de un dado.

Suceso A: Se obtiene un número par. Suceso B: Se obtiene un número menor a 4.

¿Estos dos sucesos son complementarios?

Ac = {x I x ∈ S y x ∉ A} el evento complementario de A.


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SOLUCIÓN

La respuesta es no.

La Explicación: Los resultados posibles del Suceso A son 2, 4 y 6. Los resultados posibles en el Suceso B son 1, 2 y 3.

12 = 3 El Suceso B no incluye todos los resultados posibles no incluidos en el Suceso A e incluso incluye uno de los resultados incluidos en el Suceso A (tener como resultado el 2). Esta es una regla importante:

Si dos sucesos son complementarios, es imposible que los resultados aparezcan en ambos sucesos.

1.5 AXIOMATIZACIÓN DE LA PROBABILIDAD

Probabilidad axiomática

TEOREMA 1.1

TEOREMA 1.2

Dado un experimento con espacio muestral S, y una familia de eventos A, tal

que sus elementos cumplen con las leyes del Álgebra de Eventos, llamaremos

Probabilidad axiomática a la función numérica P, cuyo dominio es A y rango el

intervalo [0,1], y es tal que los valores P(E) para cualquier evento E en A,

cumplen con los siguientes tres axiomas llamados axiomas de Kolmogórov,

para familias finitas:

Axioma 1. Para cualquier evento E, de la familia A, P(E) ≥ 0

Axioma 2. Para el espacio muestral S, P(S) =1.

Axioma 3. Para cualquier sucesión finita (o infinita) de eventos mutuamente

excluyentes, de A,

E1, E2, E3……En, se cumple

Sea ∅ el evento vacío, entonces P(∅) = 0

Para cualquier evento E, P(Ec) = 1- P(E)


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TEOREMA 1.3

TEOREMA 1.4

TEOREMA 1.5

EJEMPLO

1) Veamos un ejemplo de aplicación del axioma (3)

Aditividad: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío).

Si la probabilidad de que el parking de la escuela tenga 100-209, 210-309, 310-400 y

> 400 coches es 0.20, 0.35, 0.25, 0.12 respectivamente. ¿Qué probabilidad hay de que el

parking tenga al menos 100 coches, pero menos de 401?

SOLUCIÓN

Puesto que los sucesos favorables 100-209, 210-309 y 310-400 son mutuamente

excluyentes:

0,20 + 0,35 + 0,25 = 0,80

2) Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un

cheque con fecha equivocada es de 0.001. en cambio, todo cliente sin fondos pone una

fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy

en la caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un

cliente sin fondos?

Para cualquier evento E, 0 ≤ P(E) ≤1

Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tales que A ⊂ B , entonces

P(A) ≤ P(B)

Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral, se

cumple que:

P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B)


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SOUCIÓN

A.Cliente con fondos

Ac. Cliente sin fondos

B. Fecha correcta

Bc. Fecha incorrecta

P(A)= 0.90

P (Ac)= 0.10

P (A) = 0.90

P (BcAc) = 1

P (Bc ∩ A) = 0.001

P (AcBc) = P(Ac ∩ Bc)= 0.10 / 0.101 =0.99

AUTOEXAMEN

En una ciudad el 40% de la población tienen cabellos castaños, el 25% tiene ojos

castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene el cabello castaño, ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?

b) Si tiene ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Respuestas:

a) 0.37

b) 0.40

c) 0.50


18

2. TÉCNICAS DE CONTEO


l principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el

número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las

técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2

maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden

ocurrir en el orden indicado, es igual a:

n1 x n2.

EJEMPLO

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que

cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer

premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y

posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

N = 10 x 9 x 8 = 720

N un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2) ...3 x 2 x 1 se llama factorial de N. El símbolo

! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea

N = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La técnica aditiva

* La técnica de la suma o adición

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación

E


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2.1 PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad

a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o

formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a

efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser

llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento

E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede

ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el

evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

EJEMPLO

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas

formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2? Respuesta: (3)(4) =12

2.2 PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada,

donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda

alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser

realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

EJEMPLO

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar

de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se

encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos),

en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de

la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y

puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo

de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas

maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy


20

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2.3 PRINCIPIO DE PERMUTACIÓN

A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el número de posibles

arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos

seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a,

c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de

permutaciones distintas es:

FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

EJEMPLO

¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15

participantes?

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)!

11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados! = factorial, producto de los

números naturales entre 1 y n.

AUTOEXAMEN

¿Cuántos números de 5 cifras son divisibles por 5?

Para que un número sea divisible por cinco debe acabar en 0 ó 5, así que:

Podemos elegir la primera cifra de entre 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si la primera cifra es 0 no

cuenta como número de 5 cifras). Podemos elegir la segunda cifra de entre 10 (nos vale cualquier

guarismo). También podemos elegir de entre 10 la tercera y la cuarta cifra. La última cifra solo

puede ser 0 ó 5, lo que nos da solo 2 posibilidades.

Así que existe un total de 9 · 10 · 10 · 10 · 2 = 18000 números de 5 cifras divisibles por 5.


21

2.4 COMBINACIONES

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de

los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si

se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres

(A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces sí importa el orden, los resultados

serán permutaciones. Por el contrario, si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no

importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los

siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin

importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n! r! (n – r)!

EJEMPLO

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de

las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las

partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado

este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r)! 3! (7 – 3)! 3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

EJEMPLO

Nueve personas saldrán de viaje en tres carros, con capacidad de dos, cuatro y cinco pasajeros,

respectivamente. Si las nueve personas se reparten en todos los carros, ¿cuál es la probabilidad de

que los dos lugares vacíos queden en el carro con capacidad para cinco personas?


22

En el problema no importa el orden. El problema es: “la manera como se reparten las nueve

personas en tres carros”. Se tienen once lugares y sólo nueve personas, además se deben emplear

los tres carros, por lo que siempre dos lugares estarán vacíos, se tienen varios tipos de arreglos:

9C1 * 8C3 * 5C5 = 504 un lugar vacío en el primero y segundo carros

9C1 * 8C4 * 4C4 = 630 un lugar vacío en el primero y tercer carros

9C2 * 7C3 * 4C4 = 1260 un lugar vacío en el segundo y tercer carros

9C2 * 7C2 * 5C5 = 756 dos lugares vacíos en el segundo carro

9C2 * 7C4 * 3C3 = 1260 dos lugares vacíos en el tercer carro

En total, por la regla de suma, (S) = 504 + 630 + 1260 + 756 + 1260 = 4 410

El evento E se define como: “los dos lugares vacíos quedan en el carro con capacidad para cinco

personas”.

De los resultados anteriores es posible observar que el evento coincide con el último caso del

espacio muestral, por tanto, (E) = 1 260.

La probabilidad es:

P(E) = (E) / (S) = 1260 / 4410 = 0.2857

AUTOEXAMEN

Entre los ocho candidatos para dos vacantes del personal de una escuela se

encuentran cuatro hombres y cuatro mujeres ¿De cuántas formas se pueden cubrir

estas vacantes… a) con dos candidatos cualesquiera de los ocho; b) con uno de los

candidatos y una de las candidatas?

Respuesta: a)8C2 =8! /2! (8-2)! =28; b)4C1 * 4C1 = (4)(4) =16

AUTOEXAMEN

Una urna contiene trece esferas numeradas del uno al trece, de las cuales tres son

rojas, cuatro blancas y seis azules. Si se toman dos esferas, calcula la probabilidad

de que una y sólo una de ellas sea roja. Esto nos lleva a tres opciones de resolución.

Respuesta: 0.3846 (sin reemplazo). 0.3550 (con remplazo)


23

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL


Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento ya ocurrió.

3.1 REGLAS DE MULTIPLICACIÓN

egla Especial de Multiplicación. La regla especial de multiplicación requiere que dos eventos A y

B sean independientes. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la

probabilidad del otro. De manera que si los eventos A y B son independientes, la ocurrencia de

A no altera la probabilidad de B.

Si hay dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ocurra A y B se obtiene al

multiplicar las dos probabilidades. A esto se le llama la regla especial de la multiplicación, y

expresada en forma simbólica es:

P(A y B) = P(A)P(B)

Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo resultado no depende del

primero. Para ilustrar lo que significa independencia de resultados, suponga que se lanzan al aire

dos monedas. El resultado de una moneda (cara o cruz). Puesto de otra forma, dos eventos son

independientes se el resultado del segundo evento no depende del resultado primero.

Para tres eventos independientes A, B y C, la regla especial de multiplicación utilizada para

determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es:

P(A y B y C) = P(A)P(B)P(C)

EJEMPLO

Se lanzan dos monedas al aire ¿cuál es la probabilidad de que las dos caigan cruz?

Solución. La probabilidad de que una de las dos monedas caiga cruz (CR), escrita P(A), es de un

medio, o bien 0.5. La probabilidad de que la otra moneda caiga igual, denotada por P(B), es

también de un medio o 0.5. Usando la fórmula de la multiplicación, la probabilidad de que ocurran

ambas cosas es de un cuarto, o 0.25, lo cual se obtiene de la siguiente forma:

R


24

P(A y B) = P(A)P(B)

= (1

2) (

1

2)

= (1

4) , 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 0.25

AUTOEXAMEN

Debido a su larga experiencia, en la compañía “X” se sabe que la probabilidad de

que su neumático XB-70 dure 60 mil millas antes de perder el dibujo o fallar es

0.80. Se hace un ajuste para el caso de cualquier llanta que no resista dicho

recorrido. Usted compra 4 XB-70. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro

neumáticos duren al menos 60 mil millas?

Respuesta 0.4096

Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Para ilustrar la dependencia,

suponga que hay 10 rollos de película fotográfica en una caja y que se sabe que 3 3están

defectuosos. Se selecciona uno. Es obvio que la probabilidad de escoger un rollo es de 3/10, y que

la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es 7/10. Después se elige un segundo rollo de la

caja sin devolver el primero a esta. La probabilidad de que éste defectuoso depende de que el

primer rollo seleccionado fuera no aceptable o bueno. La probabilidad de que también el segundo

rollo esté defectuoso es:

2/9, si el primer rollo seleccionado fuera defectuoso. (Quedarían sólo dos rollos defectuosos

más en la caja, que contenía 9 piezas).

3/9, si el primer rollo seleccionado fuera bueno. (Los tres con defectos siguen estando en la

caja que contenía lo 9 originales).

A la fracción 2/9 (o 3/9), se le denomina justamente probabilidad condicional, porque su valor

tiene tal característica (dependiente de estas) respecto de la primera selección de la caja: que se

haya sacado un rollo fotográfico defectuoso o uno normal.

Si se desea determinar la probabilidad de seleccionar dos rollos defectuosos, uno después del otro,

se aplica la llamada regla general de la multiplicación.

Regla general de Multiplicación. La regla general de la multiplicación se utiliza para determinar la

probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos, como seleccionar dos rollos defectuosos de la

caja con 10, uno después del otro. En general, la regla indica que para dos eventos A y B, la


25

probabilidad conjunta de que ambos sucedan se evalúa al multiplicar la probabilidad de que el

evento A ocurra, por la probabilidad condicional de que suceda el evento B. De manera simbólica,

la probabilidad conjunta P(A y B), se obtiene por medio de:

P(A Y B) = P(A) P(B|A)

Donde P(B|A) expresa la posibilidad de que ocurra B dado que ya ocurrió A.

EJEMPLO

Considerar otra vez el ejemplo anterior de los 10 rollo de película en una caja, tres de los cuales

están defectuosos. Se van a seleccionar dos, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de

escoger un rollo con defectos seguido por otro también en tal condición?

Solución. El primer rollo seleccionado de la caja, que se encontró ser defectuoso es el evento A. De

modo que P(A)= 3/10 porque 3 de los 10 rollos son no aceptables. El segundo rollo seleccionado,

resultante con defectos es el evento B. Por lo tanto, P(B|A) = 2/9, porque después de descubrir que

la primera selección era un rollo con defectos, sólo quedaron 2 rollos “no buenos” en la caja que

contenían 9 rollos. Se determina la probabilidad de dos rollos defectuosos, aplicando la formula

anterior:

P(A Y B) = P(A) P(B|A)

= (3

10) (

2

9) = (

6

90) , 𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 .07

Por cierto, que se considera que este experimento se realizó sin reposición ( o reemplazo); es decir,

el rollo defectuoso de película no se devolvió a la caja antes de seleccionar el siguiente rollo.

También debe observarse que la regla general de multiplicación puede ampliarse a más de 2

eventos. Para tres eventos: A, B y C, la fórmula sería:

P(A y B y C) = P(A) P(B|A) P(C|A y B)

Como ejemplo, la probabilidad de que los 3 primeros rollos seleccionados de la caja sean todos

defectuosos, es 0.00833, que resulta de calcular:

= (3

10) (

2

9) (

1

8) = (

6

720) = 0.00833

AUTOEXAMEN

La junta de directores de Tarbell Industrias está formada por ocho hombres y 4

mujeres. Se seleccionará un comité de 4 personas, en forma aleatoria, para

recomendar a un nuevo presidente de la compañía.


26

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean mujeres las 4 personas del comité de investigación?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 personas sean hombres?

c) ¿La suma de las probabilidades para 1 y 2 es igual a 1? Explique su respuesta.

Respuestas: 0.002/0.1414/No, porque existen otras probabilidades como la de 3M y1H.

3.2 D IAGRAMAS DE ÁRBOL

n diagrama de árbol es una representación gráfica útil para organizar cálculos que abarca

varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades

escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento. Para

mostrar la elaboración de un diagrama de árbol nos basaremos del siguiente problema.

Una encuesta de ejecutivos se enfocó sobre su lealtad a la empresa. Una de las preguntas

planteadas fue: “¿si otra compañía le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su

puesto actual, permanecería con la empresa o tomaría el otro empleo? Las respuestas de los 200

ejecutivos de la encuesta se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la compañía.

Tiempo de Servicio

Lealtad Menos de 1

año 1 a 5 años 6 a 10 años

Más de 10 años

Total

Se quedaría 10 30 5 75 120

No se quedaría

25 15 10 30 80

200

1. La elaboración de una arbodiagrama se empieza trazando un pequeño punto a la

izquierda, que representa el punto central de un tronco de árbol (véase el diagrama 1).

2. Para este problema salen dos ramas principales del tronco, la superior representa “se

quedarían” y la inferior “no se quedarían”. Sus probabilidades se indican en las ramas,

específicamente 120/200 y 80/200. Se simboliza por P(A) y P(~A).

3. Cuatro ramas secundarias “se desprenden” de cada rama principal, y corresponden a los

tiempos de servicio: menos de 1 año, 1 a 5 años, 6 a 10 años y más de 10 años. Las

probabilidades condicionales para la rama superior del árbol, a saber, 10/120, 30/120,

5/120 etc., éstan en las ramas adecuadas. Se trata de las probabilidades P(B1|A), P(B2|A),

P(B3|A) y P(B4|A), donde B1 se refiere a menos de 1 año de servicio, B2 corresponde a 1 a

5 años; B3 es para 6 a 10 años, y B4 a más de 10 años. A continuación escriba las

probabilidades condicionales para la rama inferior.

4. Por último, las probabilidades conjuntas de que A y B ocurran al mismo tiempo, se muestra

al lado derecho. Por ejemplo, la probabilidad conjunta de seleccionar al azar un ejecutivo

que permanecería en la empresa y que tiene menos de un año de servicio es, utilizando la

fórmula:

P(A Y B1) = P(A) P(B1|A)

U


27

= (120

200) (

10

9120) = 0.05

Debido a que las probabilidades conjuntas representan todas las posibles selecciones: se

quedarían, 6 a 10 años de servicio; no se quedarían; más de 10 años de servicio; etc. La suma

debe ser igual a 1.00

Diagrama 1.

AUTOEXAMEN

Refiérase al contenido del Diagrama anterior. Explique qué ruta seguiría para

encontrar la probabilidad conjunta de seleccionar un ejecutivo al azar, que tenga


28

de 6 a 10 años de servicio y que no permanecería con la empresa al recibir una

oferta igual o ligeramente mejor de parte de otra compañía.

Respuesta: “No se quedaría” = 80/200; 6-10 años= 10/80; Probabilidad

conjunta: 0.05

3.3 TEOREMA DE BAYES

El Teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que

ocurran una serie de sucesos A, a la cual se le añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta

información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso A que haya

ocurrido.

𝑃(𝐴1|𝐵) =𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)

𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)

Suponga que 5% de la población de Umen, un país ficticio del Tercer Mundo padece una

enfermedad que es originaria de ese lugar. Sea A1, el evento “tiene enfermedad”, y A2 el evento

“no tiene enfermedad”. Por lo tanto sabemos que si seleccionamos una persona de Umer al azar, la

probabilidad de que la elegida tenga el padecimiento es 0.05, o bien P(A1) = 0.05. Esta

probabilidad, P(A1) = P(tiene la enfermedad) = 0.05, se denomina probabilidad a priori. Se le da

el nombre porque la probabilidad de asigna antes de haber obtenido datos empíricos.

La probabilidad a priori de que una persona no padezca el trastorno es, por lo tanto, igual a 0.95,

o bien P(A2) = 0.95, que se obtiene por 1 – 0.05.

Existe una técnica de diagnóstico para detectar la enfermedad, pero no es muy exacta. Sea B el

evento “la prueba indica que la enfermedad está presente”. Considere que la evidencia histórica

muestra que si una persona realmente padece la enfermedad, la probabilidad de que la prueba

indique la presencia de la misma vale 0.90. Utilizando las definiciones de probabilidad condicional

desarrolladas anteriormente, tal afirmación se expresa como:

P(B|A1) = 0.90

Considere que la probabilidad de una persona en realidad no tenga el padecimiento, pero que la

prueba indique que el mismo está presente, es 0.15.

P(B|A2) = 0.15

Seleccionemos de forma aleatoria a un habitante de Umen, al que se le aplica la prueba. Los

resultados indican que el padecimiento está presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona

realmente tenga la enfermedad? En forma simbólica, se desea determinar P(A1|B), que se

interpreta como: P (tiene la enfermedad) | (los resultados de la prueba son positivos). La

probabilidad de P(A1|B), se denomina una probabilidad a posteriori.

Con la ayuda del teorema de Bayes, es posible determinar la probabilidad a posteriori o revisada.


29

𝑃(𝐴1|𝐵) =𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)

𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)

𝑃(𝐴1|𝐵) =(0.05)(0.90)

(0.05)(0.90) + (0.95)(0.15)

=0.24

Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad, dado que la prueba

resultó positiva es 0.24. ¿Cómo se interpreta este resultado? Si una persona se selecciona al azar de

la población, la probabilidad de que padezca al trastorno es 0.05. Si se aplica la prueba a la

persona y resulta positiva, la posibilidad de que en realidad tenga el padecimiento aumenta

aproximadamente cinco veces, es de 0.05 a 0.24.

El problema anterior incluyó solamente dos eventos, A1 y A2, como probabilidades a priori. Si hay

más de dos probabilidades de este tipo, el denominador del teorema de Bayes requiere términos

adicionales. Si la distribución probabilística a priori consiste en n eventos mutuamente excluyentes, el

teorema de Bayes queda como sigue:

𝑃(𝐴1|𝐵) =𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)

𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵|𝐴𝑛)

Donde A1 se refiere a cualesquiera de los n posibles resultados.

AUTOEXAMEN

P(A1) = 0.60, P(A2) = 0.40, P(B1|A1) = 0.05 y P(B1|A2) = 0.10. Emplee el teorema

de Bayes para determinar P(A1|B1).

Respuesta:0.4286


30

4.VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS


na variable aleatoria es la función numérica que asocia un número real a cada elemento del

espacio muestral.

Una variable aleatoria, X, decimos que es de tipo discreto cuando puede tomar los valor x₁,…xK,

con probabilidades P (X₁),…, P(XK). Estas probabilidades reciben el nombre de función de

probabilidad.

EJEMPLO

Un contador presenta el examen para certificarse como contador público. El examen tiene cuatro

partes. Defina una variable aleatoria x como x=número de partes del examen aprobadas. Esta es

una variable aleatoria discreta por que puede tomar el número finito de valores 0, 1, 2, 3, o 4.

Una variable aleatoria, X decimos que es de tipo continuo cuando puede tomar cualquier valor en

un intervalo de la recta real con una función de densidad f(x) que representa la idealización en la

población del perfil obtenido a partir de los datos en el diagrama de un histograma.

EJEMPLO

El experimento observa las llamadas telefónicas que llegan a la oficina de atención de una

importante empresa de seguros. La variable aleatoria que interesa es x= tiempo en minutos entre

dos llamadas consecutivas.

4.1 VARIABLES ALEATORIAS BERNOULLI Y B INOMIAL

Una prueba de Bernoulli es un experimento aleatorio cuyos posibles resultados son agrupados en

dos conjuntos excluyentes que llamaremos éxito E y fracaso (F), con P(E) =p y P(F) = 1-p

U


31

En el lanzamiento de una moneda podemos tomar E = {Cara} y F = {Cruz}.

Realizamos una prueba de Bernoulli con P(E) = p. El modelo de Bernoulli de parámetro p, que

representaremos abreviadamente por Bern(p), es el modelo de probabilidad de la variable

aleatoria que obtenemos al codificar el éxito con uno y el fracaso con cero:

X = 1 (si obtenemos éxito) con probabilidad p

0 (si obtenemos fracaso) con probabilidad 1 − p

Sus probabilidades son:

P(X = 0) = 1 – p ; P(X = 1) = p

De manera más compacta y más útil para algunos cálculos, podemos escribir:

P(X = x) = p x (1 − p) 1-x para x = 0, 1.

El modelo de Bernoulli es el que utilizaremos cada vez que queremos estudiar la proporción de

veces, p, que ocurre un determinado suceso (éxito).

Binomial: Está relacionado con un experimento de pasos llamado binomial.

Un experimento binomial tiene las cuatro propiedades siguientes:

1. Consiste en una serie de n ensayos idénticos

2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. Llamados éxito y fracaso

3. La probabilidad de éxito, se denota p, la de fracaso 1-p.

4. Los ensayos son independientes.

EJEMPLO

Considere el experimento que consiste en lanzar una moneda 5 veces y observar si la cara de la

moneda que cae hacia arriba es cara o cruz. Suponga que se desea contar con el número de caras

que aparecen en los cinco lanzamientos. ¿Presenta este experimento las propiedades de un

experimento binomial? ¿Cuál es la variable aleatoria que interesa? Observe que:

1. El experimento consiste en cinco ensayos idénticos; cada ensayo consiste en lanzar una

moneda.

2. En cada ensayo hay dos resultados posibles: cara o cruz. Se puede considerar cara como

éxito y cruz como fracaso.

3. La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son iguales en todos los ensayos,

siendo p = 0.5 y 1 - p = 0.5.

4. Los ensayos o lanzamientos son independientes porque al resultado de un ensayo no afecta

a lo que pase en los otros ensayos o lanzamientos.

Función de Probabilidad Binomial


32

La esperanza y la varianza de una variable aleatoria con distribución binomial se obtienen

fácilmente utilizando las propiedades de las esperanzas y las varianzas. Para esto, definimos:

Xi= 1 si obtenemos éxito en la prueba i-ésima

0 si obtenemos fracaso en la prueba i-ésima (i = 1, . . . , n)

4.2 VARIABLES ALEATORIAS DE POISSON

La distribución de probabilidad de Poisson suele emplear para modelar las llegadas aleatorias a

una línea de espera.

Las propiedades de un experimento de Poisson son:

1. La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera dos intervalos de la

misma magnitud.

2. La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o

no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

La función de probabilidad de Poisson se define mediante la ecuación:

f(x)=probabilidad de x ocurrencias en un intervalo

µ=valor esperado o número medio de ocurrencias en un intervalo

e= 2.71828

EJEMPLO

Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero

automático de un banco. Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es

la misma en cualesquiera dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un

automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en

cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson. Dichas condiciones se

satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que

llegan en un lapso de 15 minutos es 10; en este caso use la función de probabilidad siguiente.

F(x)


33

Aquí la variable aleatoria es x= número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos. Si la

administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente cinco automóviles en 15

minutos, x =5, y se obtiene

4.3VARIABLES ALEATORIAS H IPERGEOMÉTRICA

Está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Pero difieren en dos puntos: en la

distribución hipergeométrica los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varia de

ensayo a ensayo.

La función de probabilidad hipergeométrica se usa para calcular la probabilidad de que en una

muestra aleatoria de n elementos, seleccionados sin reemplazo, se tengan x éxitos y n-x fracasos.

Para que se presente este resultado, debe tener x éxitos de los r éxitos que hay en la población y

n- x fracasos de los N-r fracasos. La siguiente función de probabilidad hipergeométrica proporciona

f(x), la probabilidad de tener x éxitos en una muestra de tamaño n.

f(x)=probabilidad de x éxitos en n ensayos

n=número de ensayos

N=Número de elementos en la población

r= número de elementos en la población considerados como éxitos

EJEMPLO

Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una. Asuma que un

inspector selecciona al azar tres de los 12 fusibles de una caja para inspeccionarlos. Si la caja

contiene exactamente cinco fusibles defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el inspector

encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso? En esta aplicación n=3 y N=12. Si r =5

fusibles defectuosos en la caja, la probabilidad de hallar

x=1 defectuoso es


34

Ahora suponga que desea conocer la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso. La

manera más sencilla de contestar es calcular primero la probabilidad de que el inspector no

encuentre ningún fusible defectuoso. La probabilidad de x=0 es

Si la probabilidad de cero fusibles defectuosos es f(0)= 0.1591, se concluye que la probabilidad

de hallar por lo menos un fusible defectuoso debe ser 1 =0.1591 =0.8409. Así, existe una

probabilidad razonablemente alta de que el inspector encuentre por lo menos un fusible defectuoso.

La media y la varianza de una distribución hipergeométrica son las siguientes.

En el ejemplo anterior n= 3, r =5 y N =12. Por tanto, la media y la varianza del número de fusibles

defectuosos es:

AUTOEXAMEN

La tabla siguiente muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y.

a. Calcule E(y).

b. Calcule Var(y) y σ

Y f(y)

2 0.20

4 0.30 7 0.40 8 0.10


35

5. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS


na variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua.

En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la

variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de

tiempo, áreas, etc.

EJEMPLO

Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más sencillo que

podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una

distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier

valor entre a y b.

Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor que se obtenga será una

medición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos límites condicionados por la

naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de

valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población. Más adelante

veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de

distribución denominado distribución Normal y representado por una campana de Gauss.

Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos las variables aleatorias absolutamente

continuas.

Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si

existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función

de distribución F de X se puede expresar como

Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se clasifica como

variable aleatoria absolutamente continua.

U


36

5.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Antes de continuar debemos notar que f (x) no representa alguna probabilidad. Las Probabilidades en un intervalo (a, b) están representadas por el área bajo la curva de la función f (x) , en dicho intervalo. Ver la figura 5.1.

5.1.2 FUNCIÓN ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATOR IA CONTINUA

A la función sumable f (x) en todos los reales; que cumple, con las condiciones

siguientes le llamaremos “Función de Densidad de Probabilidad”, abreviado

por fdp, de la variable aleatoria continua X.

a).- f (x) ≥ 0 , para toda x∈R .

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f (x) ,

llamaremos función de distribución acumulada (fda) de la variable aleatoria

continua X, a la función F(x) definida en todos los reales, tal que:


37

5.1.2 PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN DE D ISTR IBUCIÓN ACUMULADA

a) F(x), es una función no decreciente; es decir, para todos los reales x e y, si x < y , entonces F(x) ≤ F( y). b) lím F(x) = 0 Se deduce fácilmente de la definición de una función de distribución acumulada.

→−∞ c) lím F(x ) =1 Se deduce inmediatamente del inciso b) de la definición de una función de densidad de probabilidad.

→+∞ d) La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua es continua. e) La función de densidad de una variable aleatoria continua X se obtiene de la acumulada

f) Con la función de distribución acumulada se pueden calcular probabilidades

EJEMPLO

1) La función de distribución de la variable aleatoria que representa la duración en minutos de una llamada telefónica es:

Hallar su función de densidad, así como la probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 6 minutos. f(x) =

La probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 6 minutos es:


38

donde ξ denota la variable aleatoria que mide la duración de una llamada en minutos.

2) Sea

Otra forma de expresar la densidad es , donde la función I se define como

a) Calcular el valor de la constante

b) Calcular P(X ≥ 2).

5.2 FUNCIÓN DE D ISTRIBUCIÓN ACUMULADA, VALOR ESPERADO Y

VARIANZA

EJEMPLO

Una confitura puede ser calificada de «almíbar» si contiene entre 420 y 520 gramos de azúcar por

kilo de confitura. Un fabricante comprueba 200 botes de confitura de 1 kilogramos encontrando

que el peso medio de azúcar es de 465 gramos, con una desviación típica de 30 gramos. Sabiendo

que el contenido de azúcar se distribuye normalmente (porque proviene de frutas con un contenido

variable de azúcar), calcular el porcentaje de la producción del fabricante que no debe ser

etiquetado como almíbar, considerando la muestra como representativa de la producción total.

RESOLUCIÓN. Sea la variable aleatoria


39

ξ = ‘contenido de azúcar (gr) en botes de confitura de 1 kg’.

Sabemos que el contenido de azúcar en dichos botes se distribuye normalmente con un peso medio

por bote de 465 gr (esto es, µ = 465 gr) y una desviación típica de 30 gr (esto es, σ = 30 gr).

Simbólicamente:

ξ ∼ N(465,30).

Considerando la muestra de 200 botes como representativa de la producción total, el porcentaje de

producción que puede ser calificado de almíbar es el P(420 < ξ < 520)· 100%. Al tipificar la

variable ξ resulta que ξ = 30Z +465, donde Z es la normal estándar. Se tiene entonces:

P(420 < ξ < 520) = P (420−465)/30 < Z < (520−465)/30 = P(−1.5 < Z < 1.83)

= P(Z < 1.83)−P(Z < −1.5) = P(Z < 1.83)−P(Z > 1.5)

= P(Z < 1.83)−[1−P(Z ≤ 1.5)] = 0.9664−(1−0.9332) = 0.8996.

Encontramos así que el 89.96% de la producción total puede ser calificada de almíbar. El resto, un

10.04%, no debe ser calificado como tal.

5.3 D ISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en

ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de

funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma. Resulta que la exponencial es un

caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las

distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en

problemas de confiabilidad. En general, este modelo suele utilizarse para variables que

describen el tiempo hasta que se produce un determinado suceso.

EJEMPLO

Si una variable aleatoria tiene la densidad de probabilidad

𝑓(𝑥) = {2𝑒−2𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0

0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 0

Encuentre las probabilidades de que tome un valor

a) Entre 1 y 3

b) Mayor que 0.5

Solución. Evaluando las integrales necesarias, obtenemos

A


40

∫ 2𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−2 − 𝑒−6 = 0.1333

1

Para la parte a) y

∫ 2𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−1 = 0.368𝑥

0.5

Para la parte b.

5.4 D ISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

Es la más usada para describir variables aleatorias continuas, en donde la variable aleatoria puede

ser el peso o la estatura de las personas, puntuación de exámenes, resultados de mediciones

científicas, precipitación pluvial u otras cantidades similares.

Describe que tan probable son los resultados obtenidos de un muestreo

A continuación se presenta la función de densidad de probabilidad que define la curva en forma de

campana de la distribución normal.

Las observaciones más importantes que considerar son:

1. Toda la familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos parámetros: la

media µ y la desviación estándar σ .

2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la

mediana y la moda

3. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero.

4. La distribución normal es simétrica, siendo la forma de la curva normal al lado izquierdo de

la media, la imagen especular de la forma al lado derecho de la media. Las colas de la


41

curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje

horizontal. Dado que es simétrica, la distribución normal no es sesgada; su sesgo es cero.

5. La desviación estándar determina que tan plana y ancha es la curva normal.

6. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas

bajo la curva normal. Todo bajo la curva es 1, el área bajo la curva y a la izquierda de la

media es 0.50 y el área bajo la curva y a la derecha de la media es 0.50

7. Los porcentajes más usados son:

a. 68.3% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos

una desviación estándar de la media

b. 95.4% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos

dos desviaciones estándar de la media

c. 99.7% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos

tres desviaciones estándar de la media.

Distribución de probabilidad normal estándar

Se denota una distribución normal estándar cuando tiene una media cero y una desviación estándar

de uno.

Función de Densidad Normal Estándar

EJEMPLO


42

De acuerdo con las pruebas realizadas al neumático, los ingenieros de Grear estiman que la

duración media en millas es μ =36 500 millas y que la desviación estándar es σ =5000. Además,

los datos recogidos indican que es razonable suponer una distribución normal. ¿Qué porcentaje de

los neumáticos se espera que duren más de 40 000 millas? En otras palabras, ¿cuál es la

probabilidad de que la duración de los neumáticos sea superior a 40 000? Esta pregunta se

responde hallando el área de la región sombreada que se observa en la gráfica.

Para x=40 000, se tiene

El valor x=40 000 en la distribución normal de Grear Tire corresponde a z=0.70 en la distribución

normal estándar. Mediante la tabla de probabilidad normal estándar se encuentra que el área

bajo la curva normal estándar a la izquierda de z=0.70 es 0.7580. De manera que 1.000- 0.7580

=0.2420 es la probabilidad de que z sea mayor a 0.70 y por tanto de que x sea mayor a 40 000.

Entonces 24.2% de los neumáticos durará más de 40 000 millas.

El área bajo la curva a la izquierda de la cantidad desconocida de millas para la garantía debe

ser 0.10. De manera que primero se debe encontrar el valor de z que deja un área de 0.10 en el

extremo de la cola izquierda de la distribución normal estándar. Según la tabla de probabilidad

normal estándar z .28 deja un área de 0.10 en el extremo de la cola izquierda. Por tanto, z= 1.28

es el valor de la variable aleatoria normal estándar que corresponde a las millas de duración

deseadas para la garantía en la distribución normal de Grear Tire. Para hallar el valor de x que

corresponde a z=1.28, se tiene:


43

Por tanto, una garantía de 30 100 millas cumplirá con el requerimiento de que aproximadamente

10% de los neumáticos sean aptos para la garantía. Con esta información, quizá la empresa

establezca una garantía de 30 000 millas.

AUTOEXAMEN

A continuación se da una serie de experimentos y su variable aleatoria correspondiente.

En cada caso determine qué valores toma la variable aleatoria y diga si se trata de

una variable aleatoria discreta o continua.

Experimento Variable aleatoria (x)

a. Hacer un examen con 20 preguntas Numero de preguntas contestadas correctamente

b. Observar los automóviles que llegan a una caseta de peaje en 1 hora

Numero de automóviles que llegan a la caseta de peaje

c. Revisar 50 declaraciones de impuestos Número de declaraciones que tienen algún error

d. Observar trabajar a un empleado Número de horas no productivas en una jornada de 8 horas

e. Pesar un envió Numero de libras


44

Errores comunes de Probabilidad y Estadística

1. No conocer la diferencia entre Población, Muestra y Variación.

2. No llevar a cabo una planeación de la Hipótesis Nula y/o Alternativa, por lo que puede

sufrir problemas de comprensión.

3. Error de Tipo I: Dar por correcto un hecho erróneo.

4. Error de Tipo II: Dar por erróneo un hecho correcto.

5. Planteamiento de la Hipótesis.

6. No tomar en cuenta el entorno en el que se está aplicando algún experimento o

investigación.

7. Influencias de las personas en los resultados.

8. Veracidad de las respuestas de una determinada muestra.

9. Información recolectada errónea.

10. Error en las transcripciones o interpretaciones de los resultados.

11. Mediciones incorrectas.

12. Una única metodología puede ser suficiente para todas sus aplicaciones.

13. Una metodología puede ser mejor que otra.

14. Los estudios pueden terminar con resultados con un número pequeño de observaciones

hechas.

15. Se descarta la hipótesis nula.


45

Glosario de términos

Desviación estándar. La raíz cuadrada positiva de la varianza.

Distribución probabilística. Enumeración de todos los resultados de un experimento junto con la

probabilidad asociada a cada uno.

Error tipo I. Rechazar la hipótesis nula, H0 cuando en realidad es verdadera.

Error tipo II. Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falso.

Evento. Conjunto de uno o más resultados de un experimento.

Experimento. Proceso que conduce a la ocurrencia de una (y solamente una) de varias

observaciones posibles.

Hipótesis alternativa. Afirmación que se aceptará si los datos muestrales proporcionan amplia

evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

Hipótesis nula. Afirmación (o enunciado) acerca del valor de un parámetro población.

Hipótesis. Enunciado acerca de una población elaborado con el propósito de poner a prueba.

Independiente. Se expresa esto cuando la ocurrencia de un evento no tiene efecto en la

probabilidad de ocurrencia de cualquier otro.

Mediana. Es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de

mayor a menor. Se tiene que 50% de las observaciones se encuentran por arriba de la mediana y

50% por abajo de ella.

Moda. El valor de la observación que aparece con más frecuencia.

Muestra. Una porción o parte de una población de interés.

Mutuamente excluyentes. Se expresa esto porque la ocurrencia de cualquier evento implica

que ningún otro puede incurrir al mismo tiempo.

Nivel de Significancia. Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

Población. Conjunto de todos los posibles individuos, objetos o medidas de interés.

Probabilidad a posteriori. Es una probabilidad revisada con base en información adicional.

Probabilidad a Priori. Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de información.

Variable Aleatoria Discreta. Variable que sólo puede tener ciertos valores claramente

separados, que resultan de contar algún elemento de interés.

Variable Aleatoria. Cantidad que es el resultado de un experimento aleatorio, el cual, debido

al azar, puede tomar valores diferentes.

Varianza. La medida aritmética de las desviaciones con respecto a la media.


46

Material didáctico

Conceptos Básicos de Probabilidad

https://www.youtube.com/watch?v=7b7k4ptrHgw

Video Modelos Determinísticos y Probabilísticos

https://www.youtube.com/watch?v=6B20gGG5BAM&t=180s

Axiomatización de la Probabilidad

https://www.youtube.com/watch?v=PwQIbTv-jKA

Video Técnicas de Conteo

https://www.youtube.com/watch?v=_3aOsueffUw

https://www.youtube.com/watch?v=3ZVq2KvClZ8

https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM&t=456s

Video Probabilidad Condicional

https://www.youtube.com/watch?v=ovDmEn3ARFY

Teorema de Bayes

https://www.youtube.com/watch?v=pI29EcNFtGs

Vídeo Variables Aleatorias Discretas

https://www.youtube.com/watch?v=Bksp0Y47fEw

Video Variables Aleatorias Continuas

https://www.youtube.com/watch?v=SWCl9DDJ3sc

https://www.youtube.com/watch?v=e0qTHDKckg0

Video Función de Densidad de Probabilidad

https://www.youtube.com/watch?v=PkIvduRtbUs

Video Distribución Normal

https://www.youtube.com/watch?v=W1Z3zPlvndw

Video Distribución Exponencial

https://www.youtube.com/watch?v=sKeTf2AK6Ps

https://www.youtube.com/watch?v=PwQIbTv-jKA

https://www.youtube.com/watch?v=Bksp0Y47fEw

https://www.youtube.com/watch?v=PkIvduRtbUs

https://www.youtube.com/watch?v=sKeTf2AK6Ps


47

Ejercicios Extras

Libro Estadística para Administración y Economía. Onceava Edición (Véase su referencia en el

siguiente apartado):

Enfoques de la Probabilidad

PÁGINA 152

Reglas de la Probabilidad

PÁGINA 159

Diagramas de Árbol

PÁGINA 166

Teorema de Bayes

PÁGINA 171

Técnicas de Conteo

PÁGINA 176

Distribuciones Probabilísticas Discretas

PÁGINA 196, 205, 208, 211, 215 y 216.

Distribución Probabilística Normal

PÁGINA 232 A 241

Pruebas de Hipótesis

PÁGINA 344

Regresión Lineal y Correlación

PÁGINA 462

Métodos No Paramétricos: Aplicación de JI Cuadrada

PÁGINA 359

Introducción a la Toma de Decisiones

PÁGINA 696


48

Referencias

Anderson, Sweeney, y Williams. (2008). Estadística para administración y Economía. México: Cengage

Learning.

Anónimo. (2017). Probabilidad y Estadística. Fundamentos de la Teoría de Probabilidad. Recuperado de

http://probabilidadestadisticaivangamboa.blogspot.com/2017/03/4-probabilidad-con-tecnicas-de-

conteo.html

Anónimo. Probabilidad con Técnicas de Conteo. Recuperado de

http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13178w/Estad%20y%20Prob_5a_03.pdf

González, Hernández, Jiménez, Marrero, y Sanabria. (2013). Variables Aleatorias: problemas resueltos.

Recuperado de

https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6033/mod_resource/content/1/tema8/PR8.2-valeatorias.pdf

Gutiérrez, E. y Vladimirovna, O. (2014). Probabilidad y Estadística. Aplicaciones a la ingeniería y las ciencias.

Primera Edición. México: Patria.

Julián de la Horra. (2017). Modelos de probabilidad y muestreo aleatorio. Recuperado de

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgonzalo/est/3-prob-muestreo.pdf

Mason, Lind, y Marchal. (2004). Estadística para Administración y Economía. Onceava Edición. Colombia:

Alfaomega.

Matematicas10.net (2018). "La Estadística". Recuperado de: https://www.matematicas10.net/2015/12/la-estadistica.html Miller, Freud, y Jhonson. (1992). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Cuarta Edición. México: Prentice

Hall.

Triola, M. (2004). Estadística. México: Pearson Educación.

http://probabilidadestadisticaivangamboa.blogspot.com/2017/03/4-probabilidad-con-tecnicas-de-conteo.html

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http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13178w/Estad%20y%20Prob_5a_03.pdf

https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6033/mod_resource/content/1/tema8/PR8.2-valeatorias.pdf

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