Guía de TP

Cátedra: Análisis matemático 1

U N I V E R S I D A D T E C N O L Ó G I C A N A C I O N A LF A C U L T A D R E G I O N A L A V E L L A N E D AD E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A SU D B M A T E M Á T I C A

TRABAJOS PRÁCTICOS 2014

Am1

UTN | Facultad Regional Avellaneda Análisis Matemático 1| Evaluación.Bibliografía

Página 1

Análisis matemático I

Competencias generales

Los alumnos, como estudiantes de ingeniería, deberán

lograr:

• Capacidad para comprender definiciones y

demostraciones.

• Capacidad para modelizar matemáticamente una

situación

• Capacidad para resolver problemas con técnicas

matemáticas.

• Capacidad para predecir, estimar, verificar y justificar

procedimientos y resultados pudiendo describirlos y

discutirlos utilizando vocabulario específico.

Competencias específicas

Al finalizar el curso el alumno deberá ser capaz de:

• Identificar la derivada con el concepto de tasa o

razón de cambio

• Identificar el concepto de límite en la definición de

derivada, integral y serie.

• Identificar el concepto de integral con los efectos

acumulados de una razón de cambio.

• Reconocer el modelo diferencial en distintas

situaciones problemáticas.

• Reconocer el modelo integral en distintas

situaciones problemáticas.

• Aplicar los procedimientos de derivación e

integración para resolver distintos problemas

• Relacionar el concepto de derivada con el de integral

• Relacionar el concepto de integral con el de serie.

Contenidos

Unidad 1: Introducción

Números reales: Valor absoluto: definición y enunciado

de sus propiedades. Intervalos.

Conceptos de topología enℝ : Entornos y entornos

reducidos enℝ . Clasificación de puntos de un conjunto

enℝ . Conjuntos abiertos, cerrados. Frontera de un

conjunto. Conjuntos acotados.

Revisión del concepto de función: Definición . Dominio

y codominio. Conjunto imagen Funciones inyectivas,

sobreyectivas y biyectivas. Función inversa.

Composición de funciones. Reconocimiento de

funciones lineales, cuadráticas, homográficas,

exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, circulares

inversas, hiperbólicas y sus inversas.

Unidad 2 : Límite y continuidad.

Límite funcional: Límite finito y/o infinito para variable

finita y/o infinita: Definiciones Propiedades

(enunciados). Infinitésimos: definición. Equivalencia de

infinitésimos.

Teorema:x 0

senxlím 1

x→= (demostración) Producto de

infinitésimo por función acotada (demostración).

Álgebra de límites.(Enunciado de todas las

propiedades) Límites laterales.

Continuidad : Continuidad de una función en un punto

y en un intervalo cerrado. Clasificación de

discontinuidades. Propiedades de las funciones

continuas (enunciados).


Página 2

Unidad 3 : Derivadas y diferenciales

Derivada de una función en un punto: Definición,

interpretación geométrica y aplicaciones físicas.

Ejemplos de derivada como razón de cambio. Relación

entre derivabilidad y continuidad (demostración).

Rectas tangente y normal al gráfico de una función

escalar en un punto(deducción).

Función derivada. Fórmulas y reglas de derivación.

(Demostración de: derivada de una suma y de un

producto, derivada de y = senx, y= lnx, regla de la

cadena, derivada de funciones inversas). Tabla de

derivadas. Método de derivación logarítmica. Derivadas

sucesivas.

Diferencial de una función en un punto: definición e

interpretación geométrica. Aplicaciones a cálculos

aproximados. Derivadas de funciones definidas en

forma paramétrica e implícita. Aplicaciones.

Unidad 4: Propiedades de las funciones

derivables

Crecimiento y decrecimiento de una función en un

punto: definiciones Relación entre el signo de la

derivada primera y el crecimiento de una función

(demostración). Extremos absolutos y locales:

definiciones. Condición necesaria para la existencia de

extremos locales (demostración) Puntos críticos.

Criterios para asegurar la existencia de extremos en un

punto crítico.

Teorema de Rolle (enunciado e interpretación

geométrica). Teorema de Cauchy.(enunciado).Teorema

de Lagrange (enunciado, interpretación geométrica y

demostración como consecuencia del teorema de

Cauchy). Regla de L´Hôpital (enunciado y aplicación a

los distintos casos de indeterminación)

Concavidad y convexidad de una función: definiciones.

Relación con el signo de la derivada segunda

(enunciado). Punto de inflexión: condición necesaria.

Estudio completo de funciones. Problemas de

optimización.

Desarrollos de Taylor y Mac Laurin. Enunciado de la

expresión del término complementario. Aplicaciones a

la aproximación de funciones. Cálculo del error

cometido.

Unidad 5: Integrales

Integral definida: definición. Propiedades

(enunciados). Teorema del valor medio del cálculo

integral (demostración). La función área o integral.

Teorema fundamental de cálculo integral

(demostración) Concepto de primitiva. Regla de Barrow

(demostración)

Integración indefinida. Propiedades. Teorema: Dos

primitivas de una misma función difieren en una

constante (demostración). Métodos de integración:

integrales inmediatas, por sustitución, por partes

(deducción), integrales que se llevan a arc sen(x) y

arctg (x) , de funciones racionales(con denominador

con raíces reales simples y/o múltiples o de segundo

grado con raíces complejas). Aplicaciones de la integral

definida. Integrales impropias: Definición. Integrales

impropias de primera y de segunda especie. Cálculo.

Unidad 6: Sucesiones y Series

Sucesiones numéricas. Definición. Sucesiones

monótonas. Análisis de la convergencia.

Series numéricas. Condición necesaria de convergencia

(enunciado y demostración). Análisis de alguna serie

telescópica. Criterios para determinar la convergencia

de series de términos positivos (enunciado de los

criterios de comparación, D´Alembert, Cauchy ,

Raabe)y de la integral. Serie geométrica, armónica y

armónica generalizada: definiciones y deducciones de

su convergencia Series de términos alternados. Criterio

de Leibniz. Convergencia absoluta y condicional.

Sucesiones y series de funciones. Convergencia

uniforme de series de funciones. Criterio de Weierstrass

(enunciado). Serie de potencias. Radio e intervalo de

convergencia(deducción). Derivación e integración de

series.


Página 3

Evaluación

Las instancias de evaluación formal, consistirán en dos

exámenes parciales y un examen final que integrarán

los distintos contenidos y que relacionarán lo teórico

con lo práctico.

Teniendo en cuenta que la evaluación es parte del

proceso de aprendizaje, resulta fundamental la

devolución constructiva y oportuna de las distintas

instancias de evaluación.

El primer parcial se dividirá en dos partes: la primera,

que llamaremos parte 1, abarcará los contenidos de las

unidades 1 y 2; la parte 2 abarcará los contenidos de las

unidades 3y 4.

Las unidades 5 y 6 se evaluarán en el 2° parcial.

Tanto el primer parcial, como el segundo podrán

recuperarse en dos instancias. En la recuperación del

primer parcial podrá rendirse sólo la parte 1 o sólo la

parte2, si la otra parte estuviese aprobada, o podrá

rendirse un recuperatorio integral, si no se hubiese

aprobado ninguna de las partes.

Los temarios de los parciales serán redactados por la

dirección de la cátedra, según lo dispuesto por la

jefatura del Depto. de Materias Básicas.

Bibliografía

Para el alumno

• Stewart. Cálculo de una variable. Editorial

Thomson

• Larson, Hoestetler y Edwards. Cálculo. Volumen 1.

Editorial Mc Graw Hill.

• Leithold,l. Cálculo con Geometría Analítica.

Editorial Oxford University

• Purcell-Varberg. Cálculo diferencial e integral.

Editorial Prentice –Hall

Para ampliar y/o consultas

• Apostol,T. Calculus (Vol. 1) .Editorial Rerverté.

• Burgos. Cálculo Infinitesimal de una variable.

Editorial Mc Graw Hill.

• Courant-John. Introducción al Cálculo y al

Análisis Matemático. Vol.1. Editorial Limusa.

• Finney. Cálculo :una variable. Editorial Addison

Wesley Longman

• Noriega,R.Cálculo diferencial e integral. Editorial

Docencia.

• Spivak,M. Calculus (Volumen 1 y 2) Editorial

Reverté

• Swokowski.Cálculo con Geometría Analítica.

Grupo Editorial Iberoamérica.

• Rabuffetti,Hebe. Introducción al Análisis

Matemático. Editorial El Ateneo

• Rey Pastor, Pi Calleja, Trejo. Análisis

Matemático(Tomo 1).Editorial Kapelusz

UTN | Facultad Regional Avellaneda

Análisis matemático 1 | Cronograma

Página 4

CRONOGRAMA CURSOS SIN PROMOCIÓN

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

UNIDADES

1 , 2 y 3

24/3 31/3 7/4

14/4 21/4 Final

28/4 5/5 12/5 19/5 26/5 2/6 9/6 16/6 23/6 30/6 7/7

25/3 1/4 8/4 15/4 22/4 29/4 6/5 13/5 20/5

27/5 Final 3/6 10/6 17/6 24/6 1/7 8/7

26/3 2/4 9/4 16/4 23/4 30/4 7/5

14/5 21/5 28/5 4/6 11/6 18/6 25/6 2/7 9/7

20/3 27/3 3/4

10/4 17/4 24/4 1/5 8/5 15/5 22/5 29/5 5/6 12/6 19/6 26/6 3/7

10/7

21/3 28/3 4/4 11/4 18/4 25/4 2/5 9/5 16/5 23/5 30/5 6/6 13/6 20/6 27/6 4/7 17/7

Primer parcial

14/7 15/7 16/7 17/7 18/7

21/7 al 25/ 7 RECESO INVERNAL 28/7 al 8/8 EXÁMENES FINALES

UNIDADES 4,5 y 6

11/8 18/8 25/8 1/9 8/9 15/9 22/9 29/9 6/10 13/10 20/10 27/10 3/11

10/11

12/8 19/8 26/8 2/9 9/9 16/9 23/9 30/9 7/10

14/10Final 21/10 28/10 4/11 11/11 18/11

13/8 20/8 27/8 3/9 10/9 17/9 24/9 1/10 8/10 15/10 22/10 29/10 5/11 12/11 19/11

14/8 21/8 28/8 4/9 11/9 18/9 25/9 2/10 9/10 16/10 23/10 30/10 6/11 13/11 20/11

15/8 22/8 29/8 5/9 12/9 19/9 26/9 3/10

10/10 17/10 24/10 31/10 7/11

14/11 21/11

Segundo parcial

17/11 25/11 26/11 27/11 28/11


Análisis matemático 1 | Cronograma

Página 5

CRONOGRAMA CURSOS CON PROMOCIÓN

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

UNIDADES

1 , 2 y 3

10/3 17/3 24/3 31/3 7/4

14/4 21/4 Final

28/4 5/5 12/5 19/5 26/5 2/6 9/6 16/6 23/6 30/6 7/7

11/3 18/3 25/3 1/4 8/4 15/4 22/4 29/4 6/5 13/5 20/5

27/5 Final 3/6 10/6 17/6 24/6 1/7 8/7

12/3 19/3 26/3 2/4 9/4 16/4 23/4 30/4 7/5

14/5 21/5 28/5 4/6 11/6 18/6 25/6 2/7 9/7

13/3 20/3 27/3 3/4

10/4 17/4 24/4 1/5 8/5 15/5 22/5 29/5 5/6 12/6 19/6 26/6 3/7

10/7

14//3 28/3 4/4 11/4 18/4 25/4 2/5 9/5 16/5 23/5 30/5 6/6 13/6 20/6 27/6 4/7 17/7

Primer parcial

14/7 15/7 16/7 17/7 18/7

21/7 al 25/ 7 RECESO INVERNAL 28/7 al 8/8 EXÁMENES FINALES

UNIDADES 4,5 y 6

4/8 11/8 18/8 25/8 1/9 8/9 15/9 22/9 29/9 6/10 13/10 20/10 27/10 3/11

10/11 17/11 24/11

5/8 12/8 19/8 26/8 2/9 9/9 16/9 23/9 30/9 7/10

14/10Final 21/10 28/10 4/11 11/11 18/11 25/11

6/8 13/8 20/8 27/8 3/9 10/9 17/9 24/9 1/10 8/10 15/10 22/10 29/10 5/11 12/11 19/11 26/11

7/8 14/8 21/8 28/8 4/9 11/9 18/9 25/9 2/10 9/10 16/10 23/10 30/10 6/11 13/11 20/11 27/11

8/8 15/8 22/8 29/8 5/9 12/9 19/9 26/9 3/10

10/10 17/10 24/10 31/10 7/11

14/11 21/11 28/11

Segundo parcial

1/12 2/12 3/12 4/12 5/12

Análisis matemático 1 ACTIVIDADES

U T N | F A C U L T A D R E G I O N A L A V E L L A N E D A

AUTORES

Alvarez, Adrián

Arce, Andrea

Barrile, Sandra

Bindstein, Mirta

Brunovsky, Vanesa

Folino, Patricia

Freire, Gastón

Gomez, Eduardo

Riccitelli, Marina

Righetti, Gabriela

Rodríguez, Roberto

Romero, Gustavo

Torreiro, Liliana

Am1


Página 1

Análisis matemático 1 | Actividades

Los siguientes ejercicios y problemas corresponden a temas que se consideran sabidos

0.1) Resolver en

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

0. 2) Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

0.3) Hallar f-1(y0) ( preimagen de y0)

0.4) Sean las siguientes funciones definidas de en :

a) b)

Para cada una de ellas se pide:

a) Dominio

b) Conjunto imagen

c) Representación gráfica.

Capítulo 1Intervalos. Entornos. Clasificación de puntos de un conjunto. Funciones.

�

( )− +<

x2

1

272

2

(2x-3) > 4 (x+1) (x+2)2

x - 1 < 22 x - 1

2 4 - x2 2≤

(x +x-6)(x +1)>02 4

x - x < 02

f x x x( ) = + −2 2 g xx x

( ) =+ −

1

22

i xx

( )sen( )

= 1

π

k x x( ) = − −2 1 m x x x( ) ( )= − −2 242 1

p x x x( ) = + −2 q xx x

( )( )

=− −

1

2 12 24

f xx x

( ) =− +

1

22

f(x) = x+ x g xx si x

x si x( ) =

<

+ ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

1 02

y01

2=

v xx

x( ) =

−1

x > x3

x + 2x + 1 42 ≤

uno

0.5) Para cada una de las siguientes funciones definidas de :

a) Determinar la amplitud y el período.

b) Encontrar los ceros (C0) y los valores del dominio en los que

se producen el máximo (xmax) y el mínimo (xmin)

c) Realizar el gráfico

I) II)

III) IV)

Intervalos1. Escribir utilizando intervalos los subconjuntos de que son solución de las siguientes

inecuaciones, indicando en cada caso el conjunto de puntos interiores, el de puntos de

acumulación, el frontera y el de puntos aislados (si los hubiere). Indicar si los conjuntos

solución son abiertos, cerrados o ni lo uno ni lo otro.

a) b)

c) d)

e) f)

g)

2. Determinar, si existen, supremo, ínfimo, máximo y mínimo de los siguientes conjuntos.

En cada caso determinar el conjunto de puntos de acumulación:

a) b)

c) d)


Página 2


R R→

f x sen x( ) = ( )2

f x sen x( ) = − +( )2 π

x

x

2 2

20

−−

>1 1

10

2

+ −

−>x

x

2 4

90

2

x

x

−−

≥

24 6

90

2

−−

≥x

x

A x x x= ∈ + − <{ }�/2 4 30 02

Cn

nn= + ∈

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3/ �

B y y x x x= ∈ = + − ∧ ∈ −{ }�/ ( ; )2 4 30 5 32

Dx

xx x= + ∈ ∧ ≠

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

30/ �

| |4 12

50

2

x

x

−−

≤

3 18 9 023x x+ ⋅ − ≥

2 8

1 20

x

x

−− −

<

f x x( ) cos= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

π

f x x( ) cos= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

23

2

π

�

Funciones

3. Hallar el dominio de las siguientes funciones

a) b)

4. Para cada una de las siguientes funciones definidas de en , se pide:

I) Conjunto imagen.

II) Representación gráfica aproximada

a) b) g(x)=3-2|2x-4|

c) h(x)=[x] (función “parte entera”1) d) m(x)=x-[x] (función mantisa)

e) f)

5. En un negocio donde se realizan fotocopias, el costo por unidad depende del número de copias:

• Hasta 50 copias, el precio es $ 0,15 c/u

• Desde 51 a 100 copias al precio anterior se le realiza un descuento del 20%

• Más de 100 copias al precio anterior se le realiza otro descuento del 10%,

redondeando a dos decimales.

Hallar la fórmula de la función que indica el precio a pagar en función de la cantidad total de

copias. Analizar si se trata de una función de

6. Los recibos de una cierta compañía eléctrica se confeccionan con los siguientes criterios:

• Con independencia del consumo, en cada recibo se incluye una cantidad fija de 300 monedas.

• Si el consumo no supera los 1000 kWh, se factura a razón de 2 monedas el kWh.

• A partir de los 1000 kWh, cada kWh adicional se factura a 1,2 monedas.

a) Obtener la expresión que proporciona el precio (en monedas)

en función del consumo (en kWh).

b) Realizar el gráfico de la función obtenida en a)


Página 3


R R→

f x arcsenx

x( ) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

f x xx si x

x si x( ) = =

≥− <

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

0

0

f x x( ) = −2 9

g x arctgx

x( ) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

g x x x( ) . .= − − + +2 1 2 2 3

�

1) Se llama parte entera deun número real al menor delos enteros entres los cualesesta comprendido. Si x entonces [x]=n. Por ejemplo: [3,2]=3;[0,6]=0; [-3,2]=-4

∈ ∈ ∧ ≤ < +� �, ,n n x n 1


Página 4


7. Sea

a) Calcular a sabiendo que . Justificar.

b) Si a=b2, calcular . Justificar.

8. Para cada una de las funciones:

a) Determinar el dominio

b) Realizar los gráficos de cada una de las funciones indicadas

c) Definir, si es posible, la función inversa. En caso de no ser posible,

restringir para poder encontrarla.

d) Definir, si es posible, fog y gof. En caso de no ser posible, restringir

para definirlas.

I)

II)

III)

9. Una técnica para descubrir la antigüedad de un objeto es medir la actividad (A) de carbono

14 presente en el mismo. Esta actividad viene dada por: A = 15,3.(0,866)t donde t es la

antigüedad en miles de años y A se mide en desintegraciones por minuto por gramo (dpm/g)

de carbono 14. Calcular la antigüedad de un objeto en el que A= 7,65 dpm/g

10. La población de un país aumenta un 2,3% por año. Al comienzo del tiempo de

observación, el país tiene 12 millones de habitantes.

a) Determinar la función exponencial que describe el crecimiento de la

población. Usen como variable independiente al tiempo t medido en años.

b) ¿Qué cantidad de habitantes tendrá el país 5, 10 y 20 años después del

comienzo de la observación?

c) ¿Qué cantidad de habitantes tenía el país 5, 10 ,20 años antes del

comienzo de la observación?

d) ¿Cuándo tuvo, este país, 10 millones de habitantes y cuando tendrá 40

millones de habitantes?

e) ¿En qué tiempo T se duplica la cantidad de habitantes? (T se llama

tiempo de duplicación)

Expresar las respuestas en millones de habitantes aproximando a los centésimos.

f B f x x x g A g x x: / ( ) : / ( )→ = + + → = − +−R R2 2 3 2 1

f A f x x g B g xx

x: / ( ) log( ) : / ( )→ = − → =

−R R

3

f A f x x g B g x x: / ( ) : / ( )→ = − → = +R R2 22

b b a> ≠ >0 1 0, ,

3 2 13log logb ba b ab⋅( ) − ( ) = −

log log log logb b b ba b a b3 4 8

2 33+ − −


Página 5


11. Para cada una de las siguientes funciones se pide:

a) Clasificar en inyectiva, sobreyectiva , biyectiva

b) Restringir, si es necesario, dominio y/o codominio para asegurar

la existencia de función inversa.

c) Obtener f-1

d) Representar, en un mismo sistema de ejes cartesianos,

la función dada (o su restricción) y la inversa.

I) f: / f(x)= x3 + 1 II) f: / f(x)= -2x2 –4x + 1

III) f: / f(x)= 3- 2 x-1 IV) f: - {0} /f(x)= ln |x|

12. Sea .

a) Determinar A (dominio natural de f) y B como para que f sea biyectiva.

b) Definir f-1

c) Graficar f y f-1

d) Verificar que (f0f-1)(x)=x

13. Sea

a) Encontrar a, k y b sabiendo que y=9 es asíntota horizontal de f , que el

gráfico de f corta al eje y en el punto de ordenada 6 y que el punto (-1;8)

pertenece al gráfico de f

b) Para los valores obtenidos en a), determinar A y B (máximos) como

para que f sea biyectiva y definir f-1.

c) Graficar ambas funciones e indicar conjunto de positividad de cada una.

14. Sea f: tal que f(x)= 2.sen(bx+c).

a) Encontrar b y c si se sabe que el período es y f(0)=1.

b) Indicar conjunto de ceros, abscisas de los puntos en los que f es

máxima, abscisas de los puntos en los que f es mínima y realizar un

gráfico aproximado.

15. La corriente i (medida en amperes) en un cable de un circuito de corriente alterna se da

por i(t)=30.sen(120 t),donde t se mide en segundos.

Determinar cuál es el máximo valor de la corriente, dar un instante en el

que se produce y el tiempo que debe transcurrir para que se cumpla un

ciclo completo.

R R→

R R→

f A B f xx

x: / ( )⊆ → ⊆ = +

−� � 3 1

2

R R→

R R R→

f A B: ⊆ → ⊆� �/ f(x)= k - ax-b

R R→3

2

π

π


Página 6


16. Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones (S) y determinar S0, S’:

a) sen (x)=0,5 b) x= arcsen (0,5)

c) d) cos (x) = cos (3x)

e) sen (x) = sen (3x) f) cos (x) = sen (3x)

17. Resolver:

tg x tg x34

53

+⎛⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟= −

⎛⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

π π

a x x

c x

x

x

) log log log

) log , lo

3 16 4 216 2

2 1 53

− =

− gg x = 10

bx x

x x)log

1

20

2

2

− −+ −

=

)log log ( )x xd +( ) = + +− −9 7 2 3 121

21

Límite1. Definir, en cada caso, dos funciones f y g tales que y verifique.

I) II)

III) IV)

2. Calcular los siguientes límites


Página 7


Capítulo 2Límite. Continuidad. Repaso para el primer parcial

�dos

�

lim ( ) ;lim ( ) ;x x

f x g x→∞ →∞

= ∞ = ∞

lim( )

( );

x

f x

g x→∞= 3

lim( )

( );

x

f x

g x→∞= ∞

lim( )

( );

x

f x

g x→∞= 1

lim( )

( ),

x

f x

g xa a

→∞= ∈R

ax

x xb

x x

x

c x x x

x x

x

) lím ) lím

) lím ( )

→ →

→

−− +

+ −

+ + +( )1

2

21

1

2

1

3 2

3 4

3

3 2 3 1 ddx

x

ex

x

x x

xf

z

z

x

x z

) lím

) lím ) lím

→

→− →−

−−

+− +

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

9

2

2

2 22

9

3

5 5 3

ggz z

z z zh

a x a

x

ix

z x

x

) lím ) lím( )

) lím

→ →

→

− +− + −

+ −

+ −

3

2

3 20

2 2

0

6 9

7 15 9

2 22 3 3 1

1

2

4 1 3

16

1

2 0

3

2

xj

z z

z

kx x

xl

x x

x

z

x x

) lím

) lím ) lím

→

→ →

+ − +−

− ++ −

−+ 44

3 1

1

0 0

0 0

x

mx

xn

x

x

ñ x o

x x

x x

) límsen( )

) límcos

sen

) lím ln ) lím

→ →

→ →

−

+

++ − −

− ++→ →−+

sen sen

) lim ln( ) l m/

x x

x

p x ix

xx x

1

2 83 2

2 14 1 2q)


Página 8


3. Calcular los siguientes límites:

4. Calcular los siguientes límites:

axx

bx

xx

x

x

x

xx

) lím ) límsen( )

tg ( )

→

−

− +

→

−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛⎝2

4

3 5

0

32

22 42

2⎜⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

→

→∞ →∞ →∞

cx

x

d

x

x

x

x

x

x

) límsen( )

) lim lím l

3

3

3

21

5e) f) íím

) lím ) lím ( )cosln

x

x

x

x

x

gxx

h x

13

4 13 2

11

1

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+→∞

+

→−

11

1

1

1

4 13 2

4

2

4

11

+−

++

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟→∞ →∞

+

x

x x

ixxx

x

x

x

) lím límj)xxx

kx

xl

x

x x

x

x

x

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟→∞

+

+

→

−

37 1

12

2

3 1

1

13

2

2) lím ) lím

11

2

23

0

2

22 12 2

21

1

( )

→

→

−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

xx

m xx

n x

x

x

)lím( ) sen

)límff x

donde f x x( )

( )+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤ ≤ ∀ ∈

22 3 R

ax x

x xb

x x

x

cx

xd

x x

x x

) lím ) lím

) lím )

→∞ →∞

→∞ →∞

− +−

+−

−+

3 5 1

2 2

5

7

6

3

2

2

2

3 llím

) lím ) lím

) lím (

x

x

e x x fx

x

g x x

x x

x

2

2 22

3

1 14 2

2 1

1

−

+ − −( ) +−

+

→∞ →∞

→∞)) ) lím

) lím

−( ) +

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟→∞

+ ++ +

→∞

x hx x

x

i

x

x x

x x

x

2 4 1

2 5

3 2

5 3

3 2

5 1

2

2

22 1

3 5

3 3 2 1

5 3 2

2

2

4 2 1

2

2

2

x x

x x

jx x

x x

k

x

x x

x x−

+

+ −

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟→∞

+ +− +

) lím

)) lim lim l) x x

x x x

x x x

x x→∞ →∞

+ − ++ − −

+5 4 7 1

6 3 5

9 1032 14 5

42 27 12

56 334 15

45 17 15

32 48 14

42

2 3

5 6 3 7

42 6 1

6 7

+ ++ + −

+ − ++→∞

x

x x x

mx x x

x xx) lim

448 12 13 5

2 3

5 2 4 3− −++→∞ −x

nx

x x

x x)lim

. .


Página 9


5. Analizar la existencia de los siguientes límites:

6. ¿Para cuál o cuáles de las siguientes funciones se cumple que ?

7. Hallar los valores de los números reales a, b, para que se cumpla que:

8. Decidir si son Verdaderas o Falsas las siguientes proposiciones. Justificar.

ax

xb

xx x

c f xx x

x x

x

x

) lím ) lím

) ( ) lí

→

→

−− →

−

=+ ≤

− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

3

2

32

3

3 24

2 1 2

3 2mm ( )

) ( ) lím ( )

) ( )ln

f x

d g x xx

x x

g x

e h xx si

x

= −≤ −

+ > −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

=

→−

1

2 33

2 33 3

xx

x si xh x

f g xx

x

xx

x

>− ≤

⎧⎨⎩

−−

⎛⎝

→

→ →

1

1 1

2 11

2

1

0

1

2

lím ( )

) lím ) lím( ) sen⎜⎜⎞⎠⎟

=+

>

⎧

⎨

+ ++⎛

⎝⎜⎞⎠⎟h f x

x

senx tgx

xsi x

x xx x

) ( )

.

5 33

2

2

3 2

12

0

si x<0⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

→ lím ( )

xf x

0

lím ( )h

f h→

=0

0

a f hh

hb f h

c c

hc

c f hh

hd f h

x

x

) ( )sen

) ( ) , ( )

) ( ) ) ( )

=( )

= − ∈

= =+

2

2

3

2 1

2

�

x x

f x y f x si f xax bx

x→+∞ →= = = + + −

lím ( ) lím ( ) ( )2 14 2

30

2

a f x L f a L

b Sean f y g tales que x f x g

x a) lím ( ) ( )

) : : : ( ) (

→= ⇒ =

→ → ∀ ∈ ≠R R R R R xx

entonces f x g x con a

c f x L y

x a x a

x a

),

lím ( ) lím ( )

) lím ( ) lím

→ →

→

≠ ∈

=

R

1 xx a

f x a

f x L L L

d Si a D entonces no existe f x finito

→

→

= ⇒ =

∉

( )

) , lím ( )

2 1 2

..

) lím( ( ). ( )) lím ( ).lím ( )

)

e f x g x f x g x

f

x a x a x a

No existe

→ → →=

ninguna función f para la cual se cumpla lim( )

x

f x→2 xx2 4

6−

=


Página 10


g)

h)

i)

j)

k)

l)

9. Definir una función f: que cumpla simultáneamente:

10. Sea p(x) una función polinómica en la que a es una raíz de la ecuación p(x)=0.

a) Si se define , analizar:

I) si puede asegurar la existencia de

II) si la respuesta anterior es afirmativa,

¿se puede decidir si es finito o infinito? Justificar.

b) Definir, en cada caso, un polinomio P(x) tal que

la función , verifique:

I)

II)

III)

IV)

V)

c) Hallar a y b para que

11. Sean f y g dos funciones definidas de -{0} en tales que y

Probar que existe un entorno reducido de 0 en el que se cumple g(x)>0.

Si f x y g x entonces

I

x a x a

x a

lim ( ) lim ( )

) lim

→ →

→

= =3 5

(f(x).g(x))=155

f(x)+g(x)=3+g(x)

III)

II

f x

g x

x a

x a

) lim

lim( )

( )

→

→=3

5

Si f a y g a entonces

I

IIx a

x a

( ) ( )

) lim

) lim

= =

→

→

3 5

(f(x)+g(x))=8

f(x)++g(x)=8

III) lim( )

( )x a

f x

g x→=3

5

Si f x b entonces f es a ada en su do iox alim ( ) cot min .→

= ∈�

Si f x b entonces f es a ada en un entorno de ax alim ( ) cot .→

= ∈R

R R→

R R

I f x II f x III f xx x x

) lím ( ) ) lím ( ) ) lím ( )→ →∞ →

= ∞ = =2 1

3 1

f xp x

x a( )

( )=−

límf xx a→

( )

f xP x

x x( )

( )=− −2 2

lim ( )x

f x→∞

= ∞

lim ( )x

f x→−

= ∞1

f xg x

x( )

( )=2

límf xx→

=0

0 001( ) ,

limx

ax bx

x→+∞

+ ++

=5 3

4 5

1

2

lim ( ) lim ( )x x

f x f x→− →

= ∞ ∧ =1 2

1

3

lim ( )x

f x→∞

= 3

lim ( )x

f x→−

= −1

1

3


Página 11


R R→

12. Calcular los siguientes límites

13. Sea f: tal que

Calcular los siguientes límites

14. Justificar por que son incorrectas las siguientes cadena de igualdades

15. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.

a)

b)

ax

xb

x x

x

cx

x x

x

) límsen( )

) límsen tg

sen

) límcos

s

→ →

→

−−

− +

−

22

03

2

2

4

1π een) lím

cos

tg

) lím ( ) ) lím

xd

x

x

e x x x f

x

x x

→

→+∞ →∞

+ ( )( )

+ − +( )

12

1

2 2

3

ππ

xxx

x

x x

gx x

xh

x

xx

x

x

3 5

5

2

2

2

3 3

2

1 2

3 5

2 5

6 9

2

−

+

++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −−→∞ →

)lím )lím77

3 2

3 55 14

2

2

2

7

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − + +( )

→∞ →i

x x

xj x x

x

x

x)lím )lím .coos

) lim [ln( ² ) ln ]

ec x

kx

x x xx

2

0

49

1

−( )

+ −→ +

lim ( ) , lim ( ) , ( )x x

f x L f x w xx L→ →∞

= = =−1

01

I f x L sen w f x

sen f w x

f w

x

x L

) lim( ( ) ) ( ( ))

lim( ( ))

II)

→

→

−1

�

�� (( )

lim( )

( )

( )

x

w f x

w f xx

w f x

III)

→

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

1 ��

�

a xx

xxx x x

) lim cos lim .limcos → → →

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

0 0 0

1 10..limcos

) lim lim lim

x

x

x

x

x

x

x

bx

→

→∞ →∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= =

0

10

11

1 →→∞

=1 1

Si x E'(a; h), |f(x)| 2 y g(x)= , entonces ∀ ∈ ≤ ∞→ →

lím límf

x a x a

(( )

( )

x

g x=0

( ) , [ ( )]Si f y lím entonces f gx

= =→

2 4 2 1 41

g(x)=


Página 12


�Continuidad16. Encontrar, si es posible, y clasificar los puntos de discontinuidad de cada una de las

siguientes funciones:

17. Definir con dominio en [-2, 2]:

a) Una función continua en su dominio.

b) Una función con discontinuidad evitable en x = -1.

c) Una función con discontinuidad esencial en x = 0 y x = 1.

d) Una función continua en (-2, 2), pero no en su dominio.

18. Decidir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justificar.

Sean f: y g:

19. Encontrar el valor de las constantes para que las siguientes funciones sean continuas en .

a f x e b f x xx

c f x

x si x

x) ( ) ) ( ) ( ).sen

) ( )

1

1

2 2

3

1 31

9

3 1

1

= + = −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+ >

xxsi x x

x si x

d f xx x

xsi x

si x

+ − ≤ ≤ ∧ ≠

< −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

=+ −−

≠

=3 1 1 0

1

6

22

1 24

2

) ( )⎧⎧⎨⎪

⎩⎪

=− ≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪= −

−e f x

x

xsi x

si xf f x

x

x

g f

) ( )cos

) ( )

) (

5 6 2

7

10

1 0

6

36

xxx

xh f x

x

x

i f x

x si x

x si x

) ) ( )

) ( )

=−

= + −−

=

+( ) ≤

− + < <

2

8 2

9

2

1 7 3

4

1

32 1

2 1 2

11 2

20

2 010

2si x

j f xx

xsi x

x si x≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

=>

+ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪) ( )

sen

R R→ R R→

R

a Si f x b y g es continua en b entonces g o f x g bx a x a

) lím ( ) , lím ( ) ( ).→ →

= =

bb Si f es continua en a entonces f f x f a

c Si f y g son c

x a) , lím ( ( )) ( ).

)

→=

oontinuas en b entoncesg x f x

f xes continua en b,

( ) ( )

( ).

5 74

2

−

a f xx c si x

c x si xb g x

e si x

x

a x

x

) ( ) ) ( ) ( )= − <+ ≥

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

=≤−

−

+3

1

21

3 5 1

1

1

++

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪

=− <

≥

⎧⎨⎪⎪

1

1 2

22

si x>-1

c h xkx si x

k x si x) ( )

⎩⎩⎪⎪=

− ≤+ < <

≥

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

d l x

si x

c x k si x

si x

) ( )

1 0

0 1

1 1


Página 13


=e r xsen k

) ( )( xx

xsi x

x k si x

f f x

a x

xsi x

b)

) ( )

sen[ ( )]

<

+ ≥

⎧⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

=

−−

<0

3 2 0

1

11

2

−− =

+ − >

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= +( )

−

e si x

x si x

g S x x

x

²

[ ( )]

) ( )

1

1 2 1 1

1 2

11

112

1

0x

b x

si x

e si

x 0

>

≤

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

+ +

f x

x

xsi x

si x

x

x

( )

sen( ² )

=

−−

<

+⎛⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ < ≤

− −

−

4

22

42

32 5

5 10

5

12

−−∈

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ xsi x m( ; ]5

R

→

→

R

20. Hallar m y clasificar todos los puntos de discontinuidad de la función:

21. Responder: a) ¿Es posible encontrar dos funciones discontinuas en un punto tal

que su suma resulte una función continua en ese punto?

b) ¿Es posible encontrar dos funciones discontinuas en un punto tal

que su producto resulte una función continua en ese punto?

22.Definir y representar:

a) una función de en que presente una discontinuidad evitable en x=2,

una esencial en x=-2, cuyo límite para x +00 sea 2 y cuyo límite para

x -00 sea -2.

b) Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:

c) Hallar los puntos de intersección de la función y sus asíntotas.

23. Sea f: , tal que si x=/0.

Decidir cuál debe ser el valor de f(0) para que la función sea continua

en todos los reales.

I f xx

II f xx

x x

III f xx

xIV f x

) ( )( )

) ( )

) ( ) ) ( )

=−

=+ −

=−

=

1

2 2 8

4

2 2

2

2

xx

x

V f xex

2 7

1

1

+

=−

) ( )

f xsen x

x( )

( )=

R R→ f xx

x( )

cos= −12


Página 14


24. a) Definir un función con dominio [-3,2], que sea continua en (-3,2],

pero que no lo sea en su dominio.

b) Analizar si se puede aplicar el teorema del valor intermedio a la función

para encontrar un punto en cada uno de los

siguientes casos:

I) a= -1, b=1 II) a=1/2 , b = 1

25. Probar que el polinomio p(x) = x3-15x+1 tiene tres raíces en el intervalo [-4,4].

26. Probar que las siguientes ecuaciones tienen solución:

a) cos x = x b) ex = 3x

27. Mostrar con un ejemplo que si en el teorema de los ceros de Bolzano, sólo se pidiese

continuidad de la función en un intervalo abierto manteniendo las otras hipótesis no se podría

asegurar la existencia de un cero en ese intervalo.

28. Sea f: [-1,1] una función continua en [-1,1] , tal que f(-1)=f(1) y f(0)=/f(1).

Probar que existe algún c (0,1)tal que f(c) = f(c-1)

29. Sea

a) Estudiar la continuidad de f en su dominio.

b) Estudiar la continuidad de f en [1,2].

c) Estudiar la continuidad de f en [0,1].

d) ¿Se puede aplicar el teorema de Bolzano a f en [-3,2]? ¿Y en [-3,1]?

Justificar la respuesta.

f xx

( ) = 1c a b f c∈ ( ) =( , )/

3

2

∈

R→ Sugerencia: Aplicar el

Teorema de los ceros de

Bolzano a la función

g(x)=f(x)-f(x-1))

f xx

si( ) =

+⎧⎨⎩

≤1

2

si x 1

x>1


Página 15


Derivada1. Calcular, por definición, las derivadas de las siguientes funciones en los puntos

que se indican:

2. Calcular, por definición, las derivadas a derecha y a izquierda para cada una de las

siguientes funciones, en los puntos que en cada caso se indican:

3. Utilizar fórmulas y reglas de derivación para obtener la función derivada de:

4. Derivar las siguientes funciones compuestas.

Capítulo 3Derivada. Diferencial. Derivación de funciones definidas

en forma paramétrica e implícita

�tres

�

a) f(x)= x -5x + 6 en x = 1 y en x =3

en x

20 1

b g xx

) ( ) =−2

1 00

0

0

= 0

c) h(x)= 2x-1 en x = 1

d) en x = 2p x x( ) ln( )= + 3

a f x x en x

b h xx si x

x si xen x

) ( )

) ( )

= − − =

=− <+ ≥

⎧⎨⎩

=

5 5

1 0

1 00

0

2 0

a b f xx

a b

x

a bx) ) ( )f (x)= 6 x - x + 3

c) f (x)= 2 a x

13 2

33

2

5 2

=+

−−

−

- d) f (x)=

e) f (x)= x lnx + 3x f) f (t)=

4

52

6

x

bc x x

x

t

t

23

3

31

1

+ + +

+ 22

2

2

2

2

3 1

g) f (x)= h) f (x)=x(2x-1)(3x+2)

i) f (x)=

7 8

9

x

m

m

x

x

n

n

x

x

+ + +

+xx x

x

x

t t

2 2

1

1

2 22

− −−+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

j) f (x)=

k) f (t)= l)f (x

10

11 12

sen cos))=

m)f (x)= n) f (t)=13 14

sen .cos

tg .lncos

sen

x x

x xt t

t

2

1

3

2

2

−+

a)g(x) = (x + a ) b) f(x) =

c) h(x)=(a+x). d) f(t)= s

2 2 5 x a

a x

2 2+

− een 2t

e)g(z)= cos 2z f) w(x)= ln

g) m(x) =cos h) p(x)=

3 cos

ln

x

x ccos (ln x

i) g(t)= ln [sen (3t)] j) h(t) =ln ( cosec t + 2

)

ccotg t)

k) f(x) = ln1

1

+−

x

x


Página 16


5.Derivar:

6. Obtener las funciones derivadas de:

7. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de cada una de las siguientes funciones en los

puntos que en cada caso se indican:

8. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas .Justificar.

9.

Justificar.

a) y= e

d) y = a . e

e) y

4x+5

x

b y

c y c c c

x

a x

x)

) ( )

=

= ∈ ∧ ≠

+

+−

7

1

2

2

2

2�

= a f) y =

g) y= a h) y = x

i) y = x

ln x

tg(nx) x

sen

e

e

x

x

−+

1

1

x tg x

ln x

j) y= (sen x)

k) y = x

a) f(x) = arc cos (ln x) b) f(x) = arc sen

c)y= xarc sen

sen x

x d) y = arc sen

e) y = arc tg f) y= Arg Th

x

x

x

x a

+

−+

1

2

2

1 12 ++ ax

a f x

x si x

x si x

xsi x

x x

b h x

) ( )

) ( )

=≤< ≤

+ >

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

= ∧ =

=

2

2

0 1

0

0 1

1

21

0 1

2 ++ ≤+ >

⎧⎨⎩

=

( ) ≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

x si x

e si xx

x x si x

si x

x

0

1 00

1 0

0 0

0

2

c) g(x)=sen

xx

x si x

x si xx

e g x

x

e

si xx

0

0

1

0

1 0

1 00

1

=

+ ≤+ >

⎧⎨⎩

=

= +≠

d) f(x) = ( )²

) ( )00

0 0

00

si x

x

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

=

a f x x f

b f x x f

) ( ) '( )

) ( ) '( )

= ⇒ − =

= ⇒ − = −

3 1

3 1

c) Como f(x)=x no es 1/3 dderivable en x = 0, entonces no es continua en dicho pu0 nnto

d) Las funciones y=cos x e y=senx son soluciones de laa ecuación y"+y=0.

Sea f una función derivable en tal que f(0)= f'(0)=1. CaR llcular g'(-1) sabiendo que g(x) = -3 f x x− +( )⎡⎣ ⎤⎦ +65

21 3


Página 17


10. Para cada una de las funciones, hallar la derivada que se indica:

11. En cada caso hallar, si es posible, la ecuación de la recta tangente y normal al gráfico

de f en el punto cuya abscisa se indica:

12. Encontrar el punto de la parábola y=x2-7x+3 en el que la recta tangente es paralela a:

a) el eje x.

b) la recta 5x + y – 3 = 0

13. Demostrar que la normal a la curva 3y=6x-5x3 en (1;1/3) pasa por el origen de coordenadas.

14. La recta tangente al gráfico de f(x)= x3+4 en (1;5), corta a dicho gráfico en otro punto.

¿Cuál es?

15.

Investigar si esa recta corta en algún otro punto al gráfico de f.

16. Un punto se mueve según la ley s=t3 - 6t2 + 12t.

¿En qué instante alcanzará la velocidad su valor cero?

17. Un cuerpo lanzado hacia arriba, alcanza una altura en metros, dada por h(t)=6+24t-5t2

(t expresado en segundos).

a) Hallar la velocidad y la aceleración al cabo de 2 segundos

b) ¿En qué tiempo alcanza la altura máxima?

c) ¿Cuál es la altura máxima?

a y para

b y para y x

c y parav

) '''

) '''

) '

y= 3x -2x +5x+1

y= ln (x+

3 2

= 35

11)

d y para y x ex) ''' .=

a) f(x) = x -x+1

b)f(x)= ln(1+x ) - e + tg x

2

2 -2x

en x

en x

0

0

2

0

=

=π

cc) f(x) = 3 x +1

x2 en x

d f x x en x

e f x x en x

0

20

20

1

1 0

4

= −

= − =

= −

) ( )

) ( ) ==

=− ≥

<⎧⎨⎩

=

=

2

2 3 2

2 220f f x

x x

x xen x

g f x

) ( )

) ( )

si

si

xx en x

h f x x en x

23

0

15

0

0

0

=

= =) ( )

Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f (( )x x en x= − =1 23


Página 18


18.

19.

Explicar porqué son verdaderas las siguientes afirmaciones:

20.

Encontrar a y b para que la recta de ecuación 2x–y =5

sea tangente al gráfico de f en (1, f(1))

21. Determinar a y b para que el gráfico de f admita recta tangente en el punto de abscisa x=1,

22.

23. Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones y el dominio de sus respec-

tivas derivadas.

24. Dadas las funciones:

a) Indicar su dominio

b) Obtener la derivada en x = 0, usando la definición

c) Derivar usando las reglas de derivación

d) Indicar el dominio de la función derivada

25. Determinar la función polinómica si se sabe que la gráfica de h pasa

por el punto (1; 12) y que la recta tangente a la misma en (-2; 3) es horizontal. Justificar.

26. Sean h, g dos funciones derivables definidas de en ,que verifican g(4)=0; g’(4)=1 y

h(1)=1/4; h’(1)=3. Determinar la pendiente de la recta tangente en x=1 al gráfico de la función f

definida por .

27. Se sabe que la recta tangente a f en x0=1 es y=3x+1 y que la recta tangente a g en x1=4 es

y=2x+1. Hallar la recta tangente a en x2=0 .

Hallara y bpara que la recta sea tangente a f(x)=y x ax= + −2

34 ²²+ +b

x2

1en el punto de abscisa -3.

Sabiendo que h: verifica R R→ −−

=→

lim( ) ( )

.x

h x h

x2

2

20

a)h'(2)=0

c)la ecuación de la recta n

b h x hx

) lim ( ) ( )→

=2

2

oormal al gráfico de h en (2,h(2)) es x=2

Dada la función f: definida por f(x)=R R→ + + +x ax bx3 24 4.

si f f xx ax b si x

x bx si x: ( )R R→ =

+ + ≥− + <

⎧⎨⎪

está definida por 3 1

2 1

2

3⎩⎩⎪

Si u xv x

xv y v Calcular laecuaci( )

( ), ( ) '( ) .= − = =3

3 3 3 1 ón de la rectta tangente

a la curva u(x) en el punto de abscisa 3.

a) f(x)= ln(x) b)f(x)=ln ) ( ) ln( )x c f x x=

f x x x g x x x x( ) , ( ) .= + = +4 2 4 2

h x mx nx p( ) = + +3

R R

f x h g x( ) [ ( )].= −2 1 4

h x g f x e x( ) ( ( ))= + +3 22


Página 19


Diferencial28.

29.

30. Si la medida de la arista de un cubo es 12 cm con un margen de error de 0,03 cm, usar

diferenciales para estimar el error porcentual que se cometerá al calcular:

a) el volumen del cubo

b) el área del cubo.

31. Calcular utilizando diferenciales el valor aproximado de:

32. Sea

a) Determinar usando diferenciales el valor aproximado de ln1,5

b) Encontrar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el

punto de abscisa x0 =1

c) El dibujo corresponde al gráfico de la función f y al de la recta

tangente obtenida en b). Señalar en él la diferencia entre el verdadero

valor de ln 1,5 y el obtenido en a).

�

Calcular f=f(x + x)- f(x ) y df(x ; x) en cada uno de o o oΔ Δ Δ llos siguientes casos:

a f f x x x x

b f f x x x x x

) : / ( ) ; ; ,

) : / ( ) ; ;

R R

R R

→ = − + = − Δ =

→ = − = − Δ

2 3 2 0 3

3 2

0

20 ==0 3,

El área de un cuadrado de lado x es A(x) = x .

a) Hallar dA

2

y A en función de x y x

b) Identificar en la figura la

Δ Δ

región cuya área es a-dAΔ

a e b e) )4

f x f x x( ): / ( ) lnR R+ → =

1,5

1,0

0,5

0

-0,5

-1,0

-1,5

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 x

f(x)


Página 20


33. ¿Con qué precisión habrá que medir el radio de una esfera para que el cálculo del volumen

resulte con un error porcentual menor del 3%?

34. La fórmula para calcular el período de un péndulo es , donde g es la aceleración

de la gravedad (9,8m/s2) y L es la longitud del hilo del péndulo expresada en m.

Calcular usando diferenciales, el error porcentual en la determinación

de T si se mide L= 1m con un error de medición de 0,01m.

35. La arena que se escapa de un recipiente va formando un montículo cónico cuya altura

siempre es igual a su radio. Usar diferenciales para estimar el incremento del radio

correspondiente a un aumento de 2 cm3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 10

cm.

36. La obstrucción de las arteriolas es una de las causas de hipertensión sanguínea. Se ha

comprobado experimentalmente que cuando la sangre fluye por una arteriola de longitud dada,

la diferencia de presión en los dos extremos de la arteriola es inversamente proporcional a la

cuarta potencia del radio. Suponga que el radio de una arteriola disminuye en 10%. Usar

diferenciales para calcular el cambio porcentual en la diferencia de presión.

37. Para hallar la altura de un árbol, se mide el ángulo desde el suelo hasta la parte más alta

del árbol, desde un punto a 100 metros de la base. La mejor aproximación que se puede

obtener con el equipo que se dispone es de 30° +- 1°.

¿Cuál será el margen de error en la determinación de la altura?

TL

g= 2π

Deberá trabajarse en

radianes. ¿Por qué?


Página 21


Derivación de funciones definidas en forma paramétrica e implícita

38. Para cada una de las siguientes funciones, expresadas en forma paramétrica, determinar ,

sabiendo que en un dominio adecuado se puede definir a partir de ellas y=f(x).

39. a)Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la trayectoria definida

en el ejercicio 38 a) en el instante t=0

b) ¿En qué punto de la trayectoria definida en el ejercicio 38b),

la recta tangente tiene pendiente -3?

40. Obtener y’(x), para las siguientes funciones definidas implícitamente:

41. Hallar los puntos sobre la curva en los que la recta tangente es:

a) paralela al eje x

b) paralela al eje y (considerar y como variable independiente)

42. Hallar las tangentes a la curva xy+ 2x –y=0 que son normales a la recta 2x+y = 0.

43. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la cisoide de Diocles

�

dy

dx

ax t

y sentb

xt

yt

t

)cos

)= +=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

= +

= +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

2

3

11

12

a x y xy

b x tg xy

c y sen y xy

)

) ( )

) . ( / )

2 2 6

0

1 1

+ =

+ =

= −

x +xy + y =9 2 2

y .(2-x)= x en (1;1)2 3

1

0

-1

1 2 x

y

(1,1)


Página 22


44. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva definida por

(x+y)² = 16(x+y) en el punto (1;15).

Representar gráficamente.

45. Dada x²-xy+y² =27 indicar en qué puntos la recta tangente es:

a) Horizontal

b) Vertical (ver sugerencia 41.b)

46. Dada y=f(x) definida a partir de la función .

Obtener usando diferenciales, el valor aproximado de f(11/10)

sabiendo que el punto (1;2) pertenece al gráfico de f.

47. La curva C1 definida por 2x² + y²=3, y la curva C2 de ecuación y²–x =0 se cortan en dos

puntos. Encontrarlos y mostrar que sus respectivas rectas tangentes en tales puntos son

perpendiculares.

48.

49.

50.

x t

y sent

= +

=

⎧⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

1

22

4

cos( )

Sea y= f(x) definida en forma implícita por 2 2. .ln(e x yx y− + −− − =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2 0

4

5

) .x

Calcular fen forma aproximada sabiendo quee (1,2) es un punto del gráfico de f.

Sea y = g(x) definida a través de la funciónx

t

yt

=−

= +

1

1

1 3 2

22 1t +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

a) Hallar el dominio de g.

b) Calcular usando diferenciales el valor aproximado de g

sin obtener previamente

6

5

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

lla expresión de g.

La función y = h(x) queda definida mediantex e

y t t

t= −= +

3

2 cos

⎧⎧⎨⎩

−Calcular usando diferenciales el valor aproximado h19

110⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Página 23


R

R R→

Repaso para el primer parcial

1. Definir punto interior, punto de acumulación y punto frontera. Definir supremo e ínfimo de

un conjunto. Indicar cuándo son máximo o mínimo respectivamente.

2. Todos los subconjuntos de ¿son acotados? ¿Por qué?

3. Definir un conjunto que tenga máximo y no esté acotado.

4. Sea .

Escribir el conjunto A usando intervalos. Indicar si A tiene supremo

y/o ínfimo, máximo y/o mínimo. Justificar.

5. Sea .

Determinar A ( dominio natural de f) y B como para que f sea biyectiva.

Definir f-1, graficar ambas y verificar que

6. Siendo h(x)=x-a con a negativo, calcular el dominio D de .

Obtener todos los puntos de acumulación, aislados e interiores de D.

Indicar si D es abierto , cerrado o ni lo uno ni lo otro. Justificar.

7. Sean

Definir, efectuando las restricciones necesarias, y graficar f o g.

8. Sean

Definir, efectuando las restricciones necesarias , y graficar g o f.

9. Sea

Determinar A (máximo en el sentido de inclusión) para que h sea función.

Decidir si A es un conjunto abierto, cerrado o ni lo uno ni lo otro.

Justificar.

10. Sea f: definida por

Encontrar a y b para que f sea continua en x=2. Justificar.


a) El cociente de dos funciones que presentan una discontinuidad en x= 2,

es discontinua en x =2.


Página 24


b) Si

presenta una discontinuidad evitable en x0 .

12. Analizar si la función puede utilizarse para ejemplificar los

teoremas de Weierstrass para funciones continuas en un intervalo cerrado.

¿f está acotada? ¿f tiene máximo y mínimo absoluto? Justificar.

13. Si

Justificar y enunciar todas las propiedades utilizadas.

14. Calcular

a) b)

15. Dadas

16. Dada

Justificar.

17. Dada

a) Determinar los valores de A y B para que x=2 y x=-2 sean

discontinuidades evitables de g.

b) ¿Qué valor se le debe asignar a g(2) y a g(-2) para que g resulte

continua en esos puntos?

18. Dada

Analizar si se puede aplicar el Teorema de Bolzano a f en el intervalo

a) [0,2]

b) [0,1]

c) [1,2]

Justificar las respuestas.

19. ¿Puede definirse una función h tal que para que sea continua?

20. Averiguar si tiene asíntotas

lim ( ) , ( ) [ ( )].cos( )x x

h x y hcontinua entoncesf x sen h xh x→

= = −−0

3 31

33⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Página 25


21. Sean

a)Averiguar si las gráficas de h1 y h2 se cortan en el [0,1]. Ídem en [1,2].

Justificar.

b) Analizar si se puede aplicar el teorema de los ceros de Bolzano para

ver si las curvas se cortan en [1,2]

22. Sea:

¿Para qué valor de a la función presenta en 0 una discontinuidad evitable?


a)Si f:[a,b] continua en el intervalo (a,b) y k es tal

que f(a)<k< f(b) entonces existe c (a,b) tal que f(c)=k.

b)Si presenta una discontinuidad

evitable en x=5.

24. Sea

Definir, si es posible, f(-5) y f(5) para que f sea continua en esos puntos.

Justificar.

25. Sean f y g dos funciones definidas de mediante f(x) = x2 y g(x)= -x2 +2x-5.

Hallar los puntos correspondientes a las respectivas gráficas en los que

las rectas normales resulten paralelas.

26. Encuentre a y b para que f de resulte derivable en x = 1, siendo

27. Sea y= f(x) definida en forma implícita por .

a)Calcular usando diferenciales el valor aproximado de f(29/10)

sabiendo que (3,1) es un punto del gráfico de f.

b) Encontrar ecuaciones para las rectas tangente y normal al gráfico

de f en (3;1).

28. Sea y= h(x) definida paramétricamente por .

a) Encontrar el dominio de h

b) Escribir ecuaciones vectoriales y cartesianas paras rectas tangente

y normal al gráfico de h en (1;3)

c) Calcular usando diferenciales el valor aproximado de .

29. ¿Es posible encontrar una función f: que no sea inyectiva y que cumpla con la

condición ? Justifique su respuesta.

R→

R Ren

R Ren f xax si x

ax bx si x( ) =

+ ≤+ >

⎧⎨⎪

⎩⎪

5 1

12

x y y2 23 10− + =ln

x t

y t t

= += + −

⎧⎨⎩

1

2 1

ln( )

cos( )

h910⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

R R→

f x x´( ) < ∀ ∈0 R


Página 26


Capítulo 4Propiedades de las funciones derivables.

�cuatro

Teorema de Rolle:

Si f es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) tal que f(a)=f(b),

entonces existe un punto c perteneciente a (a,b) en el que se anula f’.

1. Decidir si las siguientes funciones satisfacen las hipótesis del Teorema de Rolle en los

intervalos indicados y en caso afirmativo, hallar c.

2. Enunciar el recíproco del teorema de Rolle. ¿Es verdadero?

3.

4.

a) que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle

b) a la que no pueda aplicarse el Teorema de Rolle.

Justificar

enunciado

�

a) f(x)= x - x n [-1,1]3 e

b f x

x si x

x si

) ( )

( )

=− + ≤ ≤

− +

1 0 1

112

12 11 2

0 2

< ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪ x

en[ , ]

c) f(x) = ( x -2 ) en [0 ,4]

d) f(x) =

2/3

x ( x - 5 ) en [0 ,5]

e) f(x) = -|2x - 4| en [1 ,3]

f)

1/3 2

ff(x) = 1- x n [ -1,1]4/5 e

Sean f y g son funciones continuas en [2,3] y derivables een (2, 3) tales que

f(2)=2, f(3)= 5, g(2)= 8, g(3)=2, f '((x) 0, y f(x) 1, .

Si h(x)= g(x).[f(x)-1] a

≠ ∀ ∈( ) ≠ ∀ ∈( )x x2 3 2 3, ,

pplicar el Teorema de Rolle para demostrar que existe

un punnto c interior al [2, 3] tal queg c

f c

g c

f c

´( )

´( )

( )

( ).= −

− 1

Definir un función f :[ , ]1 4 →R

Teorema de Lagrange:

Si f es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b),

entonces existe un punto c perteneciente a (a,b) tal que f(b)-f(a)= f’(c).(b-a).

5. Decidir si las siguientes funciones verifican las hipótesis del teorema de Lagrange en los intervalos

indicados y en caso afirmativo, hallar c.

6. Dado el arco de la parábola y = x2 comprendido entre los puntos A=(1;1) y B=(3;9) ,

encontrar el punto del gráfico en el que la recta tangente es paralela a la cuerda AB.

7. Analizar si el teorema del valor medio del cálculo diferencial puede aplicarse a

en el intervalo [-2,0].

Si es posible, encontrar el o los puntos que verifiquen la tesis del teorema.

Justificar.

8. Demostrar que si f(x) es una función derivable en (a,b) y continua en [a,b]; f(a)y f(b) tienen signos

opuestos y , la ecuación f(x)=0 tendrá una y sólo una solución entre a y b.

9. Aplicar la propiedad anterior para demostrar que f(x)=x3-3x-18 tiene una única raíz en el

intervalo [2,4]. Verificar gráficamente representando la función.

10.

11. Probar las siguientes desigualdades :


Página 27


enunciado

�

a)f(x) = en [1,4]

b)f(x) = ln ( 4x -3) en [1,4] 2

3 4

2 1

x

x

c f

−+

) (( )x si x

x x si x

=<≤ ≤

− + >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

-x si x 0

x en [-1,1]

d)f(x) =

2 0 1

1 13

xx +|x-3| en [1,4]x

f: definida por R R→ =< −

− ≥ −⎧⎨⎪

⎩⎪f x

si x

x si x( )

0 1

1 12

f x x a b'( ) ( , )≠ ∀ ∈0

Demostrar que si f(x) es una función cuadrática definida poor f(x)= x + x+

con 0, entonces el número c al que alud

2α β γ

α ≠ ee el Teorema del Valor Medio siempre

es el punto medio de ccualquier intervalo cerrado.

a)|sen (a+h)- sen a| |h| a , h

b)e 1 + a aa

≤ ∀ ∈ ∀ ∈

≥ ∀ ∈

R R

RR

c)ln (1+a ) a > 0

d)

e) b - a <nn n

≤ ∀

− ≤ −

a

x x x xcos cos | |2 1 2 1

b ( b - a ) con 1< a<b (n )n-1 ∈ >� y n 1


Página 28


Teorema de Cauchy

Sean f y g dos una funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b).

Si g’(x) es distinta de cero, para todo punto de (a,b), entonces existe

un punto c perteneciente a (a,b) en el que se verifica: .

12. Hallar si es posible, c perteneciente al intervalo indicado en cada caso, que verifique la

tesis del teorema de Cauchy:

a ) f(x) = x3 – 1; g(x) = x2 + 2 en [1 ,2]

b ) f(x) = x3; g(x) = x2 - 4 x en [1,3]

c) f(x) = 3 x3 – 2 x; g(x) = 2x + 5 en [1 ;3]

Regla de L´Hôpital:

Si f y g son funciones derivables en un entorno E(a), f(a)=g(a)=0 siendo

g’(x) , para todo x perteneciente a E(a) entonces .

13. Resolver las siguientes indeterminaciones, aplicando la Regla de L´Hôpital

enunciado

�

enunciado

�

f b f a

g b g a

f c

g c

( ) ( )

( ) ( )

'( )

'( )

−−

=

ax x x

x x

x c x

xc

xx x x

)lim limos

sen)lim

ln→ → →

− − +− +1

3 2

3 0

3

1

2 2

7 6

2

4

2b)

−−( )−( )

−( )( )− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−→ →

1

1

1

12

1 0

2

sen

)limln cos

sen)lim

x

dx

xe

xx xπ

ssen

sen)lim cot

)limsen

2

2 2 0

1

12

2

x

x xf

xgx

g x

x

h

x

x

→

→∞

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

))limln sen

)lim

)lim

x x

x

x

xi

x x

x x

jx

→ →∞

→∞

( )−( )

− ++ −π π

2

3

2

22

3 5 2

2 3 1

2 −−+ −

++ −⎛

⎝⎜→∞ →

3

3 2 1

1

12

4 2

2

2x x

kx

xl

x

g xx x

)límln( )

ln( ))lim

tg

cotπ π ⎞⎞

⎠⎟

( ) −− ( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

→ →+m

x

xn

e xx x x) lím

ln(sen )

ln tg)lim

sen0 0 2

1

1

1

2 ⎥⎥

− ( )

→

→ →

+ñ x x

o x x p x

x

x x

) lím .ln

)lím( tg )sec )límarcsen .cot

0

40

1 2π

ggx q x ax

a

rx

ag

x

a

x a

x a

)lim tg

)lim ln cot

→

→

−( ) ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

π

π

2

2⎞⎞⎠⎟

+( ) −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥→ →

→

s g x x tx x

u

x x

t

)limcot ( )ln )limsen

)lim

0 0

2

2 11 1

πssec tg )lim

lnt t v

z zz−( )

−−

−( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥→3

1

3

1

2

lim( )

( )lim

´( )

´( )x a x a

f x

g x

f x

g x→ →=


Página 29


14. Resolver aplicando, en los casos que resulte conveniente, la Regla de L’Hôpital.

Estudio de funciones

15. Sea f:[2,9] continua y derivable tal que el gráfico de f '(x) es

a) Determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f

b) ¿En qué valores del dominio se alcanzan extremos locales?

c) Determinar los conjuntos de concavidad positiva, concavidad negativa

y los puntos de inflexión.

d) Realizar un gráfico de f suponiendo que f(2)=1

a x b x c xx

x

x

x

x

x

) lim )lim )lim cosln

→ →

−

→+ + +−( ) ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0 1

1

11

2

π

dd x e x f x

g

x

x

x

x

x

x

x

) lim ) lim sen ) lim sen

)lim

ln tg

→

+

→ →

→

+ + +( ) ( )

0

42

0 0

∞∞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→+∞ →( )

−( )⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+

x h x ix

x

xx

x

xln

ln) lim )limln

11 1

12

1

2

−−

→+∞−

→+∞ →+∞( ) +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+

1

11 1

2 2 1

2j x k

xl

x

xxx

x

x

x) lim ln ) lim ) limln

++⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠

−

→+∞ →+∞

3

12 1

4

3 1

4 2

2

2

x

x

x

xm

xn

x

x) lim ) lim ⎟⎟ +( )

+( )+

→

→ →+∞

+

+

x

x

x x

x

xx

x

x

ñ x e

o x pe

e sen

) lim

) lim sen ) lim

0

1

0

1

2

1

2

xxq

x sen x

senxx)lim

( / )→0

2 1

�

R→

2

1

0

-1

-2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

y


Página 30


16. Para cada una de las siguientes funciones se pide:

I) Dominio y paridad

II) Ceros

III) Asíntotas

IV) Conjuntos de crecimiento y decrecimiento

V) Extremos relativos

VI) Conjuntos de concavidad y convexidad

VII) Puntos de Inflexión

VIII) Gráfico aproximado

17. Obtener la o las asíntotas

18. Explicar porqué son verdaderas las siguientes afirmaciones:

Si y=3x-3 es la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en (1, f(1)), entonces:

a f x x x x b c

d

g xx x

xh x

x

i xx

) ( ) ) )

)

( ) ( )

( )

= − − =− +−

=−

=+

1

3

3 2 2 52 2 2

1

12 1

3 4 113 3 1

23

2

1x

j x x f k x

m xx

x

e

g l x h i n x

x x

e x

)

) ( ) ) ) (

( ) ) ( )

( )ln

= − + =

=

( ) +

= − ))

) ( ) ln ) ( )

=

= =+

e

x

x

j p x x x k s xx

x

2

1

a Horizontalesdef xx

x) ( )

²

³= −

+3

13b) Oblicuas de f(x) = e se-x nnx + x

c) Verticales de f(x) = d) Oblicuas deax a x

x a

+ −−² ²

³ ³

2 f x x( ) = −2 1

a límf x

x

b límf x

x

x

)( )

) ( )

→

→

−=

=

1

1

13

0

c)f es estrictamente creciennte en x= 1.


Página 31


�Optimización19. La figura muestra un rectángulo inscripto en un triángulo rectángulo isósceles cuya

hipotenusa tiene 2 unidades de longitud.

a) Escribir las coordenadas de P en función de su abscisa siendo x≥0.

b) Expresar el área del rectángulo en función de x.

c) Determinar las dimensiones que corresponden al rectángulo de mayor

área que está inscripto en el triángulo.

20. Dos vértices de un rectángulo están sobre el eje de las x. Los otros dos vértices están sobre

las rectas cuyas ecuaciones son y=2x y 3x+y = 30 con 0 x 10.

¿Para que valor de y será máxima el área del rectángulo?

21. Se desea construir un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa de 24 cm3 de volumen.

El material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se emplea para la parte

cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material.

Hallar las dimensiones para que el costo del material de fabricación sea mínimo.

22. Los puntos A y B están situados uno frente a otro y en márgenes opuestos de un canal

recto de 300 m de ancho. El punto D esta a 600 m de B y en su misma orilla. Se necesita

efectuar un tendido eléctrico subterráneo desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el

25% más caro en el sector que atraviesa el canal:

¿Cómo se debe efectuar el tendido para optimizar el costo?

23. Calcular la mínima distancia entre el gráfico de y el punto (1/2;16).

¿Para qué punto del gráfico de f se produce?

2

1

0

-1

-2

-2 -1 0 1 2 x

y

B

P(x;y)

A

f x x( ) =

≤ ≤


Página 32


Fórmulas de Taylor y Mac Laurin

24.

a)Hallar el desarrollo de Mac Laurin asociado a f(x)

b) Utilizar el polinomio de cuarto grado para calcular el valor aproximado

del coseno de 1o.

c) Acotar el error cometido.

25.

a)Hallar el desarrollo de Mac Laurin asociado a f(x)

b) Utilizar el polinomio de tercer grado para calcular el valor aproximado

del seno de 1o.

c) Acotar el error cometido.

26.

a) Obtener el desarrollo de Taylor asociado a f en un entorno de x=1.

b) Utilizar los polinomios de segundo y tercer grado para calcular el valor

aproximado de:

I) ln 0,8

II) ln 1.5.

c) En cada caso acotar el error.

d) Determinar el grado del polinomio de Taylor asociado a f en un entorno

de x = 1 que permita obtener el valor aproximado de ln 1.5 con error

menor que un diezmilésimos.

27. Determinar los valores a y b reales sabiendo que el polinomio de MacLaurin de segundo

grado asociado a es P2(x)= 2x +1,5 x2.

28. Sean , derivable hasta el tercer orden en un entorno de x=3 , y

Si el polinomio de Taylor de segundo grado asociado a f en un entorno de x=3 es

P2(x)= 3+2.(x-3)-3(x-3)2.

Encontrar el polinomio de segundo grado de Taylor asociado a h= fog en

un entorno de x= 1.

29. Sea h(x)= -3.g2(x) y sea p2(x)=4-5 x+2 x2, el polinomio de segundo grado de Taylor

asociado a g en x0=1

a) Obtener el polinomio de Taylor de segundo grado asociado a h en x0=1.

b) Calcular

Justificar.

�

Seaf f x x: / ( ) cosR R→ =

Seag g x senx: / ( )R R→ =

f A f x a bx: / ( ) ln( )⊂ → = +R R 1

Seaf f x x: / ( ) lnR R+ → =

f : R R→ g g x x: / ( )R R→ = +2 12

límh x

xx→

+1

3( )

ln


Página 33


30. Sea y sea p2(x)= 5 + x – x2, el polinomio de segundo grado de Mac Laurin

asociado a f.

a) Obtener el polinomio de Mac Laurin de segundo grado asociado a h.

b) Analizar crecimiento y concavidad de h en el punto de abscisa 0.

31. El polinomio de Taylor asociado a h de orden 2 en x=1 es P2(x)= 5x2-12x +10

y g(x)= h(x2 +e2x), calcular g”(0).

h x ef x( ) ( )=


Página 34


Capítulo 5Integrales. Aplicaciones de la integral definida. Integrales impropias.

�cinco

1. Resolver las siguientes integrales:





a x xx x

dx e zx zea

zdz

ba

t

t

a

x) )

)

35 1

323

2+ − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∫ ∫

ddt f x x dx

c zx zea

zdx g

xx

∫ ∫

∫

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

) cos sen

) )

1

2

1

2

3

2

23

2

3 xx x

xdx

dx a

xdx h Ch

xSh

xdx

2

2

22

5

1

2 2

+ ++

+( )+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

∫

∫ ∫) )

a ex

dx ee

xdx

bx

xdx

xx

) cos )

)arcsen

arctg3

6

2

2

2 72 2

4

1 16

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−

∫ ∫

∫ ffx

xdx

c x x xdx g x x dx

dx

xdx h

)sen

cos

) ( ) )

)ln

1 2

2 2 3 6 9

5

2

2 3 2

4

−

+ + +

∫

∫ ∫

∫ ))2

4

x

xdx

+∫

a x x dx b x dx c x x dx

d x

) sen .cos . ) cos ) sen .cos

) sen

2 3 2 5

2

3 3

3

∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ddx e x dx∫ ∫) sen5

adx

xb

dx

x xc

dx

x x

ddx

xe

dx

x xf

dx

) ) )

) ) )

4 2 2 2

9 4 2 5

2 2 2

2 2

− + + − +

+ + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫33 4 2− −

∫x x

a x x dx b x xdx c x x dx

d x dx e x dx

) .sen . ) ln ) sen

) arccos ) ln

∫ ∫ ∫∫ ( ) ( )

4 2

3 7∫∫ ∫ ( )f e x dxx

) cos2 2


Página 35





9. a) Si f’’(x)= x.ex , calcular f(x) sabiendo que f´(0)=2 y f(0)=5.

b)Se sabe que y=2x+2 es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el

punto (1,4) y f’’: / f’’(x)=2x. Hallar f.

10. Usando tabla de integrales, encontrar la fórmula de f(x) sabiendo que:

a) f(0)=2 y

b) f(1)=1 y f’(x)=ln3 x

c) y que el eje x es tangente al gráfico de f en (1;f(1)).

ax

x xdx b

x x x

x xdx

cx x

x x xdx

) )

)

4 1

5 6

4

2 3

5 2 6

3 4

2

4 3

2

2

3 2

+− +

+ −+ −

− ++ −

∫ ∫

∫ ddx

x xdx

ex x

xdx f

gdx

x x

)

) )

)

2

10 25

2 3

1

4

2

2

3

2

− +

−−( )

+ +

∫

∫ ∫1

x (x-2)dx

2 2

229

2 3

2 52∫ ∫+

+ +h

x

x xdx)

ax x

x x xdx b x dx c x dx

de e

e

x x

x

) ) arctg ) tg

)

2

3 22

3

2

4 3

6 9

3 2

1

− +− +

−−( )

∫ ∫ ∫

eedx e x dx f

dx

x x

gdx

x xh

e

x

x

−( )

+

∫ ∫ ∫

∫

2

1

2 2

2

) sen(ln ) )sen cos

).cos ( )

)ee

dxx2∫

ax

x xdx b

x

x xdx c

dx

x

d arc senx

) ) )

)

5 2

4 6

3 5

4 9 3 2

3

2 2

++ +

−+ + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∫ ∫ ∫

ddx ex

dx f x x e dx

g e dx hx

xdx i

xx x

x

∫ ∫ ∫

∫ ∫

−( )

+

−)cos

) .

) ) )l

( )2 22 3 3 2

2

4

2 nn( )

) ) )

) ln .

x

xdx

jx

xdx k

x

xdx l

x

xdx

m x dx n

++( )

− + +−

−

∫

∫ ∫ ∫

∫

1

1

9 1 1

1

1

2

2

))e

edx

x

x

2

4 1+∫

� �→

f xx

x x´( )

( )=

+ +

3

2 21 1

f xx

x''( )

ln=2


Página 36


Integrales definidas

11. Calcular las siguientes integrales definidas:

12.

13. Sea f una función par tal que y sea g una función impar tal que

Si se cumple que: calcular:

14. a)Dada f(x) = |x2–1| , calcular:

b) Sabiendo que f es continua en [1,4] , x0 es el punto para el que f verifica el teorema del

valor medio del cálculo integral en dicho intervalo, y f(x0)=22, calcular .

15. Sea

a) Representar gráficamente.

b) Verificar que en el intervalo [-4,2] se cumplen las hipótesis del teorema

del Valor medio del cálculo Integral.

c) Encontrar, si es posible, el o los valores que producen el valor medio,

sin calcular la integral.

16. Considere

a) Determinar A y obtener el gráfico de f.

b) Verificar que en A se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio

del cálculo integral.

c) Encontrar, si es posible, el valor que produce el valor medio, sin calcular

la integral.

d) Interpretar geometricamente.

�

a xdx b e dx c x x dx

ddx

x x

x) ) ) sen .sen(cos )

).

ln

ln /

1

2

3

6

0

2

21

8

1

∫ ∫ ∫

+( )

π

44

0

2

1

3∫ ∫ ∫e xdx f

xdx

e) sen )

π

Si f x dx f x dx g x dx y c( ). , ( ). , ( ).= = = −− −∫ ∫ ∫ ∫2 3 2

1

0

0

1

1

0g(x)dx=7,

-1

1aalcular

aplicando propiedades de la integral definida:

a g x dx b g x dx c f x dx

d f x g

) . ( ). ) . ( ). ) [ ( ) ].

) ( ) (

2 2 3

1

2

1

1

0

1

1

1

− −∫ ∫ ∫ −

− + xx dx e g x dx f x dx) . ) ( ). ( ).⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−∫ ∫ ∫1

1

1

0

1

0

f x x( ) ,≥ ∀ ∈0 R g x x( ) ,≥ ∀ ∈ −0 0�

f x dx y g x dx( ). ( ).2

0

2

04 5∫ ∫= − =

a g x dx b f x f x dx

c g x dx d g x dx

) ( ) ) [ ( ) ( )].

) | ( )| ) ( ).

−−

− −

∫ ∫

∫

+ −2

0

2

2

2

2

2

22

∫

f x dx( ).−∫ 3

2

f x dx( )1

4

∫

f xx si x

x si x( ) =

+ − ≤ ≤ −− + − < ≤⎧⎨⎩

4 4 1

2 1 2

f A definidapor f x x: ( )→ = −R 4 2


Página 37


17. Utilizar el teorema del valor medio del cálculo integral para probar que:

a) Si dos funciones f y g, continuas en [a,b], son tales que ,

entonces

b) Si 0<b-a<1, entonces

18. Probar que

19. Si f y g son funciones continuas en [a,b] tales que ,

probar que existe .

20. Calcular aplicando el Teorema fundamental del cálculo integral

(derivada de la función área o integral) :

21. Probar que si admite un asíntota horizontal.

22. Dada la función:

a) Calcular A’(x), en el caso de ser posible, aplicando el TFCI,

con x Є (1,3) y con x Є (0,2).

b) Hallar y graficar A(x).

c) Si x Є (2,4) calcular la derivada de:

∀ ∈[ ] <x a b f x g x, : ( ) ( )

f x dx g x dxa

b

a

b( ). ( ).<∫ ∫

0 12≤ <∫ sen x dxa

b( ).

8

17

1

18

24

4≤

+≤

−∫ xdx

f x g x dxa

b( ) ( ) .−[ ] =∫ 0

c a b f c g c∈ =( , )/ ( ) ( )

a)F'(-1/2) si F(x)= b) F'(1) si F(x)= t

F

3

1

x

x dx dt

c

x2

1

1+∫ ∫

) ''(1) si F(x)= arctgtdt d) F'(x) si F(x)=1

x2

∫ et

x

22xdt∫ .

F xt

dt xdF

dxx

x

( ) cos( )= ∀ > ⇒∫1

012

f x

x si x

x si xsi A x f t dt

x

( ) ( ) ( )=≤ ≤

− < ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

= ∫3 0 2

41

22 8

2

0

h x f t dtx

x

( ) ( )= ∫2


Página 38


Algunas aplicaciones de la integral definida

Cálculo de áreas

24. a)Hallar el área de la región determinada por el eje y, el gráfico de f y la recta de

ecuación y=b, siendo f(x)=-3.(x-2).(x-4) y b el máximo valor de f en [2,4]

b)Calcular el área de la región limitada por la función , su recta tangente en

el punto de ordenada 2 y el eje y.

c) La función y = (x-1)² + 3 y sus tangentes trazadas desde el origen de coordenadas

determinan una región plana. ¿Cuál es su área? Graficar.

d)Una parábola tiene eje vertical, vértice en (3; 0) y corta al eje de ordenadas en (0; 5). Hallar

el área de la región definida por ella y sus tangentes en los puntos de abscisas 2 y 6. Graficar.

e) ¿Cuál es el área de la región del plano definida por

f) La tangente y la normal al gráfico de y =x2, en el punto de abscisa 2, y la recta de ecuación

y=6, limitan una región del plano. ¿Cuál es su área? Graficar.

25. Sea la curva y = Ax – x2 .

Determinar el valor de A>0 para que el área encerrada por la curva

y el eje x sea 36. Representar.

26. Encontrar la función de segundo grado, p(x) , tal que p(0)=p(1)=0 y que además cumpla

con la condición

27. Calcular , sabiendo que el área de la región grisada es 1,5 .

3

2

1

0

-1-2 -1 0 1 2 3 x

y

�

f x x( ) =

y e

y e

y e

x

x

≤≥≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪ −

p x dx( ). =∫ 10

1

f x dx( ).0

2

∫


Página 39


28. Graficar y calcular el área encerrada entre las curvas en cada uno de los siguientes casos:

a) y=-x2+5x–4 ; y=0

b) y=(x-1)2–2 ; y=x-1

c) y=cos x ; x=0; x=pi ; y=0

d) y=-x2+x ; g(x)=2x–2

e) y=1-x2+4x ; y=6–2x

f) y=-x2+25 ; y=-x+5

g) y=x -1 ; x=3–y2

h) y= x2 ; y=|x| + 2

i) y=3/x; y=4 -|x|

j) y= e-x ; su tangente en P0 (0;1) y la recta x=1

k) y=5-|x–3| y=|x–4|

l) y=ln x, la recta que une (1; e) con ( e;1) y el eje x

m) y=6; y =-x2+4; y=-x+2; x=0

n)

29. Encontrar a >0, de manera que el área de la región encerrada por la recta y=a;

la curva sea igual a 2/3.

30. Calcular el área limitada por:

a) La recta tangente a la curva y=2x–x3 en x0=-1 ,

y las rectas de ecuaciones: x=-4; x=0; y=0.

b)

31. Calcular el área limitada por f(x)=2x2–x4 y el segmento de recta que pasa por los puntos

donde la función presenta máximos relativos.

f( x) = x ; 2 g xx si x

x si x( ) =

− + ≤

− + >

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0

6 0

y x x= + − −2 2,y=

Los gráficos de = ; y =2; y la asíntota oblicua de f(xy x= ))= . x

x

3

2

1+


Página 40


Integrales impropias

32. Resolver las siguientes integrales impropias

33. Analizar si es o no correcta la forma que se resolvió esta integral:

Justificar.

dx

x x31

2

21

21

2

1

8

1

2

3

8−−

∫ = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − + =

ax

dx b xdx

cx x

dx dx

dx

e

e

) ) ln

)(ln )

)( )

)

1

1 1

3

1

4

21 1

2 2

1

+∞ +∞

−∞

+∞

∫ ∫

∫∫ −

+ xxdx f

xdx

gx

dx hx

xdx

ix

x

22

6

1

2

20

1

2 6

1

1 12

3

−∞

+∞

+∞

∫ ∫

∫ ∫

−

− +

−

+

)

)( )

)

)ln

221 0

1

02

1

1

1

1 1

1

dx jx

dx

kx x

dx le

edx

m x

x

x

+∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫

∫ ∫

−

+ +

−

−

)

)( )

)

) ( )ee dx n senxdxx−+∞ +∞

∫ ∫1 0

)


Página 41


Capítulo 6Sucesiones. Series de potencias.

�seis

Sucesiones

1. Hallar los cuatro primeros términos de las sucesiones {an}n>1 definidas por:

2. Hallar , si es posible, el término general de cada una de las sucesiones cuyos primeros

términos se dan a continuación:

a) 1;-3;5;-7;9;-11;............ b) -4;9;-16;+25;-36;+49;..............

c) 0;1;0;1;0;1;... d) a1=1 y an+1 = 2.an

3. Sea la sucesión

4. converge o

diverge:

5. Para cada una de las siguientes sucesiones , indicar si están o no acotadas y si son

o no monótonas. Justificar.

a an

nb a

n nc a

n

d an

ne a

n

nf

n n nn

n n

) )( )

) ( )

)!

) )

= +−

=+

= −

= = +

1

2 1

1

11

1

2 2 12aa

n

nsen

nn =

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2

π

a an

nn n n{ } =+≥1

2

1/

a)Demostrar que límn na→∞

= 2

b n)Encontrar n / n:[n |a -2|<1

3 0 0 n∈ ∀ ≥ ⇒�

a an

nb a

n

n

c an

d a n n n

e a n

n n

n

n

n

n

) )!

) )

) ln( ) ln

=−

=

=−( )

= + − −( )= −

2 1 2

11 1

(( ) )

) )!

( )!

)

n f a

g an

h an

n

i

nn

n

n

n

n

n

+ =

= −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅

⋅ −+

1 2

12 2

2 1

3

1

aan

nj a

n

nn n

n n

= = ++

⎛⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

+ −sen

)3 4

2 5

1

Calcular, en cada caso, a e indicar si la corresponnlímn→∞

ddiente sucesión {a } n n 1≥

n {a } n n 1≥

a an

b an

n

c a n d a n

n n

n n

) )

) )

=+

= −+

= = − +

1

3

3 1

4 5

6


Página 42


Series

6. Estudiar la convergencia de las series geométricas que se definen a continuación. Si es

posible, calcular su suma.

7. Calcular la suma de las siguientes series:

8. Utilizar el criterio de comparación para determinar la convergencia o divergencia de:

9. Analizar la convergencia de:

a b c

d e

nn

n

nn

n

nn

nn

n

nn

) ) )( )

) )

2

3

3

4

5

3

1

2

4

3

01

0

1

0

12

=

∞

+=

∞ +

=

∞

=

∞

−

∑ ∑ ∑

∑

−

==

∞

+=

∞

∑ ∑ −2

12

2

5f

n

nn

)( )

a b

c d a

n

nn

n n

nn

n n

nn

nn

) )

) )

1 2

3

5 2

7

2 3

5

2

2

1

1 1

1 1

− −

+=

∞ −

=

∞

+ −

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑ ∑∑ = + + + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

si se sabe que S a a ann n

n

1 2

5

13

2...

an

bn

n

c de

n

en

n

n n

nn

n

n

n

)ln

)

) )

)

1

1

1

3 1

1

2

24

1

1

1

21

3

4

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑ ∑

+

−

++==

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑ ∑

+

+

+

+

+ −

1

2

51

22

3153

1

1

1

2

1

1

2 1

fn

n

gn

nh

n

n n

n

n n

)

)( )

)

an

bn

cn

dn

en

f

n

nn

n

n

nn n

nn

).

)!

) )!

)

3

2

2

2 1

5

1

2

1 1

1 1

1

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑ ∑

∑

+

))!

) )( )

n

n

gn

nh

n n

n

n

n

n

n

=

∞

=

∞

=

∞

∑

∑ ∑−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

1

1 1

4 5

2 1

1

1


Página 43


an

bn

n

cn

nd

n

e n

n

n n

n n

n

n

)!

)!

) )

)

3

3 2

2 1 5

13

1

1

2

1

=

∞

=

∞

= =

∑ ∑

∑ ∑+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∞ ∞

.. )

) )ln

2

3

4

7 1

1

1

1 1

1 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

= =

= =

∞ ∞

∞ ∞

∑ ∑

∑ ∑

n n

n n

n n

n

fn

gn

hn

e

iin

nj

n

e

k ln

n nn n

n

n

nn

)( )!

! !)

) ).

+= =

=

∞

+=

∞ ∞

∞

∑ ∑

∑ ∑

4

4 4

2

3

1

3

1

32

1

1

n-23

10. Aplicar el criterio que se considere adecuado para determinar la convergencia de:

11.

12. Utilizar el criterio de Leibniz y alguno de los criterios para series de términos positivos y

estudiar la convergencia de las siguientes series alternadas:

13. Utilizar el criterio de convergencia absoluta para estudiar la convergencia de:

14.

15.

Se sabe que la sucesión de términos positivos satisan n( ) ∈�

fface

¿Alcanza esta información para a

a

a nn

n

n

+ < −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 5 12

2

ssegurar la convergencia de la serie a Justificarnn=

∞

∑1

?

an

n nb

nc

n

nn

n

n

n

n) ( )( )

( ))

( )) ( )− +

+−+

− ++

++

+

=

∞

=

∞∑ ∑1

3

1

1

2 11

1

31

1

1

1

1

11

11

1

1

1

1

1

1

31

1

2

n

n n

n

n

n

n

n

d e en

fn

=

∞

=

∞

=

∞

∑

∑ ∑− −+

−+ −

=

∞ + +

) ( ) )( )

)( )

ln∑∑

a bn

cn

e

d

n

nn

n

n

n

n

n

n) ) ( ) ) ( )

)( )

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −

−

=

+

= =

∞ ∞ ∞∑ ∑ ∑3

51

31

2

1

12

1 1

3

nne

nf

n

nn

n

n

n

n!)

( ))

( ) .

=

+

= =

∞ ∞ ∞∑ ∑ ∑− −

−1

1

1 1

1

3

1

2 1

Obtener los valores de k para los cuales la serie∈ +R k k

5

4

25

2

++ + +9

125

16

625

3 4k k....

resulte absolutamente conveergente.

Sean 0< ; si , analizar la convan

b n c a bn n n n n n= ∧ ≤ ∀ ∈ =2

5 � . eergencia

de cnn=

∞

∑1


Página 44


16. Justificar por que es verdadera la siguiente afirmación:

17. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justifique

Series de potencias

18. Hallar, para cada una de las siguientes series de potencias, el radio y el intervalo de

convergencia.

Si es una serie convergente y para todo n:

en

a b ann

n n=

∞

∑ ≤ ≤1

0

ttonces la serie es convergente. ( )5 31

a bn nn

+=

∞

∑

a)Si entonces converge.

b)Si

limn n n

n

n kk

n

a a

S a

→∞ =

∞

=

=

=

∑

∑

01

1

yy entonces converge.

c)Si la serie

limn n n

n

nn

S a

a

→∞ =

∞

=

∞

= ∑51

1∑∑ ∑( )

=

∞

diverge, entonces la serie también diverann

2

1

gge.

d)Si 2

5 entonces es convergente.

e)Si 3

5

n≤ ≤

=

∞

∑an

an nn

3

7 1

nn entonces es convergente.

f)Dada la serie

≤ ≤=

∞

∑an

an nn

32

1

(( )− ≥=

∞

∑ 1 01

nn

nna a, con ; los términos de la sucesión de summas

parciales asociada a dicha serie alternan sus signos.

g))Si las series son divergentes entonces a y bnn

nn=

∞

=

∞

∑ ∑1 1

(aa b

a n IN a

n nn

n n

. )=

∞

∑

> ∈ ( )1

0

es divergente.

h)Si para todo y nn

nn

nn

n

a

a

≥

=

∞

∑

−

1

1

1

es creciente entonces

I) diverge

II) ( )==

∞

=

∞

∑

∑ ≥

1

1

0

no converge

i)Existe una serie , con que vea ann

n rrifica y lim limn

n

nn n

na

aa

→∞

+

→∞= =1 1

24

a x bn

x

c n x dn

x

en

x

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

) )

) ! )!

)( )

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑ ∑

∑ −

02

1

0 0

1

1

1

1 nn

n

n

n

n

n nn

nn

n

fn

x

gn

x hn

x

)

) ) ( )

1

2

21

2

3

1

1

1

1

=

∞

=

∞−

=

∞

∑

∑ ∑⋅ −⋅

⋅


Página 45


19. Encontrar el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:

20. Cada una de las siguientes series define una función f en un cierto intervalo.

I) Obtenga para cada una el intervalo de convergencia.

II) Obtenga el desarrollo en serie de f’ derivando término a término.

III) Determine el dominio de f’

21. a)Desarrollar en serie de Mac Laurin la función

y determinar el intervalo de convergencia.

b) Utilizar a) para obtener un desarrollo el serie de g(x)= arctg x.

Determinar el intervalo de convergencia.

c) Utilizar b) para obtener el desarrollo en serie de:

Indicar intervalo de convergencia.

22. Resolver, si es posible, las siguientes integrales mediante desarrollos en series:

23.

ax

nb

x

n

n

n

n n

n)

( ))

( ) ( )

( )

−+

− ++

+2

2 1

1 1

1 5

1 2

2(Sugerencia: Haga la ssustitución ( x+1) =t)2

nn =

∞

=

∞

∑∑00

a f xx

nb f x

x

nn

n

n

n

nn

) ( ) ( ) ) ( )( )= − ⋅ = +⋅=

∞

=

∞

∑ ∑12

1

2

2

1 1

f xx

( ) =+1

1 2

arc x

x

x tg0∫

at

tdt b

t

tdt

x

o

x)

sen)

ln( )0

1∫ ∫

+

La serie .Hallar el intervalo de convergn

nx

nn

n+ −=

∞

∑ 3

53

21

5( ) eencia.


Página 46


Repaso para el segundo parcial

1. Calcular las siguientes integrales

2. Si b es un numero comprendido entre los reales positivos a y c, calcular

sabiendo que

3. Aplicar el teorema fundamental del cálculo integral para calcular g(0) y g’(0) si g(x) es

continua en y está definida por

4. Encontrar un ecuación para la asíntota horizontal de F’(x) si

Justificar.

5. Sea

Hallar la ecuación de la recta normal al gráfico de g en el punto

de abscisa x=0.

6.

7. Calcular el área de cada una de las siguientes regiones planas:

8. Analizar si la siguiente integral está bien resuelta. Justificar.

ax x

xdx b

x

x xdx

cx

x xdx d sen x dx

e

) )

) ) .

)

2 2 1

1

1

1 4

1 2

4

3

2

2

2

− +−

+−

+

+ +

∫ ∫

∫ ∫

(( ))

) ln( ) )( )

/

/

2 1

1 2

21

1

3

2 3 2

0

2

21

+

− −

+ +

∫ ∫

∫+

x

xdx f

x xdx

g x x dx hx x

dxe ++∞

−∞

∫

∫ ∫ −i xe dx j

xdxx) )2

0

30

2 1

1

f x dxb

c

( )∫f x dx y f x dx a

a

c

b

a

( ). ( ) .∫ ∫= −( ) =3 2 2

R g x e g x dxxx

( ) ( ).= + ∫0

2

F F x sent

dt

x

x

: { } / ( )R R− → = ⎛⎝⎜⎞⎠⎟∫0

1

1

3

3

g A g x xsen t

tdt

x

: / ( )( )⊆ → = + +

+∫R R 31

22

20

2

Sea f: continua tal que f(t)<0 y f'(t)<0, t .

Analizar e

� �→ ∀ ∈ R

ll crecimiento y la concavidad en de . JuR g x f t dtx

( ) ( )= ∫3

0

sstificar.

a

y x

x

yx

y

by x

y x) )

≤≤

≤

≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

= +

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

8

1

0

4

4

2

2

dx

xarcsen x arcsen arcsen

11 1

2 221

1

1

1

−= ⎡⎣ ⎤⎦ = − − = − −⎛

⎝⎜

⎞⎠−

−∫ ( ) ( )π π

⎟⎟ = π


Página 47


9. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justificar.

II) Toda sucesión acotada es convergente.

10. Estudie la convergencia de las series:

11. Hallar los intervalos de convergencias de las siguientes series, indicar donde la

convergencia es absoluta y donde es condicional.

12. Sabiendo que por tabla

Encontrar

13. Realizar un gráfico que cumpla con las siguientes condiciones:

I)Si converge.03

21

< < ⇒=

∞

∑an

an nn

an

x bne

nx

cn

nx

n

n

nn

n

n

nn

n

)( )

( ) )

) ( )

−+

−+

+ −

+

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑

1

23

1

5

37

1

1 1

31

ddx

n

n

n

)( )

( )!

−+=

∞

∑ 3

2 11

III Si n b n entonces convergenbn) : ,

n=1

∀ > −∞

∑8

an

nb

n

cn

d

n n

n

n

n

nn

)!

)

)( )

)

5 2 5

5

1

1

7

5 12

13

1

1

21 1

++( )

−+ +

=

∞

=

∞

+

=

∞

=

∞

∑ ∑

∑ ∑∑

dx

x ax b

b

ax b b

ax b b

barctg

ax b

b

+=

+ −+ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−+−

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

∫

1

2

ln

adx

x x)

−∫ 1b

dx

x x)

−∫ 2 4

a f x continuaen b f f

f f f x

) ( ) ) ´( ) , ´( )

( ) , ( ) ´( )

R − = =

− = = − <

1 0 1 0

2 3 2 1 0 ssi x

f x x f x si x

f x x f f

| |

´( ) ´( ) | |

´´( ) ( ) , ( )

<

= ∀ > > >

< ∀ < − = =

1

0 2 0 1

0 2 1 4 1 00

0 0

2 1 0 0

3 2 1

f x si x

c gcontinuaen d f f

g g

´´( )

) ) ( ) , ( )

( ) , (

= >

= − =

= − −

R

)) ´( ) , ´( )

´( ) ´( ) , ´( ) ´´( )

= = > >

− = = − = − <

6 2 0 0 2

1 3 2 7 0 0

f f x si x

g g g f x si00 1 4

0 1 3 0 1 4

0 3

≤ < >

= ∈ − < < <

> >

x osi x

g x si x f x si x

g x si x

´´( ) ( , ) ´´( )

´´( ) llim ( )

( ) ( )

xf x

f x f x x

→∞=

= − ∀

1


Página 48


14. Sea derivable hasta el orden 3 tal que su polinomio de Taylor de 2dogrado asociado

en un entorno de x0=1 es p(x)=6-2x+x2. Calcule

15. Estudiar la derivabilidad de la función:

16. sea finito y calcular el valor del límite.

17.

¿Se puede afirmar que f(x) tiene un máximo y un mínimo en [-1,1]?

18. Dar un ejemplo de una función que no tenga el mismo dominio que su derivada.

19. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen y área total 300 m2.

volumen del cilindro = r2h área total del cilindro = 2 r2+ 2 rh

20. Con una plancha de cartón de 8 metros de largo por 5 metros de ancho se desea construir

una caja sin tapa de volumen máximo. Hallar las dimensiones que debe tener la caja.

21. Si el polinomio de segundo grado de Taylor asociado a f en un entorno de

u0=2 es p2(u)=5-2(u-2)+3(u-2)2, y g: está definida por g(x)= 2x, encontrar el

polinomio de Taylor asociado a h= f o g en un entorno de x0=1.

22. Sea f: definida por f(x)= x3-3kx2+9x+5

a) Encontrar k para que la función tenga un punto de inflexión en x=2.

b) Con el valor de k hallado, hallar los extremos locales y realizar un gráfico

aproximado.

f : R R→

f x

x x

x x

arctgx x

( )

cos

=≤

− < <≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0

1 0 1

1

2

Hallar el valor de a para que: ∈ − −→

R limx

ax xe e x

x0 2

Seaf f xx

xx

x x x

:[ , ] / ( )|cos( ) |

− → =− < ≤

− − ≤ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪1 1

2 10 1

3 1 0

2

2

3 2

R

lim( )

( )x

f x

x→

−−1 2

5

1

π π π

8 m

5 mx

x

R R→

R R→

ay Ch x

y xb

y x

yx x x)

( ))

=

= +

⎧⎨⎪

⎩⎪

= +

= − + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

21

1

16 8 21

23 2


Página 49


23. Se desea pintar el interior de un recipiente sin tapa, de base cuadrada, como el de la figura,

de 2m3 de volumen, utilizando la menor cantidad de pintura posible. Determine las

dimensiones del recipiente.

24. Dada , determinar su dominio, el de su función derivada

y encontrar, si es posible, ecuaciones para las rectas que son asíntotas de su gráfico.

25. Determinar la ecuación del polinomio de grado 3 que pasa por el punto (-1,1) y cuya recta

tangente es horizontal en (-2,0).

26. Determinar los números reales a,b,c,d tales que y=ax3+bx2+cx+d tenga un Punto de

inflexión en (-2,6), en dicho punto la recta tangente tiene ecuación 8x+y+10=0 y (0,-2) sea un

punto de la curva.

27. Determinar el orden de contacto en x=0 de:

f A f x x x: / ( )⊆ → = + −R R 2 12

UTN | Facultad Regional Avellaneda Análisis matemático 1 | Respuestas

Página 50

Respuestas Capítulo 1

0.1. a) S= (-∞ ;1/24); b) S [-3;1]; c) S= (- 3 ; 3 ); d) S= [-3/2;3/2]; e) S= (-22; 26); f) S =(-∞;-3) ∪ (2,+∞); g) S= (0;1) ; h) S =(-1;0) ∪ (1;+∞ ) 0.2. a) (-∞,-2] ∪ [1, +∞); b)(- ∞,-2)∪ (1,+ ∞); c) )0;1⎡⎣ ; d) − ; e){-1,1}; f){-1,1}; g) [1,+ ∞)h)∅ ;

0.3. ( )1f 0,5 {-1, 2}− =

0.4. a) Para ambas funciones: ; b) I) [0,+∞ ); II) -[0,1) c)I) II)

0.5. a) I) A=1, P= π II) A=3, P=2 π III) A=2, P=2 π IV) A=0,5, P=π23

b) I) C0= k2

π⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

xmax=π+ π

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

k4

xmin=π+ π

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭3

k4

II) C0={ }kπ + π xmax= 2k2

π+ π

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

xmin={ }22k

π− + π

III) C0={ }k−π + π xmax= 2k2

π+ π

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

xmin= 2k2

−π+ π

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

IV) C0= k3 3

π π+

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

xmax= 2k2 3

π π+

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

xmin= 2k6 3

π π+

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

c)

II)

III) IV)

x

y

y

x


Página 51

1. a) S=Sº=((-∞ ;- 2 ) ∪ ( 2 ;+∞))-{2}, S'=(-∞ ;- 2 ] ∪ [ 2 ;+∞), Fr(S)={- 2 , 2 ,2} S abierto. b) S=Sº=S'=∅ S abierto y cerrado

c) S= ( ) { }5; 5 3− ∪ , S'= 5; 5⎡ ⎤−⎣ ⎦ ,Sº= ( )5; 5− , Fr(S)= { }5; 5;3− , Punto aislado: 3. S no es abierto ni

cerrado. d) S=(-3;2] ∪ (3;+∞ ), Sº=(-3;2) ∪ (3;+∞ ), S'=[-3;2] ∪ [3;+∞ ), Fr(S)={-3;2;3} S no es abierto ni cerrado. e) S=[-3,3]∪ {-6}, Sº=(-3,3),S' =[-3,3], Fr(S)={-6,3-3}. S no es abierto , es cerrado. -6: pto. Aislado. f) S=(-3,3)∪ {4}, Sº=(-3,3), S'=[-3,3],Fr(S)={-3,3,4}. S no es abierto ni cerrado.4:pto.aislado g) ( ) ( ) ( )S Sº ,1 3,4 4,= = −∞ ∪ ∪ +∞ ( )S' ,1 3,= −∞ ∪ +∞⎤ ⎡⎦ ⎣ Fr(S)={1,3,4}, S abierto, no cerrado.

2. a) supA=3; infA=-5, no tiene máximo ni mínimo, A ' 5,3= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ;

b) supB=0; infB=mínB=-32; no tiene máximo, B' 32,0= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ;

c) supC=máxC=4; infC=1; no tiene mínimo ; { }C' 1=

d) no tiene supremo ni ínfimo; D' =

3. a) 1

D(f ) ,2⎡ ⎞= +∞⎟⎢⎣ ⎠

b) { }D(g) 0= −

4. I)a) +0 ;b) (- ];3∞ ;c) ; d) [0,1), e) +

0 , f)1 ,2

⎡ ⎞− +∞⎟⎢⎣ ⎠

II) a) b) c) d)

e) f)

x

y

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,50

2

4

6

8

10

12

x

y

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 402468

10121416

y

0 1 2x

1

-1

2

-1

y

0 1 2x

1

-1


Página 52

5. 1

2

3

p (x) 0,15x si 1 x 50

p (x) 0,12x si 51 x 100

p (x) 0,11x si x 101

⎧⎪ = ≤ ≤⎪⎪⎪⎪ = ≤ ≤⎨⎪⎪⎪ = ≥⎪⎪⎩

No corresponde a una función de en .

6. 7. a) a = 1; b) -25

8. a) i) A= , B= ii) A= ( ),0−∞ , B= -{3} iii) [ )A 2, , B= +∞ =

b)

a) 300+2x si 0 x 1000

f(x) =1100+1,2x si x >1000

⎧ ≤ ≤⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

b)

2300

0 500 1000 1500 2000

x

y

300

1000

3500

x

1 2 3 4 5 6 7 8-0,5

00,5

1

1,5

2

2,5

iii)f

x

y

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,50

2

4

6

8

10

iii) g


Página 53

c) I) 1 1f : [2, ) [ 1, )/f (x) x 2 1− −+∞ → − +∞ = − − , ( )1 12g : ( ,1) /g (x) log 1 x− −−∞ → =− −

II) 1 1 xf : ( ,0)/f (x) 10− −→ −∞ =− , { } { }1 1 3xg : 1 3 /g (x)

x 1− −− → − =

+

III) [ ) ( )1 1 20f : 2, /f x x 2− + −→ +∞ = + [ ) ( ) [ ) ( )1 1 1 1

1 0 2 0g : 2, /g x x 2; g : 2, /g x x 2− + − − − −+∞ → = − +∞ → =− −

d)I) 2x x 2fog : /fog(x) 2 2 6− − +→ = − + ; 2x 2x 3gof : /gof(x) 2 1− − −→ =− +

II) ( )

( ) { }

xfog : 0,3 /fog(x) log

x 3

log( x)gof : ,0 1000 /gof(x)

log( x) 3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟→ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠−−∞ − → =

− −

;

III) fog : /fog(x) x→ = [ ) [ )gof : 2, 2, /gof(x) x+∞ → +∞ =

9. aprox. 4.818 años 10. a) f : →R /f(t) = 12. 1,023t b) 13,44; 15,06; 18,91 c) 10,71; 9,56; 7,61

d) Aprox. 8 años antes; aprox. 53 años después e) aprox. 30,5 después.

11. I) a) Biyectiva; c) 31 1f : / y f (x) x 1− −→ = = − II) a) No es inyectiva, no es sobreyectiva ; b) Para que sea inyectiva puede definirse en (-∞ ,-1] ó en [-1,+∞ ). Para que sea sobreyectiva debe tomarse como codominio(-∞ ,3]; c)Para cada restricción del dominio se define una función inversa:

2f : ( , 1] ( ,3]/ f (x) 2(x 1) 31 1−∞ − → −∞ =− + + ; 3 x1 1f : ( ,3] ( , 1]/ f (x) 11 1

2

−− −−∞ → −∞ − =− −

2f : [ 1, ) ( ,3]/ f (x) 2(x 1) 32 2− +∞ → −∞ =− + + ; 3 x1 1

f : ( ,3] [ 1, )/ f (x) 12 22

−− −−∞ → − +∞ =− +

f(x)

x10-10

10

-10

y=x

11f−

1f

f(x)

x10-10

10

-10

y=x

12f−

2f

f

f -1

y

x


Página 54

III)a)Es inyectiva, no es sobreyectiva; b) Para que sea sobreyectiva debe tomarse como codominio ( );3−∞ ;

c) ( ) ( )1 12f : ;3 /f (x) 1 log 3 x− −−∞ → = + −

IV) a) No es inyectiva, es sobreyectiva b) Para que sea inyectiva se debe tomar como dominio o+ − c) Para cada restricción del dominio se define una función inversa:

Si f : / f ( x ) ln( x )1 1+ → = , 1 1 xf : / f ( x ) e1 1

− + −→ =

Si 2 2f : / f ( x ) ln( x )− → = − , 2 21 1 xf : / f ( x ) e− + −→ = −

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4-3-2-1

01234

12. A= -{2}, B= -{3} b) { } { }1 1 2x 1f : 3 2 /f (x)

x 3− − +− → − =

−

c)

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4-3-2-1

01234

2f

12f −

1f 1

1f−

f

f-1


Página 55

13. a. a=3;b=-1; k=9 b. A= ; B=(-∞,9); 1 13f : ( ,9) /f (x) 1 log (9 x)− −−∞ → =− + −

c. C+(f)=(-∞,1); C+(f-1)=(-∞,6) 14. a) b=4/3; c=π/6

b) C0=3

x /x k ,k8 4

⎧ ⎫π⎪ ⎪⎪ ⎪∈ =− + π ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭; Cx máx=

3x /x k ,k

4 2

⎧ ⎫π⎪ ⎪⎪ ⎪∈ = + π ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭; Cx mín=

3x / x k ,k

2 2

⎧ ⎫π⎪ ⎪⎪ ⎪∈ =− + π ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭;

15. imáx=30 amperes; se produce, por ejemplo, a los 1

seg240

.

El tiempo que debe transcurrir para que se cumpla un ciclo es de 1

seg60

16. a) 5

x 2k x 2k , k6 6π π= + π∨ = + π ∈ b) x

6

π=

c) 7

x k , k24 2

π π= + ∈ d) x k , k x k ,k2

π= π ∈ ∨ = ∈

e) ( )x k , k x 2k 1 ,k4

π= π ∈ ∨ = + ∈ f) x k , k x k ,k8 2 4

π π π= + ∈ ∨ = + π ∈

17. a)1

x x 44

= ∨ = ; b) 1 6 6

x x x2 2 2

= ∨ = ∨ =− ; c) 1

x x 1010= ∨ = ; d) x 1 x 2= ∨ =

x

y

-2 0 2 4 6 80

5

f

f-1

x

y

,25π −π −0,75π −0,5π −0,25π 0 0,25π 0,5π 0,75π π 1,25

-2

0

2


Página 56


2. a)-2; b) 0; c) 12; d) 6;e) -4/3; f)1/ 6 ; g)1/2; h) 2a ; i) 24

; j) 0; k) 9/8 ; l)–4 ; m)3; n) 0; ñ) -∞ ; o) 1 ;p)-∞ ;q) ∞

3. a)46; b) 23; c)2. 3 ; d) ,(x ),0,(x )+∞ → +∞ →−∞ ; e) 0,(x ), ,(x )→+∞ +∞ → −∞ ; f)e3 ; g)

,(x ),0,(x )+∞ → +∞ →−∞ ; h)0; i) 1 ; j) ) 0,(x ), ,(x )→+∞ +∞ → −∞ ; k) e2/3 ; l) ∃/ ,0(x 1−→ ),+∞ ,(x 1+→ ); m) 0; n) 0

4. a) 3/2; b) ∞ ; c) 0; d) → +∞ − →−∞1 (x ); 1 ( x ) ; e)0 ; f) )−∞→−+∞→ x(1);(x1 ;

g) → +∞ +∞ → −∞1/2 (x ); ( x ) ;h) 1; i) 2/3; j) 5-4; k) 0 ; l) ∞ ;m) 6, n) → +∞ → −∞3 1/ 5/4 (x ); ( x )

5. i) no existe (li=-1; ld=1) ; ii)l=0 ; iii)5; iv) no existe (li=1/11; ld= -1) ; v) 0;vi) no existe (ld=+∞ ; li=0); vii) no existe viii) no existe

7. a=36 ; b=12

8. a) F; b) F; c) V, d) F ; e) F ; f) F ; g) i-V ,ii- V, iii- V ; h) i- F ,ii- F , iii- F ; i) F ;j) V ; k) F ;l)F

9. c) a=0 , b=2

12. a) 1/4; b) 1/2 ; c) d iL 2,L 2= − = ; d) 1/2 e) ∞ ;f)0 ; g) (x ) ; 0 (x )+∞ → +∞ → −∞ ; h) 1

54 6; i) 4/ 3e ; j)

9

14− ; k)1

15. a) V b) F

16. i)x=0 (disc. esencial) ; ii) x=3 (disc. evitable), x=-3 (disc. esencial); iii) x=-1 y x=0 ( disc. esenciales) ; iv) x=2 (disc. evitable);v) x=0 (disc. evitable); vi) x=6 (disc. evitable), x= -6 (disc. esencial; vii) x=0 (disc. esencial); viii) x=2 (Disc. evitable), x=-2 (Disc. esencial);xi) x=2 (disc. esencial); x) continua para todo x.

18. a) V, b) F, c) F.

19. a)c=-1; b) a=-2; c) k= -1/2; d) c=2, k=-1 ;e) k= 1/2 v k = 0 ;f) a=e2 b=2e2 ; g) b=0

20. m=10 ; evitable en x=2 ; esencial en x=5

22. b) i) x=2 , y=0 ; ii) x=2 , x=-4, y=0; iii) x=2, x=-2, y=1 ; iv) y=-1 (izq., y=1 (der.);

v) x=0, y=1 (izq.), y=0 (der.). c) ( kπ,0) con kє -{0}

23. 1/2

24. b) i) no ii) si


Página 57

Respuestas Capítulo 3 11.. a)–3 y 1; b) –2; c) 1; d)1/5

22.. f’+(5)=-1 ; f’-(5)=1; b) h’+(0)=0 ; h’-(0)= -1

33..

21

2

23

4 23 2

5

2 2

6 2 2

2

7 2 2 3

28

45x 2x

a b a b

a) f '(x) = 18 x - 2x

b) f '(x) = -1

2xc) f '(x) = 6a x

b

3 1 1d) f '(x)=

x2 x 3 x

e) f '(x)= x.( 2 lnx + 1 ) + 3

t (3 t )f) f '(t)=

(1 t )

1 m 2x 2ng) f '(x)=

m x n xh) f '(x)=2.(9x +x -1)

i

−+ −

−

+ −

++

− + −

( )

4 3 2

9 2 2

10 2

11

12

2

13

14 2

x 2x 6x 2x 1) f '(x)=

(x x 2)

1j) f '(x)=

x.(1 x)

2k) f '(t)= (cos t sen t)

21

l)f '(x)= cos 2x2

tg xsec x.ln xm)f '(x)=

3 3x

5 4sen t 2tcos tn)f '(t)=

(2 sen t)

− − − +− −

−+

−

+

+ −+

4.

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

2 2 4

2 2

a) g'(x)=10x.( x +a )

xb)f'(x)=

x a

a-3xc)h'(x)=

2 a-x

d)f'(t)= 2 cos 2t

e) g'(z)= - 3 sen 4z . cos 2z

1f)w'(x)= - tg(x)

2

sen ln xg)m'(x)=-

2x ln(x)

sen ln xh) p'(x)=-

2xi)g'(t)= 6 cotg (3t)

j)h'(t) = -cosec t

k)f'

+

2

1(x)=

1-x

5.

( )

2

2 2

4x+5

x 2x

a x

1x2

lnx.

x

2x

tg(nx) 2

x

1 sen x sen x

a)y'=4 e

b) y'= 2(x + 1).7 . ln7

c)y'=-2x .c ln c

d) y'= 0,5a.x e

a lnae) y'=

x2e

f) y'= e 1

g) y'= n. a . sec (nx). lna

h) y' = x (1+ ln x)

i) y ' x .sen(x) x ln x.cosx

+

−

−

− +

+

= +

senx

-1+lnx 2

senxj) y'= x ln x.cosx

x

k) y'= x .ln(x )

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠


Página 58

6.

2

2

2

2

arcsen x ln x2x 1 x

121 2x x

1a) f '(x)

x 1 ln xcosx

b)f '(x)2 sen x sen x

c)y'= xarc senx

d)y '

2e)y '

1 x1

f )y '1 x

+−

− −

−=−

=−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

=+

=−

7.

a) En x0: continua pero no derivable.

En x1: continua y derivable

b) continua y derivable. h’(0)=1

c) continua y derivable. g’(0)=0

d) continua pero no derivable

e) continua pero no derivable

88.. i) a) F b) V c) F d) V;

99.. -96

1100..

( )

125

4iv

x

a)y'"= 1842

b) y'"= x 125

c) y = -6 x+1d) y'" = e (3+x)

−

−

1111..

f

1 11a)t(x) 3x 3 n(x) x

3 3

1b) t(x) (2 )x 1 n(x) x 1

21 15

c) t(x) 7x 5 n(x) x7 7

d) No es posible porque 0 D

e) No es posible pues la función no es derivable en 2.

f) No es posible pues la función

= − =− +

−= +π − = −+π

=− − = +

∉

no es continua en 2

g) No existe la recta tangente en x = 0. (pto. cuspidal)

h) La recta tangente es x = 0. Es vertical.

1122.. a) ( 7/2;-37/4) ; b) ( 1;-3)

1144.. (-2;-4)

1155.. La ecuación de la recta es 1 1

y x3 3

= +

El otro punto donde se cruza es x = - 7

1166.. 2 segundos

1177.. a)v(2)= 4 m/seg , a(2)= - 10 m/seg2;

b) 2,4 seg ; c) 34,8 m .

1188.. a=1/9 ; b=-8/3

2200.. a=7/4, b=-15

2211.. a=-5, b=7

2222.. xy 1

3= −

2233..

( )( )

( ) ( ) { }

´

´

´

f f

f f

f f

a)Dom Dom 0;

b)Dom Dom 0;

c)Dom 0; Dom 0; 1

= = +∞

= = +∞

= +∞ = +∞ −

2244..

´ gfDom Dom= =

{ }´́f

Dom - 0=

,gDom =

2255.. m= - 1/3 ; p= 25/3 ; n= 4

2266.. f '(1) 6= −

2277.. y = 30 x + 11

2288.. a)Δ f=df=-0,6 ; b) Δ f=-2,01 ; df= -2,1

2299.. a) ΔA=2xΔ x+(Δ x)2 ; df= 2xΔ x

3300.. a)0,75% ; b) 0,5%

3311.. a)1,5 ; b) 1,25

3322.. a)0,5 ; b)y=x-1

3333.. 1%

3344.. 0,5%

3355.. 1/50π

3366.. 40% de aumento

3377.. 2,33m≅


Página 59

3388.. a) dy3cot g t

dx=−

b) 2dy

1 tdx= −

3399.. a)recta tangente: (x;y)=(3;0)+λ (0;1), x=3 ; recta normal: (x;y)=(3;0)+λ (1;0), y=0

b) (3/2;5/2) (1/2;-5/2)

4400..

( ) ( )

2

2

2

2

2y

1 1cos y.sen xyy y

y 2xya) y '

x 2xy

1 y.sec (xy)b) y '

x.sec (x.y)

c) y '− −

+=−++=−

=

4411.. a)( 32;3 − ),( 32;3− );b)( 3;32 − ),( 3;32−

4422.. 1 1 1 9y x ; y x

2 2 2 2= − = −

4433.. 1 3

x2 2

t(x)=2x -1 ; n(x)= +−

4444.. t(x)= - x + 16; n(x)= x +14

4455.. a) (3;6) y (-3;-6) ; b) (6;3) y (-6;-3)

4466.. 1,8

4477.. Los puntos de intersección son (1;1) y (1;-1)

4488.. 1,6

4499.. a)Dg=2

0;3

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ b)

6g 0,6

5

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟≅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

5500.. 19

h 1,210

⎛ ⎞⎟⎜− ≅⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠


Página 60


1. a) sí c = 0,577± ; d) sí , c = 75 ; b), c), e),f) no verifican una o ninguna de las hipótesis.

5. a) sí: c = 2,098 ; b) sí: c = 1,919 ; d) y e) no verifican una o ninguna de las hipótesis.

6. :P = (2;4)

7. no es posible

12. a) sí : c = 914 ; b) no : se anula g’ (x); c) sí : c = 2,08

13. a) 21 ; b) 0 ; c)2 ; d) 2

4π

− ; e ) 31 ; f) 0 ; g) 4

1 ; h) ∞− por izquierda, +∞ por derecha; i) 23 ; j) 0 ; k) 3 ;

l) 1 ; m) 1;n) -0,5 ; ñ) 0; o) 1 ; p) 1 ; q) 2aπ− ; r) - π

1 ;s) 21 ;t) 0 ; u) 0 ; v) - 2

1 .

14. a) 1; b) 1 ; c) 1; d) e4 ; e) 1 ; f) 1; g)1; h) e; i) 1 ; j) 1 ; k) e2 ; l) e-1 ; m) 9

8e−

;n) 0; ñ) +∞ ; o) e;p)1; q)0

15. a) Creciente: (2;5), (7,8); Decreciente: (5;7) b) Se alcanza máximo en x=5; mínimo en x=7 c) Concavidad +:(3;4), (6;8); Concavidad -: (2;3), (4;6), (8;9). (3; f(3)); (4; f(4)); (6; f(6) y (8; f(8)) son puntos de inflexión d) Un posible gráfico es:

x

y


Página 61

16.

Conjuntos de

Máximos

Conjuntos de Puntos de

inflexión

Dominio/

Paridad

Ceros

Asíntotas

Crecimiento Decrecimiento

Mínimos

Concavidad

Convexidad

a)

x1=0 x2 =7,89 x3 =-1,89

(-∞;-1)∪(5;+∞) (-1 ; 5) f(-1) = 8/3 f (5)= -100/3 (2:+∞ ) (-∞ ;2) (2;-46/3)

b) -{1} no A.V: x=1 A.O: y=x-1 (-∞;0)∪(2;+∞) (0;1) ∪(1;2) g(0) = -2 g(2) = 2 (1;+ ∞ ) (-∞ ;1) no

c) -{-1,1}

Par

no A.V: x=1 x=-1 A.H: y=0

(-∞ ; 0)-{-1} (0 ; +∞)-{1} h(0) = -1 no (-∞;-1)U(1;+ ∞)

(-1;1) no

d) -{0}

impar

no A.V: x=0 A.O: y=3x (-∞;-1)∪(1;+∞) (-1;0)∪(0; 1) i(-1) = -4 i(1)=4 (0;+∞ ) (-∞ ;0) no

e)

no no (3; +∞) (-∞;3) no j(3)=1

(-∞ ;3) U (3;+∞ )

no

f) [ 1, )− +∞

x1=-1 x2=0 no (-2/3;+ ∞) (-1;2/3)

k(-2/3)=

/ 92 3− no ( 1, )− +∞

no

g)

Par

no A.H: y=0 (-∞; 0) (0 ; +∞) l(0) = 1 no

1;2

1 ;2

⎛ ⎞⎟−⎜−∞ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠∪

⎛ ⎞⎟⎜ +∞⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

1 1;2 2

⎛ ⎞⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

1

21;e

2

−⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠1

21;e

2

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

)

h) +- {1)

no A.V: x=1

(e ;+∞)

(0;1) ∪ (1; e)

no

m(e)=e

(1;e2)

(0 ; 1) U

(e2;+∞ ) (e2 ; e2/2)

i) - {0}

no A.V: x=0 A.H: y=0

(1; +∞)

(-∞ ;0) ∪ (0; 1) no

n(1)=e

(0;+∞ )

(-∞ ; 0) no

j) +

x=1 no (e-1 ;+∞ ) (0 ;e-1) no p(e-1) =- e-1 (0;+∞ )

no

k) -{-1}

x=0 A.V: x=-1 A.O: y=x-1 (-∞ ;-2)

U(0;+∞ ) (-2;0) s(-2)=-4 s(0)=0 (-1;+∞ ) (-∞ ;-1) no

17. a) A.H. der: y = 1 ; A.H. izq: y = -1 b) A.O. der: y = x ; A.O. izq: no presenta

c)No presenta d) A.O. der: y = x ; A.O. izq: y=- x

1199.. a)(x;1-x) ;b)2x.(1-x);c) 1 y 0,5 unidades

2200.. y = 6

2211.. radio= 3

2

π cm , altura=

3

6

π cm

2222.. Se debe ir bajo el agua en diagonal hasta un punto C, situado a 400 m de B, y luego por tierra hasta D.

2233.. 7 172 ; (4,2)

24. a)cosx= 1k2

k2k

42

T)!k2(

x)1(

!4

x

!2

x1 ++−+−+− ; b) cos 1o ≅ 0,9998476952; c)|T2k+1 |<10-10


Página 62

25. a) sen x= k2

1k21k

53T

)!1k2(

x)1(

!5

x

!3

xx +

−−+−+−

−+ ; b) sen 1o ≅ 0,017452406; c)|T2k|<10-8

26. a)2 3 n

n 1n 1

(x 1) (x 1) (x 1)ln(x) (x 1) ( 1) T

2 3 n+

+− − −

= − − +− + − +

b) y c): Con el polinomio de 2do grado: ln0.8 ≅ -0,22 con |T3|<0.005<0,01

Con el polinomio de 3er grado: ln0.8 ≅ -0,222666... ≅ 0,223 con |T4|<0.0009<0,001.

Con el polinomio de 2do grado: ln1.5 ≅ 0,375 ≅ 0,4 con |T3|<0.042<0,1

Con el polinomio de 3er grado: ln1.5 ≅ -0,41666... ≅ 0,4 con |T4|<0.02<0,1.

d)n=9

27. a= -4/3 ; b= -3/2

28. P2(x)= 3 + 8.(x-1)-44.(x-1)2

29. a) P2(x)= -3 + 6.(x-1)-15.(x-1)2 b) 6

30. a) P2(x)= e5 + e5.x- e5/2.x2 b) Creciente; concavidad negativa

31. 28.


Página 63

Respuestas Capítulo 5 1.

22

2

3 5 x2

3

2

323 2 1

a) x x 5ln|x| C2 3 2x

1b)a ln t t C

2a3 a

c) zx ze x C5 z

2d) x 2 a x 2a x C

3

33 1 a4 2 2 xe) z x z e C4 2 z

f) x-cosx+C

xg) 3x 2.arctg x C

2h) Shx+Chx+C

+ − − +

+ +

+ − +

+ + +

+ + +

+ + +

2.

( )

3x

2

322

5

arctg 6x

1 xa) e 2sen C

3 2

1b) (arcsen4x) C

82

c) 3x 6x C9

ln 5xd) C

5

ee) C

12

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

+

+ +

+

+

3.

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

3

3

3 5 7

3 5

1a) sen x C

3

1b)sen x sen x C

3

1 2 1c) sen 3x sen 3x sen 3x C

9 15 21

1 1d) x sen 6x C

2 122 1

e) cos x cos x cos x C3 5

+

− +

− + +

− +

− + − +

4. ( )

( )a) arcsen x/2 C

b)arctg x 1 C

c)arcsen(x 1) C

1 2d) arctg x C

6 3

1 x 1e) arctg C

2 2

2 xf )arcsen C

7

+

+ +

− +

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠+⎛ ⎞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞+

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

5 5

2

2

x2

a) x.cos(x) sen(x) C

1 1b) x ln x x C

5 25

c) x cos x 2xsen x 2cos x C

1d) xarccos 3x x C

9

e) x. ln 7x - x + C

2f) e cos 2x 4sen 2x C

17

− + +

− +

− + + +

− − +

+ +

6.

3 2

2

a)13.ln|x-3|-9ln|x-2|+C

1b) x x x 6ln|x 3| ln|x 1| C

3

3 47 9c) ln|x| ln|x 4| ln|x 1| C

2 10 5

10d) 2ln|x-5|- C

x 5

1 1 1e) 2ln|x-1| C

x 1 2 (x 1)

1 1 1 1f ) ln|x| ln|x-2|- C

4 4x 4 4(x 2)

1 x 2g) arctg C

5 5

1h)ln|x2+2x+5|+ arc

2

+ − + + + − +

− + + + − +

+−

− + +− −

− − +−

++

x 1tg C

2

++

7.

( ) ( )

( )

[ ]( )

( )( )

3 2

x

C

10x x6 3e 1. e 2

x 1e

1a) ln x 6x 9x C

3

b) x 1 arctg x x C

c) tg(x) x C

d)ln

1e) x sen(ln x) cos(ln x) C

2f) tg(x) cot g x C

g) 2tg x C

h)arctg e C

++ −

−

− + +

+ − +

− +

− +

− +

+

+


Página 64

8.

( )

3 2

2

2

2

x 3x

x

2

5 x 2a) ln(x 4x 6) 4 2.arctg C

2 2

11 53 x 2b) ln(x 4x 9) .arctg C

2 5 5

c)2 x 2 3ln(3 x 2) C

xd)x.arcsen 9 x C.

3

1 1e) x.tg(2x) ln cos(2x) C

2 4

1f ) e C

3

g) x 1 .e C

256 32 2h) x 4. x x

15 15 5

−

⎛ ⎞++ + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞+

+ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤+ − + + +⎣ ⎦⎛ ⎞ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ +

+

− +

⎛ ⎞+ − +⎜

⎝

( )

( )

22

32

2

2x

C

ln(x 1) 1i) C

x 1 x 1

3 9 xj)3ln 9 x C

x

4k) 1 x C

3

l) arcsen(x) 1 x C

1 1m) (x 1).ln x 1 x C

2 21

n) arctg e C2

+⎟⎠

+− − +

+ +

− −+ − +

+ +

− − +

− − − +

+

9. a) f(x)=xex-2ex+3x+7 b)

3x 8f(x) x

3 3= + +

10.

( )

( ) ( )

2

2

3 2

2

x 2a) f(x)

x 1

b) f(x) x ln (x) 3x ln x 6x ln(x) 6x 7

1c) ln x ln x

2

+=+

= − + − +

− −

11. a) 3/2 ; b)24; c) 1-cos1; d) 1/3 ;e) 0; f) 3.

12. a) 14; b) 18 ; c) –1; d) –3/2; e) -6

13. a) 5; b)16; c) 10 ; d) 0

14. a) 28/3 b) 66

15. c) x0= 0,5 o x0= 2,5

16. A= [-2,2] , |x0|=216

2− π

20. x 2x5a) ;b) 3; c) ;d) e 2e

2 2

π − +

22. a) no es posible, A’(x)=3x2 ;c)A’(x)=4- 1,5x

23. a)27 b) 2/3 c) 16/3 d) 80/27 e) 2 f)17/2

24. A=6

25. p(x)= -6x2+6x

26. 3

27. a) 9/2 b) 9/2 c) 2 d) 9/2 e) 32/3 f) 243/2 g)

9/2 h) 20/3 i) 4- ln27 j) -1/e + ½ k) 12 l)1,5 m)

41/6 n) 32/3

28. 1

29. a) 4 b) 5/6

30. 16/15

31. a) 1; b) Diverge; c) 1/ln2; d) 0,5 ; e) 2π

; f) 2 ;

g) 3; h) Diverge; i) 1; j) Diverge ; k) π ; l) 2π

;

m) -1/e ; n) Oscilante


Página 65


2. a) a n =(-1)n+1 (2.n-1); b) a n =(-1)n (n+1)2 ; c)n

n1 ( 1)

a2

+ −= ; d) a n =2 n – 1

4. a) 1/2(C); b )+∝ (D) ; c) 0(C) ; d) 1(C) ; e) 0(C); f) 1(C); g) e- 6 (C); h) +∞(D) ; i) 0(C); j) 1(C)

5. a) decrec.y acot.; b) crec. y acot.; c) crec. y acot. inf. ;d)decrec. y acot. sup.

6. a) Conv.,S= 3; b)Conv. ,S= 1; c)Div.; d)Conv.,S=1; e)Div.; f)Conv., S= 4/175

8. a)div.;b)conv.; c)conv.;d)conv.;e) conv.;f)div.;g)div.;h)conv.

9. a)div.;b) conv.’;c)conv.;d)conv.;e)conv.;f) div.;g) div.; h) conv.

10. Convergen: a), d), e), f), h), i), j), l), m); Divergen: b), c), g) k),n)

11. Converge

12. a) Conv. cond.b) conv. cond.; c)D; d)abs.conv. ; e)abs. conv;f) cond. conv.

13. a) conv. abs. ;b) Div ;c) conv. abs.;d) conv. abs.; e)conv. cond.; f)conv. cond.

18.

a b c d e f g h

Radio 1 1 0 ∞ 1 1 1/2 3/2

Intervalo de

convergencia

(-1,1) [-1,1] {0} (-∞,∞) (-1,1] [-1,1) [-1/2,1/2) (-3/2,3/2]

19. a) [ 0,4). ; b) 5 1; 5 1− − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

20. a)i)[-1,1] ; ii) n 2n 1( 1) xn 1

∞ −−∑=

; iii) (-1,1) b)i) (-3, 1) ;ii) n(x 1)

n 1n 0 2

∞ +∑ +=

; iii) (-3;1)

21. a) 1 n 2n( 1) x2 n 01 x

∞= −∑=+

en (-1,1) b) arctg x =2n 1xn( 1)

2n 1n 0

+∞−∑

+= en [-1,1]

c) 2

2n 1x arctgt xn 1dt ( 1)0 t n 1 (2n 1)

−∞ += −∑= −

∫ = en [-1,1]

22. a)n 1 2n 1

n 1

( 1) x

(2n 1)(2n 1)!

+ −∞

=

−− −∑ en (-∞, +∞ ) b) n 1

n 1

( 1)∞

+

=−∑

n

2

xn

en [ -1,1 ]

23. 1 15 53 5 ;3 5

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Análisis matemático 1 APLICACIONES

U T N | F A C U L T A D R E G I O N A L A V E L L A N E D A

AUTORES

Rivas, Héctor

Fandiño, Roberto

Am1

UTN | Facultad Regional Avellaneda Análisis matemático 1 | Aplicaciones

Página 68

Aplicaciones

A la mecánica Ejemplo 1 ¿En qué punto de una viga sometida a una distribución normal de cargas, el momento flector es máximo? C

x

1M q x l x

2 (1)

Cálculo del momento flector:

Para determinar la distancia que hace máximo al momento flector, igualamos a cero la derivada primera:

x

1 1 1M´ q l q x q l q x 0 x

2 2 2 (2)

Como xM´´ q 0, x , entonces para 1

x2

el momento flector es máximo.

Reemplazando (2) en (1) obtenemos la expresión del momento flector máximo que se producirá en el centro de la viga.

S

x/2

q.xP= q.l

A B

p

1

2

G σ Conocimientos previos:

G: centro de gravedad A: apoyo fijo de la viga. B: apoyo móvil de la viga. l [m]: longitud de la viga entre apoyos (luz). q[Kg/m]: carga repartida por metro lineal. p[Kg]=q.l: carga repartida uniformemente. RA[Kg]= ql: Esfuerzos en los apoyos (reacciones) RB[Kg]=ql: Esfuerzos en los apoyos (reacciones) M(x)[kg]: momento flector en un punto x cualquiera de la viga

l

x

S Se toma una sección S-S cualquiera de la viga ubicada a una distancia x de un apoyo (en este caso el A). La expresión del momento flector dada por (1), es una función de x.

Mx=f (x)

Página 66


Página 69

Ejemplo 2 Hallar las dimensiones de la sección que debe tener una viga de madera que se extrae de un tronco cilíndrico de radio r para que su resistencia sea máxima.

Conocimientos previos: la resistencia(Wxx) de una viga está dada por: 2xxW Kbh (1) donde

1K

6.

Resolución del problema: Los lados de la viga (b y h) son las variables del problema. Expresaremos h en función de b a través del teorema de Pitágoras aplicado en el triángulo rayado en la figura

2 2 2 2 2 22r b h h 4r b (2)

Reemplazando (2) en (1): 2 2 2 3

bW Kb(4r b ) 4Kbr Kb y queda expresado el módulo resistente en función de b. Para obtener para qué valor de b se obtiene su máximo derivamos respecto de b e igualamos a cero:

2 2b

22 2 2

W' 4Kr 3Kb

2 r4r 24Kr 3Kb 0 b b 3 r

3 33

h

d=2r

RB

RA

Mmax

+

b

maxmax max

2

max max

q xM l x

2q l

l q l2M l M2 2 8

Página 67


Página 70

Como b y r son longitudes, b b y r r , entonces 2

b 3 r3

(3)

En tanto bW'' 6Kb es negativo para todo b>0, 2

b 3 r3

es el valor para el cual W es máximo.

Reemplazando (3) en (2) y teniendo en cuenta que h también es una longitud, se tiene:

2

2 2 2 22 4 8 2 2h 4r 3r 4r r r h 2 r 6r

3 3 3 3 3

Las dimensiones de la sección de la viga de madera que hacen máxima su resistencia son:

2b 3 r

3 y

2h 6 r

3

A la electrotenia Ejemplo 1 Dado el circuito eléctrico de la figura compuesto por una bobina de inducción L y una resistencia R sometido a una tensión variable con el tiempo de 10t [volt], hallar la intensidad de corriente en función del tiempo.

Según la ley de Ohm: E= iR y para el ejemplo:

E t iR Li'(t)

di(t)10t 5i(t) 2

dt (1)

Para encontrar i(t) debe resolverse una ecuación diferencial. Hacemos la sustitución: i(t) u(t).r(t) , de donde i '(t) u'(t)r(t) u(t).r '(t) Reemplazando en (1) se tiene:

10t 5ur 2u'r 2ur' 10t=2u’r+u(2r’+5r) (2)

Buscamos r(t) tal que se anule el paréntesis; 2r’+5r=0 (3)

dr dr 5

2 5r dtdt r 2

5

ln r t C2

Interesa encontrar una función r(t) que cumpla (3), consideramos entonces: 5

t2r(t) e

L

E

R

Datos: R= 5Ω L=2 H

Página 68


Página 71

Reemplazando en (2) se tiene: 5

t22u'e 10t

5

t2

du5te

dt

5 5t t5 2 2t

2e e

du 5te dt u 5 t C5 252 4

5

t2

4u e 2t C

5

Resulta : i(t)=u(t).r(t)= 5 5 5

t t t2 2 2

4 4e 2t C e i(t) 2t Ce

5 5

Si se sabe que además i(0)= 0, resulta: 04 40 2.0 Ce C

5 5

De donde la expresión de la intensidad de corriente en función del tiempo t es: 5

t2

4 4i(t) 2t e

5 5

Ejemplo 2 Conocimientos previos: como sabemos, el valor medio (μ) de una función continua en un intervalo cerrado

[a,b] está dado por la expresión b

a

1f(x)dx

b a.

Indicamos con 2 al valor medio del cuadrado de f: b

2 2

a

1f (x)dx

b a y llamamos valor eficaz a la raíz cua-

drada de esta expresión b

2

a

1f (x)dx

b a. El valor eficaz permite caracterizar funciones distintas que tienen

igual valor medio. Si f es no nula, el valor eficaz es siempre positivo. Al circular una corriente alterna i(t) por un elemento resistivo puro de resistencia R, ésta disipa una potencia p(t) con un valor medio P. Esta misma potencia P puede ser disipada por una corriente continua (constante) I, circulando por la misma resis-tencia R. Entonces diremos que i(t) tiene un valor eficaz ief equivalente a una corriente constante I Lo mismo puede decirse con respecto a la tensión eficaz (Vef). Por una resistencia R circula una corriente continua de intensidad constante I y por la misma resistencia R circula una corriente alterna, periódica i(t) de período T. Demostrar que si I = Ief, la potencia media P es la misma en am-bos casos.

Para I: 2P V I R I (1) Para i(t): 2p(t) v(t) i(t) R i (2)

De (2) T

2 2ef

0

1P i (t)dt R I R

T (3)

Como (3) es igual a (1), resulta efI I

I

P R

V

i(t)

p(t) R

v(t)

Página 69


Página 72

A la química Conocimientos previos: Para una reacción química dada: R P Reactivos Productos Que se realiza a presión, temperatura y volumen constantes, sabemos que a medida que transcurre el tiempo, dis-minuye la concentración de reactivos (R) y aumenta la concentración de productos (P). Cuando se calcula la velocidad de reacción, dado que disminuye la concentración de los R, a medida que el tiempo aumenta, se coloca un signo negativo,pues no tiene sentido físico un valor negativo de la velocidad. Ejemplo Estudiaremos la reacción química del hidrógeno con el monóxido de nitrógeno cuyo resultado es el ácido nitroso.

2(g) (g) 2(g) 2 (g)2H 2NO N 2H O

La expresión de la velocidad de una reacción sólo puede ser encontrada experimentalmente

2 2

2v k H NO

En donde k es una constante de velocidad específica a una temperatura dada y su valor es 6

22

dmk 1,11 10

mol seg

H2 varía con el tiempo 2H t 20

NO varía con el tiempo NO t 5 molaridad de los reactivos en función del tiempo.

Hallamos la velocidad de reacción máxima 2 22v(t) 1,11 10 t 20 t 5

Derivamos respecto de t:

2 22

2

v '(t) 1,11 10 2 t 20 t 5 2 t 5 t 20

v '(t) 1,11 10 2 t 20 t 5 2t 25

Si v’(t)=0 resulta: 1t 20 ; 2t 5 y 3

25t

2

Calculamos la derivada segunda:

2 3 2

2 3 2

2 2

v '(t) 2,22 10 2t (25 10 40)t (200 500 125)t 2500

v '(t) 2,22 10 2t 75t 825t 2500

v ''(t) 2,22 10 6t 150t 825

Entonces:

2 2min

2 2min

22

max

v ''(20) 2,22 10 6 20 150 20 825 0 v

v ''(5) 2,22 10 6 5 150 5 825 0 v

25 25 25v '' 2,22 10 6 150 825 0 v

2 2 2

La velocidad de reacción máxima se produce para t=12,5 seg y es:

22 2max

molv 1,11 10 12,5 20 ( 12,5 5) 35,12

litro seg

Página 70


Página 73

A la economía Conocimiento previo: una función marginal es la variación o cambio que experimenta una función en el margen ( o punto). Es decir, variaciones para muy pequeños cambios de la variable, a partir de cierto valor. En economía, estas funciones se llaman: costo marginal, ingreso marginal, beneficio marginal y consumo marginal. Ejemplo 1 Calcular el costo marginal (Cma) de una empresa que fabrica X=500 unidades de cierto artículo de consumo y cuyo costo (Cx) de fabricación está dado por: 2

xC 0,001x 0,05x 200 . Cx es el costo total medido en $. El costo para fabricar 500 unidades es: 2

500C 0,001 500 0,05 500 200 $475

El costo medio por unidad es m

475C $0,95/unidad

500

Si se produjera una unidad más, el incremento del costo sería: (501) (500)C C C 476,051 475 $1,051

que representa el costo de la última unidad fabricada. El costo marginal (al igual que las demás funciones marginales) tiene sentido preciso cuando se considera el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Es decir, la derivada de la función:

ma xC C' En este ejemplo: ma xC C' 0,002x 0,05 y (500)C' 0,002 500 0,05 $1,05

Vemos que la definición de los economistas es una buena aproximación Si x es grande, podemos concluir que: (x 1) (x) (x)C C C C'

Ejemplo 2 Cierto gas raro usado en procesos industriales tenía reservas conocidas de 3.1011 m3 en 1990. En 1991 se consumía 1,7. 109 m3 del gas con un incremento anual del 7,3%. ¿Cuándo se agotarán las reservas de gas?

Año 1991 3 91C m 1,7 10

Año 1992 3 9 9 92 1C m C 1,7 10 0,073 1,7 10 1 0,073 1,7 10 1,073

Año 1993 3 9 9 23 2C m C 1,7 10 1,073 0,073 1,7 10 1,073

Es decir: 3 91C m 1,7 10

3 92C m 1,7 10 1,073

3 9 23C m 1,7 10 1,073

Se observa que los consumos (C) responden a la serie geométrica 9 n 1

n 1

1,7 10 1,073

Donde el primer término es 9a 1,7 10 y la razón es r=1,073.

Si n es la cantidad de años que deben transcurrir para que se agote el gas y teniendo en cuenta que n

n

1 rS a

1 r, se

tiene n

9 111 1,0731,7 10 3 10

1 1,073

De donde: 11 11

n n9 9

3 10 1 1,073 3 10 0,0731 1,073 1,073 1

1,7 10 1,7 10

Luego: n log13,881,073 13,88 n 37,33años

log1,073

Resulta que las reservas de gas estarán prácticamente agotadas en el año 2027.

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De optimización Se quiere fabricar un envase de hojalata (lata) para contener 1 litro de aceite. Vamos a calcular las dimensiones del envase para que la hojalata utilizada sea mínima. Conocimientos previos

Existen deshechos de material que no tendremos en cuenta y que están presentes cualquiera sea las dimensiones del envase. Como la capacidad del envase debe ser de 1 litro, su volumen (V) debe ser V= 1000cm3

Es decir: 22

1000r h 1000 h

r (2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: 2 2T 2

1000 2000A 2 r 2 r 2 r

rr

Queremos minimizar Ar.

r 2

2000A ' 4 r

r

3 3r 2

2000 500A ' 0 4 r 0 4 r 2000 r

r (valor crítico)

Además, r 3

4000A '' 4

r es positiva para cualquier valor de r>0, por lo tanto las dimensiones del envase que

minimizan la cantidad de hojalata utilizada son:

3500

r y

3

32 2

3

5001000

1000 1000 500h 2

500r 500 (la altura es igual al diámetro de la base)

tapa

cuerpo

fondo

Materia prima, hojalata, participa en un 70% del costo del envase, de allí la importancia de su optimización. El envase consta de tres piezas como muestra el dibu-jo. El cuerpo cilíndrico parte de una plantilla rectangu-lar y las tapas y fondos de discos cortados a partir de cuadrados, ambos extraídos de una hoja de hojalata.

h

d

El área del cuerpo del envase es CA 2 rh El área de la tapa y del fondo es 2

tyfA 2 r

El área total del material a utilizar para un envase es 2

TA 2 r 2 rh (1)

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Bibliografía • Bianco, M.J y otros. Análisis Matemático I con aplicaciones a las Ciencias Económicas. Editorial

Macchi. 2001. • Edminister, Joseph A. Circuitos Eléctricos. Editorial McGraw-Hill. 1969. • Fliess, Enrique D. Estabilidad (Primer Curso). Editorial Kapelusz.1965. • Stewart, James. Cálculo Trascendentes Tempranas. Editorial Thomson.2002.

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