Guia de Trabajo 2. Expresiones Algebraic As y Ecuaciones

CURSO DE MATEMÁTICAS

Tutora: JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ Profesional en Matemáticas con Énfasis en Estadística

E-mail: [email protected]

TEMAS DE TRABAJO

TUTORIA No 2

2 ALGEBRA.

2.1 Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas. Monomios. Suma. Resta,

multiplicación y división de monomios.

2.2 Ecuaciones

2.3 Resolución ecuaciones 1º grado

2.4 Resolución de problemas con ecuaciones de 1º grado.

2.5 Sistemas de ecuaciones

2.6 Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones de 1º grado.

TUTORIA No 2

2.1.1 Expresión algebraica

Es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen

representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las

expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del

lenguaje habitual.

Ejemplo 2.1.1 6x+ 3y = 5x + 7

Ejemplo 2.1.2. (Expresión algebraica) Expresa el perímetro y el área de un terreno

rectangular.

Solución: Si suponemos que mide x metros de largo e y metros de ancho, tenemos que:

� Perímetro = 2x + 2 y

� Área = x. y

Actividad 2.1: Asigna cada expresión algebraica con su enunciado.




� Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando)

y polinomios (varios sumandos).

� Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio.

Ejemplo: 3x2

� Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio.

Ejemplo: 2x2 + 3xy

� Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio. Ejemplo:

5x2 + 4y5 – 6x2y.

� Dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual ( ) se llaman ecuación.

� Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la

igualdad son equivalentes.

En un polinomio tendremos en cuenta lo siguiente:

Ejemplo de polinomio

este tiene 3 términos

Ubica cada expresión en la casilla que le

corresponde

Grado dos Parte Literal




� El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee

el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el término de

mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por lo

tanto se define como grado 3 o de tercer grado.

� Para polinomios de dos o más variables, el grado de un término es la suma de los

exponentes de las variables en el término; el grado del polinomio será el monomio

de mayor grado. Por ejemplo, el polinomio x2y2 + 3x3 + 4y, tiene un grado 4, el

mismo grado que el término x2y2.

� Sí, está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor

a menor, según su grado.

� Sí, está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten

poniendo de coeficiente 0.

� ¿Cuál es su grado? El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus

términos.

� Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son

equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.

2.1.2 Valor numérico

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la

operación indicada se obtiene un número que es el valor numérico de la expresión

algebraica para los valores de las letras dados.

Ejemplo 2.1.2. (Valor numérico de una expresión algebraica)

a) Halla el valor numérico del perímetro y del área de un terreno rectangular cuyos

lados miden 50 y 30 m, respectivamente.

b) Halla el valor numérico del polinomio para

Solución:

a) Según vimos en el ejemplo anterior: Si x es el largo e y el ancho, en metros, tenemos

que:




� 2 2 2.(50) 2.(30) 100 60 160mPerímetro x y= + = + = + =

� . 50.(30) 1500Area x y mts= = =

b) El valor numérico del polinomio es: 53.(2 ) 2.(2) 3(32) 4 96 4 100+ = + = + =

Actividad 2.1.2: Calcula el valor numérico de cada expresión para x = -1

Operaciones con polinomios

2.1.3 Suma y resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que

sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte

literal y el mismo grado.

Ejemplo 2.1.4. 2x3 + 5x3 – 6x3.Para hacer la operación sumamos los coeficientes y

dejamos la misma parte literal. 2x3 + 5x3 – 6x3 = x3.

2.1.4 Suma y resta de polinomios: Puede realizarse sumando o restando sus términos

semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en vertical y en horizontal o en

fila. Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios:




Ejemplo 2.1.4 P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15 y Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x

• En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno

sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos

semejantes:

P(x) = –5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15

Q(x) = 5x3 + 9x2 – 6x – 7

________________________________

–5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22

• En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en

orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la

operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes:

P(x) + Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) + (5x3 + 9x2 – 6x – 7)

= –5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22

Ejercicios Resueltos

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) =

b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) =

c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) =

d) 4 3 2 2 3 21 7 1 2 2 231 12 2 3

4 6 6 3 3 3x x x x x x x x x

− + + + + − + + − − + + =

e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =

f) (xy2 –3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) =




2. Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 –

x5 + 3x2, calcula:

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) – Q(x) – R(x)

c) P(x) – Q(x)

d) R(x) + P(x) – Q(x)

e) P(x) + Q(x) + R(x)

f) P(x) – R(x) + Q(x)

Soluciones

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) = 8x2 – 2x + 1 – 3x2 – 5x + 8 = 5x2 – 7x + 9

b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1 – x2 – 1 + 3x =

= 2x3 – 4x2 + 8x – 2

c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) =

= 7x4 – 5x5 + 4x2 –7 + x3 – 3x2 – 5 + x + 3x4 – 5 + 8x – 2x3 =

= – 5x5 + 10x4 – x3 + x2 + 9x – 17

d)

4 3 2 2 3 2

4 3 2 2 3 2

4 3 2

1 7 1 2 2 231 12 2 3

4 6 6 3 3 3

1 7 1 2 2 231 12 2 3

4 6 6 3 3 3

1 5 88 14 69

4 6 3 3 6

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

− + + + + − + + − − + + =

= − + + + + − + + + − − =

= + + + +

e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =

= –5z + 2y – 2z + 5y + 7x +1 + –3z – 4y – 9x + 4y – 8x + 5 = –10z + 7y – 10x +6




f) (xy2 – 3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) =

= xy2 – 3x2 – y2 + x2y – x2y – 5x2 + 3xy2 – y2 – 5x2 = 4xy2 – 13x2 – 2y2

2. Dados los polinomios

P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 –x5 + 3x2, calcula:

a) P(x) + Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) + (–2x2 + 2 + 3x5) =

= –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 = 3x5 – 7x4 + 4x2 + 6x + 7

b) P(x) – Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) =

= –7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 = –3x5 – 7x4 + 8x2 + 6x + 3

c) P(x) + Q(x) + R(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) + (–2x2 + 2 + 3x5) + (x3 –x5 + 3x2) =

= –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 + x3 –x5 + 3x2 = 2x5 –7x4+ x3 + 7x2 + 6x + 7

d) P(x) – Q(x) – R(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) – (x3 –x5 + 3x2) =

= –7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 – x3 +x5 – 3x2 = –2x5 –7x4 – x3 + 5x2 + 6x + 3

e) R(x) + P(x) – Q(x) = (x3 –x5 + 3x2) + (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) =

= x3 –x5 + 3x2 – 7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5

= –4x5 – 7x4 + x3 + 11x2 + 6x + 3

f) P(x) – R(x) + Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (x3 –x5 + 3x2) + (–2x2 + 2 + 3x5) =

= –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – x3 +x5 – 3x2 – 2x2 + 2 + 3x5 = 3x5 – 7x4 – x3 + 6x + 7

2.1.5 Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que

sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte

literal y se suman los grados. Ejemplo: 3xy.(4x2y3) = 12x3y4




2.1.6 División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes,

se deja la misma parte literal y se restan los grados.

Ejemplo 2.1.6 4x5y3 ÷ 2x2y = 2x3y2

2.1.7 Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo

que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los

grados de las letras que son iguales. Si son varios los polinomios que tenemos

que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes

debajo unos de otros y los sumaremos al final.

Ejemplo 2.1.7 P(x)= 2x5+3x4–2x3-x2+2x Q(x)= 2x3

P(x).Q(x)= 4x8+6x7–4x6–2x5+4x4

2.1.8 División de polinomios y un monomio: Ordenamos y completamos los

polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del

divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo.

Así sucesivamente.

2.1.9 División de dos polinomios: Haremos lo mismo que para dividir monomios y

polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2

términos.

Ejemplo 2.1.9

1. (4x3 + 2x2 + 4x + 3) ÷÷÷÷ (x2 - x - 1).

Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el

término de mayor grado del divisor, obteniendo el primer término del cociente.

Primer paso en una división de polinomios




Este término lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al

dividendo.

Segundo paso en una división de polinomios

Ahora el término de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso

anterior, obteniendo el segundo término del cociente.

Ultima operación en una división de polinomios

Como 14x es de menor grado que x2, la división no puede continuar. El polinomio

cociente y el polinomio resto son:

C(x) = 4x + 6

R(x) = 14x + 9

2. (8x3 - 4x2 + 2x + 7) ÷÷÷÷ (2x2 + x - 1).




Los polinomios resultantes de la división son:

Dividendo → D(x) = 8x3 - 4x2 + 2x + 7

Resto → R(x) = 10x + 3

Cociente → C(x) = 4x - 4

Divisor → d(x) = 2x2 + x – 1

Comprobamos el resultado:

C(x) · d(x) + R(x) = (4x - 4 ) · (2x2 + x - 1) + (10x + 3)= (8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3)

= 8x3 - 4x2 + 2x + 7 = D(x)

2.2 Ecuaciones

Los métodos para resolver ecuaciones datan de los tiempos de los babilonios (2000

a.C.).

La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales es

mediante una ecuación (o igualdad).

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,

denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos

o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos

pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se

haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas

generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en

la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son

constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas

que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas

variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:




• Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por el

signo =, una en el lado izquierdo (LI), y otra en el lado derecho (LD).

• Es una expresión de igualdad con una variable, la x.

• La solución, o raíz, de la ecuación es un número a que produce una expresión cierta

al sustituirlo por la x, es decir a satisface la ecuación. En el ejemplo x= 5 es la

solución o raiz.

• Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación.

• Una ecuación algebraica en x contiene sólo expresiones algebraicas como

polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

• Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es

una solución, la ecuación se denomina identidad, p.ej. x2+2x+1 = (x+1)2. Si hay

números que no sean solución, la expresión se llama simplemente ecuación, p.ej.

5x-10 = 2x+8.

• La ecuación más básica en álgebra es la ecuación lineal, ax + b = 0, ∀a ≠ 0

• Generalmente, para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones

equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una

ecuación cuya solución podemos hallar con facilidad.

2.3 Criterios de equivalencia de ecuaciones

1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma

cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una

misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.




5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5

x + 2 = 3

x + 2 −2= 3 −2

x = 1

MÉTODO :

- Eliminamos paréntesis

- Eliminamos denominadores

- Agrupamos términos semejantes

- Despejamos la variable

- Comprobamos la solución

• Si hay, eliminamos todos los niveles de paréntesis que aparezcan, comenzando por

el más interno, resolviendo las operaciones indicadas.

• Si hay, eliminamos todos los denominadores, multiplicando por el m.c.m.(de los

denominadores) ambos lados de la ecuación.

• Agrupamos las expresiones con la variable en un lado (generalmente el izquierdo) y

las expresiones numéricas en el otro lado.

• Despejamos la variable, obteniendo así la solución.

Ejemplos

1) 2 3 6x x− = + Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y

sumamos: 2 6 3x x− = + 9x =

2) ( )2 2 3 6x x− = +

Quitamos paréntesis:




Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita: 12

3x = x = 4

3)

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo

común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

4)

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos

semejantes:




5)

Quitamos corchete:


Quitamos denominadores:


Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

x =3


TEMA: ECUACIONES



SOLUCIÓN DE ECUACIONES

Sistema de ecuaciones.

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Los métodos de eliminación son:

1º. Por adición o sustracción. 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución.

1º. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método adición o sustracción:

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

1.

2. Restamos 3. y resolvemos la ecuación:

4. Sustituimos el valor de “y” en la segunda ecuación inicial.

5. Solución:


TEMA: ECUACIONES



2º. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación

1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:


TEMA: ECUACIONES



3º. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución


TEMA: ECUACIONES



RESUMEN 1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. 2º Si multipl icamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. 3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. 4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multipl icadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. 5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Método de sustitución

1.- Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2.- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación.

4.- El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de igualación

1.- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.


Método de reducción

1.- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2.- La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.



TEMA: ECUACIONES



Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Ejercicios y

problemas resueltos

1. Por sustitución:

2. Por igualación:

3. Por reducción:

4. Por reducción:


TEMA: ECUACIONES



5. Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

x dinero de Antonio. y dinero de Pedro.

(Por sustitución) Sustituimos a x= 2y en la segunda ecuación.

24 dinero de Antonio. 12 dinero de Pedro.

6. En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

x número de hombres. y número de mujeres.

hombres con gafas.

mujeres con gafas.

35 número de hombres. 25 número de mujeres.


TEMA: ECUACIONES



7. La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las

unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

x cifra de las unidades y cifra de las decenas 10x + y número 10y + x número invertido y = 2x (10y + x) − 27 = 10x + y 10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x 20x + x − 12x = 27 x = 3 y = 6 Número 63

TALLER (GRUPOS)

ELIMINACION POR ADICIÓN O SUSTRACCION

1. 2x + 5y = 51 5 x+ 2y = 54

2. 6x + 5y = 33 7x - 2 y = 15

3. 9x + 7y = 16 3x – 2y = 1

4. 9x + 2y = 24 7x + 3y = 23

5. 3x + 8y = 38 7x - 2y = 6

6. 5x - 3y = 20 3x - 4y = 1

7. 5x + 2y = 32 3x + y = 18

8. 4x + 3y = 18 3x - 2y = 5

9. 4x - 7y = 20 7x - 4y = 68

10. 2x + 7y = 34 7x + 2 y = 74

ELIMINACION POR SUSTITUCIÓN

11. x + 7y = 26 2x+ 3y = 19

12. x - 3y = -1 3x +2 y = 19

13. 1x + 4y= 35 3x – 2y= 7

14. 1x - 4y = 1 5x + 2y= 49

15. 1x + 5 =25

7x +3 = 47

16. 1x - 2y= 2 6x + 5y= 80

17. 2x + 17y = 61 8x - y = 37

18. 4.5x - 7y = 7 5.5x + 6y = 59.5

19. 0.8x + 0.3y = 11.3 2x + 3.5y = 14.5

20. 5x + 7y = 125 7x -y = 13

RESOLVER LOS SISTEMAS DE ECUACIONES POR IGUALACIÓN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Desarrollar los problemas planteados en la autoevaluación de la unida del texto guía, El arte de las matemáticas, páginas 51 – 53.

Guia de Trabajo 2. Expresiones Algebraic As y Ecuaciones

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